formal_lp/old/hypermap/contravening_ineqs.hl

   1 needs "../formal_lp/hypermap/list_hypermap.hl";;
   2 needs "../formal_lp/hypermap/list_hypermap_iso.hl";;
   3 needs "../formal_lp/hypermap/constants_approx.hl";;
   4
   5 needs "arith/nat.hl";;
   6 needs "misc/vars.hl";;
   7
   8 open Constant_approximations;;
   9 open Misc_vars;;
  10 open Sphere;;
  11
  12
  13
  14 (* Definitions of variables *)
  15
  16
  17 (* Variables for fans *)
  18 (* TODO: these definitions are not necessary *)
  19
  20 let azim2_fan = new_definition `azim2_fan (V,E) (x:real^3#real^3) = azim_dart (V,E) (f_fan_pair (V,E) x)`;;
  21 let azim3_fan = new_definition `azim3_fan (V,E) (x:real^3#real^3) = azim_dart (V,E) (inverse (f_fan_pair_ext (V,E)) x)`;;
  22 let yn_fan = new_definition `yn_fan (n:real^3#real^3->bool) = norm (FST (@x. x IN n))`;;
  23 let ln_fan = new_definition `ln_fan (n:real^3#real^3->bool) = abs (ly (yn_fan n))`;;
  24 let ye_fan = new_definition `ye_fan (x:real^3#real^3) = dist x`;;
  25
  26 let y1_fan = new_definition `y1_fan (x:real^3#real^3) = norm(FST x)`;;
  27 let y2_fan = new_definition `y2_fan (x:real^3#real^3) = norm(SND x)`;;
  28 let y3_fan = new_definition `y3_fan (V,E) (x:real^3#real^3) = norm(sigma_fan (vec 0) V E (FST x) (SND x))`;;
  29 let y4_fan = new_definition `y4_fan (V,E) (x:real^3#real^3) = dist(f_fan_pair (V,E) x)`;;
  30 let y5_fan = new_definition `y5_fan (V,E) (x:real^3#real^3) = dist(inverse (f_fan_pair_ext (V,E)) x)`;;
  31 let y6_fan = new_definition `y6_fan (x:real^3#real^3) = dist x`;;
  32 let y8_fan = new_definition `y8_fan (V,E) (x:real^3#real^3) = y5_fan (V,E) (f_fan_pair_ext (V,E) x)`;;
  33 let y9_fan = new_definition `y9_fan (V,E) (x:real^3#real^3) = dist(f_fan_pair (V,E) x)`;;
  34
  35 let rhazim_fan = new_definition `rhazim_fan (V,E) (x:real^3#real^3) = abs(rho(y1_fan x)) * azim_dart (V,E) x`;;
  36 let rhazim2_fan = new_definition `rhazim2_fan (V,E) (x:real^3#real^3) = rhazim_fan (V,E) (f_fan_pair (V,E) x)`;;
  37 let rhazim3_fan = new_definition `rhazim3_fan (V,E) (x:real^3#real^3) = rhazim_fan (V,E) (inverse (f_fan_pair_ext (V,E)) x)`;;
  38
  39 let rho_fan = new_definition `rho_fan n = abs((&1 + sol0 / pi) - ln_fan n * sol0 / pi)`;;
  40 let sol_fan = new_definition `sol_fan (V,E) f = abs(sum f (\x. azim_dart (V,E) x - pi) + &2 * pi)`;;
  41 let tau_fan = new_definition `tau_fan (V,E) f = abs (tauVEF (V,E,f))`;;
  42
  43
  44 let fan_defs =
  45 [
  46   azim2_fan; azim3_fan; yn_fan; ln_fan; ye_fan;
  47   rho_fan; sol_fan; tau_fan; rhazim_fan; rhazim2_fan; rhazim3_fan;
  48   y1_fan; y2_fan; y3_fan; y4_fan; y5_fan; y6_fan; y8_fan; y9_fan;
  49 ]
  50
  51
  52
  53 (* Variables for lists *)
  54
  55
  56 let list_defs = map new_definition
  57   [
  58     `azim_list (V,g) = (azim_dart (V,ESTD V) o g):num#num->real`;
  59     `azim2_list (V,g) = (azim2_fan (V,ESTD V) o g):num#num->real`;
  60     `azim3_list (V,g) = (azim3_fan (V,ESTD V) o g):num#num->real`;
  61     `(yn_list g):(num#num->bool)->real = yn_fan o IMAGE g`;
  62     `(ln_list g):(num#num->bool)->real = ln_fan o IMAGE g`;
  63     `rhazim_list (V,g) = (rhazim_fan (V,ESTD V) o g):num#num->real`;
  64     `rhazim2_list (V,g) = (rhazim2_fan (V,ESTD V) o g):num#num->real`;
  65     `rhazim3_list (V,g) = (rhazim3_fan (V,ESTD V) o g):num#num->real`;
  66     `(ye_list g):(num#num->real) = ye_fan o g`;
  67     `(rho_list g):(num#num->bool)->real = rho_fan o IMAGE g`;
  68     `(sol_list (V,g)):(num#num->bool)->real = sol_fan (V,ESTD V) o IMAGE g`;
  69     `(tau_list (V,g)):(num#num->bool)->real = tau_fan (V,ESTD V) o IMAGE g`;
  70     `(y1_list g):(num#num->real) = y1_fan o g`;
  71     `(y2_list g):(num#num->real) = y2_fan o g`;
  72     `(y3_list (V,g)):(num#num->real) = y3_fan (V,ESTD V) o g`;
  73     `(y4_list (V,g)):(num#num->real) = y4_fan (V,ESTD V) o g`;
  74     `(y5_list (V,g)):(num#num->real) = y5_fan (V,ESTD V) o g`;
  75     `(y6_list g):(num#num->real) = y6_fan o g`;
  76     `(y8_list (V,g)):(num#num->real) = y8_fan (V,ESTD V) o g`;
  77     `(y9_list (V,g)):(num#num->real) = y9_fan (V,ESTD V) o g`;
  78   ];;
  79
  80
  81 let list_defs2 = map (REWRITE_RULE[FUN_EQ_THM; o_THM]) list_defs;;
  82
  83
  84 let list_var_rewrites =
  85   map GSYM list_defs @ map GSYM list_defs2;;
  86
  87
  88
  89 (* All variables are nonnegative *)
  90
  91 let AZIM_DART_POS = prove(`&0 <= azim_dart (V,E) x`,
  92    MP_TAC (ISPEC `x:real^3#real^3` PAIR_SURJECTIVE) THEN
  93      STRIP_TAC THEN
  94      ASM_REWRITE_TAC[azim_dart] THEN
  95      COND_CASES_TAC THENL
  96      [
  97        MP_TAC PI_APPROX_32 THEN REAL_ARITH_TAC;
  98        ALL_TAC
  99      ] THEN
 100      REWRITE_TAC[Fan_defs.azim_fan] THEN
 101      COND_CASES_TAC THEN REWRITE_TAC[azim] THEN
 102      MP_TAC PI_APPROX_32 THEN REAL_ARITH_TAC);;
 103
 104
 105 let DIST_POS = prove(`!x:(real^3#real^3). &0 <= dist x`,
 106    GEN_TAC THEN MP_TAC (ISPEC `x:real^3#real^3` PAIR_SURJECTIVE) THEN
 107      STRIP_TAC THEN ASM_REWRITE_TAC[dist; NORM_POS_LE]);;
 108
 109
 110 let list_var_pos = map (fun tm -> prove(tm,
 111                      GEN_TAC THEN REWRITE_TAC list_defs2 THEN REWRITE_TAC fan_defs THEN
 112                        TRY (MATCH_MP_TAC REAL_LE_MUL) THEN
 113                        REWRITE_TAC[AZIM_DART_POS; REAL_ABS_POS; NORM_POS_LE; DIST_POS]))
 114 [
 115   `!x. &0 <= azim_list (V,g) x`;
 116   `!x. &0 <= azim2_list (V,g) x`;
 117   `!x. &0 <= azim3_list (V,g) x`;
 118   `!x. &0 <= rhazim_list (V,g) x`;
 119   `!x. &0 <= rhazim2_list (V,g) x`;
 120   `!x. &0 <= rhazim3_list (V,g) x`;
 121   `!n. &0 <= yn_list g n`;
 122   `!n. &0 <= ln_list g n`;
 123   `!e. &0 <= ye_list g e`;
 124   `!n. &0 <= rho_list g n`;
 125   `!f. &0 <= sol_list (V,g) f`;
 126   `!f. &0 <= tau_list (V,g) f`;
 127   `!x. &0 <= y1_list g x`;
 128   `!x. &0 <= y2_list g x`;
 129   `!x. &0 <= y3_list (V,g) x`;
 130   `!x. &0 <= y4_list (V,g) x`;
 131   `!x. &0 <= y5_list (V,g) x`;
 132   `!x. &0 <= y6_list g x`;
 133   `!x. &0 <= y8_list (V,g) x`;
 134   `!x. &0 <= y9_list (V,g) x`;
 135 ];;
 136
 137
 138
 139 (* mod-file variables and definitions *)
 140
 141 let var_bound_ineqs = Hashtbl.create 40;;
 142
 143 let sets =
 144   ["dart", `dart H:A->bool`;
 145    "dart3", `hyp_dart3 H:A->bool`;
 146    "node", `node_set H:(A->bool)->bool`;
 147    "face", `face_set H:(A->bool)->bool`;
 148    "dart_std4", `hyp_dart4 H:A->bool`];;
 149
 150
 151 let define_var var_name set_name low high =
 152   let var = match set_name with
 153       "dart" | "dart3" | "dart_std4" -> `d:A`
 154     | "node" -> `n:A->bool`
 155     | "face" -> `f:A->bool`
 156     | _ -> failwith "Undefined set name" in
 157   let var_ty = snd (dest_var var) in
 158   let f_ty = mk_type ("fun", [var_ty; `:real`]) in
 159   let set_ty = mk_type ("fun", [var_ty; `:bool`]) in
 160   let f = mk_var (var_name^"_mod", f_ty) in
 161   let set = assoc set_name sets in
 162   let in_const = mk_mconst ("IN", mk_type ("fun", [var_ty; mk_type ("fun", [set_ty; `:bool`])])) in
 163   let le = `(<=):real->real->bool` in
 164   let fvar = mk_comb (f, var) in
 165   let l, h = mk_binop le low fvar, mk_binop le fvar high in
 166   let cond = mk_binop in_const var set in
 167
 168   let ineq_lo = mk_forall(var, mk_imp(cond, l)) in
 169   let ineq_hi = mk_forall(var, mk_imp(cond, h)) in
 170
 171   let _ = Hashtbl.add var_bound_ineqs (var_name^"_lo") ineq_lo in
 172   let _ = Hashtbl.add var_bound_ineqs (var_name^"_hi") ineq_hi in
 173     f;;
 174
 175
 176
 177
 178 (* Terms for variables in the model file *)
 179 Hashtbl.clear var_bound_ineqs;;
 180
 181 let azim_mod = define_var "azim" "dart" `&0` `pi` and
 182     azim2_mod = define_var "azim2" "dart3" `&0` `pi` and
 183     azim3_mod = define_var "azim3" "dart3" `&0` `pi` and
 184     ln_mod = define_var "ln" "node" `&0` `&1` and
 185     rhazim_mod = define_var "rhazim" "dart" `&0` `pi + sol0` and
 186     rhazim2_mod = define_var "rhazim2" "dart3" `&0` `pi + sol0` and
 187     rhazim3_mod = define_var "rhazim3" "dart3" `&0` `pi + sol0` and
 188     yn_mod = define_var "yn" "node" `&2` `#2.52`and
 189     ye_mod = define_var "ye" "dart" `&2` `&3` and
 190     rho_mod = define_var "rho" "node" `&1` `&1 + sol0 / pi` and
 191     sol_mod = define_var "sol" "face" `&0` `&4 * pi` and
 192     tau_mod = define_var "tau" "face" `&0` `tgt` and
 193     y1_mod = define_var "y1" "dart" `&2` `#2.52` and
 194     y2_mod = define_var "y2" "dart" `&2` `#2.52` and
 195     y3_mod = define_var "y3" "dart" `&2` `#2.52` and
 196     y4_mod = define_var "y4" "dart3" `&2` `&3` and
 197     y5_mod = define_var "y5" "dart" `&2` `&3` and
 198     y6_mod = define_var "y6" "dart" `&2` `&3` and
 199     y8_mod = define_var "y8" "dart_std4" `&2` `#2.52` and
 200     y9_mod = define_var "y9" "dart_std4" `&2` `#2.52`;;
 201
 202
 203 let var_list =
 204   let inst_t = inst[`:real^3#real^3`, aty] in
 205     [
 206       `hypermap_of_fan (V,E)`, `H:(real^3#real^3)hypermap`;
 207       `azim_dart (V,E)`, inst_t azim_mod;
 208       `azim2_fan (V,E)`, inst_t azim2_mod;
 209       `azim3_fan (V,E)`, inst_t azim3_mod;
 210       `ln_fan`, inst_t ln_mod;
 211       `rhazim_fan (V,E)`, inst_t rhazim_mod;
 212       `rhazim2_fan (V,E)`, inst_t rhazim2_mod;
 213       `rhazim3_fan (V,E)`, inst_t rhazim3_mod;
 214       `yn_fan`, inst_t yn_mod;
 215       `ye_fan`, inst_t ye_mod;
 216       `rho_fan`, inst_t rho_mod;
 217       `sol_fan (V,E)`, inst_t sol_mod;
 218       `tau_fan (V,E)`, inst_t tau_mod;
 219       `y1_fan`, inst_t y1_mod;
 220       `y2_fan`, inst_t y2_mod;
 221       `y3_fan (V,E)`, inst_t y3_mod;
 222       `y4_fan (V,E)`, inst_t y4_mod;
 223       `y5_fan (V,E)`, inst_t y5_mod;
 224       `y6_fan`, inst_t y6_mod;
 225       `y8_fan (V,E)`, inst_t y8_mod;
 226       `y9_fan (V,E)`, inst_t y9_mod;
 227     ];;
 228
 229
 230
 231
 232 (* Declare all inequalities in a format which is close to the mod-file format *)
 233
 234 let constraints = Hashtbl.create 100;;
 235 let add_constraints = map (uncurry (Hashtbl.add constraints));;
 236
 237 (* equality constraints *)
 238
 239 add_constraints
 240 [
 241   "azim_sum", `!n. n IN node_set (H:(A)hypermap) ==> sum n azim_mod = &2 * pi`;
 242   "rhazim_sum", `!n. n IN node_set (H:(A)hypermap) ==> sum n rhazim_mod = &2 * pi * rho_mod n`;
 243
 244   "sol_sum3", `!f. f IN hyp_face3 (H:(A)hypermap) ==> sum f azim_mod = sol_mod f + pi`;
 245   "tau_sum3", `!f. f IN hyp_face3 (H:(A)hypermap) ==> sum f rhazim_mod = tau_mod f + (pi + sol0)`;
 246   "sol_sum4", `!f. f IN hyp_face4 (H:(A)hypermap) ==> sum f azim_mod = sol_mod f + &2 * pi`;
 247   "tau_sum4", `!f. f IN hyp_face4 (H:(A)hypermap) ==> sum f rhazim_mod = tau_mod f + &2 * (pi + sol0)`;
 248   "sol_sum5", `!f. f IN hyp_face5 (H:(A)hypermap) ==> sum f azim_mod = sol_mod f + &3 * pi`;
 249   "tau_sum5", `!f. f IN hyp_face5 (H:(A)hypermap) ==> sum f rhazim_mod = tau_mod f + &3 * (pi + sol0)`;
 250   "sol_sum6", `!f. f IN hyp_face6 (H:(A)hypermap) ==> sum f azim_mod = sol_mod f + &4 * pi`;
 251   "tau_sum6", `!f. f IN hyp_face6 (H:(A)hypermap) ==> sum f rhazim_mod = tau_mod f + &4 * (pi + sol0)`;
 252
 253   "ln_def", `!n. n IN node_set (H:(A)hypermap) ==> ln_mod n = (#2.52 - yn_mod n) / #0.52`;
 254   "rho_def", `!n. n IN node_set (H:(A)hypermap) ==> rho_mod n = (&1 + sol0 / pi) - ln_mod n * sol0 / pi`;
 255
 256   "edge_sym", `!e. e IN hyp_edge_pairs (H:(A)hypermap) ==> ye_mod (FST e) = ye_mod (SND e):real`;
 257
 258   "y1_def", `!d. d IN dart (H:(A)hypermap) ==> y1_mod d = yn_mod (node H d):real`;
 259   "y2_def", `!d. d IN dart (H:(A)hypermap) ==> y2_mod d = yn_mod (node H (face_map H d)):real`;
 260   "y3_def", `!d. d IN dart (H:(A)hypermap) ==> y3_mod d = yn_mod (node H (inverse (face_map H) d)):real`;
 261   "y4_def", `!d. d IN hyp_dart3 (H:(A)hypermap) ==> y4_mod d = ye_mod (face_map H d):real`;
 262   "y5_def", `!d. d IN dart (H:(A)hypermap) ==> y5_mod d = ye_mod (inverse (face_map H) d):real`;
 263   "y6_def", `!d. d IN dart (H:(A)hypermap) ==> y6_mod d = ye_mod d:real`;
 264   "y9_def", `!d. d IN hyp_dart4 (H:(A)hypermap) ==> y9_mod d = ye_mod (face_map H d):real`;
 265   "y8_def", `!d. d IN hyp_dart4 (H:(A)hypermap) ==> y8_mod d = y5_mod (inverse (face_map H) d):real`;
 266
 267   "azim2c", `!d. d IN hyp_dart3 (H:(A)hypermap) ==> azim2_mod d = azim_mod (face_map H d):real`;
 268   "azim3c", `!d. d IN hyp_dart3 (H:(A)hypermap) ==> azim3_mod d = azim_mod (inverse (face_map H) d):real`;
 269   "rhazim2c", `!d. d IN hyp_dart3 (H:(A)hypermap) ==> rhazim2_mod d = rhazim_mod (face_map H d):real`;
 270   "rhazim3c", `!d. d IN hyp_dart3 (H:(A)hypermap) ==> rhazim3_mod d = rhazim_mod (inverse (face_map H) d):real`;
 271 ];;
 272
 273
 274
 275 (* inequality constraints *)
 276
 277 add_constraints
 278 [
 279   "RHA", `!d. d IN dart (H:(A)hypermap) ==> rhazim_mod d >= azim_mod d:real`;
 280   "RHB", `!d. d IN dart (H:(A)hypermap) ==> rhazim_mod d <= azim_mod d * (&1 + sol0 / pi)`;
 281 (* "RHBLO"; "RHBHI" *)
 282 ];;
 283
 284
 285 (* definitional inequalities *)
 286
 287
 288
 289 (* y bounds *)
 290 add_constraints
 291 [
 292   "yy10", `!d. (d:A) IN dart (H:(A)hypermap) ==> ye_mod d <= #2.52`;
 293 ];;
 294
 295
 296
 297 (* tau tame table D inequality (Main Estimate) *)
 298 add_constraints
 299 [
 300   "tau3", `!f:A->bool. f IN hyp_face3 (H:(A)hypermap) ==> tau_mod f >= &0`;
 301   "tau4", `!f:A->bool. f IN hyp_face4 (H:(A)hypermap) ==> tau_mod f >= #0.206`;
 302   "tau5", `!f:A->bool. f IN hyp_face5 (H:(A)hypermap) ==> tau_mod f >= #0.4819`;
 303   "tau6", `!f:A->bool. f IN hyp_face6 (H:(A)hypermap) ==> tau_mod f >= #0.7578`;
 304 ];;
 305
 306
 307 add_constraints
 308 [
 309   "ineq105", `!d:A. d IN hyp_dartX H ==>
 310         ((((azim_mod d) - #1.629) + ((#0.402 * (y2_mod d +
 311                 (y3_mod d + (y5_mod d + (y6_mod d - #8.0))))) -
 312                         (#0.315 * (y1_mod d - #2.0)))) - #0.0) >= #0.0`;
 313
 314   "ineq106", `!d:A. d IN hyp_dart3 H ==>
 315         ((((rhazim_mod d) - #1.2308) + (((#0.3639 * (y2_mod d + (y3_mod d + (y5_mod d + (y6_mod d - #8.0))))) -
 316                 (#0.6 * (y1_mod d - #2.0))) - (#0.685 * (y4_mod d - #2.0)))) - #0.0) >= #0.0`;
 317
 318   "ineq107", `!d:A. d IN hyp_dart3 H ==>
 319         (((--(azim_mod d)) + ((#1.231 - (#0.152 * (y2_mod d + (y3_mod d + (y5_mod d + (y6_mod d - #8.0)))))) + ((#0.5 * (y1_mod d - #2.0)) + (#0.773 * (y4_mod d - #2.0))))) - #0.0) >= #0.0`;
 320
 321   "ineq108", `!d:A. d IN hyp_dart3 H ==>
 322         ((((azim_mod d) - #1.2308) + (((#0.3639 * (y2_mod d + (y3_mod d + (y5_mod d + (y6_mod d - #8.0))))) - (#0.235 * (y1_mod d - #2.0))) - (#0.685 * (y4_mod d - #2.0)))) - #0.0) >= #0.0`;
 323
 324   "ineq109", `!d:A. d IN hyp_dart3 H ==>
 325         (((--(sol_mod (face H d))) + (#0.5513 + ((#0.3232 * (y4_mod d + (y5_mod d + (y6_mod d - #6.0)))) - (#0.151 * (y1_mod d + (y2_mod d + (y3_mod d - #6.0))))))) - #0.0) >= #0.0`;
 326
 327   "ineq110", `!d:A. d IN hyp_dart3 H ==>
 328         (((((sol_mod (face H d)) - #0.55125) - (#0.196 * (y4_mod d + (y5_mod d + (y6_mod d - #6.0))))) + (#0.38 * (y1_mod d + (y2_mod d + (y3_mod d - #6.0))))) - #0.0) >= #0.0`;
 329
 330   "ineq111", `!d:A. d IN hyp_dart3 H ==>
 331         (((tau_mod (face H d)) + ((#0.001 - (#0.18 * (y1_mod d + (y2_mod d + (y3_mod d - #6.0))))) - (#0.125 * (y4_mod d + (y5_mod d + (y6_mod d - #6.0)))))) - #0.0) >= #0.0`;
 332
 333
 334   "ineq112", `!d:A. d IN hyp_dart3 H ==>
 335         ((((tau_mod (face H d)) - (#0.507 * (azim_mod d))) + #0.724) - #0.0) >= #0.0`;
 336
 337   "ineq113", `!d:A. d IN hyp_dart3 H ==>
 338         ((((tau_mod (face H d)) - (#0.259 * (azim_mod d))) + #0.32) - #0.0) >= #0.0`;
 339
 340   "ineq114", `!d:A. d IN hyp_dart3 H ==>
 341         (((tau_mod (face H d)) + ((#0.626 * (azim_mod d)) - #0.77)) - #0.0) >= #0.0`;
 342
 343   "ineq115", `!d:A. d IN hyp_dart3 H ==>
 344         (#1.893 - (azim_mod d)) >= #0.0`;
 345
 346   "ineq116", `!d:A. d IN hyp_dart3 H ==>
 347         ((azim_mod d) - #0.852) >= #0.0`;
 348
 349   "ineq119", `!d:A. d IN hyp_dart4 H ==>
 350         ((((tau_mod (face H d)) - (#0.453 * (azim_mod d))) + #0.777) - #0.0) >= #0.0`;
 351
 352   "ineq120", `!d:A. d IN hyp_dart4 H ==>
 353         (((tau_mod (face H d)) + ((#0.7573 * (azim_mod d)) - #1.433)) - #0.0) >= #0.0`;
 354
 355   "ineq121", `!d:A. d IN hyp_dart4 H ==>
 356         (((tau_mod (face H d)) + ((#0.972 * (azim_mod d)) - #1.707)) - #0.0) >= #0.0`;
 357
 358   "ineq122", `!d:A. d IN hyp_dart4 H ==>
 359         (((tau_mod (face H d)) + ((#4.72 * (azim_mod d)) - #6.248)) - #0.0) >= #0.0`;
 360 ];;
 361
 362
 363 (*
 364 let y1_def = `!d. d IN dart (H:(A)hypermap) ==> y1_mod d = yn_mod (node H d):real`;;
 365 y1_def{(i3,i1,i2,j) in e_dart}: y1[i1,j] = yn[i1];
 366
 367
 368 (* Rename terms and types *)
 369 let s1 = inst [`:real^3#real^3`, aty] im_sum;;
 370 let s2 = subst [`hypermap_of_fan (V,E)`, h_fan_hyp] s1;;
 371 let s3 = subst [`azim_dart (V,E)`, azim_mod] s2;;
 372 *)
 373
 374 (*************************************)
 375
 376 let SUM_ISOMORPHISM = prove(`!G H (g:B->A) (r:A->real). isomorphism g (G,H)
 377                             ==> (!d. d IN dart G ==> sum(node G d) (r o g) = sum(node H (g d)) r)`,
 378    REPEAT STRIP_TAC THEN
 379      SUBGOAL_THEN `sum(node G d) (r o (g:B->A)) = sum(IMAGE g (node G d)) r` (fun th -> REWRITE_TAC[th]) THENL
 380      [
 381        MATCH_MP_TAC (GSYM SUM_IMAGE) THEN
 382          REPEAT STRIP_TAC THEN
 383          UNDISCH_TAC `isomorphism (g:B->A) (G,H)` THEN
 384          REWRITE_TAC[isomorphism; BIJ; INJ] THEN
 385          DISCH_THEN (MP_TAC o CONJUNCT1) THEN
 386          DISCH_THEN (MP_TAC o CONJUNCT1) THEN
 387          DISCH_THEN (MATCH_MP_TAC o CONJUNCT2) THEN
 388          ASM_REWRITE_TAC[] THEN
 389          CONJ_TAC THEN MATCH_MP_TAC IN_TRANS THEN EXISTS_TAC `node G (d:B)` THEN ASM_SIMP_TAC[Hypermap.lemma_node_subset];
 390        ALL_TAC
 391      ] THEN
 392      MP_TAC (ISPECL [`g:B->A`; `G:(B)hypermap`; `H:(A)hypermap`; `d:B`] ISOMORPHISM_COMPONENT_IMAGE) THEN
 393      ASM_REWRITE_TAC[] THEN
 394      DISCH_THEN (fun th -> REWRITE_TAC[GSYM th]));;
 395
 396
 397 let ISO_NODE_INJ = prove(`!G H (g:B->A) n. isomorphism g (G,H) /\ n IN node_set G ==>
 398                            (!x y. x IN n /\ y IN n /\ g x = g y ==> x = y)`,
 399    REPEAT STRIP_TAC THEN
 400      UNDISCH_TAC `isomorphism (g:B->A) (G,H)` THEN
 401      REWRITE_TAC[isomorphism; BIJ; INJ] THEN
 402      DISCH_THEN (MP_TAC o CONJUNCT1) THEN DISCH_THEN (MP_TAC o CONJUNCT1) THEN
 403      DISCH_THEN (MATCH_MP_TAC o CONJUNCT2) THEN
 404      ASM_REWRITE_TAC[] THEN
 405      MP_TAC (ISPECL [`G:(B)hypermap`; `n:B->bool`] Hypermap.lemma_node_representation) THEN
 406      ASM_REWRITE_TAC[] THEN
 407      STRIP_TAC THEN
 408      CONJ_TAC THEN MATCH_MP_TAC IN_TRANS THEN
 409      EXISTS_TAC `n:B->bool` THEN
 410      ASM_REWRITE_TAC[] THEN
 411      ASM_SIMP_TAC[Hypermap.lemma_node_subset]);;
 412
 413
 414
 415 let COMPONENTS_ISO_IMAGE = prove(`!G H (g:B->A). isomorphism g (G,H)
 416                              ==> (!d. d IN dart G ==>
 417                                     node H (g d) = IMAGE g (node G d) /\
 418                                     face H (g d) = IMAGE g (face G d))`,
 419    REPEAT GEN_TAC THEN STRIP_TAC THEN GEN_TAC THEN DISCH_TAC THEN
 420      MP_TAC (ISPECL[`g:B->A`; `G:(B)hypermap`; `H:(A)hypermap`; `d:B`] ISOMORPHISM_COMPONENT_IMAGE) THEN
 421      ASM_REWRITE_TAC[] THEN
 422      SIMP_TAC[]);;
 423
 424
 425 let HYPERMAP_MAPS_ISO_COMM = prove(`!G H (g:B->A). isomorphism g (G,H)
 426                              ==> (!d. d IN dart G ==>
 427                                     face_map H (g d) = g (face_map G d) /\
 428                                     node_map H (g d) = g (node_map G d))`,
 429    SIMP_TAC[isomorphism]);;
 430
 431
 432 let HYPERMAP_INV_MAPS = prove(`!(G:(B)hypermap) d. d IN dart G
 433                                 ==> (?k. inverse (face_map G) d = (face_map G POWER k) d)`,
 434    REPEAT STRIP_TAC THEN
 435      ABBREV_TAC `n = CARD (orbit_map (face_map G) (d:B))` THEN
 436      MP_TAC (ISPECL [`face_map G:B->B`; `dart G:B->bool`; `d:B`; `n:num`; `1`] Hypermap_and_fan.FINITE_ORBIT_MAP_INVERSE) THEN
 437      ASM_REWRITE_TAC[Hypermap.hypermap_lemma] THEN
 438      ANTS_TAC THENL
 439      [
 440        REWRITE_TAC[ARITH_RULE `1 <= n <=> 0 < n`] THEN
 441          EXPAND_TAC "n" THEN
 442          MATCH_MP_TAC Hypermap_and_fan.ORBIT_MAP_CARD_POS THEN
 443          EXISTS_TAC `dart G:B->bool` THEN
 444          REWRITE_TAC[Hypermap.hypermap_lemma];
 445        ALL_TAC
 446      ] THEN
 447      REWRITE_TAC[Hypermap.POWER_1] THEN
 448      DISCH_THEN (fun th -> REWRITE_TAC[th]) THEN
 449      EXISTS_TAC `n - 1` THEN
 450      REWRITE_TAC[]);;
 451
 452
 453
 454 let HYPERMAP_INV_MAPS_ISO_COMM = prove(`!G H (g:B->A). isomorphism g (G,H)
 455                          ==> (!d. d IN dart G ==>
 456                                 inverse (face_map H) (g d) = g (inverse (face_map G) d) /\
 457                                 inverse (node_map H) (g d) = g (inverse (node_map G) d))`,
 458    REWRITE_TAC[isomorphism] THEN REPEAT STRIP_TAC THEN
 459      MATCH_MP_TAC (GSYM COMM_INVERSE_LEMMA) THEN
 460      MAP_EVERY EXISTS_TAC [`dart G:B->bool`; `dart H:A->bool`] THEN
 461      ASM_SIMP_TAC[Hypermap.hypermap_lemma]);;
 462
 463
 464 let HYPERMAP_INV_MAPS_ISO_IMAGE = prove(`!G H (g:B->A). isomorphism g (G,H)
 465                         ==> (!d. d IN dart G ==>
 466                                face H (inverse (face_map H) (g d)) = IMAGE g (face G (inverse (face_map G) d)) /\
 467                                node H (inverse (face_map H) (g d)) = IMAGE g (node G (inverse (face_map G) d)))`,
 468    REPEAT GEN_TAC THEN DISCH_TAC THEN GEN_TAC THEN DISCH_TAC THEN
 469      ASM_SIMP_TAC[HYPERMAP_INV_MAPS_ISO_COMM] THEN
 470      ABBREV_TAC `x = inverse (face_map G) (d:B)` THEN
 471      SUBGOAL_THEN `x:B IN dart G` ASSUME_TAC THENL
 472      [
 473        EXPAND_TAC "x" THEN
 474          ASM_SIMP_TAC[Hypermap.lemma_dart_inveriant_under_inverse_maps];
 475        ALL_TAC
 476      ] THEN
 477      ASM_SIMP_TAC[COMPONENTS_ISO_IMAGE]);;
 478
 479
 480
 481
 482
 483 let HYPERMAP_MAPS_ISO_IMAGE = prove(`!G H (g:B->A). isomorphism g (G,H)
 484                                     ==> (!d. d IN dart G ==>
 485                                            face H (face_map H (g d)) = IMAGE g (face G (face_map G d)) /\
 486                                            face H (node_map H (g d)) = IMAGE g (face G (node_map G d)) /\
 487                                            node H (node_map H (g d)) = IMAGE g (node G (node_map G d)) /\
 488                                            node H (face_map H (g d)) = IMAGE g (node G (face_map G d)))`,
 489    REPEAT GEN_TAC THEN DISCH_TAC THEN GEN_TAC THEN DISCH_TAC THEN
 490      ASM_SIMP_TAC[HYPERMAP_MAPS_ISO_COMM] THEN
 491      MP_TAC (SPEC_ALL COMPONENTS_ISO_IMAGE) THEN
 492      ASM_REWRITE_TAC[] THEN DISCH_TAC THEN
 493      REPEAT CONJ_TAC THENL
 494      [
 495        FIRST_X_ASSUM (MP_TAC o SPEC `face_map G (d:B)`);
 496        FIRST_X_ASSUM (MP_TAC o SPEC `node_map G (d:B)`);
 497        FIRST_X_ASSUM (MP_TAC o SPEC `node_map G (d:B)`);
 498        FIRST_X_ASSUM (MP_TAC o SPEC `face_map G (d:B)`)
 499      ] THEN
 500      ASM_SIMP_TAC[Hypermap.lemma_dart_invariant]);;
 501
 502
 503
 504
 505
 506
 507
 508
 509 let SUM_NODE_ISO = prove(`!G H (g:B->A) (r:A->real). isomorphism g (G,H)
 510                            ==> (!n. n IN node_set G ==> sum(IMAGE g n) r = sum n (r o g))`,
 511    REPEAT STRIP_TAC THEN
 512      MATCH_MP_TAC SUM_IMAGE THEN
 513      MATCH_MP_TAC ISO_NODE_INJ THEN
 514      MAP_EVERY EXISTS_TAC [`G:(B)hypermap`; `H:(A)hypermap`] THEN
 515      ASM_REWRITE_TAC[]);;
 516
 517
 518
 519 let CARD_NODE_ISO = prove(`!G H (g:B->A). isomorphism g (G,H)
 520                             ==> (!n. n IN node_set G ==> CARD (IMAGE g n) = CARD n)`,
 521    REPEAT STRIP_TAC THEN
 522      MATCH_MP_TAC CARD_IMAGE_INJ THEN
 523      CONJ_TAC THENL
 524      [
 525        MATCH_MP_TAC ISO_NODE_INJ THEN
 526          MAP_EVERY EXISTS_TAC [`G:(B)hypermap`; `H:(A)hypermap`] THEN
 527          ASM_REWRITE_TAC[];
 528        ALL_TAC
 529      ] THEN
 530
 531      MP_TAC (ISPECL [`G:(B)hypermap`; `n:B->bool`] Hypermap.lemma_node_representation) THEN
 532      ASM_REWRITE_TAC[] THEN
 533      STRIP_TAC THEN
 534      ASM_REWRITE_TAC[Hypermap.NODE_FINITE]);;
 535
 536
 537 let SUM_NODE_SUB = prove(`!(G:(B)hypermap) r1 r2 n. n IN node_set G
 538                            ==> sum n (\x. r1 x - r2 x) = sum n r1 - sum n r2`,
 539    REPEAT STRIP_TAC THEN
 540      MP_TAC (ISPECL [`G:(B)hypermap`; `n:B->bool`] Hypermap.lemma_node_representation) THEN
 541      ASM_REWRITE_TAC[] THEN STRIP_TAC THEN
 542      ASM_SIMP_TAC[Hypermap.NODE_FINITE; SUM_SUB]);;
 543
 544
 545 let SUM_NODE_CONST = prove(`!(G:(B)hypermap) c n. n IN node_set G
 546                              ==> sum n (\x. c) = &(CARD n) * c`,
 547    REPEAT STRIP_TAC THEN
 548      MP_TAC (ISPECL [`G:(B)hypermap`; `n:B->bool`] Hypermap.lemma_node_representation) THEN
 549      ASM_REWRITE_TAC[] THEN STRIP_TAC THEN
 550      ASM_SIMP_TAC[Hypermap.NODE_FINITE; SUM_CONST]);;
 551
 552
 553 let SUM_NODE_SUB_CONST = prove(`!(G:(B)hypermap) r c n. n IN node_set G
 554                                  ==> sum n (\x. r x - c) = sum n r - &(CARD n) * c`,
 555    REPEAT STRIP_TAC THEN
 556      MP_TAC (SPEC_ALL SUM_NODE_CONST) THEN
 557      ASM_REWRITE_TAC[] THEN
 558      DISCH_THEN (fun th -> REWRITE_TAC[SYM th]) THEN
 559      MP_TAC (SPECL [`G:(B)hypermap`; `r:B->real`; `\x:B. c:real`; `n:B->bool`] SUM_NODE_SUB) THEN
 560      ASM_REWRITE_TAC[]);;
 561
 562
 563
 564
 565
 566 let ISO_FACE_INJ = prove(`!G H (g:B->A) f. isomorphism g (G,H) /\ f IN face_set G ==>
 567                            (!x y. x IN f /\ y IN f /\ g x = g y ==> x = y)`,
 568    REPEAT STRIP_TAC THEN
 569      UNDISCH_TAC `isomorphism (g:B->A) (G,H)` THEN
 570      REWRITE_TAC[isomorphism; BIJ; INJ] THEN
 571      DISCH_THEN (MP_TAC o CONJUNCT1) THEN DISCH_THEN (MP_TAC o CONJUNCT1) THEN
 572      DISCH_THEN (MATCH_MP_TAC o CONJUNCT2) THEN
 573      ASM_REWRITE_TAC[] THEN
 574      MP_TAC (ISPECL [`G:(B)hypermap`; `f:B->bool`] Hypermap.lemma_face_representation) THEN
 575      ASM_REWRITE_TAC[] THEN
 576      STRIP_TAC THEN
 577      CONJ_TAC THEN MATCH_MP_TAC IN_TRANS THEN
 578      EXISTS_TAC `f:B->bool` THEN
 579      ASM_REWRITE_TAC[] THEN
 580      ASM_SIMP_TAC[Hypermap.lemma_face_subset]);;
 581
 582
 583 let SUM_FACE_ISO = prove(`!G H (g:B->A) (r:A->real). isomorphism g (G,H)
 584                            ==> (!f. f IN face_set G ==> sum(IMAGE g f) r = sum f (r o g))`,
 585    REPEAT STRIP_TAC THEN
 586      MATCH_MP_TAC SUM_IMAGE THEN
 587      MATCH_MP_TAC ISO_FACE_INJ THEN
 588      MAP_EVERY EXISTS_TAC [`G:(B)hypermap`; `H:(A)hypermap`] THEN
 589      ASM_REWRITE_TAC[]);;
 590
 591
 592
 593 let CARD_FACE_ISO = prove(`!G H (g:B->A). isomorphism g (G,H)
 594                             ==> (!f. f IN face_set G ==> CARD (IMAGE g f) = CARD f)`,
 595    REPEAT STRIP_TAC THEN
 596      MATCH_MP_TAC CARD_IMAGE_INJ THEN
 597      CONJ_TAC THENL
 598      [
 599        MATCH_MP_TAC ISO_FACE_INJ THEN
 600          MAP_EVERY EXISTS_TAC [`G:(B)hypermap`; `H:(A)hypermap`] THEN
 601          ASM_REWRITE_TAC[];
 602        ALL_TAC
 603      ] THEN
 604
 605      MP_TAC (ISPECL [`G:(B)hypermap`; `f:B->bool`] Hypermap.lemma_face_representation) THEN
 606      ASM_REWRITE_TAC[] THEN
 607      STRIP_TAC THEN
 608      ASM_REWRITE_TAC[Hypermap.FACE_FINITE]);;
 609
 610
 611 let SUM_FACE_SUB = prove(`!(G:(B)hypermap) r1 r2 f. f IN face_set G
 612                            ==> sum f (\x. r1 x - r2 x) = sum f r1 - sum f r2`,
 613    REPEAT STRIP_TAC THEN
 614      MP_TAC (ISPECL [`G:(B)hypermap`; `f:B->bool`] Hypermap.lemma_face_representation) THEN
 615      ASM_REWRITE_TAC[] THEN STRIP_TAC THEN
 616      ASM_SIMP_TAC[Hypermap.FACE_FINITE; SUM_SUB]);;
 617
 618
 619 let SUM_FACE_CONST = prove(`!(G:(B)hypermap) c f. f IN face_set G
 620                              ==> sum f (\x. c) = &(CARD f) * c`,
 621    REPEAT STRIP_TAC THEN
 622      MP_TAC (ISPECL [`G:(B)hypermap`; `f:B->bool`] Hypermap.lemma_face_representation) THEN
 623      ASM_REWRITE_TAC[] THEN STRIP_TAC THEN
 624      ASM_SIMP_TAC[Hypermap.FACE_FINITE; SUM_CONST]);;
 625
 626
 627 let SUM_FACE_SUB_CONST = prove(`!(G:(B)hypermap) r c f. f IN face_set G
 628                                  ==> sum f (\x. r x - c) = sum f r - &(CARD f) * c`,
 629    REPEAT STRIP_TAC THEN
 630      MP_TAC (SPEC_ALL SUM_FACE_CONST) THEN
 631      ASM_REWRITE_TAC[] THEN
 632      DISCH_THEN (fun th -> REWRITE_TAC[SYM th]) THEN
 633      MP_TAC (SPECL [`G:(B)hypermap`; `r:B->real`; `\x:B. c:real`; `f:B->bool`] SUM_FACE_SUB) THEN
 634      ASM_REWRITE_TAC[]);;
 635
 636
 637
 638
 639 let SUM_NODE_LIST = prove(`!L (n:(A#A)list). good_list L /\ MEM n (list_of_nodes L) ==>
 640                             sum (set_of_list n) = list_sum n`,
 641    REPEAT STRIP_TAC THEN
 642      REWRITE_TAC[FUN_EQ_THM] THEN X_GEN_TAC `f:(A#A)->real` THEN
 643      MP_TAC (ISPECL [`f:A#A->real`; `n:(A#A)list`] ALL_DISTINCT_SUM) THEN
 644      ANTS_TAC THENL
 645      [
 646        MATCH_MP_TAC ALL_DISTINCT_NODE THEN
 647          EXISTS_TAC `L:((A)list)list` THEN
 648          ASM_REWRITE_TAC[];
 649        ALL_TAC
 650      ] THEN
 651      REWRITE_TAC[]);;
 652
 653
 654
 655 let SUM_NODE_LIST_ALL = prove(`!L (P:(A#A->bool)->((A#A->real)->real)->bool). good_list L /\ good_list_nodes L ==>
 656                             ((!n. n IN node_set (hypermap_of_list L) ==> P n (sum n))
 657                             <=> (!n. MEM n (list_of_nodes L) ==> P (set_of_list n) (list_sum n)))`,
 658    REWRITE_TAC[good_list_nodes] THEN
 659      REPEAT STRIP_TAC THEN
 660      ASM_REWRITE_TAC[IN_SET_OF_LIST; nodes_of_list] THEN
 661      EQ_TAC THEN REPEAT STRIP_TAC THENL
 662      [
 663        FIRST_X_ASSUM (MP_TAC o SPEC `set_of_list n:A#A->bool`) THEN
 664          REWRITE_TAC[MEM_MAP] THEN
 665          ANTS_TAC THENL
 666          [
 667            EXISTS_TAC `n:(A#A)list` THEN
 668              ASM_REWRITE_TAC[];
 669            ALL_TAC
 670          ] THEN
 671
 672          MP_TAC (SPEC_ALL SUM_NODE_LIST) THEN
 673          ASM_REWRITE_TAC[] THEN
 674          DISCH_THEN (fun th -> REWRITE_TAC[th]);
 675        ALL_TAC
 676      ] THEN
 677
 678      POP_ASSUM MP_TAC THEN
 679      REWRITE_TAC[MEM_MAP] THEN
 680      STRIP_TAC THEN
 681      FIRST_X_ASSUM (MP_TAC o SPEC `x:(A#A)list`) THEN
 682      ASM_REWRITE_TAC[] THEN
 683      MP_TAC (SPECL[`L:((A)list)list`; `x:(A#A)list`] SUM_NODE_LIST) THEN
 684      ASM_REWRITE_TAC[] THEN
 685      DISCH_THEN (fun th -> REWRITE_TAC[th]));;
 686
 687
 688 let CARD_SET_OF_LIST_NODE = prove(`!(L:((A)list)list) n. good_list L /\ MEM n (list_of_nodes L)
 689                                     ==> CARD(set_of_list n) = LENGTH n`,
 690    REPEAT STRIP_TAC THEN
 691      MATCH_MP_TAC CARD_SET_OF_LIST_ALL_DISTINCT THEN
 692      MATCH_MP_TAC ALL_DISTINCT_NODE THEN
 693      EXISTS_TAC `L:((A)list)list` THEN ASM_REWRITE_TAC[]);;
 694
 695
 696
 697
 698
 699 let SUM_FACE_LIST = prove(`!L (f:(A#A)list). good_list L /\ MEM f (list_of_faces L) ==>
 700                             sum (set_of_list f) = list_sum f`,
 701    REPEAT STRIP_TAC THEN
 702      REWRITE_TAC[FUN_EQ_THM] THEN X_GEN_TAC `r:(A#A)->real` THEN
 703      MP_TAC (ISPECL [`r:A#A->real`; `f:(A#A)list`] ALL_DISTINCT_SUM) THEN
 704      ANTS_TAC THENL
 705      [
 706        MATCH_MP_TAC ALL_DISTINCT_FACE THEN
 707          EXISTS_TAC `L:((A)list)list` THEN
 708          ASM_REWRITE_TAC[];
 709        ALL_TAC
 710      ] THEN
 711      REWRITE_TAC[]);;
 712
 713
 714
 715 let SUM_FACE_LIST_ALL = prove(`!(L:((A)list)list) P. good_list L ==>
 716                             ((!f. f IN face_set (hypermap_of_list L) ==> P f (sum f))
 717                             <=> (!f. MEM f (list_of_faces L) ==> P (set_of_list f) (list_sum f)))`,
 718    REPEAT STRIP_TAC THEN
 719      ASM_SIMP_TAC[FACE_SET_EQ_LIST] THEN
 720      ASM_REWRITE_TAC[IN_SET_OF_LIST; faces_of_list] THEN
 721      EQ_TAC THEN REPEAT STRIP_TAC THENL
 722      [
 723        FIRST_X_ASSUM (MP_TAC o SPEC `set_of_list f:A#A->bool`) THEN
 724          REWRITE_TAC[MEM_MAP] THEN
 725          ANTS_TAC THENL
 726          [
 727            EXISTS_TAC `f:(A#A)list` THEN
 728              ASM_REWRITE_TAC[];
 729            ALL_TAC
 730          ] THEN
 731
 732          MP_TAC (SPEC_ALL SUM_FACE_LIST) THEN
 733          ASM_REWRITE_TAC[] THEN
 734          DISCH_THEN (fun th -> REWRITE_TAC[th]);
 735        ALL_TAC
 736      ] THEN
 737
 738      POP_ASSUM MP_TAC THEN
 739      REWRITE_TAC[MEM_MAP] THEN
 740      STRIP_TAC THEN
 741      FIRST_X_ASSUM (MP_TAC o SPEC `x:(A#A)list`) THEN
 742      ASM_REWRITE_TAC[] THEN
 743      MP_TAC (SPECL[`L:((A)list)list`; `x:(A#A)list`] SUM_FACE_LIST) THEN
 744      ASM_REWRITE_TAC[] THEN
 745      DISCH_THEN (fun th -> REWRITE_TAC[th]));;
 746
 747
 748
 749 let CARD_SET_OF_LIST_FACE = prove(`!(L:((A)list)list) f. good_list L /\ MEM f (list_of_faces L)
 750                                     ==> CARD(set_of_list f) = LENGTH f`,
 751    REPEAT STRIP_TAC THEN
 752      MATCH_MP_TAC CARD_SET_OF_LIST_ALL_DISTINCT THEN
 753      MATCH_MP_TAC ALL_DISTINCT_FACE THEN
 754      EXISTS_TAC `L:((A)list)list` THEN ASM_REWRITE_TAC[]);;
 755
 756
 757 let IN_DART3_IMP_IN_DART = UNDISCH_ALL (prove(`d:B IN hyp_dart3 G ==> d IN dart G`,
 758                                               SIMP_TAC[hyp_dart3; IN_ELIM_THM]));;
 759 let IN_DART4_IMP_IN_DART = UNDISCH_ALL (prove(`d:B IN hyp_dart4 G ==> d IN dart G`,
 760                                               SIMP_TAC[hyp_dart4; IN_ELIM_THM]));;
 761
 762 let IN_FACE3_IMP_IN_FACE = UNDISCH_ALL (prove(`f IN hyp_face3 (G:(B)hypermap) ==> f IN face_set G`,
 763                                               SIMP_TAC[hyp_face3; IN_ELIM_THM]));;
 764 let IN_FACE4_IMP_IN_FACE = UNDISCH_ALL (prove(`f IN hyp_face4 (G:(B)hypermap) ==> f IN face_set G`,
 765                                               SIMP_TAC[hyp_face4; IN_ELIM_THM]));;
 766 let IN_FACE5_IMP_IN_FACE = UNDISCH_ALL (prove(`f IN hyp_face5 (G:(B)hypermap) ==> f IN face_set G`,
 767                                               SIMP_TAC[hyp_face5; IN_ELIM_THM]));;
 768 let IN_FACE6_IMP_IN_FACE = UNDISCH_ALL (prove(`f IN hyp_face6 (G:(B)hypermap) ==> f IN face_set G`,
 769                                               SIMP_TAC[hyp_face6; IN_ELIM_THM]));;
 770
 771
 772
 773
 774 let DART_LIST_ALL = prove(`!(L:((A)list)list) P. good_list L ==>
 775                             ((!d. d IN dart (hypermap_of_list L) ==> P d)
 776                         <=> (!d. MEM d (list_of_darts L) ==> P d))`,
 777    REPEAT STRIP_TAC THEN
 778      ASM_SIMP_TAC[COMPONENTS_HYPERMAP_OF_LIST; darts_of_list; IN_SET_OF_LIST]);;
 779
 780
 781 let DART3_LIST_ALL = prove(`!(L:((A)list)list) P. good_list L ==>
 782                              ((!d. d IN hyp_dart3 (hypermap_of_list L) ==> P d)
 783                                 <=> (!d. MEM d (list_of_darts3 L) ==> P d))`,
 784    REPEAT STRIP_TAC THEN ASM_SIMP_TAC[LIST_OF_DARTS3; IN_SET_OF_LIST]);;
 785
 786
 787
 788 let DART4_LIST_ALL = prove(`!(L:((A)list)list) P. good_list L ==>
 789                              ((!d. d IN hyp_dart4 (hypermap_of_list L) ==> P d)
 790                                 <=> (!d. MEM d (list_of_darts4 L) ==> P d))`,
 791    REPEAT STRIP_TAC THEN ASM_SIMP_TAC[LIST_OF_DARTS4; IN_SET_OF_LIST]);;
 792
 793
 794 let DARTX_LIST_ALL = prove(`!(L:((A)list)list) P. good_list L ==>
 795                              ((!d. d IN hyp_dartX (hypermap_of_list L) ==> P d)
 796                                 <=> (!d. MEM d (list_of_dartsX L) ==> P d))`,
 797    REPEAT STRIP_TAC THEN ASM_SIMP_TAC[LIST_OF_DARTS_X; IN_SET_OF_LIST]);;
 798
 799
 800
 801 let FACE3_LIST_ALL = prove(`!(L:((A)list)list) P. good_list L ==>
 802                              ((!f. f IN hyp_face3 (hypermap_of_list L) ==> P f (sum f))
 803                                 <=> (!f. MEM f (list_of_faces3 L) ==> P (set_of_list f) (list_sum f)))`,
 804    REPEAT STRIP_TAC THEN
 805      ASM_SIMP_TAC[LIST_OF_FACES3] THEN
 806      ASM_REWRITE_TAC[IN_SET_OF_LIST; MEM_MAP] THEN
 807      EQ_TAC THEN REPEAT STRIP_TAC THENL
 808      [
 809        FIRST_X_ASSUM (MP_TAC o SPEC `set_of_list f:A#A->bool`) THEN
 810          ANTS_TAC THENL
 811          [
 812            EXISTS_TAC `f:(A#A)list` THEN
 813              ASM_REWRITE_TAC[];
 814            ALL_TAC
 815          ] THEN
 816
 817          MP_TAC (SPEC_ALL SUM_FACE_LIST) THEN
 818          ANTS_TAC THENL
 819          [
 820            ASM_REWRITE_TAC[] THEN
 821              POP_ASSUM MP_TAC THEN
 822              SIMP_TAC[list_of_faces3; MEM_FILTER];
 823            ALL_TAC
 824          ] THEN
 825          DISCH_THEN (fun th -> REWRITE_TAC[th]);
 826        ALL_TAC
 827      ] THEN
 828
 829      FIRST_X_ASSUM (MP_TAC o SPEC `x:(A#A)list`) THEN
 830      ASM_REWRITE_TAC[] THEN
 831      MP_TAC (SPECL[`L:((A)list)list`; `x:(A#A)list`] SUM_FACE_LIST) THEN
 832      ANTS_TAC THENL
 833      [
 834        ASM_REWRITE_TAC[] THEN REMOVE_ASSUM THEN POP_ASSUM MP_TAC THEN
 835          SIMP_TAC[list_of_faces3; MEM_FILTER];
 836        ALL_TAC
 837      ] THEN
 838      DISCH_THEN (fun th -> REWRITE_TAC[th]));;
 839
 840
 841
 842 let FACE4_LIST_ALL = prove(`!(L:((A)list)list) P. good_list L ==>
 843                              ((!f. f IN hyp_face4 (hypermap_of_list L) ==> P f (sum f))
 844                                 <=> (!f. MEM f (list_of_faces4 L) ==> P (set_of_list f) (list_sum f)))`,
 845    REPEAT STRIP_TAC THEN
 846      ASM_SIMP_TAC[LIST_OF_FACES4] THEN
 847      ASM_REWRITE_TAC[IN_SET_OF_LIST; MEM_MAP] THEN
 848      EQ_TAC THEN REPEAT STRIP_TAC THENL
 849      [
 850        FIRST_X_ASSUM (MP_TAC o SPEC `set_of_list f:A#A->bool`) THEN
 851          ANTS_TAC THENL
 852          [
 853            EXISTS_TAC `f:(A#A)list` THEN
 854              ASM_REWRITE_TAC[];
 855            ALL_TAC
 856          ] THEN
 857
 858          MP_TAC (SPEC_ALL SUM_FACE_LIST) THEN
 859          ANTS_TAC THENL
 860          [
 861            ASM_REWRITE_TAC[] THEN
 862              POP_ASSUM MP_TAC THEN
 863              SIMP_TAC[list_of_faces4; MEM_FILTER];
 864            ALL_TAC
 865          ] THEN
 866          DISCH_THEN (fun th -> REWRITE_TAC[th]);
 867        ALL_TAC
 868      ] THEN
 869
 870      FIRST_X_ASSUM (MP_TAC o SPEC `x:(A#A)list`) THEN
 871      ASM_REWRITE_TAC[] THEN
 872      MP_TAC (SPECL[`L:((A)list)list`; `x:(A#A)list`] SUM_FACE_LIST) THEN
 873      ANTS_TAC THENL
 874      [
 875        ASM_REWRITE_TAC[] THEN REMOVE_ASSUM THEN POP_ASSUM MP_TAC THEN
 876          SIMP_TAC[list_of_faces4; MEM_FILTER];
 877        ALL_TAC
 878      ] THEN
 879      DISCH_THEN (fun th -> REWRITE_TAC[th]));;
 880
 881
 882 let FACE5_LIST_ALL = prove(`!(L:((A)list)list) P. good_list L ==>
 883                              ((!f. f IN hyp_face5 (hypermap_of_list L) ==> P f (sum f))
 884                                 <=> (!f. MEM f (list_of_faces5 L) ==> P (set_of_list f) (list_sum f)))`,
 885    REPEAT STRIP_TAC THEN
 886      ASM_SIMP_TAC[LIST_OF_FACES5] THEN
 887      ASM_REWRITE_TAC[IN_SET_OF_LIST; MEM_MAP] THEN
 888      EQ_TAC THEN REPEAT STRIP_TAC THENL
 889      [
 890        FIRST_X_ASSUM (MP_TAC o SPEC `set_of_list f:A#A->bool`) THEN
 891          ANTS_TAC THENL
 892          [
 893            EXISTS_TAC `f:(A#A)list` THEN
 894              ASM_REWRITE_TAC[];
 895            ALL_TAC
 896          ] THEN
 897
 898          MP_TAC (SPEC_ALL SUM_FACE_LIST) THEN
 899          ANTS_TAC THENL
 900          [
 901            ASM_REWRITE_TAC[] THEN
 902              POP_ASSUM MP_TAC THEN
 903              SIMP_TAC[list_of_faces5; MEM_FILTER];
 904            ALL_TAC
 905          ] THEN
 906          DISCH_THEN (fun th -> REWRITE_TAC[th]);
 907        ALL_TAC
 908      ] THEN
 909
 910      FIRST_X_ASSUM (MP_TAC o SPEC `x:(A#A)list`) THEN
 911      ASM_REWRITE_TAC[] THEN
 912      MP_TAC (SPECL[`L:((A)list)list`; `x:(A#A)list`] SUM_FACE_LIST) THEN
 913      ANTS_TAC THENL
 914      [
 915        ASM_REWRITE_TAC[] THEN REMOVE_ASSUM THEN POP_ASSUM MP_TAC THEN
 916          SIMP_TAC[list_of_faces5; MEM_FILTER];
 917        ALL_TAC
 918      ] THEN
 919      DISCH_THEN (fun th -> REWRITE_TAC[th]));;
 920
 921
 922 let FACE6_LIST_ALL = prove(`!(L:((A)list)list) P. good_list L ==>
 923                              ((!f. f IN hyp_face6 (hypermap_of_list L) ==> P f (sum f))
 924                                 <=> (!f. MEM f (list_of_faces6 L) ==> P (set_of_list f) (list_sum f)))`,
 925    REPEAT STRIP_TAC THEN
 926      ASM_SIMP_TAC[LIST_OF_FACES6] THEN
 927      ASM_REWRITE_TAC[IN_SET_OF_LIST; MEM_MAP] THEN
 928      EQ_TAC THEN REPEAT STRIP_TAC THENL
 929      [
 930        FIRST_X_ASSUM (MP_TAC o SPEC `set_of_list f:A#A->bool`) THEN
 931          ANTS_TAC THENL
 932          [
 933            EXISTS_TAC `f:(A#A)list` THEN
 934              ASM_REWRITE_TAC[];
 935            ALL_TAC
 936          ] THEN
 937
 938          MP_TAC (SPEC_ALL SUM_FACE_LIST) THEN
 939          ANTS_TAC THENL
 940          [
 941            ASM_REWRITE_TAC[] THEN
 942              POP_ASSUM MP_TAC THEN
 943              SIMP_TAC[list_of_faces6; MEM_FILTER];
 944            ALL_TAC
 945          ] THEN
 946          DISCH_THEN (fun th -> REWRITE_TAC[th]);
 947        ALL_TAC
 948      ] THEN
 949
 950      FIRST_X_ASSUM (MP_TAC o SPEC `x:(A#A)list`) THEN
 951      ASM_REWRITE_TAC[] THEN
 952      MP_TAC (SPECL[`L:((A)list)list`; `x:(A#A)list`] SUM_FACE_LIST) THEN
 953      ANTS_TAC THENL
 954      [
 955        ASM_REWRITE_TAC[] THEN REMOVE_ASSUM THEN POP_ASSUM MP_TAC THEN
 956          SIMP_TAC[list_of_faces6; MEM_FILTER];
 957        ALL_TAC
 958      ] THEN
 959      DISCH_THEN (fun th -> REWRITE_TAC[th]));;
 960
 961
 962
 963 let EDGE_LIST_ALL = prove(`!(L:((A)list)list) P. good_list L ==>
 964                             ((!e. e IN hyp_edge_pairs (hypermap_of_list L) ==> P e)
 965                        <=> (!e. MEM e (list_of_edges L) ==> P e))`,
 966    REPEAT STRIP_TAC THEN
 967      ASM_SIMP_TAC[LIST_OF_EDGES; IN_SET_OF_LIST]);;
 968
 969
 970 let SUB_CONST_o = prove(`!f (c:real) (g:B->A). (\x. f x - c) o g  = (\x. (f o g) x - c)`,
 971    REWRITE_TAC[FUN_EQ_THM; o_THM]);;
 972
 973
 974 (*******************************)
 975
 976
 977 let in_all_rewrites =
 978 [
 979   SUM_NODE_LIST_ALL;
 980   SUM_FACE_LIST_ALL;
 981   EDGE_LIST_ALL;
 982   DART_LIST_ALL;
 983   DART3_LIST_ALL;
 984   DART4_LIST_ALL;
 985   DARTX_LIST_ALL;
 986   FACE3_LIST_ALL;
 987   FACE4_LIST_ALL;
 988   FACE5_LIST_ALL;
 989   FACE6_LIST_ALL;
 990 ];;
 991
 992
 993
 994 let table_set_hyp =
 995   let table = Hashtbl.create 10 in
 996   let _ = map (uncurry (Hashtbl.add table))
 997       [
 998         `hyp_dart3 (G:(B)hypermap)`, IN_DART3_IMP_IN_DART;
 999         `hyp_dart4 (G:(B)hypermap)`, IN_DART4_IMP_IN_DART;
1000         `hyp_face3 (G:(B)hypermap)`, IN_FACE3_IMP_IN_FACE;
1001         `hyp_face4 (G:(B)hypermap)`, IN_FACE4_IMP_IN_FACE;
1002         `hyp_face5 (G:(B)hypermap)`, IN_FACE5_IMP_IN_FACE;
1003         `hyp_face6 (G:(B)hypermap)`, IN_FACE6_IMP_IN_FACE;
1004       ] in
1005     table;;
1006
1007
1008
1009 (*************************************)
1010
1011
1012 let iso_dart_trans = prove(`!(g:B->A) H G P. isomorphism g (G,H) ==>
1013                              ((!d. d IN dart H ==> P d) ==> (!d. d IN dart G ==> P (g d)))`,
1014    REWRITE_TAC[isomorphism; BIJ; SURJ] THEN
1015      REPEAT STRIP_TAC THEN
1016      FIRST_X_ASSUM (MP_TAC o SPEC `d:B`) THEN
1017      FIRST_X_ASSUM (MP_TAC o SPEC `d:B`) THEN
1018      ASM_REWRITE_TAC[] THEN
1019      DISCH_TAC THEN
1020      FIRST_X_ASSUM (MP_TAC o SPEC `(g:B->A) d`) THEN
1021      ASM_SIMP_TAC[]);;
1022
1023
1024 let iso_dart_in = prove(`!(g:B->A) H G d. isomorphism g (G,H) /\ d IN dart G ==>
1025                           g d IN dart H`,
1026    REWRITE_TAC[isomorphism; BIJ; SURJ; INJ] THEN
1027      REPEAT STRIP_TAC THEN
1028      ASM_SIMP_TAC[]);;
1029
1030
1031
1032 let iso_card_eq = prove(`!(g:B->A) H G s. isomorphism g (G,H) /\ s SUBSET dart G
1033                           ==> CARD (IMAGE g s) = CARD s`,
1034    REWRITE_TAC[isomorphism; BIJ; INJ] THEN
1035      REPEAT STRIP_TAC THEN
1036      MATCH_MP_TAC CARD_IMAGE_INJ THEN
1037      CONJ_TAC THENL
1038      [
1039        REPEAT STRIP_TAC THEN
1040          FIRST_X_ASSUM MATCH_MP_TAC THEN
1041          ASM_REWRITE_TAC[] THEN
1042          CONJ_TAC THEN MATCH_MP_TAC IN_TRANS THEN EXISTS_TAC `s:B->bool` THEN ASM_REWRITE_TAC[];
1043        ALL_TAC
1044      ] THEN
1045      MATCH_MP_TAC FINITE_SUBSET THEN
1046      EXISTS_TAC `dart G:B->bool` THEN
1047      ASM_REWRITE_TAC[Hypermap.hypermap_lemma]);;
1048
1049
1050 let iso_face_card = prove(`!(g:B->A) H G d. isomorphism g (G,H) /\ d IN dart G
1051                                   ==> CARD (face H (g d)) = CARD (face G d)`,
1052    REPEAT STRIP_TAC THEN
1053      MP_TAC (SPEC_ALL COMPONENTS_ISO_IMAGE) THEN
1054      ASM_REWRITE_TAC[] THEN
1055      DISCH_THEN (MP_TAC o SPEC `d:B`) THEN
1056      ASM_REWRITE_TAC[] THEN STRIP_TAC THEN
1057      ASM_REWRITE_TAC[] THEN
1058      MATCH_MP_TAC iso_card_eq THEN
1059      MAP_EVERY EXISTS_TAC [`H:(A)hypermap`; `G:(B)hypermap`] THEN
1060      ASM_SIMP_TAC[Hypermap.lemma_face_subset]);;
1061
1062
1063 let iso_dart3_trans = prove(`!(g:B->A) H G P. isomorphism g (G,H) ==>
1064                 ((!d. d IN hyp_dart3 H ==> P d) ==> (!d. d IN hyp_dart3 G ==> P (g d)))`,
1065    REWRITE_TAC[hyp_dart3; IN_ELIM_THM] THEN
1066      REPEAT STRIP_TAC THEN
1067      FIRST_X_ASSUM MATCH_MP_TAC THEN
1068      MP_TAC (SPEC_ALL iso_dart_in) THEN
1069      ASM_SIMP_TAC[iso_face_card]);;
1070
1071
1072
1073 let iso_dart4_trans = prove(`!(g:B->A) H G P. isomorphism g (G,H) ==>
1074                 ((!d. d IN hyp_dart4 H ==> P d) ==> (!d. d IN hyp_dart4 G ==> P (g d)))`,
1075    REWRITE_TAC[hyp_dart4; IN_ELIM_THM] THEN
1076      REPEAT STRIP_TAC THEN
1077      FIRST_X_ASSUM MATCH_MP_TAC THEN
1078      MP_TAC (SPEC_ALL iso_dart_in) THEN
1079      ASM_SIMP_TAC[iso_face_card]);;
1080
1081
1082
1083 let iso_dartX_trans = prove(`!(g:B->A) H G P. isomorphism g (G,H) ==>
1084                 ((!d. d IN hyp_dartX H ==> P d) ==> (!d. d IN hyp_dartX G ==> P (g d)))`,
1085    REWRITE_TAC[hyp_dartX; IN_ELIM_THM] THEN
1086      REPEAT STRIP_TAC THEN
1087      FIRST_X_ASSUM MATCH_MP_TAC THEN
1088      MP_TAC (SPEC_ALL iso_dart_in) THEN
1089      ASM_SIMP_TAC[iso_face_card]);;
1090
1091
1092
1093
1094 let iso_edge_pairs_trans = prove(`!(g:B->A) H G P. isomorphism g (G,H) ==>
1095                   ((!e. e IN hyp_edge_pairs H ==> P e) ==> (!e. e IN hyp_edge_pairs G ==> P (g (FST e), g (SND e))))`,
1096    REWRITE_TAC[isomorphism; BIJ; SURJ; hyp_edge_pairs; IN_ELIM_THM] THEN
1097      REPEAT STRIP_TAC THEN
1098      ASM_REWRITE_TAC[] THEN
1099      FIRST_X_ASSUM MATCH_MP_TAC THEN
1100      EXISTS_TAC `(g:B->A) x` THEN
1101      ASM_SIMP_TAC[]);;
1102
1103
1104
1105
1106 let iso_node_trans = prove(`!(g:B->A) H G P. isomorphism g (G,H) ==>
1107                              ((!n. n IN node_set H ==> P n) ==> (!n. n IN node_set G ==> P (IMAGE g n)))`,
1108    REPEAT STRIP_TAC THEN
1109      POP_ASSUM (MP_TAC o MATCH_MP Hypermap.lemma_node_representation) THEN
1110      STRIP_TAC THEN
1111      MP_TAC (ISPECL [`g:B->A`; `G:(B)hypermap`; `H:(A)hypermap`; `x:B`] ISOMORPHISM_COMPONENT_IMAGE) THEN
1112      ASM_REWRITE_TAC[] THEN
1113      DISCH_THEN (fun th -> REWRITE_TAC[GSYM th]) THEN
1114      FIRST_X_ASSUM MATCH_MP_TAC THEN
1115      REWRITE_TAC[GSYM Hypermap.lemma_in_node_set] THEN
1116      MATCH_MP_TAC iso_dart_in THEN
1117      EXISTS_TAC `G:(B)hypermap` THEN
1118      ASM_REWRITE_TAC[]);;
1119
1120
1121
1122 let iso_face_trans = prove(`!(g:B->A) H G P. isomorphism g (G,H) ==>
1123                              ((!f. f IN face_set H ==> P f) ==> (!f. f IN face_set G ==> P (IMAGE g f)))`,
1124    REPEAT STRIP_TAC THEN
1125      POP_ASSUM (MP_TAC o MATCH_MP Hypermap.lemma_face_representation) THEN
1126      STRIP_TAC THEN
1127      MP_TAC (ISPECL [`g:B->A`; `G:(B)hypermap`; `H:(A)hypermap`; `x:B`] ISOMORPHISM_COMPONENT_IMAGE) THEN
1128      ASM_REWRITE_TAC[] THEN
1129      DISCH_THEN (fun th -> REWRITE_TAC[GSYM th]) THEN
1130      FIRST_X_ASSUM MATCH_MP_TAC THEN
1131      REWRITE_TAC[GSYM Hypermap.lemma_in_face_set] THEN
1132      MATCH_MP_TAC iso_dart_in THEN
1133      EXISTS_TAC `G:(B)hypermap` THEN
1134      ASM_REWRITE_TAC[]);;
1135
1136
1137 let iso_face3_trans = prove(`!(g:B->A) H G P. isomorphism g (G,H) ==>
1138               ((!f. f IN hyp_face3 H ==> P f) ==> (!f. f IN hyp_face3 G ==> P (IMAGE g f)))`,
1139    REWRITE_TAC[hyp_face3; IN_ELIM_THM] THEN
1140      REPEAT STRIP_TAC THEN
1141      FIRST_X_ASSUM MATCH_MP_TAC THEN
1142      POP_ASSUM MP_TAC THEN POP_ASSUM MP_TAC THEN
1143      MP_TAC (SPECL[`g:B->A`; `H:(A)hypermap`; `G:(B)hypermap`] iso_face_trans) THEN
1144      ASM_REWRITE_TAC[] THEN
1145      REPEAT DISCH_TAC THEN
1146      CONJ_TAC THENL
1147      [
1148        REMOVE_ASSUM THEN POP_ASSUM MP_TAC THEN
1149          SPEC_TAC (`f:B->bool`, `f:B->bool`) THEN
1150          FIRST_X_ASSUM MATCH_MP_TAC THEN
1151          SIMP_TAC[];
1152        ALL_TAC
1153      ] THEN
1154
1155      MP_TAC (ISPECL[`G:(B)hypermap`; `f:B->bool`] Hypermap.lemma_face_representation) THEN
1156      ASM_REWRITE_TAC[] THEN STRIP_TAC THEN
1157      UNDISCH_TAC `CARD (f:B->bool) = 3` THEN
1158      DISCH_THEN (fun th -> REWRITE_TAC[SYM th]) THEN
1159      ASM_REWRITE_TAC[] THEN
1160
1161      MP_TAC (SPEC_ALL COMPONENTS_ISO_IMAGE) THEN
1162      ASM_REWRITE_TAC[] THEN
1163      DISCH_THEN (fun th -> ASM_SIMP_TAC[GSYM th]) THEN
1164      MATCH_MP_TAC iso_face_card THEN
1165      ASM_REWRITE_TAC[]);;
1166
1167
1168 let iso_face4_trans = prove(`!(g:B->A) H G P. isomorphism g (G,H) ==>
1169               ((!f. f IN hyp_face4 H ==> P f) ==> (!f. f IN hyp_face4 G ==> P (IMAGE g f)))`,
1170    REWRITE_TAC[hyp_face4; IN_ELIM_THM] THEN
1171      REPEAT STRIP_TAC THEN
1172      FIRST_X_ASSUM MATCH_MP_TAC THEN
1173      POP_ASSUM MP_TAC THEN POP_ASSUM MP_TAC THEN
1174      MP_TAC (SPECL[`g:B->A`; `H:(A)hypermap`; `G:(B)hypermap`] iso_face_trans) THEN
1175      ASM_REWRITE_TAC[] THEN
1176      REPEAT DISCH_TAC THEN
1177      CONJ_TAC THENL
1178      [
1179        REMOVE_ASSUM THEN POP_ASSUM MP_TAC THEN
1180          SPEC_TAC (`f:B->bool`, `f:B->bool`) THEN
1181          FIRST_X_ASSUM MATCH_MP_TAC THEN
1182          SIMP_TAC[];
1183        ALL_TAC
1184      ] THEN
1185
1186      MP_TAC (ISPECL[`G:(B)hypermap`; `f:B->bool`] Hypermap.lemma_face_representation) THEN
1187      ASM_REWRITE_TAC[] THEN STRIP_TAC THEN
1188      UNDISCH_TAC `CARD (f:B->bool) = 4` THEN
1189      DISCH_THEN (fun th -> REWRITE_TAC[SYM th]) THEN
1190      ASM_REWRITE_TAC[] THEN
1191
1192      MP_TAC (SPEC_ALL COMPONENTS_ISO_IMAGE) THEN
1193      ASM_REWRITE_TAC[] THEN
1194      DISCH_THEN (fun th -> ASM_SIMP_TAC[GSYM th]) THEN
1195      MATCH_MP_TAC iso_face_card THEN
1196      ASM_REWRITE_TAC[]);;
1197
1198
1199 let iso_face5_trans = prove(`!(g:B->A) H G P. isomorphism g (G,H) ==>
1200               ((!f. f IN hyp_face5 H ==> P f) ==> (!f. f IN hyp_face5 G ==> P (IMAGE g f)))`,
1201    REWRITE_TAC[hyp_face5; IN_ELIM_THM] THEN
1202      REPEAT STRIP_TAC THEN
1203      FIRST_X_ASSUM MATCH_MP_TAC THEN
1204      POP_ASSUM MP_TAC THEN POP_ASSUM MP_TAC THEN
1205      MP_TAC (SPECL[`g:B->A`; `H:(A)hypermap`; `G:(B)hypermap`] iso_face_trans) THEN
1206      ASM_REWRITE_TAC[] THEN
1207      REPEAT DISCH_TAC THEN
1208      CONJ_TAC THENL
1209      [
1210        REMOVE_ASSUM THEN POP_ASSUM MP_TAC THEN
1211          SPEC_TAC (`f:B->bool`, `f:B->bool`) THEN
1212          FIRST_X_ASSUM MATCH_MP_TAC THEN
1213          SIMP_TAC[];
1214        ALL_TAC
1215      ] THEN
1216
1217      MP_TAC (ISPECL[`G:(B)hypermap`; `f:B->bool`] Hypermap.lemma_face_representation) THEN
1218      ASM_REWRITE_TAC[] THEN STRIP_TAC THEN
1219      UNDISCH_TAC `CARD (f:B->bool) = 5` THEN
1220      DISCH_THEN (fun th -> REWRITE_TAC[SYM th]) THEN
1221      ASM_REWRITE_TAC[] THEN
1222
1223      MP_TAC (SPEC_ALL COMPONENTS_ISO_IMAGE) THEN
1224      ASM_REWRITE_TAC[] THEN
1225      DISCH_THEN (fun th -> ASM_SIMP_TAC[GSYM th]) THEN
1226      MATCH_MP_TAC iso_face_card THEN
1227      ASM_REWRITE_TAC[]);;
1228
1229
1230 let iso_face6_trans = prove(`!(g:B->A) H G P. isomorphism g (G,H) ==>
1231               ((!f. f IN hyp_face6 H ==> P f) ==> (!f. f IN hyp_face6 G ==> P (IMAGE g f)))`,
1232    REWRITE_TAC[hyp_face6; IN_ELIM_THM] THEN
1233      REPEAT STRIP_TAC THEN
1234      FIRST_X_ASSUM MATCH_MP_TAC THEN
1235      POP_ASSUM MP_TAC THEN POP_ASSUM MP_TAC THEN
1236      MP_TAC (SPECL[`g:B->A`; `H:(A)hypermap`; `G:(B)hypermap`] iso_face_trans) THEN
1237      ASM_REWRITE_TAC[] THEN
1238      REPEAT DISCH_TAC THEN
1239      CONJ_TAC THENL
1240      [
1241        REMOVE_ASSUM THEN POP_ASSUM MP_TAC THEN
1242          SPEC_TAC (`f:B->bool`, `f:B->bool`) THEN
1243          FIRST_X_ASSUM MATCH_MP_TAC THEN
1244          SIMP_TAC[];
1245        ALL_TAC
1246      ] THEN
1247
1248      MP_TAC (ISPECL[`G:(B)hypermap`; `f:B->bool`] Hypermap.lemma_face_representation) THEN
1249      ASM_REWRITE_TAC[] THEN STRIP_TAC THEN
1250      UNDISCH_TAC `CARD (f:B->bool) = 6` THEN
1251      DISCH_THEN (fun th -> REWRITE_TAC[SYM th]) THEN
1252      ASM_REWRITE_TAC[] THEN
1253
1254      MP_TAC (SPEC_ALL COMPONENTS_ISO_IMAGE) THEN
1255      ASM_REWRITE_TAC[] THEN
1256      DISCH_THEN (fun th -> ASM_SIMP_TAC[GSYM th]) THEN
1257      MATCH_MP_TAC iso_face_card THEN
1258      ASM_REWRITE_TAC[]);;
1259
1260
1261
1262
1263 let iso_trans_table =
1264   let table = Hashtbl.create 10 in
1265   let _ = map (uncurry (Hashtbl.add table))
1266     [
1267       `dart H:A->bool`, iso_dart_trans;
1268       `node_set (H:(A)hypermap)`, iso_node_trans;
1269       `face_set (H:(A)hypermap)`, iso_face_trans;
1270       `hyp_edge_pairs (H:(A)hypermap)`, iso_edge_pairs_trans;
1271       `hyp_dart3 (H:(A)hypermap)`, iso_dart3_trans;
1272       `hyp_dart4 (H:(A)hypermap)`, iso_dart4_trans;
1273       `hyp_dartX (H:(A)hypermap)`, iso_dartX_trans;
1274       `hyp_face3 (H:(A)hypermap)`, iso_face3_trans;
1275       `hyp_face4 (H:(A)hypermap)`, iso_face4_trans;
1276       `hyp_face5 (H:(A)hypermap)`, iso_face5_trans;
1277       `hyp_face6 (H:(A)hypermap)`, iso_face6_trans;
1278     ] in
1279     table;;
1280
1281
1282 (**************************)
1283
1284
1285
1286 let gen_iso_thm ineq =
1287   let x_tm, tm = dest_forall ineq in
1288   let set, p_tm' = dest_binary "==>" tm in
1289   let set_th = Hashtbl.find iso_trans_table (rand set) in
1290   let p_tm = mk_abs (x_tm, p_tm') in
1291   let p_var = mk_var ("P", type_of (rand set)) in
1292   let th3 = (SPEC_ALL (REWRITE_RULE[IMP_IMP] set_th)) in
1293     BETA_RULE (INST[p_tm, p_var] th3);;
1294
1295
1296
1297
1298
1299
1300 let gen_general_ineq ineq =
1301   let iso_th = gen_iso_thm ineq in
1302     (* General rewrites before specifying hypermaps *)
1303   let th0 = UNDISCH_ALL (REWRITE_RULE[GSYM IMP_IMP] iso_th) in
1304   let gen_var, rtm = dest_forall(concl th0) in
1305   let ants = lhand rtm in
1306   let set = rand ants in
1307   let th1 = UNDISCH_ALL (SPEC_ALL th0) in
1308
1309   let th_rule th = UNDISCH_ALL (SPEC_ALL (UNDISCH_ALL (SPEC_ALL th))) in
1310
1311   let ths = [
1312     th_rule SUM_NODE_ISO;
1313     th_rule CARD_NODE_ISO;
1314     th_rule SUM_FACE_ISO;
1315     th_rule CARD_FACE_ISO;
1316     th_rule COMPONENTS_ISO_IMAGE;
1317     th_rule HYPERMAP_MAPS_ISO_IMAGE;
1318     th_rule HYPERMAP_INV_MAPS_ISO_IMAGE;
1319     th_rule HYPERMAP_MAPS_ISO_COMM;
1320     th_rule HYPERMAP_INV_MAPS_ISO_COMM;
1321     SUB_CONST_o; ETA_AX;
1322     th_rule SUM_FACE_SUB_CONST;
1323   ] in
1324
1325   let th2' = REWRITE_RULE ths th1 in
1326   let th2 =
1327     if (Hashtbl.mem table_set_hyp set) then
1328       PROVE_HYP (Hashtbl.find table_set_hyp set) th2'
1329     else
1330       th2' in
1331   let th3 = GEN gen_var (DISCH ants th2) in
1332
1333   let s0 = th3 in
1334
1335   (* G -> hypermap_of_list (L:((num)list)list) *)
1336   (* Instantiate correct types *)
1337   let s1 = INST_TYPE [`:real^3#real^3`, aty; `:num#num`, bty] s0 in
1338   let s2 = INST[`hypermap_of_list (L:((num)list)list)`, `G:(num#num)hypermap`] s1 in
1339
1340   let th_rule = (UNDISCH_ALL o INST_TYPE [`:num`, aty] o SPEC_ALL o REWRITE_RULE[GSYM IMP_IMP]) in
1341
1342   let ths = map th_rule in_all_rewrites in
1343   let s3 = REWRITE_RULE ths s2 in
1344
1345   let gen_var2, rtm = dest_forall(concl s3) in
1346   let ants2 = lhand rtm in
1347
1348   let s4 = UNDISCH_ALL (SPEC_ALL s3) in
1349
1350   let ths =
1351     [
1352       th_rule CARD_SET_OF_LIST_FACE;
1353       th_rule CARD_SET_OF_LIST_NODE;
1354     ] in
1355
1356   let s5 = REWRITE_RULE ths s4 in
1357   let s6 = GEN gen_var2 (DISCH ants2 s5) in
1358
1359   (* Deal with basic variables *)
1360   let s7 = INST var_list s6 in
1361   let s8 = INST[`ESTD V`, `E:(real^3->bool)->bool`] s7 in
1362   let s9 = REWRITE_RULE list_var_rewrites s8 in
1363   let r0 = s9 in
1364
1365   (* Basic rewrites *)
1366
1367   let ths =
1368     [
1369       UNDISCH_ALL (INST_TYPE [`:num`, aty] (SPEC_ALL COMPONENTS_HYPERMAP_OF_LIST));
1370     ] in
1371   let r1 = REWRITE_RULE ths r0 in
1372
1373   (* Further rewrites *)
1374   let r2 = REWRITE_RULE[darts_of_list; IN_SET_OF_LIST; ALL_MEM] r1 in
1375     r2;;
1376
1377
1378
1379 (***********************)
1380
1381
1382 (*
1383
1384 let get_ineq str = Hashtbl.find constraints str;;
1385
1386
1387
1388 let th = gen_general_ineq (get_ineq "ineq122");;
1389 let th = gen_general_ineq (get_ineq "sol_sum3");;
1390 let th = gen_general_ineq (get_ineq "tau_sum");;
1391 let th = gen_general_ineq (get_ineq "edge_sym");;
1392 let th = gen_general_ineq (get_ineq "ln_def");;
1393 let th = gen_general_ineq (get_ineq "y1_def");;
1394 let th = gen_general_ineq (get_ineq "y2_def");;
1395 let th = gen_general_ineq (get_ineq "y3_def");;
1396 let th = gen_general_ineq (get_ineq "y4_def");;
1397 let th = gen_general_ineq (get_ineq "y5_def");;
1398 let th = gen_general_ineq (get_ineq "y6_def");;
1399 let th = gen_general_ineq (get_ineq "y8_def");;
1400 let th = gen_general_ineq (get_ineq "y9_def");;
1401 let th = gen_general_ineq (get_ineq "RHB");;
1402
1403
1404
1405 let test_list = ref [];;
1406
1407 let iter_f name ineq =
1408   try
1409     test_list := gen_general_ineq ineq :: !test_list
1410   with x ->
1411     print_string ("problems: "^name^"; ");;
1412
1413
1414 Hashtbl.iter iter_f constraints;;
1415
1416
1417
1418
1419 (********************************)
1420
1421 let ineq = get_ineq "tau_sum3";;
1422
1423 let iso_th = gen_iso_thm ineq;;
1424     (* General rewrites before specifying hypermaps *)
1425 let th0 = UNDISCH_ALL (REWRITE_RULE[GSYM IMP_IMP] iso_th);;
1426 let gen_var, rtm = dest_forall(concl th0);;
1427 let ants = lhand rtm;;
1428 let set = rand ants;;
1429 let th1 = UNDISCH_ALL (SPEC_ALL th0);;
1430
1431 let th_rule th = UNDISCH_ALL (SPEC_ALL (UNDISCH_ALL (SPEC_ALL th)));;
1432
1433 let ths = [
1434     th_rule SUM_NODE_ISO;
1435     th_rule CARD_NODE_ISO;
1436     th_rule SUM_FACE_ISO;
1437     th_rule CARD_FACE_ISO;
1438     th_rule COMPONENTS_ISO_IMAGE;
1439     th_rule HYPERMAP_MAPS_ISO_IMAGE;
1440     th_rule HYPERMAP_INV_MAPS_ISO_IMAGE;
1441     th_rule HYPERMAP_MAPS_ISO_COMM;
1442     th_rule HYPERMAP_INV_MAPS_ISO_COMM;
1443     SUB_CONST_o; ETA_AX;
1444     th_rule SUM_FACE_SUB_CONST;
1445 ];;
1446
1447 let th2' = REWRITE_RULE ths th1;;
1448 let th2 =
1449   if (Hashtbl.mem table_set_hyp set) then
1450     PROVE_HYP (Hashtbl.find table_set_hyp set) th2'
1451   else
1452     th2';;
1453
1454
1455   let th3 = GEN gen_var (DISCH ants th2);;
1456
1457   let s0 = th3;;
1458
1459   (* G -> hypermap_of_list (L:((num)list)list) *)
1460   (* Instantiate correct types *)
1461   let s1 = INST_TYPE [`:real^3#real^3`, aty; `:num#num`, bty] s0;;
1462   let s2 = INST[`hypermap_of_list (L:((num)list)list)`, `G:(num#num)hypermap`] s1;;
1463
1464   let th_rule = (UNDISCH_ALL o INST_TYPE [`:num`, aty] o SPEC_ALL o REWRITE_RULE[GSYM IMP_IMP]);;
1465
1466   let ths = map th_rule in_all_rewrites;;
1467
1468   let s3 = REWRITE_RULE ths s2;;
1469
1470   let gen_var2, rtm = dest_forall(concl s3);;
1471   let ants2 = lhand rtm;;
1472
1473   let s4 = UNDISCH_ALL (SPEC_ALL s3);;
1474
1475   let ths =
1476     [
1477       th_rule CARD_SET_OF_LIST_FACE;
1478       th_rule CARD_SET_OF_LIST_NODE;
1479     ];;
1480
1481   let s5 = REWRITE_RULE ths s4;;
1482   let s6 = GEN gen_var2 (DISCH ants2 s5);;
1483
1484   (* Deal with basic variables *)
1485   let s7 = INST var_list s6;;
1486   let s8 = INST[`ESTD V`, `E:(real^3->bool)->bool`] s7;;
1487   let s9 = REWRITE_RULE list_var_rewrites s8;;
1488   let r0 = s9;;
1489
1490   (* Basic rewrites *)
1491
1492   let ths =
1493     [
1494       UNDISCH_ALL (INST_TYPE [`:num`, aty] (SPEC_ALL COMPONENTS_HYPERMAP_OF_LIST));
1495     ];;
1496   let r1 = REWRITE_RULE ths r0;;
1497
1498   (* Further rewrites *)
1499   let r2 = REWRITE_RULE[darts_of_list; IN_SET_OF_LIST; ALL_MEM] r1
1500     r2;;
1501
1502
1503
1504 *)
1505
1506 (*********************************************************)
1507
1508 (* Integral approximation of inequalities and equalities *)
1509
1510 let mk_decimal (n,m) =
1511   let tm = mk_comb(mk_comb(`DECIMAL`, mk_numeral (abs_num n)), mk_numeral m) in
1512     if (n </ Int 0) then mk_comb(neg_op_real, tm) else tm;;
1513
1514
1515 (*
1516 Given a rational number term `r` and a natural number k,
1517 returns a pair of theorems:
1518 |- low <= r, |- r <= high,
1519 with decimal low and high such that
1520 |low - r| <= 10^(-k) and |high - r| <= 10^(-k)
1521 *)
1522 let real_rat_approx tm precision =
1523   let n = rat_of_term tm in
1524   let m = Int 10 **/ (Int precision) in
1525   let n1 = n */ m in
1526   let low, high = floor_num n1, ceiling_num n1 in
1527   let l_tm, h_tm =
1528     if precision = 0 then
1529       term_of_rat low, term_of_rat high
1530     else
1531       mk_decimal (low, m), mk_decimal (high, m) in
1532   let l_th = EQT_ELIM (REAL_RAT_LE_CONV (mk_binop le_op_real l_tm tm)) in
1533   let h_th = EQT_ELIM (REAL_RAT_LE_CONV (mk_binop le_op_real tm h_tm)) in
1534     l_th, h_th;;
1535
1536
1537
1538 (* Split a sum into two parts: with and without free variables *)
1539
1540 let sum_th0 = REAL_ARITH `x = x + &0 + &0` and
1541     sum_th1 = REAL_ARITH `(x + y) + b + c = y + (x + b) + c:real` and
1542     sum_th2 = REAL_ARITH `(x + y) + b + c = y + b + (x + c):real` and
1543     sum_th1' = REAL_ARITH `x + b + c = (x + b) + c:real` and
1544     sum_th2' = REAL_ARITH `x + b + c = b + (x + c):real`;;
1545
1546
1547 let c_var_real = `c:real`;;
1548
1549
1550 let split_sum_conv tm =
1551   let rec split_sum_raw_conv tm =
1552     let xy_tm, bc_tm = dest_binop add_op_real tm in
1553     let b_tm, c_tm = dest_binop add_op_real bc_tm in
1554       if (is_binop add_op_real xy_tm) then
1555         let x_tm, y_tm = dest_binop add_op_real xy_tm in
1556         let inst_th = INST[x_tm, x_var_real; y_tm, y_var_real; b_tm, b_var_real; c_tm, c_var_real] in
1557         let th1 = if (frees x_tm <> []) then inst_th sum_th1 else inst_th sum_th2 in
1558         let th2 = split_sum_raw_conv (rand(concl th1)) in
1559           TRANS th1 th2
1560       else
1561         let inst_th = INST[xy_tm, x_var_real; b_tm, b_var_real; c_tm, c_var_real] in
1562           if (frees xy_tm <> []) then inst_th sum_th1' else inst_th sum_th2' in
1563
1564   let th0 = INST[tm, x_var_real] sum_th0 in
1565   let th1 = split_sum_raw_conv (rand(concl th0)) in
1566     TRANS th0 th1;;
1567
1568
1569
1570 let rearrange_mul_conv tm =
1571   let rec dest_mul tm =
1572     if (is_binop mul_op_real tm) then
1573       let lhs, rhs = dest_binop mul_op_real tm in
1574       let cs, vars = dest_mul rhs in
1575         if (frees lhs = []) then
1576           lhs::cs, vars
1577         else
1578           cs, lhs::vars
1579     else
1580       if (frees tm = []) then
1581         [tm], []
1582       else
1583         [], [tm] in
1584   let mk_mul list =
1585     if (list = []) then failwith "rearrange_mul: empty list"
1586     else itlist (fun l r -> mk_binop mul_op_real l r) (tl list) (hd list) in
1587
1588   let cs, vars = dest_mul tm in
1589   let cs_mul, vars_mul = mk_mul cs, mk_mul vars in
1590   let t = mk_eq(tm, mk_binop mul_op_real cs_mul vars_mul) in
1591     EQT_ELIM (REWRITE_CONV[REAL_MUL_AC] t);;
1592
1593
1594
1595 let le_add_th = REAL_ARITH `x + y <= b + c <=> x - b <= c - y:real`;;
1596
1597 (* Moves everything with free variables on the left and performs basic reductions *)
1598 let ineq_rewrite_conv = REWRITE_CONV[real_ge; real_div; DECIMAL] THENC
1599   LAND_CONV REAL_POLY_CONV THENC RAND_CONV REAL_POLY_CONV THENC
1600   LAND_CONV split_sum_conv THENC RAND_CONV split_sum_conv THENC
1601   ONCE_REWRITE_CONV[le_add_th] THENC
1602   LAND_CONV REAL_POLY_CONV THENC RAND_CONV REAL_POLY_CONV THENC
1603   REWRITE_CONV[GSYM real_div] THENC
1604   ONCE_DEPTH_CONV rearrange_mul_conv;;
1605
1606
1607 (* Approximation *)
1608
1609 let le_mul1_th = REAL_ARITH `!x. &1 * x <= x`;;
1610 let ge_mul1_th = REAL_ARITH `!x. x <= &1 * x`;;
1611 let INTERVAL_LO = prove(`interval_arith x (a,b) ==> a <= x`, SIMP_TAC[interval_arith]);;
1612 let INTERVAL_HI = prove(`interval_arith x (a,b) ==> x <= b`, SIMP_TAC[interval_arith]);;
1613
1614 let rec low_approx tm precision =
1615   let low_approx1 tm precision =
1616     if (is_binop mul_op_real tm && frees tm <> []) then
1617       let c, var = dest_binop mul_op_real tm in
1618       let interval_th = approx_interval (create_interval c) precision in
1619       let l_th = MATCH_MP INTERVAL_LO interval_th in
1620       let a, b = dest_binop le_op_real (concl l_th) in
1621         (PROVE_HYP l_th o UNDISCH_ALL o REWRITE_RULE[GSYM IMP_IMP] o SPECL[a; b; var]) REAL_LE_RMUL
1622     else
1623       if (frees tm = []) then
1624         MATCH_MP INTERVAL_LO (approx_interval (create_interval tm) precision)
1625       else
1626         SPEC tm le_mul1_th in
1627
1628   if (is_binop add_op_real tm && frees tm <> []) then
1629     let lhs, rhs = dest_binop add_op_real tm in
1630     let l_th = low_approx1 lhs precision in
1631     let r_th = low_approx rhs precision in
1632       MATCH_MP REAL_LE_ADD2 (CONJ l_th r_th)
1633   else
1634     low_approx1 tm precision;;
1635
1636
1637 let rec hi_approx tm precision =
1638   let hi_approx1 tm precision =
1639     if (is_binop mul_op_real tm && frees tm <> []) then
1640       let c, var = dest_binop mul_op_real tm in
1641       let interval_th = approx_interval (create_interval c) precision in
1642       let h_th = MATCH_MP INTERVAL_HI interval_th in
1643       let a, b = dest_binop le_op_real (concl h_th) in
1644         (PROVE_HYP h_th o UNDISCH_ALL o REWRITE_RULE[GSYM IMP_IMP] o SPECL[a; b; var]) REAL_LE_RMUL
1645     else
1646       if (frees tm = []) then
1647         MATCH_MP INTERVAL_HI (approx_interval (create_interval tm) precision)
1648       else
1649         SPEC tm ge_mul1_th in
1650
1651   if (is_binop add_op_real tm && frees tm <> []) then
1652     let lhs, rhs = dest_binop add_op_real tm in
1653     let l_th = hi_approx1 lhs precision in
1654     let r_th = hi_approx rhs precision in
1655       MATCH_MP REAL_LE_ADD2 (CONJ l_th r_th)
1656   else
1657     hi_approx1 tm precision;;
1658
1659
1660
1661 let approx_le_ineq precision tm =
1662   let lhs, rhs = dest_binop le_op_real tm in
1663   let lhs_th = low_approx lhs precision in
1664   let rhs_th = hi_approx rhs precision in
1665   let ll, lr = dest_binop le_op_real (concl lhs_th) in
1666   let rl, rr = dest_binop le_op_real (concl rhs_th) in
1667
1668   let th0 = ASSUME tm in
1669   let th1 = SPECL[ll; lr; rhs] REAL_LE_TRANS in
1670   let th2 = SPECL[ll; rhs; rr] REAL_LE_TRANS in
1671   let s1 = MATCH_MP th1 (CONJ lhs_th th0) in
1672     MATCH_MP th2 (CONJ s1 rhs_th);;
1673
1674
1675 let integer_approx_le_ineq precision ineq =
1676   let lhs, rhs = dest_binop le_op_real ineq in
1677   let m = (Int 10 **/ Int precision) in
1678   let m_num, m_real = mk_numeral m, term_of_rat m in
1679   let m_pos = SPEC m_num REAL_POS in
1680   let mul_th = SPECL[m_real; lhs; rhs] REAL_LE_LMUL in
1681   let th0 = MATCH_MP mul_th (CONJ m_pos (ASSUME ineq)) in
1682   let th1 = (CONV_RULE ineq_rewrite_conv) th0 in
1683   let approx = approx_le_ineq 0 (concl th1) in
1684     PROVE_HYP th1 approx;;
1685
1686
1687 let create_approximations precision_list ineq =
1688   let ineq_th = ineq_rewrite_conv ineq in
1689   let rhs = rand(concl ineq_th) in
1690   let th0 = CONV_RULE (LAND_CONV (REWRITE_CONV[DECIMAL] THENC REAL_POLY_CONV))
1691     (approx_le_ineq 8 rhs) in
1692
1693   let int_approx p =
1694     let th1 = integer_approx_le_ineq p (concl th0) in
1695     let th2 = PROVE_HYP th0 th1 in
1696     let th3 = DISCH rhs th2 in
1697       REWRITE_RULE[GSYM ineq_th] th3 in
1698
1699     map int_approx precision_list;;
1700
1701 (**********************************)
1702
1703
1704 (*
1705 let tm = `(&34/ &13 + pi/sol0)* x + &2 + -- &14 / &3 * z <= pi + rho218 + z * sol0 - u / &1000`;;
1706 create_approximations [3;4;5] tm;;
1707 *)
1708
1709
1710 (*************************)
1711
1712 (* Additional step for generalizing hypotheses *)
1713
1714
1715 let LIST_SUM_LMUL = prove(`!(f:A->real) c n. list_sum n (\x. c * f x) = c * list_sum n f`,
1716    GEN_TAC THEN GEN_TAC THEN LIST_INDUCT_TAC THEN REWRITE_TAC[list_sum; ITLIST; REAL_MUL_RZERO] THEN
1717      ASM_REWRITE_TAC[GSYM list_sum; REAL_ADD_LDISTRIB]);;
1718
1719
1720 let le_hyp_gen = prove(`!f y. (!x. &0 <= f x) ==> &0 <= f y`, SIMP_TAC[]);;
1721 let le_list_sum_hyp_gen = prove(`!(f:A->real) n. (!x. &0 <= f x) ==> &0 <= list_sum n f`,
1722    REPEAT STRIP_TAC THEN
1723      REWRITE_TAC[list_sum] THEN
1724      SPEC_TAC (`n:(A)list`, `n:(A)list`) THEN
1725      LIST_INDUCT_TAC THEN REWRITE_TAC[ITLIST; REAL_LE_REFL] THEN
1726      MATCH_MP_TAC REAL_LE_ADD THEN
1727      ASM_REWRITE_TAC[]);;
1728
1729
1730
1731 let generalize_hyp th =
1732   let gen_hyp = fun tm ->
1733     let fn, arg = dest_comb (rand tm) in
1734       if (is_comb fn && is_const (rator fn) && (fst o dest_const o rator) fn = "list_sum") then
1735         let f, n = arg, rand fn in
1736           UNDISCH_ALL (ISPECL[f; n] le_list_sum_hyp_gen)
1737       else
1738         UNDISCH_ALL (ISPECL[fn; arg] le_hyp_gen) in
1739
1740   let hyp_ths = map gen_hyp (hyp th) in
1741     itlist PROVE_HYP hyp_ths th;;
1742
1743
1744 (*
1745 let tm = `list_sum n (\x. s x * r) + &1 / &3 * (azim_dart (V,E) o g) x <= pi`;;
1746 let ths = create_approximations [3] tm;;
1747 map generalize_hyp ths;;
1748 *)
1749
1750
1751 (*******************************)
1752
1753
1754 let generate_ineqs precision_list ineq =
1755
1756   let create_approxs original_th precision_list =
1757     let var, ineq = (dest_abs o rand o rator o concl) original_th in
1758     let final_step = fun approx_th ->
1759       let p_tm', q_tm' = dest_imp (concl approx_th) in
1760       let p_tm, q_tm = mk_abs(var, p_tm'), mk_abs(var, q_tm') in
1761       let list_tm = (rand o concl) original_th in
1762       let mono_th = BETA_RULE (ISPECL[p_tm; q_tm; list_tm] (GEN_ALL MONO_ALL)) in
1763       let s1 = MATCH_MP mono_th (GEN var approx_th) in
1764         MATCH_MP s1 original_th in
1765
1766     let approx_ths0 = map generalize_hyp (create_approximations precision_list ineq) in
1767     let approx_ths1 = map (itlist PROVE_HYP list_var_pos) approx_ths0 in
1768     let approx_ths = map (REWRITE_RULE[GSYM LIST_SUM_LMUL]) approx_ths1 in
1769       map final_step approx_ths in
1770
1771
1772   let ineq_th = gen_general_ineq ineq in
1773   let ineq = (snd o dest_abs o rand o rator o concl) ineq_th in
1774     if (is_eq ineq) then
1775       let eq_th = REWRITE_RULE[GSYM REAL_LE_ANTISYM; GSYM AND_ALL] ineq_th in
1776       let ths1 = create_approxs (CONJUNCT1 eq_th) precision_list in
1777       let ths2 = create_approxs (CONJUNCT2 eq_th) precision_list in
1778         ths1, ths2
1779     else
1780       create_approxs ineq_th precision_list, [];;
1781
1782
1783
1784
1785 (*********************************************************************)
1786
1787 (* Table containing all inequalities *)
1788 let ineq_table = Array.init 6 (fun i -> Hashtbl.create 10);;
1789 let ineq_test_table = Array.init 6 (fun i -> Hashtbl.create 10);;
1790
1791
1792
1793 let DECIMAL_INT = prove(`!n. DECIMAL n 1 = &n`, REWRITE_TAC[DECIMAL; REAL_DIV_1]);;
1794
1795
1796 let add_everything_to_table table =
1797   let add_approximations_to_table = fun name ineq ->
1798     let approxs', neg_approxs' = generate_ineqs [3;4;5] ineq in
1799     let approxs = zip (3--5) approxs' in
1800     let neg_approxs = if (neg_approxs' = []) then [] else zip (3--5) neg_approxs' in
1801     let r = CONV_RULE (REWRITE_CONV[DECIMAL_INT] THENC DEPTH_CONV Arith_hash.NUMERAL_TO_NUM_CONV) in
1802     let _ = map (fun (i, t) -> Hashtbl.add (ineq_test_table.(i)) name t;
1803                                Hashtbl.add (ineq_table.(i)) name (r t)) approxs in
1804     let _ = map (fun (i, t) -> Hashtbl.add (ineq_test_table.(i)) (name^"_neg") t;
1805                                Hashtbl.add (ineq_table.(i)) (name^"_neg") (r t)) neg_approxs in
1806       () in
1807
1808     Hashtbl.iter (fun name ineq -> add_approximations_to_table name ineq) table;;
1809
1810
1811 let find_ineq precision name = Hashtbl.find ineq_table.(precision) name;;
1812 let find_test_ineq precision name = Hashtbl.find ineq_test_table.(precision) name;;
1813
1814
1815
1816 (* Generate and add inequalities for constraints *)
1817 add_everything_to_table constraints;;
1818 add_everything_to_table var_bound_ineqs;;
1819
1820
1821 (**************************)
1822
1823
1824 (*
1825 generate_ineqs [4] (get_ineq "ineq112");;
1826
1827 Hashtbl.iter (fun name ineq -> let _ = generate_ineqs[3;4;5] ineq in ()) constraints;;
1828 *)
1829
1830 (***************)
1831 (*********************)
1832