Update from HH
[hl193./.git] / Jordan / num_ext_gcd.ml
1 (* 
2         Author: Thomas C. Hales, 2003
3
4         GCD_CONV takes two HOL-light terms (NUMERALs) a and b and
5         produces a theorem of the form
6                 |- GCD a b = g
7
8         (In particular, the arguments cannot be negative.)
9
10 *)
11
12
13 prioritize_num();;
14
15 let DIVIDE = new_definition(`DIVIDE a b = ?m. (b = m*a )`);; 
16
17 parse_as_infix("||",(16,"right"));;
18
19 override_interface("||",`DIVIDE:num->num->bool`);;
20
21 (* Now prove the lemmas *)
22
23 let DIV_TAC t =   EVERY[ REP_GEN_TAC;
24    REWRITE_TAC[DIVIDE];
25    DISCH_ALL_TAC;
26    REPEAT (FIRST_X_ASSUM CHOOSE_TAC); 
27    TRY (EXISTS_TAC t)];;
28
29
30 let DIVIDE_DIVIDE = prove_by_refinement(
31   `!a b c. (((a || b) /\ (b || c)) ==> (a || c))`,
32    [
33    DIV_TAC `m'*m`;
34    ASM_REWRITE_TAC[MULT_ASSOC]
35    ]);;
36
37 let DIVIDE_EQ = prove_by_refinement( 
38    `! a b. (((a || b) /\ (b || a)) ==> (a = b))`,
39   [
40   DIV_TAC `1`;
41   FIRST_X_ASSUM (fun th -> (POP_ASSUM MP_TAC) THEN REWRITE_TAC[th]);
42   ASM_CASES_TAC `b=0`;
43   ASM_REWRITE_TAC[];
44   ARITH_TAC;
45   REWRITE_TAC[ARITH_RULE `(b = m*m'*b) = (1*b = m*m'*b)`];
46   ASM_REWRITE_TAC[MULT_ASSOC;EQ_MULT_RCANCEL];
47   DISCH_THEN (fun th -> MP_TAC (REWRITE_RULE[MULT_EQ_1] (GSYM th)) );
48   DISCH_THEN (fun th -> REWRITE_TAC[CONJUNCT2 th] THEN ARITH_TAC);
49   ]);;
50
51 let DIVIDE_SUM = prove_by_refinement(
52   `!a b h. (((h || a) /\ (h||b)) ==> (h || (a+b)))`,
53   [
54   DIV_TAC `m+m'`;
55   ASM_REWRITE_TAC[ARITH;RIGHT_ADD_DISTRIB];
56   ]);;
57
58 let DIVIDE_SUMMAND = prove_by_refinement(
59   `!a b h. (((h|| b) /\ (h || (a+b))) ==> (h|| a))`,
60    [
61    DIV_TAC `m'-m`;
62    REWRITE_TAC[RIGHT_SUB_DISTRIB];
63    REPEAT (FIRST_X_ASSUM  (fun th -> REWRITE_TAC[GSYM th]));
64    ARITH_TAC;
65    ]);;
66
67 let DIVIDE_PROD = prove_by_refinement(
68    `!a b h. (((h|| a) ==> (h || (b*a))))`,
69    [
70    DIV_TAC `b*m`;
71    ASM_REWRITE_TAC[MULT_ASSOC];
72    ]);;
73
74 let DIVIDE_PROD2 = prove_by_refinement(
75    `!a b h. (((h|| a) ==> (h || (a*b))))`,
76    [
77    DIV_TAC `b*m`;
78    ASM_REWRITE_TAC[MULT_AC]
79    ]);;
80
81 let GCD = new_definition(`GCD a b = @g. 
82         ((g || a) /\ (g || b) /\
83         (!h. (((h || a) /\ (h || b)) ==> (h || g))))`);;
84
85 let gcd_certificate = prove(`!a b g. ((? r s r' s' a' b'.
86         ((a = a'*g) /\ (b = b'*g) /\ (g +r'*a+s'*b= r*a + s*b)))
87         ==> (GCD a b = g))`,
88         let tac1 = (
89         (REPEAT GEN_TAC)
90         THEN (DISCH_TAC)
91         THEN (REPEAT (POP_ASSUM CHOOSE_TAC))
92         THEN (REWRITE_TAC[GCD])
93         THEN (MATCH_MP_TAC SELECT_UNIQUE)
94         THEN BETA_TAC
95         THEN GEN_TAC
96         THEN EQ_TAC) and
97
98         ygbranch = (
99         DISCH_TAC
100         THEN (MATCH_MP_TAC DIVIDE_EQ)
101         THEN CONJ_TAC) and
102
103         ydivg_branch = (
104         (SUBGOAL_TAC (` (y || (r*a + s*b))/\ (y || (r'*a +s'*b))`))
105         THENL [((ASM MESON_TAC)[DIVIDE_SUM;DIVIDE_PROD]);
106         ((ASM MESON_TAC)[DIVIDE_SUMMAND])]
107         ) and
108
109         gdivy_branch = (
110         (UNDISCH_TAC 
111           (`(y||a) /\ (y ||b) /\ (!h. (((h||a)/\(h||b))==> (h||y)))`))
112         THEN (TAUT_TAC (` (A ==> B) ==> ((C /\ D/\ A)==> B)`))
113         THEN (DISCH_TAC)
114         THEN (POP_ASSUM MATCH_MP_TAC)
115         THEN (REWRITE_TAC[DIVIDE])
116         THEN (CONJ_TAC)
117         THEN ((ASM MESON_TAC)[])
118                 ) and
119
120         yghyp_branch = (
121         (DISCH_TAC)
122         THEN (let x t = REWRITE_TAC[t] in (POP_ASSUM x))
123         THEN (CONJ_TAC)
124         THENL [((ASM MESON_TAC)[DIVIDE]);ALL_TAC]
125         THEN (CONJ_TAC)
126         THENL [((ASM MESON_TAC)[DIVIDE]);ALL_TAC]
127         THEN GEN_TAC
128         THEN DISCH_TAC
129         THEN (SUBGOAL_TAC (` (h || (r*a + s*b))/\ (h || (r'*a+s'*b))`))
130         THENL [((ASM MESON_TAC)[DIVIDE_SUM;DIVIDE_PROD]);
131                 ((ASM MESON_TAC)[DIVIDE_SUMMAND])]
132                 ) in
133         tac1 THENL [ygbranch THENL [ydivg_branch;gdivy_branch];yghyp_branch]);;
134
135 (* Now compute gcd with CAML num calculations, 
136    then check the answer in HOL-light *)
137 let gcd_num x1 x2 =
138         let rec gcd_data (a1,b1,x1,a2,b2,x2) = 
139         if (x1 < (Int 0)) then 
140                 gcd_data(minus_num a1,minus_num b1,minus_num x1,a2,b2,x2)
141         else if (x2 < (Int 0)) then gcd_data(a1,b1,x1,minus_num a2,minus_num
142         b2,minus_num x2)
143         else if (x1 = (Int 0)) then (a2,b2,x2)
144         else if (x1>x2) then gcd_data (a2,b2,x2,a1,b1,x1)
145         else (
146                 let r = (quo_num x2 x1) in
147                 gcd_data (a1,b1,x1,a2 -/ r*/ a1,b2 -/ r*/ b1, x2 -/ r*/ x1)
148              ) in
149         gcd_data ((Int 1),(Int 0),x1,(Int 0),(Int 1),x2);;
150
151 let gcd_num x1 x2 =
152         let rec gcd_data (a1,b1,x1,a2,b2,x2) = 
153         if (x1 < (Int 0)) then 
154                 gcd_data(minus_num a1,minus_num b1,minus_num x1,a2,b2,x2)
155         else if (x2 < (Int 0)) then gcd_data(a1,b1,x1,minus_num a2,minus_num
156         b2,minus_num x2)
157         else if (x1 = (Int 0)) then (a2,b2,x2)
158         else if (x1>x2) then gcd_data (a2,b2,x2,a1,b1,x1)
159         else (
160                 let r = (quo_num x2 x1) in
161                 gcd_data (a1,b1,x1,a2 -/ r*/ a1,b2 -/ r*/ b1, x2 -/ r*/ x1)
162              ) in
163         gcd_data ((Int 1),(Int 0),x1,(Int 0),(Int 1),x2);;
164
165         (* g = gcd, (a',b') = (a,b)/g, g +r1'*a+s1'*b = r1*a+s1*b *)
166 let gcd_numdata a b = 
167         let a = abs_num a in
168         let b = abs_num b in
169         let Z = Int 0 in
170         let (r,s,g) = gcd_num a b in
171         let a' = if (g=Z) then Z else round_num(a//g) in
172         let b' = if (g=Z) then Z else round_num(b//g) in
173         let _ = if not(a=a'*/g) then failwith "GCD_CONV a" else 0 in
174         let _ = if not(b=b'*/g) then failwith "GCD_CONV b" else 0 in
175         let _ = if not(g=r*/a+/s*/b) then failwith "GCD_CONV g" else 0 in
176         let (r1,r1') = if (r >/ Z) then (r,Z) else (Z,minus_num r) in
177         let (s1,s1') = if (s >/ Z) then (s,Z) else (Z,minus_num s) in
178         (g,a,b,a',b',r1',s1',r1,s1);;
179
180 (* Here is the conversion.  
181         Example:
182                 GCD_CONV (`66`) (`144`)
183
184 *)
185 let GCD_CONV at bt =
186         let a = dest_numeral at in
187         let b = dest_numeral bt in
188         let (g,a,b,a',b',r1',s1',r1,s1) = gcd_numdata a b in
189         prove(parse_term("GCD "^(string_of_num a)^" "^(string_of_num b)^" = "^
190                 (string_of_num g)),
191                 (MATCH_MP_TAC gcd_certificate)
192                 THEN (EXISTS_TAC (mk_numeral r1))
193                 THEN (EXISTS_TAC (mk_numeral s1))
194                 THEN (EXISTS_TAC (mk_numeral r1'))
195                 THEN (EXISTS_TAC (mk_numeral s1'))
196                 THEN (EXISTS_TAC (mk_numeral a'))
197                 THEN (EXISTS_TAC (mk_numeral b'))
198                 THEN (ARITH_TAC));;
199
200 (* Example:
201         hol_gcd 66 144
202
203    This version can overflow on CAML integers before it reaches hol-light.
204    Example:
205         hol_gcd 1000000000000000000 10000000000000000000000
206         - : thm = |- GCD 660865024 843055104 = 262144
207 *)
208
209 let hol_gcd a b = GCD_CONV (mk_small_numeral a) (mk_small_numeral b);;
210
211 remove_interface ("||");;
212 pop_priority();;
213
214
215 (* test code *)
216
217 exception Test_suite_num_ext_gcd of string;; 
218
219 (* For the tests we use integers a and b.  These can overflow if
220    a and b are too large, so that we should confine ourselves to
221    tests that are not too large.
222 *)
223
224 let test_num_ext_gcd (a, b) = 
225   let a1 = string_of_int (abs a) in
226   let b1 = string_of_int (abs b) in
227   let c = gcd a b in
228   let c1 = string_of_int (abs c) in
229   let th = GCD_CONV (mk_small_numeral a) (mk_small_numeral b) in
230   if (not (hyp th = ([]:term list))) then raise
231     (failwith ("num_ext_gcd test suite failure "^a1^" "^b1))
232   else if (not (concl th = (parse_term ("GCD "^a1^" "^b1^"="^c1))))
233     then raise (failwith ("num_ext_gcd test suite failure "^a1^" "^b1))
234   else ();;
235  
236
237 let test_suite_num_ext_gcd  = 
238   let _ =
239     map test_num_ext_gcd
240       [(0,0);(0,1);(1,0);(-0,-0);
241        (2,3);(4,6);
242        (0,2);(2,0);
243        (10,100);(100,10);(17,100);(100,17)] in
244    print_string "num_ext_gcd loaded\n";;
245
246 let divide = DIVIDE and
247     gcd = GCD and
248     gcd_conv = GCD_CONV;;
249