formal_lp/hypermap/ineqs/lp_main_estimate-compiled.hl

   1 needs "../formal_lp/hypermap/ineqs/lp_ineqs_proofs-compiled.hl";;
   2 needs "local/RNSYJXM-compiled.hl";;
   3 needs "local/polar_fan.hl";;
   4
   5 (* Module Lp_main_estimate*)
   6 module Lp_main_estimate = struct
   7
   8 open Sphere;;
   9 open Localization;;
  10 open Tame_defs;;
  11 open Ssrbool;;
  12 open Ssrnat;;
  13 open Lp_ineqs_def;;
  14 open Lp_ineqs_proofs;;
  15 open Hypermap_and_fan;;
  16 open Fan_defs;;
  17 open Hypermap;;
  18 open Add_triangle;;
  19 open Tame_general;;
  20 open Hypermap_iso;;
  21 open Rnsyjxm;;
  22 open List_hypermap;;
  23 let rho_fun = new_definition
  24         `rho_fun y =  &1 + (inv (&2 * h0 - &2)) * (inv pi) * sol0 * (y - &2)`;;
  25 let tau_fun = new_definition
  26         `tau_fun V E f =  sum (f) (\e. rho_fun(norm(FST e)) * (azim_in_fan e E))
  27                         - (pi + sol0) * &(CARD f -2)`;;
  28 let tau3 = new_definition `tau3 (v1:real^3) v2 v3 =
  29   rho (norm v1) * dihV (vec 0) v1 v2 v3 + rho(norm v2) * dihV (vec 0) v2 v3 v1 +
  30     rho(norm v3) * dihV (vec 0) v3 v1 v2 - (pi + sol0)`;;
  31 let JEJTVGB_std_concl =
  32   `!V E FF.
  33     convex_local_fan (V,E,FF) /\
  34     packing V /\
  35     V SUBSET ball_annulus /\
  36     4 <= CARD V /\ CARD V <= 6 /\
  37     (!v w. ~(v = w) /\ v IN V /\ w IN V /\ ~({v,w} IN E) ==> &2 * h0 <= dist(v,w)) /\
  38     (!v w. {v,w} IN E ==> &2 <= dist(v,w) /\ dist(v,w) <= &2 * h0) ==>
  39     d_tame (CARD V) <= tau_fun V E FF`;;
  40 let JEJTVGB_std3_concl =
  41   `!v1 v2 v3.
  42     &2 <= norm v1 /\
  43     &2 <= norm v2 /\
  44     &2 <= norm v3 /\
  45     norm v1 <= &2 * h0 /\
  46     norm v2 <= &2 * h0 /\
  47     norm v3 <= &2 * h0 /\
  48     &2 <= dist(v1,v2) /\
  49     &2 <= dist(v1,v3) /\
  50     &2 <= dist(v2,v3) /\
  51     dist(v1,v2) <= &2 * h0 /\
  52     dist(v1,v3) <= &2 * h0 /\
  53     dist(v2,v3) <= &2 * h0 ==>
  54     &0 <= tau3 v1 v2 v3`;;
  55 let JEJTVGB_pent_diag_concl =
  56   `!V E FF.
  57     convex_local_fan (V,E,FF) /\
  58     packing V /\
  59     V SUBSET ball_annulus /\
  60     CARD V = 5 /\
  61     (!v w. ~(v = w) /\ v IN V /\ w IN V /\ ~({v,w} IN E) ==> sqrt8 <= dist(v,w)) /\
  62     (!v w. {v,w} IN E ==> &2 <= dist(v,w) /\ dist(v,w) <= &2 * h0) ==>
  63     #0.616 <= tau_fun V E FF`;;
  64 let JEJTVGB_pent_pro_concl =
  65   `!V E FF.
  66     convex_local_fan (V,E,FF) /\
  67     packing V /\
  68     V SUBSET ball_annulus /\
  69     CARD V = 5 /\
  70     (!v w. ~(v = w) /\ v IN V /\ w IN V /\ ~({v,w} IN E) ==> &2 * h0 <= dist(v,w)) /\
  71     (?v0 w0.
  72        (!v w. {v,w} IN E /\ ~({v,w} = {v0,w0}) ==> &2 <= dist(v,w) /\ dist(v,w) <= &2 * h0) /\
  73        {v0,w0} IN E /\
  74        &2 *h0 <= dist(v0,w0) /\ dist(v0,w0) <= sqrt8)
  75      ==>
  76     #0.616 <= tau_fun V E FF`;;
  77 let JEJTVGB_quad_pro_concl =
  78   `!V E FF.
  79     convex_local_fan (V,E,FF) /\
  80     packing V /\
  81     V SUBSET ball_annulus /\
  82     CARD V = 4 /\
  83     (!v w. ~(v = w) /\ v IN V /\ w IN V /\ ~({v,w} IN E) ==> sqrt8 <= dist(v,w)) /\
  84     (?v0 w0.
  85        (!v w. {v,w} IN E /\ ~({v,w} = {v0,w0}) ==> &2 <= dist(v,w) /\ dist(v,w) <= &2 * h0) /\
  86        {v0,w0} IN E /\
  87        &2 *h0 <= dist(v0,w0) /\ dist(v0,w0) <= sqrt8)
  88      ==>
  89     #0.477 <= tau_fun V E FF`;;
  90 let JEJTVGB_quad_diag_concl =
  91   `!V E FF.
  92     convex_local_fan (V,E,FF) /\
  93     packing V /\
  94     V SUBSET ball_annulus /\
  95     CARD V = 4 /\
  96     (!v w. ~(v = w) /\ v IN V /\ w IN V /\ ~({v,w} IN E) ==> &3 <= dist(v,w)) /\
  97     (!v w. {v,w} IN E ==> &2 <= dist(v,w) /\ dist(v,w) <= &2 * h0) ==>
  98     #0.467 <= tau_fun V E FF`;;
  99 let JEJTVGB_concl =
 100   let co = [JEJTVGB_std_concl;JEJTVGB_std3_concl;JEJTVGB_pent_diag_concl;JEJTVGB_pent_pro_concl;
 101                                       JEJTVGB_quad_pro_concl;JEJTVGB_quad_diag_concl] in
 102     list_mk_conj co;;
 103 let lp_main_estimate = new_definition (mk_eq (`lp_main_estimate:bool`,JEJTVGB_concl));;
 104
 105 (* Section Misc *)
 106 Sections.begin_section "Misc";;
 107 (Sections.add_section_type (mk_var ("f", (`:real^3#real^3->bool`))));;
 108
 109 (* Lemma rho_rho_fun *)
 110 let rho_rho_fun = Sections.section_proof ["y"]
 111 `rho_fun y = rho y`
 112 [
 113    ((((use_arg_then2 ("Sphere.rho", [Sphere.rho]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("rho_fun", [rho_fun]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("Sphere.const1", [Sphere.const1]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("Sphere.ly", [Sphere.ly]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("Sphere.interp", [Sphere.interp]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))));
 114    ((((use_arg_then2 ("Nonlinear_lemma.sol0_EQ_sol_y", [Nonlinear_lemma.sol0_EQ_sol_y]))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (((use_arg_then2 ("Sphere.h0", [Sphere.h0]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))));
 115    ((((use_arg_then2 ("PI_POS", [PI_POS])) (disch_tac [])) THEN (clear_assumption "PI_POS") THEN BETA_TAC) THEN (CONV_TAC REAL_FIELD) THEN (done_tac));
 116 ];;
 117
 118 (* Lemma packing_v_prime *)
 119 let packing_v_prime = Sections.section_proof ["V";"f"]
 120 `packing V ==> packing (v_prime V f)`
 121 [
 122    (((DISCH_THEN (fun snd_th -> (use_arg_then2 ("Rdwkarc.PACKING_SUBSET", [Rdwkarc.PACKING_SUBSET])) (thm_tac (match_mp_then snd_th MP_TAC)))) THEN (DISCH_THEN apply_tac)) THEN (((use_arg_then2 ("V_PRIME_SUBSET_V", [V_PRIME_SUBSET_V]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (done_tac));
 123 ];;
 124
 125 (* Lemma v_prime_subset *)
 126 let v_prime_subset = Sections.section_proof ["V";"X";"f"]
 127 `V SUBSET X ==> v_prime V f SUBSET X`
 128 [
 129    (((DISCH_THEN (fun snd_th -> (fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("SUBSET_TRANS", [SUBSET_TRANS])) (fun fst_arg -> (fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`v_prime V f`))) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (thm_tac (match_mp_then snd_th MP_TAC)))) THEN (DISCH_THEN apply_tac)) THEN (((use_arg_then2 ("V_PRIME_SUBSET_V", [V_PRIME_SUBSET_V]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (done_tac));
 130 ];;
 131
 132 (* Lemma in_e_prime *)
 133 let in_e_prime = Sections.section_proof ["E";"f";"v";"w"]
 134 `{v,w} IN e_prime E f <=> {v,w} IN E /\ (v,w IN f \/ w,v IN f)`
 135 [
 136    ((((use_arg_then2 ("e_prime", [e_prime]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("IN_ELIM_THM", [IN_ELIM_THM]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (simp_tac));
 137    ((THENL_ROT (-1)) ((THENL) (split_tac) [((case THEN (move ["a"])) THEN (case THEN (move ["b"])) THEN (case THEN (move ["ab_in"]))); (case THEN (move ["vw_inE"]))]));
 138    (((THENL) (case THEN (move ["in_f"])) [(((use_arg_then2 ("v", [])) (term_tac exists_tac)) THEN ((use_arg_then2 ("w", [])) (term_tac exists_tac))); ((((use_arg_then2 ("w", [])) (term_tac exists_tac)) THEN ((use_arg_then2 ("v", [])) (term_tac exists_tac))) THEN (((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_theorem (GEN_ALL Collect_geom.PER_SET2)))(thm_tac (new_rewrite [] [])))))]) THEN (done_tac));
 139    (((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_theorem (GEN_ALL Geomdetail.PAIR_EQ_EXPAND)))(thm_tac (new_rewrite [] []))));
 140    ((case THEN ALL_TAC THEN (case THEN ((((conv_thm_tac DISCH_THEN)(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((conv_thm_tac DISCH_THEN)(thm_tac (new_rewrite [] [])))))) THEN ((TRY done_tac))) THEN (((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_theorem (GEN_ALL Collect_geom.PER_SET2)))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (done_tac));
 141 ];;
 142
 143 (* Lemma set_vv_eq_v *)
 144 let set_vv_eq_v = Sections.section_proof ["v"]
 145 `{v,v} = {v}`
 146 [
 147    (((((use_arg_then2 ("EXTENSION", [EXTENSION]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("IN_INSERT", [IN_INSERT]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("IN_SING", [IN_SING]))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (done_tac));
 148 ];;
 149
 150 (* Finalization of the section Misc *)
 151 let rho_rho_fun = Sections.finalize_theorem rho_rho_fun;;
 152 let packing_v_prime = Sections.finalize_theorem packing_v_prime;;
 153 let v_prime_subset = Sections.finalize_theorem v_prime_subset;;
 154 let in_e_prime = Sections.finalize_theorem in_e_prime;;
 155 let set_vv_eq_v = Sections.finalize_theorem set_vv_eq_v;;
 156 Sections.end_section "Misc";;
 157
 158 (* Section Fan *)
 159 Sections.begin_section "Fan";;
 160 (Sections.add_section_var (mk_var ("V", (`:real^3->bool`))));;
 161 (Sections.add_section_var (mk_var ("E", (`:(real^3->bool)->bool`))));;
 162 (Sections.add_section_hyp "fanV" (`FAN (vec 0,V,E)`));;
 163
 164 (* Let dartH *)
 165 Sections.add_section_lemma "dartH" (Sections.section_proof []
 166 `dart (hypermap_of_fan (V,E)) = dart_of_fan (V,E)`
 167 [
 168    ((((use_arg_then2 ("COMPONENTS_HYPERMAP_OF_FAN", [COMPONENTS_HYPERMAP_OF_FAN]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (done_tac));
 169 ]);;
 170
 171 (* Let in_dart_inV *)
 172 Sections.add_section_lemma "in_dart_inV" (Sections.section_proof ["d"]
 173 `d IN dart_of_fan (V,E) ==> FST d IN V /\ SND d IN V`
 174 [
 175    (((((use_arg_then2 ("pair_expand", [pair_expand]))(thm_tac (new_rewrite [1] [])))) THEN (DISCH_THEN (fun snd_th -> (fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("PAIR_IN_DART_OF_FAN", [PAIR_IN_DART_OF_FAN])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("fanV", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (thm_tac (match_mp_then snd_th MP_TAC))))) THEN (done_tac));
 176 ]);;
 177
 178 (* Lemma fan_aff_gt_1_2_not_empty *)
 179 let fan_aff_gt_1_2_not_empty = Sections.section_proof ["v";"w"]
 180 `v,w IN dart_of_fan (V,E)
 181         ==> ~(aff_gt {vec 0} {v,w} = {})`
 182 [
 183    (BETA_TAC THEN (move ["vw_in"]));
 184    ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`~(v = vec 0) /\ ~(w = vec 0)`))) (term_tac (have_gen_tac [](move ["n0"]))));
 185    ((fun arg_tac -> (fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("PAIR_IN_DART_OF_FAN", [PAIR_IN_DART_OF_FAN])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("vw_in", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("fanV", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun arg -> thm_tac MP_TAC arg THEN (move ["inV"])));
 186    ((((use_arg_then2 ("fanV", [])) (disch_tac [])) THEN (clear_assumption "fanV") THEN BETA_TAC) THEN (((((use_arg_then2 ("FAN", [FAN]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("fan2", [fan2]))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN ALL_TAC THEN (case THEN (move ["_"])) THEN (case THEN (move ["_"])) THEN (case THEN (move ["_"])) THEN (case THEN (move ["n0V"])) THEN (move ["_"])));
 187    ((split_tac) THEN (((use_arg_then2 ("n0V", [])) (disch_tac [])) THEN (clear_assumption "n0V") THEN ((use_arg_then2 ("contra", [contra])) (disch_tac [])) THEN (clear_assumption "contra") THEN (DISCH_THEN apply_tac) THEN (((conv_thm_tac DISCH_THEN)(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] [])))))) THEN (done_tac));
 188    ((((use_arg_then2 ("vw_in", [])) (disch_tac [])) THEN (clear_assumption "vw_in") THEN BETA_TAC) THEN ((((use_arg_then2 ("dart_of_fan_eq", [dart_of_fan_eq]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("IN_UNION", [IN_UNION]))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN ((THENL) case [(move ["vw_in1"]); ALL_TAC]));
 189    (((fun arg_tac -> (fun arg_tac -> (fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("Planarity.POINT_IN_CLOSURE_AFF_GT_1_2", [Planarity.POINT_IN_CLOSURE_AFF_GT_1_2])) (fun fst_arg -> (fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`vec 0`))) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("v", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("w", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (disch_tac [])) THEN BETA_TAC);
 190    ((((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("PAIR_IN_DART1_OF_FAN_IMP_NOT_EQ", [PAIR_IN_DART1_OF_FAN_IMP_NOT_EQ])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("vw_in1", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (repeat_tactic 1 9 (((use_arg_then2 ("n0", []))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] [])))))) THEN (simp_tac));
 191    ((((use_arg_then2 ("contraL", [contraL])) (disch_tac [])) THEN (clear_assumption "contraL") THEN (DISCH_THEN apply_tac) THEN (((conv_thm_tac DISCH_THEN)(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN ((((use_arg_then2 ("CLOSURE_EMPTY", [CLOSURE_EMPTY]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("NOT_IN_EMPTY", [NOT_IN_EMPTY]))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (done_tac));
 192    (((((use_arg_then2 ("IN_ELIM_THM", [IN_ELIM_THM]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (simp_tac) THEN (((use_arg_then2 ("PAIR_EQ", [PAIR_EQ]))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN ALL_TAC THEN (case THEN (move ["x"])) THEN (case THEN (move ["_"])) THEN (case THEN ((((conv_thm_tac DISCH_THEN)(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (((conv_thm_tac DISCH_THEN)(thm_tac (new_rewrite [] [])))))));
 193    ((((use_arg_then2 ("set_vv_eq_v", [set_vv_eq_v]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("AFF_GT_1_1", [AFF_GT_1_1]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (repeat_tactic 0 10 (((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_theorem (GEN_ALL Local_lemmas.DISJOINT_DOUBLE_SING)))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (repeat_tactic 0 10 (((use_arg_then2 ("n0", []))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] [])))))) THEN ((TRY done_tac)));
 194    ((((use_arg_then2 ("MEMBER_NOT_EMPTY", [MEMBER_NOT_EMPTY]))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (((use_arg_then2 ("inE", [inE]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))));
 195    (((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`#0.5 % v`))) (term_tac exists_tac)) THEN ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`#0.5`))) (term_tac exists_tac)) THEN ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`#0.5`))) (term_tac exists_tac)));
 196    ((THENL_FIRST) ((((use_arg_then2 ("andbA", [andbA]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (split_tac)) ((arith_tac) THEN (done_tac)));
 197    ((VECTOR_ARITH_TAC) THEN (done_tac));
 198 ];;
 199
 200 (* Lemma tau_fun_local *)
 201 let tau_fun_local = Sections.section_proof ["f"]
 202 `f IN face_set (hypermap_of_fan (V,E))
 203         ==> tau_fun (v_prime V f) (e_prime E f) f = tau_fun V E f`
 204 [
 205    ((BETA_TAC THEN (move ["f_in"])) THEN (((use_arg_then2 ("f_in", [])) (disch_tac [])) THEN (DISCH_THEN (fun snd_th -> (use_arg_then2 ("lemma_face_representation", [lemma_face_representation])) (thm_tac (match_mp_then snd_th MP_TAC)))) THEN BETA_TAC THEN (case THEN (case THEN ((move ["v"]) THEN (move ["w"])))) THEN (case THEN (move ["vw_in"])) THEN (move ["f_eq"])));
 206    ((repeat_tactic 1 9 (((use_arg_then2 ("tau_fun", [tau_fun]))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (repeat_tactic 1 9 (((use_arg_then2 ("real_sub", [real_sub]))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (((use_arg_then2 ("REAL_EQ_ADD_RCANCEL", [REAL_EQ_ADD_RCANCEL]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))));
 207    (((use_arg_then2 ("SUM_EQ", [SUM_EQ])) (thm_tac apply_tac)) THEN (move ["d"]) THEN (move ["d_in"]) THEN (simp_tac));
 208    ((((fun arg_tac -> (fun arg_tac -> (fun arg_tac -> arg_tac (Arg_theorem (GEN_ALL Lvducxu.AZIM_IN_FAN_EQ_IZIM_E_PRIME))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("fanV", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun fst_arg -> (fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`v,w`))) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN ((TRY done_tac)));
 209    ((((use_arg_then2 ("hypermap_HYP_elim", [hypermap_HYP_elim]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (done_tac));
 210 ];;
 211
 212 (* Lemma v_prime_eq *)
 213 let v_prime_eq = Sections.section_proof ["d";"k"]
 214 `d IN darts_k k (hypermap_of_fan (V,E))
 215         ==> v_prime V (face (hypermap_of_fan (V,E)) d)
 216                 = {FST ((f_fan_pair_ext (V,E) POWER i) d) | i < k}`
 217 [
 218    ((((use_arg_then2 ("EXTENSION", [EXTENSION]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (move ["d_in_k"]) THEN (move ["x"]));
 219    ((((use_arg_then2 ("d_in_k", [])) (disch_tac [])) THEN BETA_TAC) THEN (((((use_arg_then2 ("darts_k", [darts_k]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("inE", [inE]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("dartH", []))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN ALL_TAC THEN (case THEN (move ["d_in"])) THEN (move ["card_f"])));
 220    ((((use_arg_then2 ("v_prime", [v_prime]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("inE", [inE]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((fun arg_tac -> (fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("face_eq_power", [face_eq_power])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("fanV", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("d_in_k", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (repeat_tactic 1 9 (((use_arg_then2 ("IN_ELIM_THM", [IN_ELIM_THM]))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (simp_tac));
 221    ((THENL) (split_tac) [((case THEN (move ["xV"])) THEN (case THEN (move ["w"])) THEN (case THEN (move ["i"])) THEN (case THEN (move ["i_lt"])) THEN (move ["xw_eq"])); ((case THEN (move ["i"])) THEN (case THEN (move ["i_lt"])) THEN (move ["x_eq"]))]);
 222    (((use_arg_then2 ("i", [])) (term_tac exists_tac)) THEN (((use_arg_then2 ("xw_eq", []))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (done_tac));
 223    ((fun arg_tac -> (fun arg_tac -> (fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("f_fan_pair_ext_power_in_dart", [f_fan_pair_ext_power_in_dart])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("fanV", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("d_in", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("i", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun arg -> thm_tac MP_TAC arg THEN ALL_TAC));
 224    ((((use_arg_then2 ("pair_expand", [pair_expand]))(thm_tac (new_rewrite [1] [])))) THEN (DISCH_THEN (fun snd_th -> (fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("PAIR_IN_DART_OF_FAN", [PAIR_IN_DART_OF_FAN])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("fanV", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (thm_tac (match_mp_then snd_th MP_TAC)))));
 225    ((((use_arg_then2 ("x_eq", []))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (((conv_thm_tac DISCH_THEN)(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (simp_tac));
 226    (((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`SND ((f_fan_pair_ext (V,E) POWER i) d)`))) (term_tac exists_tac)) THEN ((use_arg_then2 ("i", [])) (term_tac exists_tac)));
 227    (((((use_arg_then2 ("x_eq", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("pair_expand", [pair_expand]))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] [])))))) THEN (done_tac));
 228 ];;
 229
 230 (* Lemma v_prime4_eq *)
 231 let v_prime4_eq = Sections.section_proof ["v";"w"]
 232 `let w' = sigma_fan (vec 0) V E v w in
 233                       let u = sigma_fan (vec 0) V E w' v in
 234         v,w IN darts_k 4 (hypermap_of_fan (V,E))
 235         ==> v_prime V (face (hypermap_of_fan (V,E)) (v,w))
 236                 = {v, w, u, w'}`
 237 [
 238    ((repeat_tactic 1 9 ((CONV_TAC let_CONV))) THEN (BETA_TAC THEN (move ["vw_in4"])));
 239    ((((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("v_prime_eq", [v_prime_eq])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("vw_in4", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_theorem (gen_FINITE_SET 4)))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("POWER_0", [POWER_0]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("POWER_1", [POWER_1]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("I_THM", [I_THM]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))));
 240    ((repeat_tactic 1 9 (((fun arg_tac -> (fun arg_tac -> arg_tac (Arg_theorem (let_RULE face4_eq))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("vw_in4", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (done_tac));
 241 ];;
 242
 243 (* Lemma v_prime5_eq *)
 244 let v_prime5_eq = Sections.section_proof ["v";"w"]
 245 `let w' = sigma_fan (vec 0) V E v w in
 246                    let u = sigma_fan (vec 0) V E w' v in
 247                    let z = sigma_fan (vec 0) V E u w' in
 248         v,w IN darts_k 5 (hypermap_of_fan (V,E))
 249         ==> v_prime V (face (hypermap_of_fan (V,E)) (v,w))
 250                 = {v, w, z, u, w'}`
 251 [
 252    ((repeat_tactic 1 9 ((CONV_TAC let_CONV))) THEN (BETA_TAC THEN (move ["vw_in5"])));
 253    ((((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("v_prime_eq", [v_prime_eq])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("vw_in5", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_theorem (gen_FINITE_SET 5)))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("POWER_0", [POWER_0]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("POWER_1", [POWER_1]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("I_THM", [I_THM]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))));
 254    ((repeat_tactic 1 9 (((fun arg_tac -> (fun arg_tac -> arg_tac (Arg_theorem (let_RULE face5_eq))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("vw_in5", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (done_tac));
 255 ];;
 256
 257 (* Lemma quad_diags_imp *)
 258 let quad_diags_imp = Sections.section_proof ["v";"w";"a";"b"]
 259 `let f = face (hypermap_of_fan (V,E)) (v,w) in
 260          let w' = sigma_fan (vec 0) V E v w in
 261          let u = sigma_fan (vec 0) V E w' v in
 262         v,w IN darts_k 4 (hypermap_of_fan (V,E))
 263         /\ ~(a = b) /\ a IN v_prime V f /\ b IN v_prime V f
 264         /\ ~({a,b} IN e_prime E f)
 265         ==> ((a,b) = (w, w') \/ (a,b) = (w',w)) \/ ((a,b) = (v,u) \/ (a,b) = (u,v))`
 266 [
 267    ((repeat_tactic 1 9 ((CONV_TAC let_CONV))) THEN (BETA_TAC THEN (case THEN (move ["vw_in4"])) THEN (case THEN (move ["a_neq_b"]))));
 268    ((((fun arg_tac -> (fun arg_tac -> arg_tac (Arg_theorem (let_RULE v_prime4_eq))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("vw_in4", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (repeat_tactic 1 9 (((fun arg_tac ->(use_arg_then2 ("IN_SING", [IN_SING]))(fun tmp_arg1 -> (use_arg_then2 ("IN_INSERT", [IN_INSERT]))(fun tmp_arg2 -> arg_tac (Arg_theorem (CONJ (get_arg_thm tmp_arg1) (get_arg_thm tmp_arg2))))))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (((use_arg_then2 ("in_e_prime", [in_e_prime]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))));
 269    ((fun arg_tac -> (fun arg_tac -> (fun arg_tac -> arg_tac (Arg_theorem (let_RULE face4_eq))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("vw_in4", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("fanV", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun arg -> thm_tac MP_TAC arg THEN (case THEN ((move ["f_eqs"]) THEN (case THEN (move ["in_darts"])) THEN (move ["face_eq"])))));
 270    ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`face _ (v,w)`))) (term_tac (set_tac "f")));
 271    ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`sigma_fan _ V E v w`))) (term_tac (set_tac "w'")));
 272    ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`sigma_fan _ V E w' v`))) (term_tac (set_tac "u")));
 273    (BETA_TAC THEN (case THEN (move ["a_conds"])) THEN (case THEN (move ["b_conds"])));
 274    (((use_arg_then2 ("a_neq_b", [])) (disch_tac [])) THEN (clear_assumption "a_neq_b") THEN ((use_arg_then2 ("b_conds", [])) (disch_tac [])) THEN (clear_assumption "b_conds") THEN ((use_arg_then2 ("a_conds", [])) (disch_tac [])) THEN (clear_assumption "a_conds") THEN BETA_TAC);
 275    ((((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("inE_eq_in_dart1", [inE_eq_in_dart1])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("V", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("face_eq", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (repeat_tactic 1 9 (((fun arg_tac ->(use_arg_then2 ("IN_SING", [IN_SING]))(fun tmp_arg1 -> (use_arg_then2 ("IN_INSERT", [IN_INSERT]))(fun tmp_arg2 -> arg_tac (Arg_theorem (CONJ (get_arg_thm tmp_arg1) (get_arg_thm tmp_arg2))))))(thm_tac (new_rewrite [] []))))));
 276    ((repeat_tactic 1 9 (case)) THEN (BETA_TAC THEN (((conv_thm_tac DISCH_THEN)(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (repeat_tactic 1 9 (case)) THEN (BETA_TAC THEN (((conv_thm_tac DISCH_THEN)(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((simp_tac THEN TRY done_tac))) THEN (((use_arg_then2 ("dart1_switch", [dart1_switch]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (done_tac));
 277 ];;
 278
 279 (* Lemma pent_diags_imp *)
 280 let pent_diags_imp = Sections.section_proof ["v";"w";"a";"b"]
 281 `let f = face (hypermap_of_fan (V,E)) (v,w) in
 282          let w' = sigma_fan (vec 0) V E v w in
 283          let u = sigma_fan (vec 0) V E w' v in
 284          let z = sigma_fan (vec 0) V E u w' in
 285         v,w IN darts_k 5 (hypermap_of_fan (V,E))
 286         /\ ~(a = b) /\ a IN v_prime V f /\ b IN v_prime V f
 287         /\ ~({a,b} IN e_prime E f)
 288         ==> ((a,b) = (w, w') \/ (a,b) = (w',w))
 289                 \/ ((a,b) = (z,v) \/ (a,b) = (v,z))
 290                 \/ ((a,b) = (u,w) \/ (a,b) = (w,u))
 291                 \/ ((a,b) = (w',z) \/ (a,b) = (z,w'))
 292                 \/ ((a,b) = (v,u) \/ (a,b) = (u,v))`
 293 [
 294    ((repeat_tactic 1 9 ((CONV_TAC let_CONV))) THEN (BETA_TAC THEN (case THEN (move ["vw_in5"])) THEN (case THEN (move ["a_neq_b"]))));
 295    ((((fun arg_tac -> (fun arg_tac -> arg_tac (Arg_theorem (let_RULE v_prime5_eq))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("vw_in5", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (repeat_tactic 1 9 (((fun arg_tac ->(use_arg_then2 ("IN_SING", [IN_SING]))(fun tmp_arg1 -> (use_arg_then2 ("IN_INSERT", [IN_INSERT]))(fun tmp_arg2 -> arg_tac (Arg_theorem (CONJ (get_arg_thm tmp_arg1) (get_arg_thm tmp_arg2))))))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (((use_arg_then2 ("in_e_prime", [in_e_prime]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))));
 296    ((fun arg_tac -> (fun arg_tac -> (fun arg_tac -> arg_tac (Arg_theorem (let_RULE face5_eq))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("vw_in5", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("fanV", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun arg -> thm_tac MP_TAC arg THEN (case THEN ((move ["f_eqs"]) THEN (case THEN (move ["in_darts"])) THEN (move ["face_eq"])))));
 297    ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`face _ (v,w)`))) (term_tac (set_tac "f")));
 298    ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`sigma_fan _ V E v w`))) (term_tac (set_tac "w'")));
 299    ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`sigma_fan _ V E w' v`))) (term_tac (set_tac "u")));
 300    ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`sigma_fan _ V E u w'`))) (term_tac (set_tac "z")));
 301    (BETA_TAC THEN (case THEN (move ["a_conds"])) THEN (case THEN (move ["b_conds"])));
 302    (((use_arg_then2 ("a_neq_b", [])) (disch_tac [])) THEN (clear_assumption "a_neq_b") THEN ((use_arg_then2 ("b_conds", [])) (disch_tac [])) THEN (clear_assumption "b_conds") THEN ((use_arg_then2 ("a_conds", [])) (disch_tac [])) THEN (clear_assumption "a_conds") THEN BETA_TAC);
 303    ((((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("inE_eq_in_dart1", [inE_eq_in_dart1])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("V", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("face_eq", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (repeat_tactic 1 9 (((fun arg_tac ->(use_arg_then2 ("IN_SING", [IN_SING]))(fun tmp_arg1 -> (use_arg_then2 ("IN_INSERT", [IN_INSERT]))(fun tmp_arg2 -> arg_tac (Arg_theorem (CONJ (get_arg_thm tmp_arg1) (get_arg_thm tmp_arg2))))))(thm_tac (new_rewrite [] []))))));
 304    ((repeat_tactic 1 9 (case)) THEN (BETA_TAC THEN (((conv_thm_tac DISCH_THEN)(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (repeat_tactic 1 9 (case)) THEN (BETA_TAC THEN (((conv_thm_tac DISCH_THEN)(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((simp_tac THEN TRY done_tac))) THEN (((use_arg_then2 ("dart1_switch", [dart1_switch]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (done_tac));
 305 ];;
 306
 307 (* Lemma e_fan_pair_eq_f_fan_pair *)
 308 let e_fan_pair_eq_f_fan_pair = Sections.section_proof ["v";"w"]
 309 `simple_hypermap (hypermap_of_fan (V,E))
 310         /\ v, w IN dart_of_fan (V,E)
 311         /\ w, v IN face (hypermap_of_fan (V,E)) (v,w)
 312         ==> f_fan_pair_ext (V,E) (v,w) = (w,v)`
 313 [
 314    (BETA_TAC THEN (case THEN (move ["simpleH"])) THEN (case THEN (move ["vw_in"])) THEN (move ["wv_in_f"]));
 315    (((fun arg_tac -> (fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("HYPERMAP_OF_FAN_FACE_NODE_INJ", [HYPERMAP_OF_FAN_FACE_NODE_INJ])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("simpleH", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("fanV", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (disch_tac [])) THEN (DISCH_THEN apply_tac));
 316    ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`face (hypermap_of_fan (V,E)) (v,w)`))) (term_tac exists_tac));
 317    ((((use_arg_then2 ("lemma_in_face_set", [lemma_in_face_set]))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (((use_arg_then2 ("dartH", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("vw_in", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("wv_in_f", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (repeat_tactic 1 9 (((use_arg_then2 ("andTb", [andTb]))(thm_tac (new_rewrite [] []))))));
 318    ((((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("COMPONENTS_HYPERMAP_OF_FAN", [COMPONENTS_HYPERMAP_OF_FAN])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("fanV", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [1] []))))) THEN (((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("POWER_1", [POWER_1])) (fun fst_arg -> (fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`face_map _`))) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (((use_arg_then2 ("lemma_in_face", [lemma_in_face]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("andTb", [andTb]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))));
 319    ((((use_arg_then2 ("vw_in", [])) (disch_tac [])) THEN (clear_assumption "vw_in") THEN BETA_TAC) THEN ((((use_arg_then2 ("dart_of_fan_eq", [dart_of_fan_eq]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("IN_UNION", [IN_UNION]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("f_fan_pair_ext", [f_fan_pair_ext]))(thm_tac (new_rewrite [] []))))));
 320    ((THENL_FIRST) (((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`v,w IN _1`))) (disch_eq_tac "vw_in1" [])) THEN case THEN (simp_tac) THEN (process_fst_eq_tac)) ((((use_arg_then2 ("f_fan_pair", [f_fan_pair]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (done_tac)));
 321    (((((use_arg_then2 ("IN_ELIM_THM", [IN_ELIM_THM]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (simp_tac) THEN (case THEN (move ["u"]))) THEN ((((use_arg_then2 ("PAIR_EQ", [PAIR_EQ]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ALL_TAC THEN (case THEN (move ["_"])) THEN (case THEN ((((conv_thm_tac DISCH_THEN)(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((conv_thm_tac DISCH_THEN)(thm_tac (new_rewrite [] []))))))) THEN (done_tac));
 322 ];;
 323
 324 (* Lemma linear_face_simple_hyp *)
 325 let linear_face_simple_hyp = Sections.section_proof ["v";"w"]
 326 `simple_hypermap (hypermap_of_fan (V,E))
 327         /\ v,w IN dart_of_fan (V,E)
 328         /\ w,v IN face (hypermap_of_fan (V,E)) (v,w)
 329         ==> CARD (face (hypermap_of_fan (V,E)) (v,w)) <= 2`
 330 [
 331    (BETA_TAC THEN (case THEN (move ["simpleH"])) THEN (case THEN (move ["vw_in"])) THEN (move ["wv_in_f"]));
 332    ((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("COMPONENTS_HYPERMAP_OF_FAN", [COMPONENTS_HYPERMAP_OF_FAN])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("fanV", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun arg -> thm_tac MP_TAC arg THEN (case THEN ((move ["_"]) THEN (case THEN (move ["_"])) THEN (case THEN (move ["_"])) THEN (move ["fH"])))));
 333    ((THENL_FIRST) (((((use_arg_then2 ("face", [face]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("card_orbit_le", [card_orbit_le]))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (split_tac)) ((arith_tac) THEN (done_tac)));
 334    ((((use_arg_then2 ("POWER_2", [POWER_2]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("o_THM", [o_THM]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("fH", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("e_fan_pair_eq_f_fan_pair", [e_fan_pair_eq_f_fan_pair]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((use_arg_then2 ("e_fan_pair_eq_f_fan_pair", [e_fan_pair_eq_f_fan_pair]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)));
 335    ((((use_arg_then2 ("simpleH", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("dartH", []))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("in_face_imp_in_dart", [in_face_imp_in_dart])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("wv_in_f", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)));
 336    (((((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("lemma_face_identity", [lemma_face_identity])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("wv_in_f", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (((use_arg_then2 ("face_refl", [face_refl]))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (done_tac));
 337 ];;
 338
 339 (* Section BallAnnulus *)
 340 Sections.begin_section "BallAnnulus";;
 341 (Sections.add_section_hyp "subV" (`V SUBSET ball_annulus`));;
 342
 343 (* Let norm_inV *)
 344 Sections.add_section_lemma "norm_inV" (Sections.section_proof ["v"]
 345 `v IN V ==> &2 <= norm v /\ norm v <= &2 * h0`
 346 [
 347    ((in_tac ["subV"] false (((use_arg_then2 ("SUBSET", [SUBSET]))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN ((DISCH_THEN (fun snd_th -> (use_arg_then2 ("subV", [])) (thm_tac (match_mp_then snd_th MP_TAC)))) THEN BETA_TAC) THEN (((use_arg_then2 ("Fnjlbxs.in_ball_annulus", [Fnjlbxs.in_ball_annulus]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (done_tac));
 348 ]);;
 349
 350 (* Lemma tau_fun_eq_tauVEF *)
 351 let tau_fun_eq_tauVEF = Sections.section_proof ["f"]
 352 `f IN face_set (hypermap_of_fan (V,E)) /\ 2 <= CARD f
 353         ==> tau_fun V E f = tauVEF (V,E,f)`
 354 [
 355    (((((use_arg_then2 ("tau_fun", [tau_fun]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("tauVEF", [tauVEF]))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN ALL_TAC THEN (case THEN ((move ["f_in"]) THEN (move ["card_f"]))));
 356    ((((use_arg_then2 ("REAL_OF_NUM_SUB", [REAL_OF_NUM_SUB]))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((use_arg_then2 ("real_sub", [real_sub]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("REAL_MUL_RNEG", [REAL_MUL_RNEG]))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (((use_arg_then2 ("REAL_NEG_SUB", [REAL_NEG_SUB]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("REAL_EQ_ADD_RCANCEL", [REAL_EQ_ADD_RCANCEL]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))));
 357    (((use_arg_then2 ("SUM_EQ", [SUM_EQ])) (thm_tac apply_tac)) THEN (move ["d"]) THEN (move ["d_in_f"]) THEN (simp_tac));
 358    ((THENL_FIRST) ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`d IN dart_of_fan (V,E)`))) (term_tac (have_gen_tac [](move ["d_in"])))) (((((use_arg_then2 ("dartH", []))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("in_face_imp_in_dart_alt", [in_face_imp_in_dart_alt])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("d_in_f", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (done_tac)));
 359    ((((use_arg_then2 ("rho_rho_fun", [rho_rho_fun]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("azim_in_fan_eq_azim_dart", [azim_in_fan_eq_azim_dart])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("fanV", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)));
 360    ((((use_arg_then2 ("Sphere.rho", [Sphere.rho]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("ly_EQ_lmfun", [ly_EQ_lmfun]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (repeat_tactic 0 10 (((use_arg_then2 ("norm_inV", []))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (repeat_tactic 0 10 (((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("in_dart_inV", [])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("d_in", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN ((TRY done_tac)));
 361    ((((use_arg_then2 ("sol0_over_pi_EQ_const1", [sol0_over_pi_EQ_const1]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (arith_tac) THEN (done_tac));
 362 ];;
 363
 364 (* Finalization of the section BallAnnulus *)
 365 let tau_fun_eq_tauVEF = Sections.finalize_theorem tau_fun_eq_tauVEF;;
 366 Sections.end_section "BallAnnulus";;
 367
 368 (* Finalization of the section Fan *)
 369 let fan_aff_gt_1_2_not_empty = Sections.finalize_theorem fan_aff_gt_1_2_not_empty;;
 370 let tau_fun_local = Sections.finalize_theorem tau_fun_local;;
 371 let v_prime_eq = Sections.finalize_theorem v_prime_eq;;
 372 let v_prime4_eq = Sections.finalize_theorem v_prime4_eq;;
 373 let v_prime5_eq = Sections.finalize_theorem v_prime5_eq;;
 374 let quad_diags_imp = Sections.finalize_theorem quad_diags_imp;;
 375 let pent_diags_imp = Sections.finalize_theorem pent_diags_imp;;
 376 let e_fan_pair_eq_f_fan_pair = Sections.finalize_theorem e_fan_pair_eq_f_fan_pair;;
 377 let linear_face_simple_hyp = Sections.finalize_theorem linear_face_simple_hyp;;
 378 let tau_fun_eq_tauVEF = Sections.finalize_theorem tau_fun_eq_tauVEF;;
 379 Sections.end_section "Fan";;
 380
 381 (* Section FullySurrounded *)
 382 Sections.begin_section "FullySurrounded";;
 383 (Sections.add_section_var (mk_var ("V", (`:real^3->bool`))));;
 384 (Sections.add_section_var (mk_var ("E", (`:(real^3->bool)->bool`))));;
 385 (Sections.add_section_hyp "fanV" (`FAN (vec 0,V,E)`));;
 386 (Sections.add_section_hyp "f_surr" (`fully_surrounded (V,E)`));;
 387
 388 (* Let dartH *)
 389 Sections.add_section_lemma "dartH" (Sections.section_proof []
 390 `dart (hypermap_of_fan (V,E)) = dart_of_fan (V,E)`
 391 [
 392    ((((use_arg_then2 ("COMPONENTS_HYPERMAP_OF_FAN", [COMPONENTS_HYPERMAP_OF_FAN]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (done_tac));
 393 ]);;
 394
 395 (* Let dart1_eq *)
 396 Sections.add_section_lemma "dart1_eq" (Sections.section_proof []
 397 `dart1_of_fan (V,E) = dart_of_fan (V,E)`
 398 [
 399    ((((use_arg_then2 ("fully_surrounded_dart_of_fan_eq", [fully_surrounded_dart_of_fan_eq]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (done_tac));
 400 ]);;
 401
 402 (* Lemma f_surr_in_e_prime *)
 403 let f_surr_in_e_prime = Sections.section_proof ["f";"v";"w"]
 404 `f IN face_set (hypermap_of_fan (V,E))
 405         ==> ({v,w} IN e_prime E f <=> (v,w IN f \/ w,v IN f))`
 406 [
 407    (((((use_arg_then2 ("in_e_prime", [in_e_prime]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (move ["f_in"])) THEN (((THENL) (split_tac) [(((conv_thm_tac DISCH_THEN)(thm_tac (new_rewrite [] [])))); ALL_TAC]) THEN ((TRY done_tac))));
 408    ((((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("inE_eq_in_dart1", [inE_eq_in_dart1])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("V", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("dart1_eq", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))));
 409    ((BETA_TAC THEN (move ["h"])) THEN ((((use_arg_then2 ("h", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("andbT", [andbT]))(thm_tac (new_rewrite [] []))))));
 410    (((use_arg_then2 ("f_in", [])) (disch_tac [])) THEN (clear_assumption "f_in") THEN (DISCH_THEN (fun snd_th -> (use_arg_then2 ("lemma_face_representation", [lemma_face_representation])) (thm_tac (match_mp_then snd_th MP_TAC)))) THEN BETA_TAC THEN (case THEN (move ["d"])) THEN (case THEN (move ["d_in"])) THEN (move ["f_eq"]));
 411    (((THENL) (((use_arg_then2 ("h", [])) (disch_tac [])) THEN (clear_assumption "h") THEN case) [(ALL_TAC); (((use_arg_then2 ("dart_switch", [dart_switch]))(thm_tac (new_rewrite [] []))))]) THEN (((((use_arg_then2 ("dartH", []))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (((use_arg_then2 ("f_eq", []))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (DISCH_THEN (fun snd_th -> (use_arg_then2 ("in_face_imp_in_dart", [in_face_imp_in_dart])) (thm_tac (match_mp_then snd_th MP_TAC))))) THEN (DISCH_THEN apply_tac) THEN (done_tac));
 412 ];;
 413
 414 (* Lemma diag_not_in_dart *)
 415 let diag_not_in_dart = Sections.section_proof ["a";"b";"f"]
 416 `f IN face_set (hypermap_of_fan (V,E))
 417         /\ a IN v_prime V f /\ b IN v_prime V f /\
 418         ~(a,b IN f) /\ ~(b,a IN f)
 419         ==> ~(a,b IN dart_of_fan (V,E))`
 420 [
 421    (BETA_TAC THEN (case THEN (DISCH_THEN (fun snd_th -> (use_arg_then2 ("lemma_face_representation", [lemma_face_representation])) (thm_tac (match_mp_then snd_th MP_TAC))))) THEN (case THEN (case THEN ((move ["v"]) THEN (move ["w"])))));
 422    ((((use_arg_then2 ("dartH", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ALL_TAC THEN (case THEN (move ["vw_in"])) THEN (move ["f_eq"]));
 423    (((((use_arg_then2 ("v_prime", [v_prime]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (repeat_tactic 1 9 (((use_arg_then2 ("inE", [inE]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))))) THEN ALL_TAC THEN (case THEN (move ["a_in"])) THEN (case THEN (move ["b_in"])) THEN (move ["not_in_f"]));
 424    ((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("fan_hypermaps_iso_explicit2", [fan_hypermaps_iso_explicit2])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("fanV", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun arg -> thm_tac MP_TAC arg THEN ALL_TAC));
 425    ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`ext_dart _`))) (term_tac (set_tac "h")));
 426    ((((use_arg_then2 ("implybF", [implybF]))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (move ["h_iso"]) THEN (move ["ab_in"]));
 427    ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`~(aff_gt {vec 0} {a,b} INTER xfan (vec 0,V,E) = {})`))) (term_tac (have_gen_tac []ALL_TAC)));
 428    ((((use_arg_then2 ("Vol1.subset_inter", [Vol1.subset_inter]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (repeat_tactic 0 10 (((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("fan_aff_gt_1_2_not_empty", [fan_aff_gt_1_2_not_empty])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("fanV", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN ((TRY done_tac)));
 429    ((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("SUBSET_TRANS", [SUBSET_TRANS])) (fun fst_arg -> (fun arg_tac -> (fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("AFF_GT_SUBSET_AFF_GE", [AFF_GT_SUBSET_AFF_GE])) (fun fst_arg -> (fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`{vec 0}`))) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun fst_arg -> (fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`{a,b}`))) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (thm_tac apply_tac));
 430    (((((use_arg_then2 ("Planarity.AFF_GE_SUBSET_XFAN", [Planarity.AFF_GE_SUBSET_XFAN]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("inE_eq_in_dart1", [inE_eq_in_dart1])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("V", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("dart1_eq", []))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (done_tac));
 431    ((((use_arg_then2 ("implybF", [implybF]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("negbK", [negbK]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))));
 432    (((THENL_ROT 1)) ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`aff_gt {vec 0} {a,b} SUBSET dart_leads_into (vec 0) V E v w`))) (term_tac (have_gen_tac []ALL_TAC))));
 433    ((DISCH_THEN (fun snd_th -> (use_arg_then2 ("SUBSET_TRANS", [SUBSET_TRANS])) (thm_tac (match_mp_then snd_th MP_TAC)))) THEN BETA_TAC THEN ((fun arg_tac ->  (conv_thm_tac DISCH_THEN)  (fun fst_arg -> (fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`yfan (vec 0,V,E)`))) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (thm_tac MP_TAC)));
 434    ((((use_arg_then2 ("Planarity.topological_component_subset_yfan", [Planarity.topological_component_subset_yfan]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (simp_tac));
 435    (((use_arg_then2 ("Topology.dart_leads_into_fan_in_topological_component_yfan", [Topology.dart_leads_into_fan_in_topological_component_yfan]))(thm_tac (new_rewrite [] []))));
 436    (((((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("inE_eq_in_dart1", [inE_eq_in_dart1])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("V", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("dart1_eq", []))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (done_tac));
 437    (((((use_arg_then2 ("yfan", [yfan]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("SUBSET", [SUBSET]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("IN_DIFF", [IN_DIFF]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("IN_UNIV", [IN_UNIV]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("andTb", [andTb]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("EXTENSION", [EXTENSION]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("NOT_IN_EMPTY", [NOT_IN_EMPTY]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (simp_tac)) THEN (move ["h"]) THEN (move ["x"]));
 438    ((((use_arg_then2 ("IN_INTER", [IN_INTER]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("negb_and", [negb_and]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))));
 439    ((((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`x IN _`))) (disch_eq_tac "x_in" [])) THEN case THEN (simp_tac) THEN (process_fst_eq_tac)) THEN (((use_arg_then2 ("h", [])) (disch_tac [])) THEN (clear_assumption "h") THEN (exact_tac)) THEN (done_tac));
 440    (((use_arg_then2 ("a_in", [])) (disch_tac [])) THEN (clear_assumption "a_in") THEN ((use_arg_then2 ("b_in", [])) (disch_tac [])) THEN (clear_assumption "b_in") THEN BETA_TAC THEN (case THEN (move ["bV"])) THEN (case THEN (move ["b'"])) THEN (move ["bb'_in_f"]) THEN (case THEN (move ["aV"])) THEN (case THEN (move ["a'"])) THEN (move ["aa'_in_f"]));
 441    ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`a,a' IN dart_of_fan (V,E) /\ b,b' IN dart_of_fan (V,E)`))) (term_tac (have_gen_tac [](case THEN ((move ["aa'_in"]) THEN (move ["bb'_in"]))))));
 442    ((((use_arg_then2 ("vw_in", [])) (disch_tac [])) THEN (clear_assumption "vw_in") THEN BETA_TAC) THEN ((((use_arg_then2 ("dartH", []))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (move ["vw_in"])));
 443    (((repeat_tactic 1 9 (((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("in_face_imp_in_dart", [in_face_imp_in_dart])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("vw_in", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((use_arg_then2 ("f_eq", []))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] [])))))) THEN (done_tac));
 444    (((fun arg_tac -> (fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("fully_surrounded_imp_conforming", [fully_surrounded_imp_conforming])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("f_surr", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("fanV", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (disch_tac [])) THEN BETA_TAC);
 445    ((((use_arg_then2 ("Conforming.conforming_fan", [Conforming.conforming_fan]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("Conforming.conforming_diagonal_fan", [Conforming.conforming_diagonal_fan]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))));
 446    ((BETA_TAC THEN (case THEN (move ["_"])) THEN (case THEN (move ["_"])) THEN (case THEN (move ["_"])) THEN (case THEN (move ["_"])) THEN (case THEN (move ["_"])) THEN ((fun arg_tac -> (fun arg_tac -> (fun arg_tac ->  (conv_thm_tac DISCH_THEN)  (fun fst_arg -> (fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`IMAGE h f`))) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun fst_arg -> (fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`h (a,a')`))) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun fst_arg -> (fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`h (b,b')`))) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (thm_tac MP_TAC))) THEN (ANTS_TAC));
 447    ((((use_arg_then2 ("f_eq", []))(thm_tac (new_rewrite [1] [])))) THEN (((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("iso_components", [iso_components])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("h_iso", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((use_arg_then2 ("lemma_in_face_set", [lemma_in_face_set]))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))));
 448    ((((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("hyp_iso_dart", [hyp_iso_dart])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("h_iso", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (repeat_tactic 1 9 (((use_arg_then2 ("IN_IMAGE", [IN_IMAGE]))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (((use_arg_then2 ("andTb", [andTb]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))));
 449    ((THENL_FIRST) (split_tac) (((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`a,a'`))) (term_tac exists_tac)) THEN (done_tac)));
 450    ((THENL_FIRST) (split_tac) (((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`b,b'`))) (term_tac exists_tac)) THEN (done_tac)));
 451    ((((use_arg_then2 ("ab_in", [])) (disch_tac [])) THEN BETA_TAC) THEN ((((use_arg_then2 ("dart1_eq", []))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (DISCH_THEN (fun snd_th -> (fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("PAIR_IN_DART1_OF_FAN_IMP_NOT_EQ", [PAIR_IN_DART1_OF_FAN_IMP_NOT_EQ])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("fanV", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (thm_tac (match_mp_then snd_th MP_TAC))))));
 452    ((((use_arg_then2 ("contra", [contra])) (disch_tac [])) THEN (clear_assumption "contra") THEN (DISCH_THEN apply_tac) THEN (DISCH_THEN (fun snd_th -> (fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("hyp_iso_inj", [hyp_iso_inj])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("h_iso", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (thm_tac (match_mp_then snd_th MP_TAC))))) THEN ((((use_arg_then2 ("PAIR_EQ", [PAIR_EQ]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((conv_thm_tac DISCH_THEN)(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (done_tac));
 453    (BETA_TAC THEN (case THEN (move ["_"])));
 454    ((((use_arg_then2 ("h_def", []))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [2; 4] []))))) THEN (repeat_tactic 1 9 (((use_arg_then2 ("fan_map_ext", [fan_map_ext]))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((use_arg_then2 ("h_def", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))));
 455    case;
 456    (((DISCH_THEN (fun snd_th -> (fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("hyp_iso_inj", [hyp_iso_inj])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("h_iso", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (thm_tac (match_mp_then snd_th MP_TAC)))) THEN BETA_TAC) THEN (ANTS_TAC));
 457    (((((use_arg_then2 ("dartH", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("aa'_in", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("dart1_eq", []))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (((use_arg_then2 ("E_N_F_IN_DART1_OF_FAN", [E_N_F_IN_DART1_OF_FAN]))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (done_tac));
 458    (((((use_arg_then2 ("f_fan_pair", [f_fan_pair]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("PAIR_EQ", [PAIR_EQ]))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN ALL_TAC THEN (case THEN (move ["eq"])) THEN (move ["_"]));
 459    ((((use_arg_then2 ("not_in_f", [])) (disch_tac [])) THEN (clear_assumption "not_in_f") THEN ((use_arg_then2 ("bb'_in_f", [])) (disch_tac [])) THEN (clear_assumption "bb'_in_f") THEN BETA_TAC) THEN ((((use_arg_then2 ("eq", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((conv_thm_tac DISCH_THEN)(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (done_tac));
 460    case;
 461    (((DISCH_THEN (fun snd_th -> (fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("hyp_iso_inj", [hyp_iso_inj])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("h_iso", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (thm_tac (match_mp_then snd_th MP_TAC)))) THEN BETA_TAC) THEN (ANTS_TAC));
 462    (((((use_arg_then2 ("dartH", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("bb'_in", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("dart1_eq", []))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (((use_arg_then2 ("E_N_F_IN_DART1_OF_FAN", [E_N_F_IN_DART1_OF_FAN]))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (done_tac));
 463    (((((use_arg_then2 ("f_fan_pair", [f_fan_pair]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("PAIR_EQ", [PAIR_EQ]))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN ALL_TAC THEN (case THEN (move ["eq"])) THEN (move ["_"]));
 464    ((((use_arg_then2 ("not_in_f", [])) (disch_tac [])) THEN (clear_assumption "not_in_f") THEN ((use_arg_then2 ("aa'_in_f", [])) (disch_tac [])) THEN (clear_assumption "aa'_in_f") THEN BETA_TAC) THEN ((((use_arg_then2 ("eq", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((conv_thm_tac DISCH_THEN)(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (done_tac));
 465    (((((use_arg_then2 ("h_def", []))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (repeat_tactic 1 9 (((use_arg_then2 ("ext_dart", [ext_dart]))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (repeat_tactic 1 9 (((use_arg_then2 ("Fan.pr2", [Fan.pr2]))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (simp_tac) THEN (((use_arg_then2 ("f_eq", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("Tame_lemmas.dart_leads_into_eq1", [Tame_lemmas.dart_leads_into_eq1]))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] [])))))) THEN (done_tac));
 466 ];;
 467
 468 (* Lemma tauVEF_add_diag_eq *)
 469 let tauVEF_add_diag_eq = Sections.section_proof ["d";"f"]
 470 `d IN dart_of_fan (V,E)
 471         /\ f IN face_set (hypermap_of_fan (V, add_diag (V,E) d))
 472         /\ f IN face_set (hypermap_of_fan (V,E))
 473         ==> tauVEF (V, add_diag (V,E) d, f) = tauVEF (V, E, f)`
 474 [
 475    (((use_arg_then2 ("d", [])) (disch_tac [])) THEN (clear_assumption "d") THEN case THEN (move ["v"]) THEN (move ["w"]) THEN (case THEN (move ["vw_in"])) THEN (case THEN (move ["f_in2"])) THEN (move ["f_in"]));
 476    (((fun arg_tac -> (fun arg_tac -> (fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("fully_surrounded_card_face_alt", [fully_surrounded_card_face_alt])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("fanV", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("f_surr", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("vw_in", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (disch_tac [])) THEN case THEN (move ["card_f"]));
 477    ((((use_arg_then2 ("add_diag_eq_E", [add_diag_eq_E]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (done_tac));
 478    ((((use_arg_then2 ("add_diag", [add_diag]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("dart1_eq", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("vw_in", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (simp_tac) THEN (((fun arg_tac -> (fun arg_tac -> (fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("tau_split_fan_face_eq", [tau_split_fan_face_eq])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("fanV", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("f_surr", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("vw_in", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)));
 479    (((((use_arg_then2 ("IN_DELETE", [IN_DELETE]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("f_in", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("andTb", [andTb]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("implybF", [implybF]))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] [])))))) THEN (move ["f_eq"]));
 480    ((((use_arg_then2 ("f_in2", [])) (disch_tac [])) THEN (clear_assumption "f_in2") THEN BETA_TAC) THEN ((((use_arg_then2 ("f_eq", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_theorem (let_RULE faces_add_diag)))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac))));
 481    ((((use_arg_then2 ("IN_UNION", [IN_UNION]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("IN_DELETE", [IN_DELETE]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (simp_tac) THEN (((use_arg_then2 ("IN_INSERT", [IN_INSERT]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("IN_SING", [IN_SING]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))));
 482    ((fun arg_tac -> (fun arg_tac -> (fun arg_tac -> (fun arg_tac -> (fun arg_tac -> arg_tac (Arg_theorem (let_RULE face_split_fan_face_explicit))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("fanV", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("f_surr", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("vw_in", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("card_f", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun arg -> thm_tac MP_TAC arg THEN ALL_TAC));
 483    (((((use_arg_then2 ("split_fan_face_eq_add_diag", [split_fan_face_eq_add_diag]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac))) THEN ALL_TAC THEN (case THEN (move ["fs_eq"])) THEN (case THEN (move ["_"])) THEN (case THEN ALL_TAC) THEN (case THEN (move ["_"])) THEN (case THEN (move ["_"])) THEN (move ["n_in"]) THEN (move ["_"]));
 484    ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`sigma_fan _ V E v w`))) (term_tac (set_tac "w'")));
 485    ((THENL_ROT (-1)) (((repeat_tactic 1 9 (((use_arg_then2 ("fs_eq", []))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (((use_arg_then2 ("negb_or", [negb_or]))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (split_tac)));
 486    ((((use_arg_then2 ("n_in", [])) (disch_tac [])) THEN (clear_assumption "n_in") THEN ((use_arg_then2 ("contra", [contra])) (disch_tac [])) THEN (clear_assumption "contra") THEN (DISCH_THEN apply_tac) THEN (((conv_thm_tac DISCH_THEN)(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (((use_arg_then2 ("IN_INSERT", [IN_INSERT]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (done_tac));
 487    ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`~(w,w' IN face (hypermap_of_fan (V,E)) (v,w))`))) (term_tac (have_gen_tac []ALL_TAC)));
 488    ((fun arg_tac -> (fun arg_tac -> (fun arg_tac -> (fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("fully_surrounded_diag_not_in_dart", [fully_surrounded_diag_not_in_dart])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("fanV", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("f_surr", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("vw_in", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("card_f", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun arg -> thm_tac MP_TAC arg THEN ALL_TAC));
 489    ((((use_arg_then2 ("contra", [contra])) (disch_tac [])) THEN (clear_assumption "contra") THEN (DISCH_THEN apply_tac)) THEN (((((use_arg_then2 ("w'_def", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("dartH", []))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] [])))))) THEN (DISCH_THEN (fun snd_th -> (use_arg_then2 ("in_face_imp_in_dart", [in_face_imp_in_dart])) (thm_tac (match_mp_then snd_th MP_TAC)))) THEN (((conv_thm_tac DISCH_THEN)(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (done_tac));
 490    ((((use_arg_then2 ("contra", [contra])) (disch_tac [])) THEN (clear_assumption "contra") THEN (DISCH_THEN apply_tac) THEN (((conv_thm_tac DISCH_THEN)(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (repeat_tactic 1 9 (((use_arg_then2 ("IN_INSERT", [IN_INSERT]))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (done_tac));
 491 ];;
 492
 493 (* Lemma tau3_eq_tau_fun *)
 494 let tau3_eq_tau_fun = Sections.section_proof ["v";"w"]
 495 `(v,w) IN dart_of_fan (V,E)
 496         /\ CARD (face (hypermap_of_fan (V,E)) (v,w)) = 3
 497         ==> tau3 (sigma_fan (vec 0) V E v w) v w
 498                 = tau_fun V E (face (hypermap_of_fan (V,E)) (v,w))`
 499 [
 500    (BETA_TAC THEN (case THEN ((move ["vw_in"]) THEN (move ["card3"]))));
 501    ((((use_arg_then2 ("vw_in", [])) (disch_tac [])) THEN BETA_TAC) THEN ((((use_arg_then2 ("dart1_eq", []))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (move ["vw_in1"])));
 502    (((fun arg_tac -> (fun arg_tac -> (fun arg_tac -> (fun arg_tac -> arg_tac (Arg_theorem (let_RULE TRIANGULAR_FACE))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("fanV", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("vw_in1", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("card3", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun arg -> thm_tac MP_TAC arg THEN ALL_TAC)) THEN (move ["f_eq"]));
 503    ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`sigma_fan _ V E v w`))) (term_tac (set_tac "w'")));
 504    ((((use_arg_then2 ("tau_fun", [tau_fun]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("card3", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("f_eq", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))));
 505    ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`~(v = w) /\ ~(w = w')`))) (term_tac (have_gen_tac [](move ["neqs"]))));
 506    (((repeat_tactic 1 9 (((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("PAIR_IN_DART1_OF_FAN_IMP_NOT_EQ", [PAIR_IN_DART1_OF_FAN_IMP_NOT_EQ])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("fanV", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((use_arg_then2 ("w'_def", []))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (((use_arg_then2 ("f_fan_pair3", [f_fan_pair3]))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (done_tac));
 507    ((repeat_tactic 1 9 (((use_arg_then2 ("SUM_CLAUSES", [SUM_CLAUSES]))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (repeat_tactic 0 10 (((fun arg_tac ->(use_arg_then2 ("FINITE_INSERT", [FINITE_INSERT]))(fun tmp_arg1 -> (use_arg_then2 ("FINITE_EMPTY", [FINITE_EMPTY]))(fun tmp_arg2 -> arg_tac (Arg_theorem (CONJ (get_arg_thm tmp_arg1) (get_arg_thm tmp_arg2))))))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN ((TRY done_tac)));
 508    ((repeat_tactic 1 9 (((fun arg_tac ->(use_arg_then2 ("IN_INSERT", [IN_INSERT]))(fun tmp_arg1 -> (use_arg_then2 ("NOT_IN_EMPTY", [NOT_IN_EMPTY]))(fun tmp_arg2 -> arg_tac (Arg_theorem (CONJ (get_arg_thm tmp_arg1) (get_arg_thm tmp_arg2))))))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (repeat_tactic 1 9 (((use_arg_then2 ("PAIR_EQ", [PAIR_EQ]))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (repeat_tactic 1 9 (((use_arg_then2 ("neqs", []))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (simp_tac) THEN (((use_arg_then2 ("neqs", []))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (simp_tac));
 509    ((THENL_FIRST) ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`x * &(3 - 2) = x`))) (term_tac (have_gen_tac ["x"](((conv_thm_tac DISCH_THEN)(thm_tac (new_rewrite [] []))))))) ((arith_tac) THEN (done_tac)));
 510    ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`w,w' IN dart_of_fan (V,E) /\ w',v IN dart_of_fan (V,E)`))) (term_tac (have_gen_tac [](move ["in_dart"]))));
 511    (((((use_arg_then2 ("dart_of_fan_eq", [dart_of_fan_eq]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (repeat_tactic 1 9 (((use_arg_then2 ("IN_UNION", [IN_UNION]))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (((use_arg_then2 ("w'_def", []))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (((use_arg_then2 ("f_fan_pair3", [f_fan_pair3]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((simp_tac THEN TRY done_tac))) THEN (DISJ1_TAC));
 512    (((((use_arg_then2 ("dart1_switch", [dart1_switch]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("sigma_in_dart1", [sigma_in_dart1]))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (done_tac));
 513    ((repeat_tactic 1 9 (((use_arg_then2 ("rho_rho_fun", [rho_rho_fun]))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (repeat_tactic 1 9 (((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("azim_in_fan_eq_azim_dart", [azim_in_fan_eq_azim_dart])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("fanV", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN ((TRY done_tac)));
 514    ((((use_arg_then2 ("tau3", [tau3]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (repeat_tactic 1 9 (((use_arg_then2 ("azim_dart_eq_dihV", [azim_dart_eq_dihV]))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (repeat_tactic 1 9 (((use_arg_then2 ("f_eq", []))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (((use_arg_then2 ("w'_def", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))));
 515    ((arith_tac) THEN (done_tac));
 516 ];;
 517
 518 (* Section BallAnnulus *)
 519 Sections.begin_section "BallAnnulus";;
 520 (Sections.add_section_hyp "subV" (`V SUBSET ball_annulus`));;
 521
 522 (* Lemma f_surr_tau_fun_eq_tauVEF *)
 523 let f_surr_tau_fun_eq_tauVEF = Sections.section_proof ["f"]
 524 `f IN face_set (hypermap_of_fan (V,E))
 525         ==> tau_fun V E f = tauVEF (V,E,f)`
 526 [
 527    ((BETA_TAC THEN (move ["f_in"])) THEN ((((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("tau_fun_eq_tauVEF", [tau_fun_eq_tauVEF])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("fanV", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((use_arg_then2 ("subV", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("f_in", []))(thm_tac (new_rewrite [] []))))));
 528    ((((use_arg_then2 ("f_in", [])) (disch_tac [])) THEN (clear_assumption "f_in") THEN (DISCH_THEN (fun snd_th -> (use_arg_then2 ("lemma_face_representation", [lemma_face_representation])) (thm_tac (match_mp_then snd_th MP_TAC)))) THEN BETA_TAC THEN (case THEN (move ["x"]))) THEN ((((use_arg_then2 ("dartH", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ALL_TAC THEN (case THEN (move ["x_in"])) THEN (((conv_thm_tac DISCH_THEN)(thm_tac (new_rewrite [] []))))));
 529    ((((fun arg_tac -> (fun arg_tac -> (fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("FULLY_SURROUNDED_IMP_CARD_FACE_GE_3", [FULLY_SURROUNDED_IMP_CARD_FACE_GE_3])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("fanV", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("f_surr", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("x_in", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (disch_tac [])) THEN BETA_TAC) THEN (arith_tac) THEN (done_tac));
 530 ];;
 531
 532 (* Lemma f_surr_tau_fun_eq_tauVEF_alt *)
 533 let f_surr_tau_fun_eq_tauVEF_alt = Sections.section_proof ["d"]
 534 `d IN dart_of_fan (V,E)
 535         ==> tau_fun V E (face (hypermap_of_fan (V,E)) d)
 536                 = tauVEF (V,E,face (hypermap_of_fan (V,E)) d)`
 537 [
 538    ((((((use_arg_then2 ("dartH", []))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (((use_arg_then2 ("lemma_in_face_set", [lemma_in_face_set]))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (DISCH_THEN (fun snd_th -> (use_arg_then2 ("f_surr_tau_fun_eq_tauVEF", [f_surr_tau_fun_eq_tauVEF])) (thm_tac (match_mp_then snd_th MP_TAC))))) THEN (done_tac));
 539 ];;
 540
 541 (* Lemma f_surr_tau3_eq_tauVEF *)
 542 let f_surr_tau3_eq_tauVEF = Sections.section_proof ["v";"w"]
 543 `(v,w) IN dart_of_fan (V,E)
 544         /\ CARD (face (hypermap_of_fan (V,E)) (v,w)) = 3
 545         ==> tau3 (sigma_fan (vec 0) V E v w) v w
 546                 = tauVEF (V, E, face (hypermap_of_fan (V,E)) (v,w))`
 547 [
 548    ((BETA_TAC THEN (move ["h"])) THEN ((((use_arg_then2 ("tau3_eq_tau_fun", [tau3_eq_tau_fun]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((use_arg_then2 ("f_surr_tau_fun_eq_tauVEF_alt", [f_surr_tau_fun_eq_tauVEF_alt]))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (done_tac));
 549 ];;
 550
 551 (* Finalization of the section BallAnnulus *)
 552 let f_surr_tau_fun_eq_tauVEF = Sections.finalize_theorem f_surr_tau_fun_eq_tauVEF;;
 553 let f_surr_tau_fun_eq_tauVEF_alt = Sections.finalize_theorem f_surr_tau_fun_eq_tauVEF_alt;;
 554 let f_surr_tau3_eq_tauVEF = Sections.finalize_theorem f_surr_tau3_eq_tauVEF;;
 555 Sections.end_section "BallAnnulus";;
 556
 557 (* Finalization of the section FullySurrounded *)
 558 let f_surr_in_e_prime = Sections.finalize_theorem f_surr_in_e_prime;;
 559 let diag_not_in_dart = Sections.finalize_theorem diag_not_in_dart;;
 560 let tauVEF_add_diag_eq = Sections.finalize_theorem tauVEF_add_diag_eq;;
 561 let tau3_eq_tau_fun = Sections.finalize_theorem tau3_eq_tau_fun;;
 562 let f_surr_tau_fun_eq_tauVEF = Sections.finalize_theorem f_surr_tau_fun_eq_tauVEF;;
 563 let f_surr_tau_fun_eq_tauVEF_alt = Sections.finalize_theorem f_surr_tau_fun_eq_tauVEF_alt;;
 564 let f_surr_tau3_eq_tauVEF = Sections.finalize_theorem f_surr_tau3_eq_tauVEF;;
 565 Sections.end_section "FullySurrounded";;
 566
 567 (* Section MainEstimate *)
 568 Sections.begin_section "MainEstimate";;
 569 (Sections.add_section_var (mk_var ("V", (`:real^3->bool`))));;
 570 (Sections.add_section_var (mk_var ("E", (`:(real^3->bool)->bool`))));;
 571 (Sections.add_section_hyp "h_fan" (`lp_fan (V,E)`));;
 572
 573 (* Let dart1_eq *)
 574 Sections.add_section_lemma "dart1_eq" (Sections.section_proof []
 575 `dart1_of_fan (V,E) = dart_of_fan (V,E)`
 576 [
 577    ((((use_arg_then2 ("h_fan", [])) (disch_tac [])) THEN (clear_assumption "h_fan") THEN BETA_TAC) THEN ((((use_arg_then2 ("lp_fan", [lp_fan]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (move ["h"])) THEN (((use_arg_then2 ("fully_surrounded_dart_of_fan_eq", [fully_surrounded_dart_of_fan_eq]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (done_tac));
 578 ]);;
 579
 580 (* Lemma local_diag *)
 581 let local_diag = Sections.section_proof ["f";"v";"w"]
 582 `f IN face_set (hypermap_of_fan (V,E))
 583         /\ ~(v = w) /\ v IN v_prime V f /\ w IN v_prime V f
 584         /\ ~({v,w} IN e_prime E f) ==> &2 * h0 <= dist (v,w)`
 585 [
 586    ((((use_arg_then2 ("h_fan", [])) (disch_tac [])) THEN (clear_assumption "h_fan") THEN BETA_TAC) THEN ((((use_arg_then2 ("lp_fan", [lp_fan]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ALL_TAC THEN (case THEN (move ["fanV"])) THEN (case THEN (move ["f_surr"])) THEN (case THEN (move ["diag"])) THEN (move ["_"])));
 587    (((((use_arg_then2 ("in_e_prime", [in_e_prime]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("negb_and", [negb_and]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("negb_or", [negb_or]))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN ALL_TAC THEN (case THEN (move ["f_in"])) THEN (case THEN (move ["v_n_w"])) THEN (case THEN (move ["v_in"])) THEN (case THEN (move ["w_in"])) THEN (move ["h"]));
 588    (((THENL_ROT 1)) ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`~({v,w} IN E)`))) (term_tac (have_gen_tac [](move ["nE"])))));
 589    ((THENL_FIRST) ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`&2 * h0 = #2.52`))) (term_tac (have_gen_tac [](((conv_thm_tac DISCH_THEN)(thm_tac (new_rewrite [] []))))))) ((((use_arg_then2 ("h0", [h0]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (arith_tac) THEN (done_tac)));
 590    ((((use_arg_then2 ("diag", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("nE", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("v_n_w", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (simp_tac));
 591    ((((use_arg_then2 ("w_in", [])) (disch_tac [])) THEN (clear_assumption "w_in") THEN ((use_arg_then2 ("v_in", [])) (disch_tac [])) THEN (clear_assumption "v_in") THEN BETA_TAC) THEN (((((use_arg_then2 ("v_prime", [v_prime]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (repeat_tactic 1 9 (((use_arg_then2 ("inE", [inE]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))))) THEN (((conv_thm_tac DISCH_THEN)(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((conv_thm_tac DISCH_THEN)(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (done_tac));
 592    (((use_arg_then2 ("h", [])) (disch_tac [])) THEN (clear_assumption "h") THEN case THEN ((TRY done_tac)) THEN (move ["not_in_f"]));
 593    ((((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("inE_eq_in_dart1", [inE_eq_in_dart1])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("V", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("dart1_eq", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))));
 594    (((fun arg_tac -> (fun arg_tac -> (fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("diag_not_in_dart", [diag_not_in_dart])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("fanV", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("f_surr", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("f_in", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (disch_tac [])) THEN (exact_tac));
 595 ];;
 596
 597 (* Lemma local_std *)
 598 let local_std = Sections.section_proof ["f";"d"]
 599 `f = face (hypermap_of_fan (V,E)) d /\ d IN dart_of_fan (V,E)
 600         ==> ((!v w. {v,w} IN e_prime E f ==> &2 <= dist(v,w) /\ dist(v,w) <= &2 * h0)
 601                 <=> (!k. k < CARD f ==> dist ((f_fan_pair_ext (V,E) POWER k) d) <= #2.52))`
 602 [
 603    ((((use_arg_then2 ("h_fan", [])) (disch_tac [])) THEN (clear_assumption "h_fan") THEN BETA_TAC) THEN ((((use_arg_then2 ("lp_fan", [lp_fan]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ALL_TAC THEN (case THEN (move ["fanV"])) THEN (case THEN (move ["f_surr"])) THEN (case THEN (move ["_"])) THEN (case THEN (move ["_"])) THEN (move ["packV"]) THEN (case THEN ((move ["f_eq"]) THEN (move ["d_in"])))));
 604    ((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("COMPONENTS_HYPERMAP_OF_FAN", [COMPONENTS_HYPERMAP_OF_FAN])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("fanV", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun arg -> thm_tac MP_TAC arg THEN (case THEN ((move ["dartH"]) THEN (case THEN (move ["_"])) THEN (case THEN (move ["_"])) THEN (move ["fH"])))));
 605    ((THENL_FIRST) ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`&2 * h0 = #2.52`))) (term_tac (have_gen_tac [](((conv_thm_tac DISCH_THEN)(thm_tac (new_rewrite [] []))))))) ((((use_arg_then2 ("h0", [h0]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (arith_tac) THEN (done_tac)));
 606    ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`f IN face_set (hypermap_of_fan (V,E))`))) (term_tac (have_gen_tac [](move ["f_in"]))));
 607    (((((use_arg_then2 ("f_eq", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("lemma_in_face_set", [lemma_in_face_set]))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] [])))))) THEN (done_tac));
 608    ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`x IN f <=> ?k. k < CARD f /\ x = (f_fan_pair_ext (V,E) POWER k) d`))) (term_tac (have_gen_tac ["x"](move ["x_in_f"]))));
 609    ((((use_arg_then2 ("f_eq", []))(thm_tac (new_rewrite [1] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("face", [face]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((fun arg_tac -> (fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("FINITE_ORBIT_MAP", [FINITE_ORBIT_MAP])) (fun fst_arg -> (fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`dart_of_fan (V,E)`))) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun fst_arg -> (fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`CARD f`))) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] [])))));
 610    (((((use_arg_then2 ("dartH", []))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (repeat_tactic 1 9 (((use_arg_then2 ("face_map_and_darts", [face_map_and_darts]))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (((use_arg_then2 ("face", [face]))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (((use_arg_then2 ("f_eq", []))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] [])))))) THEN (done_tac));
 611    (((((use_arg_then2 ("fH", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("IN_ELIM_THM", [IN_ELIM_THM]))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (done_tac));
 612    ((THENL) (split_tac) [((move ["h"]) THEN (move ["k"]) THEN (move ["k_lt"])); ((move ["h"]) THEN (move ["v"]) THEN (move ["w"]))]);
 613    ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`(_1 POWER k) d`))) (term_tac (set_tac "x")));
 614    ((((fun arg_tac -> (fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("h", [])) (fun fst_arg -> (fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`FST x`))) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun fst_arg -> (fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`SND x`))) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (disch_tac [])) THEN BETA_TAC) THEN ((((use_arg_then2 ("pair_expand", [pair_expand]))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (((conv_thm_tac DISCH_THEN)(thm_tac (new_rewrite [] []))))));
 615    (((((fun arg_tac -> (fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("f_surr_in_e_prime", [f_surr_in_e_prime])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("fanV", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("f_surr", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((use_arg_then2 ("pair_expand", [pair_expand]))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] [])))))) THEN (DISJ1_TAC));
 616    ((((use_arg_then2 ("x_in_f", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((use_arg_then2 ("k", [])) (term_tac exists_tac)) THEN (done_tac));
 617    (((((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("f_surr_in_e_prime", [f_surr_in_e_prime])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("fanV", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac))) THEN (move ["h_vw"]));
 618    ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`v,w IN dart_of_fan (V,E)`))) (term_tac (have_gen_tac [](move ["vw_in"]))));
 619    (((THENL) (((use_arg_then2 ("h_vw", [])) (disch_tac [])) THEN (clear_assumption "h_vw") THEN case) [(ALL_TAC); (((use_arg_then2 ("dart_switch", [dart_switch]))(thm_tac (new_rewrite [] []))))]) THEN (((((use_arg_then2 ("dartH", []))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (((use_arg_then2 ("f_eq", []))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (DISCH_THEN (fun snd_th -> (use_arg_then2 ("in_face_imp_in_dart", [in_face_imp_in_dart])) (thm_tac (match_mp_then snd_th MP_TAC))))) THEN (DISCH_THEN apply_tac) THEN (done_tac));
 620    ((((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("pack_dist", [pack_dist])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("fanV", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((use_arg_then2 ("andTb", [andTb]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))));
 621    (((THENL) (((use_arg_then2 ("h_vw", [])) (disch_tac [])) THEN (clear_assumption "h_vw") THEN case) [(ALL_TAC); (((use_arg_then2 ("DIST_SYM", [DIST_SYM]))(thm_tac (new_rewrite [] []))))]) THEN ((((use_arg_then2 ("x_in_f", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ALL_TAC THEN (case THEN (move ["k"])) THEN (case THEN (DISCH_THEN (fun snd_th -> (use_arg_then2 ("h", [])) (thm_tac (match_mp_then snd_th MP_TAC))))) THEN (move ["ineq"]) THEN (((conv_thm_tac DISCH_THEN)(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (done_tac));
 622 ];;
 623
 624 (* Lemma local_pro *)
 625 let local_pro = Sections.section_proof ["f";"d"]
 626 `f = face (hypermap_of_fan (V,E)) d /\ d IN dart_of_fan (V,E)
 627         ==> ((?v0 w0. (!v w. {v,w} IN e_prime E f /\ ~({v,w} = {v0,w0})
 628                 ==> &2 <= dist(v,w) /\ dist(v,w) <= &2 * h0)
 629                 /\ {v0,w0} IN e_prime E f /\ &2 *h0 <= dist(v0,w0) /\ dist(v0,w0) <= sqrt8)
 630         <=> (?k0. (!k. k < CARD f /\ ~(k = k0) ==> dist ((f_fan_pair_ext (V,E) POWER k) d) <= #2.52)
 631                 /\ k0 < CARD f /\ #2.52 <= dist ((f_fan_pair_ext (V,E) POWER k0) d)
 632                                 /\ dist ((f_fan_pair_ext (V,E) POWER k0) d) <= sqrt8))`
 633 [
 634    ((((use_arg_then2 ("h_fan", [])) (disch_tac [])) THEN (clear_assumption "h_fan") THEN BETA_TAC) THEN ((((use_arg_then2 ("lp_fan", [lp_fan]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ALL_TAC THEN (case THEN (move ["fanV"])) THEN (case THEN (move ["f_surr"])) THEN (case THEN (move ["_"])) THEN (case THEN (move ["_"])) THEN (move ["packV"]) THEN (case THEN ((move ["f_eq"]) THEN (move ["d_in"])))));
 635    ((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("COMPONENTS_HYPERMAP_OF_FAN", [COMPONENTS_HYPERMAP_OF_FAN])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("fanV", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun arg -> thm_tac MP_TAC arg THEN (case THEN ((move ["dartH"]) THEN (case THEN (move ["_"])) THEN (case THEN (move ["_"])) THEN (move ["fH"])))));
 636    ((THENL_FIRST) ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`&2 * h0 = #2.52`))) (term_tac (have_gen_tac [](((conv_thm_tac DISCH_THEN)(thm_tac (new_rewrite [] []))))))) ((((use_arg_then2 ("h0", [h0]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (arith_tac) THEN (done_tac)));
 637    ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`f IN face_set (hypermap_of_fan (V,E))`))) (term_tac (have_gen_tac [](move ["f_in"]))));
 638    (((((use_arg_then2 ("f_eq", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("lemma_in_face_set", [lemma_in_face_set]))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] [])))))) THEN (done_tac));
 639    ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`x IN f <=> ?k. k < CARD f /\ x = (f_fan_pair_ext (V,E) POWER k) d`))) (term_tac (have_gen_tac ["x"](move ["x_in_f"]))));
 640    ((((use_arg_then2 ("f_eq", []))(thm_tac (new_rewrite [1] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("face", [face]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((fun arg_tac -> (fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("FINITE_ORBIT_MAP", [FINITE_ORBIT_MAP])) (fun fst_arg -> (fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`dart_of_fan (V,E)`))) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun fst_arg -> (fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`CARD f`))) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] [])))));
 641    (((((use_arg_then2 ("dartH", []))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (repeat_tactic 1 9 (((use_arg_then2 ("face_map_and_darts", [face_map_and_darts]))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (((use_arg_then2 ("face", [face]))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (((use_arg_then2 ("f_eq", []))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] [])))))) THEN (done_tac));
 642    (((((use_arg_then2 ("fH", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("IN_ELIM_THM", [IN_ELIM_THM]))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (done_tac));
 643    ((THENL_ROT (-1)) ((THENL) (split_tac) [((case THEN (move ["v0"])) THEN (case THEN (move ["w0"])) THEN (case THEN (move ["h_all"])) THEN (case THEN (move ["v0w0_inE"])) THEN (move ["dist0"])); ((case THEN (move ["k0"])) THEN (case THEN (move ["h_all"])) THEN (case THEN (move ["k0_lt"])))]));
 644    ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`(_1 POWER k0) d`))) (term_tac (set_tac "x")));
 645    ((BETA_TAC THEN (move ["dist_x"])) THEN (((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`FST x`))) (term_tac exists_tac)) THEN ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`SND x`))) (term_tac exists_tac))) THEN ((((use_arg_then2 ("pair_expand", [pair_expand]))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (repeat_tactic 1 9 (((use_arg_then2 ("dist_x", []))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (repeat_tactic 1 9 (((use_arg_then2 ("andbT", [andbT]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))))));
 646    ((THENL_LAST) (split_tac) (((((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("f_surr_in_e_prime", [f_surr_in_e_prime])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("f_surr", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((use_arg_then2 ("pair_expand", [pair_expand]))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (((use_arg_then2 ("x_def", []))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (((use_arg_then2 ("f_eq", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("fH", []))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (((use_arg_then2 ("lemma_in_face", [lemma_in_face]))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (done_tac)));
 647    (((((use_arg_then2 ("in_e_prime", [in_e_prime]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("inE_eq_in_dart1", [inE_eq_in_dart1])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("V", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("dart1_eq", []))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (move ["v"]) THEN (move ["w"]) THEN (case THEN ALL_TAC) THEN (case THEN (move ["vw_in"])) THEN (move ["vw_in_f"]) THEN (move ["neq"]));
 648    ((((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("pack_dist", [pack_dist])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("fanV", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((use_arg_then2 ("andTb", [andTb]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))));
 649    (((THENL) (((use_arg_then2 ("vw_in_f", [])) (disch_tac [])) THEN (clear_assumption "vw_in_f") THEN case) [(ALL_TAC); (((use_arg_then2 ("DIST_SYM", [DIST_SYM]))(thm_tac (new_rewrite [] []))))]) THEN ((((use_arg_then2 ("x_in_f", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ALL_TAC THEN (case THEN (move ["k"])) THEN (case THEN (move ["k_lt"])) THEN (move ["vw_eq"])) THEN (((use_arg_then2 ("vw_eq", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("h_all", [])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("k_lt", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (disch_tac [])) THEN (DISCH_THEN apply_tac)) THEN (((use_arg_then2 ("neq", [])) (disch_tac [])) THEN (clear_assumption "neq") THEN ((use_arg_then2 ("contra", [contra])) (disch_tac [])) THEN (clear_assumption "contra") THEN (DISCH_THEN apply_tac) THEN (move ["k_eq"])) THEN (((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_theorem (GEN_ALL Geomdetail.PAIR_EQ_EXPAND)))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("vw_eq", [])) (disch_tac [])) THEN (clear_assumption "vw_eq") THEN BETA_TAC) THEN (((((use_arg_then2 ("k_eq", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("x_def", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("pair_expand", [pair_expand])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("x", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [1] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("PAIR_EQ", [PAIR_EQ]))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN ALL_TAC THEN (case THEN ((((conv_thm_tac DISCH_THEN)(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((conv_thm_tac DISCH_THEN)(thm_tac (new_rewrite [] []))))))) THEN (done_tac));
 650    ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`?k0. k0 < CARD f /\ (v0,w0 = (f_fan_pair_ext (V,E) POWER k0) d
 651                                 \/ w0,v0 = (f_fan_pair_ext (V,E) POWER k0) d)`))) (term_tac (have_gen_tac [](case THEN ((move ["k0"]) THEN (case THEN (move ["k0_lt"])) THEN (move ["v0w0_eq"]))))));
 652    ((((use_arg_then2 ("v0w0_inE", [])) (disch_tac [])) THEN (clear_assumption "v0w0_inE") THEN BETA_TAC) THEN ((((use_arg_then2 ("in_e_prime", [in_e_prime]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (repeat_tactic 1 9 (((use_arg_then2 ("x_in_f", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))))));
 653    ((BETA_TAC THEN (case THEN (move ["_"])) THEN (case THEN ALL_TAC) THEN (case THEN (move ["k0"])) THEN (move ["h"])) THEN ((use_arg_then2 ("k0", [])) (term_tac exists_tac)) THEN (done_tac));
 654    (((use_arg_then2 ("k0", [])) (term_tac exists_tac)) THEN ((((use_arg_then2 ("k0_lt", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("andTb", [andTb]))(thm_tac (new_rewrite [] []))))));
 655    ((THENL_LAST) ((THENL) (split_tac) [((move ["k"]) THEN (case THEN (move ["k_lt"])) THEN (move ["k_neq"])); ALL_TAC]) ((((use_arg_then2 ("v0w0_eq", [])) (disch_tac [])) THEN (clear_assumption "v0w0_eq") THEN BETA_TAC THEN (case THEN (((conv_thm_tac DISCH_THEN)(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))))) THEN ((repeat_tactic 0 10 (((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("DIST_SYM", [DIST_SYM])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("w0", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (repeat_tactic 1 9 (((use_arg_then2 ("dist0", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))))) THEN (done_tac)));
 656    ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`(_1 POWER k) d`))) (term_tac (set_tac "x")));
 657    ((((fun arg_tac -> (fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("h_all", [])) (fun fst_arg -> (fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`FST x`))) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun fst_arg -> (fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`SND x`))) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (disch_tac [])) THEN BETA_TAC) THEN ((((use_arg_then2 ("pair_expand", [pair_expand]))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (((conv_thm_tac DISCH_THEN)(thm_tac (new_rewrite [] []))))));
 658    ((((fun arg_tac -> (fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("f_surr_in_e_prime", [f_surr_in_e_prime])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("fanV", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("f_surr", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((use_arg_then2 ("pair_expand", [pair_expand]))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))));
 659    ((THENL_FIRST) (split_tac) ((DISJ1_TAC) THEN ((((use_arg_then2 ("x_def", []))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (((use_arg_then2 ("f_eq", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("fH", []))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (((use_arg_then2 ("lemma_in_face", [lemma_in_face]))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (done_tac)));
 660    ((((use_arg_then2 ("k_neq", [])) (disch_tac [])) THEN (clear_assumption "k_neq") THEN ((use_arg_then2 ("contra", [contra])) (disch_tac [])) THEN (clear_assumption "contra") THEN (DISCH_THEN apply_tac)) THEN (((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_theorem (GEN_ALL Geomdetail.PAIR_EQ_EXPAND)))(thm_tac (new_rewrite [] [])))));
 661    ((fun arg_tac -> (fun arg_tac -> (fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("FULLY_SURROUNDED_IMP_CARD_FACE_GE_3", [FULLY_SURROUNDED_IMP_CARD_FACE_GE_3])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("fanV", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("f_surr", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("d_in", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun arg -> thm_tac MP_TAC arg THEN ALL_TAC));
 662    ((((use_arg_then2 ("f_eq", []))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (move ["card_f_ge3"]));
 663    ((fun arg_tac -> (fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("fully_surrounded_simple_hypermap", [fully_surrounded_simple_hypermap])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("fanV", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("f_surr", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun arg -> thm_tac MP_TAC arg THEN (move ["simpleH"])));
 664    ((((use_arg_then2 ("v0w0_eq", [])) (disch_tac [])) THEN (clear_assumption "v0w0_eq") THEN BETA_TAC THEN (case THEN (move ["eq"])) THEN (case THEN ALL_TAC)) THEN ((((use_arg_then2 ("PAIR_EQ", [PAIR_EQ]))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (((use_arg_then2 ("pair_expand", [pair_expand]))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (((use_arg_then2 ("x_def", []))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] [])))))) THEN (((repeat_tactic 0 10 (((fun arg_tac ->(use_arg_then2 ("eq", []))(fun tmp_arg1 -> (use_arg_then2 ("f_fan_pair_ext_power_inj", [f_fan_pair_ext_power_inj]))(fun tmp_arg2 -> arg_tac (Arg_theorem (CONJ (get_arg_thm tmp_arg1) (get_arg_thm tmp_arg2))))))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (repeat_tactic 0 10 (((use_arg_then2 ("f_eq", []))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] [])))))) THEN ((TRY done_tac))) THEN (move ["eq2"])) THEN ((THENL_FIRST) (((THENL_ROT 1)) ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`CARD f <= 2`))) (term_tac (have_gen_tac []ALL_TAC)))) ((((use_arg_then2 ("card_f_ge3", [])) (disch_tac [])) THEN (clear_assumption "card_f_ge3") THEN BETA_TAC) THEN (arith_tac) THEN (done_tac))));
 665    ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`f = face (hypermap_of_fan (V,E)) (v0,w0)`))) (term_tac (have_gen_tac [](move ["f_eq2"]))));
 666    ((((use_arg_then2 ("f_eq", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((use_arg_then2 ("lemma_face_identity", [lemma_face_identity])) (thm_tac apply_tac)) THEN ((((use_arg_then2 ("eq", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("fH", []))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (((use_arg_then2 ("lemma_in_face", [lemma_in_face]))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (done_tac));
 667    ((((use_arg_then2 ("f_eq2", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((fun arg_tac -> (fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("linear_face_simple_hyp", [linear_face_simple_hyp])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("fanV", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("simpleH", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("f_eq2", []))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))));
 668    (((((use_arg_then2 ("f_eq", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("eq2", []))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (((use_arg_then2 ("fH", []))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (((use_arg_then2 ("lemma_in_face", [lemma_in_face]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("eq", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("f_fan_pair_ext_power_in_dart", [f_fan_pair_ext_power_in_dart]))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (done_tac));
 669    ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`f = face (hypermap_of_fan (V,E)) (w0,v0)`))) (term_tac (have_gen_tac [](move ["f_eq2"]))));
 670    ((((use_arg_then2 ("f_eq", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((use_arg_then2 ("lemma_face_identity", [lemma_face_identity])) (thm_tac apply_tac)) THEN ((((use_arg_then2 ("eq", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("fH", []))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (((use_arg_then2 ("lemma_in_face", [lemma_in_face]))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (done_tac));
 671    ((((use_arg_then2 ("f_eq2", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((fun arg_tac -> (fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("linear_face_simple_hyp", [linear_face_simple_hyp])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("fanV", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("simpleH", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("f_eq2", []))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))));
 672    (((((use_arg_then2 ("f_eq", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("eq2", []))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (((use_arg_then2 ("fH", []))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (((use_arg_then2 ("lemma_in_face", [lemma_in_face]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("eq", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("f_fan_pair_ext_power_in_dart", [f_fan_pair_ext_power_in_dart]))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (done_tac));
 673 ];;
 674
 675 (* Section Face3 *)
 676 Sections.begin_section "Face3";;
 677 (Sections.add_section_hyp "ineq" (JEJTVGB_std3_concl));;
 678
 679 (* Lemma ineq_tau3_tauVEF *)
 680 let ineq_tau3_tauVEF = Sections.section_proof ["d"]
 681 `d IN darts_k 3 (hypermap_of_fan (V,E))
 682         ==> y5_fan (V,E) d <= #2.52
 683         /\ y6_fan d <= #2.52
 684         /\ y4_fan (V,E) d <= #2.52
 685         ==> &0 <= tauVEF (V,E,face (hypermap_of_fan (V,E)) d)`
 686 [
 687    ((((use_arg_then2 ("h_fan", [])) (disch_tac [])) THEN (clear_assumption "h_fan") THEN BETA_TAC) THEN ((((use_arg_then2 ("lp_fan", [lp_fan]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ALL_TAC THEN (case THEN (move ["fanV"])) THEN (case THEN (move ["f_surr"])) THEN (case THEN (move ["diag"])) THEN (case THEN (move ["subV"])) THEN (move ["packV"])));
 688    ((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("COMPONENTS_HYPERMAP_OF_FAN", [COMPONENTS_HYPERMAP_OF_FAN])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("fanV", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun arg -> thm_tac MP_TAC arg THEN (case THEN ((move ["dartH"]) THEN (move ["_"])))));
 689    (((use_arg_then2 ("d", [])) (disch_tac [])) THEN (clear_assumption "d") THEN case THEN (move ["v"]) THEN (move ["w"]) THEN (move ["vw_in3"]));
 690    ((((use_arg_then2 ("vw_in3", [])) (disch_tac [])) THEN BETA_TAC) THEN (((((use_arg_then2 ("darts_k", [darts_k]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("inE", [inE]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("dartH", []))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN ALL_TAC THEN (case THEN (move ["vw_in"])) THEN (move ["card_f"]) THEN (move ["bounds"])));
 691    ((((use_arg_then2 ("f_surr_tau3_eq_tauVEF", [f_surr_tau3_eq_tauVEF]))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((use_arg_then2 ("ineq", [ineq]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))));
 692    ((THENL_FIRST) ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`&2 * h0 = #2.52`))) (term_tac (have_gen_tac [](((conv_thm_tac DISCH_THEN)(thm_tac (new_rewrite [] []))))))) ((((use_arg_then2 ("h0", [h0]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (arith_tac) THEN (done_tac)));
 693    ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`sigma_fan _ V E v w`))) (term_tac (set_tac "w'")));
 694    ((repeat_tactic 1 9 (((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("DIST_SYM", [DIST_SYM])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("w'", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (((use_arg_then2 ("w'_def", []))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))));
 695    ((repeat_tactic 1 9 (((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("ys_eq", [ys_eq])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("vw_in", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] [])))))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((use_arg_then2 ("y4'_eq_y4", [y4'_eq_y4]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (repeat_tactic 1 9 (((use_arg_then2 ("bounds", []))(thm_tac (new_rewrite [] []))))));
 696    ((((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("y1_lo", [y1_lo])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("vw_in", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("y2_lo", [y2_lo])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("vw_in", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("y3_lo", [y3_lo])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("vw_in", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)));
 697    ((((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("y1_hi", [y1_hi])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("vw_in", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("y2_hi", [y2_hi])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("vw_in", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("y3_hi", [y3_hi])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("vw_in", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)));
 698    (((((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("y4_lo", [y4_lo])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("vw_in", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("y5_lo", [y5_lo])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("vw_in", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("y6_lo", [y6_lo])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("vw_in", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (done_tac));
 699 ];;
 700
 701 (* Lemma ineq_tau3 *)
 702 let ineq_tau3 = Sections.section_proof ["d"]
 703 `d IN darts_k 3 (hypermap_of_fan (V,E))
 704         ==> &0 <= tau_fan (V,E) (face (hypermap_of_fan (V,E)) d)`
 705 [
 706    (((((use_arg_then2 ("tau_fan", [tau_fan]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("REAL_ABS_POS", [REAL_ABS_POS]))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (done_tac));
 707 ];;
 708
 709 (* Section Std *)
 710 Sections.begin_section "Std";;
 711 (Sections.add_section_hyp "std" (`E = ESTD V`));;
 712
 713 (* Lemma ineq_tau3_tauVEF_std *)
 714 let ineq_tau3_tauVEF_std = Sections.section_proof ["d"]
 715 `d IN darts_k 3 (hypermap_of_fan (V,E))
 716         ==> &0 <= tauVEF (V,E,face (hypermap_of_fan (V,E)) d)`
 717 [
 718    ((((use_arg_then2 ("h_fan", [])) (disch_tac [])) THEN BETA_TAC) THEN ((((use_arg_then2 ("lp_fan", [lp_fan]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ALL_TAC THEN (case THEN (move ["fanV"])) THEN (case THEN (move ["f_surr"])) THEN (case THEN (move ["diag"])) THEN (case THEN (move ["subV"])) THEN (move ["packV"])));
 719    ((BETA_TAC THEN (move ["d_in3"])) THEN (((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("ineq_tau3_tauVEF", [ineq_tau3_tauVEF])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("d_in3", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (disch_tac [])) THEN (DISCH_THEN apply_tac)));
 720    ((((use_arg_then2 ("d_in3", [])) (disch_tac [])) THEN (clear_assumption "d_in3") THEN BETA_TAC) THEN (((((use_arg_then2 ("darts_k", [darts_k]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("inE", [inE]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("COMPONENTS_HYPERMAP_OF_FAN", [COMPONENTS_HYPERMAP_OF_FAN])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("fanV", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN ALL_TAC THEN (case THEN (move ["d_in"])) THEN (move ["_"])));
 721    (((((use_arg_then2 ("y5_hi_std2", [y5_hi_std2]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("y6_hi_std2", [y6_hi_std2])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("fanV", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((use_arg_then2 ("y4_hi_std2", [y4_hi_std2]))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (done_tac));
 722 ];;
 723
 724 (* Finalization of the section Std *)
 725 let ineq_tau3_tauVEF_std = Sections.finalize_theorem ineq_tau3_tauVEF_std;;
 726 Sections.end_section "Std";;
 727
 728 (* Finalization of the section Face3 *)
 729 let ineq_tau3_tauVEF = Sections.finalize_theorem ineq_tau3_tauVEF;;
 730 let ineq_tau3 = Sections.finalize_theorem ineq_tau3;;
 731 let ineq_tau3_tauVEF_std = Sections.finalize_theorem ineq_tau3_tauVEF_std;;
 732 Sections.end_section "Face3";;
 733
 734 (* Section Face4 *)
 735 Sections.begin_section "Face4";;
 736 (Sections.add_section_hyp "ineq" (JEJTVGB_std_concl));;
 737
 738 (* Lemma ineq_tau4_tauVEF *)
 739 let ineq_tau4_tauVEF = Sections.section_proof ["d"]
 740 `d IN darts_k 4 (hypermap_of_fan (V,E))
 741         ==> y5_fan (V,E) d <= #2.52
 742         /\ y6_fan d <= #2.52
 743         /\ y8_fan (V,E) d <= #2.52
 744         /\ y9_fan (V,E) d <= #2.52
 745         ==> #0.206 <= tauVEF (V,E,face (hypermap_of_fan (V,E)) d)`
 746 [
 747    ((((use_arg_then2 ("h_fan", [])) (disch_tac [])) THEN (clear_assumption "h_fan") THEN BETA_TAC) THEN ((((use_arg_then2 ("lp_fan", [lp_fan]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ALL_TAC THEN (case THEN (move ["fanV"])) THEN (case THEN (move ["f_surr"])) THEN (case THEN (move ["diag"])) THEN (case THEN (move ["subV"])) THEN (move ["packV"])));
 748    ((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("COMPONENTS_HYPERMAP_OF_FAN", [COMPONENTS_HYPERMAP_OF_FAN])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("fanV", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun arg -> thm_tac MP_TAC arg THEN (case THEN ((move ["dartH"]) THEN (move ["_"])))));
 749    (((use_arg_then2 ("d", [])) (disch_tac [])) THEN (clear_assumption "d") THEN case THEN (move ["v"]) THEN (move ["w"]) THEN (move ["vw_in4"]));
 750    ((((use_arg_then2 ("vw_in4", [])) (disch_tac [])) THEN BETA_TAC) THEN (((((use_arg_then2 ("darts_k", [darts_k]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("inE", [inE]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("dartH", []))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN ALL_TAC THEN (case THEN (move ["vw_in"])) THEN (move ["card_f"]) THEN (move ["bounds"])));
 751    ((((use_arg_then2 ("f_surr_tau_fun_eq_tauVEF", [f_surr_tau_fun_eq_tauVEF]))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (repeat_tactic 0 10 (((use_arg_then2 ("lemma_in_face_set", [lemma_in_face_set]))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] [])))))) THEN ((TRY done_tac)));
 752    ((fun arg_tac -> (fun arg_tac -> (fun arg_tac -> (fun arg_tac -> arg_tac (Arg_theorem (let_RULE f_surr_localization_convex_local))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("fanV", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("f_surr", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("vw_in", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun arg -> thm_tac MP_TAC arg THEN (move ["c_local"])));
 753    ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`face _ (v,w)`))) (term_tac (set_tac "f")));
 754    ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`f IN face_set (hypermap_of_fan (V,E))`))) (term_tac (have_gen_tac [](move ["f_in"]))));
 755    (((((use_arg_then2 ("f_def", []))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (((use_arg_then2 ("lemma_in_face_set", [lemma_in_face_set]))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] [])))))) THEN (done_tac));
 756    ((((use_arg_then2 ("c_local", [])) (disch_tac [])) THEN BETA_TAC) THEN ((((use_arg_then2 ("convex_local_fan", [convex_local_fan]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ALL_TAC THEN (case THEN (move ["local"])) THEN (move ["_"])));
 757    (((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("ineq", [ineq])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("c_local", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (disch_tac [])) THEN BETA_TAC);
 758    ((((fun arg_tac -> (fun arg_tac -> arg_tac (Arg_theorem (GEN_ALL Local_lemmas.LOFA_IMP_CARD_FF_V_EQ))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("local", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (((use_arg_then2 ("card_f", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("d_tame", [d_tame]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))));
 759    ((THENL_FIRST) ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`~(4 = 3)`))) (term_tac (have_gen_tac []((((conv_thm_tac DISCH_THEN)(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (simp_tac))))) ((arith_tac) THEN (done_tac)));
 760    (((((use_arg_then2 ("tau_fun_local", [tau_fun_local]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (repeat_tactic 0 10 (((use_arg_then2 ("f_def", []))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] [])))))) THEN (repeat_tactic 0 10 (((use_arg_then2 ("lemma_in_face_set", [lemma_in_face_set]))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] [])))))) THEN ((TRY done_tac))) THEN (DISCH_THEN apply_tac));
 761    ((((use_arg_then2 ("packing_v_prime", [packing_v_prime]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((use_arg_then2 ("v_prime_subset", [v_prime_subset]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((use_arg_then2 ("leqnn", [leqnn]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (repeat_tactic 1 9 (((use_arg_then2 ("andTb", [andTb]))(thm_tac (new_rewrite [] []))))));
 762    ((THENL_FIRST) (split_tac) ((arith_tac) THEN (done_tac)));
 763    ((THENL_FIRST) ((THENL) (split_tac) [((move ["a"]) THEN (move ["b"]) THEN (move ["h"])); ALL_TAC]) ((((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("local_diag", [local_diag])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("f_in", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (done_tac)));
 764    (((((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("local_std", [local_std])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("vw_in", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((use_arg_then2 ("card_f", []))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (move ["k"]) THEN (move ["k_lt"]));
 765    ((THENL_FIRST) ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`k = 0 \/ k = 1 \/ k = 2 \/ k = 3`))) (term_tac (have_gen_tac []ALL_TAC))) ((((use_arg_then2 ("k_lt", [])) (disch_tac [])) THEN (clear_assumption "k_lt") THEN BETA_TAC) THEN (arith_tac) THEN (done_tac)));
 766    ((repeat_tactic 1 9 (case)) THEN (BETA_TAC THEN (((conv_thm_tac DISCH_THEN)(thm_tac (new_rewrite [] []))))));
 767    (((((use_arg_then2 ("POWER_0", [POWER_0]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("I_THM", [I_THM]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("y6_fan", [y6_fan]))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] [])))))) THEN (done_tac));
 768    (((((use_arg_then2 ("POWER_1", [POWER_1]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("y9_fan", [y9_fan]))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] [])))))) THEN (done_tac));
 769    ((THENL_FIRST) ((((fun arg_tac -> (fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("f_fan_pair_ext_power_inverse", [f_fan_pair_ext_power_inverse])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("fanV", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("vw_in", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("f_def", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("card_f", []))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) ((arith_tac) THEN (done_tac)));
 770    ((THENL_FIRST) ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`4 - 2 = 2`))) (term_tac (have_gen_tac [](((conv_thm_tac DISCH_THEN)(thm_tac (new_rewrite [] []))))))) ((arith_tac) THEN (done_tac)));
 771    (((((use_arg_then2 ("POWER_2", [POWER_2]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("o_THM", [o_THM]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("y5_fan", [y5_fan]))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (((use_arg_then2 ("y8_fan", [y8_fan]))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] [])))))) THEN (done_tac));
 772    ((THENL_FIRST) ((((fun arg_tac -> (fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("f_fan_pair_ext_power_inverse", [f_fan_pair_ext_power_inverse])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("fanV", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("vw_in", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("f_def", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("card_f", []))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) ((arith_tac) THEN (done_tac)));
 773    ((THENL_FIRST) ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`4 - 3 = 1`))) (term_tac (have_gen_tac [](((conv_thm_tac DISCH_THEN)(thm_tac (new_rewrite [] []))))))) ((arith_tac) THEN (done_tac)));
 774    (((((use_arg_then2 ("POWER_1", [POWER_1]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("y5_fan", [y5_fan]))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] [])))))) THEN (done_tac));
 775 ];;
 776
 777 (* Lemma ineq_tau4 *)
 778 let ineq_tau4 = Sections.section_proof ["d"]
 779 `d IN darts_k 4 (hypermap_of_fan (V,E))
 780         ==> y5_fan (V,E) d <= #2.52
 781         /\ y6_fan d <= #2.52
 782         /\ y8_fan (V,E) d <= #2.52
 783         /\ y9_fan (V,E) d <= #2.52
 784         ==> #0.206 <= tau_fan (V,E) (face (hypermap_of_fan (V,E)) d)`
 785 [
 786    (BETA_TAC THEN (move ["d_in4"]) THEN (move ["bounds"]));
 787    ((fun arg_tac -> (fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("ineq_tau4_tauVEF", [ineq_tau4_tauVEF])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("d_in4", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("bounds", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun arg -> thm_tac MP_TAC arg THEN ALL_TAC));
 788    ((((use_arg_then2 ("tau_fan", [tau_fan]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (arith_tac) THEN (done_tac));
 789 ];;
 790
 791 (* Section Std *)
 792 Sections.begin_section "Std";;
 793 (Sections.add_section_hyp "std" (`E = ESTD V`));;
 794
 795 (* Lemma ineq_tau4_tauVEF_std *)
 796 let ineq_tau4_tauVEF_std = Sections.section_proof ["d"]
 797 `d IN darts_k 4 (hypermap_of_fan (V,E))
 798         ==> #0.206 <= tauVEF (V,E,face (hypermap_of_fan (V,E)) d)`
 799 [
 800    ((((use_arg_then2 ("h_fan", [])) (disch_tac [])) THEN BETA_TAC) THEN ((((use_arg_then2 ("lp_fan", [lp_fan]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ALL_TAC THEN (case THEN (move ["fanV"])) THEN (case THEN (move ["f_surr"])) THEN (case THEN (move ["diag"])) THEN (case THEN (move ["subV"])) THEN (move ["packV"])));
 801    ((BETA_TAC THEN (move ["d_in4"])) THEN (((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("ineq_tau4_tauVEF", [ineq_tau4_tauVEF])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("d_in4", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (disch_tac [])) THEN (DISCH_THEN apply_tac)));
 802    ((((use_arg_then2 ("d_in4", [])) (disch_tac [])) THEN (clear_assumption "d_in4") THEN BETA_TAC) THEN (((((use_arg_then2 ("darts_k", [darts_k]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("inE", [inE]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("COMPONENTS_HYPERMAP_OF_FAN", [COMPONENTS_HYPERMAP_OF_FAN])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("fanV", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN ALL_TAC THEN (case THEN (move ["d_in"])) THEN (move ["_"])));
 803    (((((use_arg_then2 ("y5_hi_std2", [y5_hi_std2]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("y6_hi_std2", [y6_hi_std2])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("fanV", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((use_arg_then2 ("y8_hi_std", [y8_hi_std]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((use_arg_then2 ("y9_hi_std", [y9_hi_std]))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (done_tac));
 804 ];;
 805
 806 (* Lemma ineq_tau4_std *)
 807 let ineq_tau4_std = Sections.section_proof ["d"]
 808 `d IN darts_k 4 (hypermap_of_fan (V,E))
 809         ==> #0.206 <= tau_fan (V,E) (face (hypermap_of_fan (V,E)) d)`
 810 [
 811    (((DISCH_THEN (fun snd_th -> (use_arg_then2 ("ineq_tau4_tauVEF_std", [ineq_tau4_tauVEF_std])) (thm_tac (match_mp_then snd_th MP_TAC)))) THEN BETA_TAC) THEN (((use_arg_then2 ("tau_fan", [tau_fan]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (arith_tac) THEN (done_tac));
 812 ];;
 813
 814 (* Finalization of the section Std *)
 815 let ineq_tau4_tauVEF_std = Sections.finalize_theorem ineq_tau4_tauVEF_std;;
 816 let ineq_tau4_std = Sections.finalize_theorem ineq_tau4_std;;
 817 Sections.end_section "Std";;
 818
 819 (* Finalization of the section Face4 *)
 820 let ineq_tau4_tauVEF = Sections.finalize_theorem ineq_tau4_tauVEF;;
 821 let ineq_tau4 = Sections.finalize_theorem ineq_tau4;;
 822 let ineq_tau4_tauVEF_std = Sections.finalize_theorem ineq_tau4_tauVEF_std;;
 823 let ineq_tau4_std = Sections.finalize_theorem ineq_tau4_std;;
 824 Sections.end_section "Face4";;
 825
 826 (* Section Face5 *)
 827 Sections.begin_section "Face5";;
 828 (Sections.add_section_hyp "ineq" (JEJTVGB_std_concl));;
 829
 830 (* Lemma ineq_tau5_tauVEF *)
 831 let ineq_tau5_tauVEF = Sections.section_proof ["d"]
 832 `d IN darts_k 5 (hypermap_of_fan (V,E))
 833         ==> y5_fan (V,E) d <= #2.52
 834         /\ y6_fan d <= #2.52
 835         /\ y8_fan (V,E) d <= #2.52
 836         /\ y9_fan (V,E) d <= #2.52
 837         /\ ye_fan ((f_fan_pair_ext (V,E) POWER 2) d) <= #2.52
 838         ==> #0.4819 <= tauVEF (V,E,face (hypermap_of_fan (V,E)) d)`
 839 [
 840    ((((use_arg_then2 ("h_fan", [])) (disch_tac [])) THEN (clear_assumption "h_fan") THEN BETA_TAC) THEN ((((use_arg_then2 ("lp_fan", [lp_fan]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ALL_TAC THEN (case THEN (move ["fanV"])) THEN (case THEN (move ["f_surr"])) THEN (case THEN (move ["diag"])) THEN (case THEN (move ["subV"])) THEN (move ["packV"])));
 841    ((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("COMPONENTS_HYPERMAP_OF_FAN", [COMPONENTS_HYPERMAP_OF_FAN])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("fanV", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun arg -> thm_tac MP_TAC arg THEN (case THEN ((move ["dartH"]) THEN (move ["_"])))));
 842    (((use_arg_then2 ("d", [])) (disch_tac [])) THEN (clear_assumption "d") THEN case THEN (move ["v"]) THEN (move ["w"]) THEN (move ["vw_in_k"]));
 843    ((((use_arg_then2 ("vw_in_k", [])) (disch_tac [])) THEN BETA_TAC) THEN (((((use_arg_then2 ("darts_k", [darts_k]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("inE", [inE]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("dartH", []))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN ALL_TAC THEN (case THEN (move ["vw_in"])) THEN (move ["card_f"]) THEN (move ["bounds"])));
 844    ((((use_arg_then2 ("f_surr_tau_fun_eq_tauVEF", [f_surr_tau_fun_eq_tauVEF]))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (repeat_tactic 0 10 (((use_arg_then2 ("lemma_in_face_set", [lemma_in_face_set]))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] [])))))) THEN ((TRY done_tac)));
 845    ((fun arg_tac -> (fun arg_tac -> (fun arg_tac -> (fun arg_tac -> arg_tac (Arg_theorem (let_RULE f_surr_localization_convex_local))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("fanV", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("f_surr", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("vw_in", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun arg -> thm_tac MP_TAC arg THEN (move ["c_local"])));
 846    ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`face _ (v,w)`))) (term_tac (set_tac "f")));
 847    ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`f IN face_set (hypermap_of_fan (V,E))`))) (term_tac (have_gen_tac [](move ["f_in"]))));
 848    (((((use_arg_then2 ("f_def", []))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (((use_arg_then2 ("lemma_in_face_set", [lemma_in_face_set]))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] [])))))) THEN (done_tac));
 849    ((((use_arg_then2 ("c_local", [])) (disch_tac [])) THEN BETA_TAC) THEN ((((use_arg_then2 ("convex_local_fan", [convex_local_fan]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ALL_TAC THEN (case THEN (move ["local"])) THEN (move ["_"])));
 850    (((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("ineq", [ineq])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("c_local", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (disch_tac [])) THEN BETA_TAC);
 851    ((((fun arg_tac -> (fun arg_tac -> arg_tac (Arg_theorem (GEN_ALL Local_lemmas.LOFA_IMP_CARD_FF_V_EQ))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("local", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (((use_arg_then2 ("card_f", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("d_tame", [d_tame]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))));
 852    ((THENL_FIRST) ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`~(5 = 3)`))) (term_tac (have_gen_tac []((((conv_thm_tac DISCH_THEN)(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (simp_tac))))) ((arith_tac) THEN (done_tac)));
 853    ((THENL_FIRST) ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`~(5 = 4)`))) (term_tac (have_gen_tac []((((conv_thm_tac DISCH_THEN)(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (simp_tac))))) ((arith_tac) THEN (done_tac)));
 854    (((((use_arg_then2 ("tau_fun_local", [tau_fun_local]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (repeat_tactic 0 10 (((use_arg_then2 ("f_def", []))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] [])))))) THEN (repeat_tactic 0 10 (((use_arg_then2 ("lemma_in_face_set", [lemma_in_face_set]))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] [])))))) THEN ((TRY done_tac))) THEN (DISCH_THEN apply_tac));
 855    ((((use_arg_then2 ("packing_v_prime", [packing_v_prime]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((use_arg_then2 ("v_prime_subset", [v_prime_subset]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (repeat_tactic 1 9 (((use_arg_then2 ("andTb", [andTb]))(thm_tac (new_rewrite [] []))))));
 856    ((THENL_FIRST) (split_tac) ((arith_tac) THEN (done_tac)));
 857    ((THENL_FIRST) (split_tac) ((arith_tac) THEN (done_tac)));
 858    ((THENL_FIRST) ((THENL) (split_tac) [((move ["a"]) THEN (move ["b"]) THEN (move ["h"])); ALL_TAC]) ((((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("local_diag", [local_diag])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("f_in", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (done_tac)));
 859    (((((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("local_std", [local_std])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("vw_in", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((use_arg_then2 ("card_f", []))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (move ["k"]) THEN (move ["k_lt"]));
 860    ((THENL_FIRST) ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`k = 0 \/ k = 1 \/ k = 2 \/ k = 3 \/ k = 4`))) (term_tac (have_gen_tac []ALL_TAC))) ((((use_arg_then2 ("k_lt", [])) (disch_tac [])) THEN (clear_assumption "k_lt") THEN BETA_TAC) THEN (arith_tac) THEN (done_tac)));
 861    ((repeat_tactic 1 9 (case)) THEN (BETA_TAC THEN (((conv_thm_tac DISCH_THEN)(thm_tac (new_rewrite [] []))))));
 862    (((((use_arg_then2 ("POWER_0", [POWER_0]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("I_THM", [I_THM]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("y6_fan", [y6_fan]))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] [])))))) THEN (done_tac));
 863    (((((use_arg_then2 ("POWER_1", [POWER_1]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("y9_fan", [y9_fan]))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] [])))))) THEN (done_tac));
 864    ((((use_arg_then2 ("ye_fan", [ye_fan]))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (done_tac));
 865    ((THENL_FIRST) ((((fun arg_tac -> (fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("f_fan_pair_ext_power_inverse", [f_fan_pair_ext_power_inverse])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("fanV", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("vw_in", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("f_def", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("card_f", []))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) ((arith_tac) THEN (done_tac)));
 866    ((THENL_FIRST) ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`5 - 3 = 2`))) (term_tac (have_gen_tac [](((conv_thm_tac DISCH_THEN)(thm_tac (new_rewrite [] []))))))) ((arith_tac) THEN (done_tac)));
 867    (((((use_arg_then2 ("POWER_2", [POWER_2]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("o_THM", [o_THM]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("y5_fan", [y5_fan]))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (((use_arg_then2 ("y8_fan", [y8_fan]))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] [])))))) THEN (done_tac));
 868    ((THENL_FIRST) ((((fun arg_tac -> (fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("f_fan_pair_ext_power_inverse", [f_fan_pair_ext_power_inverse])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("fanV", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("vw_in", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("f_def", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("card_f", []))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) ((arith_tac) THEN (done_tac)));
 869    ((THENL_FIRST) ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`5 - 4 = 1`))) (term_tac (have_gen_tac [](((conv_thm_tac DISCH_THEN)(thm_tac (new_rewrite [] []))))))) ((arith_tac) THEN (done_tac)));
 870    (((((use_arg_then2 ("POWER_1", [POWER_1]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("y5_fan", [y5_fan]))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] [])))))) THEN (done_tac));
 871 ];;
 872
 873 (* Lemma ineq_tau5 *)
 874 let ineq_tau5 = Sections.section_proof ["d"]
 875 `d IN darts_k 5 (hypermap_of_fan (V,E))
 876         ==> y5_fan (V,E) d <= #2.52
 877         /\ y6_fan d <= #2.52
 878         /\ y8_fan (V,E) d <= #2.52
 879         /\ y9_fan (V,E) d <= #2.52
 880         /\ ye_fan ((f_fan_pair_ext (V,E) POWER 2) d) <= #2.52
 881         ==> #0.4819 <= tau_fan (V,E) (face (hypermap_of_fan (V,E)) d)`
 882 [
 883    (BETA_TAC THEN (move ["d_in"]) THEN (move ["bounds"]));
 884    ((fun arg_tac -> (fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("ineq_tau5_tauVEF", [ineq_tau5_tauVEF])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("d_in", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("bounds", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun arg -> thm_tac MP_TAC arg THEN ALL_TAC));
 885    ((((use_arg_then2 ("tau_fan", [tau_fan]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (arith_tac) THEN (done_tac));
 886 ];;
 887
 888 (* Section Std *)
 889 Sections.begin_section "Std";;
 890 (Sections.add_section_hyp "std" (`E = ESTD V`));;
 891
 892 (* Lemma ineq_tau5_tauVEF_std *)
 893 let ineq_tau5_tauVEF_std = Sections.section_proof ["d"]
 894 `d IN darts_k 5 (hypermap_of_fan (V,E))
 895         ==> #0.4819 <= tauVEF (V,E,face (hypermap_of_fan (V,E)) d)`
 896 [
 897    ((((use_arg_then2 ("h_fan", [])) (disch_tac [])) THEN BETA_TAC) THEN ((((use_arg_then2 ("lp_fan", [lp_fan]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ALL_TAC THEN (case THEN (move ["fanV"])) THEN (case THEN (move ["f_surr"])) THEN (case THEN (move ["diag"])) THEN (case THEN (move ["subV"])) THEN (move ["packV"])));
 898    ((BETA_TAC THEN (move ["d_in5"])) THEN (((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("ineq_tau5_tauVEF", [ineq_tau5_tauVEF])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("d_in5", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (disch_tac [])) THEN (DISCH_THEN apply_tac)));
 899    ((((use_arg_then2 ("d_in5", [])) (disch_tac [])) THEN (clear_assumption "d_in5") THEN BETA_TAC) THEN (((((use_arg_then2 ("darts_k", [darts_k]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("inE", [inE]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("COMPONENTS_HYPERMAP_OF_FAN", [COMPONENTS_HYPERMAP_OF_FAN])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("fanV", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN ALL_TAC THEN (case THEN (move ["d_in"])) THEN (move ["_"])));
 900    ((((use_arg_then2 ("y5_hi_std2", [y5_hi_std2]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("y6_hi_std2", [y6_hi_std2])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("fanV", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((use_arg_then2 ("y8_hi_std", [y8_hi_std]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((use_arg_then2 ("y9_hi_std", [y9_hi_std]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)));
 901    (((((use_arg_then2 ("y6_def", [y6_def]))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (repeat_tactic 0 10 (((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("y6_hi_std2", [y6_hi_std2])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("fanV", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (repeat_tactic 0 10 (((use_arg_then2 ("f_fan_pair_ext_power_in_dart", [f_fan_pair_ext_power_in_dart]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))))) THEN (done_tac));
 902 ];;
 903
 904 (* Lemma ineq_tau5_std *)
 905 let ineq_tau5_std = Sections.section_proof ["d"]
 906 `d IN darts_k 5 (hypermap_of_fan (V,E))
 907         ==> #0.4819 <= tau_fan (V,E) (face (hypermap_of_fan (V,E)) d)`
 908 [
 909    (((DISCH_THEN (fun snd_th -> (use_arg_then2 ("ineq_tau5_tauVEF_std", [ineq_tau5_tauVEF_std])) (thm_tac (match_mp_then snd_th MP_TAC)))) THEN BETA_TAC) THEN (((use_arg_then2 ("tau_fan", [tau_fan]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (arith_tac) THEN (done_tac));
 910 ];;
 911
 912 (* Finalization of the section Std *)
 913 let ineq_tau5_tauVEF_std = Sections.finalize_theorem ineq_tau5_tauVEF_std;;
 914 let ineq_tau5_std = Sections.finalize_theorem ineq_tau5_std;;
 915 Sections.end_section "Std";;
 916
 917 (* Finalization of the section Face5 *)
 918 let ineq_tau5_tauVEF = Sections.finalize_theorem ineq_tau5_tauVEF;;
 919 let ineq_tau5 = Sections.finalize_theorem ineq_tau5;;
 920 let ineq_tau5_tauVEF_std = Sections.finalize_theorem ineq_tau5_tauVEF_std;;
 921 let ineq_tau5_std = Sections.finalize_theorem ineq_tau5_std;;
 922 Sections.end_section "Face5";;
 923
 924 (* Section Face6 *)
 925 Sections.begin_section "Face6";;
 926 (Sections.add_section_hyp "ineq" (JEJTVGB_std_concl));;
 927
 928 (* Lemma ineq_tau6_tauVEF *)
 929 let ineq_tau6_tauVEF = Sections.section_proof ["d"]
 930 `d IN darts_k 6 (hypermap_of_fan (V,E))
 931         ==> y5_fan (V,E) d <= #2.52
 932         /\ y6_fan d <= #2.52
 933         /\ y8_fan (V,E) d <= #2.52
 934         /\ y9_fan (V,E) d <= #2.52
 935         /\ ye_fan ((f_fan_pair_ext (V,E) POWER 2) d) <= #2.52
 936         /\ ye_fan ((f_fan_pair_ext (V,E) POWER 3) d) <= #2.52
 937         ==> #0.712 <= tauVEF (V,E,face (hypermap_of_fan (V,E)) d)`
 938 [
 939    ((((use_arg_then2 ("h_fan", [])) (disch_tac [])) THEN (clear_assumption "h_fan") THEN BETA_TAC) THEN ((((use_arg_then2 ("lp_fan", [lp_fan]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ALL_TAC THEN (case THEN (move ["fanV"])) THEN (case THEN (move ["f_surr"])) THEN (case THEN (move ["diag"])) THEN (case THEN (move ["subV"])) THEN (move ["packV"])));
 940    ((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("COMPONENTS_HYPERMAP_OF_FAN", [COMPONENTS_HYPERMAP_OF_FAN])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("fanV", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun arg -> thm_tac MP_TAC arg THEN (case THEN ((move ["dartH"]) THEN (move ["_"])))));
 941    (((use_arg_then2 ("d", [])) (disch_tac [])) THEN (clear_assumption "d") THEN case THEN (move ["v"]) THEN (move ["w"]) THEN (move ["vw_in_k"]));
 942    ((((use_arg_then2 ("vw_in_k", [])) (disch_tac [])) THEN BETA_TAC) THEN (((((use_arg_then2 ("darts_k", [darts_k]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("inE", [inE]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("dartH", []))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN ALL_TAC THEN (case THEN (move ["vw_in"])) THEN (move ["card_f"]) THEN (move ["bounds"])));
 943    ((((use_arg_then2 ("f_surr_tau_fun_eq_tauVEF", [f_surr_tau_fun_eq_tauVEF]))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (repeat_tactic 0 10 (((use_arg_then2 ("lemma_in_face_set", [lemma_in_face_set]))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] [])))))) THEN ((TRY done_tac)));
 944    ((fun arg_tac -> (fun arg_tac -> (fun arg_tac -> (fun arg_tac -> arg_tac (Arg_theorem (let_RULE f_surr_localization_convex_local))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("fanV", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("f_surr", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("vw_in", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun arg -> thm_tac MP_TAC arg THEN (move ["c_local"])));
 945    ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`face _ (v,w)`))) (term_tac (set_tac "f")));
 946    ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`f IN face_set (hypermap_of_fan (V,E))`))) (term_tac (have_gen_tac [](move ["f_in"]))));
 947    (((((use_arg_then2 ("f_def", []))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (((use_arg_then2 ("lemma_in_face_set", [lemma_in_face_set]))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] [])))))) THEN (done_tac));
 948    ((((use_arg_then2 ("c_local", [])) (disch_tac [])) THEN BETA_TAC) THEN ((((use_arg_then2 ("convex_local_fan", [convex_local_fan]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ALL_TAC THEN (case THEN (move ["local"])) THEN (move ["_"])));
 949    (((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("ineq", [ineq])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("c_local", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (disch_tac [])) THEN BETA_TAC);
 950    ((((fun arg_tac -> (fun arg_tac -> arg_tac (Arg_theorem (GEN_ALL Local_lemmas.LOFA_IMP_CARD_FF_V_EQ))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("local", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (((use_arg_then2 ("card_f", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("d_tame", [d_tame]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))));
 951    ((THENL_FIRST) ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`~(6 = 3) /\ ~(6 = 4) /\ ~(6 = 5)`))) (term_tac (have_gen_tac [](move ["neqs"])))) ((arith_tac) THEN (done_tac)));
 952    (((repeat_tactic 1 9 (((use_arg_then2 ("neqs", []))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (simp_tac) THEN (((use_arg_then2 ("tau_fun_local", [tau_fun_local]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (repeat_tactic 0 10 (((use_arg_then2 ("f_def", []))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] [])))))) THEN (repeat_tactic 0 10 (((use_arg_then2 ("lemma_in_face_set", [lemma_in_face_set]))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] [])))))) THEN ((TRY done_tac))) THEN (DISCH_THEN apply_tac));
 953    ((((use_arg_then2 ("packing_v_prime", [packing_v_prime]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((use_arg_then2 ("v_prime_subset", [v_prime_subset]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((use_arg_then2 ("leqnn", [leqnn]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (repeat_tactic 1 9 (((use_arg_then2 ("andTb", [andTb]))(thm_tac (new_rewrite [] []))))));
 954    ((THENL_FIRST) (split_tac) ((arith_tac) THEN (done_tac)));
 955    ((THENL_FIRST) ((THENL) (split_tac) [((move ["a"]) THEN (move ["b"]) THEN (move ["h"])); ALL_TAC]) ((((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("local_diag", [local_diag])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("f_in", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (done_tac)));
 956    (((((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("local_std", [local_std])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("vw_in", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((use_arg_then2 ("card_f", []))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (move ["k"]) THEN (move ["k_lt"]));
 957    ((THENL_FIRST) ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`k = 0 \/ k = 1 \/ k = 2 \/ k = 3 \/ k = 4 \/ k = 5`))) (term_tac (have_gen_tac []ALL_TAC))) ((((use_arg_then2 ("k_lt", [])) (disch_tac [])) THEN (clear_assumption "k_lt") THEN BETA_TAC) THEN (arith_tac) THEN (done_tac)));
 958    ((repeat_tactic 1 9 (case)) THEN (BETA_TAC THEN (((conv_thm_tac DISCH_THEN)(thm_tac (new_rewrite [] []))))));
 959    (((((use_arg_then2 ("POWER_0", [POWER_0]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("I_THM", [I_THM]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("y6_fan", [y6_fan]))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] [])))))) THEN (done_tac));
 960    (((((use_arg_then2 ("POWER_1", [POWER_1]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("y9_fan", [y9_fan]))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] [])))))) THEN (done_tac));
 961    ((((use_arg_then2 ("ye_fan", [ye_fan]))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (done_tac));
 962    ((((use_arg_then2 ("ye_fan", [ye_fan]))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (done_tac));
 963    ((THENL_FIRST) ((((fun arg_tac -> (fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("f_fan_pair_ext_power_inverse", [f_fan_pair_ext_power_inverse])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("fanV", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("vw_in", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("f_def", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("card_f", []))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) ((arith_tac) THEN (done_tac)));
 964    ((THENL_FIRST) ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`6 - 4 = 2`))) (term_tac (have_gen_tac [](((conv_thm_tac DISCH_THEN)(thm_tac (new_rewrite [] []))))))) ((arith_tac) THEN (done_tac)));
 965    (((((use_arg_then2 ("POWER_2", [POWER_2]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("o_THM", [o_THM]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("y5_fan", [y5_fan]))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (((use_arg_then2 ("y8_fan", [y8_fan]))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] [])))))) THEN (done_tac));
 966    ((THENL_FIRST) ((((fun arg_tac -> (fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("f_fan_pair_ext_power_inverse", [f_fan_pair_ext_power_inverse])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("fanV", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("vw_in", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("f_def", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("card_f", []))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) ((arith_tac) THEN (done_tac)));
 967    ((THENL_FIRST) ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`6 - 5 = 1`))) (term_tac (have_gen_tac [](((conv_thm_tac DISCH_THEN)(thm_tac (new_rewrite [] []))))))) ((arith_tac) THEN (done_tac)));
 968    (((((use_arg_then2 ("POWER_1", [POWER_1]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("y5_fan", [y5_fan]))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] [])))))) THEN (done_tac));
 969 ];;
 970
 971 (* Lemma ineq_tau6 *)
 972 let ineq_tau6 = Sections.section_proof ["d"]
 973 `d IN darts_k 6 (hypermap_of_fan (V,E))
 974         ==> y5_fan (V,E) d <= #2.52
 975         /\ y6_fan d <= #2.52
 976         /\ y8_fan (V,E) d <= #2.52
 977         /\ y9_fan (V,E) d <= #2.52
 978         /\ ye_fan ((f_fan_pair_ext (V,E) POWER 2) d) <= #2.52
 979         /\ ye_fan ((f_fan_pair_ext (V,E) POWER 3) d) <= #2.52
 980         ==> #0.712 <= tau_fan (V,E) (face (hypermap_of_fan (V,E)) d)`
 981 [
 982    (BETA_TAC THEN (move ["d_in"]) THEN (move ["bounds"]));
 983    ((fun arg_tac -> (fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("ineq_tau6_tauVEF", [ineq_tau6_tauVEF])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("d_in", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("bounds", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun arg -> thm_tac MP_TAC arg THEN ALL_TAC));
 984    ((((use_arg_then2 ("tau_fan", [tau_fan]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (arith_tac) THEN (done_tac));
 985 ];;
 986
 987 (* Section Std *)
 988 Sections.begin_section "Std";;
 989 (Sections.add_section_hyp "std" (`E = ESTD V`));;
 990
 991 (* Lemma ineq_tau6_tauVEF_std *)
 992 let ineq_tau6_tauVEF_std = Sections.section_proof ["d"]
 993 `d IN darts_k 6 (hypermap_of_fan (V,E))
 994         ==> #0.712 <= tauVEF (V,E,face (hypermap_of_fan (V,E)) d)`
 995 [
 996    ((((use_arg_then2 ("h_fan", [])) (disch_tac [])) THEN BETA_TAC) THEN ((((use_arg_then2 ("lp_fan", [lp_fan]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ALL_TAC THEN (case THEN (move ["fanV"])) THEN (case THEN (move ["f_surr"])) THEN (case THEN (move ["diag"])) THEN (case THEN (move ["subV"])) THEN (move ["packV"])));
 997    ((BETA_TAC THEN (move ["d_in6"])) THEN (((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("ineq_tau6_tauVEF", [ineq_tau6_tauVEF])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("d_in6", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (disch_tac [])) THEN (DISCH_THEN apply_tac)));
 998    ((((use_arg_then2 ("d_in6", [])) (disch_tac [])) THEN (clear_assumption "d_in6") THEN BETA_TAC) THEN (((((use_arg_then2 ("darts_k", [darts_k]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("inE", [inE]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("COMPONENTS_HYPERMAP_OF_FAN", [COMPONENTS_HYPERMAP_OF_FAN])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("fanV", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN ALL_TAC THEN (case THEN (move ["d_in"])) THEN (move ["_"])));
 999    ((((use_arg_then2 ("y5_hi_std2", [y5_hi_std2]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("y6_hi_std2", [y6_hi_std2])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("fanV", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((use_arg_then2 ("y8_hi_std", [y8_hi_std]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((use_arg_then2 ("y9_hi_std", [y9_hi_std]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)));
1000    ((((use_arg_then2 ("y6_def", [y6_def]))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (repeat_tactic 0 10 (((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("y6_hi_std2", [y6_hi_std2])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("fanV", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (repeat_tactic 0 10 (((use_arg_then2 ("f_fan_pair_ext_power_in_dart", [f_fan_pair_ext_power_in_dart]))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN ((TRY done_tac)));
1001    (((((use_arg_then2 ("y6_def", [y6_def]))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (repeat_tactic 0 10 (((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("y6_hi_std2", [y6_hi_std2])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("fanV", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (repeat_tactic 0 10 (((use_arg_then2 ("f_fan_pair_ext_power_in_dart", [f_fan_pair_ext_power_in_dart]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))))) THEN (done_tac));
1002 ];;
1003
1004 (* Lemma ineq_tau6_std *)
1005 let ineq_tau6_std = Sections.section_proof ["d"]
1006 `d IN darts_k 6 (hypermap_of_fan (V,E))
1007         ==> #0.712 <= tau_fan (V,E) (face (hypermap_of_fan (V,E)) d)`
1008 [
1009    (((DISCH_THEN (fun snd_th -> (use_arg_then2 ("ineq_tau6_tauVEF_std", [ineq_tau6_tauVEF_std])) (thm_tac (match_mp_then snd_th MP_TAC)))) THEN BETA_TAC) THEN (((use_arg_then2 ("tau_fan", [tau_fan]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (arith_tac) THEN (done_tac));
1010 ];;
1011
1012 (* Finalization of the section Std *)
1013 let ineq_tau6_tauVEF_std = Sections.finalize_theorem ineq_tau6_tauVEF_std;;
1014 let ineq_tau6_std = Sections.finalize_theorem ineq_tau6_std;;
1015 Sections.end_section "Std";;
1016
1017 (* Finalization of the section Face6 *)
1018 let ineq_tau6_tauVEF = Sections.finalize_theorem ineq_tau6_tauVEF;;
1019 let ineq_tau6 = Sections.finalize_theorem ineq_tau6;;
1020 let ineq_tau6_tauVEF_std = Sections.finalize_theorem ineq_tau6_tauVEF_std;;
1021 let ineq_tau6_std = Sections.finalize_theorem ineq_tau6_std;;
1022 Sections.end_section "Face6";;
1023
1024 (* Section Face5_pro *)
1025 Sections.begin_section "Face5_pro";;
1026 (Sections.add_section_hyp "ineq" (JEJTVGB_pent_pro_concl));;
1027
1028 (* Lemma ineq_tau5_pro_tauVEF_aux *)
1029 let ineq_tau5_pro_tauVEF_aux = Sections.section_proof ["d"]
1030 `d IN darts_k 5 (hypermap_of_fan (V,E))
1031         ==> y5_fan (V,E) d <= #2.52
1032         /\ y8_fan (V,E) d <= #2.52
1033         /\ y9_fan (V,E) d <= #2.52
1034         /\ ye_fan ((f_fan_pair_ext (V,E) POWER 2) d) <= #2.52
1035         /\ #2.52 <= y6_fan d /\ y6_fan d <= sqrt8
1036         ==> #0.616 <= tauVEF (V,E,face (hypermap_of_fan (V,E)) d)`
1037 [
1038    ((((use_arg_then2 ("h_fan", [])) (disch_tac [])) THEN (clear_assumption "h_fan") THEN BETA_TAC) THEN ((((use_arg_then2 ("lp_fan", [lp_fan]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ALL_TAC THEN (case THEN (move ["fanV"])) THEN (case THEN (move ["f_surr"])) THEN (case THEN (move ["diag"])) THEN (case THEN (move ["subV"])) THEN (move ["packV"])));
1039    ((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("COMPONENTS_HYPERMAP_OF_FAN", [COMPONENTS_HYPERMAP_OF_FAN])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("fanV", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun arg -> thm_tac MP_TAC arg THEN (case THEN ((move ["dartH"]) THEN (move ["_"])))));
1040    (((use_arg_then2 ("d", [])) (disch_tac [])) THEN (clear_assumption "d") THEN case THEN (move ["v"]) THEN (move ["w"]) THEN (move ["vw_in_k"]));
1041    ((((use_arg_then2 ("vw_in_k", [])) (disch_tac [])) THEN BETA_TAC) THEN (((((use_arg_then2 ("darts_k", [darts_k]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("inE", [inE]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("dartH", []))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN ALL_TAC THEN (case THEN (move ["vw_in"])) THEN (move ["card_f"]) THEN (move ["bounds"])));
1042    ((((use_arg_then2 ("f_surr_tau_fun_eq_tauVEF", [f_surr_tau_fun_eq_tauVEF]))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (repeat_tactic 0 10 (((use_arg_then2 ("lemma_in_face_set", [lemma_in_face_set]))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] [])))))) THEN ((TRY done_tac)));
1043    ((fun arg_tac -> (fun arg_tac -> (fun arg_tac -> (fun arg_tac -> arg_tac (Arg_theorem (let_RULE f_surr_localization_convex_local))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("fanV", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("f_surr", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("vw_in", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun arg -> thm_tac MP_TAC arg THEN (move ["c_local"])));
1044    ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`face _ (v,w)`))) (term_tac (set_tac "f")));
1045    ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`f IN face_set (hypermap_of_fan (V,E))`))) (term_tac (have_gen_tac [](move ["f_in"]))));
1046    (((((use_arg_then2 ("f_def", []))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (((use_arg_then2 ("lemma_in_face_set", [lemma_in_face_set]))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] [])))))) THEN (done_tac));
1047    ((((use_arg_then2 ("c_local", [])) (disch_tac [])) THEN BETA_TAC) THEN ((((use_arg_then2 ("convex_local_fan", [convex_local_fan]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ALL_TAC THEN (case THEN (move ["local"])) THEN (move ["_"])));
1048    (((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("ineq", [ineq])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("c_local", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (disch_tac [])) THEN BETA_TAC);
1049    ((((fun arg_tac -> (fun arg_tac -> arg_tac (Arg_theorem (GEN_ALL Local_lemmas.LOFA_IMP_CARD_FF_V_EQ))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("local", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (((use_arg_then2 ("card_f", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (simp_tac));
1050    (((((use_arg_then2 ("tau_fun_local", [tau_fun_local]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (repeat_tactic 0 10 (((use_arg_then2 ("f_def", []))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] [])))))) THEN (repeat_tactic 0 10 (((use_arg_then2 ("lemma_in_face_set", [lemma_in_face_set]))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] [])))))) THEN ((TRY done_tac))) THEN (DISCH_THEN apply_tac));
1051    ((((use_arg_then2 ("packing_v_prime", [packing_v_prime]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((use_arg_then2 ("v_prime_subset", [v_prime_subset]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (repeat_tactic 1 9 (((use_arg_then2 ("andTb", [andTb]))(thm_tac (new_rewrite [] []))))));
1052    ((THENL_FIRST) ((THENL) (split_tac) [((move ["a"]) THEN (move ["b"]) THEN (move ["h"])); ALL_TAC]) ((((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("local_diag", [local_diag])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("f_in", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (done_tac)));
1053    ((THENL_ROT (-1)) (((((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("local_pro", [local_pro])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("vw_in", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((use_arg_then2 ("card_f", []))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`0`))) (term_tac exists_tac)) THEN (split_tac)));
1054    (((((use_arg_then2 ("POWER_0", [POWER_0]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("I_THM", [I_THM]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("y6_fan", [y6_fan]))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (repeat_tactic 1 9 (((use_arg_then2 ("bounds", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))))) THEN (arith_tac) THEN (done_tac));
1055    (BETA_TAC THEN (move ["k"]) THEN (move ["k_ineq"]));
1056    ((THENL_FIRST) ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`k = 1 \/ k = 2 \/ k = 3 \/ k = 4`))) (term_tac (have_gen_tac []ALL_TAC))) ((((use_arg_then2 ("k_ineq", [])) (disch_tac [])) THEN (clear_assumption "k_ineq") THEN BETA_TAC) THEN (arith_tac) THEN (done_tac)));
1057    ((repeat_tactic 1 9 (case)) THEN (BETA_TAC THEN (((conv_thm_tac DISCH_THEN)(thm_tac (new_rewrite [] []))))));
1058    (((((use_arg_then2 ("POWER_1", [POWER_1]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("y9_fan", [y9_fan]))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] [])))))) THEN (done_tac));
1059    ((((use_arg_then2 ("ye_fan", [ye_fan]))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (done_tac));
1060    ((THENL_FIRST) ((((fun arg_tac -> (fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("f_fan_pair_ext_power_inverse", [f_fan_pair_ext_power_inverse])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("fanV", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("vw_in", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("f_def", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("card_f", []))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) ((arith_tac) THEN (done_tac)));
1061    ((THENL_FIRST) ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`5 - 3 = 2`))) (term_tac (have_gen_tac [](((conv_thm_tac DISCH_THEN)(thm_tac (new_rewrite [] []))))))) ((arith_tac) THEN (done_tac)));
1062    (((((use_arg_then2 ("POWER_2", [POWER_2]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("o_THM", [o_THM]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("y5_fan", [y5_fan]))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (((use_arg_then2 ("y8_fan", [y8_fan]))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] [])))))) THEN (done_tac));
1063    ((THENL_FIRST) ((((fun arg_tac -> (fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("f_fan_pair_ext_power_inverse", [f_fan_pair_ext_power_inverse])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("fanV", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("vw_in", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("f_def", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("card_f", []))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) ((arith_tac) THEN (done_tac)));
1064    ((THENL_FIRST) ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`5 - 4 = 1`))) (term_tac (have_gen_tac [](((conv_thm_tac DISCH_THEN)(thm_tac (new_rewrite [] []))))))) ((arith_tac) THEN (done_tac)));
1065    (((((use_arg_then2 ("POWER_1", [POWER_1]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("y5_fan", [y5_fan]))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] [])))))) THEN (done_tac));
1066 ];;
1067
1068 (* Lemma ineq_tau5_pro_tauVEF *)
1069 let ineq_tau5_pro_tauVEF = Sections.section_proof ["d"]
1070 `d IN darts_k 5 (hypermap_of_fan (V,E))
1071         ==> y5_fan (V,E) d <= #2.52
1072         /\ y6_fan d <= #2.52
1073         /\ y8_fan (V,E) d <= #2.52
1074         /\ ye_fan ((f_fan_pair_ext (V,E) POWER 2) d) <= #2.52
1075         /\ #2.52 <= y9_fan (V,E) d /\ y9_fan (V,E) d <= sqrt8
1076         ==> #0.616 <= tauVEF (V,E,face (hypermap_of_fan (V,E)) d)`
1077 [
1078    ((((use_arg_then2 ("h_fan", [])) (disch_tac [])) THEN (clear_assumption "h_fan") THEN BETA_TAC) THEN ((((use_arg_then2 ("lp_fan", [lp_fan]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ALL_TAC THEN (case THEN (move ["fanV"])) THEN (case THEN (move ["f_surr"])) THEN (case THEN (move ["diag"])) THEN (case THEN (move ["subV"])) THEN (move ["packV"])));
1079    ((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("COMPONENTS_HYPERMAP_OF_FAN", [COMPONENTS_HYPERMAP_OF_FAN])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("fanV", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun arg -> thm_tac MP_TAC arg THEN (case THEN ((move ["dartH"]) THEN (move ["_"])))));
1080    (((use_arg_then2 ("d", [])) (disch_tac [])) THEN (clear_assumption "d") THEN case THEN (move ["v"]) THEN (move ["w"]) THEN (move ["vw_in_k"]));
1081    ((((use_arg_then2 ("vw_in_k", [])) (disch_tac [])) THEN BETA_TAC) THEN (((((use_arg_then2 ("darts_k", [darts_k]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("inE", [inE]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("dartH", []))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN ALL_TAC THEN (case THEN (move ["vw_in"])) THEN (move ["card_f"]) THEN (move ["bounds"])));
1082    ((((use_arg_then2 ("f_surr_tau_fun_eq_tauVEF", [f_surr_tau_fun_eq_tauVEF]))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (repeat_tactic 0 10 (((use_arg_then2 ("lemma_in_face_set", [lemma_in_face_set]))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] [])))))) THEN ((TRY done_tac)));
1083    ((fun arg_tac -> (fun arg_tac -> (fun arg_tac -> (fun arg_tac -> arg_tac (Arg_theorem (let_RULE f_surr_localization_convex_local))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("fanV", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("f_surr", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("vw_in", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun arg -> thm_tac MP_TAC arg THEN (move ["c_local"])));
1084    ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`face _ (v,w)`))) (term_tac (set_tac "f")));
1085    ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`f IN face_set (hypermap_of_fan (V,E))`))) (term_tac (have_gen_tac [](move ["f_in"]))));
1086    (((((use_arg_then2 ("f_def", []))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (((use_arg_then2 ("lemma_in_face_set", [lemma_in_face_set]))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] [])))))) THEN (done_tac));
1087    ((((use_arg_then2 ("c_local", [])) (disch_tac [])) THEN BETA_TAC) THEN ((((use_arg_then2 ("convex_local_fan", [convex_local_fan]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ALL_TAC THEN (case THEN (move ["local"])) THEN (move ["_"])));
1088    (((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("ineq", [ineq])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("c_local", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (disch_tac [])) THEN BETA_TAC);
1089    ((((fun arg_tac -> (fun arg_tac -> arg_tac (Arg_theorem (GEN_ALL Local_lemmas.LOFA_IMP_CARD_FF_V_EQ))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("local", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (((use_arg_then2 ("card_f", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (simp_tac));
1090    (((((use_arg_then2 ("tau_fun_local", [tau_fun_local]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (repeat_tactic 0 10 (((use_arg_then2 ("f_def", []))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] [])))))) THEN (repeat_tactic 0 10 (((use_arg_then2 ("lemma_in_face_set", [lemma_in_face_set]))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] [])))))) THEN ((TRY done_tac))) THEN (DISCH_THEN apply_tac));
1091    ((((use_arg_then2 ("packing_v_prime", [packing_v_prime]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((use_arg_then2 ("v_prime_subset", [v_prime_subset]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (repeat_tactic 1 9 (((use_arg_then2 ("andTb", [andTb]))(thm_tac (new_rewrite [] []))))));
1092    ((THENL_FIRST) ((THENL) (split_tac) [((move ["a"]) THEN (move ["b"]) THEN (move ["h"])); ALL_TAC]) ((((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("local_diag", [local_diag])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("f_in", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (done_tac)));
1093    ((THENL_ROT (-1)) (((((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("local_pro", [local_pro])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("vw_in", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((use_arg_then2 ("card_f", []))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`1`))) (term_tac exists_tac)) THEN (split_tac)));
1094    (((((use_arg_then2 ("POWER_1", [POWER_1]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("y9_fan", [y9_fan]))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (repeat_tactic 1 9 (((use_arg_then2 ("bounds", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))))) THEN (arith_tac) THEN (done_tac));
1095    (BETA_TAC THEN (move ["k"]) THEN (move ["k_ineq"]));
1096    ((THENL_FIRST) ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`k = 0 \/ k = 2 \/ k = 3 \/ k = 4`))) (term_tac (have_gen_tac []ALL_TAC))) ((((use_arg_then2 ("k_ineq", [])) (disch_tac [])) THEN (clear_assumption "k_ineq") THEN BETA_TAC) THEN (arith_tac) THEN (done_tac)));
1097    ((repeat_tactic 1 9 (case)) THEN (BETA_TAC THEN (((conv_thm_tac DISCH_THEN)(thm_tac (new_rewrite [] []))))));
1098    (((((use_arg_then2 ("POWER_0", [POWER_0]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("I_THM", [I_THM]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("y6_fan", [y6_fan]))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] [])))))) THEN (done_tac));
1099    ((((use_arg_then2 ("ye_fan", [ye_fan]))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (done_tac));
1100    ((THENL_FIRST) ((((fun arg_tac -> (fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("f_fan_pair_ext_power_inverse", [f_fan_pair_ext_power_inverse])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("fanV", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("vw_in", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("f_def", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("card_f", []))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) ((arith_tac) THEN (done_tac)));
1101    ((THENL_FIRST) ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`5 - 3 = 2`))) (term_tac (have_gen_tac [](((conv_thm_tac DISCH_THEN)(thm_tac (new_rewrite [] []))))))) ((arith_tac) THEN (done_tac)));
1102    (((((use_arg_then2 ("POWER_2", [POWER_2]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("o_THM", [o_THM]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("y5_fan", [y5_fan]))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (((use_arg_then2 ("y8_fan", [y8_fan]))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] [])))))) THEN (done_tac));
1103    ((THENL_FIRST) ((((fun arg_tac -> (fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("f_fan_pair_ext_power_inverse", [f_fan_pair_ext_power_inverse])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("fanV", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("vw_in", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("f_def", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("card_f", []))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) ((arith_tac) THEN (done_tac)));
1104    ((THENL_FIRST) ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`5 - 4 = 1`))) (term_tac (have_gen_tac [](((conv_thm_tac DISCH_THEN)(thm_tac (new_rewrite [] []))))))) ((arith_tac) THEN (done_tac)));
1105    (((((use_arg_then2 ("POWER_1", [POWER_1]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("y5_fan", [y5_fan]))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] [])))))) THEN (done_tac));
1106 ];;
1107
1108 (* Lemma ineq_tau5_pro *)
1109 let ineq_tau5_pro = Sections.section_proof ["d"]
1110 `d IN darts_k 5 (hypermap_of_fan (V,E))
1111         ==> y5_fan (V,E) d <= #2.52
1112         /\ y6_fan d <= #2.52
1113         /\ y8_fan (V,E) d <= #2.52
1114         /\ ye_fan ((f_fan_pair_ext (V,E) POWER 2) d) <= #2.52
1115         /\ #2.52 <= y9_fan (V,E) d /\ y9_fan (V,E) d <= sqrt8
1116         ==> #0.616 <= tau_fan (V,E) (face (hypermap_of_fan (V,E)) d)`
1117 [
1118    (BETA_TAC THEN (move ["d_in"]) THEN (move ["bounds"]));
1119    ((fun arg_tac -> (fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("ineq_tau5_pro_tauVEF", [ineq_tau5_pro_tauVEF])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("d_in", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("bounds", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun arg -> thm_tac MP_TAC arg THEN ALL_TAC));
1120    ((((use_arg_then2 ("tau_fan", [tau_fan]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (arith_tac) THEN (done_tac));
1121 ];;
1122
1123 (* Finalization of the section Face5_pro *)
1124 let ineq_tau5_pro_tauVEF_aux = Sections.finalize_theorem ineq_tau5_pro_tauVEF_aux;;
1125 let ineq_tau5_pro_tauVEF = Sections.finalize_theorem ineq_tau5_pro_tauVEF;;
1126 let ineq_tau5_pro = Sections.finalize_theorem ineq_tau5_pro;;
1127 Sections.end_section "Face5_pro";;
1128
1129 (* Section Face4_pro *)
1130 Sections.begin_section "Face4_pro";;
1131 (Sections.add_section_hyp "ineq" (JEJTVGB_quad_pro_concl));;
1132
1133 (* Lemma ineq_tau4_pro_tauVEF_aux *)
1134 let ineq_tau4_pro_tauVEF_aux = Sections.section_proof ["d"]
1135 `d IN darts_k 4 (hypermap_of_fan (V,E))
1136         ==> y5_fan (V,E) d <= #2.52
1137         /\ y8_fan (V,E) d <= #2.52
1138         /\ y9_fan (V,E) d <= #2.52
1139         /\ #2.52 <= y6_fan d /\ y6_fan d <= sqrt8
1140         /\ sqrt8 <= y4'_fan (V,E) d
1141         /\ sqrt8 <= y4'_fan (V,E) (f_fan_pair_ext (V,E) d)
1142         ==> #0.477 <= tauVEF (V,E,face (hypermap_of_fan (V,E)) d)`
1143 [
1144    ((((use_arg_then2 ("h_fan", [])) (disch_tac [])) THEN (clear_assumption "h_fan") THEN BETA_TAC) THEN ((((use_arg_then2 ("lp_fan", [lp_fan]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ALL_TAC THEN (case THEN (move ["fanV"])) THEN (case THEN (move ["f_surr"])) THEN (case THEN (move ["diag"])) THEN (case THEN (move ["subV"])) THEN (move ["packV"])));
1145    ((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("COMPONENTS_HYPERMAP_OF_FAN", [COMPONENTS_HYPERMAP_OF_FAN])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("fanV", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun arg -> thm_tac MP_TAC arg THEN (case THEN ((move ["dartH"]) THEN (move ["_"])))));
1146    (((use_arg_then2 ("d", [])) (disch_tac [])) THEN (clear_assumption "d") THEN case THEN (move ["v"]) THEN (move ["w"]) THEN (move ["vw_in4"]));
1147    ((((use_arg_then2 ("vw_in4", [])) (disch_tac [])) THEN BETA_TAC) THEN (((((use_arg_then2 ("darts_k", [darts_k]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("inE", [inE]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("dartH", []))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN ALL_TAC THEN (case THEN (move ["vw_in"])) THEN (move ["card_f"]) THEN (move ["bounds"])));
1148    ((((use_arg_then2 ("f_surr_tau_fun_eq_tauVEF", [f_surr_tau_fun_eq_tauVEF]))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (repeat_tactic 0 10 (((use_arg_then2 ("lemma_in_face_set", [lemma_in_face_set]))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] [])))))) THEN ((TRY done_tac)));
1149    ((fun arg_tac -> (fun arg_tac -> (fun arg_tac -> (fun arg_tac -> arg_tac (Arg_theorem (let_RULE f_surr_localization_convex_local))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("fanV", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("f_surr", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("vw_in", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun arg -> thm_tac MP_TAC arg THEN (move ["c_local"])));
1150    ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`face _ (v,w)`))) (term_tac (set_tac "f")));
1151    ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`f IN face_set (hypermap_of_fan (V,E))`))) (term_tac (have_gen_tac [](move ["f_in"]))));
1152    (((((use_arg_then2 ("f_def", []))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (((use_arg_then2 ("lemma_in_face_set", [lemma_in_face_set]))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] [])))))) THEN (done_tac));
1153    ((((use_arg_then2 ("c_local", [])) (disch_tac [])) THEN BETA_TAC) THEN ((((use_arg_then2 ("convex_local_fan", [convex_local_fan]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ALL_TAC THEN (case THEN (move ["local"])) THEN (move ["_"])));
1154    (((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("ineq", [ineq])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("c_local", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (disch_tac [])) THEN BETA_TAC);
1155    ((((fun arg_tac -> (fun arg_tac -> arg_tac (Arg_theorem (GEN_ALL Local_lemmas.LOFA_IMP_CARD_FF_V_EQ))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("local", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (((use_arg_then2 ("card_f", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (simp_tac));
1156    (((((use_arg_then2 ("tau_fun_local", [tau_fun_local]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (repeat_tactic 0 10 (((use_arg_then2 ("f_def", []))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] [])))))) THEN (repeat_tactic 0 10 (((use_arg_then2 ("lemma_in_face_set", [lemma_in_face_set]))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] [])))))) THEN ((TRY done_tac))) THEN (DISCH_THEN apply_tac));
1157    ((((use_arg_then2 ("packing_v_prime", [packing_v_prime]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((use_arg_then2 ("v_prime_subset", [v_prime_subset]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (repeat_tactic 1 9 (((use_arg_then2 ("andTb", [andTb]))(thm_tac (new_rewrite [] []))))));
1158    ((THENL) (split_tac) [((move ["a"]) THEN (move ["b"]) THEN (case THEN (move ["a_neq_b"])) THEN (case THEN (move ["a_in"])) THEN (case THEN (move ["b_in"])) THEN (move ["ab_not_in"])); ALL_TAC]);
1159    ((fun arg_tac -> (fun arg_tac -> (fun arg_tac -> (fun arg_tac -> arg_tac (Arg_theorem (let_RULE quad_diags_imp))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("fanV", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("vw_in4", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("a_neq_b", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun arg -> thm_tac MP_TAC arg THEN ALL_TAC));
1160    ((((use_arg_then2 ("f_def", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((fun arg_tac -> (fun arg_tac -> (fun arg_tac ->  (conv_thm_tac DISCH_THEN)  (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("a_in", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("b_in", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("ab_not_in", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (thm_tac MP_TAC)));
1161    ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`sigma_fan _ V E v w`))) (term_tac (set_tac "w'")));
1162    ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`sigma_fan _ V E w' v`))) (term_tac (set_tac "u")));
1163    (((use_arg_then2 ("bounds", [])) (disch_tac [])) THEN (clear_assumption "bounds") THEN BETA_TAC THEN (case THEN (move ["_"])) THEN (case THEN (move ["_"])) THEN (case THEN (move ["_"])) THEN (case THEN (move ["_"])) THEN (case THEN (move ["_"])));
1164    ((repeat_tactic 1 9 (((use_arg_then2 ("y4'_fan", [y4'_fan]))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("PERMUTES_INVERSES", [PERMUTES_INVERSES])) (fun fst_arg -> (fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("F_FAN_PAIR_EXT_PERMUTES_DART_OF_FAN", [F_FAN_PAIR_EXT_PERMUTES_DART_OF_FAN])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("fanV", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] [])))));
1165    ((((use_arg_then2 ("INVERSE_F_FAN_PAIR_EXT_EXPLICIT", [INVERSE_F_FAN_PAIR_EXT_EXPLICIT]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((use_arg_then2 ("res", [res]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("dart1_eq", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("vw_in", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (simp_tac));
1166    (((((fun arg_tac -> (fun arg_tac -> arg_tac (Arg_theorem (let_RULE face4_eq))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("vw_in4", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((use_arg_then2 ("SND", [SND]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("w'_def", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("u_def", []))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (move ["diag_ineqs"]));
1167    (case THEN (case THEN (((conv_thm_tac DISCH_THEN)(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac))) THEN (((use_arg_then2 ("DIST_SYM", [DIST_SYM]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (done_tac));
1168    ((((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("local_pro", [local_pro])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("vw_in", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((use_arg_then2 ("card_f", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))));
1169    ((THENL_ROT (-1)) (((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`0`))) (term_tac exists_tac)) THEN (split_tac)));
1170    (((((use_arg_then2 ("POWER_0", [POWER_0]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("I_THM", [I_THM]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("y6_fan", [y6_fan]))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (repeat_tactic 1 9 (((use_arg_then2 ("bounds", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))))) THEN (arith_tac) THEN (done_tac));
1171    (BETA_TAC THEN (move ["k"]) THEN (move ["k_ineqs"]));
1172    ((THENL_FIRST) ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`k = 1 \/ k = 2 \/ k = 3`))) (term_tac (have_gen_tac []ALL_TAC))) ((((use_arg_then2 ("k_ineqs", [])) (disch_tac [])) THEN (clear_assumption "k_ineqs") THEN BETA_TAC) THEN (arith_tac) THEN (done_tac)));
1173    ((repeat_tactic 1 9 (case)) THEN (BETA_TAC THEN (((conv_thm_tac DISCH_THEN)(thm_tac (new_rewrite [] []))))));
1174    (((((use_arg_then2 ("POWER_1", [POWER_1]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("y9_fan", [y9_fan]))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (repeat_tactic 1 9 (((use_arg_then2 ("bounds", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))))) THEN (arith_tac) THEN (done_tac));
1175    ((THENL_FIRST) ((((fun arg_tac -> (fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("f_fan_pair_ext_power_inverse", [f_fan_pair_ext_power_inverse])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("fanV", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("vw_in", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("f_def", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("card_f", []))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) ((arith_tac) THEN (done_tac)));
1176    ((THENL_FIRST) ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`4 - 2 = 2`))) (term_tac (have_gen_tac [](((conv_thm_tac DISCH_THEN)(thm_tac (new_rewrite [] []))))))) ((arith_tac) THEN (done_tac)));
1177    (((((use_arg_then2 ("POWER_2", [POWER_2]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("o_THM", [o_THM]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("y5_fan", [y5_fan]))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (((use_arg_then2 ("y8_fan", [y8_fan]))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] [])))))) THEN (done_tac));
1178    ((THENL_FIRST) ((((fun arg_tac -> (fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("f_fan_pair_ext_power_inverse", [f_fan_pair_ext_power_inverse])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("fanV", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("vw_in", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("f_def", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("card_f", []))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) ((arith_tac) THEN (done_tac)));
1179    ((THENL_FIRST) ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`4 - 3 = 1`))) (term_tac (have_gen_tac [](((conv_thm_tac DISCH_THEN)(thm_tac (new_rewrite [] []))))))) ((arith_tac) THEN (done_tac)));
1180    (((((use_arg_then2 ("POWER_1", [POWER_1]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("y5_fan", [y5_fan]))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] [])))))) THEN (done_tac));
1181 ];;
1182
1183 (* Lemma ineq_tau4_pro_tauVEF *)
1184 let ineq_tau4_pro_tauVEF = Sections.section_proof ["d"]
1185 `d IN darts_k 4 (hypermap_of_fan (V,E))
1186         ==> y5_fan (V,E) d <= #2.52
1187         /\ y6_fan d <= #2.52
1188         /\ y8_fan (V,E) d <= #2.52
1189         /\ #2.52 <= y9_fan (V,E) d /\ y9_fan (V,E) d <= sqrt8
1190         /\ sqrt8 <= y4'_fan (V,E) d
1191         /\ sqrt8 <= y4'_fan (V,E) (f_fan_pair_ext (V,E) d)
1192         ==> #0.477 <= tauVEF (V,E,face (hypermap_of_fan (V,E)) d)`
1193 [
1194    (BETA_TAC THEN (move ["d_in4"]) THEN (move ["bounds"]));
1195    ((((use_arg_then2 ("h_fan", [])) (disch_tac [])) THEN BETA_TAC) THEN ((((use_arg_then2 ("lp_fan", [lp_fan]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ALL_TAC THEN (case THEN (move ["fanV"])) THEN (case THEN (move ["f_surr"])) THEN (case THEN (move ["diag"])) THEN (case THEN (move ["subV"])) THEN (move ["packV"])));
1196    ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`face (hypermap_of_fan (V,E)) d = face (hypermap_of_fan (V,E)) (f_fan_pair_ext (V,E) d)`))) (term_tac (have_gen_tac [](move ["f_eq"]))));
1197    (((use_arg_then2 ("lemma_face_identity", [lemma_face_identity])) (thm_tac apply_tac)) THEN (((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("COMPONENTS_HYPERMAP_OF_FAN", [COMPONENTS_HYPERMAP_OF_FAN])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("fanV", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))));
1198    (((((use_arg_then2 ("POWER_1", [POWER_1]))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (((use_arg_then2 ("lemma_in_face", [lemma_in_face]))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (done_tac));
1199    ((((use_arg_then2 ("f_eq", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((use_arg_then2 ("ineq_tau4_pro_tauVEF_aux", [ineq_tau4_pro_tauVEF_aux])) (thm_tac apply_tac)));
1200    ((repeat_tactic 1 9 (((use_arg_then2 ("dart4_yf_eq", [dart4_yf_eq]))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (repeat_tactic 1 9 (((use_arg_then2 ("bounds", []))(thm_tac (new_rewrite [] []))))));
1201    (((THENL_ROT 1)) ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`_1 IN _2`))) (term_tac (have_gen_tac [](move ["in4"])))));
1202    (((((use_arg_then2 ("dart4_cross_eq_y4'", [dart4_cross_eq_y4']))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("PERMUTES_INVERSES", [PERMUTES_INVERSES])) (fun fst_arg -> (fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("F_FAN_PAIR_EXT_PERMUTES_DART_OF_FAN", [F_FAN_PAIR_EXT_PERMUTES_DART_OF_FAN])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("fanV", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (done_tac));
1203    ((((use_arg_then2 ("d_in4", [])) (disch_tac [])) THEN (clear_assumption "d_in4") THEN BETA_TAC) THEN (((((use_arg_then2 ("darts_k", [darts_k]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (repeat_tactic 1 9 (((use_arg_then2 ("inE", [inE]))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (((use_arg_then2 ("f_eq", []))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("COMPONENTS_HYPERMAP_OF_FAN", [COMPONENTS_HYPERMAP_OF_FAN])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("fanV", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] [])))))) THEN ALL_TAC THEN (case THEN (move ["d_in"])) THEN (move ["card_f"])));
1204    ((((use_arg_then2 ("lemma_dart_invariant", [lemma_dart_invariant]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (done_tac));
1205 ];;
1206
1207 (* Lemma ineq_tau4_pro *)
1208 let ineq_tau4_pro = Sections.section_proof ["d"]
1209 `d IN darts_k 4 (hypermap_of_fan (V,E))
1210         ==> y5_fan (V,E) d <= #2.52
1211         /\ y6_fan d <= #2.52
1212         /\ y8_fan (V,E) d <= #2.52
1213         /\ #2.52 <= y9_fan (V,E) d /\ y9_fan (V,E) d <= sqrt8
1214         /\ sqrt8 <= y4'_fan (V,E) d
1215         /\ sqrt8 <= y4'_fan (V,E) (f_fan_pair_ext (V,E) d)
1216         ==> #0.477 <= tau_fan (V,E) (face (hypermap_of_fan (V,E)) d)`
1217 [
1218    (BETA_TAC THEN (move ["d_in4"]) THEN (move ["bounds"]));
1219    ((fun arg_tac -> (fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("ineq_tau4_pro_tauVEF", [ineq_tau4_pro_tauVEF])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("d_in4", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("bounds", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun arg -> thm_tac MP_TAC arg THEN ALL_TAC));
1220    ((((use_arg_then2 ("tau_fan", [tau_fan]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (arith_tac) THEN (done_tac));
1221 ];;
1222
1223 (* Finalization of the section Face4_pro *)
1224 let ineq_tau4_pro_tauVEF_aux = Sections.finalize_theorem ineq_tau4_pro_tauVEF_aux;;
1225 let ineq_tau4_pro_tauVEF = Sections.finalize_theorem ineq_tau4_pro_tauVEF;;
1226 let ineq_tau4_pro = Sections.finalize_theorem ineq_tau4_pro;;
1227 Sections.end_section "Face4_pro";;
1228
1229 (* Section Face4_diag3 *)
1230 Sections.begin_section "Face4_diag3";;
1231 (Sections.add_section_hyp "ineq" (JEJTVGB_quad_diag_concl));;
1232
1233 (* Lemma ineq_tau4_diag3_tauVEF *)
1234 let ineq_tau4_diag3_tauVEF = Sections.section_proof ["d"]
1235 `d IN darts_k 4 (hypermap_of_fan (V,E))
1236         ==> y5_fan (V,E) d <= #2.52
1237         /\ y6_fan d <= #2.52
1238         /\ y8_fan (V,E) d <= #2.52
1239         /\ y9_fan (V,E) d <= #2.52
1240         /\ &3 <= y4'_fan (V,E) d
1241         /\ &3 <= y4'_fan (V,E) (f_fan_pair_ext (V,E) d)
1242         ==> #0.467 <= tauVEF (V,E,face (hypermap_of_fan (V,E)) d)`
1243 [
1244    ((((use_arg_then2 ("h_fan", [])) (disch_tac [])) THEN (clear_assumption "h_fan") THEN BETA_TAC) THEN ((((use_arg_then2 ("lp_fan", [lp_fan]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ALL_TAC THEN (case THEN (move ["fanV"])) THEN (case THEN (move ["f_surr"])) THEN (case THEN (move ["diag"])) THEN (case THEN (move ["subV"])) THEN (move ["packV"])));
1245    ((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("COMPONENTS_HYPERMAP_OF_FAN", [COMPONENTS_HYPERMAP_OF_FAN])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("fanV", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun arg -> thm_tac MP_TAC arg THEN (case THEN ((move ["dartH"]) THEN (move ["_"])))));
1246    (((use_arg_then2 ("d", [])) (disch_tac [])) THEN (clear_assumption "d") THEN case THEN (move ["v"]) THEN (move ["w"]) THEN (move ["vw_in4"]));
1247    ((((use_arg_then2 ("vw_in4", [])) (disch_tac [])) THEN BETA_TAC) THEN (((((use_arg_then2 ("darts_k", [darts_k]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("inE", [inE]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("dartH", []))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN ALL_TAC THEN (case THEN (move ["vw_in"])) THEN (move ["card_f"]) THEN (move ["bounds"])));
1248    ((((use_arg_then2 ("f_surr_tau_fun_eq_tauVEF", [f_surr_tau_fun_eq_tauVEF]))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (repeat_tactic 0 10 (((use_arg_then2 ("lemma_in_face_set", [lemma_in_face_set]))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] [])))))) THEN ((TRY done_tac)));
1249    ((fun arg_tac -> (fun arg_tac -> (fun arg_tac -> (fun arg_tac -> arg_tac (Arg_theorem (let_RULE f_surr_localization_convex_local))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("fanV", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("f_surr", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("vw_in", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun arg -> thm_tac MP_TAC arg THEN (move ["c_local"])));
1250    ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`face _ (v,w)`))) (term_tac (set_tac "f")));
1251    ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`f IN face_set (hypermap_of_fan (V,E))`))) (term_tac (have_gen_tac [](move ["f_in"]))));
1252    (((((use_arg_then2 ("f_def", []))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (((use_arg_then2 ("lemma_in_face_set", [lemma_in_face_set]))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] [])))))) THEN (done_tac));
1253    ((((use_arg_then2 ("c_local", [])) (disch_tac [])) THEN BETA_TAC) THEN ((((use_arg_then2 ("convex_local_fan", [convex_local_fan]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ALL_TAC THEN (case THEN (move ["local"])) THEN (move ["_"])));
1254    (((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("ineq", [ineq])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("c_local", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (disch_tac [])) THEN BETA_TAC);
1255    ((((fun arg_tac -> (fun arg_tac -> arg_tac (Arg_theorem (GEN_ALL Local_lemmas.LOFA_IMP_CARD_FF_V_EQ))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("local", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (((use_arg_then2 ("card_f", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (simp_tac));
1256    (((((use_arg_then2 ("tau_fun_local", [tau_fun_local]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (repeat_tactic 0 10 (((use_arg_then2 ("f_def", []))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] [])))))) THEN (repeat_tactic 0 10 (((use_arg_then2 ("lemma_in_face_set", [lemma_in_face_set]))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] [])))))) THEN ((TRY done_tac))) THEN (DISCH_THEN apply_tac));
1257    ((((use_arg_then2 ("packing_v_prime", [packing_v_prime]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((use_arg_then2 ("v_prime_subset", [v_prime_subset]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (repeat_tactic 1 9 (((use_arg_then2 ("andTb", [andTb]))(thm_tac (new_rewrite [] []))))));
1258    ((THENL) (split_tac) [((move ["a"]) THEN (move ["b"]) THEN (case THEN (move ["a_neq_b"])) THEN (case THEN (move ["a_in"])) THEN (case THEN (move ["b_in"])) THEN (move ["ab_not_in"])); ALL_TAC]);
1259    ((fun arg_tac -> (fun arg_tac -> (fun arg_tac -> (fun arg_tac -> arg_tac (Arg_theorem (let_RULE quad_diags_imp))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("fanV", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("vw_in4", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("a_neq_b", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun arg -> thm_tac MP_TAC arg THEN ALL_TAC));
1260    ((((use_arg_then2 ("f_def", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((fun arg_tac -> (fun arg_tac -> (fun arg_tac ->  (conv_thm_tac DISCH_THEN)  (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("a_in", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("b_in", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("ab_not_in", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (thm_tac MP_TAC)));
1261    ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`sigma_fan _ V E v w`))) (term_tac (set_tac "w'")));
1262    ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`sigma_fan _ V E w' v`))) (term_tac (set_tac "u")));
1263    (((use_arg_then2 ("bounds", [])) (disch_tac [])) THEN (clear_assumption "bounds") THEN BETA_TAC THEN (case THEN (move ["_"])) THEN (case THEN (move ["_"])) THEN (case THEN (move ["_"])) THEN (case THEN (move ["_"])));
1264    ((repeat_tactic 1 9 (((use_arg_then2 ("y4'_fan", [y4'_fan]))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("PERMUTES_INVERSES", [PERMUTES_INVERSES])) (fun fst_arg -> (fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("F_FAN_PAIR_EXT_PERMUTES_DART_OF_FAN", [F_FAN_PAIR_EXT_PERMUTES_DART_OF_FAN])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("fanV", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] [])))));
1265    ((((use_arg_then2 ("INVERSE_F_FAN_PAIR_EXT_EXPLICIT", [INVERSE_F_FAN_PAIR_EXT_EXPLICIT]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((use_arg_then2 ("res", [res]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("dart1_eq", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("vw_in", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (simp_tac));
1266    (((((fun arg_tac -> (fun arg_tac -> arg_tac (Arg_theorem (let_RULE face4_eq))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("vw_in4", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((use_arg_then2 ("SND", [SND]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("w'_def", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("u_def", []))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (move ["diag_ineqs"]));
1267    (case THEN (case THEN (((conv_thm_tac DISCH_THEN)(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac))) THEN (((use_arg_then2 ("DIST_SYM", [DIST_SYM]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (done_tac));
1268    (((((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("local_std", [local_std])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("vw_in", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((use_arg_then2 ("card_f", []))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (move ["k"]) THEN (move ["k_lt"]));
1269    ((THENL_FIRST) ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`k = 0 \/ k = 1 \/ k = 2 \/ k = 3`))) (term_tac (have_gen_tac []ALL_TAC))) ((((use_arg_then2 ("k_lt", [])) (disch_tac [])) THEN (clear_assumption "k_lt") THEN BETA_TAC) THEN (arith_tac) THEN (done_tac)));
1270    ((repeat_tactic 1 9 (case)) THEN (BETA_TAC THEN (((conv_thm_tac DISCH_THEN)(thm_tac (new_rewrite [] []))))));
1271    (((((use_arg_then2 ("POWER_0", [POWER_0]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("I_THM", [I_THM]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("y6_fan", [y6_fan]))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] [])))))) THEN (done_tac));
1272    (((((use_arg_then2 ("POWER_1", [POWER_1]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("y9_fan", [y9_fan]))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] [])))))) THEN (done_tac));
1273    ((THENL_FIRST) ((((fun arg_tac -> (fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("f_fan_pair_ext_power_inverse", [f_fan_pair_ext_power_inverse])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("fanV", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("vw_in", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("f_def", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("card_f", []))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) ((arith_tac) THEN (done_tac)));
1274    ((THENL_FIRST) ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`4 - 2 = 2`))) (term_tac (have_gen_tac [](((conv_thm_tac DISCH_THEN)(thm_tac (new_rewrite [] []))))))) ((arith_tac) THEN (done_tac)));
1275    (((((use_arg_then2 ("POWER_2", [POWER_2]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("o_THM", [o_THM]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("y5_fan", [y5_fan]))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (((use_arg_then2 ("y8_fan", [y8_fan]))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] [])))))) THEN (done_tac));
1276    ((THENL_FIRST) ((((fun arg_tac -> (fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("f_fan_pair_ext_power_inverse", [f_fan_pair_ext_power_inverse])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("fanV", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("vw_in", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("f_def", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("card_f", []))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) ((arith_tac) THEN (done_tac)));
1277    ((THENL_FIRST) ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`4 - 3 = 1`))) (term_tac (have_gen_tac [](((conv_thm_tac DISCH_THEN)(thm_tac (new_rewrite [] []))))))) ((arith_tac) THEN (done_tac)));
1278    (((((use_arg_then2 ("POWER_1", [POWER_1]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("y5_fan", [y5_fan]))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] [])))))) THEN (done_tac));
1279 ];;
1280
1281 (* Lemma ineq_tau4_diag3 *)
1282 let ineq_tau4_diag3 = Sections.section_proof ["d"]
1283 `d IN darts_k 4 (hypermap_of_fan (V,E))
1284         ==> y5_fan (V,E) d <= #2.52
1285         /\ y6_fan d <= #2.52
1286         /\ y8_fan (V,E) d <= #2.52
1287         /\ y9_fan (V,E) d <= #2.52
1288         /\ &3 <= y4'_fan (V,E) d
1289         /\ &3 <= y4'_fan (V,E) (f_fan_pair_ext (V,E) d)
1290         ==> #0.467 <= tau_fan (V,E) (face (hypermap_of_fan (V,E)) d)`
1291 [
1292    (BETA_TAC THEN (move ["d_in4"]) THEN (move ["bounds"]));
1293    ((fun arg_tac -> (fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("ineq_tau4_diag3_tauVEF", [ineq_tau4_diag3_tauVEF])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("d_in4", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("bounds", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun arg -> thm_tac MP_TAC arg THEN ALL_TAC));
1294    ((((use_arg_then2 ("tau_fan", [tau_fan]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (arith_tac) THEN (done_tac));
1295 ];;
1296
1297 (* Section Std *)
1298 Sections.begin_section "Std";;
1299 (Sections.add_section_hyp "std" (`E = ESTD V`));;
1300
1301 (* Lemma ineq_tau4_diag3_std *)
1302 let ineq_tau4_diag3_std = Sections.section_proof ["d"]
1303 `d IN darts_k 4 (hypermap_of_fan (V,E))
1304         ==> &3 <= y4'_fan (V,E) d
1305         /\ &3 <= y4'_fan (V,E) (f_fan_pair_ext (V,E) d)
1306         ==> #0.467 <= tau_fan (V,E) (face (hypermap_of_fan (V,E)) d)`
1307 [
1308    ((((use_arg_then2 ("h_fan", [])) (disch_tac [])) THEN BETA_TAC) THEN ((((use_arg_then2 ("lp_fan", [lp_fan]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ALL_TAC THEN (case THEN (move ["fanV"])) THEN (case THEN (move ["f_surr"])) THEN (case THEN (move ["diag"])) THEN (case THEN (move ["subV"])) THEN (move ["packV"])));
1309    ((BETA_TAC THEN (move ["d_in4"]) THEN (move ["bounds"])) THEN (((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("ineq_tau4_diag3", [ineq_tau4_diag3])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("d_in4", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (disch_tac [])) THEN (DISCH_THEN apply_tac)));
1310    ((((use_arg_then2 ("d_in4", [])) (disch_tac [])) THEN (clear_assumption "d_in4") THEN BETA_TAC) THEN (((((use_arg_then2 ("darts_k", [darts_k]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("inE", [inE]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("COMPONENTS_HYPERMAP_OF_FAN", [COMPONENTS_HYPERMAP_OF_FAN])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("fanV", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN ALL_TAC THEN (case THEN (move ["d_in"])) THEN (move ["_"])));
1311    (((((use_arg_then2 ("y5_hi_std2", [y5_hi_std2]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("y6_hi_std2", [y6_hi_std2])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("fanV", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((use_arg_then2 ("y8_hi_std", [y8_hi_std]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((use_arg_then2 ("y9_hi_std", [y9_hi_std]))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (done_tac));
1312 ];;
1313
1314 (* Finalization of the section Std *)
1315 let ineq_tau4_diag3_std = Sections.finalize_theorem ineq_tau4_diag3_std;;
1316 Sections.end_section "Std";;
1317
1318 (* Finalization of the section Face4_diag3 *)
1319 let ineq_tau4_diag3_tauVEF = Sections.finalize_theorem ineq_tau4_diag3_tauVEF;;
1320 let ineq_tau4_diag3 = Sections.finalize_theorem ineq_tau4_diag3;;
1321 let ineq_tau4_diag3_std = Sections.finalize_theorem ineq_tau4_diag3_std;;
1322 Sections.end_section "Face4_diag3";;
1323
1324 (* Section Face5_diags *)
1325 Sections.begin_section "Face5_diags";;
1326 (Sections.add_section_hyp "ineq" (JEJTVGB_pent_diag_concl));;
1327
1328 (* Lemma ineq_tau5_diags_tauVEF *)
1329 let ineq_tau5_diags_tauVEF = Sections.section_proof ["d"]
1330 `d IN darts_k 5 (hypermap_of_fan (V,E))
1331         ==> y5_fan (V,E) d <= #2.52
1332         /\ y6_fan d <= #2.52
1333         /\ y8_fan (V,E) d <= #2.52
1334         /\ y9_fan (V,E) d <= #2.52
1335         /\ ye_fan ((f_fan_pair_ext (V,E) POWER 2) d) <= #2.52
1336         /\ sqrt8 <= y4'_fan (V,E) d
1337         /\ sqrt8 <= y4'_fan (V,E) (f_fan_pair_ext (V,E) d)
1338         /\ sqrt8 <= y4'_fan (V,E) ((f_fan_pair_ext (V,E) POWER 2) d)
1339         /\ sqrt8 <= y4'_fan (V,E) ((f_fan_pair_ext (V,E) POWER 3) d)
1340         /\ sqrt8 <= y4'_fan (V,E) (inverse (f_fan_pair_ext (V,E)) d)
1341         ==> #0.616 <= tauVEF (V,E,face (hypermap_of_fan (V,E)) d)`
1342 [
1343    ((((use_arg_then2 ("h_fan", [])) (disch_tac [])) THEN (clear_assumption "h_fan") THEN BETA_TAC) THEN ((((use_arg_then2 ("lp_fan", [lp_fan]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ALL_TAC THEN (case THEN (move ["fanV"])) THEN (case THEN (move ["f_surr"])) THEN (case THEN (move ["diag"])) THEN (case THEN (move ["subV"])) THEN (move ["packV"])));
1344    ((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("COMPONENTS_HYPERMAP_OF_FAN", [COMPONENTS_HYPERMAP_OF_FAN])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("fanV", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun arg -> thm_tac MP_TAC arg THEN (case THEN ((move ["dartH"]) THEN (move ["_"])))));
1345    (((use_arg_then2 ("d", [])) (disch_tac [])) THEN (clear_assumption "d") THEN case THEN (move ["v"]) THEN (move ["w"]) THEN (move ["vw_in5"]));
1346    ((((use_arg_then2 ("vw_in5", [])) (disch_tac [])) THEN BETA_TAC) THEN (((((use_arg_then2 ("darts_k", [darts_k]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("inE", [inE]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("dartH", []))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN ALL_TAC THEN (case THEN (move ["vw_in"])) THEN (move ["card_f"]) THEN (move ["bounds"])));
1347    ((((use_arg_then2 ("f_surr_tau_fun_eq_tauVEF", [f_surr_tau_fun_eq_tauVEF]))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (repeat_tactic 0 10 (((use_arg_then2 ("lemma_in_face_set", [lemma_in_face_set]))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] [])))))) THEN ((TRY done_tac)));
1348    ((fun arg_tac -> (fun arg_tac -> (fun arg_tac -> (fun arg_tac -> arg_tac (Arg_theorem (let_RULE f_surr_localization_convex_local))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("fanV", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("f_surr", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("vw_in", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun arg -> thm_tac MP_TAC arg THEN (move ["c_local"])));
1349    ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`face _ (v,w)`))) (term_tac (set_tac "f")));
1350    ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`f IN face_set (hypermap_of_fan (V,E))`))) (term_tac (have_gen_tac [](move ["f_in"]))));
1351    (((((use_arg_then2 ("f_def", []))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (((use_arg_then2 ("lemma_in_face_set", [lemma_in_face_set]))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] [])))))) THEN (done_tac));
1352    ((((use_arg_then2 ("c_local", [])) (disch_tac [])) THEN BETA_TAC) THEN ((((use_arg_then2 ("convex_local_fan", [convex_local_fan]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ALL_TAC THEN (case THEN (move ["local"])) THEN (move ["_"])));
1353    (((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("ineq", [ineq])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("c_local", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (disch_tac [])) THEN BETA_TAC);
1354    ((((fun arg_tac -> (fun arg_tac -> arg_tac (Arg_theorem (GEN_ALL Local_lemmas.LOFA_IMP_CARD_FF_V_EQ))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("local", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (((use_arg_then2 ("card_f", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (simp_tac));
1355    (((((use_arg_then2 ("tau_fun_local", [tau_fun_local]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (repeat_tactic 0 10 (((use_arg_then2 ("f_def", []))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] [])))))) THEN (repeat_tactic 0 10 (((use_arg_then2 ("lemma_in_face_set", [lemma_in_face_set]))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] [])))))) THEN ((TRY done_tac))) THEN (DISCH_THEN apply_tac));
1356    ((((use_arg_then2 ("packing_v_prime", [packing_v_prime]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((use_arg_then2 ("v_prime_subset", [v_prime_subset]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (repeat_tactic 1 9 (((use_arg_then2 ("andTb", [andTb]))(thm_tac (new_rewrite [] []))))));
1357    ((THENL_ROT (-1)) ((THENL) (split_tac) [((move ["a"]) THEN (move ["b"]) THEN (case THEN (move ["a_neq_b"])) THEN (case THEN (move ["a_in"])) THEN (case THEN (move ["b_in"])) THEN (move ["ab_not_in"])); ALL_TAC]));
1358    (((((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("local_std", [local_std])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("vw_in", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((use_arg_then2 ("card_f", []))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (move ["k"]) THEN (move ["k_lt"]));
1359    ((THENL_FIRST) ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`k = 0 \/ k = 1 \/ k = 2 \/ k = 3 \/ k = 4`))) (term_tac (have_gen_tac []ALL_TAC))) ((((use_arg_then2 ("k_lt", [])) (disch_tac [])) THEN (clear_assumption "k_lt") THEN BETA_TAC) THEN (arith_tac) THEN (done_tac)));
1360    ((repeat_tactic 1 9 (case)) THEN (BETA_TAC THEN (((conv_thm_tac DISCH_THEN)(thm_tac (new_rewrite [] []))))));
1361    (((((use_arg_then2 ("POWER_0", [POWER_0]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("I_THM", [I_THM]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("y6_fan", [y6_fan]))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] [])))))) THEN (done_tac));
1362    (((((use_arg_then2 ("POWER_1", [POWER_1]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("y9_fan", [y9_fan]))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] [])))))) THEN (done_tac));
1363    ((((use_arg_then2 ("ye_fan", [ye_fan]))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (done_tac));
1364    ((THENL_FIRST) ((((fun arg_tac -> (fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("f_fan_pair_ext_power_inverse", [f_fan_pair_ext_power_inverse])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("fanV", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("vw_in", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("f_def", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("card_f", []))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) ((arith_tac) THEN (done_tac)));
1365    ((THENL_FIRST) ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`5 - 3 = 2`))) (term_tac (have_gen_tac [](((conv_thm_tac DISCH_THEN)(thm_tac (new_rewrite [] []))))))) ((arith_tac) THEN (done_tac)));
1366    (((((use_arg_then2 ("POWER_2", [POWER_2]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("o_THM", [o_THM]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("y5_fan", [y5_fan]))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (((use_arg_then2 ("y8_fan", [y8_fan]))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] [])))))) THEN (done_tac));
1367    ((THENL_FIRST) ((((fun arg_tac -> (fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("f_fan_pair_ext_power_inverse", [f_fan_pair_ext_power_inverse])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("fanV", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("vw_in", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("f_def", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("card_f", []))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) ((arith_tac) THEN (done_tac)));
1368    ((THENL_FIRST) ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`5 - 4 = 1`))) (term_tac (have_gen_tac [](((conv_thm_tac DISCH_THEN)(thm_tac (new_rewrite [] []))))))) ((arith_tac) THEN (done_tac)));
1369    (((((use_arg_then2 ("POWER_1", [POWER_1]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("y5_fan", [y5_fan]))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] [])))))) THEN (done_tac));
1370    ((fun arg_tac -> (fun arg_tac -> (fun arg_tac -> (fun arg_tac -> arg_tac (Arg_theorem (let_RULE pent_diags_imp))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("fanV", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("vw_in5", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("a_neq_b", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun arg -> thm_tac MP_TAC arg THEN ALL_TAC));
1371    ((((use_arg_then2 ("f_def", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((fun arg_tac -> (fun arg_tac -> (fun arg_tac ->  (conv_thm_tac DISCH_THEN)  (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("a_in", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("b_in", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("ab_not_in", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (thm_tac MP_TAC)));
1372    ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`sigma_fan _ V E v w`))) (term_tac (set_tac "w'")));
1373    ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`sigma_fan _ V E w' v`))) (term_tac (set_tac "u")));
1374    ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`sigma_fan _ V E u w'`))) (term_tac (set_tac "z")));
1375    (((use_arg_then2 ("bounds", [])) (disch_tac [])) THEN (clear_assumption "bounds") THEN BETA_TAC THEN (case THEN (move ["_"])) THEN (case THEN (move ["_"])) THEN (case THEN (move ["_"])) THEN (case THEN (move ["_"])) THEN (case THEN (move ["_"])));
1376    ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`inverse (f_fan_pair_ext (V,E)) (v,w) = (f_fan_pair_ext (V,E) POWER 4) (v,w)`))) (term_tac (have_gen_tac [](((conv_thm_tac DISCH_THEN)(thm_tac (new_rewrite [] [])))))));
1377    ((THENL_FIRST) ((((fun arg_tac -> (fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("f_fan_pair_ext_power_inverse", [f_fan_pair_ext_power_inverse])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("fanV", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("vw_in", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("f_def", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("card_f", []))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) ((arith_tac) THEN (done_tac)));
1378    ((THENL_FIRST) ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`5 - 4 = 1`))) (term_tac (have_gen_tac [](((conv_thm_tac DISCH_THEN)(thm_tac (new_rewrite [] []))))))) ((arith_tac) THEN (done_tac)));
1379    ((((use_arg_then2 ("POWER_1", [POWER_1]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (done_tac));
1380    ((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("PERMUTES_INVERSES", [PERMUTES_INVERSES])) (fun fst_arg -> (fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("F_FAN_PAIR_EXT_PERMUTES_DART_OF_FAN", [F_FAN_PAIR_EXT_PERMUTES_DART_OF_FAN])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("fanV", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun arg -> thm_tac MP_TAC arg THEN (move ["inv_f_f"])));
1381    ((repeat_tactic 1 9 (((use_arg_then2 ("y4'_fan", [y4'_fan]))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (((use_arg_then2 ("THREE", [THREE]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("POWER", [POWER]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("POWER_2", [POWER_2]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (repeat_tactic 1 9 (((use_arg_then2 ("o_THM", [o_THM]))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (repeat_tactic 1 9 (((use_arg_then2 ("inv_f_f", []))(thm_tac (new_rewrite [] []))))));
1382    ((THENL_FIRST) ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`4 = SUC 3`))) (term_tac (have_gen_tac [](((conv_thm_tac DISCH_THEN)(thm_tac (new_rewrite [2] []))))))) ((arith_tac) THEN (done_tac)));
1383    ((((use_arg_then2 ("COM_POWER", [COM_POWER]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("o_THM", [o_THM]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("inv_f_f", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))));
1384    (((repeat_tactic 1 9 (((fun arg_tac -> (fun arg_tac -> arg_tac (Arg_theorem (let_RULE face5_eq))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("vw_in5", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((use_arg_then2 ("w'_def", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("u_def", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("z_def", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (simp_tac)) THEN (move ["diag_ineqs"]));
1385    ((repeat_tactic 1 9 (case)) THEN (BETA_TAC THEN (((conv_thm_tac DISCH_THEN)(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac))) THEN (((use_arg_then2 ("DIST_SYM", [DIST_SYM]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (done_tac));
1386 ];;
1387
1388 (* Lemma ineq_tau5_diags *)
1389 let ineq_tau5_diags = Sections.section_proof ["d"]
1390 `d IN darts_k 5 (hypermap_of_fan (V,E))
1391         ==> y5_fan (V,E) d <= #2.52
1392         /\ y6_fan d <= #2.52
1393         /\ y8_fan (V,E) d <= #2.52
1394         /\ y9_fan (V,E) d <= #2.52
1395         /\ ye_fan ((f_fan_pair_ext (V,E) POWER 2) d) <= #2.52
1396         /\ sqrt8 <= y4'_fan (V,E) d
1397         /\ sqrt8 <= y4'_fan (V,E) (f_fan_pair_ext (V,E) d)
1398         /\ sqrt8 <= y4'_fan (V,E) ((f_fan_pair_ext (V,E) POWER 2) d)
1399         /\ sqrt8 <= y4'_fan (V,E) ((f_fan_pair_ext (V,E) POWER 3) d)
1400         /\ sqrt8 <= y4'_fan (V,E) (inverse (f_fan_pair_ext (V,E)) d)
1401         ==> #0.616 <= tau_fan (V,E) (face (hypermap_of_fan (V,E)) d)`
1402 [
1403    (BETA_TAC THEN (move ["d_in"]) THEN (move ["bounds"]));
1404    ((fun arg_tac -> (fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("ineq_tau5_diags_tauVEF", [ineq_tau5_diags_tauVEF])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("d_in", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("bounds", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun arg -> thm_tac MP_TAC arg THEN ALL_TAC));
1405    ((((use_arg_then2 ("tau_fan", [tau_fan]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (arith_tac) THEN (done_tac));
1406 ];;
1407
1408 (* Section Std *)
1409 Sections.begin_section "Std";;
1410 (Sections.add_section_hyp "std" (`E = ESTD V`));;
1411
1412 (* Lemma ineq_tau5_diags_std *)
1413 let ineq_tau5_diags_std = Sections.section_proof ["d"]
1414 `d IN darts_k 5 (hypermap_of_fan (V,E))
1415         ==> sqrt8 <= y4'_fan (V,E) d
1416         /\ sqrt8 <= y4'_fan (V,E) (f_fan_pair_ext (V,E) d)
1417         /\ sqrt8 <= y4'_fan (V,E) ((f_fan_pair_ext (V,E) POWER 2) d)
1418         /\ sqrt8 <= y4'_fan (V,E) ((f_fan_pair_ext (V,E) POWER 3) d)
1419         /\ sqrt8 <= y4'_fan (V,E) (inverse (f_fan_pair_ext (V,E)) d)
1420         ==> #0.616 <= tau_fan (V,E) (face (hypermap_of_fan (V,E)) d)`
1421 [
1422    ((((use_arg_then2 ("h_fan", [])) (disch_tac [])) THEN BETA_TAC) THEN ((((use_arg_then2 ("lp_fan", [lp_fan]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ALL_TAC THEN (case THEN (move ["fanV"])) THEN (case THEN (move ["f_surr"])) THEN (case THEN (move ["diag"])) THEN (case THEN (move ["subV"])) THEN (move ["packV"])));
1423    ((BETA_TAC THEN (move ["d_in5"]) THEN (move ["bounds"])) THEN (((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("ineq_tau5_diags", [ineq_tau5_diags])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("d_in5", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (disch_tac [])) THEN (DISCH_THEN apply_tac)));
1424    ((((use_arg_then2 ("d_in5", [])) (disch_tac [])) THEN (clear_assumption "d_in5") THEN BETA_TAC) THEN (((((use_arg_then2 ("darts_k", [darts_k]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("inE", [inE]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("COMPONENTS_HYPERMAP_OF_FAN", [COMPONENTS_HYPERMAP_OF_FAN])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("fanV", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN ALL_TAC THEN (case THEN (move ["d_in"])) THEN (move ["_"])));
1425    ((((use_arg_then2 ("y5_hi_std2", [y5_hi_std2]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("y6_hi_std2", [y6_hi_std2])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("fanV", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((use_arg_then2 ("y8_hi_std", [y8_hi_std]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((use_arg_then2 ("y9_hi_std", [y9_hi_std]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (repeat_tactic 1 9 (((use_arg_then2 ("bounds", []))(thm_tac (new_rewrite [] []))))));
1426    (((((use_arg_then2 ("y6_def", [y6_def]))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (repeat_tactic 0 10 (((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("y6_hi_std2", [y6_hi_std2])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("fanV", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (repeat_tactic 0 10 (((use_arg_then2 ("f_fan_pair_ext_power_in_dart", [f_fan_pair_ext_power_in_dart]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))))) THEN (done_tac));
1427 ];;
1428
1429 (* Finalization of the section Std *)
1430 let ineq_tau5_diags_std = Sections.finalize_theorem ineq_tau5_diags_std;;
1431 Sections.end_section "Std";;
1432
1433 (* Finalization of the section Face5_diags *)
1434 let ineq_tau5_diags_tauVEF = Sections.finalize_theorem ineq_tau5_diags_tauVEF;;
1435 let ineq_tau5_diags = Sections.finalize_theorem ineq_tau5_diags;;
1436 let ineq_tau5_diags_std = Sections.finalize_theorem ineq_tau5_diags_std;;
1437 Sections.end_section "Face5_diags";;
1438
1439 (* Finalization of the section MainEstimate *)
1440 let local_diag = Sections.finalize_theorem local_diag;;
1441 let local_std = Sections.finalize_theorem local_std;;
1442 let local_pro = Sections.finalize_theorem local_pro;;
1443 let ineq_tau3_tauVEF = Sections.finalize_theorem ineq_tau3_tauVEF;;
1444 let ineq_tau3 = Sections.finalize_theorem ineq_tau3;;
1445 let ineq_tau3_tauVEF_std = Sections.finalize_theorem ineq_tau3_tauVEF_std;;
1446 let ineq_tau4_tauVEF = Sections.finalize_theorem ineq_tau4_tauVEF;;
1447 let ineq_tau4 = Sections.finalize_theorem ineq_tau4;;
1448 let ineq_tau4_tauVEF_std = Sections.finalize_theorem ineq_tau4_tauVEF_std;;
1449 let ineq_tau4_std = Sections.finalize_theorem ineq_tau4_std;;
1450 let ineq_tau5_tauVEF = Sections.finalize_theorem ineq_tau5_tauVEF;;
1451 let ineq_tau5 = Sections.finalize_theorem ineq_tau5;;
1452 let ineq_tau5_tauVEF_std = Sections.finalize_theorem ineq_tau5_tauVEF_std;;
1453 let ineq_tau5_std = Sections.finalize_theorem ineq_tau5_std;;
1454 let ineq_tau6_tauVEF = Sections.finalize_theorem ineq_tau6_tauVEF;;
1455 let ineq_tau6 = Sections.finalize_theorem ineq_tau6;;
1456 let ineq_tau6_tauVEF_std = Sections.finalize_theorem ineq_tau6_tauVEF_std;;
1457 let ineq_tau6_std = Sections.finalize_theorem ineq_tau6_std;;
1458 let ineq_tau5_pro_tauVEF_aux = Sections.finalize_theorem ineq_tau5_pro_tauVEF_aux;;
1459 let ineq_tau5_pro_tauVEF = Sections.finalize_theorem ineq_tau5_pro_tauVEF;;
1460 let ineq_tau5_pro = Sections.finalize_theorem ineq_tau5_pro;;
1461 let ineq_tau4_pro_tauVEF_aux = Sections.finalize_theorem ineq_tau4_pro_tauVEF_aux;;
1462 let ineq_tau4_pro_tauVEF = Sections.finalize_theorem ineq_tau4_pro_tauVEF;;
1463 let ineq_tau4_pro = Sections.finalize_theorem ineq_tau4_pro;;
1464 let ineq_tau4_diag3_tauVEF = Sections.finalize_theorem ineq_tau4_diag3_tauVEF;;
1465 let ineq_tau4_diag3 = Sections.finalize_theorem ineq_tau4_diag3;;
1466 let ineq_tau4_diag3_std = Sections.finalize_theorem ineq_tau4_diag3_std;;
1467 let ineq_tau5_diags_tauVEF = Sections.finalize_theorem ineq_tau5_diags_tauVEF;;
1468 let ineq_tau5_diags = Sections.finalize_theorem ineq_tau5_diags;;
1469 let ineq_tau5_diags_std = Sections.finalize_theorem ineq_tau5_diags_std;;
1470 Sections.end_section "MainEstimate";;
1471
1472 (* Section PerimeterBound *)
1473 Sections.begin_section "PerimeterBound";;
1474 (Sections.add_section_var (mk_var ("V", (`:real^3->bool`))));;
1475 (Sections.add_section_var (mk_var ("E", (`:(real^3->bool)->bool`))));;
1476 (Sections.add_section_hyp "fanV" (`FAN (vec 0,V,E)`));;
1477 (Sections.add_section_hyp "f_surr" (`fully_surrounded (V,E)`));;
1478
1479 (* Let dartH *)
1480 Sections.add_section_lemma "dartH" (Sections.section_proof []
1481 `dart (hypermap_of_fan (V,E)) = dart_of_fan (V,E)`
1482 [
1483    ((((use_arg_then2 ("COMPONENTS_HYPERMAP_OF_FAN", [COMPONENTS_HYPERMAP_OF_FAN]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (done_tac));
1484 ]);;
1485
1486 (* Section OneFace *)
1487 Sections.begin_section "OneFace";;
1488 (Sections.add_section_var (mk_var ("f", (`:real^3#real^3->bool`))));;
1489 (Sections.add_section_hyp "f_in" (`f IN face_set (hypermap_of_fan (V,E))`));;
1490
1491 (* Let local *)
1492 Sections.add_section_lemma "local" (Sections.section_proof []
1493 `local_fan (v_prime V f, e_prime E f, f)`
1494 [
1495    (((use_arg_then2 ("f_in", [])) (disch_tac [])) THEN (clear_assumption "f_in") THEN (DISCH_THEN (fun snd_th -> (use_arg_then2 ("lemma_face_representation", [lemma_face_representation])) (thm_tac (match_mp_then snd_th MP_TAC)))) THEN BETA_TAC THEN (case THEN (move ["d"])) THEN (case THEN (move ["d_in"])) THEN (((conv_thm_tac DISCH_THEN)(thm_tac (new_rewrite [] [])))));
1496    (((((fun arg_tac -> (fun arg_tac -> (fun arg_tac -> arg_tac (Arg_theorem (let_RULE f_surr_localization))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("fanV", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("f_surr", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("dartH", []))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] [])))))) THEN (done_tac));
1497 ]);;
1498
1499 (* Lemma face_eq_image_rho_node1 *)
1500 let face_eq_image_rho_node1 = Sections.section_proof []
1501 `f = IMAGE (\v. v, rho_node1 f v) (v_prime V f)`
1502 [
1503    ((((((use_arg_then2 ("EXTENSION", [EXTENSION]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("IN_IMAGE", [IN_IMAGE]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (simp_tac)) THEN ALL_TAC THEN (case THEN ((move ["a"]) THEN (move ["b"])))) THEN (((use_arg_then2 ("PAIR_EQ", [PAIR_EQ]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))));
1504    ((THENL_ROT (-1)) ((THENL) (split_tac) [(move ["ab_in"]); ((case THEN (move ["x"])) THEN (case THEN (move ["ab_eq"])) THEN (move ["in_v_prime"]))]));
1505    (((repeat_tactic 1 9 (((use_arg_then2 ("ab_eq", []))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("Local_lemmas.LOCAL_FAN_RHO_NODE_PROS", [Local_lemmas.LOCAL_FAN_RHO_NODE_PROS])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("local", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (done_tac));
1506    ((use_arg_then2 ("a", [])) (term_tac exists_tac));
1507    ((((use_arg_then2 ("v_prime", [v_prime]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("inE", [inE]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((fun arg_tac -> (fun arg_tac -> (fun arg_tac -> arg_tac (Arg_theorem (GEN_ALL Local_lemmas.DETER_RHO_NODE))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("local", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("ab_in", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (simp_tac));
1508    ((THENL_LAST) (split_tac) (((use_arg_then2 ("b", [])) (term_tac exists_tac)) THEN (done_tac)));
1509    ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`a,b IN dart_of_fan (V,E)`))) (term_tac (have_gen_tac []ALL_TAC)));
1510    (((((use_arg_then2 ("dartH", []))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("in_face_imp_in_dart_alt", [in_face_imp_in_dart_alt])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("f_in", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (done_tac));
1511    (((DISCH_THEN (fun snd_th -> (use_arg_then2 ("PAIR_IN_DART_OF_FAN", [PAIR_IN_DART_OF_FAN])) (thm_tac (match_mp_then snd_th MP_TAC)))) THEN BETA_TAC THEN (((conv_thm_tac DISCH_THEN)(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (done_tac));
1512 ];;
1513
1514 (* Lemma sum_face_rho_node1 *)
1515 let sum_face_rho_node1 = Sections.section_proof ["h"]
1516 `sum f h = sum (v_prime V f) (\v. h (v, rho_node1 f v))`
1517 [
1518    ((((use_arg_then2 ("face_eq_image_rho_node1", [face_eq_image_rho_node1]))(thm_tac (new_rewrite [1] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("SUM_IMAGE", [SUM_IMAGE]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))));
1519    ((BETA_TAC THEN (move ["x"]) THEN (move ["y"]) THEN (simp_tac) THEN (case THEN (move ["_"])) THEN (case THEN (move ["_"]))) THEN ((((use_arg_then2 ("PAIR_EQ", [PAIR_EQ]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((conv_thm_tac DISCH_THEN)(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (done_tac));
1520    ((THENL_FIRST) (((THENL_ROT 1)) ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`h o (\v. v, rho_node1 f v) = \v. h (v, rho_node1 f v)`))) (term_tac (have_gen_tac [](((conv_thm_tac DISCH_THEN)(thm_tac (new_rewrite [] [])))))))) ((ALL_TAC) THEN (done_tac)));
1521    (((((use_arg_then2 ("FUN_EQ_THM", [FUN_EQ_THM]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("o_THM", [o_THM]))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (done_tac));
1522 ];;
1523
1524 (* Finalization of the section OneFace *)
1525 let face_eq_image_rho_node1 = Sections.finalize_theorem face_eq_image_rho_node1;;
1526 let sum_face_rho_node1 = Sections.finalize_theorem sum_face_rho_node1;;
1527 Sections.end_section "OneFace";;
1528
1529 (* Lemma fully_surrounded_perimeter_bound *)
1530 let fully_surrounded_perimeter_bound = Sections.section_proof []
1531 `perimeterbound (V,E)`
1532 [
1533    (((((use_arg_then2 ("perimeterbound", [perimeterbound]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("face_set_of_fan", [face_set_of_fan]))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (move ["f"]) THEN (move ["f_in"]));
1534    (((use_arg_then2 ("f_in", [])) (disch_tac [])) THEN (DISCH_THEN (fun snd_th -> (use_arg_then2 ("lemma_face_representation", [lemma_face_representation])) (thm_tac (match_mp_then snd_th MP_TAC)))) THEN BETA_TAC THEN (case THEN (move ["d"])) THEN (case THEN (move ["d_in"])) THEN (move ["f_eq"]));
1535    ((((use_arg_then2 ("sum_face_rho_node1", [sum_face_rho_node1]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((simp_tac THEN TRY done_tac)) THEN (((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("Polar_fan.FAN_PERIMETER", [Polar_fan.FAN_PERIMETER])) (fun fst_arg -> (fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`e_prime E f`))) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))));
1536    (((((use_arg_then2 ("f_eq", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((fun arg_tac -> (fun arg_tac -> (fun arg_tac -> arg_tac (Arg_theorem (let_RULE f_surr_localization))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("fanV", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("f_surr", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((use_arg_then2 ("dartH", []))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] [])))))) THEN (done_tac));
1537    (((((use_arg_then2 ("Polar_fan.WSEWPCH", [Polar_fan.WSEWPCH]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("f_eq", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_theorem (let_RULE f_surr_localization_convex_local)))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("dartH", []))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] [])))))) THEN (done_tac));
1538 ];;
1539
1540 (* Finalization of the section PerimeterBound *)
1541 let face_eq_image_rho_node1 = Sections.finalize_theorem face_eq_image_rho_node1;;
1542 let sum_face_rho_node1 = Sections.finalize_theorem sum_face_rho_node1;;
1543 let fully_surrounded_perimeter_bound = Sections.finalize_theorem fully_surrounded_perimeter_bound;;
1544 Sections.end_section "PerimeterBound";;
1545
1546 (* Section ExtraPentSplit *)
1547 Sections.begin_section "ExtraPentSplit";;
1548 (Sections.add_section_var (mk_var ("V", (`:real^3->bool`))));;
1549 (Sections.add_section_var (mk_var ("E", (`:(real^3->bool)->bool`))));;
1550 (Sections.add_section_hyp "h_fan" (`lp_fan (V,E)`));;
1551
1552 (* Let dart1_eq *)
1553 Sections.add_section_lemma "dart1_eq" (Sections.section_proof []
1554 `dart1_of_fan (V,E) = dart_of_fan (V,E)`
1555 [
1556    ((((use_arg_then2 ("h_fan", [])) (disch_tac [])) THEN (clear_assumption "h_fan") THEN BETA_TAC) THEN ((((use_arg_then2 ("lp_fan", [lp_fan]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (move ["h"])) THEN (((use_arg_then2 ("fully_surrounded_dart_of_fan_eq", [fully_surrounded_dart_of_fan_eq]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (done_tac));
1557 ]);;
1558
1559 (* Let dartH *)
1560 Sections.add_section_lemma "dartH" (Sections.section_proof []
1561 `dart (hypermap_of_fan (V,E)) = dart_of_fan (V,E)`
1562 [
1563    ((((use_arg_then2 ("h_fan", [])) (disch_tac [])) THEN (clear_assumption "h_fan") THEN BETA_TAC) THEN ((((use_arg_then2 ("lp_fan", [lp_fan]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (move ["h"])) THEN (((use_arg_then2 ("COMPONENTS_HYPERMAP_OF_FAN", [COMPONENTS_HYPERMAP_OF_FAN]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (done_tac));
1564 ]);;
1565
1566 (* Let split_eq *)
1567 Sections.add_section_lemma "split_eq" (Sections.section_proof ["d"]
1568 `d IN dart_of_fan (V,E) ==> split_fan_face (V,E) d = V, add_diag (V,E) d`
1569 [
1570    ((((use_arg_then2 ("d", [])) (disch_tac [])) THEN (clear_assumption "d") THEN case THEN (move ["v"]) THEN (move ["w"]) THEN (move ["vw_in"])) THEN ((((use_arg_then2 ("split_fan_face", [split_fan_face]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("add_diag", [add_diag]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("dart1_eq", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("vw_in", []))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (done_tac));
1571 ]);;
1572 (Sections.add_section_hyp "ineq_apex_flat" ((hd (Ineq.getexact "6988401556")).ineq));;
1573 (Sections.add_section_hyp "ineq_apex_A" ((hd (Ineq.getexact "8082208587")).ineq));;
1574
1575 (* Lemma ineq_tau4_extra *)
1576 let ineq_tau4_extra = Sections.section_proof ["d"]
1577 `d IN darts_k 4 (hypermap_of_fan (V,E))
1578         ==> y5_fan (V,E) d <= #2.52
1579         /\ #2.52 <= y6_fan d /\ y6_fan d <= sqrt8
1580         /\ y8_fan (V,E) d <= #2.52
1581         /\ y9_fan (V,E) d <= #2.52
1582         /\ y4'_fan (V,E) d <= sqrt8
1583         ==> &0 <= tauVEF (V,E,face (hypermap_of_fan (V,E)) d)`
1584 [
1585    (((use_arg_then2 ("d", [])) (disch_tac [])) THEN (clear_assumption "d") THEN case THEN (move ["v"]) THEN (move ["w"]) THEN (move ["vw_in4"]) THEN (move ["bounds"]));
1586    ((((use_arg_then2 ("vw_in4", [])) (disch_tac [])) THEN BETA_TAC) THEN (((((use_arg_then2 ("darts_k", [darts_k]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("inE", [inE]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("dartH", []))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN ALL_TAC THEN (case THEN (move ["vw_in"])) THEN (move ["card_f"])));
1587    ((((use_arg_then2 ("h_fan", [])) (disch_tac [])) THEN BETA_TAC) THEN ((((use_arg_then2 ("lp_fan", [lp_fan]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ALL_TAC THEN (case THEN (move ["fanV"])) THEN (case THEN (move ["f_surr"])) THEN (case THEN (move ["diag"])) THEN (case THEN (move ["subV"])) THEN (move ["packV"])));
1588    ((((use_arg_then2 ("dart4_tauVEF_eq_tauq", [dart4_tauVEF_eq_tauq]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((use_arg_then2 ("tauq", [tauq]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))));
1589    ((((use_arg_then2 ("taum_sym_reflect", [taum_sym_reflect]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("Tame_lemmas.taum_sym", [Tame_lemmas.taum_sym]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))));
1590    ((THENL_FIRST) ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`#2.0 = &2 /\ &2 * h0 = #2.52`))) (term_tac (have_gen_tac [](move ["eqs"])))) ((((use_arg_then2 ("h0", [h0]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (arith_tac) THEN (done_tac)));
1591    (in_tac ["ineq_apex_flat"; "ineq_apex_A"] false ((repeat_tactic 1 9 (((use_arg_then2 ("real_gt", [real_gt]))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (repeat_tactic 1 9 (((fun arg_tac ->(use_arg_then2 ("Ineq.apex_flat", [Ineq.apex_flat]))(fun tmp_arg1 -> (use_arg_then2 ("Ineq.apex_A", [Ineq.apex_A]))(fun tmp_arg2 -> arg_tac (Arg_theorem (CONJ (get_arg_thm tmp_arg1) (get_arg_thm tmp_arg2))))))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (repeat_tactic 1 9 (((use_arg_then2 ("INEQ_ALT", [INEQ_ALT]))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (repeat_tactic 1 9 (((use_arg_then2 ("eqs", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))))));
1592    ((((use_arg_then2 ("REAL_LE_ADD", [REAL_LE_ADD]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (split_tac) THEN (((use_arg_then2 ("REAL_LT_IMP_LE", [REAL_LT_IMP_LE]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("REAL_LT_TRANS", [REAL_LT_TRANS])) (disch_tac [])) THEN (clear_assumption "REAL_LT_TRANS") THEN (DISCH_THEN apply_tac)));
1593    ((THENL_FIRST) (((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`#0.2759`))) (term_tac exists_tac)) THEN (split_tac)) ((arith_tac) THEN (done_tac)));
1594    ((((use_arg_then2 ("ineq_apex_A", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (repeat_tactic 1 9 (((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_theorem (GEN_ALL ALL)))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (simp_tac) THEN (repeat_tactic 1 9 (((use_arg_then2 ("bounds", []))(thm_tac (new_rewrite [] []))))));
1595    ((((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("y1_lo", [y1_lo])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("vw_in", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("y1_hi", [y1_hi])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("vw_in", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("y2_lo", [y2_lo])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("vw_in", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("y2_hi", [y2_hi])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("vw_in", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)));
1596    (((((use_arg_then2 ("y3_lo", [y3_lo]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((use_arg_then2 ("y3_hi", [y3_hi]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((use_arg_then2 ("y5_lo", [y5_lo]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((use_arg_then2 ("dart4_y4'_lo", [dart4_y4'_lo]))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (done_tac));
1597    ((THENL_FIRST) (((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`#0.103`))) (term_tac exists_tac)) THEN (split_tac)) ((arith_tac) THEN (done_tac)));
1598    ((((use_arg_then2 ("ineq_apex_flat", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (repeat_tactic 1 9 (((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_theorem (GEN_ALL ALL)))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (simp_tac) THEN (repeat_tactic 1 9 (((use_arg_then2 ("bounds", []))(thm_tac (new_rewrite [] []))))));
1599    ((((use_arg_then2 ("y7_lo", [y7_lo]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((use_arg_then2 ("y7_hi", [y7_hi]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("y2_lo", [y2_lo])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("vw_in", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("y2_hi", [y2_hi])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("vw_in", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((use_arg_then2 ("y3_lo", [y3_lo]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((use_arg_then2 ("y3_hi", [y3_hi]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)));
1600    (((((use_arg_then2 ("y8_lo", [y8_lo]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((use_arg_then2 ("y9_lo", [y9_lo]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((use_arg_then2 ("dart4_y4'_lo", [dart4_y4'_lo]))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (done_tac));
1601 ];;
1602
1603 (* Lemma lp_tau_split4_extra *)
1604 let lp_tau_split4_extra = Sections.section_proof ["d"]
1605 `lp_tau (V,E) /\ d IN darts_k 4 (hypermap_of_fan (V,E))
1606         ==> y5_fan (V,E) d <= #2.52
1607         /\ #2.52 <= y6_fan d /\ y6_fan d <= sqrt8
1608         /\ y8_fan (V,E) d <= #2.52
1609         /\ y9_fan (V,E) d <= #2.52
1610         /\ y4'_fan (V,E) d <= sqrt8
1611         ==> lp_tau (V, add_diag (V,E) d)`
1612 [
1613    (((use_arg_then2 ("d", [])) (disch_tac [])) THEN (clear_assumption "d") THEN case THEN (move ["v"]) THEN (move ["w"]) THEN (case THEN (move ["h_tau"])) THEN (move ["vw_in4"]) THEN (move ["bounds"]));
1614    ((((use_arg_then2 ("vw_in4", [])) (disch_tac [])) THEN BETA_TAC) THEN (((((use_arg_then2 ("darts_k", [darts_k]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("inE", [inE]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("dartH", []))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN ALL_TAC THEN (case THEN (move ["vw_in"])) THEN (move ["card_f"])));
1615    ((((use_arg_then2 ("h_fan", [])) (disch_tac [])) THEN BETA_TAC) THEN ((((use_arg_then2 ("lp_fan", [lp_fan]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ALL_TAC THEN (case THEN (move ["fanV"])) THEN (case THEN (move ["f_surr"])) THEN (case THEN (move ["diag"])) THEN (case THEN (move ["subV"])) THEN (move ["packV"])));
1616    ((((use_arg_then2 ("lp_tau", [lp_tau]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (move ["f"]) THEN (move ["f_in2"]));
1617    ((((use_arg_then2 ("f_in2", [])) (disch_tac [])) THEN BETA_TAC) THEN ((((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_theorem (let_RULE faces_add_diag)))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((use_arg_then2 ("IN_UNION", [IN_UNION]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("IN_DELETE", [IN_DELETE]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("IN_INSERT", [IN_INSERT]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("IN_SING", [IN_SING]))(thm_tac (new_rewrite [] []))))));
1618    ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`sigma_fan _ V E v w`))) (term_tac (set_tac "w'")));
1619    ((THENL_ROT (-1)) ((THENL) case [(move ["f_eqs"]); ((case THEN (move ["f_in"])) THEN (move ["_"]))]));
1620    (((((use_arg_then2 ("tauVEF_add_diag_eq", [tauVEF_add_diag_eq]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac))) THEN (((use_arg_then2 ("h_tau", [])) (disch_tac [])) THEN (clear_assumption "h_tau") THEN BETA_TAC) THEN ((((use_arg_then2 ("lp_tau", [lp_tau]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((conv_thm_tac DISCH_THEN)(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (done_tac));
1621    ((THENL_FIRST) ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`3 < CARD (face (hypermap_of_fan (V,E)) (v,w))`))) (term_tac (have_gen_tac [](move ["card_f_gt3"])))) ((((use_arg_then2 ("card_f", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (arith_tac) THEN (done_tac)));
1622    ((fun arg_tac -> (fun arg_tac -> (fun arg_tac -> (fun arg_tac -> (fun arg_tac -> arg_tac (Arg_theorem (let_RULE face_split_fan_face_explicit))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("fanV", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("f_surr", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("vw_in", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("card_f_gt3", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun arg -> thm_tac MP_TAC arg THEN ALL_TAC));
1623    ((fun arg_tac -> (fun arg_tac -> (fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("fan_split_fan_face", [fan_split_fan_face])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("fanV", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("f_surr", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("vw_in", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun arg -> thm_tac MP_TAC arg THEN ALL_TAC));
1624    ((((use_arg_then2 ("split_eq", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((use_arg_then2 ("w'_def", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("card_f", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))));
1625    ((THENL_FIRST) ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`4 - 1 = 3`))) (term_tac (have_gen_tac [](((conv_thm_tac DISCH_THEN)(thm_tac (new_rewrite [] []))))))) ((arith_tac) THEN (done_tac)));
1626    ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`hypermap_of_fan _`))) (term_tac (set_tac "H2")));
1627    (((use_arg_then2 ("f_in2", [])) (disch_tac [])) THEN (clear_assumption "f_in2") THEN BETA_TAC THEN (move ["_"]) THEN (case THEN (move ["fan2"])) THEN (case THEN (move ["dart2"])) THEN (move ["f_surr2"]) THEN (case THEN ALL_TAC) THEN (case THEN ((move ["f2_vw"]) THEN (move ["f2_w'w"]))) THEN (case THEN ALL_TAC) THEN (case THEN ((move ["card2_vw"]) THEN (move ["card2_w'w"]))) THEN (move ["_"]));
1628    ((((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("COMPONENTS_HYPERMAP_OF_FAN", [COMPONENTS_HYPERMAP_OF_FAN])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("fan2", [fan2])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (disch_tac [])) THEN BETA_TAC) THEN ((((use_arg_then2 ("H2_def", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ALL_TAC THEN (case THEN (move ["dartH2"])) THEN (case THEN (move ["_"])) THEN (case THEN (move ["_"])) THEN (move ["fH2"])));
1629    ((THENL_FIRST) ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`#2.0 = &2 /\ &2 * h0 = #2.52`))) (term_tac (have_gen_tac [](move ["eqs"])))) ((((use_arg_then2 ("h0", [h0]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (arith_tac) THEN (done_tac)));
1630    (in_tac ["ineq_apex_flat"; "ineq_apex_A"] false ((repeat_tactic 1 9 (((use_arg_then2 ("real_gt", [real_gt]))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (repeat_tactic 1 9 (((fun arg_tac ->(use_arg_then2 ("Ineq.apex_flat", [Ineq.apex_flat]))(fun tmp_arg1 -> (use_arg_then2 ("Ineq.apex_A", [Ineq.apex_A]))(fun tmp_arg2 -> arg_tac (Arg_theorem (CONJ (get_arg_thm tmp_arg1) (get_arg_thm tmp_arg2))))))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (repeat_tactic 1 9 (((use_arg_then2 ("INEQ_ALT", [INEQ_ALT]))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (repeat_tactic 1 9 (((use_arg_then2 ("eqs", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))))));
1631    (((use_arg_then2 ("f_eqs", [])) (disch_tac [])) THEN (clear_assumption "f_eqs") THEN case THEN (((conv_thm_tac DISCH_THEN)(thm_tac (new_rewrite [] [])))));
1632    ((THENL_FIRST) ((((use_arg_then2 ("REAL_LT_IMP_LE", [REAL_LT_IMP_LE]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((use_arg_then2 ("REAL_LT_TRANS", [REAL_LT_TRANS])) (thm_tac apply_tac)) THEN ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`#0.2759`))) (term_tac exists_tac)) THEN (split_tac)) ((arith_tac) THEN (done_tac)));
1633    ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`v,w IN darts_k 3 H2`))) (term_tac (have_gen_tac [](move ["vw_in2_3"]))));
1634    (((((use_arg_then2 ("darts_k", [darts_k]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("inE", [inE]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("dartH2", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("dart2", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("dart1_eq", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("IN_UNION", [IN_UNION]))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (done_tac));
1635    ((((use_arg_then2 ("face_face_map_eq", [face_face_map_eq]))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (((use_arg_then2 ("H2_def", []))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (((use_arg_then2 ("dart3_tauVEF_eq_taum", [dart3_tauVEF_eq_taum]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (repeat_tactic 0 10 (((use_arg_then2 ("face_map_in_darts_k", [face_map_in_darts_k]))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN ((TRY done_tac)));
1636    ((((use_arg_then2 ("H2_def", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("fH2", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (repeat_tactic 1 9 (((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("dart3_yf_eq", [dart3_yf_eq])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("fan2", [fan2])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((use_arg_then2 ("y4'_eq_y4", [y4'_eq_y4]))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (repeat_tactic 1 9 (((use_arg_then2 ("ys_split_eq", [ys_split_eq]))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN ((TRY done_tac)));
1637    ((((use_arg_then2 ("ineq_apex_A", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (repeat_tactic 1 9 (((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_theorem (GEN_ALL ALL)))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (simp_tac) THEN (repeat_tactic 1 9 (((use_arg_then2 ("bounds", []))(thm_tac (new_rewrite [] []))))));
1638    ((((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("y1_lo", [y1_lo])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("vw_in", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("y1_hi", [y1_hi])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("vw_in", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("y2_lo", [y2_lo])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("vw_in", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("y2_hi", [y2_hi])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("vw_in", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)));
1639    (((((use_arg_then2 ("y3_lo", [y3_lo]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((use_arg_then2 ("y3_hi", [y3_hi]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((use_arg_then2 ("y5_lo", [y5_lo]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((use_arg_then2 ("dart4_y4'_lo", [dart4_y4'_lo]))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (done_tac));
1640    ((THENL_FIRST) ((((use_arg_then2 ("REAL_LT_IMP_LE", [REAL_LT_IMP_LE]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((use_arg_then2 ("REAL_LT_TRANS", [REAL_LT_TRANS])) (thm_tac apply_tac)) THEN ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`#0.103`))) (term_tac exists_tac)) THEN (split_tac)) ((arith_tac) THEN (done_tac)));
1641    ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`w',w IN darts_k 3 H2`))) (term_tac (have_gen_tac [](move ["w'w_in2_3"]))));
1642    (((((use_arg_then2 ("darts_k", [darts_k]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("inE", [inE]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("dartH2", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("dart2", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("dart1_eq", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("IN_UNION", [IN_UNION]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("IN_INSERT", [IN_INSERT]))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (done_tac));
1643    ((((use_arg_then2 ("w'w_in2_3", [])) (disch_tac [])) THEN BETA_TAC) THEN (((((use_arg_then2 ("darts_k", [darts_k]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("inE", [inE]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("dartH2", []))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN ALL_TAC THEN (case THEN (move ["w'w_in2"])) THEN (move ["_"])));
1644    ((((use_arg_then2 ("H2_def", []))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (((use_arg_then2 ("dart3_tauVEF_eq_taum", [dart3_tauVEF_eq_taum]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((use_arg_then2 ("y4_def", [y4_def]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((use_arg_then2 ("y9_def", [y9_def]))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN ((TRY done_tac)));
1645    ((((use_arg_then2 ("w'_def", []))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (repeat_tactic 1 9 (((fun arg_tac -> (fun arg_tac -> arg_tac (Arg_theorem (let_RULE ys_split_eq2))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("vw_in", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((use_arg_then2 ("Tame_lemmas.taum_sym", [Tame_lemmas.taum_sym]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))));
1646    ((((use_arg_then2 ("ineq_apex_flat", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (repeat_tactic 1 9 (((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_theorem (GEN_ALL ALL)))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (simp_tac) THEN (repeat_tactic 1 9 (((use_arg_then2 ("bounds", []))(thm_tac (new_rewrite [] []))))));
1647    ((((use_arg_then2 ("y7_lo", [y7_lo]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((use_arg_then2 ("y7_hi", [y7_hi]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("y2_lo", [y2_lo])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("vw_in", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("y2_hi", [y2_hi])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("vw_in", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((use_arg_then2 ("y3_lo", [y3_lo]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((use_arg_then2 ("y3_hi", [y3_hi]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)));
1648    (((((use_arg_then2 ("y8_lo", [y8_lo]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((use_arg_then2 ("y9_lo", [y9_lo]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((use_arg_then2 ("dart4_y4'_lo", [dart4_y4'_lo]))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (done_tac));
1649 ];;
1650
1651 (* Finalization of the section ExtraPentSplit *)
1652 let ineq_tau4_extra = Sections.finalize_theorem ineq_tau4_extra;;
1653 let lp_tau_split4_extra = Sections.finalize_theorem lp_tau_split4_extra;;
1654 Sections.end_section "ExtraPentSplit";;
1655
1656 (* Section LpTau *)
1657 Sections.begin_section "LpTau";;
1658 (Sections.add_section_var (mk_var ("V", (`:real^3->bool`))));;
1659 (Sections.add_section_var (mk_var ("E", (`:(real^3->bool)->bool`))));;
1660
1661 (* Section Contravening *)
1662 Sections.begin_section "Contravening";;
1663 (Sections.add_section_hyp "main_estimate" (`lp_main_estimate`));;
1664 (Sections.add_section_hyp "contrV" (`contravening V`));;
1665
1666 (* Let h_fan *)
1667 Sections.add_section_lemma "h_fan" (Sections.section_proof []
1668 `lp_fan (V,ESTD V)`
1669 [
1670    ((((use_arg_then2 ("contravening_lp_fan", [contravening_lp_fan]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (done_tac));
1671 ]);;
1672
1673 (* Let p_bound *)
1674 Sections.add_section_lemma "p_bound" (Sections.section_proof []
1675 `perimeterbound (V,ESTD V)`
1676 [
1677    ((((use_arg_then2 ("h_fan", [])) (disch_tac [])) THEN (clear_assumption "h_fan") THEN BETA_TAC) THEN ((((use_arg_then2 ("lp_fan", [lp_fan]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (move ["h"])));
1678    ((((use_arg_then2 ("fully_surrounded_perimeter_bound", [fully_surrounded_perimeter_bound]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (done_tac));
1679 ]);;
1680
1681 (* Lemma contravening_lp_tau *)
1682 let contravening_lp_tau = Sections.section_proof []
1683 `lp_tau (V,ESTD V)`
1684 [
1685    (((use_arg_then2 ("lp_tau", [lp_tau]))(thm_tac (new_rewrite [] []))));
1686    ((fun arg_tac -> (fun arg_tac -> (fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("Crttxat_tame.CRTTXAT", [Crttxat_tame.CRTTXAT])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("contrV", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("p_bound", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("Jgtdebu.JGTDEBU4", [Jgtdebu.JGTDEBU4])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun arg -> thm_tac MP_TAC arg THEN ALL_TAC));
1687    ((((use_arg_then2 ("tame_9a", [tame_9a]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (move ["card_f_ineq"]));
1688    (BETA_TAC THEN (move ["f"]) THEN (DISCH_THEN (fun snd_th -> (use_arg_then2 ("lemma_face_representation", [lemma_face_representation])) (thm_tac (match_mp_then snd_th MP_TAC)))) THEN (case THEN (move ["d"])) THEN (case THEN (move ["d_in"])) THEN (move ["f_eq"]));
1689    ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`CARD f = 3 \/ CARD f = 4 \/ CARD f = 5 \/ CARD f = 6`))) (term_tac (have_gen_tac []ALL_TAC)));
1690    ((((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("card_f_ineq", [])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("d_in", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (disch_tac [])) THEN BETA_TAC) THEN (((use_arg_then2 ("f_eq", []))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (arith_tac) THEN (done_tac));
1691    ((repeat_tactic 1 9 (case)) THEN (BETA_TAC THEN (move ["card_f"])));
1692    ((((use_arg_then2 ("f_eq", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("ineq_tau3_tauVEF_std", [ineq_tau3_tauVEF_std])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("h_fan", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("darts_k", [darts_k]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("inE", [inE]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("f_eq", []))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (((use_arg_then2 ("d_in", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("card_f", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (simp_tac));
1693    ((((use_arg_then2 ("main_estimate", [])) (disch_tac [])) THEN (clear_assumption "main_estimate") THEN BETA_TAC) THEN ((((use_arg_then2 ("lp_main_estimate", [lp_main_estimate]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (simp_tac)) THEN (done_tac));
1694    ((THENL_FIRST) ((((use_arg_then2 ("REAL_LE_TRANS", [REAL_LE_TRANS])) (disch_tac [])) THEN (clear_assumption "REAL_LE_TRANS") THEN (DISCH_THEN apply_tac)) THEN ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`#0.206`))) (term_tac exists_tac)) THEN (split_tac)) ((arith_tac) THEN (done_tac)));
1695    ((((use_arg_then2 ("f_eq", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("ineq_tau4_tauVEF_std", [ineq_tau4_tauVEF_std])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("h_fan", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("darts_k", [darts_k]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("inE", [inE]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("f_eq", []))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (((use_arg_then2 ("d_in", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("card_f", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (simp_tac));
1696    ((((use_arg_then2 ("main_estimate", [])) (disch_tac [])) THEN (clear_assumption "main_estimate") THEN BETA_TAC) THEN ((((use_arg_then2 ("lp_main_estimate", [lp_main_estimate]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (simp_tac)) THEN (done_tac));
1697    ((THENL_FIRST) ((((use_arg_then2 ("REAL_LE_TRANS", [REAL_LE_TRANS])) (disch_tac [])) THEN (clear_assumption "REAL_LE_TRANS") THEN (DISCH_THEN apply_tac)) THEN ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`#0.4819`))) (term_tac exists_tac)) THEN (split_tac)) ((arith_tac) THEN (done_tac)));
1698    ((((use_arg_then2 ("f_eq", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("ineq_tau5_tauVEF_std", [ineq_tau5_tauVEF_std])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("h_fan", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("darts_k", [darts_k]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("inE", [inE]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("f_eq", []))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (((use_arg_then2 ("d_in", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("card_f", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (simp_tac));
1699    ((((use_arg_then2 ("main_estimate", [])) (disch_tac [])) THEN (clear_assumption "main_estimate") THEN BETA_TAC) THEN ((((use_arg_then2 ("lp_main_estimate", [lp_main_estimate]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (simp_tac)) THEN (done_tac));
1700    ((THENL_FIRST) ((((use_arg_then2 ("REAL_LE_TRANS", [REAL_LE_TRANS])) (disch_tac [])) THEN (clear_assumption "REAL_LE_TRANS") THEN (DISCH_THEN apply_tac)) THEN ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`#0.712`))) (term_tac exists_tac)) THEN (split_tac)) ((arith_tac) THEN (done_tac)));
1701    ((((use_arg_then2 ("f_eq", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("ineq_tau6_tauVEF_std", [ineq_tau6_tauVEF_std])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("h_fan", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("darts_k", [darts_k]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("inE", [inE]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("f_eq", []))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (((use_arg_then2 ("d_in", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("card_f", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (simp_tac));
1702    ((((use_arg_then2 ("main_estimate", [])) (disch_tac [])) THEN (clear_assumption "main_estimate") THEN BETA_TAC) THEN ((((use_arg_then2 ("lp_main_estimate", [lp_main_estimate]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (simp_tac)) THEN (done_tac));
1703 ];;
1704
1705 (* Finalization of the section Contravening *)
1706 let contravening_lp_tau = Sections.finalize_theorem contravening_lp_tau;;
1707 Sections.end_section "Contravening";;
1708
1709 (* Section Split *)
1710 Sections.begin_section "Split";;
1711 (Sections.add_section_hyp "h_fan" (`lp_fan (V,E)`));;
1712
1713 (* Let dart1_eq *)
1714 Sections.add_section_lemma "dart1_eq" (Sections.section_proof []
1715 `dart1_of_fan (V,E) = dart_of_fan (V,E)`
1716 [
1717    ((((use_arg_then2 ("h_fan", [])) (disch_tac [])) THEN (clear_assumption "h_fan") THEN BETA_TAC) THEN ((((use_arg_then2 ("lp_fan", [lp_fan]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (move ["h"])) THEN (((use_arg_then2 ("fully_surrounded_dart_of_fan_eq", [fully_surrounded_dart_of_fan_eq]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (done_tac));
1718 ]);;
1719
1720 (* Let dartH *)
1721 Sections.add_section_lemma "dartH" (Sections.section_proof []
1722 `dart (hypermap_of_fan (V,E)) = dart_of_fan (V,E)`
1723 [
1724    ((((use_arg_then2 ("h_fan", [])) (disch_tac [])) THEN (clear_assumption "h_fan") THEN BETA_TAC) THEN ((((use_arg_then2 ("lp_fan", [lp_fan]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (move ["h"])) THEN (((use_arg_then2 ("COMPONENTS_HYPERMAP_OF_FAN", [COMPONENTS_HYPERMAP_OF_FAN]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (done_tac));
1725 ]);;
1726
1727 (* Let split_eq *)
1728 Sections.add_section_lemma "split_eq" (Sections.section_proof ["d"]
1729 `d IN dart_of_fan (V,E) ==> split_fan_face (V,E) d = V, add_diag (V,E) d`
1730 [
1731    ((((use_arg_then2 ("d", [])) (disch_tac [])) THEN (clear_assumption "d") THEN case THEN (move ["v"]) THEN (move ["w"]) THEN (move ["vw_in"])) THEN ((((use_arg_then2 ("split_fan_face", [split_fan_face]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("add_diag", [add_diag]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("dart1_eq", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("vw_in", []))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (done_tac));
1732 ]);;
1733
1734 (* Section Split4 *)
1735 Sections.begin_section "Split4";;
1736 (Sections.add_section_hyp "h_tau" (`lp_tau (V,E)`));;
1737
1738 (* Section Apex_flat *)
1739 Sections.begin_section "Apex_flat";;
1740 (Sections.add_section_hyp "ineq103" ((hd (Ineq.getexact "6988401556")).ineq));;
1741
1742 (* Lemma lp_tau_split4_apex_flat *)
1743 let lp_tau_split4_apex_flat = Sections.section_proof ["d"]
1744 `d IN darts_k 4 (hypermap_of_fan (V,E))
1745         ==> y5_fan (V,E) d <= #2.52
1746         /\ y6_fan d <= #2.52
1747         /\ y8_fan (V,E) d <= #2.52
1748         /\ y9_fan (V,E) d <= #2.52
1749         /\ y4'_fan (V,E) d <= sqrt8
1750         ==> lp_tau (V, add_diag (V,E) d)`
1751 [
1752    (((use_arg_then2 ("d", [])) (disch_tac [])) THEN (clear_assumption "d") THEN case THEN (move ["v"]) THEN (move ["w"]) THEN (move ["vw_in4"]) THEN (move ["bounds"]));
1753    ((((use_arg_then2 ("vw_in4", [])) (disch_tac [])) THEN BETA_TAC) THEN (((((use_arg_then2 ("darts_k", [darts_k]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("inE", [inE]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("dartH", []))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN ALL_TAC THEN (case THEN (move ["vw_in"])) THEN (move ["card_f"])));
1754    ((((use_arg_then2 ("h_fan", [])) (disch_tac [])) THEN BETA_TAC) THEN ((((use_arg_then2 ("lp_fan", [lp_fan]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ALL_TAC THEN (case THEN (move ["fanV"])) THEN (case THEN (move ["f_surr"])) THEN (case THEN (move ["diag"])) THEN (case THEN (move ["subV"])) THEN (move ["packV"])));
1755    ((((use_arg_then2 ("lp_tau", [lp_tau]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (move ["f"]) THEN (move ["f_in2"]));
1756    ((((use_arg_then2 ("f_in2", [])) (disch_tac [])) THEN BETA_TAC) THEN ((((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_theorem (let_RULE faces_add_diag)))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((use_arg_then2 ("IN_UNION", [IN_UNION]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("IN_DELETE", [IN_DELETE]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("IN_INSERT", [IN_INSERT]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("IN_SING", [IN_SING]))(thm_tac (new_rewrite [] []))))));
1757    ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`sigma_fan _ V E v w`))) (term_tac (set_tac "w'")));
1758    ((THENL_ROT (-1)) ((THENL) case [(move ["f_eqs"]); ((case THEN (move ["f_in"])) THEN (move ["_"]))]));
1759    (((((use_arg_then2 ("tauVEF_add_diag_eq", [tauVEF_add_diag_eq]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac))) THEN (((use_arg_then2 ("h_tau", [])) (disch_tac [])) THEN (clear_assumption "h_tau") THEN BETA_TAC) THEN ((((use_arg_then2 ("lp_tau", [lp_tau]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((conv_thm_tac DISCH_THEN)(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (done_tac));
1760    ((THENL_FIRST) ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`3 < CARD (face (hypermap_of_fan (V,E)) (v,w))`))) (term_tac (have_gen_tac [](move ["card_f_gt3"])))) ((((use_arg_then2 ("card_f", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (arith_tac) THEN (done_tac)));
1761    ((fun arg_tac -> (fun arg_tac -> (fun arg_tac -> (fun arg_tac -> (fun arg_tac -> arg_tac (Arg_theorem (let_RULE face_split_fan_face_explicit))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("fanV", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("f_surr", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("vw_in", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("card_f_gt3", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun arg -> thm_tac MP_TAC arg THEN ALL_TAC));
1762    ((fun arg_tac -> (fun arg_tac -> (fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("fan_split_fan_face", [fan_split_fan_face])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("fanV", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("f_surr", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("vw_in", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun arg -> thm_tac MP_TAC arg THEN ALL_TAC));
1763    ((((use_arg_then2 ("split_fan_face_eq_add_diag", [split_fan_face_eq_add_diag]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((use_arg_then2 ("w'_def", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("card_f", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))));
1764    ((THENL_FIRST) ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`4 - 1 = 3`))) (term_tac (have_gen_tac [](((conv_thm_tac DISCH_THEN)(thm_tac (new_rewrite [] []))))))) ((arith_tac) THEN (done_tac)));
1765    ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`hypermap_of_fan _`))) (term_tac (set_tac "H2")));
1766    (((use_arg_then2 ("f_in2", [])) (disch_tac [])) THEN (clear_assumption "f_in2") THEN BETA_TAC THEN (move ["_"]) THEN (case THEN (move ["fan2"])) THEN (case THEN (move ["dart2"])) THEN (move ["f_surr2"]) THEN (case THEN ALL_TAC) THEN (case THEN ((move ["f2_vw"]) THEN (move ["f2_w'w"]))) THEN (case THEN ALL_TAC) THEN (case THEN ((move ["card2_vw"]) THEN (move ["card2_w'w"]))) THEN (move ["_"]));
1767    ((((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("COMPONENTS_HYPERMAP_OF_FAN", [COMPONENTS_HYPERMAP_OF_FAN])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("fan2", [fan2])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (disch_tac [])) THEN BETA_TAC) THEN ((((use_arg_then2 ("H2_def", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ALL_TAC THEN (case THEN (move ["dartH2"])) THEN (move ["_"])));
1768    ((THENL_FIRST) ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`#2.0 = &2 /\ &2 * h0 = #2.52`))) (term_tac (have_gen_tac [](move ["eqs"])))) ((((use_arg_then2 ("h0", [h0]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (arith_tac) THEN (done_tac)));
1769    (in_tac ["ineq103"] false ((((use_arg_then2 ("real_gt", [real_gt]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("Ineq.apex_flat", [Ineq.apex_flat]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("INEQ_ALT", [INEQ_ALT]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (repeat_tactic 1 9 (((use_arg_then2 ("eqs", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))))));
1770    ((THENL_FIRST) ((((use_arg_then2 ("REAL_LT_IMP_LE", [REAL_LT_IMP_LE]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((use_arg_then2 ("REAL_LT_TRANS", [REAL_LT_TRANS])) (thm_tac apply_tac)) THEN ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`#0.103`))) (term_tac exists_tac)) THEN (split_tac)) ((arith_tac) THEN (done_tac)));
1771    (((use_arg_then2 ("f_eqs", [])) (disch_tac [])) THEN (clear_assumption "f_eqs") THEN case THEN (((conv_thm_tac DISCH_THEN)(thm_tac (new_rewrite [] [])))));
1772    ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`v,w IN darts_k 3 H2`))) (term_tac (have_gen_tac [](move ["vw_in2_3"]))));
1773    (((((use_arg_then2 ("darts_k", [darts_k]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("inE", [inE]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("dartH2", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("dart2", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("dart1_eq", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("IN_UNION", [IN_UNION]))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (done_tac));
1774    ((((use_arg_then2 ("H2_def", []))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (((use_arg_then2 ("dart3_tauVEF_eq_taum", [dart3_tauVEF_eq_taum]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((use_arg_then2 ("y4'_eq_y4", [y4'_eq_y4]))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (repeat_tactic 1 9 (((use_arg_then2 ("ys_split_eq", [ys_split_eq]))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN ((TRY done_tac)));
1775    ((((use_arg_then2 ("ineq103", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (repeat_tactic 1 9 (((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_theorem (GEN_ALL ALL)))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (simp_tac) THEN (repeat_tactic 1 9 (((use_arg_then2 ("bounds", []))(thm_tac (new_rewrite [] []))))));
1776    ((((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("y1_lo", [y1_lo])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("vw_in", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("y1_hi", [y1_hi])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("vw_in", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("y2_lo", [y2_lo])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("vw_in", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("y2_hi", [y2_hi])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("vw_in", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)));
1777    (((((use_arg_then2 ("y3_lo", [y3_lo]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((use_arg_then2 ("y3_hi", [y3_hi]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((use_arg_then2 ("y5_lo", [y5_lo]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("y6_lo", [y6_lo])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("vw_in", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((use_arg_then2 ("dart4_y4'_lo", [dart4_y4'_lo]))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (done_tac));
1778    ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`w',w IN darts_k 3 H2`))) (term_tac (have_gen_tac [](move ["w'w_in2_3"]))));
1779    (((((use_arg_then2 ("darts_k", [darts_k]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("inE", [inE]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("dartH2", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("dart2", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("dart1_eq", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("IN_UNION", [IN_UNION]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("IN_INSERT", [IN_INSERT]))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (done_tac));
1780    ((((use_arg_then2 ("w'w_in2_3", [])) (disch_tac [])) THEN BETA_TAC) THEN (((((use_arg_then2 ("darts_k", [darts_k]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("inE", [inE]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("dartH2", []))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN ALL_TAC THEN (case THEN (move ["w'w_in2"])) THEN (move ["_"])));
1781    ((((use_arg_then2 ("H2_def", []))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (((use_arg_then2 ("dart3_tauVEF_eq_taum", [dart3_tauVEF_eq_taum]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((use_arg_then2 ("y4_def", [y4_def]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((use_arg_then2 ("y9_def", [y9_def]))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN ((TRY done_tac)));
1782    ((((use_arg_then2 ("w'_def", []))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (repeat_tactic 1 9 (((fun arg_tac -> (fun arg_tac -> arg_tac (Arg_theorem (let_RULE ys_split_eq2))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("vw_in", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((use_arg_then2 ("Tame_lemmas.taum_sym", [Tame_lemmas.taum_sym]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))));
1783    ((((use_arg_then2 ("ineq103", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (repeat_tactic 1 9 (((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_theorem (GEN_ALL ALL)))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (simp_tac) THEN (repeat_tactic 1 9 (((use_arg_then2 ("bounds", []))(thm_tac (new_rewrite [] []))))));
1784    ((((use_arg_then2 ("y7_lo", [y7_lo]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((use_arg_then2 ("y7_hi", [y7_hi]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("y2_lo", [y2_lo])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("vw_in", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("y2_hi", [y2_hi])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("vw_in", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((use_arg_then2 ("y3_lo", [y3_lo]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((use_arg_then2 ("y3_hi", [y3_hi]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)));
1785    (((((use_arg_then2 ("y8_lo", [y8_lo]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((use_arg_then2 ("y9_lo", [y9_lo]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((use_arg_then2 ("dart4_y4'_lo", [dart4_y4'_lo]))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (done_tac));
1786 ];;
1787
1788 (* Finalization of the section Apex_flat *)
1789 let lp_tau_split4_apex_flat = Sections.finalize_theorem lp_tau_split4_apex_flat;;
1790 Sections.end_section "Apex_flat";;
1791
1792 (* Section Apex_sup_flat *)
1793 Sections.begin_section "Apex_sup_flat";;
1794 (Sections.add_section_hyp "ineq86" ((hd (Ineq.getexact "1642527039")).ineq));;
1795
1796 (* Let ineq_tau *)
1797 Sections.add_section_lemma "ineq_tau" (Sections.section_proof ["y1";"y2";"y3";"y4";"y5";"y6"]
1798 `ineq (apex_sup_flat y1 y2 y3 y4 y5 y6)
1799                 (&0 <= taum y1 y2 y3 y4 y5 y6)`
1800 [
1801    ((in_tac ["ineq86"] true ((repeat_tactic 1 9 (((use_arg_then2 ("INEQ_ALT", [INEQ_ALT]))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (simp_tac))) THEN (BETA_TAC THEN (move ["ys_all"])));
1802    ((((use_arg_then2 ("REAL_LT_IMP_LE", [REAL_LT_IMP_LE]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("REAL_LT_TRANS", [REAL_LT_TRANS])) (disch_tac [])) THEN (clear_assumption "REAL_LT_TRANS") THEN (DISCH_THEN apply_tac)));
1803    (((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`#0.128 + #0.053 * ((y5 + y6 - &4) - #2.75 / &2 * (y4 - sqrt8))`))) (term_tac exists_tac)) THEN (split_tac));
1804    ((((use_arg_then2 ("ys_all", [])) (disch_tac [])) THEN (clear_assumption "ys_all") THEN BETA_TAC) THEN ((((use_arg_then2 ("Ineq.apex_sup_flat", [Ineq.apex_sup_flat]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (repeat_tactic 1 9 (((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_theorem (GEN_ALL ALL)))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (simp_tac)));
1805    ((((use_arg_then2 ("Flyspeck_constants.bounds", [Flyspeck_constants.bounds])) (disch_tac [])) THEN (clear_assumption "Flyspeck_constants.bounds") THEN BETA_TAC) THEN (arith_tac) THEN (done_tac));
1806    ((THENL_FIRST) ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`a + c < b <=> &0 < (b - a) - c`))) (term_tac (have_gen_tac ["a"; "b"; "c"](((conv_thm_tac DISCH_THEN)(thm_tac (new_rewrite [] []))))))) ((arith_tac) THEN (done_tac)));
1807    (((((use_arg_then2 ("real_gt", [real_gt]))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (((use_arg_then2 ("ineq86", []))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (done_tac));
1808 ]);;
1809
1810 (* Lemma lp_tau_split4_apex_sup_flat *)
1811 let lp_tau_split4_apex_sup_flat = Sections.section_proof ["d"]
1812 `d IN darts_k 4 (hypermap_of_fan (V,E))
1813         ==> y5_fan (V,E) d <= #2.52
1814         /\ y6_fan d <= #2.52
1815         /\ y8_fan (V,E) d <= #2.52
1816         /\ y9_fan (V,E) d <= #2.52
1817         /\ sqrt8 <= y4'_fan (V,E) d
1818         /\ y4'_fan (V,E) d <= &3
1819         ==> lp_tau (V, add_diag (V,E) d)`
1820 [
1821    (((use_arg_then2 ("d", [])) (disch_tac [])) THEN (clear_assumption "d") THEN case THEN (move ["v"]) THEN (move ["w"]) THEN (move ["vw_in4"]) THEN (move ["bounds"]));
1822    ((((use_arg_then2 ("vw_in4", [])) (disch_tac [])) THEN BETA_TAC) THEN (((((use_arg_then2 ("darts_k", [darts_k]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("inE", [inE]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("dartH", []))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN ALL_TAC THEN (case THEN (move ["vw_in"])) THEN (move ["card_f"])));
1823    ((((use_arg_then2 ("h_fan", [])) (disch_tac [])) THEN BETA_TAC) THEN ((((use_arg_then2 ("lp_fan", [lp_fan]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ALL_TAC THEN (case THEN (move ["fanV"])) THEN (case THEN (move ["f_surr"])) THEN (case THEN (move ["diag"])) THEN (case THEN (move ["subV"])) THEN (move ["packV"])));
1824    ((((use_arg_then2 ("lp_tau", [lp_tau]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (move ["f"]) THEN (move ["f_in2"]));
1825    ((((use_arg_then2 ("f_in2", [])) (disch_tac [])) THEN BETA_TAC) THEN ((((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_theorem (let_RULE faces_add_diag)))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((use_arg_then2 ("IN_UNION", [IN_UNION]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("IN_DELETE", [IN_DELETE]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("IN_INSERT", [IN_INSERT]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("IN_SING", [IN_SING]))(thm_tac (new_rewrite [] []))))));
1826    ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`sigma_fan _ V E v w`))) (term_tac (set_tac "w'")));
1827    ((THENL_ROT (-1)) ((THENL) case [(move ["f_eqs"]); ((case THEN (move ["f_in"])) THEN (move ["_"]))]));
1828    (((((use_arg_then2 ("tauVEF_add_diag_eq", [tauVEF_add_diag_eq]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac))) THEN (((use_arg_then2 ("h_tau", [])) (disch_tac [])) THEN (clear_assumption "h_tau") THEN BETA_TAC) THEN ((((use_arg_then2 ("lp_tau", [lp_tau]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((conv_thm_tac DISCH_THEN)(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (done_tac));
1829    ((THENL_FIRST) ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`3 < CARD (face (hypermap_of_fan (V,E)) (v,w))`))) (term_tac (have_gen_tac [](move ["card_f_gt3"])))) ((((use_arg_then2 ("card_f", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (arith_tac) THEN (done_tac)));
1830    ((fun arg_tac -> (fun arg_tac -> (fun arg_tac -> (fun arg_tac -> (fun arg_tac -> arg_tac (Arg_theorem (let_RULE face_split_fan_face_explicit))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("fanV", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("f_surr", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("vw_in", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("card_f_gt3", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun arg -> thm_tac MP_TAC arg THEN ALL_TAC));
1831    ((fun arg_tac -> (fun arg_tac -> (fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("fan_split_fan_face", [fan_split_fan_face])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("fanV", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("f_surr", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("vw_in", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun arg -> thm_tac MP_TAC arg THEN ALL_TAC));
1832    ((((use_arg_then2 ("split_fan_face_eq_add_diag", [split_fan_face_eq_add_diag]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((use_arg_then2 ("w'_def", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("card_f", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))));
1833    ((THENL_FIRST) ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`4 - 1 = 3`))) (term_tac (have_gen_tac [](((conv_thm_tac DISCH_THEN)(thm_tac (new_rewrite [] []))))))) ((arith_tac) THEN (done_tac)));
1834    ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`hypermap_of_fan _`))) (term_tac (set_tac "H2")));
1835    (((use_arg_then2 ("f_in2", [])) (disch_tac [])) THEN (clear_assumption "f_in2") THEN BETA_TAC THEN (move ["_"]) THEN (case THEN (move ["fan2"])) THEN (case THEN (move ["dart2"])) THEN (move ["f_surr2"]) THEN (case THEN ALL_TAC) THEN (case THEN ((move ["f2_vw"]) THEN (move ["f2_w'w"]))) THEN (case THEN ALL_TAC) THEN (case THEN ((move ["card2_vw"]) THEN (move ["card2_w'w"]))) THEN (move ["_"]));
1836    ((((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("COMPONENTS_HYPERMAP_OF_FAN", [COMPONENTS_HYPERMAP_OF_FAN])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("fan2", [fan2])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (disch_tac [])) THEN BETA_TAC) THEN ((((use_arg_then2 ("H2_def", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ALL_TAC THEN (case THEN (move ["dartH2"])) THEN (move ["_"])));
1837    ((THENL_FIRST) ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`#2.0 = &2 /\ #3.0 = &3`))) (term_tac (have_gen_tac [](move ["eqs"])))) ((arith_tac) THEN (done_tac)));
1838    (in_tac ["ineq_tau"] false ((((use_arg_then2 ("INEQ_ALT", [INEQ_ALT]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("Ineq.apex_sup_flat", [Ineq.apex_sup_flat]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (repeat_tactic 1 9 (((use_arg_then2 ("eqs", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))))));
1839    (((use_arg_then2 ("f_eqs", [])) (disch_tac [])) THEN (clear_assumption "f_eqs") THEN case THEN (((conv_thm_tac DISCH_THEN)(thm_tac (new_rewrite [] [])))));
1840    ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`v,w IN darts_k 3 H2`))) (term_tac (have_gen_tac [](move ["vw_in2_3"]))));
1841    (((((use_arg_then2 ("darts_k", [darts_k]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("inE", [inE]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("dartH2", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("dart2", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("dart1_eq", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("IN_UNION", [IN_UNION]))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (done_tac));
1842    ((((use_arg_then2 ("H2_def", []))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (((use_arg_then2 ("dart3_tauVEF_eq_taum", [dart3_tauVEF_eq_taum]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((use_arg_then2 ("y4'_eq_y4", [y4'_eq_y4]))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (repeat_tactic 1 9 (((use_arg_then2 ("ys_split_eq", [ys_split_eq]))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN ((TRY done_tac)));
1843    ((((use_arg_then2 ("ineq_tau", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (repeat_tactic 1 9 (((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_theorem (GEN_ALL ALL)))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (simp_tac) THEN (repeat_tactic 1 9 (((use_arg_then2 ("bounds", []))(thm_tac (new_rewrite [] []))))));
1844    ((((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("y1_lo", [y1_lo])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("vw_in", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("y1_hi", [y1_hi])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("vw_in", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("y2_lo", [y2_lo])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("vw_in", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("y2_hi", [y2_hi])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("vw_in", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)));
1845    (((((use_arg_then2 ("y3_lo", [y3_lo]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((use_arg_then2 ("y3_hi", [y3_hi]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((use_arg_then2 ("y5_lo", [y5_lo]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("y6_lo", [y6_lo])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("vw_in", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (done_tac));
1846    ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`w',w IN darts_k 3 H2`))) (term_tac (have_gen_tac [](move ["w'w_in2_3"]))));
1847    (((((use_arg_then2 ("darts_k", [darts_k]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("inE", [inE]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("dartH2", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("dart2", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("dart1_eq", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("IN_UNION", [IN_UNION]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("IN_INSERT", [IN_INSERT]))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (done_tac));
1848    ((((use_arg_then2 ("w'w_in2_3", [])) (disch_tac [])) THEN BETA_TAC) THEN (((((use_arg_then2 ("darts_k", [darts_k]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("inE", [inE]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("dartH2", []))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN ALL_TAC THEN (case THEN (move ["w'w_in2"])) THEN (move ["_"])));
1849    ((((use_arg_then2 ("H2_def", []))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (((use_arg_then2 ("dart3_tauVEF_eq_taum", [dart3_tauVEF_eq_taum]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((use_arg_then2 ("y4_def", [y4_def]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((use_arg_then2 ("y9_def", [y9_def]))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN ((TRY done_tac)));
1850    ((((use_arg_then2 ("w'_def", []))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (repeat_tactic 1 9 (((fun arg_tac -> (fun arg_tac -> arg_tac (Arg_theorem (let_RULE ys_split_eq2))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("vw_in", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((use_arg_then2 ("Tame_lemmas.taum_sym", [Tame_lemmas.taum_sym]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))));
1851    ((((use_arg_then2 ("ineq_tau", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (repeat_tactic 1 9 (((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_theorem (GEN_ALL ALL)))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (simp_tac) THEN (repeat_tactic 1 9 (((use_arg_then2 ("bounds", []))(thm_tac (new_rewrite [] []))))));
1852    ((((use_arg_then2 ("y7_lo", [y7_lo]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((use_arg_then2 ("y7_hi", [y7_hi]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("y2_lo", [y2_lo])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("vw_in", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("y2_hi", [y2_hi])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("vw_in", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((use_arg_then2 ("y3_lo", [y3_lo]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((use_arg_then2 ("y3_hi", [y3_hi]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)));
1853    (((((use_arg_then2 ("y8_lo", [y8_lo]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((use_arg_then2 ("y9_lo", [y9_lo]))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (done_tac));
1854 ];;
1855
1856 (* Finalization of the section Apex_sup_flat *)
1857 let lp_tau_split4_apex_sup_flat = Sections.finalize_theorem lp_tau_split4_apex_sup_flat;;
1858 Sections.end_section "Apex_sup_flat";;
1859 (Sections.add_section_hyp "ineq103" ((hd (Ineq.getexact "6988401556")).ineq));;
1860 (Sections.add_section_hyp "ineq86" ((hd (Ineq.getexact "1642527039")).ineq));;
1861
1862 (* Lemma lp_tau_split4 *)
1863 let lp_tau_split4 = Sections.section_proof ["d"]
1864 `d IN darts_k 4 (hypermap_of_fan (V,E))
1865         ==> y5_fan (V,E) d <= #2.52
1866         /\ y6_fan d <= #2.52
1867         /\ y8_fan (V,E) d <= #2.52
1868         /\ y9_fan (V,E) d <= #2.52
1869         /\ y4'_fan (V,E) d <= &3
1870         ==> lp_tau (V, add_diag (V,E) d)`
1871 [
1872    (BETA_TAC THEN (move ["d_in4"]) THEN (move ["bounds"]));
1873    (((fun arg_tac -> (fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("REAL_LE_TOTAL", [REAL_LE_TOTAL])) (fun fst_arg -> (fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`y4'_fan (V,E) d`))) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun fst_arg -> (fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`sqrt8`))) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (disch_tac [])) THEN case THEN (move ["y4'_ineq"]));
1874    ((((use_arg_then2 ("lp_tau_split4_apex_flat", [lp_tau_split4_apex_flat]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (done_tac));
1875    ((((use_arg_then2 ("lp_tau_split4_apex_sup_flat", [lp_tau_split4_apex_sup_flat]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (done_tac));
1876 ];;
1877
1878 (* Finalization of the section Split4 *)
1879 let lp_tau_split4_apex_flat = Sections.finalize_theorem lp_tau_split4_apex_flat;;
1880 let lp_tau_split4_apex_sup_flat = Sections.finalize_theorem lp_tau_split4_apex_sup_flat;;
1881 let lp_tau_split4 = Sections.finalize_theorem lp_tau_split4;;
1882 Sections.end_section "Split4";;
1883
1884 (* Section Split5 *)
1885 Sections.begin_section "Split5";;
1886 (Sections.add_section_hyp "h_tau" (`lp_tau (V,E)`));;
1887
1888 (* Section One_diag *)
1889 Sections.begin_section "One_diag";;
1890 (Sections.add_section_hyp "quad_pro" (JEJTVGB_quad_pro_concl));;
1891 (Sections.add_section_hyp "ineq103" ((hd (Ineq.getexact "6988401556")).ineq));;
1892
1893 (* Lemma lp_tau_split5_one_diag *)
1894 let lp_tau_split5_one_diag = Sections.section_proof ["d"]
1895 `d IN darts_k 5 (hypermap_of_fan (V,E))
1896         ==> y5_fan (V,E) d <= #2.52
1897         /\ y6_fan d <= #2.52
1898         /\ y8_fan (V,E) d <= #2.52
1899         /\ y9_fan (V,E) d <= #2.52
1900         /\ ye_fan ((f_fan_pair_ext (V,E) POWER 2) d) <= #2.52
1901         /\ y4'_fan (V,E) d <= sqrt8
1902         /\ sqrt8 <= y4'_fan (V,E) ((f_fan_pair_ext (V,E) POWER 2) d)
1903         /\ sqrt8 <= y4'_fan (V,E) ((f_fan_pair_ext (V,E) POWER 3) d)
1904         ==> lp_tau (V, add_diag (V,E) d)`
1905 [
1906    (((use_arg_then2 ("d", [])) (disch_tac [])) THEN (clear_assumption "d") THEN case THEN (move ["v"]) THEN (move ["w"]) THEN (move ["vw_in5"]) THEN (move ["bounds"]));
1907    ((((use_arg_then2 ("vw_in5", [])) (disch_tac [])) THEN BETA_TAC) THEN (((((use_arg_then2 ("darts_k", [darts_k]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("inE", [inE]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("dartH", []))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN ALL_TAC THEN (case THEN (move ["vw_in"])) THEN (move ["card_f"])));
1908    ((((use_arg_then2 ("h_fan", [])) (disch_tac [])) THEN BETA_TAC) THEN ((((use_arg_then2 ("lp_fan", [lp_fan]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ALL_TAC THEN (case THEN (move ["fanV"])) THEN (case THEN (move ["f_surr"])) THEN (case THEN (move ["diag"])) THEN (case THEN (move ["subV"])) THEN (move ["packV"])));
1909    ((((use_arg_then2 ("lp_tau", [lp_tau]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (move ["f"]) THEN (move ["f_in2"]));
1910    ((((use_arg_then2 ("f_in2", [])) (disch_tac [])) THEN BETA_TAC) THEN ((((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_theorem (let_RULE faces_add_diag)))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((use_arg_then2 ("IN_UNION", [IN_UNION]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("IN_DELETE", [IN_DELETE]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("IN_INSERT", [IN_INSERT]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("IN_SING", [IN_SING]))(thm_tac (new_rewrite [] []))))));
1911    ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`sigma_fan _ V E v w`))) (term_tac (set_tac "w'")));
1912    ((THENL_ROT (-1)) ((THENL) case [(move ["f_eqs"]); ((case THEN (move ["f_in"])) THEN (move ["_"]))]));
1913    (((((use_arg_then2 ("tauVEF_add_diag_eq", [tauVEF_add_diag_eq]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac))) THEN (((use_arg_then2 ("h_tau", [])) (disch_tac [])) THEN (clear_assumption "h_tau") THEN BETA_TAC) THEN ((((use_arg_then2 ("lp_tau", [lp_tau]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((conv_thm_tac DISCH_THEN)(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (done_tac));
1914    ((THENL_FIRST) ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`3 < CARD (face (hypermap_of_fan (V,E)) (v,w))`))) (term_tac (have_gen_tac [](move ["card_f_gt3"])))) ((((use_arg_then2 ("card_f", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (arith_tac) THEN (done_tac)));
1915    ((fun arg_tac -> (fun arg_tac -> (fun arg_tac -> (fun arg_tac -> (fun arg_tac -> arg_tac (Arg_theorem (let_RULE face_split_fan_face_explicit))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("fanV", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("f_surr", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("vw_in", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("card_f_gt3", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun arg -> thm_tac MP_TAC arg THEN ALL_TAC));
1916    ((fun arg_tac -> (fun arg_tac -> (fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("fan_split_fan_face", [fan_split_fan_face])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("fanV", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("f_surr", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("vw_in", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun arg -> thm_tac MP_TAC arg THEN ALL_TAC));
1917    ((fun arg_tac -> (fun arg_tac -> (fun arg_tac -> (fun arg_tac -> (fun arg_tac -> arg_tac (Arg_theorem (let_RULE f_split_fan_face))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("fanV", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("f_surr", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("vw_in", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("card_f_gt3", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun arg -> thm_tac MP_TAC arg THEN ALL_TAC));
1918    ((((use_arg_then2 ("split_fan_face_eq_add_diag", [split_fan_face_eq_add_diag]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((use_arg_then2 ("w'_def", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("card_f", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))));
1919    ((THENL_FIRST) ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`5 - 1 = 4`))) (term_tac (have_gen_tac [](((conv_thm_tac DISCH_THEN)(thm_tac (new_rewrite [] []))))))) ((arith_tac) THEN (done_tac)));
1920    ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`hypermap_of_fan _`))) (term_tac (set_tac "H2")));
1921    (((use_arg_then2 ("f_in2", [])) (disch_tac [])) THEN (clear_assumption "f_in2") THEN BETA_TAC THEN (move ["_"]) THEN (move ["f2_eqs"]) THEN (case THEN (move ["fan2"])) THEN (case THEN (move ["dart2"])) THEN (move ["f_surr2"]) THEN (case THEN ALL_TAC) THEN (case THEN ((move ["f2_vw"]) THEN (move ["f2_w'w"]))) THEN (case THEN ALL_TAC) THEN (case THEN ((move ["card2_vw"]) THEN (move ["card2_w'w"]))) THEN (move ["_"]));
1922    ((((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("COMPONENTS_HYPERMAP_OF_FAN", [COMPONENTS_HYPERMAP_OF_FAN])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("fan2", [fan2])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (disch_tac [])) THEN BETA_TAC) THEN ((((use_arg_then2 ("H2_def", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ALL_TAC THEN (case THEN (move ["dartH2"])) THEN (move ["_"])));
1923    ((THENL_FIRST) ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`#2.0 = &2 /\ &2 * h0 = #2.52`))) (term_tac (have_gen_tac [](move ["eqs"])))) ((((use_arg_then2 ("h0", [h0]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (arith_tac) THEN (done_tac)));
1924    (in_tac ["ineq103"] false ((((use_arg_then2 ("real_gt", [real_gt]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("Ineq.apex_flat", [Ineq.apex_flat]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("INEQ_ALT", [INEQ_ALT]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (repeat_tactic 1 9 (((use_arg_then2 ("eqs", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))))));
1925    (((use_arg_then2 ("f_eqs", [])) (disch_tac [])) THEN (clear_assumption "f_eqs") THEN case THEN (((conv_thm_tac DISCH_THEN)(thm_tac (new_rewrite [] [])))));
1926    ((THENL_FIRST) ((((use_arg_then2 ("REAL_LT_IMP_LE", [REAL_LT_IMP_LE]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((use_arg_then2 ("REAL_LT_TRANS", [REAL_LT_TRANS])) (thm_tac apply_tac)) THEN ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`#0.103`))) (term_tac exists_tac)) THEN (split_tac)) ((arith_tac) THEN (done_tac)));
1927    ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`v,w IN darts_k 3 H2`))) (term_tac (have_gen_tac [](move ["vw_in2_3"]))));
1928    (((((use_arg_then2 ("darts_k", [darts_k]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("inE", [inE]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("dartH2", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("dart2", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("dart1_eq", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("IN_UNION", [IN_UNION]))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (done_tac));
1929    ((((use_arg_then2 ("H2_def", []))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (((use_arg_then2 ("dart3_tauVEF_eq_taum", [dart3_tauVEF_eq_taum]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((use_arg_then2 ("y4'_eq_y4", [y4'_eq_y4]))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (repeat_tactic 1 9 (((use_arg_then2 ("ys_split_eq", [ys_split_eq]))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN ((TRY done_tac)));
1930    ((((use_arg_then2 ("ineq103", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (repeat_tactic 1 9 (((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_theorem (GEN_ALL ALL)))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (simp_tac) THEN (repeat_tactic 1 9 (((use_arg_then2 ("bounds", []))(thm_tac (new_rewrite [] []))))));
1931    ((((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("y1_lo", [y1_lo])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("vw_in", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("y1_hi", [y1_hi])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("vw_in", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("y2_lo", [y2_lo])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("vw_in", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("y2_hi", [y2_hi])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("vw_in", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)));
1932    (((((use_arg_then2 ("y3_lo", [y3_lo]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((use_arg_then2 ("y3_hi", [y3_hi]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((use_arg_then2 ("y5_lo", [y5_lo]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("y6_lo", [y6_lo])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("vw_in", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((fun arg_tac -> (fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("y4'_lo_2h0", [y4'_lo_2h0])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("vw_in5", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("h_fan", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (arith_tac) THEN (done_tac));
1933    ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`w',w IN darts_k 4 H2`))) (term_tac (have_gen_tac [](move ["w'w_in2_5"]))));
1934    (((((use_arg_then2 ("darts_k", [darts_k]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("inE", [inE]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("dartH2", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("dart2", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("dart1_eq", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("IN_UNION", [IN_UNION]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("IN_INSERT", [IN_INSERT]))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (done_tac));
1935    ((THENL_FIRST) ((((use_arg_then2 ("REAL_LE_TRANS", [REAL_LE_TRANS])) (disch_tac [])) THEN (clear_assumption "REAL_LE_TRANS") THEN (DISCH_THEN apply_tac)) THEN ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`#0.477`))) (term_tac exists_tac)) THEN (split_tac)) ((arith_tac) THEN (done_tac)));
1936    ((((use_arg_then2 ("H2_def", []))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("ineq_tau4_pro_tauVEF_aux", [ineq_tau4_pro_tauVEF_aux])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("quad_pro", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("H2_def", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("w'w_in2_5", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("lp_fan_trans1", [lp_fan_trans1]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (repeat_tactic 1 9 (((use_arg_then2 ("andTb", [andTb]))(thm_tac (new_rewrite [] []))))));
1937    ((((use_arg_then2 ("w'_def", []))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (repeat_tactic 1 9 (((fun arg_tac -> (fun arg_tac -> arg_tac (Arg_theorem (let_RULE ys_split_eq2))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("vw_in", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((use_arg_then2 ("w'_def", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (repeat_tactic 1 9 (((use_arg_then2 ("bounds", []))(thm_tac (new_rewrite [] []))))));
1938    ((THENL_FIRST) ((((fun arg_tac -> (fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("y4'_lo_2h0", [y4'_lo_2h0])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("vw_in5", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("h_fan", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (simp_tac)) ((arith_tac) THEN (done_tac)));
1939    ((fun arg_tac -> (fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("fully_surrounded_dart_of_fan_eq", [fully_surrounded_dart_of_fan_eq])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("fan2", [fan2])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("f_surr2", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun arg -> thm_tac MP_TAC arg THEN (move ["dart1_2_eq"])));
1940    ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`w', w IN dart_of_fan (V, add_diag (V,E) (v,w))`))) (term_tac (have_gen_tac [](move ["w'w_in2"]))));
1941    (((((use_arg_then2 ("dart2", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("IN_UNION", [IN_UNION]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("IN_INSERT", [IN_INSERT]))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (done_tac));
1942    (split_tac);
1943    ((((use_arg_then2 ("y8_fan", [y8_fan]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("y5_fan", [y5_fan]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("ye_fan", [ye_fan]))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("o_THM", [o_THM])) (fun fst_arg -> (fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`inverse _`))) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (((use_arg_then2 ("POWER_2", [POWER_2]))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))));
1944    ((THENL_FIRST) ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`2 = CARD (face H2 (w',w)) - 2`))) (term_tac (have_gen_tac [](((conv_thm_tac DISCH_THEN)(thm_tac (new_rewrite [1] []))))))) ((((use_arg_then2 ("card2_w'w", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (arith_tac) THEN (done_tac)));
1945    ((((use_arg_then2 ("H2_def", []))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (((use_arg_then2 ("f_fan_pair_ext_power_inverse", [f_fan_pair_ext_power_inverse]))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))));
1946    (((((use_arg_then2 ("fan2", [fan2]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("H2_def", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("card2_w'w", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("w'w_in2", []))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (arith_tac) THEN (done_tac));
1947    (((((use_arg_then2 ("w'_def", []))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (repeat_tactic 1 9 (((fun arg_tac -> (fun arg_tac -> (fun arg_tac -> (fun arg_tac -> arg_tac (Arg_theorem (let_RULE f_fan_pair_ext_power_add_diag))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("fanV", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("f_surr", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("vw_in", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (repeat_tactic 0 10 (((use_arg_then2 ("card_f", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))))) THEN (TRY ((arith_tac))));
1948    ((repeat_tactic 1 9 (((use_arg_then2 ("bounds", []))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (done_tac));
1949    ((THENL_ROT (-1)) (split_tac));
1950    ((((use_arg_then2 ("y4'_fan", [y4'_fan]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("PERMUTES_INVERSES", [PERMUTES_INVERSES])) (fun fst_arg -> (fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("F_FAN_PAIR_EXT_PERMUTES_DART_OF_FAN", [F_FAN_PAIR_EXT_PERMUTES_DART_OF_FAN])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("fan2", [fan2])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("FST", [FST]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))));
1951    ((((use_arg_then2 ("POWER_1", [POWER_1]))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (((use_arg_then2 ("f_fan_pair_power", [f_fan_pair_power]))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (repeat_tactic 0 10 (((use_arg_then2 ("dart1_2_eq", []))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] [])))))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((use_arg_then2 ("POWER_1", [POWER_1]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("f2_eqs", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))));
1952    ((THENL_FIRST) ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`sqrt8 <= y4'_fan (V,E) ((f_fan_pair_ext (V,E) POWER 3) (v,w))`))) (term_tac (have_gen_tac []ALL_TAC))) ((ALL_TAC) THEN (done_tac)));
1953    (((use_arg_then2 ("y4'_fan", [y4'_fan]))(thm_tac (new_rewrite [] []))));
1954    (((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`SND _`))) (term_tac (set_tac "x1"))) THEN ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`FST _`))) (term_tac (set_tac "x2"))));
1955    ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`x1 = w'`))) (term_tac (have_gen_tac [](((conv_thm_tac DISCH_THEN)(thm_tac (new_rewrite [] [])))))));
1956    ((((use_arg_then2 ("x1_def", []))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (((use_arg_then2 ("f_fan_pair_ext_power_inverse", [f_fan_pair_ext_power_inverse]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((use_arg_then2 ("card_f", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))));
1957    ((THENL_FIRST) ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`5 - 3 = 2`))) (term_tac (have_gen_tac [](((conv_thm_tac DISCH_THEN)(thm_tac (new_rewrite [] []))))))) ((arith_tac) THEN (done_tac)));
1958    ((((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_theorem (let_RULE inverse_f_fan_pair_ext_power2)))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (done_tac));
1959    ((THENL_FIRST) (((THENL_ROT 1)) ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`x2 = SND (f_fan_pair (V,E) (v,w))`))) (term_tac (have_gen_tac [](((conv_thm_tac DISCH_THEN)(thm_tac (new_rewrite [] [])))))))) ((((use_arg_then2 ("DIST_SYM", [DIST_SYM]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (done_tac)));
1960    ((((use_arg_then2 ("x2_def", []))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (((use_arg_then2 ("THREE", [THREE]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("COM_POWER", [COM_POWER]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("o_THM", [o_THM])) (fun fst_arg -> (fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`inverse _`))) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (((use_arg_then2 ("o_ASSOC", [o_ASSOC]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))));
1961    ((((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("PERMUTES_INVERSES_o", [PERMUTES_INVERSES_o])) (fun fst_arg -> (fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("F_FAN_PAIR_EXT_PERMUTES_DART_OF_FAN", [F_FAN_PAIR_EXT_PERMUTES_DART_OF_FAN])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("fanV", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("o_THM", [o_THM]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("I_THM", [I_THM]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))));
1962    (((((use_arg_then2 ("f_fan_pair_power", [f_fan_pair_power]))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((use_arg_then2 ("POWER_2", [POWER_2]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("o_THM", [o_THM]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (repeat_tactic 1 9 (((use_arg_then2 ("f_fan_pair", [f_fan_pair]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))))) THEN (done_tac));
1963    (((use_arg_then2 ("y4'_fan", [y4'_fan]))(thm_tac (new_rewrite [] []))));
1964    ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`inverse _1 _2`))) (term_tac (set_tac "x1")));
1965    ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`sigma_fan (vec 0) V E w' v`))) (term_tac (set_tac "u")));
1966    ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`u,w' IN dart_of_fan (V,E)`))) (term_tac (have_gen_tac [](move ["uw'_in"]))));
1967    ((((use_arg_then2 ("u_def", []))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (((use_arg_then2 ("w'_def", []))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_theorem (let_RULE inverse_f_fan_pair_ext_power2)))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN ((TRY done_tac)));
1968    ((THENL_FIRST) ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`2 = CARD (face (hypermap_of_fan (V,E)) (v,w)) - 3`))) (term_tac (have_gen_tac [](((conv_thm_tac DISCH_THEN)(thm_tac (new_rewrite [] []))))))) ((((use_arg_then2 ("card_f", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (arith_tac) THEN (done_tac)));
1969    ((((use_arg_then2 ("f_fan_pair_ext_power_inverse", [f_fan_pair_ext_power_inverse]))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN ((TRY done_tac)));
1970    (((repeat_tactic 1 9 (((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("COMPONENTS_HYPERMAP_OF_FAN", [COMPONENTS_HYPERMAP_OF_FAN])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("fanV", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] [])))))) THEN (((use_arg_then2 ("lemma_dart_invariant_power_face", [lemma_dart_invariant_power_face]))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (done_tac));
1971    ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`x1 = u, w'`))) (term_tac (have_gen_tac [](((conv_thm_tac DISCH_THEN)(thm_tac (new_rewrite [] [])))))));
1972    ((((use_arg_then2 ("x1_def", []))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("PERMUTES_INVERSE_EQ", [PERMUTES_INVERSE_EQ])) (fun fst_arg -> (fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("F_FAN_PAIR_EXT_PERMUTES_DART_OF_FAN", [F_FAN_PAIR_EXT_PERMUTES_DART_OF_FAN])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("fan2", [fan2])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] [])))));
1973    (((THENL_ROT 1)) ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`u,w' IN dart1_of_fan (V,add_diag (V,E) (v,w))`))) (term_tac (have_gen_tac [](move ["uw'_in2"])))));
1974    (((((use_arg_then2 ("POWER_1", [POWER_1]))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (((use_arg_then2 ("f_fan_pair_power", [f_fan_pair_power]))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((use_arg_then2 ("POWER_1", [POWER_1]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("f2_eqs", []))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (done_tac));
1975    (((((use_arg_then2 ("dart1_2_eq", []))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (((use_arg_then2 ("dart2", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("IN_UNION", [IN_UNION]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("dart1_eq", []))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (done_tac));
1976    ((THENL_FIRST) ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`sqrt8 <= y4'_fan (V,E) ((f_fan_pair_ext (V,E) POWER 2) (v,w))`))) (term_tac (have_gen_tac []ALL_TAC))) ((ALL_TAC) THEN (done_tac)));
1977    (((use_arg_then2 ("y4'_fan", [y4'_fan]))(thm_tac (new_rewrite [] []))));
1978    (((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`SND _`))) (term_tac (set_tac "x2"))) THEN ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`FST _`))) (term_tac (set_tac "x3"))));
1979    ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`x3 = w`))) (term_tac (have_gen_tac [](((conv_thm_tac DISCH_THEN)(thm_tac (new_rewrite [] [])))))));
1980    ((((use_arg_then2 ("x3_def", []))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (((use_arg_then2 ("POWER_2", [POWER_2]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("o_THM", [o_THM])) (fun fst_arg -> (fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`inverse _`))) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (((use_arg_then2 ("o_ASSOC", [o_ASSOC]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))));
1981    ((((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("PERMUTES_INVERSES_o", [PERMUTES_INVERSES_o])) (fun fst_arg -> (fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("F_FAN_PAIR_EXT_PERMUTES_DART_OF_FAN", [F_FAN_PAIR_EXT_PERMUTES_DART_OF_FAN])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("fanV", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("o_THM", [o_THM]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("I_THM", [I_THM]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))));
1982    (((((use_arg_then2 ("f_fan_pair_ext", [f_fan_pair_ext]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("dart1_eq", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("vw_in", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (simp_tac) THEN (((use_arg_then2 ("f_fan_pair", [f_fan_pair]))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (done_tac));
1983    ((THENL_FIRST) (((THENL_ROT 1)) ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`x2 = u`))) (term_tac (have_gen_tac [](((conv_thm_tac DISCH_THEN)(thm_tac (new_rewrite [] [])))))))) ((((use_arg_then2 ("DIST_SYM", [DIST_SYM]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (done_tac)));
1984    ((THENL_FIRST) ((((use_arg_then2 ("x2_def", []))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (((fun arg_tac -> (fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("f_fan_pair_ext_power_inverse", [f_fan_pair_ext_power_inverse])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("fanV", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("vw_in", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (repeat_tactic 0 10 (((use_arg_then2 ("card_f", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))))) ((arith_tac) THEN (done_tac)));
1985    ((THENL_FIRST) ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`5 - 2 = 3`))) (term_tac (have_gen_tac [](((conv_thm_tac DISCH_THEN)(thm_tac (new_rewrite [] []))))))) ((arith_tac) THEN (done_tac)));
1986    ((((use_arg_then2 ("THREE", [THREE]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("COM_POWER", [COM_POWER]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("o_THM", [o_THM]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_theorem (let_RULE inverse_f_fan_pair_ext_power2)))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((use_arg_then2 ("w'_def", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("u_def", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))));
1987    (((((use_arg_then2 ("INVERSE_F_FAN_PAIR_EXT_EXPLICIT", [INVERSE_F_FAN_PAIR_EXT_EXPLICIT]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((use_arg_then2 ("res", [res]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("dart1_eq", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("uw'_in", []))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (done_tac));
1988 ];;
1989
1990 (* Finalization of the section One_diag *)
1991 let lp_tau_split5_one_diag = Sections.finalize_theorem lp_tau_split5_one_diag;;
1992 Sections.end_section "One_diag";;
1993
1994 (* Section Two_diags *)
1995 Sections.begin_section "Two_diags";;
1996 (Sections.add_section_hyp "ineq_apex_flat" ((hd (Ineq.getexact "6988401556")).ineq));;
1997 (Sections.add_section_hyp "ineq_apex_A" ((hd (Ineq.getexact "8082208587")).ineq));;
1998
1999 (* Lemma lp_tau_split5_two_diags *)
2000 let lp_tau_split5_two_diags = Sections.section_proof ["d"]
2001 `d IN darts_k 5 (hypermap_of_fan (V,E))
2002         ==> y5_fan (V,E) d <= #2.52
2003         /\ y6_fan d <= #2.52
2004         /\ y8_fan (V,E) d <= #2.52
2005         /\ y9_fan (V,E) d <= #2.52
2006         /\ ye_fan ((f_fan_pair_ext (V,E) POWER 2) d) <= #2.52
2007         /\ y4'_fan (V,E) d <= sqrt8
2008         /\ y4'_fan (V,E) ((f_fan_pair_ext (V,E) POWER 2) d) <= sqrt8
2009         ==> lp_tau (V, add_diag (V, (add_diag (V,E) d)) ((f_fan_pair_ext (V,E) POWER 2) d))`
2010 [
2011    (((use_arg_then2 ("d", [])) (disch_tac [])) THEN (clear_assumption "d") THEN case THEN (move ["v"]) THEN (move ["w"]) THEN (move ["vw_in5"]) THEN (move ["bounds"]));
2012    ((((use_arg_then2 ("vw_in5", [])) (disch_tac [])) THEN BETA_TAC) THEN (((((use_arg_then2 ("darts_k", [darts_k]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("inE", [inE]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("dartH", []))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN ALL_TAC THEN (case THEN (move ["vw_in"])) THEN (move ["card_f"])));
2013    ((((use_arg_then2 ("h_fan", [])) (disch_tac [])) THEN BETA_TAC) THEN ((((use_arg_then2 ("lp_fan", [lp_fan]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ALL_TAC THEN (case THEN (move ["fanV"])) THEN (case THEN (move ["f_surr"])) THEN (case THEN (move ["diag"])) THEN (case THEN (move ["subV"])) THEN (move ["packV"])));
2014    ((fun arg_tac -> (fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("lp_fan_trans1", [lp_fan_trans1])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("h_fan", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun fst_arg -> (fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`v,w`))) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun arg -> thm_tac MP_TAC arg THEN (move ["h_fan2"])));
2015    ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`add_diag (V,E) (v,w)`))) (term_tac (set_tac "E2")));
2016    ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`(_1 POWER 2) (v,w)`))) (term_tac (set_tac "d2")));
2017    ((THENL_FIRST) ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`3 < CARD (face (hypermap_of_fan (V,E)) (v,w))`))) (term_tac (have_gen_tac [](move ["card_f_gt3"])))) ((((use_arg_then2 ("card_f", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (arith_tac) THEN (done_tac)));
2018    ((fun arg_tac -> (fun arg_tac -> (fun arg_tac -> (fun arg_tac -> (fun arg_tac -> arg_tac (Arg_theorem (let_RULE face_split_fan_face_explicit))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("fanV", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("f_surr", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("vw_in", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("card_f_gt3", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun arg -> thm_tac MP_TAC arg THEN ALL_TAC));
2019    ((fun arg_tac -> (fun arg_tac -> (fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("fan_split_fan_face", [fan_split_fan_face])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("fanV", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("f_surr", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("vw_in", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun arg -> thm_tac MP_TAC arg THEN ALL_TAC));
2020    ((fun arg_tac -> (fun arg_tac -> (fun arg_tac -> (fun arg_tac -> (fun arg_tac -> arg_tac (Arg_theorem (let_RULE f_split_fan_face))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("fanV", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("f_surr", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("vw_in", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("card_f_gt3", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun arg -> thm_tac MP_TAC arg THEN ALL_TAC));
2021    ((((use_arg_then2 ("split_eq", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((use_arg_then2 ("card_f", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("E2_def", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))));
2022    ((THENL_FIRST) ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`5 - 1 = 4`))) (term_tac (have_gen_tac [](((conv_thm_tac DISCH_THEN)(thm_tac (new_rewrite [] []))))))) ((arith_tac) THEN (done_tac)));
2023    ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`hypermap_of_fan _`))) (term_tac (set_tac "H2")));
2024    ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`sigma_fan _ V E v w`))) (term_tac (set_tac "w'")));
2025    (BETA_TAC THEN (move ["f2_eqs"]) THEN (case THEN (move ["fan2"])) THEN (case THEN (move ["dart2"])) THEN (move ["f_surr2"]) THEN (case THEN ALL_TAC) THEN (case THEN ((move ["f2_vw"]) THEN (move ["f2_w'w"]))) THEN (case THEN ALL_TAC) THEN (case THEN ((move ["card2_vw"]) THEN (move ["card2_w'w"]))) THEN (move ["_"]));
2026    ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`d2 = (f_fan_pair_ext (V,E2) POWER 2) (w',w)`))) (term_tac (have_gen_tac [](move ["d2_eq"]))));
2027    ((((use_arg_then2 ("E2_def", []))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (((use_arg_then2 ("w'_def", []))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_theorem (let_RULE f_fan_pair_ext_power_add_diag)))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)));
2028    (((((use_arg_then2 ("card_f", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("fanV", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("f_surr", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("vw_in", []))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (arith_tac) THEN (done_tac));
2029    ((((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("COMPONENTS_HYPERMAP_OF_FAN", [COMPONENTS_HYPERMAP_OF_FAN])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("fan2", [fan2])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (disch_tac [])) THEN BETA_TAC) THEN ((((use_arg_then2 ("H2_def", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ALL_TAC THEN (case THEN (move ["dartH2"])) THEN (case THEN (move ["_"])) THEN (case THEN (move ["_"])) THEN (move ["fH2"])));
2030    ((fun arg_tac -> (fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("fully_surrounded_dart_of_fan_eq", [fully_surrounded_dart_of_fan_eq])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("fan2", [fan2])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("f_surr2", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun arg -> thm_tac MP_TAC arg THEN (move ["dart1_2_eq"])));
2031    ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`w',w IN darts_k 4 H2`))) (term_tac (have_gen_tac [](move ["w'w_in4"]))));
2032    (((((use_arg_then2 ("darts_k", [darts_k]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("inE", [inE]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("card2_w'w", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("dartH2", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("dart2", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("IN_UNION", [IN_UNION]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("IN_INSERT", [IN_INSERT]))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (done_tac));
2033    ((((use_arg_then2 ("w'w_in4", [])) (disch_tac [])) THEN BETA_TAC) THEN (((((use_arg_then2 ("darts_k", [darts_k]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("inE", [inE]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("dartH2", []))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN ALL_TAC THEN (case THEN (move ["w'w_in2"])) THEN (move ["card_w'w"])));
2034    ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`d2 IN darts_k 4 H2`))) (term_tac (have_gen_tac [](move ["d2_in4"]))));
2035    (((((use_arg_then2 ("d2_eq", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("POWER_2", [POWER_2]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("o_THM", [o_THM]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("fH2", []))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (repeat_tactic 1 9 (((use_arg_then2 ("face_map_in_darts_k", [face_map_in_darts_k]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))))) THEN (done_tac));
2036    ((((use_arg_then2 ("d2_in4", [])) (disch_tac [])) THEN BETA_TAC) THEN (((((use_arg_then2 ("darts_k", [darts_k]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("inE", [inE]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("dartH2", []))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN ALL_TAC THEN (case THEN (move ["d2_in2"])) THEN (move ["_"])));
2037    ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`FST (inverse (f_fan_pair_ext (V,E2)) d2) = w`))) (term_tac (have_gen_tac [](move ["eq1"]))));
2038    ((((use_arg_then2 ("d2_eq", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("POWER_2", [POWER_2]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("o_THM", [o_THM])) (fun fst_arg -> (fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`inverse _`))) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (((use_arg_then2 ("o_ASSOC", [o_ASSOC]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))));
2039    ((((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("PERMUTES_INVERSES_o", [PERMUTES_INVERSES_o])) (fun fst_arg -> (fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("F_FAN_PAIR_EXT_PERMUTES_DART_OF_FAN", [F_FAN_PAIR_EXT_PERMUTES_DART_OF_FAN])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("fan2", [fan2])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("o_THM", [o_THM]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("I_THM", [I_THM]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))));
2040    (((((use_arg_then2 ("f_fan_pair_ext", [f_fan_pair_ext]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("dart1_2_eq", []))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (((use_arg_then2 ("w'w_in2", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (simp_tac) THEN (((use_arg_then2 ("f_fan_pair", [f_fan_pair]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("FST", [FST]))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (done_tac));
2041    ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`sigma_fan (vec 0) V E2 w' w = SND d2`))) (term_tac (have_gen_tac [](move ["eq2"]))));
2042    ((THENL_FIRST) ((((use_arg_then2 ("d2_eq", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("dart4_f_fan_pair_ext_power2", [dart4_f_fan_pair_ext_power2]))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) (((((use_arg_then2 ("H2_def", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac))) THEN (done_tac)));
2043    ((((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_theorem (let_RULE inverse_f_fan_pair_ext_power2)))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (done_tac));
2044    ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`add_diag (V,E2) d2 = add_diag (V,E2) (w',w)`))) (term_tac (have_gen_tac [](((conv_thm_tac DISCH_THEN)(thm_tac (new_rewrite [] [])))))));
2045    ((((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("pair_expand", [pair_expand])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("d2", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (repeat_tactic 1 9 (((use_arg_then2 ("add_diag", [add_diag]))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (((use_arg_then2 ("pair_expand", [pair_expand]))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (((use_arg_then2 ("dart1_2_eq", []))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (((use_arg_then2 ("d2_in2", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("w'w_in2", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (simp_tac));
2046    ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`sigma_fan (vec 0) V E2 (FST d2) (SND d2) = FST (inverse (f_fan_pair_ext (V,E2)) d2)`))) (term_tac (have_gen_tac [](((conv_thm_tac DISCH_THEN)(thm_tac (new_rewrite [] [])))))));
2047    ((((use_arg_then2 ("INVERSE_F_FAN_PAIR_EXT_EXPLICIT", [INVERSE_F_FAN_PAIR_EXT_EXPLICIT]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((use_arg_then2 ("res", [res]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("dart1_2_eq", []))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (((use_arg_then2 ("d2_in2", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (simp_tac));
2048    ((((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("pair_expand", [pair_expand])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("d2", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [3] [])))) THEN (done_tac));
2049    (((((use_arg_then2 ("eq1", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("eq2", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_theorem (GEN_ALL Collect_geom.PER_SET2)))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (done_tac));
2050    (((fun arg_tac -> (fun arg_tac -> (fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("lp_tau_split4_extra", [lp_tau_split4_extra])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("h_fan2", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("ineq_apex_flat", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("ineq_apex_A", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (disch_tac [])) THEN (DISCH_THEN apply_tac));
2051    ((((use_arg_then2 ("H2_def", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("w'w_in4", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("andbT", [andbT]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))));
2052    ((((use_arg_then2 ("E2_def", []))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (((use_arg_then2 ("w'_def", []))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (repeat_tactic 1 9 (((fun arg_tac -> (fun arg_tac -> arg_tac (Arg_theorem (let_RULE ys_split_eq2))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("vw_in", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((use_arg_then2 ("w'_def", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("E2_def", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))));
2053    ((THENL_FIRST) ((repeat_tactic 1 9 (((use_arg_then2 ("bounds", []))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (((fun arg_tac -> (fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("y4'_lo_2h0", [y4'_lo_2h0])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("vw_in5", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("h_fan", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (simp_tac)) ((arith_tac) THEN (done_tac)));
2054    (((THENL_ROT 1)) ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`y8_fan (V,E2) (w',w) <= #2.52 /\ y4'_fan (V,E2) (w',w) <= sqrt8`))) (term_tac (have_gen_tac [](move ["ineqs"])))));
2055    (((repeat_tactic 1 9 (((use_arg_then2 ("ineqs", []))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (repeat_tactic 1 9 (((use_arg_then2 ("andbT", [andbT]))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (((use_arg_then2 ("E2_def", []))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (((use_arg_then2 ("lp_tau", [lp_tau]))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (move ["f"]) THEN (move ["f_in2"]));
2056    ((((use_arg_then2 ("f_in2", [])) (disch_tac [])) THEN BETA_TAC) THEN ((((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_theorem (let_RULE faces_add_diag)))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((use_arg_then2 ("IN_UNION", [IN_UNION]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("IN_DELETE", [IN_DELETE]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("IN_INSERT", [IN_INSERT]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("IN_SING", [IN_SING]))(thm_tac (new_rewrite [] []))))));
2057    ((((use_arg_then2 ("w'_def", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("E2_def", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("H2_def", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))));
2058    ((THENL_ROT (-1)) ((THENL) case [(move ["f_eqs"]); ((case THEN (move ["f_in"])) THEN (move ["_"]))]));
2059    (((((use_arg_then2 ("E2_def", []))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (((use_arg_then2 ("tauVEF_add_diag_eq", [tauVEF_add_diag_eq]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac))) THEN (((use_arg_then2 ("h_tau", [])) (disch_tac [])) THEN (clear_assumption "h_tau") THEN BETA_TAC) THEN ((((use_arg_then2 ("lp_tau", [lp_tau]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((conv_thm_tac DISCH_THEN)(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (done_tac));
2060    ((THENL_FIRST) ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`#2.0 = &2 /\ &2 * h0 = #2.52`))) (term_tac (have_gen_tac [](move ["eqs"])))) ((((use_arg_then2 ("h0", [h0]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (arith_tac) THEN (done_tac)));
2061    (((use_arg_then2 ("f_eqs", [])) (disch_tac [])) THEN (clear_assumption "f_eqs") THEN case THEN (((conv_thm_tac DISCH_THEN)(thm_tac (new_rewrite [] [])))));
2062    (in_tac ["ineq_apex_flat"] false ((((use_arg_then2 ("real_gt", [real_gt]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("Ineq.apex_flat", [Ineq.apex_flat]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("INEQ_ALT", [INEQ_ALT]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (repeat_tactic 1 9 (((use_arg_then2 ("eqs", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))))));
2063    ((THENL_FIRST) ((((use_arg_then2 ("REAL_LT_IMP_LE", [REAL_LT_IMP_LE]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((use_arg_then2 ("REAL_LT_TRANS", [REAL_LT_TRANS])) (thm_tac apply_tac)) THEN ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`#0.103`))) (term_tac exists_tac)) THEN (split_tac)) ((arith_tac) THEN (done_tac)));
2064    ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`v,w IN darts_k 3 H2`))) (term_tac (have_gen_tac [](move ["vw_in2_3"]))));
2065    (((((use_arg_then2 ("darts_k", [darts_k]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("inE", [inE]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("dartH2", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("dart2", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("dart1_eq", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("IN_UNION", [IN_UNION]))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (done_tac));
2066    ((((use_arg_then2 ("H2_def", []))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (((use_arg_then2 ("E2_def", []))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (((use_arg_then2 ("dart3_tauVEF_eq_taum", [dart3_tauVEF_eq_taum]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((use_arg_then2 ("y4'_eq_y4", [y4'_eq_y4]))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (repeat_tactic 1 9 (((use_arg_then2 ("ys_split_eq", [ys_split_eq]))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN ((TRY done_tac)));
2067    ((((use_arg_then2 ("ineq_apex_flat", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (repeat_tactic 1 9 (((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_theorem (GEN_ALL ALL)))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (simp_tac) THEN (repeat_tactic 1 9 (((use_arg_then2 ("bounds", []))(thm_tac (new_rewrite [] []))))));
2068    ((((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("y1_lo", [y1_lo])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("vw_in", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("y1_hi", [y1_hi])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("vw_in", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("y2_lo", [y2_lo])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("vw_in", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("y2_hi", [y2_hi])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("vw_in", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)));
2069    (((((use_arg_then2 ("y3_lo", [y3_lo]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((use_arg_then2 ("y3_hi", [y3_hi]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((use_arg_then2 ("y5_lo", [y5_lo]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("y6_lo", [y6_lo])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("vw_in", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((fun arg_tac -> (fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("y4'_lo_2h0", [y4'_lo_2h0])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("vw_in5", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("h_fan", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (arith_tac) THEN (done_tac));
2070    ((((use_arg_then2 ("H2_def", []))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (((fun arg_tac -> (fun arg_tac -> (fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("ineq_tau4_extra", [ineq_tau4_extra])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("h_fan2", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("ineq_apex_flat", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("ineq_apex_A", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] [])))));
2071    ((((use_arg_then2 ("H2_def", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("w'w_in4", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("E2_def", []))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (((use_arg_then2 ("w'_def", []))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (repeat_tactic 1 9 (((fun arg_tac -> (fun arg_tac -> arg_tac (Arg_theorem (let_RULE ys_split_eq2))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("vw_in", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((use_arg_then2 ("w'_def", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("E2_def", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))));
2072    (((repeat_tactic 1 9 (((use_arg_then2 ("ineqs", []))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (repeat_tactic 1 9 (((use_arg_then2 ("bounds", []))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (((fun arg_tac -> (fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("y4'_lo_2h0", [y4'_lo_2h0])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("vw_in5", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("h_fan", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (arith_tac) THEN (done_tac));
2073    (split_tac);
2074    ((((use_arg_then2 ("y8_fan", [y8_fan]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("y5_fan", [y5_fan]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("ye_fan", [ye_fan]))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("o_THM", [o_THM])) (fun fst_arg -> (fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`inverse _`))) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (((use_arg_then2 ("POWER_2", [POWER_2]))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))));
2075    ((THENL_FIRST) ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`2 = CARD (face H2 (w',w)) - 2`))) (term_tac (have_gen_tac [](((conv_thm_tac DISCH_THEN)(thm_tac (new_rewrite [1] []))))))) ((((use_arg_then2 ("card2_w'w", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (arith_tac) THEN (done_tac)));
2076    ((((use_arg_then2 ("H2_def", []))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (((use_arg_then2 ("f_fan_pair_ext_power_inverse", [f_fan_pair_ext_power_inverse]))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))));
2077    (((((use_arg_then2 ("fan2", [fan2]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("H2_def", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("card2_w'w", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("w'w_in2", []))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (arith_tac) THEN (done_tac));
2078    ((((use_arg_then2 ("w'_def", []))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (((use_arg_then2 ("E2_def", []))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (repeat_tactic 1 9 (((fun arg_tac -> (fun arg_tac -> (fun arg_tac -> (fun arg_tac -> arg_tac (Arg_theorem (let_RULE f_fan_pair_ext_power_add_diag))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("fanV", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("f_surr", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("vw_in", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] []))))));
2079    ((((use_arg_then2 ("card_f", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (arith_tac) THEN (done_tac));
2080    (((((use_arg_then2 ("d2_def", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (repeat_tactic 1 9 (((use_arg_then2 ("bounds", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))))) THEN (done_tac));
2081    ((THENL_FIRST) ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`y4'_fan (V,E) d2 <= sqrt8`))) (term_tac (have_gen_tac []ALL_TAC))) ((ALL_TAC) THEN (done_tac)));
2082    ((repeat_tactic 1 9 (((use_arg_then2 ("y4'_fan", [y4'_fan]))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (((use_arg_then2 ("d2_def", []))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [2] []))))) THEN (((use_arg_then2 ("POWER_2", [POWER_2]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("o_THM", [o_THM])) (fun fst_arg -> (fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`inverse _`))) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (((use_arg_then2 ("o_ASSOC", [o_ASSOC]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))));
2083    ((((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("PERMUTES_INVERSES_o", [PERMUTES_INVERSES_o])) (fun fst_arg -> (fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("F_FAN_PAIR_EXT_PERMUTES_DART_OF_FAN", [F_FAN_PAIR_EXT_PERMUTES_DART_OF_FAN])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("fanV", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("o_THM", [o_THM]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("I_THM", [I_THM]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))));
2084    ((((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("INVERSE_F_FAN_PAIR_EXT_EXPLICIT", [INVERSE_F_FAN_PAIR_EXT_EXPLICIT])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("fan2", [fan2])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("res", [res]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("dart1_2_eq", []))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (((use_arg_then2 ("w'w_in2", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (simp_tac) THEN (((use_arg_then2 ("eq2", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))));
2085    (((((use_arg_then2 ("f_fan_pair_ext", [f_fan_pair_ext]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("dart1_eq", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("vw_in", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (simp_tac) THEN (((use_arg_then2 ("f_fan_pair", [f_fan_pair]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("FST", [FST]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("DIST_SYM", [DIST_SYM]))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (done_tac));
2086 ];;
2087
2088 (* Finalization of the section Two_diags *)
2089 let lp_tau_split5_two_diags = Sections.finalize_theorem lp_tau_split5_two_diags;;
2090 Sections.end_section "Two_diags";;
2091
2092 (* Finalization of the section Split5 *)
2093 let lp_tau_split5_one_diag = Sections.finalize_theorem lp_tau_split5_one_diag;;
2094 let lp_tau_split5_two_diags = Sections.finalize_theorem lp_tau_split5_two_diags;;
2095 Sections.end_section "Split5";;
2096
2097 (* Section Split6 *)
2098 Sections.begin_section "Split6";;
2099 (Sections.add_section_hyp "h_tau" (`lp_tau (V,E)`));;
2100 (Sections.add_section_hyp "pent_pro" (JEJTVGB_pent_pro_concl));;
2101 (Sections.add_section_hyp "ineq103" ((hd (Ineq.getexact "6988401556")).ineq));;
2102
2103 (* Lemma lp_tau_split6 *)
2104 let lp_tau_split6 = Sections.section_proof ["d"]
2105 `d IN darts_k 6 (hypermap_of_fan (V,E))
2106         ==> y5_fan (V,E) d <= #2.52
2107         /\ y6_fan d <= #2.52
2108         /\ y8_fan (V,E) d <= #2.52
2109         /\ y9_fan (V,E) d <= #2.52
2110         /\ ye_fan ((f_fan_pair_ext (V,E) POWER 2) d) <= #2.52
2111         /\ ye_fan ((f_fan_pair_ext (V,E) POWER 3) d) <= #2.52
2112         /\ y4'_fan (V,E) d <= sqrt8
2113         ==> lp_tau (V, add_diag (V,E) d)`
2114 [
2115    (((use_arg_then2 ("d", [])) (disch_tac [])) THEN (clear_assumption "d") THEN case THEN (move ["v"]) THEN (move ["w"]) THEN (move ["vw_in6"]) THEN (move ["bounds"]));
2116    ((((use_arg_then2 ("vw_in6", [])) (disch_tac [])) THEN BETA_TAC) THEN (((((use_arg_then2 ("darts_k", [darts_k]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("inE", [inE]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("dartH", []))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN ALL_TAC THEN (case THEN (move ["vw_in"])) THEN (move ["card_f"])));
2117    ((((use_arg_then2 ("h_fan", [])) (disch_tac [])) THEN BETA_TAC) THEN ((((use_arg_then2 ("lp_fan", [lp_fan]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ALL_TAC THEN (case THEN (move ["fanV"])) THEN (case THEN (move ["f_surr"])) THEN (case THEN (move ["diag"])) THEN (case THEN (move ["subV"])) THEN (move ["packV"])));
2118    ((((use_arg_then2 ("lp_tau", [lp_tau]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (move ["f"]) THEN (move ["f_in2"]));
2119    ((((use_arg_then2 ("f_in2", [])) (disch_tac [])) THEN BETA_TAC) THEN ((((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_theorem (let_RULE faces_add_diag)))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((use_arg_then2 ("IN_UNION", [IN_UNION]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("IN_DELETE", [IN_DELETE]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("IN_INSERT", [IN_INSERT]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("IN_SING", [IN_SING]))(thm_tac (new_rewrite [] []))))));
2120    ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`sigma_fan _ V E v w`))) (term_tac (set_tac "w'")));
2121    ((THENL_ROT (-1)) ((THENL) case [(move ["f_eqs"]); ((case THEN (move ["f_in"])) THEN (move ["_"]))]));
2122    (((((use_arg_then2 ("tauVEF_add_diag_eq", [tauVEF_add_diag_eq]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac))) THEN (((use_arg_then2 ("h_tau", [])) (disch_tac [])) THEN (clear_assumption "h_tau") THEN BETA_TAC) THEN ((((use_arg_then2 ("lp_tau", [lp_tau]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((conv_thm_tac DISCH_THEN)(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (done_tac));
2123    ((THENL_FIRST) ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`3 < CARD (face (hypermap_of_fan (V,E)) (v,w))`))) (term_tac (have_gen_tac [](move ["card_f_gt3"])))) ((((use_arg_then2 ("card_f", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (arith_tac) THEN (done_tac)));
2124    ((fun arg_tac -> (fun arg_tac -> (fun arg_tac -> (fun arg_tac -> (fun arg_tac -> arg_tac (Arg_theorem (let_RULE face_split_fan_face_explicit))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("fanV", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("f_surr", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("vw_in", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("card_f_gt3", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun arg -> thm_tac MP_TAC arg THEN ALL_TAC));
2125    ((fun arg_tac -> (fun arg_tac -> (fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("fan_split_fan_face", [fan_split_fan_face])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("fanV", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("f_surr", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("vw_in", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun arg -> thm_tac MP_TAC arg THEN ALL_TAC));
2126    ((((use_arg_then2 ("split_fan_face_eq_add_diag", [split_fan_face_eq_add_diag]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((use_arg_then2 ("w'_def", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("card_f", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))));
2127    ((THENL_FIRST) ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`6 - 1 = 5`))) (term_tac (have_gen_tac [](((conv_thm_tac DISCH_THEN)(thm_tac (new_rewrite [] []))))))) ((arith_tac) THEN (done_tac)));
2128    ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`hypermap_of_fan _`))) (term_tac (set_tac "H2")));
2129    (((use_arg_then2 ("f_in2", [])) (disch_tac [])) THEN (clear_assumption "f_in2") THEN BETA_TAC THEN (move ["_"]) THEN (case THEN (move ["fan2"])) THEN (case THEN (move ["dart2"])) THEN (move ["f_surr2"]) THEN (case THEN ALL_TAC) THEN (case THEN ((move ["f2_vw"]) THEN (move ["f2_w'w"]))) THEN (case THEN ALL_TAC) THEN (case THEN ((move ["card2_vw"]) THEN (move ["card2_w'w"]))) THEN (move ["_"]));
2130    ((((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("COMPONENTS_HYPERMAP_OF_FAN", [COMPONENTS_HYPERMAP_OF_FAN])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("fan2", [fan2])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (disch_tac [])) THEN BETA_TAC) THEN ((((use_arg_then2 ("H2_def", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ALL_TAC THEN (case THEN (move ["dartH2"])) THEN (move ["_"])));
2131    ((THENL_FIRST) ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`#2.0 = &2 /\ &2 * h0 = #2.52`))) (term_tac (have_gen_tac [](move ["eqs"])))) ((((use_arg_then2 ("h0", [h0]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (arith_tac) THEN (done_tac)));
2132    (in_tac ["ineq103"] false ((((use_arg_then2 ("real_gt", [real_gt]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("Ineq.apex_flat", [Ineq.apex_flat]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("INEQ_ALT", [INEQ_ALT]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (repeat_tactic 1 9 (((use_arg_then2 ("eqs", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))))));
2133    (((use_arg_then2 ("f_eqs", [])) (disch_tac [])) THEN (clear_assumption "f_eqs") THEN case THEN (((conv_thm_tac DISCH_THEN)(thm_tac (new_rewrite [] [])))));
2134    ((THENL_FIRST) ((((use_arg_then2 ("REAL_LT_IMP_LE", [REAL_LT_IMP_LE]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((use_arg_then2 ("REAL_LT_TRANS", [REAL_LT_TRANS])) (thm_tac apply_tac)) THEN ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`#0.103`))) (term_tac exists_tac)) THEN (split_tac)) ((arith_tac) THEN (done_tac)));
2135    ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`v,w IN darts_k 3 H2`))) (term_tac (have_gen_tac [](move ["vw_in2_3"]))));
2136    (((((use_arg_then2 ("darts_k", [darts_k]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("inE", [inE]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("dartH2", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("dart2", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("dart1_eq", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("IN_UNION", [IN_UNION]))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (done_tac));
2137    ((((use_arg_then2 ("H2_def", []))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (((use_arg_then2 ("dart3_tauVEF_eq_taum", [dart3_tauVEF_eq_taum]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((use_arg_then2 ("y4'_eq_y4", [y4'_eq_y4]))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (repeat_tactic 1 9 (((use_arg_then2 ("ys_split_eq", [ys_split_eq]))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN ((TRY done_tac)));
2138    ((((use_arg_then2 ("ineq103", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (repeat_tactic 1 9 (((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_theorem (GEN_ALL ALL)))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (simp_tac) THEN (repeat_tactic 1 9 (((use_arg_then2 ("bounds", []))(thm_tac (new_rewrite [] []))))));
2139    ((((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("y1_lo", [y1_lo])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("vw_in", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("y1_hi", [y1_hi])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("vw_in", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("y2_lo", [y2_lo])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("vw_in", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("y2_hi", [y2_hi])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("vw_in", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)));
2140    (((((use_arg_then2 ("y3_lo", [y3_lo]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((use_arg_then2 ("y3_hi", [y3_hi]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((use_arg_then2 ("y5_lo", [y5_lo]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("y6_lo", [y6_lo])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("vw_in", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((fun arg_tac -> (fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("y4'_lo_2h0", [y4'_lo_2h0])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("vw_in6", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("h_fan", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac))) THEN (arith_tac) THEN (done_tac));
2141    ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`w',w IN darts_k 5 H2`))) (term_tac (have_gen_tac [](move ["w'w_in2_5"]))));
2142    (((((use_arg_then2 ("darts_k", [darts_k]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("inE", [inE]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("dartH2", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("dart2", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("dart1_eq", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("IN_UNION", [IN_UNION]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("IN_INSERT", [IN_INSERT]))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (done_tac));
2143    ((THENL_FIRST) ((((use_arg_then2 ("REAL_LE_TRANS", [REAL_LE_TRANS])) (disch_tac [])) THEN (clear_assumption "REAL_LE_TRANS") THEN (DISCH_THEN apply_tac)) THEN ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`#0.616`))) (term_tac exists_tac)) THEN (split_tac)) ((arith_tac) THEN (done_tac)));
2144    ((((use_arg_then2 ("H2_def", []))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("ineq_tau5_pro_tauVEF_aux", [ineq_tau5_pro_tauVEF_aux])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("pent_pro", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("H2_def", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("w'w_in2_5", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("lp_fan_trans1", [lp_fan_trans1]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (repeat_tactic 1 9 (((use_arg_then2 ("andTb", [andTb]))(thm_tac (new_rewrite [] []))))));
2145    ((((use_arg_then2 ("w'_def", []))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (repeat_tactic 1 9 (((fun arg_tac -> (fun arg_tac -> arg_tac (Arg_theorem (let_RULE ys_split_eq2))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("vw_in", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN ((TRY done_tac)) THEN (((use_arg_then2 ("w'_def", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (repeat_tactic 1 9 (((use_arg_then2 ("bounds", []))(thm_tac (new_rewrite [] []))))));
2146    ((THENL_FIRST) ((((fun arg_tac -> (fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("y4'_lo_2h0", [y4'_lo_2h0])) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("vw_in6", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("h_fan", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (simp_tac)) ((arith_tac) THEN (done_tac)));
2147    ((((use_arg_then2 ("y8_fan", [y8_fan]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("y5_fan", [y5_fan]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("ye_fan", [ye_fan]))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (((fun arg_tac -> (use_arg_then2 ("o_THM", [o_THM])) (fun fst_arg -> (fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`inverse _`))) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (((use_arg_then2 ("POWER_2", [POWER_2]))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))));
2148    ((THENL_FIRST) ((fun arg_tac -> arg_tac (Arg_term (`2 = CARD (face H2 (w',w)) - 3`))) (term_tac (have_gen_tac [](((conv_thm_tac DISCH_THEN)(thm_tac (new_rewrite [1] []))))))) ((((use_arg_then2 ("card2_w'w", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (arith_tac) THEN (done_tac)));
2149    ((((use_arg_then2 ("H2_def", []))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (((use_arg_then2 ("f_fan_pair_ext_power_inverse", [f_fan_pair_ext_power_inverse]))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))));
2150    (((((use_arg_then2 ("fan2", [fan2]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("H2_def", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("card2_w'w", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("dart2", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("IN_UNION", [IN_UNION]))(thm_tac (new_rewrite [] [])))) THEN (((use_arg_then2 ("IN_INSERT", [IN_INSERT]))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (arith_tac) THEN (done_tac));
2151    (((((use_arg_then2 ("w'_def", []))(gsym_then (thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (repeat_tactic 1 9 (((fun arg_tac -> (fun arg_tac -> (fun arg_tac -> (fun arg_tac -> arg_tac (Arg_theorem (let_RULE f_fan_pair_ext_power_add_diag))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("fanV", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("f_surr", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg))) (fun fst_arg -> (use_arg_then2 ("vw_in", [])) (fun snd_arg -> combine_args_then arg_tac fst_arg snd_arg)))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (repeat_tactic 0 10 (((use_arg_then2 ("card_f", []))(thm_tac (new_rewrite [] [])))))) THEN (TRY ((arith_tac))));
2152    ((repeat_tactic 1 9 (((use_arg_then2 ("bounds", []))(thm_tac (new_rewrite [] []))))) THEN (done_tac));
2153 ];;
2154
2155 (* Finalization of the section Split6 *)
2156 let lp_tau_split6 = Sections.finalize_theorem lp_tau_split6;;
2157 Sections.end_section "Split6";;
2158
2159 (* Finalization of the section Split *)
2160 let lp_tau_split4_apex_flat = Sections.finalize_theorem lp_tau_split4_apex_flat;;
2161 let lp_tau_split4_apex_sup_flat = Sections.finalize_theorem lp_tau_split4_apex_sup_flat;;
2162 let lp_tau_split4 = Sections.finalize_theorem lp_tau_split4;;
2163 let lp_tau_split5_one_diag = Sections.finalize_theorem lp_tau_split5_one_diag;;
2164 let lp_tau_split5_two_diags = Sections.finalize_theorem lp_tau_split5_two_diags;;
2165 let lp_tau_split6 = Sections.finalize_theorem lp_tau_split6;;
2166 Sections.end_section "Split";;
2167
2168 (* Finalization of the section LpTau *)
2169 let contravening_lp_tau = Sections.finalize_theorem contravening_lp_tau;;
2170 let lp_tau_split4_apex_flat = Sections.finalize_theorem lp_tau_split4_apex_flat;;
2171 let lp_tau_split4_apex_sup_flat = Sections.finalize_theorem lp_tau_split4_apex_sup_flat;;
2172 let lp_tau_split4 = Sections.finalize_theorem lp_tau_split4;;
2173 let lp_tau_split5_one_diag = Sections.finalize_theorem lp_tau_split5_one_diag;;
2174 let lp_tau_split5_two_diags = Sections.finalize_theorem lp_tau_split5_two_diags;;
2175 let lp_tau_split6 = Sections.finalize_theorem lp_tau_split6;;
2176 Sections.end_section "LpTau";;
2177
2178 (* Close the module *)
2179 end;;