text_formalization/local/XWITCCN.hl

   1 (* ========================================================================== *)
   2 (* FLYSPECK - BOOK FORMALIZATION                                              *)
   3 (*                                                                            *)
   4 (* Chapter: Local Fan                                              *)
   5 (* Author: Hoang Le Truong                                        *)
   6 (* Date: 2012-04-01                                                           *)
   7 (* ========================================================================= *)
   8
   9 (*
  10 remaining conclusions from appendix to Local Fan chapter
  11 *)
  12
  13
  14 module Xwitccn = struct
  15
  16
  17 open Polyhedron;;
  18 open Sphere;;
  19 open Topology;;
  20 open Fan_misc;;
  21 open Planarity;;
  22 open Conforming;;
  23 open Hypermap;;
  24 open Fan;;
  25 open Topology;;
  26 open Wrgcvdr_cizmrrh;;
  27 open Local_lemmas;;
  28 open Collect_geom;;
  29 open Dih2k_hypermap;;
  30 open Wjscpro;;
  31 open Tecoxbm;;
  32 open Hdplygy;;
  33 open Nkezbfc_local;;
  34 open Flyspeck_constants;;
  35 open Gbycpxs;;
  36 open Pcrttid;;
  37 open Local_lemmas;;
  38 open Pack_defs;;
  39
  40 open Hales_tactic;;
  41
  42 open Appendix;;
  43
  44
  45
  46
  47
  48 open Hypermap;;
  49 open Fan;;
  50 open Wrgcvdr_cizmrrh;;
  51 open Local_lemmas;;
  52 open Flyspeck_constants;;
  53 open Pack_defs;;
  54
  55 open Hales_tactic;;
  56
  57 open Appendix;;
  58
  59
  60 open Zithlqn;;
  61
  62
  63 let CARD_SLICE_EQ=prove_by_refinement(
  64 `!V E FF v w.
  65 convex_local_fan(V,E,FF)
  66 /\ ~(v=w) /\
  67 v IN V /\ w IN V
  68 /\ (!u u1. u IN {v,w} /\ u1 IN V /\ ~(u=u1) ==> ~(collinear {vec 0, u, u1}))
  69 /\ (!e. e IN FF ==> aff_gt {vec 0} {v,w} SUBSET wedge_in_fan_gt e E)
  70 ==> CARD V = CARD (slicev E FF v w) + CARD (slicev E FF w v) - 2`,
  71   (* {{{ proof *)
  72 [
  73 REPEAT STRIP_TAC
  74 THEN ASM_TAC
  75 THEN STRIP_TAC
  76 THEN POP_ASSUM(fun th-> ASSUME_TAC th
  77 THEN REPEAT STRIP_TAC
  78 THEN MP_TAC th)
  79 THEN REWRITE_TAC[convex_local_fan]
  80 THEN RESA_TAC
  81 THEN MRESA_TAC (GEN_ALL  COMPATIBLE_BW_TWO_LEMMAS2
  82 )[`hypermap (HYP (vec 0,(V:real^3->bool),E UNION {{v, w:real^3}}))`;`face (hypermap (HYP (vec 0,(V:real^3->bool),E UNION {{v, w:real^3}}))) (v,rho_node1 FF v)`;`V:real^3->bool`;`face (hypermap (HYP (vec 0,(V:real^3->bool),E UNION {{v, w:real^3}}))) (w,rho_node1 FF w)`;`E:(real^3->bool)->bool`;`FF:real^3#real^3->bool`;`w:real^3`;`v:real^3`]
  83 THEN MRESA_TAC (GEN_ALL Local_lemmas1.EJRCFJD)[`hypermap (HYP (vec 0,(V:real^3->bool),E UNION {{v, w:real^3}}))`;`E:(real^3->bool)->bool`;`w:real^3`;`face (hypermap (HYP (vec 0,(V:real^3->bool),E UNION {{v, w:real^3}}))) (v,rho_node1 FF v)`;`V:real^3->bool`;`face (hypermap (HYP (vec 0,(V:real^3->bool),E UNION {{v, w:real^3}}))) (w,rho_node1 FF w)`;`FF:real^3#real^3->bool`;`v:real^3`]
  84 THEN REMOVE_ASSUM_TAC
  85 THEN POP_ASSUM MP_TAC
  86 THEN POP_ASSUM MP_TAC
  87 THEN REWRITE_TAC[convex_local_fan]
  88 THEN STRIP_TAC
  89 THEN STRIP_TAC
  90 THEN SUBGOAL_THEN`v IN slicev (E:(real^3->bool)->bool) FF w v`ASSUME_TAC
  91 ;
  92
  93
  94 REWRITE_TAC[slicev;IN_ELIM_THM]
  95 THEN EXISTS_TAC`order (rho_node1 (FF:real^3#real^3->bool)) w v `
  96 THEN REWRITE_TAC[ARITH_RULE`0<=a /\ a<=a`]
  97 THEN MRESA_TAC (GEN_ALL Local_lemmas1.POINT_PRESENTED_IN_RHOND1)[`E:(real^3->bool)->bool`;`V:real^3->bool`;`FF:real^3#real^3->bool`;`w:real^3`;`v:real^3`]
  98 THEN SUBGOAL_THEN`(!i. 0 < i /\ i < n ==> ~(ITER i (rho_node1 (FF:real^3#real^3->bool)) w = v))`ASSUME_TAC
  99 ;
 100
 101
 102 STRIP_TAC
 103 THEN POP_ASSUM(fun th-> STRIP_TAC
 104 THEN MRESA1_TAC th`i:num`)
 105 ;
 106
 107  MRESA_TAC (GEN_ALL ORDER)[`n:num`;`rho_node1 (FF:real^3#real^3->bool)`;`w:real^3`;`v:real^3`];
 108
 109
 110
 111 SUBGOAL_THEN`v IN slicev (E:(real^3->bool)->bool) FF v w`ASSUME_TAC
 112
 113 ;
 114
 115
 116 REWRITE_TAC[slicev;IN_ELIM_THM]
 117 THEN EXISTS_TAC`0`
 118 THEN REWRITE_TAC[ITER]
 119 THEN ARITH_TAC;
 120
 121
 122 MRESA_TAC (GEN_ALL Local_lemmas.LOFA_IMP_LT_CARD_SET_V)[`slicee (E:(real^3->bool)->bool) FF v w`;`slicef (E:(real^3->bool)->bool) FF v w`;`slicev (E:(real^3->bool)->bool) FF v w`;`v:real^3`]
 123 THEN MRESA_TAC (GEN_ALL Local_lemmas.LOFA_IMP_LT_CARD_SET_V)[`slicee (E:(real^3->bool)->bool) FF w v`;`slicef (E:(real^3->bool)->bool) FF w v`;`slicev (E:(real^3->bool)->bool) FF w v`;`v:real^3`]
 124 THEN MRESA_TAC (GEN_ALL Local_lemmas1.POINT_PRESENTED_IN_RHOND1)[`E:(real^3->bool)->bool`;`V:real^3->bool`;`FF:real^3#real^3->bool`;`v:real^3`;`w:real^3`]
 125 THEN MRESAL_TAC (GEN_ALL Local_lemmas1.CONDS_IN_V_PRIME_NUM)[`(E:(real^3->bool)->bool)`;`hypermap (HYP (vec 0,V,(E:(real^3->bool)->bool) UNION {{v, w}}))`;`w:real^3`;`FF:real^3#real^3->bool`;`v:real^3`;`V:real^3->bool`;`face (hypermap (HYP (vec 0,V,(E:(real^3->bool)->bool) UNION {{v, w}}))) (v,rho_node1 (FF:real^3#real^3->bool) v)`;`n:num`][DIFF;IN_SING;IN_ELIM_THM;]
 126 THEN POP_ASSUM MP_TAC
 127 THEN ONCE_REWRITE_TAC[SET_RULE`~(t = z) <=> ~(z = t)`]
 128 THEN RESA_TAC
 129 THEN MRESAL_TAC (GEN_ALL Local_lemmas1.CONDS_IN_V_PRIME_NUM2)[`(E:(real^3->bool)->bool)`;`hypermap (HYP (vec 0,V,(E:(real^3->bool)->bool) UNION {{v, w}}))`;`w:real^3`;`FF:real^3#real^3->bool`;`v:real^3`;`face (hypermap (HYP (vec 0,V,(E:(real^3->bool)->bool) UNION {{v, w}}))) (w,rho_node1 (FF:real^3#real^3->bool) w)`;`n:num`;`V:real^3->bool`][DIFF;IN_SING;IN_ELIM_THM;]
 130 THEN POP_ASSUM MP_TAC
 131 THEN ONCE_REWRITE_TAC[SET_RULE`~(t = z) <=> ~(z = t)`]
 132 THEN RESA_TAC
 133 THEN POP_ASSUM MP_TAC
 134 THEN POP_ASSUM MP_TAC
 135 THEN SUBGOAL_THEN`(slicev (E:(real^3->bool)->bool) FF v w) = IMAGE  (\i. ITER i (rho_node1 FF) v) {i| i < CARD (V:real^3->bool) /\ ITER i (rho_node1 FF) v IN slicev E FF v w}`ASSUME_TAC
 136
 137 ;
 138
 139
 140 REWRITE_TAC[IMAGE;EXTENSION;IN_ELIM_THM]
 141 THEN GEN_TAC
 142 THEN EQ_TAC;
 143
 144 STRIP_TAC
 145 THEN POP_ASSUM(fun th->
 146 MP_TAC th
 147 THEN GEN_REWRITE_TAC(LAND_CONV o DEPTH_CONV)[slicev;IN_ELIM_THM]
 148 THEN ASSUME_TAC th)
 149 THEN STRIP_TAC
 150 THEN SUBGOAL_THEN`(!i. 0 < i /\ i < n ==> ~(ITER i (rho_node1 (FF:real^3#real^3->bool)) v = w))`ASSUME_TAC
 151 ;
 152
 153
 154 STRIP_TAC
 155 THEN REPLICATE_TAC 4 (POP_ASSUM MP_TAC)
 156 THEN POP_ASSUM(fun th-> REPLICATE_TAC 4 (STRIP_TAC) THEN STRIP_TAC
 157 THEN MRESA1_TAC th`i:num`)
 158 ;
 159
 160 MRESA_TAC (GEN_ALL UNIQUE_ORDER)[`v:real^3`;`w:real^3`;`n:num`;`(rho_node1 (FF:real^3#real^3->bool))`]
 161 THEN POP_ASSUM(fun th-> ASM_TAC THEN REWRITE_TAC[th])
 162 THEN REPEAT STRIP_TAC
 163 THEN EXISTS_TAC`n':num`
 164 THEN ASM_REWRITE_TAC[]
 165 THEN REMOVE_ASSUM_TAC
 166 THEN POP_ASSUM(fun th-> ASM_REWRITE_TAC[SYM th])
 167 THEN POP_ASSUM MP_TAC
 168 THEN REPLICATE_TAC 4 (REMOVE_ASSUM_TAC)
 169 THEN POP_ASSUM MP_TAC
 170 THEN ARITH_TAC;
 171
 172 RESA_TAC
 173 ;
 174
 175
 176
 177
 178
 179 SUBGOAL_THEN`(slicev (E:(real^3->bool)->bool) FF w v) = IMAGE  (\i. ITER i (rho_node1 FF) v) {i| i < CARD (V:real^3->bool) /\ ITER i (rho_node1 FF) v IN slicev E FF w v}`ASSUME_TAC
 180
 181 ;
 182
 183
 184 REWRITE_TAC[IMAGE;EXTENSION;IN_ELIM_THM]
 185 THEN GEN_TAC
 186 THEN EQ_TAC;
 187
 188 POP_ASSUM MP_TAC
 189 THEN POP_ASSUM MP_TAC
 190 THEN REMOVE_ASSUM_TAC
 191 THEN REPEAT STRIP_TAC
 192 THEN POP_ASSUM(fun th->
 193 MP_TAC th
 194 THEN GEN_REWRITE_TAC(LAND_CONV o DEPTH_CONV)[slicev;IN_ELIM_THM]
 195 THEN ASSUME_TAC th)
 196 THEN STRIP_TAC
 197 THEN MRESA_TAC(GEN_ALL Local_lemmas.LOCAL_FAN_ITER_RHO_NODE_IN_V)
 198 [`(E:(real^3->bool)->bool)`;`FF:real^3#real^3->bool`;`w:real^3`;`V:real^3->bool`]
 199 THEN POP_ASSUM(fun th-> MRESA1_TAC th `n':num`)
 200 THEN MRESA_TAC (GEN_ALL Local_lemmas1.POINT_PRESENTED_IN_RHOND1)
 201 [`(E:(real^3->bool)->bool)`;`V:real^3->bool`;`FF:real^3#real^3->bool`;`v:real^3`;`x:real^3`]
 202 THEN EXISTS_TAC`n'':num`
 203 THEN ASM_REWRITE_TAC[]
 204 THEN REPLICATE_TAC 4 (REMOVE_ASSUM_TAC)
 205 THEN POP_ASSUM(fun th-> ASM_REWRITE_TAC[SYM th]);
 206
 207
 208 RESA_TAC
 209 ;
 210
 211
 212
 213 SUBGOAL_THEN`CARD (slicev (E:(real^3->bool)->bool) FF v w) = CARD {i | i < CARD (V:real^3->bool) /\ ITER i (rho_node1 FF) v IN slicev E FF v w}`ASSUME_TAC;
 214
 215 REMOVE_ASSUM_TAC
 216 THEN POP_ASSUM(fun th->
 217 GEN_REWRITE_TAC(LAND_CONV o ONCE_DEPTH_CONV)[th])
 218 THEN MATCH_MP_TAC CARD_IMAGE_INJ
 219 THEN STRIP_TAC
 220 ;
 221
 222 REWRITE_TAC[IN_ELIM_THM]
 223 THEN REPEAT STRIP_TAC
 224 THEN MP_TAC Local_lemmas1.LT_CARD_MONO_LOFA
 225 THEN ASM_REWRITE_TAC[]
 226 THEN STRIP_TAC
 227 THEN POP_ASSUM MATCH_MP_TAC
 228 THEN ASM_REWRITE_TAC[];
 229
 230
 231 MATCH_MP_TAC FINITE_SUBSET
 232 THEN EXISTS_TAC`0.. (CARD (V:real^3->bool))`
 233 THEN REWRITE_TAC[FINITE_NUMSEG;SUBSET;IN_ELIM_THM;IN_NUMSEG]
 234 THEN ARITH_TAC
 235 ;
 236
 237
 238
 239  SUBGOAL_THEN`CARD (slicev (E:(real^3->bool)->bool) FF w v) = CARD {i | i < CARD (V:real^3->bool) /\ ITER i (rho_node1 FF) v IN slicev E FF w v}`ASSUME_TAC;
 240
 241 REMOVE_ASSUM_TAC
 242 THEN POP_ASSUM(fun th->
 243 GEN_REWRITE_TAC(LAND_CONV o ONCE_DEPTH_CONV)[th])
 244 THEN MATCH_MP_TAC CARD_IMAGE_INJ
 245 THEN STRIP_TAC
 246 ;
 247
 248 REWRITE_TAC[IN_ELIM_THM]
 249 THEN REPEAT STRIP_TAC
 250 THEN MP_TAC Local_lemmas1.LT_CARD_MONO_LOFA
 251 THEN ASM_REWRITE_TAC[]
 252 THEN STRIP_TAC
 253 THEN POP_ASSUM MATCH_MP_TAC
 254 THEN ASM_REWRITE_TAC[];
 255
 256
 257 MATCH_MP_TAC FINITE_SUBSET
 258 THEN EXISTS_TAC`0.. (CARD (V:real^3->bool))`
 259 THEN REWRITE_TAC[FINITE_NUMSEG;SUBSET;IN_ELIM_THM;IN_NUMSEG]
 260 THEN ARITH_TAC
 261 ;
 262
 263
 264
 265 POP_ASSUM(fun th->
 266 POP_ASSUM( fun th1->
 267 STRIP_TAC
 268 THEN STRIP_TAC
 269 THEN GEN_REWRITE_TAC(RAND_CONV o ONCE_DEPTH_CONV)[th]
 270 THEN GEN_REWRITE_TAC(RAND_CONV o ONCE_DEPTH_CONV)[th1]))
 271 THEN ASM_REWRITE_TAC[]
 272 THEN SUBGOAL_THEN`{i| i<n+1}= 0.. n` ASSUME_TAC
 273 ;
 274
 275
 276 REWRITE_TAC[EXTENSION;IN_ELIM_THM;IN_NUMSEG]
 277 THEN ARITH_TAC;
 278
 279 SUBGOAL_THEN`{i | i = 0 \/ n <= i /\ i < CARD (V:real^3->bool)} = (n.. (CARD V -1)) UNION {0}`
 280 ASSUME_TAC;
 281
 282
 283 REWRITE_TAC[EXTENSION;IN_ELIM_THM;IN_NUMSEG;UNION;IN_SING]
 284 THEN ARITH_TAC;
 285
 286
 287 ASM_REWRITE_TAC[]
 288 THEN MP_TAC(ARITH_RULE`n=0\/ 0< n`)
 289 THEN RESA_TAC;
 290
 291 POP_ASSUM(fun th-> ASM_TAC
 292 THEN REWRITE_TAC[th;ITER])
 293 THEN REPEAT RESA_TAC
 294 ;
 295
 296
 297 SUBGOAL_THEN`(n..CARD (V:real^3->bool) - 1) INTER {0} ={}`ASSUME_TAC;
 298
 299
 300
 301 REWRITE_TAC[EXTENSION;IN_ELIM_THM;IN_NUMSEG;UNION;IN_SING;INTER]
 302 THEN GEN_TAC
 303 THEN EQ_TAC;
 304
 305 POP_ASSUM MP_TAC
 306 THEN ARITH_TAC;
 307
 308 SET_TAC[];
 309
 310
 311 MRESAL_TAC Geomdetail.CARD_EQUATION[`n..(CARD (V:real^3->bool)-1)`;`{0}`][FINITE_NUMSEG;FINITE_SING;CARD_CLAUSES;Geomdetail.CARD_SING;ARITH_RULE`A+0=A`;CARD_NUMSEG]
 312 THEN REPLICATE_TAC 2 (REMOVE_ASSUM_TAC)
 313 THEN POP_ASSUM MP_TAC
 314 THEN REPLICATE_TAC 8 (REMOVE_ASSUM_TAC)
 315 THEN POP_ASSUM MP_TAC
 316 THEN ARITH_TAC
 317 ;
 318
 319 ]);;
 320
 321
 322
 323 let CARD_SLICE_LE=prove_by_refinement(
 324 `!V E FF v w.
 325 convex_local_fan(V,E,FF)
 326 /\ ~(v=w) /\
 327 v IN V /\ w IN V
 328 /\ (!u u1. u IN {v,w} /\ u1 IN V /\ ~(u=u1) ==> ~(collinear {vec 0, u, u1}))
 329 /\ (!e. e IN FF ==> aff_gt {vec 0} {v,w} SUBSET wedge_in_fan_gt e E)
 330 ==>  CARD (slicev E FF v w)<   CARD V`,
 331 [
 332 REPEAT STRIP_TAC
 333 THEN ASM_TAC
 334 THEN STRIP_TAC
 335 THEN POP_ASSUM(fun th-> ASSUME_TAC th
 336 THEN REPEAT STRIP_TAC
 337 THEN MP_TAC th)
 338 THEN REWRITE_TAC[convex_local_fan]
 339 THEN RESA_TAC
 340 THEN MRESA_TAC (GEN_ALL  COMPATIBLE_BW_TWO_LEMMAS2
 341 )[`hypermap (HYP (vec 0,(V:real^3->bool),E UNION {{v, w:real^3}}))`;`face (hypermap (HYP (vec 0,(V:real^3->bool),E UNION {{v, w:real^3}}))) (v,rho_node1 FF v)`;`V:real^3->bool`;`face (hypermap (HYP (vec 0,(V:real^3->bool),E UNION {{v, w:real^3}}))) (w,rho_node1 FF w)`;`E:(real^3->bool)->bool`;`FF:real^3#real^3->bool`;`w:real^3`;`v:real^3`]
 342 THEN MRESA_TAC (GEN_ALL Local_lemmas1.EJRCFJD)[`hypermap (HYP (vec 0,(V:real^3->bool),E UNION {{v, w:real^3}}))`;`E:(real^3->bool)->bool`;`w:real^3`;`face (hypermap (HYP (vec 0,(V:real^3->bool),E UNION {{v, w:real^3}}))) (v,rho_node1 FF v)`;`V:real^3->bool`;`face (hypermap (HYP (vec 0,(V:real^3->bool),E UNION {{v, w:real^3}}))) (w,rho_node1 FF w)`;`FF:real^3#real^3->bool`;`v:real^3`]
 343 THEN REMOVE_ASSUM_TAC
 344 THEN POP_ASSUM (fun th-> MP_TAC th
 345 THEN POP_ASSUM (fun th1-> MP_TAC th1
 346 THEN REWRITE_TAC[convex_local_fan]
 347 THEN ASSUME_TAC th THEN ASSUME_TAC th1))
 348 THEN STRIP_TAC
 349 THEN STRIP_TAC
 350 THEN SUBGOAL_THEN`v IN slicev (E:(real^3->bool)->bool) FF w v`ASSUME_TAC;
 351
 352 REWRITE_TAC[slicev;IN_ELIM_THM]
 353 THEN EXISTS_TAC`order (rho_node1 (FF:real^3#real^3->bool)) w v `
 354 THEN REWRITE_TAC[ARITH_RULE`0<=a /\ a<=a`]
 355 THEN MRESA_TAC (GEN_ALL Local_lemmas1.POINT_PRESENTED_IN_RHOND1)[`E:(real^3->bool)->bool`;`V:real^3->bool`;`FF:real^3#real^3->bool`;`w:real^3`;`v:real^3`]
 356 THEN SUBGOAL_THEN`(!i. 0 < i /\ i < n ==> ~(ITER i (rho_node1 (FF:real^3#real^3->bool)) w = v))`ASSUME_TAC;
 357
 358 STRIP_TAC
 359 THEN POP_ASSUM(fun th-> STRIP_TAC
 360 THEN MRESA1_TAC th`i:num`);
 361
 362 MRESA_TAC (GEN_ALL ORDER)[`n:num`;`rho_node1 (FF:real^3#real^3->bool)`;`w:real^3`;`v:real^3`];
 363
 364 SUBGOAL_THEN`v IN slicev (E:(real^3->bool)->bool) FF v w`ASSUME_TAC;
 365
 366 REWRITE_TAC[slicev;IN_ELIM_THM]
 367 THEN EXISTS_TAC`0`
 368 THEN REWRITE_TAC[ITER]
 369 THEN ARITH_TAC;
 370
 371 MRESA_TAC (GEN_ALL Local_lemmas.LOFA_IMP_LT_CARD_SET_V)[`slicee (E:(real^3->bool)->bool) FF v w`;`slicef (E:(real^3->bool)->bool) FF v w`;`slicev (E:(real^3->bool)->bool) FF v w`;`v:real^3`]
 372 THEN MRESA_TAC (GEN_ALL Local_lemmas.LOFA_IMP_LT_CARD_SET_V)[`slicee (E:(real^3->bool)->bool) FF w v`;`slicef (E:(real^3->bool)->bool) FF w v`;`slicev (E:(real^3->bool)->bool) FF w v`;`v:real^3`]
 373 THEN MRESA_TAC (GEN_ALL Local_lemmas1.POINT_PRESENTED_IN_RHOND1)[`E:(real^3->bool)->bool`;`V:real^3->bool`;`FF:real^3#real^3->bool`;`v:real^3`;`w:real^3`]
 374 THEN MRESAL_TAC (GEN_ALL Local_lemmas1.CONDS_IN_V_PRIME_NUM)[`(E:(real^3->bool)->bool)`;`hypermap (HYP (vec 0,V,(E:(real^3->bool)->bool) UNION {{v, w}}))`;`w:real^3`;`FF:real^3#real^3->bool`;`v:real^3`;`V:real^3->bool`;`face (hypermap (HYP (vec 0,V,(E:(real^3->bool)->bool) UNION {{v, w}}))) (v,rho_node1 (FF:real^3#real^3->bool) v)`;`n:num`][DIFF;IN_SING;IN_ELIM_THM;]
 375 THEN POP_ASSUM MP_TAC
 376 THEN ONCE_REWRITE_TAC[SET_RULE`~(t = z) <=> ~(z = t)`]
 377 THEN RESA_TAC
 378 THEN MRESAL_TAC (GEN_ALL Local_lemmas1.CONDS_IN_V_PRIME_NUM2)[`(E:(real^3->bool)->bool)`;`hypermap (HYP (vec 0,V,(E:(real^3->bool)->bool) UNION {{v, w}}))`;`w:real^3`;`FF:real^3#real^3->bool`;`v:real^3`;`face (hypermap (HYP (vec 0,V,(E:(real^3->bool)->bool) UNION {{v, w}}))) (w,rho_node1 (FF:real^3#real^3->bool) w)`;`n:num`;`V:real^3->bool`][DIFF;IN_SING;IN_ELIM_THM;]
 379 THEN POP_ASSUM MP_TAC
 380 THEN ONCE_REWRITE_TAC[SET_RULE`~(t = z) <=> ~(z = t)`]
 381 THEN RESA_TAC
 382 THEN MRESA_TAC CARD_SLICE_EQ[`V:real^3->bool`;`(E:(real^3->bool)->bool)`;`FF:real^3#real^3->bool`;`v:real^3`;`w:real^3`;]
 383 THEN MRESA_TAC (GEN_ALL CARD_VERTEX_GE_3_LOCAL_FAN)
 384 [`slicev (E:(real^3->bool)->bool) FF w v`;`slicee (E:(real^3->bool)->bool) FF  w v`;`slicef (E:(real^3->bool)->bool) FF  w v`]
 385 THEN POP_ASSUM MP_TAC
 386 THEN MRESA_TAC (GEN_ALL CARD_VERTEX_GE_3_LOCAL_FAN)
 387 [`slicev (E:(real^3->bool)->bool) FF v w`;`slicee (E:(real^3->bool)->bool) FF  v w`;`slicef (E:(real^3->bool)->bool) FF  v w`]
 388 THEN POP_ASSUM MP_TAC
 389 THEN ARITH_TAC]);;
 390
 391
 392
 393
 394
 395
 396 let CARD_SLICE_LE1=prove_by_refinement(
 397 `!V E FF v w.
 398 convex_local_fan(V,E,FF)
 399 /\ ~(v=w) /\
 400 v IN V /\ w IN V
 401 /\ (!u u1. u IN {v,w} /\ u1 IN V /\ ~(u=u1) ==> ~(collinear {vec 0, u, u1}))
 402 /\ (!e. e IN FF ==> aff_gt {vec 0} {v,w} SUBSET wedge_in_fan_gt e E)
 403 ==>  CARD (slicev E FF w v)<   CARD V`,
 404 [
 405 REPEAT STRIP_TAC
 406 THEN ASM_TAC
 407 THEN STRIP_TAC
 408 THEN POP_ASSUM(fun th-> ASSUME_TAC th
 409 THEN REPEAT STRIP_TAC
 410 THEN MP_TAC th)
 411 THEN REWRITE_TAC[convex_local_fan]
 412 THEN RESA_TAC
 413 THEN MRESA_TAC (GEN_ALL  COMPATIBLE_BW_TWO_LEMMAS2
 414 )[`hypermap (HYP (vec 0,(V:real^3->bool),E UNION {{v, w:real^3}}))`;`face (hypermap (HYP (vec 0,(V:real^3->bool),E UNION {{v, w:real^3}}))) (v,rho_node1 FF v)`;`V:real^3->bool`;`face (hypermap (HYP (vec 0,(V:real^3->bool),E UNION {{v, w:real^3}}))) (w,rho_node1 FF w)`;`E:(real^3->bool)->bool`;`FF:real^3#real^3->bool`;`w:real^3`;`v:real^3`]
 415 THEN MRESA_TAC (GEN_ALL Local_lemmas1.EJRCFJD)[`hypermap (HYP (vec 0,(V:real^3->bool),E UNION {{v, w:real^3}}))`;`E:(real^3->bool)->bool`;`w:real^3`;`face (hypermap (HYP (vec 0,(V:real^3->bool),E UNION {{v, w:real^3}}))) (v,rho_node1 FF v)`;`V:real^3->bool`;`face (hypermap (HYP (vec 0,(V:real^3->bool),E UNION {{v, w:real^3}}))) (w,rho_node1 FF w)`;`FF:real^3#real^3->bool`;`v:real^3`]
 416 THEN REMOVE_ASSUM_TAC
 417 THEN POP_ASSUM (fun th-> MP_TAC th
 418 THEN POP_ASSUM (fun th1-> MP_TAC th1
 419 THEN REWRITE_TAC[convex_local_fan]
 420 THEN ASSUME_TAC th THEN ASSUME_TAC th1))
 421 THEN STRIP_TAC
 422 THEN STRIP_TAC
 423 THEN SUBGOAL_THEN`v IN slicev (E:(real^3->bool)->bool) FF w v`ASSUME_TAC;
 424
 425 REWRITE_TAC[slicev;IN_ELIM_THM]
 426 THEN EXISTS_TAC`order (rho_node1 (FF:real^3#real^3->bool)) w v `
 427 THEN REWRITE_TAC[ARITH_RULE`0<=a /\ a<=a`]
 428 THEN MRESA_TAC (GEN_ALL Local_lemmas1.POINT_PRESENTED_IN_RHOND1)[`E:(real^3->bool)->bool`;`V:real^3->bool`;`FF:real^3#real^3->bool`;`w:real^3`;`v:real^3`]
 429 THEN SUBGOAL_THEN`(!i. 0 < i /\ i < n ==> ~(ITER i (rho_node1 (FF:real^3#real^3->bool)) w = v))`ASSUME_TAC;
 430
 431 STRIP_TAC
 432 THEN POP_ASSUM(fun th-> STRIP_TAC
 433 THEN MRESA1_TAC th`i:num`);
 434
 435 MRESA_TAC (GEN_ALL ORDER)[`n:num`;`rho_node1 (FF:real^3#real^3->bool)`;`w:real^3`;`v:real^3`];
 436
 437 SUBGOAL_THEN`v IN slicev (E:(real^3->bool)->bool) FF v w`ASSUME_TAC;
 438
 439 REWRITE_TAC[slicev;IN_ELIM_THM]
 440 THEN EXISTS_TAC`0`
 441 THEN REWRITE_TAC[ITER]
 442 THEN ARITH_TAC;
 443
 444 MRESA_TAC (GEN_ALL Local_lemmas.LOFA_IMP_LT_CARD_SET_V)[`slicee (E:(real^3->bool)->bool) FF v w`;`slicef (E:(real^3->bool)->bool) FF v w`;`slicev (E:(real^3->bool)->bool) FF v w`;`v:real^3`]
 445 THEN MRESA_TAC (GEN_ALL Local_lemmas.LOFA_IMP_LT_CARD_SET_V)[`slicee (E:(real^3->bool)->bool) FF w v`;`slicef (E:(real^3->bool)->bool) FF w v`;`slicev (E:(real^3->bool)->bool) FF w v`;`v:real^3`]
 446 THEN MRESA_TAC (GEN_ALL Local_lemmas1.POINT_PRESENTED_IN_RHOND1)[`E:(real^3->bool)->bool`;`V:real^3->bool`;`FF:real^3#real^3->bool`;`v:real^3`;`w:real^3`]
 447 THEN MRESAL_TAC (GEN_ALL Local_lemmas1.CONDS_IN_V_PRIME_NUM)[`(E:(real^3->bool)->bool)`;`hypermap (HYP (vec 0,V,(E:(real^3->bool)->bool) UNION {{v, w}}))`;`w:real^3`;`FF:real^3#real^3->bool`;`v:real^3`;`V:real^3->bool`;`face (hypermap (HYP (vec 0,V,(E:(real^3->bool)->bool) UNION {{v, w}}))) (v,rho_node1 (FF:real^3#real^3->bool) v)`;`n:num`][DIFF;IN_SING;IN_ELIM_THM;]
 448 THEN POP_ASSUM MP_TAC
 449 THEN ONCE_REWRITE_TAC[SET_RULE`~(t = z) <=> ~(z = t)`]
 450 THEN RESA_TAC
 451 THEN MRESAL_TAC (GEN_ALL Local_lemmas1.CONDS_IN_V_PRIME_NUM2)[`(E:(real^3->bool)->bool)`;`hypermap (HYP (vec 0,V,(E:(real^3->bool)->bool) UNION {{v, w}}))`;`w:real^3`;`FF:real^3#real^3->bool`;`v:real^3`;`face (hypermap (HYP (vec 0,V,(E:(real^3->bool)->bool) UNION {{v, w}}))) (w,rho_node1 (FF:real^3#real^3->bool) w)`;`n:num`;`V:real^3->bool`][DIFF;IN_SING;IN_ELIM_THM;]
 452 THEN POP_ASSUM MP_TAC
 453 THEN ONCE_REWRITE_TAC[SET_RULE`~(t = z) <=> ~(z = t)`]
 454 THEN RESA_TAC
 455 THEN MRESA_TAC CARD_SLICE_EQ[`V:real^3->bool`;`(E:(real^3->bool)->bool)`;`FF:real^3#real^3->bool`;`v:real^3`;`w:real^3`;]
 456 THEN MRESA_TAC (GEN_ALL CARD_VERTEX_GE_3_LOCAL_FAN)
 457 [`slicev (E:(real^3->bool)->bool) FF w v`;`slicee (E:(real^3->bool)->bool) FF  w v`;`slicef (E:(real^3->bool)->bool) FF  w v`]
 458 THEN POP_ASSUM MP_TAC
 459 THEN MRESA_TAC (GEN_ALL CARD_VERTEX_GE_3_LOCAL_FAN)
 460 [`slicev (E:(real^3->bool)->bool) FF v w`;`slicee (E:(real^3->bool)->bool) FF  v w`;`slicef (E:(real^3->bool)->bool) FF  v w`]
 461 THEN POP_ASSUM MP_TAC
 462 THEN ARITH_TAC]);;
 463
 464
 465
 466
 467
 468 let SLICE_REPRENT=prove_by_refinement(
 469 `!V E FF v w.
 470 convex_local_fan(V,E,FF)
 471 /\ ~(v=w) /\
 472 v IN V /\ w IN V
 473 /\ (!u u1. u IN {v,w} /\ u1 IN V /\ ~(u=u1) ==> ~(collinear {vec 0, u, u1}))
 474 /\ (!e. e IN FF ==> aff_gt {vec 0} {v,w} SUBSET wedge_in_fan_gt e E)
 475 ==>(slicev (E:(real^3->bool)->bool) FF v w) = IMAGE  (\i. ITER i (rho_node1 FF) v) {i| i < CARD (V:real^3->bool) /\ ITER i (rho_node1 FF) v IN slicev E FF  v w}`
 476 ,
 477 [
 478 REPEAT STRIP_TAC
 479 THEN ASM_TAC
 480 THEN STRIP_TAC
 481 THEN POP_ASSUM(fun th-> ASSUME_TAC th
 482 THEN REPEAT STRIP_TAC
 483 THEN MP_TAC th)
 484 THEN REWRITE_TAC[convex_local_fan]
 485 THEN RESA_TAC
 486 THEN MRESA_TAC (GEN_ALL  COMPATIBLE_BW_TWO_LEMMAS2
 487 )[`hypermap (HYP (vec 0,(V:real^3->bool),E UNION {{v, w:real^3}}))`;`face (hypermap (HYP (vec 0,(V:real^3->bool),E UNION {{v, w:real^3}}))) (v,rho_node1 FF v)`;`V:real^3->bool`;`face (hypermap (HYP (vec 0,(V:real^3->bool),E UNION {{v, w:real^3}}))) (w,rho_node1 FF w)`;`E:(real^3->bool)->bool`;`FF:real^3#real^3->bool`;`w:real^3`;`v:real^3`]
 488 THEN MRESA_TAC (GEN_ALL Local_lemmas1.EJRCFJD)[`hypermap (HYP (vec 0,(V:real^3->bool),E UNION {{v, w:real^3}}))`;`E:(real^3->bool)->bool`;`w:real^3`;`face (hypermap (HYP (vec 0,(V:real^3->bool),E UNION {{v, w:real^3}}))) (v,rho_node1 FF v)`;`V:real^3->bool`;`face (hypermap (HYP (vec 0,(V:real^3->bool),E UNION {{v, w:real^3}}))) (w,rho_node1 FF w)`;`FF:real^3#real^3->bool`;`v:real^3`]
 489 THEN REMOVE_ASSUM_TAC
 490 THEN POP_ASSUM MP_TAC
 491 THEN POP_ASSUM MP_TAC
 492 THEN REWRITE_TAC[convex_local_fan]
 493 THEN STRIP_TAC
 494 THEN STRIP_TAC
 495 THEN SUBGOAL_THEN`v IN slicev (E:(real^3->bool)->bool) FF w v`ASSUME_TAC;
 496
 497 REWRITE_TAC[slicev;IN_ELIM_THM]
 498 THEN EXISTS_TAC`order (rho_node1 (FF:real^3#real^3->bool)) w v `
 499 THEN REWRITE_TAC[ARITH_RULE`0<=a /\ a<=a`]
 500 THEN MRESA_TAC (GEN_ALL Local_lemmas1.POINT_PRESENTED_IN_RHOND1)[`E:(real^3->bool)->bool`;`V:real^3->bool`;`FF:real^3#real^3->bool`;`w:real^3`;`v:real^3`]
 501 THEN SUBGOAL_THEN`(!i. 0 < i /\ i < n ==> ~(ITER i (rho_node1 (FF:real^3#real^3->bool)) w = v))`ASSUME_TAC;
 502
 503 STRIP_TAC
 504 THEN POP_ASSUM(fun th-> STRIP_TAC
 505 THEN MRESA1_TAC th`i:num`);
 506
 507  MRESA_TAC (GEN_ALL ORDER)[`n:num`;`rho_node1 (FF:real^3#real^3->bool)`;`w:real^3`;`v:real^3`];
 508
 509 SUBGOAL_THEN`v IN slicev (E:(real^3->bool)->bool) FF v w`ASSUME_TAC;
 510
 511 REWRITE_TAC[slicev;IN_ELIM_THM]
 512 THEN EXISTS_TAC`0`
 513 THEN REWRITE_TAC[ITER]
 514 THEN ARITH_TAC;
 515
 516
 517 MRESA_TAC (GEN_ALL Local_lemmas.LOFA_IMP_LT_CARD_SET_V)[`slicee (E:(real^3->bool)->bool) FF v w`;`slicef (E:(real^3->bool)->bool) FF v w`;`slicev (E:(real^3->bool)->bool) FF v w`;`v:real^3`]
 518 THEN MRESA_TAC (GEN_ALL Local_lemmas.LOFA_IMP_LT_CARD_SET_V)[`slicee (E:(real^3->bool)->bool) FF w v`;`slicef (E:(real^3->bool)->bool) FF w v`;`slicev (E:(real^3->bool)->bool) FF w v`;`v:real^3`]
 519 THEN MRESA_TAC (GEN_ALL Local_lemmas1.POINT_PRESENTED_IN_RHOND1)[`E:(real^3->bool)->bool`;`V:real^3->bool`;`FF:real^3#real^3->bool`;`v:real^3`;`w:real^3`]
 520 THEN REWRITE_TAC[IMAGE;EXTENSION;IN_ELIM_THM]
 521 THEN GEN_TAC
 522 THEN EQ_TAC;
 523
 524 STRIP_TAC
 525 THEN POP_ASSUM(fun th->
 526 MP_TAC th
 527 THEN GEN_REWRITE_TAC(LAND_CONV o DEPTH_CONV)[slicev;IN_ELIM_THM]
 528 THEN ASSUME_TAC th)
 529 THEN STRIP_TAC
 530 THEN SUBGOAL_THEN`(!i. 0 < i /\ i < n ==> ~(ITER i (rho_node1 (FF:real^3#real^3->bool)) v = w))`ASSUME_TAC;
 531
 532 STRIP_TAC
 533 THEN REPLICATE_TAC 4 (POP_ASSUM MP_TAC)
 534 THEN POP_ASSUM(fun th-> REPLICATE_TAC 4 (STRIP_TAC) THEN STRIP_TAC
 535 THEN MRESA1_TAC th`i:num`);
 536
 537 MRESA_TAC (GEN_ALL UNIQUE_ORDER)[`v:real^3`;`w:real^3`;`n:num`;`(rho_node1 (FF:real^3#real^3->bool))`]
 538 THEN POP_ASSUM(fun th-> ASM_TAC THEN REWRITE_TAC[th])
 539 THEN REPEAT STRIP_TAC
 540 THEN EXISTS_TAC`n':num`
 541 THEN ASM_REWRITE_TAC[]
 542 THEN REMOVE_ASSUM_TAC
 543 THEN POP_ASSUM(fun th-> ASM_REWRITE_TAC[SYM th])
 544 THEN POP_ASSUM MP_TAC
 545 THEN REPLICATE_TAC 4 (REMOVE_ASSUM_TAC)
 546 THEN POP_ASSUM MP_TAC
 547 THEN ARITH_TAC;
 548
 549 RESA_TAC;
 550
 551 ]);;
 552
 553
 554
 555
 556 let SLICE_REPRENT2=prove_by_refinement(
 557 `!V E FF v w.
 558 convex_local_fan(V,E,FF)
 559 /\ ~(v=w) /\
 560 v IN V /\ w IN V
 561 /\ (!u u1. u IN {v,w} /\ u1 IN V /\ ~(u=u1) ==> ~(collinear {vec 0, u, u1}))
 562 /\ (!e. e IN FF ==> aff_gt {vec 0} {v,w} SUBSET wedge_in_fan_gt e E)
 563 ==> (slicev (E:(real^3->bool)->bool) FF w v) = IMAGE  (\i. ITER i (rho_node1 FF) v) {i| i < CARD (V:real^3->bool) /\ ITER i (rho_node1 FF) v IN slicev E FF w v}`,
 564 [
 565 REPEAT STRIP_TAC
 566 THEN ASM_TAC
 567 THEN STRIP_TAC
 568 THEN POP_ASSUM(fun th-> ASSUME_TAC th
 569 THEN REPEAT STRIP_TAC
 570 THEN MP_TAC th)
 571 THEN REWRITE_TAC[convex_local_fan]
 572 THEN RESA_TAC
 573 THEN MRESA_TAC (GEN_ALL  COMPATIBLE_BW_TWO_LEMMAS2
 574 )[`hypermap (HYP (vec 0,(V:real^3->bool),E UNION {{v, w:real^3}}))`;`face (hypermap (HYP (vec 0,(V:real^3->bool),E UNION {{v, w:real^3}}))) (v,rho_node1 FF v)`;`V:real^3->bool`;`face (hypermap (HYP (vec 0,(V:real^3->bool),E UNION {{v, w:real^3}}))) (w,rho_node1 FF w)`;`E:(real^3->bool)->bool`;`FF:real^3#real^3->bool`;`w:real^3`;`v:real^3`]
 575 THEN MRESA_TAC (GEN_ALL Local_lemmas1.EJRCFJD)[`hypermap (HYP (vec 0,(V:real^3->bool),E UNION {{v, w:real^3}}))`;`E:(real^3->bool)->bool`;`w:real^3`;`face (hypermap (HYP (vec 0,(V:real^3->bool),E UNION {{v, w:real^3}}))) (v,rho_node1 FF v)`;`V:real^3->bool`;`face (hypermap (HYP (vec 0,(V:real^3->bool),E UNION {{v, w:real^3}}))) (w,rho_node1 FF w)`;`FF:real^3#real^3->bool`;`v:real^3`]
 576 THEN REMOVE_ASSUM_TAC
 577 THEN POP_ASSUM MP_TAC
 578 THEN POP_ASSUM MP_TAC
 579 THEN REWRITE_TAC[convex_local_fan]
 580 THEN STRIP_TAC
 581 THEN STRIP_TAC
 582 THEN SUBGOAL_THEN`v IN slicev (E:(real^3->bool)->bool) FF w v`ASSUME_TAC;
 583
 584
 585 REWRITE_TAC[slicev;IN_ELIM_THM]
 586 THEN EXISTS_TAC`order (rho_node1 (FF:real^3#real^3->bool)) w v `
 587 THEN REWRITE_TAC[ARITH_RULE`0<=a /\ a<=a`]
 588 THEN MRESA_TAC (GEN_ALL Local_lemmas1.POINT_PRESENTED_IN_RHOND1)[`E:(real^3->bool)->bool`;`V:real^3->bool`;`FF:real^3#real^3->bool`;`w:real^3`;`v:real^3`]
 589 THEN SUBGOAL_THEN`(!i. 0 < i /\ i < n ==> ~(ITER i (rho_node1 (FF:real^3#real^3->bool)) w = v))`ASSUME_TAC;
 590
 591 STRIP_TAC
 592 THEN POP_ASSUM(fun th-> STRIP_TAC
 593 THEN MRESA1_TAC th`i:num`);
 594
 595  MRESA_TAC (GEN_ALL ORDER)[`n:num`;`rho_node1 (FF:real^3#real^3->bool)`;`w:real^3`;`v:real^3`];
 596
 597 SUBGOAL_THEN`v IN slicev (E:(real^3->bool)->bool) FF v w`ASSUME_TAC;
 598
 599 REWRITE_TAC[slicev;IN_ELIM_THM]
 600 THEN EXISTS_TAC`0`
 601 THEN REWRITE_TAC[ITER]
 602 THEN ARITH_TAC;
 603
 604
 605 MRESA_TAC (GEN_ALL Local_lemmas.LOFA_IMP_LT_CARD_SET_V)[`slicee (E:(real^3->bool)->bool) FF v w`;`slicef (E:(real^3->bool)->bool) FF v w`;`slicev (E:(real^3->bool)->bool) FF v w`;`v:real^3`]
 606 THEN MRESA_TAC (GEN_ALL Local_lemmas.LOFA_IMP_LT_CARD_SET_V)[`slicee (E:(real^3->bool)->bool) FF w v`;`slicef (E:(real^3->bool)->bool) FF w v`;`slicev (E:(real^3->bool)->bool) FF w v`;`v:real^3`]
 607 THEN MRESA_TAC (GEN_ALL Local_lemmas1.POINT_PRESENTED_IN_RHOND1)[`E:(real^3->bool)->bool`;`V:real^3->bool`;`FF:real^3#real^3->bool`;`v:real^3`;`w:real^3`]
 608 THEN REWRITE_TAC[IMAGE;EXTENSION;IN_ELIM_THM]
 609 THEN GEN_TAC
 610 THEN EQ_TAC;
 611
 612 POP_ASSUM MP_TAC
 613 THEN POP_ASSUM MP_TAC
 614 THEN REMOVE_ASSUM_TAC
 615 THEN REPEAT STRIP_TAC
 616 THEN POP_ASSUM(fun th->
 617 MP_TAC th
 618 THEN GEN_REWRITE_TAC(LAND_CONV o DEPTH_CONV)[slicev;IN_ELIM_THM]
 619 THEN ASSUME_TAC th)
 620 THEN STRIP_TAC
 621 THEN MRESA_TAC(GEN_ALL Local_lemmas.LOCAL_FAN_ITER_RHO_NODE_IN_V)
 622 [`(E:(real^3->bool)->bool)`;`FF:real^3#real^3->bool`;`w:real^3`;`V:real^3->bool`]
 623 THEN POP_ASSUM(fun th-> MRESA1_TAC th `n':num`)
 624 THEN MRESA_TAC (GEN_ALL Local_lemmas1.POINT_PRESENTED_IN_RHOND1)
 625 [`(E:(real^3->bool)->bool)`;`V:real^3->bool`;`FF:real^3#real^3->bool`;`v:real^3`;`x:real^3`]
 626 THEN EXISTS_TAC`n'':num`
 627 THEN ASM_REWRITE_TAC[]
 628 THEN REPLICATE_TAC 4 (REMOVE_ASSUM_TAC)
 629 THEN POP_ASSUM(fun th-> ASM_REWRITE_TAC[SYM th]);
 630
 631
 632 RESA_TAC;
 633
 634 ]);;
 635
 636
 637 let change_type_v3= new_definition`(change_type_v3 (a:num->num->real)) (i,j)= a i j  `
 638 ;;
 639
 640
 641 let change_type_v2= new_definition`(change_type_v2 (a:num->num->bool)) k =
 642  { {i MOD k,j MOD k} | a i j =T}  `
 643 ;;
 644
 645 let PERIODIC_PROPERTY= prove(
 646 ` ~(k = 0) /\ periodic vv k ==>  (!i.  vv (i MOD k)= vv i)`,
 647 REWRITE_TAC[periodic]
 648 THEN REPEAT STRIP_TAC
 649 THEN MRESA_TAC DIVISION[`i:num`;`k:num`]
 650 THEN REMOVE_ASSUM_TAC
 651 THEN POP_ASSUM(fun th-> GEN_REWRITE_TAC(RAND_CONV o ONCE_DEPTH_CONV)[th]
 652 THEN MP_TAC th)
 653 THEN ABBREV_TAC`n= i DIV k`
 654 THEN ASM_TAC
 655 THEN SPEC_TAC (`i:num`,`i:num`)
 656 THEN SPEC_TAC (`n:num`,`n:num`)
 657 THEN INDUCT_TAC
 658 THENL[REWRITE_TAC[ARITH_RULE`0*K+A=A`];
 659 POP_ASSUM(fun th-> REPEAT STRIP_TAC
 660 THEN MRESA1_TAC th`n *k + i MOD k`)
 661 THEN POP_ASSUM MP_TAC
 662 THEN MRESA_TAC DIVISION[`i:num`;`k:num`]
 663 THEN MRESA_TAC MOD_MULT_ADD[`n:num`;`k:num`;`i MOD k`]
 664 THEN MRESA_TAC DIV_UNIQ[`n * k + i MOD k`;`k:num`;`n:num`;`i MOD k`]
 665 THEN ASM_SIMP_TAC[MOD_MOD_REFL;ARITH_RULE`SUC n * k + i MOD k = (n * k + i MOD k) +k`]])
 666 ;;
 667
 668
 669
 670
 671 let SCS_3_IS_TRI_STABLE=prove_by_refinement(
 672 `(s=let upperbd = &6 in
 673   let a_pro = (\k p a1 a2 i j. (if (i MOD k = j MOD k) then &0
 674                                 else (if {i MOD k,j MOD k}={0,1} then p
 675                                       else (if (j MOD k = SUC i MOD k) \/ (SUC j MOD k = i MOD k) then a1 else a2)))) in
 676          mk_unadorned_v39 3 (d_tame 3) (cs_adj 3 (&2) (&2 * h0)) (cs_adj 3 (&2 * h0) upperbd))
 677 ==> tri_stable (scs_k_v39 s) (scs_d_v39 s)  (0..(scs_k_v39 s)-1)
 678 (change_type_v3 (scs_a_v39 s)) (change_type_v3 (scs_b_v39 s))
 679 (change_type_v2 (scs_J_v39 s) (scs_k_v39 s)) (\i. ((1+i):num MOD (scs_k_v39 s)))`,
 680   (* {{{ proof *)
 681 [
 682 REPEAT STRIP_TAC
 683 THEN ASM_REWRITE_TAC[scs_k_v39_explicit;scs_d_v39_explicit;scs_a_v39_explicit;scs_b_v39_explicit;LET_DEF;LET_END_DEF;BBs_v39;ARITH_RULE`~(4<=3)/\ 3-1=2`;mk_unadorned_v39;CS_ADJ;scs_J_v39_explicit;change_type_v2;d_tame ;change_type_v3]
 684 THEN MRESAL_TAC HAS_SIZE_NUMSEG[`0`;`2`][ARITH_RULE`(2+1)-0=3`]
 685 THEN ASM_SIMP_TAC[tri_stable;constraint_system;torsor;ARITH_RULE`3<= 3 /\3<=6/\ 1+3<=6/\ (2+1)-0=3/\ 3=3 /\ 0+3<=6`;CARD_NUMSEG;Hypermap.CARD_SINGLETON;change_type_v3;ARITH_RULE`A=B:num <=> B=A`;SET_RULE`A\/B<=> B\/A`;SET_RULE`A\/B<=> B\/A`;SET_RULE`{{i MOD k,j MOD K}| i,j| F}={}`;CARD_CLAUSES]
 686 THEN STRIP_TAC;
 687
 688 STRIP_TAC;
 689
 690 STRIP_TAC;
 691
 692 REWRITE_TAC[ARITH_RULE`3-1=2`;IN_NUMSEG;ARITH_RULE`0<= A`]
 693 THEN MRESAL1_TAC Hypermap.LE_MOD_SUC`2`[ARITH_RULE`SUC 2=3`];
 694
 695 STRIP_TAC;
 696
 697 REWRITE_TAC[ARITH_RULE`3-1=2`;IN_NUMSEG;ARITH_RULE`0<= A`]
 698 THEN REPEAT STRIP_TAC
 699 THEN MRESAL_TAC (GEN_ALL MOD_IMP_EQ)[`3`;`1+x1`;`1+x2`][ARITH_RULE`1<= 1+A /\ (1+A<=3<=> A<=2)`]
 700 THEN POP_ASSUM MP_TAC
 701 THEN ARITH_TAC;
 702
 703 STRIP_TAC;
 704
 705 REWRITE_TAC[ARITH_RULE`3-1=2`;IN_NUMSEG;ARITH_RULE`0<= A`]
 706 THEN REPEAT STRIP_TAC
 707 THEN POP_ASSUM MP_TAC
 708 THEN MP_TAC(ARITH_RULE`0<i==> 1<= i /\ 1<3`)
 709 THEN RESA_TAC
 710 THEN MRESA_TAC (GEN_ALL POWER_MOD_FUN)[`3:num`;`x:num`;`i:num`]
 711 THEN MP_TAC(ARITH_RULE`0<i /\ i< 3==> i=1 \/ i=2`)
 712 THEN RESA_TAC
 713 THEN MP_TAC(ARITH_RULE`x<= 2==> x=0 \/ x=1 \/ x=2`)
 714 THEN ASM_REWRITE_TAC[]
 715 THEN RESA_TAC
 716 THEN ARITH_TAC;
 717
 718 REWRITE_TAC[ARITH_RULE`3-1=2`;IN_NUMSEG;ARITH_RULE`0<= A`]
 719 THEN REPEAT STRIP_TAC
 720 THEN ASSUME_TAC(ARITH_RULE`1<=3 /\1<3/\ 1<=2`)
 721 THEN MRESA_TAC (GEN_ALL POWER_MOD_FUN)[`3:num`;`x:num`;`3:num`]
 722 THEN MRESAL_TAC MOD_MULT_ADD[`1`;`3`;`x:num`][ARITH_RULE`1*3=3`]
 723 THEN MP_TAC(ARITH_RULE`x<= 2==> x=0 \/ x=1 \/ x=2`)
 724 THEN ASM_REWRITE_TAC[]
 725 THEN RESA_TAC
 726 THEN ARITH_TAC;
 727
 728 STRIP_TAC;
 729
 730 REPEAT STRIP_TAC
 731 THEN MP_TAC(ARITH_RULE`i MOD 3= j MOD 3 \/ ~(i MOD 3= j MOD 3)`)
 732 THEN RESA_TAC;
 733
 734 REAL_ARITH_TAC;
 735
 736 MP_TAC(ARITH_RULE`i MOD 3= SUC j MOD 3 \/ ~(i MOD 3= SUC j MOD 3)`)
 737 THEN RESA_TAC;
 738
 739 REWRITE_TAC[h0]
 740 THEN REAL_ARITH_TAC;
 741
 742 MP_TAC CHOOSE_MOD_3
 743 THEN ASM_REWRITE_TAC[h0]
 744 THEN RESA_TAC
 745 THEN REAL_ARITH_TAC;
 746
 747 STRIP_TAC;
 748
 749 REPEAT GEN_TAC
 750 THEN ASSUME_TAC(ARITH_RULE`1<=3 /\1<3/\ 1<=2`)
 751 THEN MRESA_TAC (GEN_ALL POWER_MOD_FUN)[`3:num`;`j:num`;`3:num`]
 752 THEN MRESAL_TAC MOD_MULT_ADD[`1`;`3`;`j:num`][ARITH_RULE`1*3=3`]
 753 THEN MRESAL_TAC MOD_MOD_REFL[`j:num`;`3`][ARITH_RULE`~(3=0)`]
 754 THEN MRESAL_TAC MOD_ADD_MOD[`j:num`;`1:num`;`3`][ARITH_RULE`~(3=0) /\ 1 MOD 3=1`;ADD1];
 755
 756
 757 SET_TAC[];
 758
 759 STRIP_TAC;
 760
 761 REWRITE_TAC[IN_NUMSEG;ARITH_RULE`(0 <= i /\ i <= 2)<=> i=0 \/ i=1\/ i=2`]
 762 THEN REPEAT STRIP_TAC
 763 THEN POP_ASSUM MP_TAC
 764 THEN ASM_REWRITE_TAC[ARITH_RULE`0 MOD 3=0 /\ 1 MOD 3=1 /\ 2 MOD 3=2 /\ ~(0=1)
 765 /\ SUC 0 MOD 3=1 /\ SUC 1 MOD 3=2/\ SUC 2 MOD 3=0`;h0;REAL_ARITH`&2<= &2`;cstab]
 766 THEN REAL_ARITH_TAC;
 767
 768 STRIP_TAC;
 769
 770 REWRITE_TAC[IN_NUMSEG;ARITH_RULE`(0 <= i /\ i <= 2)<=> i=0 \/ i=1\/ i=2`]
 771 THEN REPEAT STRIP_TAC
 772 THEN
 773 ASM_REWRITE_TAC[ARITH_RULE`0 MOD 3=0 /\ 1 MOD 3=1 /\ 2 MOD 3=2 /\ ~(0=1)
 774 /\ SUC 0 MOD 3=1 /\ SUC 1 MOD 3=2/\ SUC 2 MOD 3=0
 775 /\ (1+ 0) MOD 3=1 /\ (1+ 1) MOD 3=2 /\ (1+ 2) MOD 3=0
 776 `;h0;REAL_ARITH`&2<= &2`;cstab]
 777 THEN REAL_ARITH_TAC;
 778
 779 SET_TAC[]
 780 ]);;
 781   (* }}} *)
 782
 783
 784
 785
 786 let SCS_4_IS_TRI_STABLE=prove_by_refinement(
 787 `(s=let upperbd = &6 in
 788   let a_pro = (\k p a1 a2 i j. (if (i MOD k = j MOD k) then &0
 789                                 else (if {i MOD k,j MOD k}={0,1} then p
 790                                       else (if (j MOD k = SUC i MOD k) \/ (SUC j MOD k = i MOD k) then a1 else a2)))) in
 791          mk_unadorned_v39 4 (d_tame 4) (cs_adj 4 (&2) (&2 * h0)) (cs_adj 4 (&2 * h0) upperbd))
 792 ==> stable_system (scs_k_v39 s) (scs_d_v39 s)  (0..(scs_k_v39 s)-1)
 793 (change_type_v3 (scs_a_v39 s)) (change_type_v3 (scs_b_v39 s))
 794 (change_type_v2 (scs_J_v39 s) (scs_k_v39 s)) (\i. ((1+i):num MOD (scs_k_v39 s)))
 795 `,
 796   (* {{{ proof *)
 797 [
 798 REPEAT STRIP_TAC
 799 THEN ASM_REWRITE_TAC[scs_k_v39_explicit;scs_d_v39_explicit;scs_a_v39_explicit;scs_b_v39_explicit;LET_DEF;LET_END_DEF;BBs_v39;ARITH_RULE`~(4=3)/\ 4-1=3`;mk_unadorned_v39;CS_ADJ;scs_J_v39_explicit;change_type_v2;d_tame ;change_type_v3]
 800 THEN MRESAL_TAC HAS_SIZE_NUMSEG[`0`;`3`][ARITH_RULE`(3+1)-0=4`]
 801 THEN ASM_SIMP_TAC[stable_system;constraint_system;torsor;ARITH_RULE`3<= 4 /\4<=6/\ 1+4<=6/\ (3+1)-0=4/\ 4=4 /\ 0+4<=6`;CARD_NUMSEG;Hypermap.CARD_SINGLETON;change_type_v3;ARITH_RULE`A=B:num <=> B=A`;SET_RULE`A\/B<=> B\/A`;SET_RULE`{{i MOD k,j MOD K}| i,j| F}={}/\ {} SUBSET A`;CARD_CLAUSES]
 802 THEN STRIP_TAC;
 803
 804 STRIP_TAC;
 805
 806 STRIP_TAC;
 807
 808 REWRITE_TAC[ARITH_RULE`4-1=3`;IN_NUMSEG;ARITH_RULE`0<= A`]
 809 THEN MRESAL1_TAC Hypermap.LE_MOD_SUC`3`[ARITH_RULE`SUC 3=4`];
 810
 811 STRIP_TAC;
 812
 813 REWRITE_TAC[ARITH_RULE`4-1=3`;IN_NUMSEG;ARITH_RULE`0<= A`]
 814 THEN REPEAT STRIP_TAC
 815 THEN MRESAL_TAC (GEN_ALL MOD_IMP_EQ)[`4`;`1+x1`;`1+x2`][ARITH_RULE`1<= 1+A /\ (1+A<=4<=> A<=3)`]
 816 THEN POP_ASSUM MP_TAC
 817 THEN ARITH_TAC;
 818
 819 STRIP_TAC;
 820
 821 REWRITE_TAC[ARITH_RULE`4-1=3`;IN_NUMSEG;ARITH_RULE`0<= A`]
 822 THEN REPEAT STRIP_TAC
 823 THEN POP_ASSUM MP_TAC
 824 THEN MP_TAC(ARITH_RULE`0<i==> 1<= i /\ 1<4`)
 825 THEN RESA_TAC
 826 THEN MRESA_TAC (GEN_ALL POWER_MOD_FUN)[`4:num`;`x:num`;`i:num`]
 827 THEN MP_TAC(ARITH_RULE`0<i /\ i< 4==> i=1 \/ i=2 \/ i=3`)
 828 THEN RESA_TAC
 829 THEN MP_TAC(ARITH_RULE`x<= 3==> x=0 \/ x=1 \/ x=2 \/ x=3`)
 830 THEN ASM_REWRITE_TAC[]
 831 THEN RESA_TAC
 832 THEN ARITH_TAC;
 833
 834 REWRITE_TAC[ARITH_RULE`4-1=3`;IN_NUMSEG;ARITH_RULE`0<= A`]
 835 THEN REPEAT STRIP_TAC
 836 THEN ASSUME_TAC(ARITH_RULE`1<=4 /\1<4/\ 1<=3`)
 837 THEN MRESA_TAC (GEN_ALL POWER_MOD_FUN)[`4:num`;`x:num`;`4:num`]
 838 THEN MRESAL_TAC MOD_MULT_ADD[`1`;`4`;`x:num`][ARITH_RULE`1*4=4`]
 839 THEN MP_TAC(ARITH_RULE`x<= 3==> x=0 \/ x=1 \/ x=2\/ x=3`)
 840 THEN ASM_REWRITE_TAC[]
 841 THEN RESA_TAC
 842 THEN ARITH_TAC;
 843
 844 STRIP_TAC;
 845
 846 REPEAT STRIP_TAC
 847 THEN MP_TAC(ARITH_RULE`i MOD 4= j MOD 4 \/ ~(i MOD 4= j MOD 4)`)
 848 THEN RESA_TAC;
 849
 850 REAL_ARITH_TAC;
 851
 852 MP_TAC(ARITH_RULE`(i MOD 4 = SUC j MOD 4 \/ j MOD 4 = SUC i MOD 4) \/ ~(i MOD 4 = SUC j MOD 4 \/ j MOD 4 = SUC i MOD 4)`)
 853 THEN RESA_TAC
 854 THEN REWRITE_TAC[h0]
 855 THEN REAL_ARITH_TAC;
 856
 857 STRIP_TAC;
 858
 859 REPEAT GEN_TAC
 860 THEN ASSUME_TAC(ARITH_RULE`1<=4 /\1<4/\ 1<=2`)
 861 THEN MRESA_TAC (GEN_ALL POWER_MOD_FUN)[`4:num`;`j:num`;`4:num`]
 862 THEN MRESAL_TAC MOD_MULT_ADD[`1`;`4`;`j:num`][ARITH_RULE`1*4=4`]
 863 THEN MRESAL_TAC MOD_MOD_REFL[`j:num`;`4`][ARITH_RULE`~(4=0)`]
 864 THEN MRESAL_TAC MOD_ADD_MOD[`j:num`;`1:num`;`4`][ARITH_RULE`~(4=0) /\ 1 MOD 4=1`;ADD1];
 865
 866 STRIP_TAC;
 867
 868 REWRITE_TAC[IN_NUMSEG;ARITH_RULE`(0 <= i /\ i <= 3)<=> i=0 \/ i=1\/ i=2 \/ i=3`]
 869 THEN REPEAT STRIP_TAC
 870 THEN POP_ASSUM MP_TAC
 871 THEN ASM_REWRITE_TAC[ARITH_RULE`0 MOD 4=0 /\ 1 MOD 4=1 /\ 2 MOD 4=2 /\ 3 MOD 4=3 /\ ~(0=1)
 872 /\ SUC 0 MOD 4=1 /\ SUC 1 MOD 4=2/\ SUC 2 MOD 4=3 /\ SUC 3 MOD 4=0`;h0;REAL_ARITH`&2<= &2`;cstab]
 873 THEN REAL_ARITH_TAC;
 874
 875 STRIP_TAC;
 876
 877 REWRITE_TAC[IN_NUMSEG;ARITH_RULE`(0 <= i /\ i <= 3)<=> i=0 \/ i=1\/ i=2\/ i=3`]
 878 THEN REPEAT STRIP_TAC
 879 THEN ASM_REWRITE_TAC[ARITH_RULE`0 MOD 4=0 /\ 1 MOD 4=1 /\ 2 MOD 4=2 /\ 3 MOD 4=3 /\ ~(0=1)
 880 /\ SUC 0 MOD 4=1 /\ SUC 1 MOD 4=2/\ SUC 2 MOD 4=3 /\ SUC 3 MOD 4=0/\ 1+i=i+1`;h0;REAL_ARITH`&2<= &2`;cstab;GSYM ADD1]
 881 THEN REAL_ARITH_TAC;
 882
 883 SET_TAC[]
 884 ]);;
 885   (* }}} *)
 886
 887
 888
 889
 890
 891
 892 let SCS_5_IS_TRI_STABLE=prove_by_refinement(
 893 `(s=let upperbd = &6 in
 894   let a_pro = (\k p a1 a2 i j. (if (i MOD k = j MOD k) then &0
 895                                 else (if {i MOD k,j MOD k}={0,1} then p
 896                                       else (if (j MOD k = SUC i MOD k) \/ (SUC j MOD k = i MOD k) then a1 else a2)))) in
 897          mk_unadorned_v39 5 (d_tame 5) (cs_adj 5 (&2) (&2 * h0)) (cs_adj 5 (&2 * h0) upperbd))
 898 ==> stable_system (scs_k_v39 s) (scs_d_v39 s)  (0..(scs_k_v39 s)-1)
 899 (change_type_v3 (scs_a_v39 s)) (change_type_v3 (scs_b_v39 s))
 900 (change_type_v2 (scs_J_v39 s) (scs_k_v39 s)) (\i. ((1+i):num MOD (scs_k_v39 s)))`,
 901   (* {{{ proof *)
 902 [
 903
 904 REPEAT STRIP_TAC
 905 THEN ASM_REWRITE_TAC[scs_k_v39_explicit;scs_d_v39_explicit;scs_a_v39_explicit;scs_b_v39_explicit;LET_DEF;LET_END_DEF;BBs_v39;ARITH_RULE`~(5=3)/\ 5-1=4`;mk_unadorned_v39;CS_ADJ;scs_J_v39_explicit;change_type_v2;d_tame ;change_type_v3]
 906 THEN MRESAL_TAC HAS_SIZE_NUMSEG[`0`;`4`][ARITH_RULE`(4+1)-0=5`]
 907 THEN ASM_SIMP_TAC[stable_system;constraint_system;torsor;ARITH_RULE`3<= 5 /\5<=6/\ 1+5<=6/\ (4+1)-0=5/\ 5=5 /\ 0+5<=6`;CARD_NUMSEG;Hypermap.CARD_SINGLETON;change_type_v3;ARITH_RULE`A=B:num <=> B=A`;SET_RULE`A\/B<=> B\/A`;SET_RULE`{{i MOD k,j MOD K}| i,j| F}={}/\ {} SUBSET A`;CARD_CLAUSES]
 908 THEN STRIP_TAC;
 909
 910
 911 STRIP_TAC;
 912
 913 STRIP_TAC;
 914
 915 REWRITE_TAC[ARITH_RULE`5-1=4`;IN_NUMSEG;ARITH_RULE`0<= A`]
 916 THEN MRESAL1_TAC Hypermap.LE_MOD_SUC`4`[ARITH_RULE`SUC 4=5`];
 917
 918 STRIP_TAC;
 919
 920 REWRITE_TAC[ARITH_RULE`5-1=4`;IN_NUMSEG;ARITH_RULE`0<= A`]
 921 THEN REPEAT STRIP_TAC
 922 THEN MRESAL_TAC (GEN_ALL MOD_IMP_EQ)[`5`;`1+x1`;`1+x2`][ARITH_RULE`1<= 1+A /\ (1+A<=5<=> A<=4)`]
 923 THEN POP_ASSUM MP_TAC
 924 THEN ARITH_TAC;
 925
 926 STRIP_TAC;
 927
 928 REWRITE_TAC[ARITH_RULE`5-1=4`;IN_NUMSEG;ARITH_RULE`0<= A`]
 929 THEN REPEAT STRIP_TAC
 930 THEN POP_ASSUM MP_TAC
 931 THEN MP_TAC(ARITH_RULE`0<i==> 1<= i /\ 1<5`)
 932 THEN RESA_TAC
 933 THEN MRESA_TAC (GEN_ALL POWER_MOD_FUN)[`5:num`;`x:num`;`i:num`]
 934 THEN MP_TAC(ARITH_RULE`0<i /\ i< 5==> i=1 \/ i=2 \/ i=3\/ i=4`)
 935 THEN RESA_TAC
 936 THEN MP_TAC(ARITH_RULE`x<= 4==> x=0 \/ x=1 \/ x=2 \/ x=3\/ x=4`)
 937 THEN ASM_REWRITE_TAC[]
 938 THEN RESA_TAC
 939 THEN ARITH_TAC;
 940
 941 REWRITE_TAC[ARITH_RULE`5-1=4`;IN_NUMSEG;ARITH_RULE`0<= A`]
 942 THEN REPEAT STRIP_TAC
 943 THEN ASSUME_TAC(ARITH_RULE`1<=5 /\1<5/\ 1<=4`)
 944 THEN MRESA_TAC (GEN_ALL POWER_MOD_FUN)[`5:num`;`x:num`;`5:num`]
 945 THEN MRESAL_TAC MOD_MULT_ADD[`1`;`5`;`x:num`][ARITH_RULE`1*5=5`]
 946 THEN MP_TAC(ARITH_RULE`x<= 4==> x=0 \/ x=1 \/ x=2\/ x=3\/ x=4`)
 947 THEN ASM_REWRITE_TAC[]
 948 THEN RESA_TAC
 949 THEN ARITH_TAC;
 950
 951 STRIP_TAC;
 952
 953 REPEAT STRIP_TAC
 954 THEN MP_TAC(ARITH_RULE`i MOD 5= j MOD 5 \/ ~(i MOD 5= j MOD 5)`)
 955 THEN RESA_TAC;
 956
 957 REAL_ARITH_TAC;
 958
 959 MP_TAC(ARITH_RULE`(i MOD 5 = SUC j MOD 5 \/ j MOD 5 = SUC i MOD 5) \/ ~(i MOD 5 = SUC j MOD 5 \/ j MOD 5 = SUC i MOD 5)`)
 960 THEN RESA_TAC
 961 THEN REWRITE_TAC[h0]
 962 THEN REAL_ARITH_TAC;
 963
 964 STRIP_TAC;
 965
 966 REPEAT GEN_TAC
 967 THEN ASSUME_TAC(ARITH_RULE`1<=5 /\1<5/\ 1<=2`)
 968 THEN MRESA_TAC (GEN_ALL POWER_MOD_FUN)[`5:num`;`j:num`;`5:num`]
 969 THEN MRESAL_TAC MOD_MULT_ADD[`1`;`5`;`j:num`][ARITH_RULE`1*5=5`]
 970 THEN MRESAL_TAC MOD_MOD_REFL[`j:num`;`5`][ARITH_RULE`~(5=0)`]
 971 THEN MRESAL_TAC MOD_ADD_MOD[`j:num`;`1:num`;`5`][ARITH_RULE`~(5=0) /\ 1 MOD 5=1`;ADD1];
 972
 973 STRIP_TAC;
 974
 975 REWRITE_TAC[IN_NUMSEG;ARITH_RULE`(0 <= i /\ i <= 4)<=> i=0 \/ i=1\/ i=2 \/ i=3\/ i=4`]
 976 THEN REPEAT STRIP_TAC
 977 THEN POP_ASSUM MP_TAC
 978 THEN ASM_REWRITE_TAC[ARITH_RULE`0 MOD 5=0 /\ 1 MOD 5=1 /\ 2 MOD 5=2 /\ 3 MOD 5=3 /\ ~(0=1)
 979 /\ SUC 0 MOD 5=1 /\ SUC 1 MOD 5=2/\ SUC 2 MOD 5=3 /\ SUC 3 MOD 5=4/\ SUC 4 MOD 5=0 /\ 4 MOD 5=4`;h0;REAL_ARITH`&2<= &2`;cstab]
 980 THEN REAL_ARITH_TAC;
 981
 982 STRIP_TAC;
 983
 984 REWRITE_TAC[IN_NUMSEG;ARITH_RULE`(0 <= i /\ i <= 4)<=> i=0 \/ i=1\/ i=2 \/ i=3\/ i=4`]
 985 THEN REPEAT STRIP_TAC
 986 THEN ASM_REWRITE_TAC[ARITH_RULE`0 MOD 5=0 /\ 1 MOD 5=1 /\ 2 MOD 5=2 /\ 3 MOD 5=3 /\ ~(0=1)
 987 /\ SUC 0 MOD 5=1 /\ SUC 1 MOD 5=2/\ SUC 2 MOD 5=3 /\ SUC 3 MOD 5=4/\ SUC 4 MOD 5=0 /\ 4 MOD 5=4/\ 1+i=i+1`;h0;REAL_ARITH`&2<= &2`;cstab;GSYM ADD1]
 988 THEN REAL_ARITH_TAC;
 989
 990 SET_TAC[]
 991 ]);;
 992   (* }}} *)
 993
 994
 995
 996
 997
 998
 999
1000 let SCS_6_IS_TRI_STABLE=prove_by_refinement(
1001 `(s=let upperbd = &6 in
1002   let a_pro = (\k p a1 a2 i j. (if (i MOD k = j MOD k) then &0
1003                                 else (if {i MOD k,j MOD k}={0,1} then p
1004                                       else (if (j MOD k = SUC i MOD k) \/ (SUC j MOD k = i MOD k) then a1 else a2)))) in
1005          mk_unadorned_v39 6 (d_tame 6) (cs_adj 6 (&2) (&2 * h0)) (cs_adj 6 (&2 * h0) upperbd))
1006 ==> stable_system (scs_k_v39 s) (scs_d_v39 s)  (0..(scs_k_v39 s)-1)
1007 (change_type_v3 (scs_a_v39 s)) (change_type_v3 (scs_b_v39 s))
1008 (change_type_v2 (scs_J_v39 s) (scs_k_v39 s)) (\i. ((1+i):num MOD (scs_k_v39 s)))`,
1009   (* {{{ proof *)
1010 [
1011 REPEAT STRIP_TAC
1012 THEN ASM_REWRITE_TAC[scs_k_v39_explicit;scs_d_v39_explicit;scs_a_v39_explicit;scs_b_v39_explicit;LET_DEF;LET_END_DEF;BBs_v39;ARITH_RULE`~(6=3)/\ 6-1=5`;mk_unadorned_v39;CS_ADJ;scs_J_v39_explicit;change_type_v2;d_tame ;change_type_v3]
1013 THEN MRESAL_TAC HAS_SIZE_NUMSEG[`0`;`5`][ARITH_RULE`(5+1)-0=6`]
1014 THEN ASM_SIMP_TAC[stable_system;constraint_system;torsor;ARITH_RULE`3<= 6 /\6<=6/\ (5+1)-0=6/\ 6=6 /\ 0+6<=6`;CARD_NUMSEG;Hypermap.CARD_SINGLETON;change_type_v3;ARITH_RULE`A=B:num <=> B=A`;SET_RULE`A\/B<=> B\/A`;SET_RULE`{{i MOD k,j MOD K}| i,j| F}={}/\ {} SUBSET A`;CARD_CLAUSES]
1015 THEN STRIP_TAC;
1016
1017
1018 STRIP_TAC;
1019
1020 STRIP_TAC;
1021
1022 REWRITE_TAC[ARITH_RULE`6-1=5`;IN_NUMSEG;ARITH_RULE`0<= A`]
1023 THEN MRESAL1_TAC Hypermap.LE_MOD_SUC`5`[ARITH_RULE`SUC 5=6`];
1024
1025 STRIP_TAC;
1026
1027 REWRITE_TAC[ARITH_RULE`6-1=5`;IN_NUMSEG;ARITH_RULE`0<= A`]
1028 THEN REPEAT STRIP_TAC
1029 THEN MRESAL_TAC (GEN_ALL MOD_IMP_EQ)[`6`;`1+x1`;`1+x2`][ARITH_RULE`1<= 1+A /\ (1+A<=6<=> A<=5)`]
1030 THEN POP_ASSUM MP_TAC
1031 THEN ARITH_TAC;
1032
1033 STRIP_TAC;
1034
1035 REWRITE_TAC[ARITH_RULE`6-1=5`;IN_NUMSEG;ARITH_RULE`0<= A`]
1036 THEN REPEAT STRIP_TAC
1037 THEN POP_ASSUM MP_TAC
1038 THEN MP_TAC(ARITH_RULE`0<i==> 1<= i /\ 1<6`)
1039 THEN RESA_TAC
1040 THEN MRESA_TAC (GEN_ALL POWER_MOD_FUN)[`6:num`;`x:num`;`i:num`]
1041 THEN MP_TAC(ARITH_RULE`0<i /\ i< 6==> i=1 \/ i=2 \/ i=3\/ i=4\/ i=5`)
1042 THEN RESA_TAC
1043 THEN MP_TAC(ARITH_RULE`x<= 5==> x=0 \/ x=1 \/ x=2 \/ x=3\/ x=4\/ x=5`)
1044 THEN ASM_REWRITE_TAC[]
1045 THEN RESA_TAC
1046 THEN ARITH_TAC;
1047
1048 REWRITE_TAC[ARITH_RULE`6-1=5`;IN_NUMSEG;ARITH_RULE`0<= A`]
1049 THEN REPEAT STRIP_TAC
1050 THEN ASSUME_TAC(ARITH_RULE`1<=6 /\1<6/\ 1<=5`)
1051 THEN MRESA_TAC (GEN_ALL POWER_MOD_FUN)[`6:num`;`x:num`;`6:num`]
1052 THEN MRESAL_TAC MOD_MULT_ADD[`1`;`6`;`x:num`][ARITH_RULE`1*6=6`]
1053 THEN MP_TAC(ARITH_RULE`x<= 5==> x=0 \/ x=1 \/ x=2\/ x=3\/ x=4\/ x=5`)
1054 THEN ASM_REWRITE_TAC[]
1055 THEN RESA_TAC
1056 THEN ARITH_TAC;
1057
1058 STRIP_TAC;
1059
1060 REPEAT STRIP_TAC
1061 THEN MP_TAC(ARITH_RULE`i MOD 6= j MOD 6 \/ ~(i MOD 6= j MOD 6)`)
1062 THEN RESA_TAC;
1063
1064 REAL_ARITH_TAC;
1065
1066 MP_TAC(ARITH_RULE`(i MOD 6 = SUC j MOD 6 \/ j MOD 6 = SUC i MOD 6) \/ ~(i MOD 6 = SUC j MOD 6 \/ j MOD 6 = SUC i MOD 6)`)
1067 THEN RESA_TAC
1068 THEN REWRITE_TAC[h0]
1069 THEN REAL_ARITH_TAC;
1070
1071 STRIP_TAC;
1072
1073 REPEAT GEN_TAC
1074 THEN ASSUME_TAC(ARITH_RULE`1<=6 /\1<6/\ 1<=2`)
1075 THEN MRESA_TAC (GEN_ALL POWER_MOD_FUN)[`6:num`;`j:num`;`6:num`]
1076 THEN MRESAL_TAC MOD_MULT_ADD[`1`;`6`;`j:num`][ARITH_RULE`1*6=6`]
1077 THEN MRESAL_TAC MOD_MOD_REFL[`j:num`;`6`][ARITH_RULE`~(6=0)`]
1078 THEN MRESAL_TAC MOD_ADD_MOD[`j:num`;`1:num`;`6`][ARITH_RULE`~(6=0) /\ 1 MOD 6=1`;ADD1];
1079
1080 STRIP_TAC;
1081
1082 REWRITE_TAC[IN_NUMSEG;ARITH_RULE`(0 <= i /\ i <= 5)<=> i=0 \/ i=1\/ i=2 \/ i=3\/ i=4 \/ i=5`]
1083 THEN REPEAT STRIP_TAC
1084 THEN POP_ASSUM MP_TAC
1085 THEN ASM_REWRITE_TAC[ARITH_RULE`0 MOD 6=0 /\ 1 MOD 6=1 /\ 2 MOD 6=2 /\ 3 MOD 6=3 /\ ~(0=1)
1086 /\ SUC 0 MOD 6=1 /\ SUC 1 MOD 6=2/\ SUC 2 MOD 6=3 /\ SUC 3 MOD 6=4/\ SUC 4 MOD 6=5 /\ 4 MOD 6=4/\ SUC 5 MOD 6=0/\ 5 MOD 6=5`;h0;REAL_ARITH`&2<= &2`;cstab]
1087 THEN REAL_ARITH_TAC;
1088
1089 STRIP_TAC;
1090
1091 REWRITE_TAC[IN_NUMSEG;ARITH_RULE`(0 <= i /\ i <= 5)<=> i=0 \/ i=1\/ i=2 \/ i=3\/ i=4 \/ i=5`]
1092 THEN REPEAT STRIP_TAC
1093 THEN ASM_REWRITE_TAC[ARITH_RULE`0 MOD 6=0 /\ 1 MOD 6=1 /\ 2 MOD 6=2 /\ 3 MOD 6=3 /\ ~(0=1)/\ ~(1=2)
1094 /\ SUC 0 MOD 6=1 /\ SUC 1 MOD 6=2/\ SUC 2 MOD 6=3 /\ SUC 3 MOD 6=4/\ SUC 4 MOD 6=5 /\ 4 MOD 6=4/\ SUC 5 MOD 6=0/\ 5 MOD 6=5/\ 1+i=i+1`;h0;REAL_ARITH`&2<= &2`;cstab;GSYM ADD1]
1095 THEN REAL_ARITH_TAC;
1096
1097 SET_TAC[]
1098 ]);;
1099   (* }}} *)
1100
1101
1102
1103
1104
1105
1106
1107
1108
1109
1110
1111
1112 let SCS_4_3_IS_TRI_STABLE=prove_by_refinement(
1113 `(s=let upperbd = &6 in
1114   let a_pro = (\k p a1 a2 i j. (if (i MOD k = j MOD k) then &0
1115                                 else (if {i MOD k,j MOD k}={0,1} then p
1116                                       else (if (j MOD k = SUC i MOD k) \/ (SUC j MOD k = i MOD k) then a1 else a2)))) in
1117          mk_unadorned_v39 4 (#0.467) (cs_adj 4 (&2) (&3)) (cs_adj 4 (&2 * h0) upperbd))
1118 ==> stable_system (scs_k_v39 s) (scs_d_v39 s)  (0..(scs_k_v39 s)-1)
1119 (change_type_v3 (scs_a_v39 s)) (change_type_v3 (scs_b_v39 s))
1120 (change_type_v2 (scs_J_v39 s) (scs_k_v39 s)) (\i. ((1+i):num MOD (scs_k_v39 s)))
1121 `,
1122   (* {{{ proof *)
1123 [
1124 REPEAT STRIP_TAC
1125 THEN ASM_REWRITE_TAC[scs_k_v39_explicit;scs_d_v39_explicit;scs_a_v39_explicit;scs_b_v39_explicit;LET_DEF;LET_END_DEF;BBs_v39;ARITH_RULE`~(4=3)/\ 4-1=3`;mk_unadorned_v39;CS_ADJ;scs_J_v39_explicit;change_type_v2;d_tame ;change_type_v3]
1126 THEN MRESAL_TAC HAS_SIZE_NUMSEG[`0`;`3`][ARITH_RULE`(3+1)-0=4`]
1127 THEN ASM_SIMP_TAC[stable_system;constraint_system;torsor;ARITH_RULE`3<= 4 /\4<=6/\ 1+4<=6/\ (3+1)-0=4/\ 4=4 /\ 0+4<=6`;CARD_NUMSEG;Hypermap.CARD_SINGLETON;change_type_v3;ARITH_RULE`A=B:num <=> B=A`;SET_RULE`A\/B<=> B\/A`;SET_RULE`{{i MOD k,j MOD K}| i,j| F}={}/\ {} SUBSET A`;CARD_CLAUSES]
1128 THEN STRIP_TAC;
1129
1130 STRIP_TAC;
1131
1132 STRIP_TAC;
1133
1134 REWRITE_TAC[ARITH_RULE`4-1=3`;IN_NUMSEG;ARITH_RULE`0<= A`]
1135 THEN MRESAL1_TAC Hypermap.LE_MOD_SUC`3`[ARITH_RULE`SUC 3=4`];
1136
1137 STRIP_TAC;
1138
1139 REWRITE_TAC[ARITH_RULE`4-1=3`;IN_NUMSEG;ARITH_RULE`0<= A`]
1140 THEN REPEAT STRIP_TAC
1141 THEN MRESAL_TAC (GEN_ALL MOD_IMP_EQ)[`4`;`1+x1`;`1+x2`][ARITH_RULE`1<= 1+A /\ (1+A<=4<=> A<=3)`]
1142 THEN POP_ASSUM MP_TAC
1143 THEN ARITH_TAC;
1144
1145 STRIP_TAC;
1146
1147 REWRITE_TAC[ARITH_RULE`4-1=3`;IN_NUMSEG;ARITH_RULE`0<= A`]
1148 THEN REPEAT STRIP_TAC
1149 THEN POP_ASSUM MP_TAC
1150 THEN MP_TAC(ARITH_RULE`0<i==> 1<= i /\ 1<4`)
1151 THEN RESA_TAC
1152 THEN MRESA_TAC (GEN_ALL POWER_MOD_FUN)[`4:num`;`x:num`;`i:num`]
1153 THEN MP_TAC(ARITH_RULE`0<i /\ i< 4==> i=1 \/ i=2 \/ i=3`)
1154 THEN RESA_TAC
1155 THEN MP_TAC(ARITH_RULE`x<= 3==> x=0 \/ x=1 \/ x=2 \/ x=3`)
1156 THEN ASM_REWRITE_TAC[]
1157 THEN RESA_TAC
1158 THEN ARITH_TAC;
1159
1160 REWRITE_TAC[ARITH_RULE`4-1=3`;IN_NUMSEG;ARITH_RULE`0<= A`]
1161 THEN REPEAT STRIP_TAC
1162 THEN ASSUME_TAC(ARITH_RULE`1<=4 /\1<4/\ 1<=3`)
1163 THEN MRESA_TAC (GEN_ALL POWER_MOD_FUN)[`4:num`;`x:num`;`4:num`]
1164 THEN MRESAL_TAC MOD_MULT_ADD[`1`;`4`;`x:num`][ARITH_RULE`1*4=4`]
1165 THEN MP_TAC(ARITH_RULE`x<= 3==> x=0 \/ x=1 \/ x=2\/ x=3`)
1166 THEN ASM_REWRITE_TAC[]
1167 THEN RESA_TAC
1168 THEN ARITH_TAC;
1169
1170 STRIP_TAC;
1171
1172 REPEAT STRIP_TAC
1173 THEN MP_TAC(ARITH_RULE`i MOD 4= j MOD 4 \/ ~(i MOD 4= j MOD 4)`)
1174 THEN RESA_TAC;
1175
1176 REAL_ARITH_TAC;
1177
1178 MP_TAC(ARITH_RULE`(i MOD 4 = SUC j MOD 4 \/ j MOD 4 = SUC i MOD 4) \/ ~(i MOD 4 = SUC j MOD 4 \/ j MOD 4 = SUC i MOD 4)`)
1179 THEN RESA_TAC
1180 THEN REWRITE_TAC[h0]
1181 THEN REAL_ARITH_TAC;
1182
1183 STRIP_TAC;
1184
1185 REPEAT GEN_TAC
1186 THEN ASSUME_TAC(ARITH_RULE`1<=4 /\1<4/\ 1<=2`)
1187 THEN MRESA_TAC (GEN_ALL POWER_MOD_FUN)[`4:num`;`j:num`;`4:num`]
1188 THEN MRESAL_TAC MOD_MULT_ADD[`1`;`4`;`j:num`][ARITH_RULE`1*4=4`]
1189 THEN MRESAL_TAC MOD_MOD_REFL[`j:num`;`4`][ARITH_RULE`~(4=0)`]
1190 THEN MRESAL_TAC MOD_ADD_MOD[`j:num`;`1:num`;`4`][ARITH_RULE`~(4=0) /\ 1 MOD 4=1`;ADD1];
1191
1192 STRIP_TAC;
1193
1194 REWRITE_TAC[IN_NUMSEG;ARITH_RULE`(0 <= i /\ i <= 3)<=> i=0 \/ i=1\/ i=2 \/ i=3`]
1195 THEN REPEAT STRIP_TAC
1196 THEN POP_ASSUM MP_TAC
1197 THEN ASM_REWRITE_TAC[ARITH_RULE`0 MOD 4=0 /\ 1 MOD 4=1 /\ 2 MOD 4=2 /\ 3 MOD 4=3 /\ ~(0=1)
1198 /\ SUC 0 MOD 4=1 /\ SUC 1 MOD 4=2/\ SUC 2 MOD 4=3 /\ SUC 3 MOD 4=0`;h0;REAL_ARITH`&2<= &2`;cstab]
1199 THEN REAL_ARITH_TAC;
1200
1201 STRIP_TAC;
1202
1203 REWRITE_TAC[IN_NUMSEG;ARITH_RULE`(0 <= i /\ i <= 3)<=> i=0 \/ i=1\/ i=2\/ i=3`]
1204 THEN REPEAT STRIP_TAC
1205 THEN ASM_REWRITE_TAC[ARITH_RULE`0 MOD 4=0 /\ 1 MOD 4=1 /\ 2 MOD 4=2 /\ 3 MOD 4=3 /\ ~(0=1)
1206 /\ SUC 0 MOD 4=1 /\ SUC 1 MOD 4=2/\ SUC 2 MOD 4=3 /\ SUC 3 MOD 4=0/\ 1+i=i+1`;h0;REAL_ARITH`&2<= &2`;cstab;GSYM ADD1]
1207 THEN REAL_ARITH_TAC;
1208
1209 SET_TAC[]
1210 ]);;
1211   (* }}} *)
1212
1213
1214
1215
1216
1217
1218
1219
1220 let SCS_5_sqrt8_IS_TRI_STABLE=prove_by_refinement(
1221 `(s=let upperbd = &6 in
1222   let a_pro = (\k p a1 a2 i j. (if (i MOD k = j MOD k) then &0
1223                                 else (if {i MOD k,j MOD k}={0,1} then p
1224                                       else (if (j MOD k = SUC i MOD k) \/ (SUC j MOD k = i MOD k) then a1 else a2)))) in
1225          mk_unadorned_v39 5 (#0.616) (cs_adj 5 (&2) (sqrt8)) (cs_adj 5 (&2 * h0) upperbd))
1226 ==> stable_system (scs_k_v39 s) (scs_d_v39 s)  (0..(scs_k_v39 s)-1)
1227 (change_type_v3 (scs_a_v39 s)) (change_type_v3 (scs_b_v39 s))
1228 (change_type_v2 (scs_J_v39 s) (scs_k_v39 s)) (\i. ((1+i):num MOD (scs_k_v39 s)))`,
1229   (* {{{ proof *)
1230 [
1231
1232 REPEAT STRIP_TAC
1233 THEN ASM_REWRITE_TAC[scs_k_v39_explicit;scs_d_v39_explicit;scs_a_v39_explicit;scs_b_v39_explicit;LET_DEF;LET_END_DEF;BBs_v39;ARITH_RULE`~(5=3)/\ 5-1=4`;mk_unadorned_v39;CS_ADJ;scs_J_v39_explicit;change_type_v2;d_tame ;change_type_v3]
1234 THEN MRESAL_TAC HAS_SIZE_NUMSEG[`0`;`4`][ARITH_RULE`(4+1)-0=5`]
1235 THEN ASM_SIMP_TAC[stable_system;constraint_system;torsor;ARITH_RULE`3<= 5 /\5<=6/\ 1+5<=6/\ (4+1)-0=5/\ 5=5 /\ 0+5<=6`;CARD_NUMSEG;Hypermap.CARD_SINGLETON;change_type_v3;ARITH_RULE`A=B:num <=> B=A`;SET_RULE`A\/B<=> B\/A`;SET_RULE`{{i MOD k,j MOD K}| i,j| F}={}/\ {} SUBSET A`;CARD_CLAUSES]
1236 THEN STRIP_TAC;
1237
1238
1239 STRIP_TAC;
1240
1241 STRIP_TAC;
1242
1243 REWRITE_TAC[ARITH_RULE`5-1=4`;IN_NUMSEG;ARITH_RULE`0<= A`]
1244 THEN MRESAL1_TAC Hypermap.LE_MOD_SUC`4`[ARITH_RULE`SUC 4=5`];
1245
1246 STRIP_TAC;
1247
1248 REWRITE_TAC[ARITH_RULE`5-1=4`;IN_NUMSEG;ARITH_RULE`0<= A`]
1249 THEN REPEAT STRIP_TAC
1250 THEN MRESAL_TAC (GEN_ALL MOD_IMP_EQ)[`5`;`1+x1`;`1+x2`][ARITH_RULE`1<= 1+A /\ (1+A<=5<=> A<=4)`]
1251 THEN POP_ASSUM MP_TAC
1252 THEN ARITH_TAC;
1253
1254 STRIP_TAC;
1255
1256 REWRITE_TAC[ARITH_RULE`5-1=4`;IN_NUMSEG;ARITH_RULE`0<= A`]
1257 THEN REPEAT STRIP_TAC
1258 THEN POP_ASSUM MP_TAC
1259 THEN MP_TAC(ARITH_RULE`0<i==> 1<= i /\ 1<5`)
1260 THEN RESA_TAC
1261 THEN MRESA_TAC (GEN_ALL POWER_MOD_FUN)[`5:num`;`x:num`;`i:num`]
1262 THEN MP_TAC(ARITH_RULE`0<i /\ i< 5==> i=1 \/ i=2 \/ i=3\/ i=4`)
1263 THEN RESA_TAC
1264 THEN MP_TAC(ARITH_RULE`x<= 4==> x=0 \/ x=1 \/ x=2 \/ x=3\/ x=4`)
1265 THEN ASM_REWRITE_TAC[]
1266 THEN RESA_TAC
1267 THEN ARITH_TAC;
1268
1269 REWRITE_TAC[ARITH_RULE`5-1=4`;IN_NUMSEG;ARITH_RULE`0<= A`]
1270 THEN REPEAT STRIP_TAC
1271 THEN ASSUME_TAC(ARITH_RULE`1<=5 /\1<5/\ 1<=4`)
1272 THEN MRESA_TAC (GEN_ALL POWER_MOD_FUN)[`5:num`;`x:num`;`5:num`]
1273 THEN MRESAL_TAC MOD_MULT_ADD[`1`;`5`;`x:num`][ARITH_RULE`1*5=5`]
1274 THEN MP_TAC(ARITH_RULE`x<= 4==> x=0 \/ x=1 \/ x=2\/ x=3\/ x=4`)
1275 THEN ASM_REWRITE_TAC[]
1276 THEN RESA_TAC
1277 THEN ARITH_TAC;
1278
1279 STRIP_TAC;
1280
1281 REPEAT STRIP_TAC
1282 THEN MP_TAC(ARITH_RULE`i MOD 5= j MOD 5 \/ ~(i MOD 5= j MOD 5)`)
1283 THEN RESA_TAC;
1284
1285 REAL_ARITH_TAC;
1286
1287 MP_TAC(ARITH_RULE`(i MOD 5 = SUC j MOD 5 \/ j MOD 5 = SUC i MOD 5) \/ ~(i MOD 5 = SUC j MOD 5 \/ j MOD 5 = SUC i MOD 5)`)
1288 THEN RESA_TAC
1289 THEN REWRITE_TAC[h0;sqrt8]
1290 THEN MRESAL_TAC REAL_LE_LSQRT [`&8`;`&6`][REAL_ARITH`&0<= &8/\ &0<= &6 /\ &8<= &6 pow 2`]
1291 THEN REAL_ARITH_TAC;
1292
1293
1294 STRIP_TAC;
1295
1296 REPEAT GEN_TAC
1297 THEN ASSUME_TAC(ARITH_RULE`1<=5 /\1<5/\ 1<=2`)
1298 THEN MRESA_TAC (GEN_ALL POWER_MOD_FUN)[`5:num`;`j:num`;`5:num`]
1299 THEN MRESAL_TAC MOD_MULT_ADD[`1`;`5`;`j:num`][ARITH_RULE`1*5=5`]
1300 THEN MRESAL_TAC MOD_MOD_REFL[`j:num`;`5`][ARITH_RULE`~(5=0)`]
1301 THEN MRESAL_TAC MOD_ADD_MOD[`j:num`;`1:num`;`5`][ARITH_RULE`~(5=0) /\ 1 MOD 5=1`;ADD1];
1302
1303 STRIP_TAC;
1304
1305 REWRITE_TAC[IN_NUMSEG;ARITH_RULE`(0 <= i /\ i <= 4)<=> i=0 \/ i=1\/ i=2 \/ i=3\/ i=4`]
1306 THEN REPEAT STRIP_TAC
1307 THEN POP_ASSUM MP_TAC
1308 THEN ASM_REWRITE_TAC[ARITH_RULE`0 MOD 5=0 /\ 1 MOD 5=1 /\ 2 MOD 5=2 /\ 3 MOD 5=3 /\ ~(0=1)/\ ~(0=2)/\ ~(0=3)/\ ~(2=1)/\ ~(0=4)/\ ~(3=1) /\ ~(1=4) /\ ~(3=2)
1309 /\ ~(4=2) /\ ~(4=3)
1310 /\ SUC 0 MOD 5=1 /\ SUC 1 MOD 5=2/\ SUC 2 MOD 5=3 /\ SUC 3 MOD 5=4/\ SUC 4 MOD 5=0 /\ 4 MOD 5=4`;h0;REAL_ARITH`&2<= &2`;cstab;sqrt8]
1311 THEN MRESAL_TAC REAL_LE_RSQRT [`&2`;`&8`][REAL_ARITH`&0<= &8/\ &0<= &8 /\ &2 pow 2<= &8`]
1312 THEN MRESAL_TAC REAL_LE_LSQRT [`&8`;`#3.01`][REAL_ARITH`&0<= &8/\ &0<= #3.01 /\ &8<= #3.01 pow 2`]
1313 THEN REAL_ARITH_TAC;
1314
1315 STRIP_TAC;
1316
1317
1318 REWRITE_TAC[IN_NUMSEG;ARITH_RULE`(0 <= i /\ i <= 4)<=> i=0 \/ i=1\/ i=2 \/ i=3\/ i=4`]
1319 THEN REPEAT STRIP_TAC
1320 THEN ASM_REWRITE_TAC[ARITH_RULE`0 MOD 5=0 /\ 1 MOD 5=1 /\ 2 MOD 5=2 /\ 3 MOD 5=3 /\ ~(0=1)/\ ~(0=2)/\ ~(0=3)/\ ~(2=1)/\ ~(0=4)/\ ~(3=1) /\ ~(1=4) /\ ~(3=2)
1321 /\ ~(4=2) /\ ~(4=3)
1322 /\ SUC 0 MOD 5=1 /\ SUC 1 MOD 5=2/\ SUC 2 MOD 5=3 /\ SUC 3 MOD 5=4/\ SUC 4 MOD 5=0 /\ 4 MOD 5=4/\ 1+i=i+1`;h0;REAL_ARITH`&2<= &2`;cstab;GSYM ADD1;h0;REAL_ARITH`&2<= &2`;cstab;sqrt8]
1323 THEN MRESAL_TAC REAL_LE_RSQRT [`&2`;`&8`][REAL_ARITH`&0<= &8/\ &0<= &8 /\ &2 pow 2<= &8`]
1324 THEN MRESAL_TAC REAL_LE_LSQRT [`&8`;`#3.01`][REAL_ARITH`&0<= &8/\ &0<= #3.01 /\ &8<= #3.01 pow 2`]
1325
1326 THEN REAL_ARITH_TAC;
1327
1328
1329 SET_TAC[]
1330 ]);;
1331   (* }}} *)
1332
1333
1334
1335
1336
1337
1338
1339 let SCS_4_sqrt8_IS_TRI_STABLE=prove_by_refinement(
1340 `(s=let upperbd = &6 in
1341   let a_pro = (\k p a1 a2 i j. (if (i MOD k = j MOD k) then &0
1342                                 else (if {i MOD k,j MOD k}={0,1} then p
1343                                       else (if (j MOD k = SUC i MOD k) \/ (SUC j MOD k = i MOD k) then a1 else a2)))) in
1344          mk_unadorned_v39 4 (#0.477) (a_pro 4 (&2 * h0) (&2) sqrt8) (a_pro 4 sqrt8 (&2 * h0) upperbd))
1345 ==> stable_system (scs_k_v39 s) (scs_d_v39 s)  (0..(scs_k_v39 s)-1)
1346 (change_type_v3 (scs_a_v39 s)) (change_type_v3 (scs_b_v39 s))
1347 (change_type_v2 (scs_J_v39 s) (scs_k_v39 s)) (\i. ((1+i):num MOD (scs_k_v39 s)))`,
1348   (* {{{ proof *)
1349 [
1350 REPEAT STRIP_TAC
1351 THEN ASM_REWRITE_TAC[scs_k_v39_explicit;scs_d_v39_explicit;scs_a_v39_explicit;scs_b_v39_explicit;LET_DEF;LET_END_DEF;BBs_v39;ARITH_RULE`~(4=3)/\ 4-1=3`;mk_unadorned_v39;CS_ADJ;scs_J_v39_explicit;change_type_v2;d_tame ;change_type_v3]
1352 THEN MRESAL_TAC HAS_SIZE_NUMSEG[`0`;`3`][ARITH_RULE`(3+1)-0=4`]
1353 THEN ASM_SIMP_TAC[stable_system;constraint_system;torsor;ARITH_RULE`3<= 4 /\4<=6/\ 1+4<=6/\ (3+1)-0=4/\ 4=4 /\ 0+4<=6`;CARD_NUMSEG;Hypermap.CARD_SINGLETON;change_type_v3;ARITH_RULE`A=B:num <=> B=A`;SET_RULE`A\/B<=> B\/A`;SET_RULE`{{i MOD k,j MOD K}| i,j| F}={}/\ {} SUBSET A`;CARD_CLAUSES;SET_RULE`({j MOD 4, i MOD 4} = {0, 1})<=> {i MOD 4, j MOD 4} = {0, 1}`]
1354 THEN STRIP_TAC;
1355
1356 STRIP_TAC;
1357
1358 STRIP_TAC;
1359
1360 REWRITE_TAC[ARITH_RULE`4-1=3`;IN_NUMSEG;ARITH_RULE`0<= A`]
1361 THEN MRESAL1_TAC Hypermap.LE_MOD_SUC`3`[ARITH_RULE`SUC 3=4`];
1362
1363 STRIP_TAC;
1364
1365 REWRITE_TAC[ARITH_RULE`4-1=3`;IN_NUMSEG;ARITH_RULE`0<= A`]
1366 THEN REPEAT STRIP_TAC
1367 THEN MRESAL_TAC (GEN_ALL MOD_IMP_EQ)[`4`;`1+x1`;`1+x2`][ARITH_RULE`1<= 1+A /\ (1+A<=4<=> A<=3)`]
1368 THEN POP_ASSUM MP_TAC
1369 THEN ARITH_TAC;
1370
1371 STRIP_TAC;
1372
1373 REWRITE_TAC[ARITH_RULE`4-1=3`;IN_NUMSEG;ARITH_RULE`0<= A`]
1374 THEN REPEAT STRIP_TAC
1375 THEN POP_ASSUM MP_TAC
1376 THEN MP_TAC(ARITH_RULE`0<i==> 1<= i /\ 1<4`)
1377 THEN RESA_TAC
1378 THEN MRESA_TAC (GEN_ALL POWER_MOD_FUN)[`4:num`;`x:num`;`i:num`]
1379 THEN MP_TAC(ARITH_RULE`0<i /\ i< 4==> i=1 \/ i=2 \/ i=3`)
1380 THEN RESA_TAC
1381 THEN MP_TAC(ARITH_RULE`x<= 3==> x=0 \/ x=1 \/ x=2 \/ x=3`)
1382 THEN ASM_REWRITE_TAC[]
1383 THEN RESA_TAC
1384 THEN ARITH_TAC;
1385
1386 REWRITE_TAC[ARITH_RULE`4-1=3`;IN_NUMSEG;ARITH_RULE`0<= A`]
1387 THEN REPEAT STRIP_TAC
1388 THEN ASSUME_TAC(ARITH_RULE`1<=4 /\1<4/\ 1<=3`)
1389 THEN MRESA_TAC (GEN_ALL POWER_MOD_FUN)[`4:num`;`x:num`;`4:num`]
1390 THEN MRESAL_TAC MOD_MULT_ADD[`1`;`4`;`x:num`][ARITH_RULE`1*4=4`]
1391 THEN MP_TAC(ARITH_RULE`x<= 3==> x=0 \/ x=1 \/ x=2\/ x=3`)
1392 THEN ASM_REWRITE_TAC[]
1393 THEN RESA_TAC
1394 THEN ARITH_TAC;
1395
1396 STRIP_TAC;
1397
1398 REPEAT STRIP_TAC
1399 THEN MP_TAC(ARITH_RULE`i MOD 4= j MOD 4 \/ ~(i MOD 4= j MOD 4)`)
1400 THEN RESA_TAC;
1401
1402 REAL_ARITH_TAC;
1403
1404 MP_TAC(SET_RULE`{i MOD 4, j MOD 4} = {0, 1} \/ ~({i MOD 4, j MOD 4} = {0, 1})`)
1405 THEN RESA_TAC;
1406
1407
1408 MRESAL_TAC REAL_LE_RSQRT [`&2 * #1.26 `;`&8`][sqrt8;h0;REAL_ARITH`&0<= &8/\ &0<= &2 * #1.26 /\ (&2 * #1.26) pow 2<= &8`];
1409
1410 MP_TAC(ARITH_RULE`(i MOD 4 = SUC j MOD 4 \/ j MOD 4 = SUC i MOD 4) \/ ~(i MOD 4 = SUC j MOD 4 \/ j MOD 4 = SUC i MOD 4)`)
1411 THEN RESA_TAC
1412 THEN REWRITE_TAC[h0;sqrt8]
1413 THEN MRESAL_TAC REAL_LE_LSQRT [`&8`;`&6`][REAL_ARITH`&0<= &8/\ &0<= &6 /\ &8<= &6 pow 2`]
1414 THEN REAL_ARITH_TAC;
1415
1416
1417 STRIP_TAC;
1418
1419 REPEAT GEN_TAC
1420 THEN ASSUME_TAC(ARITH_RULE`1<=4 /\1<4/\ 1<=2`)
1421 THEN MRESA_TAC (GEN_ALL POWER_MOD_FUN)[`4:num`;`j:num`;`4:num`]
1422 THEN MRESAL_TAC MOD_MULT_ADD[`1`;`4`;`j:num`][ARITH_RULE`1*4=4`]
1423 THEN MRESAL_TAC MOD_MOD_REFL[`j:num`;`4`][ARITH_RULE`~(4=0)`]
1424 THEN MRESAL_TAC MOD_ADD_MOD[`j:num`;`1:num`;`4`][ARITH_RULE`~(4=0) /\ 1 MOD 4=1`;ADD1];
1425
1426 STRIP_TAC;
1427
1428 REWRITE_TAC[IN_NUMSEG;ARITH_RULE`(0 <= i /\ i <= 3)<=> i=0 \/ i=1\/ i=2 \/ i=3`]
1429 THEN REPEAT STRIP_TAC
1430 THEN POP_ASSUM MP_TAC
1431 THEN MP_TAC(SET_RULE`~(2=0) /\ ~(2=1)/\ ~(3=0) /\ ~(3=1)==> ~({2,3}={1,0}) `)
1432 THEN ASM_REWRITE_TAC[ARITH_RULE`0 MOD 4=0 /\ 1 MOD 4=1 /\ 2 MOD 4=2 /\ 3 MOD 4=3 /\ ~(0=1)/\ ~(0=2)/\ ~(0=3)/\ ~(2=1)/\ ~(0=4)/\ ~(3=1) /\ ~(1=4) /\ ~(3=2)
1433 /\ ~(4=2) /\ ~(4=3)
1434 /\ SUC 0 MOD 4=1 /\ SUC 1 MOD 4=2/\ SUC 2 MOD 4=3 /\ SUC 3 MOD 4=0 `;h0;REAL_ARITH`&2<= &2`;cstab;SET_RULE`{A,B}={A,C}<=> B=C`;sqrt8;SET_RULE`{A,B}={B,A}`;SET_RULE`{B,A}={C,A}<=> B=C`;SET_RULE`{B,A}={A,C}<=> B=C`;]
1435 THEN RESA_TAC
1436 THEN MRESAL_TAC REAL_LE_RSQRT [`&2`;`&8`][REAL_ARITH`&0<= &8/\ &0<= &8 /\ &2 pow 2<= &8`]
1437 THEN MRESAL_TAC REAL_LE_LSQRT [`&8`;`#3.01`][REAL_ARITH`&0<= &8/\ &0<= #3.01 /\ &8<= #3.01 pow 2`]
1438 THEN REAL_ARITH_TAC;
1439
1440 STRIP_TAC;
1441
1442 REWRITE_TAC[IN_NUMSEG;ARITH_RULE`(0 <= i /\ i <= 3)<=> i=0 \/ i=1\/ i=2 \/ i=3`]
1443 THEN REPEAT STRIP_TAC
1444 THEN MP_TAC(SET_RULE`~(2=0) /\ ~(2=1)/\ ~(3=0) /\ ~(3=1)==> ~({2,3}={1,0}) `)
1445 THEN ASM_REWRITE_TAC[ARITH_RULE`0 MOD 4=0 /\ 1 MOD 4=1 /\ 2 MOD 4=2 /\ 3 MOD 4=3 /\ ~(0=1)/\ ~(0=2)/\ ~(0=3)/\ ~(2=1)/\ ~(0=4)/\ ~(3=1) /\ ~(1=4) /\ ~(3=2)
1446 /\ ~(4=2) /\ ~(4=3)/\ 1+0=1/\ 1+2=3/\ 1+3=4/\ 4 MOD 4=0
1447 /\ SUC 0 MOD 4=1 /\ SUC 1 MOD 4=2/\ SUC 2 MOD 4=3 /\ SUC 3 MOD 4=0 `;h0;REAL_ARITH`&2<= &2`;cstab;SET_RULE`{A,B}={A,C}<=> B=C`;sqrt8;SET_RULE`{A,B}={B,A}`;SET_RULE`{B,A}={C,A}<=> B=C`;SET_RULE`{B,A}={A,C}<=> B=C`;cstab;GSYM ADD1;h0;REAL_ARITH`&2<= &2`;cstab;sqrt8]
1448 THEN RESA_TAC
1449 THEN MRESAL_TAC REAL_LE_RSQRT [`&2`;`&8`][REAL_ARITH`&0<= &8/\ &0<= &8 /\ &2 pow 2<= &8`]
1450 THEN MRESAL_TAC REAL_LE_LSQRT [`&8`;`#3.01`][REAL_ARITH`&0<= &8/\ &0<= #3.01 /\ &8<= #3.01 pow 2`]
1451 THEN REAL_ARITH_TAC;
1452
1453
1454 SET_TAC[]
1455 ]);;
1456   (* }}} *)
1457
1458
1459
1460
1461
1462 let SCS_5_pro_cs_IS_TRI_STABLE=prove_by_refinement(
1463 `(s=let upperbd = &6 in
1464   let a_pro = (\k p a1 a2 i j. (if (i MOD k = j MOD k) then &0
1465                                 else (if {i MOD k,j MOD k}={0,1} then p
1466                                       else (if (j MOD k = SUC i MOD k) \/ (SUC j MOD k = i MOD k) then a1 else a2)))) in
1467          mk_unadorned_v39 5 (#0.616) (a_pro 5 (&2 * h0) (&2) (&2 * h0)) (a_pro 5 sqrt8 (&2 * h0) upperbd))
1468 ==> stable_system (scs_k_v39 s) (scs_d_v39 s)  (0..(scs_k_v39 s)-1)
1469 (change_type_v3 (scs_a_v39 s)) (change_type_v3 (scs_b_v39 s))
1470 (change_type_v2 (scs_J_v39 s) (scs_k_v39 s)) (\i. ((1+i):num MOD (scs_k_v39 s)))`,
1471   (* {{{ proof *)
1472 [
1473
1474 REPEAT STRIP_TAC
1475 THEN ASM_REWRITE_TAC[scs_k_v39_explicit;scs_d_v39_explicit;scs_a_v39_explicit;scs_b_v39_explicit;LET_DEF;LET_END_DEF;BBs_v39;ARITH_RULE`~(5=3)/\ 5-1=4`;mk_unadorned_v39;CS_ADJ;scs_J_v39_explicit;change_type_v2;d_tame ;change_type_v3]
1476 THEN MRESAL_TAC HAS_SIZE_NUMSEG[`0`;`4`][ARITH_RULE`(4+1)-0=5`]
1477 THEN ASM_SIMP_TAC[stable_system;constraint_system;torsor;ARITH_RULE`3<= 5 /\5<=6/\ 1+5<=6/\ (4+1)-0=5/\ 5=5 /\ 0+5<=6`;CARD_NUMSEG;Hypermap.CARD_SINGLETON;change_type_v3;ARITH_RULE`A=B:num <=> B=A`;SET_RULE`A\/B<=> B\/A`;SET_RULE`{{i MOD k,j MOD K}| i,j| F}={}/\ {} SUBSET A`;CARD_CLAUSES;SET_RULE`({j MOD 5, i MOD 5} = {0, 1})<=> {i MOD 5, j MOD 5} = {0, 1}`]
1478 THEN STRIP_TAC;
1479
1480 STRIP_TAC;
1481
1482 STRIP_TAC;
1483
1484 REWRITE_TAC[ARITH_RULE`5-1=4`;IN_NUMSEG;ARITH_RULE`0<= A`]
1485 THEN MRESAL1_TAC Hypermap.LE_MOD_SUC`4`[ARITH_RULE`SUC 4=5`];
1486
1487 STRIP_TAC;
1488
1489 REWRITE_TAC[ARITH_RULE`5-1=4`;IN_NUMSEG;ARITH_RULE`0<= A`]
1490 THEN REPEAT STRIP_TAC
1491 THEN MRESAL_TAC (GEN_ALL MOD_IMP_EQ)[`5`;`1+x1`;`1+x2`][ARITH_RULE`1<= 1+A /\ (1+A<=5<=> A<=4)`]
1492 THEN POP_ASSUM MP_TAC
1493 THEN ARITH_TAC;
1494
1495 STRIP_TAC;
1496
1497 REWRITE_TAC[ARITH_RULE`5-1=4`;IN_NUMSEG;ARITH_RULE`0<= A`]
1498 THEN REPEAT STRIP_TAC
1499 THEN POP_ASSUM MP_TAC
1500 THEN MP_TAC(ARITH_RULE`0<i==> 1<= i /\ 1<5`)
1501 THEN RESA_TAC
1502 THEN MRESA_TAC (GEN_ALL POWER_MOD_FUN)[`5:num`;`x:num`;`i:num`]
1503 THEN MP_TAC(ARITH_RULE`0<i /\ i< 5==> i=1 \/ i=2 \/ i=3\/ i=4`)
1504 THEN RESA_TAC
1505 THEN MP_TAC(ARITH_RULE`x<= 4==> x=0 \/ x=1 \/ x=2 \/ x=3\/ x=4`)
1506 THEN ASM_REWRITE_TAC[]
1507 THEN RESA_TAC
1508 THEN ARITH_TAC;
1509
1510 REWRITE_TAC[ARITH_RULE`5-1=4`;IN_NUMSEG;ARITH_RULE`0<= A`]
1511 THEN REPEAT STRIP_TAC
1512 THEN ASSUME_TAC(ARITH_RULE`1<=5 /\1<5/\ 1<=4`)
1513 THEN MRESA_TAC (GEN_ALL POWER_MOD_FUN)[`5:num`;`x:num`;`5:num`]
1514 THEN MRESAL_TAC MOD_MULT_ADD[`1`;`5`;`x:num`][ARITH_RULE`1*5=5`]
1515 THEN MP_TAC(ARITH_RULE`x<= 4==> x=0 \/ x=1 \/ x=2\/ x=3\/ x=4`)
1516 THEN ASM_REWRITE_TAC[]
1517 THEN RESA_TAC
1518 THEN ARITH_TAC;
1519
1520 STRIP_TAC;
1521
1522 REPEAT STRIP_TAC
1523 THEN MP_TAC(ARITH_RULE`i MOD 5= j MOD 5 \/ ~(i MOD 5= j MOD 5)`)
1524 THEN RESA_TAC;
1525
1526 REAL_ARITH_TAC;
1527
1528 MP_TAC(SET_RULE`{i MOD 5, j MOD 5} = {0, 1} \/ ~({i MOD 5, j MOD 5} = {0, 1})`)
1529 THEN RESA_TAC;
1530
1531 MRESAL_TAC REAL_LE_RSQRT [`&2 * #1.26 `;`&8`][sqrt8;h0;REAL_ARITH`&0<= &8/\ &0<= &2 * #1.26 /\ (&2 * #1.26) pow 2<= &8`];
1532
1533 MP_TAC(ARITH_RULE`(i MOD 5 = SUC j MOD 5 \/ j MOD 5 = SUC i MOD 5) \/ ~(i MOD 5 = SUC j MOD 5 \/ j MOD 5 = SUC i MOD 5)`)
1534 THEN RESA_TAC
1535 THEN REWRITE_TAC[h0;sqrt8]
1536 THEN MRESAL_TAC REAL_LE_LSQRT [`&8`;`&6`][REAL_ARITH`&0<= &8/\ &0<= &6 /\ &8<= &6 pow 2`]
1537 THEN REAL_ARITH_TAC;
1538
1539
1540 STRIP_TAC;
1541
1542 REPEAT GEN_TAC
1543 THEN ASSUME_TAC(ARITH_RULE`1<=5 /\1<5/\ 1<=2`)
1544 THEN MRESA_TAC (GEN_ALL POWER_MOD_FUN)[`5:num`;`j:num`;`5:num`]
1545 THEN MRESAL_TAC MOD_MULT_ADD[`1`;`5`;`j:num`][ARITH_RULE`1*5=5`]
1546 THEN MRESAL_TAC MOD_MOD_REFL[`j:num`;`5`][ARITH_RULE`~(5=0)`]
1547 THEN MRESAL_TAC MOD_ADD_MOD[`j:num`;`1:num`;`5`][ARITH_RULE`~(5=0) /\ 1 MOD 5=1`;ADD1];
1548
1549 STRIP_TAC;
1550
1551 REWRITE_TAC[IN_NUMSEG;ARITH_RULE`(0 <= i /\ i <= 4)<=> i=0 \/ i=1\/ i=2 \/ i=3\/ i=4`]
1552 THEN REPEAT STRIP_TAC
1553 THEN POP_ASSUM MP_TAC
1554 THEN ASM_REWRITE_TAC[ARITH_RULE`0 MOD 5=0 /\ 1 MOD 5=1 /\ 2 MOD 5=2 /\ 3 MOD 5=3 /\ ~(0=1)/\ ~(0=2)/\ ~(0=3)/\ ~(2=1)/\ ~(0=4)/\ ~(3=1) /\ ~(1=4) /\ ~(3=2)
1555 /\ ~(4=2) /\ ~(4=3)/\ 1+0=1/\ 1+2=3/\ 1+3=4/\ 5 MOD 5=0
1556 /\ SUC 0 MOD 5=1 /\ SUC 1 MOD 5=2/\ SUC 2 MOD 5=3 /\ SUC 3 MOD 5=4/\ SUC 4 MOD 5=0 /\ 4 MOD 5=4`;h0;REAL_ARITH`&2<= &2`;cstab;sqrt8]
1557 THEN MRESAL_TAC REAL_LE_RSQRT [`&2`;`&8`][REAL_ARITH`&0<= &8/\ &0<= &8 /\ &2 pow 2<= &8`]
1558 THEN MRESAL_TAC REAL_LE_LSQRT [`&8`;`#3.01`][REAL_ARITH`&0<= &8/\ &0<= #3.01 /\ &8<= #3.01 pow 2`]
1559 THEN REAL_ARITH_TAC;
1560
1561 STRIP_TAC;
1562
1563 REWRITE_TAC[IN_NUMSEG;ARITH_RULE`(0 <= i /\ i <= 4)<=> i=0 \/ i=1\/ i=2 \/ i=3\/ i=4`]
1564 THEN REPEAT STRIP_TAC
1565 THEN MP_TAC(SET_RULE`~(2=0) /\ ~(2=1)/\ ~(3=0) /\ ~(3=1)==> ~({2,3}={1,0}) `)
1566 THEN MP_TAC(SET_RULE`~(4=0) /\ ~(4=1)/\ ~(3=0) /\ ~(3=1)==> ~({4,3}={1,0}) `)
1567 THEN ASM_REWRITE_TAC[ARITH_RULE`0 MOD 5=0 /\ 1 MOD 5=1 /\ 2 MOD 5=2 /\ 3 MOD 5=3 /\ ~(0=1)/\ ~(0=2)/\ ~(0=3)/\ ~(2=1)/\ ~(0=4)/\ ~(3=1) /\ ~(1=4) /\ ~(3=2)
1568 /\ ~(4=2) /\ ~(4=3)/\ 1+0=1/\ 1+2=3/\ 1+3=4/\ 5 MOD 5=0
1569 /\ SUC 0 MOD 5=1 /\ SUC 1 MOD 5=2/\ SUC 2 MOD 5=3 /\ SUC 3 MOD 5=4/\ SUC 4 MOD 5=0 /\ 4 MOD 5=4/\ 1+i=i+1`;h0;REAL_ARITH`&2<= &2`;cstab;GSYM ADD1;h0;REAL_ARITH`&2<= &2`;cstab;cstab;SET_RULE`{A,B}={A,C}<=> B=C`;sqrt8;SET_RULE`{A,B}={B,A}`;SET_RULE`{B,A}={C,A}<=> B=C`;SET_RULE`{B,A}={A,C}<=> B=C`;cstab;GSYM ADD1;h0;REAL_ARITH`&2<= &2`;cstab;sqrt8]
1570 THEN RESA_TAC
1571 THEN RESA_TAC
1572 THEN MRESAL_TAC REAL_LE_RSQRT [`&2`;`&8`][REAL_ARITH`&0<= &8/\ &0<= &8 /\ &2 pow 2<= &8`]
1573 THEN MRESAL_TAC REAL_LE_LSQRT [`&8`;`#3.01`][REAL_ARITH`&0<= &8/\ &0<= #3.01 /\ &8<= #3.01 pow 2`]
1574 THEN REAL_ARITH_TAC;
1575
1576 SET_TAC[]
1577 ]);;
1578   (* }}} *)
1579
1580
1581
1582
1583
1584
1585
1586 let stable_sy_explicit = prove_by_refinement(
1587  `!k d s a b J f. stable_system k d s a b J f ==> k_sy (stable_sy (k,d,s, a,b,J,f)) =  k/\
1588 d_sy (stable_sy (k,d,s, a,b,J,f)) =  d /\
1589 a_sy (stable_sy (k,d,s, a,b,J,f)) =  a /\
1590 b_sy (stable_sy (k,d,s, a,b,J,f)) =  b /\
1591 J_SY (stable_sy (k,d,s, a,b,J,f)) =  J /\
1592 I_SY (stable_sy (k,d,s, a,b,J,f)) =  s /\
1593 f_sy (stable_sy (k,d,s, a,b,J,f)) =  f `,
1594   (* {{{ proof *)
1595   [   REWRITE_TAC[k_sy;d_sy;a_sy;b_sy;J_SY;I_SY;f_sy;stable_sy_tybij;]
1596 THEN MP_TAC stable_sy_tybij
1597 THEN STRIP_TAC
1598 THEN REPEAT GEN_TAC
1599 THEN STRIP_TAC
1600 THEN POP_ASSUM(fun th->
1601 POP_ASSUM (fun th1-> ASSUME_TAC th THEN MRESA1_TAC th1`(k,d,s,a,b,J,f):(num#real#(num->bool)#(num#num->real)#(num#num->real)#((num->bool)->bool)#(num->num))`))
1602 ]);;
1603   (* }}} *)
1604
1605
1606
1607
1608
1609
1610 let SCS_K_LT_2= prove_by_refinement(
1611 `MEM s s_init_list_v39
1612 ==> 2< scs_k_v39 s`,
1613   (* {{{ proof *)
1614   [
1615 REWRITE_TAC[s_init_list_v39;JEJTVGB_assume_v39;GSYM IN_SET_OF_LIST;taustar_v39;set_of_list;LET_DEF;LET_END_DEF
1616 ;SET_RULE`A IN {A1,A2,A3,A4,A5,A6,A7,A8} <=> A= A1 \/ A= A2 \/  A= A3 \/ A= A4 \/ A= A5 \/ A= A6 \/ A= A7 \/ A= A8`]
1617 THEN REPEAT STRIP_TAC
1618 THEN ASM_REWRITE_TAC[LET_DEF;LET_END_DEF;mk_unadorned_v39;scs_k_v39_explicit]
1619 THEN ARITH_TAC
1620 ]);;
1621   (* }}} *)
1622
1623
1624
1625
1626
1627
1628
1629
1630
1631
1632
1633
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1635
1636
1637
1638
1639
1640
1641
1642
1643
1644
1645
1646
1647
1648
1649
1650 let VECTOR_3_3=prove(`!x y z. 1<= dimindex(:M)/\ 2<= dimindex(:M) /\ 3<= dimindex(:M) ==> (row 1 (vector[x;y;z:real^3]:real^3^M)) = x
1651 /\ (row 2 (vector[x;y;z:real^3]:real^3^M)) = y
1652 /\ (row 3 (vector[x;y;z:real^3]:real^3^M)) = z
1653 `,
1654 REPEAT STRIP_TAC
1655 THEN ASM_SIMP_TAC[row;vector; LAMBDA_BETA; DIMINDEX_3; LENGTH; ARITH] THEN
1656 REWRITE_TAC[num_CONV `2`; num_CONV `1`; EL; HD; TL]
1657 THEN VECTOR_ARITH_TAC);;
1658
1659
1660
1661
1662 let ROW_IN_BALL_ANNULUS_3=
1663 fun (th:term)->
1664 ASM_SIMP_TAC[]
1665 THEN MRESAL_TAC VECTOR_3_3[`(vv:num->real^3) 1`;`(vv:num->real^3) 2`;`(vv:num->real^3) 0`;][ARITH_RULE`1<=3/\ 2<=3/\ 3<=3`]
1666 THEN MATCH_MP_TAC(SET_RULE`
1667 vv th IN  IMAGE vv (:num) /\ IMAGE vv (:num) SUBSET ball_annulus
1668 ==> vv th IN ball_annulus`)
1669 THEN ASM_REWRITE_TAC[IMAGE;IN_ELIM_THM]
1670 THEN EXISTS_TAC th
1671 THEN REWRITE_TAC[SET_RULE`(a:num) IN(:num)`]
1672 ;;
1673
1674 let INEQUALITY_A_B_SCS_TAC_30=
1675 fun (so:term) (so1:term)->
1676 ASM_SIMP_TAC[change_type_v3]
1677 THEN MRESAL_TAC VECTOR_3_3[`(vv:num->real^3) 1`;`(vv:num->real^3) 2`;`(vv:num->real^3) 0`][ARITH_RULE`1<=3/\ 2<=3/\ 3<=3/\ 1 MOD 3=1/\ 2 MOD 3=2 /\ ~(1=2) /\ SUC 1 MOD 3=2/\  SUC 2 MOD 3=0`]
1678 THEN REPLICATE_TAC 10 (POP_ASSUM MP_TAC)
1679 THEN POP_ASSUM(fun th-> MRESAL_TAC th[so;so1][dist;ARITH_RULE`1<=3/\ 2<=3/\ 3<=3/\ 1 MOD 3=1/\ 2 MOD 3=2 /\ ~(1=2) /\ SUC 1 MOD 3=2/\  SUC 2 MOD 3=0/\ 0 MOD 3=0/\ ~(1=0)/\ SUC 0 MOD 3=1 /\ ~(2=1) /\ 3 MOD 3=0 /\ SUC 3 MOD 3=1/\ ~(2=0)`]);;
1680
1681 let  INEQUALITY_A_B_SCS_TAC_3=
1682 fun (th:term)->
1683 MP_TAC(ARITH_RULE`1<= i /\ i<= 3==> i=1\/ i=2\/ i=3`)
1684 THEN RESA_TAC
1685 THENL[
1686 INEQUALITY_A_B_SCS_TAC_30 `1` th;
1687 INEQUALITY_A_B_SCS_TAC_30 `2` th;
1688 INEQUALITY_A_B_SCS_TAC_30 `0` th];;
1689
1690
1691
1692
1693
1694 let IN_NOT_EMPTY_CASE_3=prove_by_refinement(
1695 `(s=let upperbd = &6 in
1696   let a_pro = (\k p a1 a2 i j. (if (i MOD k = j MOD k) then &0
1697                                 else (if {i MOD k,j MOD k}={0,1} then p
1698                                       else (if (j MOD k = SUC i MOD k) \/ (SUC j MOD k = i MOD k) then a1 else a2)))) in
1699          mk_unadorned_v39 3 (d_tame 3) (cs_adj 3 (&2) (&2 * h0)) (cs_adj 3 (&2 * h0) upperbd))
1700 /\ vv IN BBs_v39 s
1701 /\ scs_k_v39 s= dimindex(:M)
1702 /\ vector[(vv:num->real^3) 1;(vv:num->real^3) 2;(vv:num->real^3) 0]:real^3^M
1703 =v
1704 /\ matvec (v:real^3^M) =a
1705 ==>
1706 a IN {matvec(v:real^3^M) | (!i. 1<=i /\  i <= dimindex(:M)==> row i v IN ball_annulus) /\  CONDITION1_SY (change_type_v3 (scs_a_v39 s)) (change_type_v3 (scs_b_v39 s)) v  }`,
1707   (* {{{ proof *)
1708 [
1709
1710 REWRITE_TAC[SET_RULE`~(A={})<=> (?a. a IN A)`;IN_ELIM_THM;CONDITION1_SY]
1711 THEN REPEAT STRIP_TAC
1712 THEN REPLICATE_TAC 4 (POP_ASSUM MP_TAC)
1713 THEN ASM_REWRITE_TAC[scs_k_v39_explicit;scs_a_v39_explicit;scs_b_v39_explicit;LET_DEF;LET_END_DEF;BBs_v39;ARITH_RULE`3<=3`;mk_unadorned_v39;CS_ADJ]
1714 THEN GEN_REWRITE_TAC(LAND_CONV  o DEPTH_CONV)[IN]
1715 THEN ASM_REWRITE_TAC[scs_k_v39_explicit;scs_a_v39_explicit;scs_b_v39_explicit;BBs_v39;ARITH_RULE`3<=3`;LET_DEF;LET_END_DEF;]
1716 THEN REPEAT STRIP_TAC
1717 THEN EXISTS_TAC`v:real^3^M`
1718 THEN ASM_REWRITE_TAC[]
1719 THEN STRIP_TAC;
1720
1721 REPLICATE_TAC 2 (POP_ASSUM MP_TAC)
1722 THEN POP_ASSUM(fun th-> REWRITE_TAC[SYM th;ARITH_RULE`(1<= i /\ i<= 3)<=> (i=1\/ i=2\/ i=3)`] THEN ASSUME_TAC (SYM th))
1723 THEN REPEAT STRIP_TAC
1724 THENL[
1725 ROW_IN_BALL_ANNULUS_3 `1`;
1726 ROW_IN_BALL_ANNULUS_3 `2`;
1727 ROW_IN_BALL_ANNULUS_3 `0`];
1728
1729 REPLICATE_TAC 2 (POP_ASSUM MP_TAC)
1730 THEN POP_ASSUM(fun th-> REWRITE_TAC[SYM th;ARITH_RULE`(1<= i /\ i<= 3)<=> (i=1\/ i=2\/ i=3)`] THEN ASSUME_TAC (SYM th))
1731 THEN REPEAT DISCH_TAC
1732 THEN REPEAT GEN_TAC
1733 THEN STRIP_TAC
1734 THENL[
1735 INEQUALITY_A_B_SCS_TAC_3 `1` ;
1736 INEQUALITY_A_B_SCS_TAC_3 `2` ;
1737 INEQUALITY_A_B_SCS_TAC_3 `0` ];
1738 ]);;
1739   (* }}} *)
1740
1741
1742 let NOT_EMPTY_CASE_3=prove_by_refinement(
1743 `(s=let upperbd = &6 in
1744   let a_pro = (\k p a1 a2 i j. (if (i MOD k = j MOD k) then &0
1745                                 else (if {i MOD k,j MOD k}={0,1} then p
1746                                       else (if (j MOD k = SUC i MOD k) \/ (SUC j MOD k = i MOD k) then a1 else a2)))) in
1747          mk_unadorned_v39 3 (d_tame 3) (cs_adj 3 (&2) (&2 * h0)) (cs_adj 3 (&2 * h0) upperbd))
1748 /\ vv IN BBs_v39 s
1749 /\ scs_k_v39 s= dimindex(:M)
1750 ==>
1751 ~({matvec(v:real^3^M) | (!i. 1<=i /\  i <= dimindex(:M)==> row i v IN ball_annulus) /\  CONDITION1_SY (change_type_v3 (scs_a_v39 s)) (change_type_v3 (scs_b_v39 s)) v }={})`
1752 ,
1753   (* {{{ proof *)
1754 [
1755 REWRITE_TAC[SET_RULE`~(A={})<=> (?a. a IN A)`;]
1756 THEN STRIP_TAC
1757 THEN ABBREV_TAC`v=vector[(vv:num->real^3) 1;(vv:num->real^3) 2;(vv:num->real^3) 0]:real^3^M`
1758 THEN ABBREV_TAC`a=matvec (v:real^3^M) `
1759 THEN EXISTS_TAC`a:real^(M,3)finite_product`
1760 THEN MATCH_MP_TAC IN_NOT_EMPTY_CASE_3
1761 THEN ASM_REWRITE_TAC[]
1762 ]);;
1763   (* }}} *)
1764
1765
1766
1767 let SCS_A_B__EQ_MOD_3=prove(
1768 `(s=let upperbd = &6 in
1769   let a_pro = (\k p a1 a2 i j. (if (i MOD k = j MOD k) then &0
1770                                 else (if {i MOD k,j MOD k}={0,1} then p
1771                                       else (if (j MOD k = SUC i MOD k) \/ (SUC j MOD k = i MOD k) then a1 else a2)))) in
1772          mk_unadorned_v39 3 (d_tame 3) (cs_adj 3 (&2) (&2 * h0)) (cs_adj 3 (&2 * h0) upperbd))
1773 ==>
1774 !i j. scs_a_v39 s i j = scs_a_v39 s (i MOD 3) (j MOD 3)/\
1775  scs_b_v39 s i j = scs_b_v39 s (i MOD 3) (j MOD 3)`,
1776 REPEAT STRIP_TAC
1777 THEN ASM_REWRITE_TAC[scs_k_v39_explicit;scs_d_v39_explicit;scs_a_v39_explicit;scs_b_v39_explicit;BBs_v39;ARITH_RULE`3<=3`;LET_DEF;LET_END_DEF;ARITH_RULE`~(4<=3)`;IN;mk_unadorned_v39;CS_ADJ]
1778 THEN MRESAL_TAC MOD_MOD_REFL[`i:num`;`3`][ARITH_RULE`~(3=0)`]
1779 THEN MRESAL_TAC MOD_MOD_REFL[`j:num`;`3`][ARITH_RULE`~(3=0)`]
1780 THEN MRESAL_TAC MOD_ADD_MOD[`j:num`;`1:num`;`3`][ARITH_RULE`~(3=0) /\ 1 MOD 3=1`;ADD1]
1781 THEN MRESAL_TAC MOD_ADD_MOD[`i:num`;`1:num`;`3`][ARITH_RULE`~(3=0) /\ 1 MOD 3=1`;ADD1]);;
1782
1783
1784
1785
1786
1787
1788
1789 let VV_IN_BALL_ANNULUS_TAC_3=
1790 fun (so:term)->
1791 REPLICATE_TAC 7 (POP_ASSUM MP_TAC)
1792 THEN POP_ASSUM(fun th-> MRESAL1_TAC th so [ARITH_RULE`1<=1 /\ 1<=2 /\1<=3 /\ 1<= 4/\ 1<=3 /\ 2<=3/\ 3<=3/\ 4<=4/\ ~(1=0)/\ ~(2=0) /\ ~(3=0)/\ ~(2=1)/\ ~(3=1)/\ ~(3=2) `] )
1793 ;;
1794
1795 let PROVE_INEQUALITY_TAC_30=
1796 fun (so:term) (so1:term)->
1797 REPLICATE_TAC 6(POP_ASSUM MP_TAC)
1798 THEN POP_ASSUM(fun th-> MRESAL_TAC th[so;so1][ARITH_RULE`1<=3 /\ 3<=3/\ 1<=1 /\ 1<=3/\ 1<=2 /\ 2<=3/\1<=3 /\ 3<=4`])
1799 THEN POP_ASSUM( fun th->
1800 POP_ASSUM( fun th1->
1801 REPEAT DISCH_TAC
1802 THEN MP_TAC th THEN MP_TAC th1
1803 THEN POP_ASSUM(fun th2-> ONCE_REWRITE_TAC[th2]
1804 THEN POP_ASSUM(fun th3-> MRESAL1_TAC th3`3`[ARITH_RULE`3 MOD 3=0`]
1805 THEN MRESAL1_TAC th3`1`[ARITH_RULE`1 MOD 3=1/\ ~(1=0)`]
1806 THEN MRESAL1_TAC th3`2`[ARITH_RULE`2 MOD 3=2/\ ~(2=0)/\ ~(2=1)`])
1807 THEN MRESAL1_TAC th2`3`[ARITH_RULE`3 MOD 3=0`])
1808 ))
1809 THEN MP_TAC SCS_A_B__EQ_MOD_3
1810 THEN ASM_REWRITE_TAC[]
1811 THEN STRIP_TAC
1812 THEN POP_ASSUM(fun th-> ONCE_REWRITE_TAC[th])
1813 THEN ASM_REWRITE_TAC[ARITH_RULE`3 MOD 3=0/\ 1 MOD 3=1/\ 2 MOD 3=2 /\ 3 MOD 4=3`]
1814 THEN RESA_TAC
1815 THEN RESA_TAC
1816 ;;
1817
1818
1819 let PROVE_INEQUALITY_TAC_3=
1820 fun (th:term)->
1821 MP_TAC(ARITH_RULE`(j MOD 3<3)==> (j MOD 3=0) \/ (j MOD 3=1) \/ (j MOD 3=2)`)
1822 THEN RESA_TAC
1823 THENL[
1824 PROVE_INEQUALITY_TAC_30  th `3`;
1825 PROVE_INEQUALITY_TAC_30 th `1`;
1826 PROVE_INEQUALITY_TAC_30  th `2`];;
1827
1828
1829 let  IN_NOT_EMPTY_B1_SY_3=prove_by_refinement(
1830 `(let upperbd = &6 in
1831   let a_pro = (\k p a1 a2 i j. (if (i MOD k = j MOD k) then &0
1832                                 else (if {i MOD k,j MOD k}={0,1} then p
1833                                       else (if (j MOD k = SUC i MOD k) \/ (SUC j MOD k = i MOD k) then a1 else a2)))) in
1834          mk_unadorned_v39 3 (d_tame 3) (cs_adj 3 (&2) (&2 * h0)) (cs_adj 3 (&2 * h0) upperbd))=s
1835 /\
1836  scs_k_v39 s= dimindex(:M)/\
1837  matvec (v:real^3^M) =a/\
1838 (!i. 1<=i /\  i <= dimindex(:M)==> row i v IN ball_annulus) /\
1839  CONDITION1_SY (change_type_v3 (scs_a_v39 s)) (change_type_v3 (scs_b_v39 s)) v /\ (!i. vv i =
1840 if i MOD scs_k_v39 s = 0 then row 3 v else
1841 if i MOD scs_k_v39 s = 1 then row 1 v else
1842 row 2 v)
1843 ==> vv IN BBs_v39 s`,
1844   (* {{{ proof *)
1845 [
1846
1847 REWRITE_TAC[CONDITION1_SY;CONDITION2_SY;change_type_v3]
1848 THEN REPEAT STRIP_TAC
1849 THEN SUBGOAL_THEN`scs_k_v39 s =3` ASSUME_TAC;
1850
1851 EXPAND_TAC"s"
1852 THEN REWRITE_TAC[scs_k_v39_explicit;scs_d_v39_explicit;scs_a_v39_explicit;scs_b_v39_explicit;BBs_v39;ARITH_RULE`3<=3`;LET_DEF;LET_END_DEF;ARITH_RULE`~(4<=3)`;IN;mk_unadorned_v39;];
1853
1854 ASM_REWRITE_TAC[ARITH_RULE`3<=3`]
1855 THEN
1856 POP_ASSUM (fun th->
1857 REPLICATE_TAC 4 (POP_ASSUM MP_TAC)
1858 THEN POP_ASSUM(fun th1-> ASSUME_TAC(SYM th1))
1859 THEN ASSUME_TAC th
1860 THEN REPEAT STRIP_TAC)
1861 THEN POP_ASSUM MP_TAC
1862 THEN ASM_REWRITE_TAC[th;IN]
1863 THEN STRIP_TAC
1864 THEN REWRITE_TAC[scs_k_v39_explicit;scs_d_v39_explicit;scs_a_v39_explicit;scs_b_v39_explicit;BBs_v39;ARITH_RULE`3<=3`;LET_DEF;LET_END_DEF;ARITH_RULE`~(4<=3)`;IN;mk_unadorned_v39;]
1865 THEN STRIP_TAC;
1866
1867 ASM_REWRITE_TAC[IMAGE;SUBSET;IN_ELIM_THM]
1868 THEN REPEAT STRIP_TAC
1869 THEN ASM_REWRITE_TAC[]
1870 THEN MRESAL_TAC DIVISION[`x':num`;`3`][ARITH_RULE`~(3=0)`]
1871 THEN MP_TAC(ARITH_RULE`x' MOD 3<3 ==> x' MOD 3 = 0 \/ x' MOD 3 = 1 \/ x' MOD 3 = 2`)
1872 THEN RESA_TAC
1873 THENL[
1874 VV_IN_BALL_ANNULUS_TAC_3 `3`;
1875 VV_IN_BALL_ANNULUS_TAC_3 `1`;
1876 VV_IN_BALL_ANNULUS_TAC_3 `2`;];
1877
1878 STRIP_TAC;
1879
1880 ASM_REWRITE_TAC[periodic]
1881 THEN GEN_TAC
1882 THEN MRESAL_TAC MOD_EQ[`i+3:num`;`i:num`;`3:num`;`1`][ARITH_RULE`1*A=A`];
1883
1884 STRIP_TAC;
1885
1886 REWRITE_TAC[dist]
1887 THEN REPEAT GEN_TAC
1888 THEN SUBGOAL_THEN`!i. (vv:num->real^3) i= vv (i MOD 3)` ASSUME_TAC;
1889
1890 POP_ASSUM(fun th-> ONCE_REWRITE_TAC[th])
1891 THEN GEN_TAC
1892 THEN MRESAL_TAC MOD_MOD_REFL[`i:num`;`3`][ARITH_RULE`~(3=0)`];
1893
1894 POP_ASSUM MP_TAC
1895 THEN POP_ASSUM MP_TAC
1896 THEN MRESAL_TAC DIVISION[`i:num`;`3`][ARITH_RULE`~(3=0)`]
1897 THEN MRESAL_TAC DIVISION[`j:num`;`3`][ARITH_RULE`~(3=0)`]
1898 THEN MP_TAC(ARITH_RULE`(i MOD 3<3)==> (i MOD 3=0) \/ (i MOD 3=1) \/ (i MOD 3=2)`)
1899 THEN RESA_TAC
1900 THENL[
1901 PROVE_INEQUALITY_TAC_3 `3`;
1902 PROVE_INEQUALITY_TAC_3 `1`;
1903 PROVE_INEQUALITY_TAC_3 `2`;];
1904
1905 ASM_REWRITE_TAC[ARITH_RULE`3<=3`];
1906 ]);;
1907   (* }}} *)
1908
1909
1910
1911
1912
1913 let TRI_STABLE_K_EQ_3=prove(`tri_stable k (d:real) (0..k-1) a b J (\i. ((1+i):num MOD k))
1914 ==> k=3/\ 2<k`,
1915 SIMP_TAC[tri_stable;ARITH_RULE`2<3`])
1916 ;;
1917
1918
1919
1920
1921
1922 let POINT_IN_BBS_IS_NOT_0_3=prove_by_refinement(
1923 `(s=let upperbd = &6 in
1924   let a_pro = (\k p a1 a2 i j. (if (i MOD k = j MOD k) then &0
1925                                 else (if {i MOD k,j MOD k}={0,1} then p
1926                                       else (if (j MOD k = SUC i MOD k) \/ (SUC j MOD k = i MOD k) then a1 else a2)))) in
1927          mk_unadorned_v39 3 (d_tame 3) (cs_adj 3 (&2) (&2 * h0)) (cs_adj 3 (&2 * h0) upperbd))
1928 /\ vv IN BBs_v39 s
1929 ==> ~(vv 1= vec 0)/\  ~(vv 2= vec 0) /\ ~(vv 0= vec 0)`,
1930   (* {{{ proof *)
1931 [
1932 REWRITE_TAC[IN]
1933 THEN STRIP_TAC
1934 THEN POP_ASSUM MP_TAC
1935 THEN ASM_REWRITE_TAC[scs_k_v39_explicit;scs_a_v39_explicit;scs_b_v39_explicit;LET_DEF;LET_END_DEF;BBs_v39;ARITH_RULE`3<=3`;mk_unadorned_v39;CS_ADJ;IMAGE;SUBSET;IN_ELIM_THM]
1936 THEN STRIP_TAC
1937 THEN REMOVE_ASSUM_TAC
1938 THEN REMOVE_ASSUM_TAC
1939 THEN SUBGOAL_THEN`(?x. x IN (:num) /\ vv 0 = (vv:num->real^3) x)`ASSUME_TAC;
1940
1941 EXISTS_TAC`0`
1942 THEN ASM_REWRITE_TAC[SET_RULE`(a:num)IN (:num)`];
1943
1944 SUBGOAL_THEN`(?x. x IN (:num) /\ vv 1 = (vv:num->real^3) x)`ASSUME_TAC;
1945
1946 EXISTS_TAC`1`
1947 THEN ASM_REWRITE_TAC[SET_RULE`(a:num)IN (:num)`];
1948
1949 SUBGOAL_THEN`(?x. x IN (:num) /\ vv 2 = (vv:num->real^3) x)`ASSUME_TAC;
1950
1951 EXISTS_TAC`2`
1952 THEN ASM_REWRITE_TAC[SET_RULE`(a:num)IN (:num)`];
1953
1954 REPLICATE_TAC 3(POP_ASSUM MP_TAC)
1955 THEN POP_ASSUM(fun th-> REPEAT DISCH_TAC
1956 THEN MRESAL1_TAC th`(vv:num->real^3) 0`[ball_annulus;IN_ELIM_THM;DIFF;ball]
1957 THEN MRESAL1_TAC th`(vv:num->real^3) 1`[ball_annulus;IN_ELIM_THM;DIFF;ball]
1958 THEN MRESAL1_TAC th`(vv:num->real^3) 2`[ball_annulus;IN_ELIM_THM;DIFF;ball;])
1959 THEN STRIP_TAC;
1960
1961 STRIP_TAC
1962 THEN POP_ASSUM(fun th-> ASM_TAC
1963 THEN REWRITE_TAC[th;DIST_REFL;REAL_ARITH`(&0< &2)`]);
1964 STRIP_TAC;
1965 STRIP_TAC
1966 THEN POP_ASSUM(fun th-> ASM_TAC
1967 THEN REWRITE_TAC[th;DIST_REFL;REAL_ARITH`(&0< &2)`]);
1968 STRIP_TAC
1969 THEN POP_ASSUM(fun th-> ASM_TAC
1970 THEN REWRITE_TAC[th;DIST_REFL;REAL_ARITH`(&0< &2)`])
1971 ]);;
1972   (* }}} *)
1973
1974
1975
1976
1977 let NOT_COLLINEAR_BBs_CASE_3=prove_by_refinement(
1978 `(let upperbd = &6 in
1979   let a_pro = (\k p a1 a2 i j. (if (i MOD k = j MOD k) then &0
1980                                 else (if {i MOD k,j MOD k}={0,1} then p
1981                                       else (if (j MOD k = SUC i MOD k) \/ (SUC j MOD k = i MOD k) then a1 else a2)))) in
1982          mk_unadorned_v39 3 (d_tame 3) (cs_adj 3 (&2) (&2 * h0)) (cs_adj 3 (&2 * h0) upperbd))=s
1983 /\ vv IN BBs_v39 s
1984 ==> ~collinear{vec 0, vv 1 ,vv 2}/\
1985  ~collinear{vec 0, vv 1 ,vv 0}/\
1986  ~collinear{vec 0, vv 2 ,vv 0}`
1987 ,
1988   (* {{{ proof *)
1989 [
1990
1991 REWRITE_TAC[Local_lemmas.collinear_fan22;aff;AFFINE_HULL_2;IN_ELIM_THM;
1992 VECTOR_ARITH`A % vec 0+B=B`]
1993 THEN STRIP_TAC
1994 THEN MP_TAC POINT_IN_BBS_IS_NOT_0_3
1995 THEN RESA_TAC
1996 THEN ASM_TAC
1997 THEN REWRITE_TAC[IN]
1998 THEN STRIP_TAC
1999 THEN ASM_REWRITE_TAC[scs_k_v39_explicit;scs_a_v39_explicit;scs_b_v39_explicit;LET_DEF;LET_END_DEF;BBs_v39;ARITH_RULE`3<=3`;mk_unadorned_v39;CS_ADJ]
2000 THEN SUBGOAL_THEN`scs_k_v39 s =3` ASSUME_TAC;
2001
2002 EXPAND_TAC"s"
2003 THEN REWRITE_TAC[scs_k_v39_explicit;scs_d_v39_explicit;scs_a_v39_explicit;scs_b_v39_explicit;BBs_v39;ARITH_RULE`3<=3`;LET_DEF;LET_END_DEF;ARITH_RULE`~(4<=3)`;IN;mk_unadorned_v39;];
2004
2005
2006 ASM_REWRITE_TAC[ARITH_RULE`3<=3`]
2007 THEN POP_ASSUM(fun th->
2008 STRIP_TAC
2009 THEN ASSUME_TAC th)
2010 THEN REPEAT DISCH_TAC
2011 THEN REPEAT STRIP_TAC;
2012
2013
2014 REPLICATE_TAC 6 (POP_ASSUM MP_TAC)
2015 THEN POP_ASSUM(fun th-> REPEAT STRIP_TAC
2016 THEN MRESA_TAC th[`1`;`2`])
2017 THEN POP_ASSUM MP_TAC
2018 THEN POP_ASSUM MP_TAC
2019 THEN EXPAND_TAC"s"
2020 THEN REWRITE_TAC[scs_k_v39_explicit;scs_a_v39_explicit;scs_b_v39_explicit;LET_DEF;LET_END_DEF;BBs_v39;ARITH_RULE`3<=3`;mk_unadorned_v39;CS_ADJ;
2021 ARITH_RULE`1 MOD 3 =1 /\ 2 MOD 3=2/\ ~(1=2) /\ SUC 1=2 /\ SUC 2=3/\ 3 MOD 3=0`;dist;VECTOR_ARITH`A- B%A=(&1-B)%A`;NORM_MUL]
2022 THEN REPLICATE_TAC 7(POP_ASSUM MP_TAC)
2023 THEN POP_ASSUM(fun th-> REPEAT STRIP_TAC
2024 THEN MP_TAC th)
2025 THEN SUBGOAL_THEN`(?x. x IN (:num) /\ vv 1 = (vv:num->real^3) x)`ASSUME_TAC;
2026
2027
2028 EXISTS_TAC`1`
2029 THEN ASM_REWRITE_TAC[SET_RULE`(a:num)IN (:num)`];
2030
2031 SUBGOAL_THEN`(?x. x IN (:num) /\ vv 2 = (vv:num->real^3) x)`ASSUME_TAC;
2032
2033
2034 EXISTS_TAC`2`
2035 THEN ASM_REWRITE_TAC[SET_RULE`(a:num)IN (:num)`];
2036
2037
2038 REWRITE_TAC[IMAGE;SUBSET;IN_ELIM_THM]
2039 THEN STRIP_TAC
2040 THEN POP_ASSUM(fun th->  MRESAL1_TAC th`(vv:num->real^3) 2`[ball_annulus;IN_ELIM_THM;DIFF;cball;ball;dist;VECTOR_ARITH`vec 0- B= --B`;NORM_NEG;NORM_MUL;REAL_ARITH`~(a<b) <=> b<=a`]
2041 THEN MRESAL1_TAC th`(vv:num->real^3) 1`[ball_annulus;IN_ELIM_THM;DIFF;cball;ball;dist;VECTOR_ARITH`vec 0- B= --B`;NORM_NEG;NORM_MUL;REAL_ARITH`~(a<b) <=> b<=a`])
2042 THEN MP_TAC(REAL_ARITH`&0<= &1-v\/ &0<= --( &1-v)`)
2043 THEN STRIP_TAC
2044 ;
2045
2046
2047  MP_TAC(REAL_ARITH`&0<= v\/ &0<= --( v)`)
2048 THEN STRIP_TAC
2049 ;
2050
2051
2052 MRESA1_TAC Trigonometry2.ABS_REFL `v:real`
2053 THEN MRESA1_TAC Trigonometry2.ABS_REFL `&1- v:real`
2054 THEN POP_ASSUM(fun th-> ASM_TAC
2055 THEN REWRITE_TAC[th]
2056 THEN REPEAT STRIP_TAC)
2057 THEN POP_ASSUM(fun th-> ASM_TAC
2058 THEN REWRITE_TAC[th]
2059 THEN REPEAT STRIP_TAC)
2060 THEN MP_TAC(REAL_ARITH`&2 <= (&1 - v) * norm (vv 1)
2061 /\ &2 <= v * norm (vv 1) ==> &4<= norm ((vv:num->real^3) 1)`)
2062 THEN REPLICATE_TAC 5(POP_ASSUM MP_TAC)
2063 THEN ASM_REWRITE_TAC[h0]
2064 THEN REAL_ARITH_TAC
2065
2066 ;
2067
2068
2069
2070
2071 MRESAL1_TAC Trigonometry2.ABS_REFL `-- v:real`[REAL_ABS_NEG]
2072 THEN MRESA1_TAC Trigonometry2.ABS_REFL `&1- v:real`
2073 THEN POP_ASSUM(fun th-> ASM_TAC
2074 THEN REWRITE_TAC[th]
2075 THEN REPEAT STRIP_TAC)
2076 THEN POP_ASSUM(fun th-> ASM_TAC
2077 THEN REWRITE_TAC[th; ]
2078 THEN REPEAT STRIP_TAC)
2079 THEN MP_TAC(REAL_ARITH`&2 <= --v * norm (vv 1)
2080 /\ &2 <= norm (vv 1) ==> &4<=(&1- v) *norm ((vv:num->real^3) 1)`)
2081 THEN ASM_REWRITE_TAC[]
2082 THEN REPLICATE_TAC 10(POP_ASSUM MP_TAC)
2083 THEN POP_ASSUM (fun th-> REPEAT STRIP_TAC
2084 THEN MP_TAC th)
2085 THEN POP_ASSUM MP_TAC
2086 THEN ASM_REWRITE_TAC[h0]
2087 THEN REAL_ARITH_TAC
2088 ;
2089
2090
2091  MP_TAC(REAL_ARITH`&0<= v\/ &0<= --( v)`)
2092 THEN STRIP_TAC
2093 ;
2094
2095
2096 MRESAL1_TAC Trigonometry2.ABS_REFL ` v:real`[REAL_ABS_NEG]
2097 THEN MRESAL1_TAC Trigonometry2.ABS_REFL `--(&1- v):real` [REAL_ABS_NEG]
2098 THEN POP_ASSUM(fun th-> ASM_TAC
2099 THEN REWRITE_TAC[th]
2100 THEN REPEAT STRIP_TAC)
2101 THEN POP_ASSUM(fun th-> ASM_TAC
2102 THEN REWRITE_TAC[th; ]
2103 THEN REPEAT STRIP_TAC)
2104 THEN MP_TAC(REAL_ARITH`&2 <=   norm (vv 1)
2105 /\ &2 <= --(&1 - v) * norm (vv 1) ==> &4<= v *norm ((vv:num->real^3) 1)`)
2106 THEN ASM_REWRITE_TAC[]
2107 THEN REPLICATE_TAC 5(POP_ASSUM MP_TAC)
2108 THEN POP_ASSUM (fun th-> REPEAT STRIP_TAC
2109 THEN MP_TAC th)
2110 THEN POP_ASSUM MP_TAC
2111 THEN ASM_REWRITE_TAC[h0]
2112 THEN REAL_ARITH_TAC
2113 ;
2114
2115
2116 MRESAL1_TAC Trigonometry2.ABS_REFL ` --v:real`[REAL_ABS_NEG]
2117 THEN MRESAL1_TAC Trigonometry2.ABS_REFL `--(&1- v):real` [REAL_ABS_NEG]
2118 THEN POP_ASSUM(fun th-> ASM_TAC
2119 THEN REWRITE_TAC[th]
2120 THEN REPEAT STRIP_TAC)
2121 THEN POP_ASSUM(fun th-> ASM_TAC
2122 THEN REWRITE_TAC[th; ]
2123 THEN REPEAT STRIP_TAC)
2124 THEN MP_TAC(REAL_ARITH`&2 <=   norm (vv 1)
2125 /\ &2 <= --v * norm (vv 1) ==> &4<= (&1-v) *norm ((vv:num->real^3) 1)`)
2126 THEN ASM_REWRITE_TAC[]
2127 THEN REPLICATE_TAC 11(POP_ASSUM MP_TAC)
2128 THEN POP_ASSUM (fun th-> REPEAT STRIP_TAC
2129 THEN MP_TAC th)
2130 THEN POP_ASSUM MP_TAC
2131 THEN ASM_REWRITE_TAC[h0]
2132 THEN REAL_ARITH_TAC;
2133
2134
2135 REPLICATE_TAC 6 (POP_ASSUM MP_TAC)
2136 THEN POP_ASSUM(fun th-> REPEAT STRIP_TAC
2137 THEN MRESA_TAC th[`0`;`1`])
2138 THEN POP_ASSUM MP_TAC
2139 THEN POP_ASSUM MP_TAC
2140 THEN EXPAND_TAC"s"
2141 THEN REWRITE_TAC[scs_k_v39_explicit;scs_a_v39_explicit;scs_b_v39_explicit;LET_DEF;LET_END_DEF;BBs_v39;ARITH_RULE`3<=3`;mk_unadorned_v39;CS_ADJ;
2142 ARITH_RULE`1 MOD 3 =1 /\ 2 MOD 3=2/\ ~(1=2) /\ SUC 1=2 /\ SUC 2=3/\ 3 MOD 3=0/\ 0 MOD 3=0/\ SUC 0=1/\ ~(0=1)`;dist;VECTOR_ARITH`B%A-A= --((&1-B)%A)`;NORM_MUL;NORM_NEG]
2143 THEN REPLICATE_TAC 7(POP_ASSUM MP_TAC)
2144 THEN POP_ASSUM(fun th-> REPEAT STRIP_TAC
2145 THEN MP_TAC th)
2146 THEN SUBGOAL_THEN`(?x. x IN (:num) /\ vv 1 = (vv:num->real^3) x)`ASSUME_TAC;
2147
2148
2149 EXISTS_TAC`1`
2150 THEN ASM_REWRITE_TAC[SET_RULE`(a:num)IN (:num)`];
2151
2152 SUBGOAL_THEN`(?x. x IN (:num) /\ vv 0 = (vv:num->real^3) x)`ASSUME_TAC;
2153
2154
2155 EXISTS_TAC`0`
2156 THEN ASM_REWRITE_TAC[SET_RULE`(a:num)IN (:num)`];
2157
2158
2159 REWRITE_TAC[IMAGE;SUBSET;IN_ELIM_THM]
2160 THEN STRIP_TAC
2161 THEN POP_ASSUM(fun th->  MRESAL1_TAC th`(vv:num->real^3) 0`[ball_annulus;IN_ELIM_THM;DIFF;cball;ball;dist;VECTOR_ARITH`vec 0- B= --B`;NORM_NEG;NORM_MUL;REAL_ARITH`~(a<b) <=> b<=a`]
2162 THEN MRESAL1_TAC th`(vv:num->real^3) 1`[ball_annulus;IN_ELIM_THM;DIFF;cball;ball;dist;VECTOR_ARITH`vec 0- B= --B`;NORM_NEG;NORM_MUL;REAL_ARITH`~(a<b) <=> b<=a`])
2163 THEN MP_TAC(REAL_ARITH`&0<= &1-v\/ &0<= --( &1-v)`)
2164 THEN STRIP_TAC
2165 ;
2166
2167
2168  MP_TAC(REAL_ARITH`&0<= v\/ &0<= --( v)`)
2169 THEN STRIP_TAC
2170 ;
2171
2172
2173 MRESA1_TAC Trigonometry2.ABS_REFL `v:real`
2174 THEN MRESA1_TAC Trigonometry2.ABS_REFL `&1- v:real`
2175 THEN POP_ASSUM(fun th-> ASM_TAC
2176 THEN REWRITE_TAC[th]
2177 THEN REPEAT STRIP_TAC)
2178 THEN POP_ASSUM(fun th-> ASM_TAC
2179 THEN REWRITE_TAC[th]
2180 THEN REPEAT STRIP_TAC)
2181 THEN MP_TAC(REAL_ARITH`&2 <= (&1 - v) * norm (vv 1)
2182 /\ &2 <= v * norm (vv 1) ==> &4<= norm ((vv:num->real^3) 1)`)
2183 THEN REPLICATE_TAC 5(POP_ASSUM MP_TAC)
2184 THEN ASM_REWRITE_TAC[h0]
2185 THEN REAL_ARITH_TAC
2186
2187 ;
2188
2189
2190
2191
2192 MRESAL1_TAC Trigonometry2.ABS_REFL `-- v:real`[REAL_ABS_NEG]
2193 THEN MRESA1_TAC Trigonometry2.ABS_REFL `&1- v:real`
2194 THEN POP_ASSUM(fun th-> ASM_TAC
2195 THEN REWRITE_TAC[th]
2196 THEN REPEAT STRIP_TAC)
2197 THEN POP_ASSUM(fun th-> ASM_TAC
2198 THEN REWRITE_TAC[th; ]
2199 THEN REPEAT STRIP_TAC)
2200 THEN MP_TAC(REAL_ARITH`&2 <= --v * norm (vv 1)
2201 /\ &2 <= norm (vv 1) ==> &4<=(&1- v) *norm ((vv:num->real^3) 1)`)
2202 THEN ASM_REWRITE_TAC[]
2203 THEN REPLICATE_TAC 10(POP_ASSUM MP_TAC)
2204 THEN POP_ASSUM (fun th-> REPEAT STRIP_TAC
2205 THEN MP_TAC th)
2206 THEN POP_ASSUM MP_TAC
2207 THEN ASM_REWRITE_TAC[h0]
2208 THEN REAL_ARITH_TAC
2209 ;
2210
2211
2212  MP_TAC(REAL_ARITH`&0<= v\/ &0<= --( v)`)
2213 THEN STRIP_TAC
2214 ;
2215
2216
2217 MRESAL1_TAC Trigonometry2.ABS_REFL ` v:real`[REAL_ABS_NEG]
2218 THEN MRESAL1_TAC Trigonometry2.ABS_REFL `--(&1- v):real` [REAL_ABS_NEG]
2219 THEN POP_ASSUM(fun th-> ASM_TAC
2220 THEN REWRITE_TAC[th]
2221 THEN REPEAT STRIP_TAC)
2222 THEN POP_ASSUM(fun th-> ASM_TAC
2223 THEN REWRITE_TAC[th; ]
2224 THEN REPEAT STRIP_TAC)
2225 THEN MP_TAC(REAL_ARITH`&2 <=   norm (vv 1)
2226 /\ &2 <= --(&1 - v) * norm (vv 1) ==> &4<= v *norm ((vv:num->real^3) 1)`)
2227 THEN ASM_REWRITE_TAC[]
2228 THEN REPLICATE_TAC 5(POP_ASSUM MP_TAC)
2229 THEN POP_ASSUM (fun th-> REPEAT STRIP_TAC
2230 THEN MP_TAC th)
2231 THEN POP_ASSUM MP_TAC
2232 THEN ASM_REWRITE_TAC[h0]
2233 THEN REAL_ARITH_TAC
2234 ;
2235
2236
2237 MRESAL1_TAC Trigonometry2.ABS_REFL ` --v:real`[REAL_ABS_NEG]
2238 THEN MRESAL1_TAC Trigonometry2.ABS_REFL `--(&1- v):real` [REAL_ABS_NEG]
2239 THEN POP_ASSUM(fun th-> ASM_TAC
2240 THEN REWRITE_TAC[th]
2241 THEN REPEAT STRIP_TAC)
2242 THEN POP_ASSUM(fun th-> ASM_TAC
2243 THEN REWRITE_TAC[th; ]
2244 THEN REPEAT STRIP_TAC)
2245 THEN MP_TAC(REAL_ARITH`&2 <=   norm (vv 1)
2246 /\ &2 <= --v * norm (vv 1) ==> &4<= (&1-v) *norm ((vv:num->real^3) 1)`)
2247 THEN ASM_REWRITE_TAC[]
2248 THEN REPLICATE_TAC 11(POP_ASSUM MP_TAC)
2249 THEN POP_ASSUM (fun th-> REPEAT STRIP_TAC
2250 THEN MP_TAC th)
2251 THEN POP_ASSUM MP_TAC
2252 THEN ASM_REWRITE_TAC[h0]
2253 THEN REAL_ARITH_TAC;
2254
2255
2256
2257
2258
2259
2260 REPLICATE_TAC 6 (POP_ASSUM MP_TAC)
2261 THEN POP_ASSUM(fun th-> REPEAT STRIP_TAC
2262 THEN MRESA_TAC th[`0`;`2`])
2263 THEN POP_ASSUM MP_TAC
2264 THEN POP_ASSUM MP_TAC
2265 THEN EXPAND_TAC"s"
2266 THEN REWRITE_TAC[scs_k_v39_explicit;scs_a_v39_explicit;scs_b_v39_explicit;LET_DEF;LET_END_DEF;BBs_v39;ARITH_RULE`3<=3`;mk_unadorned_v39;CS_ADJ;
2267 ARITH_RULE`1 MOD 3 =1 /\ 2 MOD 3=2/\ ~(1=2) /\ SUC 1=2 /\ SUC 2=3/\ 3 MOD 3=0/\ 0 MOD 3=0/\ SUC 0=1/\ ~(0=1)/\ ~(0=2)`;dist;VECTOR_ARITH`B%A-A= --((&1-B)%A)`;NORM_MUL;NORM_NEG]
2268 THEN REPLICATE_TAC 7(POP_ASSUM MP_TAC)
2269 THEN POP_ASSUM(fun th-> REPEAT STRIP_TAC
2270 THEN MP_TAC th)
2271 THEN SUBGOAL_THEN`(?x. x IN (:num) /\ vv 2 = (vv:num->real^3) x)`ASSUME_TAC;
2272
2273
2274 EXISTS_TAC`2`
2275 THEN ASM_REWRITE_TAC[SET_RULE`(a:num)IN (:num)`];
2276
2277 SUBGOAL_THEN`(?x. x IN (:num) /\ vv 0 = (vv:num->real^3) x)`ASSUME_TAC;
2278
2279
2280 EXISTS_TAC`0`
2281 THEN ASM_REWRITE_TAC[SET_RULE`(a:num)IN (:num)`];
2282
2283
2284 REWRITE_TAC[IMAGE;SUBSET;IN_ELIM_THM]
2285 THEN STRIP_TAC
2286 THEN POP_ASSUM(fun th->  MRESAL1_TAC th`(vv:num->real^3) 0`[ball_annulus;IN_ELIM_THM;DIFF;cball;ball;dist;VECTOR_ARITH`vec 0- B= --B`;NORM_NEG;NORM_MUL;REAL_ARITH`~(a<b) <=> b<=a`]
2287 THEN MRESAL1_TAC th`(vv:num->real^3) 2`[ball_annulus;IN_ELIM_THM;DIFF;cball;ball;dist;VECTOR_ARITH`vec 0- B= --B`;NORM_NEG;NORM_MUL;REAL_ARITH`~(a<b) <=> b<=a`])
2288 THEN MP_TAC(REAL_ARITH`&0<= &1-v\/ &0<= --( &1-v)`)
2289 THEN STRIP_TAC
2290 ;
2291
2292
2293  MP_TAC(REAL_ARITH`&0<= v\/ &0<= --( v)`)
2294 THEN STRIP_TAC
2295 ;
2296
2297
2298 MRESA1_TAC Trigonometry2.ABS_REFL `v:real`
2299 THEN MRESA1_TAC Trigonometry2.ABS_REFL `&1- v:real`
2300 THEN POP_ASSUM(fun th-> ASM_TAC
2301 THEN REWRITE_TAC[th]
2302 THEN REPEAT STRIP_TAC)
2303 THEN POP_ASSUM(fun th-> ASM_TAC
2304 THEN REWRITE_TAC[th]
2305 THEN REPEAT STRIP_TAC)
2306 THEN MP_TAC(REAL_ARITH`&2 <= (&1 - v) * norm (vv 2)
2307 /\ &2 <= v * norm (vv 2) ==> &4<= norm ((vv:num->real^3) 2)`)
2308 THEN REPLICATE_TAC 5(POP_ASSUM MP_TAC)
2309 THEN ASM_REWRITE_TAC[h0]
2310 THEN REAL_ARITH_TAC
2311
2312 ;
2313
2314
2315
2316
2317 MRESAL1_TAC Trigonometry2.ABS_REFL `-- v:real`[REAL_ABS_NEG]
2318 THEN MRESA1_TAC Trigonometry2.ABS_REFL `&1- v:real`
2319 THEN POP_ASSUM(fun th-> ASM_TAC
2320 THEN REWRITE_TAC[th]
2321 THEN REPEAT STRIP_TAC)
2322 THEN POP_ASSUM(fun th-> ASM_TAC
2323 THEN REWRITE_TAC[th; ]
2324 THEN REPEAT STRIP_TAC)
2325 THEN MP_TAC(REAL_ARITH`&2 <= --v * norm (vv 2)
2326 /\ &2 <= norm (vv 2) ==> &4<=(&1- v) *norm ((vv:num->real^3) 2)`)
2327 THEN ASM_REWRITE_TAC[]
2328 THEN REPLICATE_TAC 10(POP_ASSUM MP_TAC)
2329 THEN POP_ASSUM (fun th-> REPEAT STRIP_TAC
2330 THEN MP_TAC th)
2331 THEN POP_ASSUM MP_TAC
2332 THEN ASM_REWRITE_TAC[h0]
2333 THEN REAL_ARITH_TAC
2334 ;
2335
2336
2337  MP_TAC(REAL_ARITH`&0<= v\/ &0<= --( v)`)
2338 THEN STRIP_TAC
2339 ;
2340
2341
2342 MRESAL1_TAC Trigonometry2.ABS_REFL ` v:real`[REAL_ABS_NEG]
2343 THEN MRESAL1_TAC Trigonometry2.ABS_REFL `--(&1- v):real` [REAL_ABS_NEG]
2344 THEN POP_ASSUM(fun th-> ASM_TAC
2345 THEN REWRITE_TAC[th]
2346 THEN REPEAT STRIP_TAC)
2347 THEN POP_ASSUM(fun th-> ASM_TAC
2348 THEN REWRITE_TAC[th; ]
2349 THEN REPEAT STRIP_TAC)
2350 THEN MP_TAC(REAL_ARITH`&2 <=   norm (vv 2)
2351 /\ &2 <= --(&1 - v) * norm (vv 2) ==> &4<= v *norm ((vv:num->real^3) 2)`)
2352 THEN ASM_REWRITE_TAC[]
2353 THEN REPLICATE_TAC 5(POP_ASSUM MP_TAC)
2354 THEN POP_ASSUM (fun th-> REPEAT STRIP_TAC
2355 THEN MP_TAC th)
2356 THEN POP_ASSUM MP_TAC
2357 THEN ASM_REWRITE_TAC[h0]
2358 THEN REAL_ARITH_TAC
2359 ;
2360
2361
2362 MRESAL1_TAC Trigonometry2.ABS_REFL ` --v:real`[REAL_ABS_NEG]
2363 THEN MRESAL1_TAC Trigonometry2.ABS_REFL `--(&1- v):real` [REAL_ABS_NEG]
2364 THEN POP_ASSUM(fun th-> ASM_TAC
2365 THEN REWRITE_TAC[th]
2366 THEN REPEAT STRIP_TAC)
2367 THEN POP_ASSUM(fun th-> ASM_TAC
2368 THEN REWRITE_TAC[th; ]
2369 THEN REPEAT STRIP_TAC)
2370 THEN MP_TAC(REAL_ARITH`&2 <=   norm (vv 2)
2371 /\ &2 <= --v * norm (vv 2) ==> &4<= (&1-v) *norm ((vv:num->real^3) 2)`)
2372 THEN ASM_REWRITE_TAC[]
2373 THEN REPLICATE_TAC 11(POP_ASSUM MP_TAC)
2374 THEN POP_ASSUM (fun th-> REPEAT STRIP_TAC
2375 THEN MP_TAC th)
2376 THEN POP_ASSUM MP_TAC
2377 THEN ASM_REWRITE_TAC[h0]
2378 THEN REAL_ARITH_TAC;
2379 ]);;
2380   (* }}} *)
2381
2382
2383
2384
2385
2386 let IN_B_SY1_COLLINEAR_CASE_3=prove_by_refinement(
2387 `(let upperbd = &6 in
2388   let a_pro = (\k p a1 a2 i j. (if (i MOD k = j MOD k) then &0
2389                                 else (if {i MOD k,j MOD k}={0,1} then p
2390                                       else (if (j MOD k = SUC i MOD k) \/ (SUC j MOD k = i MOD k) then a1 else a2)))) in
2391          mk_unadorned_v39 3 (d_tame 3) (cs_adj 3 (&2) (&2 * h0)) (cs_adj 3 (&2 * h0) upperbd))=s
2392 /\
2393  scs_k_v39 s= dimindex(:M)
2394 ==>
2395  (!a. a IN {matvec(v:real^3^M) | (!i. 1<=i /\  i <= dimindex(:M)==> row i v IN ball_annulus) /\  CONDITION1_SY (change_type_v3 (scs_a_v39 s)) (change_type_v3 (scs_b_v39 s)) v  }
2396 ==> ~collinear{vec 0, row 1 (vecmats a),row 2 (vecmats a)}/\
2397 ~collinear{vec 0, row 1 (vecmats a),row 3 (vecmats a)}/\
2398 ~collinear{vec 0, row 2 (vecmats a),row 3 (vecmats a)})`
2399 ,
2400   (* {{{ proof *)
2401 [
2402
2403 REWRITE_TAC[IN_ELIM_THM;]
2404 THEN STRIP_TAC
2405 THEN GEN_TAC
2406 THEN STRIP_TAC
2407 THEN ABBREV_TAC`( vv i =
2408 if i MOD scs_k_v39 s = 0 then row 3 v else
2409 if i MOD scs_k_v39 s = 1 then row 1 v else
2410 row 2 (v:real^3^M))`
2411 THEN MP_TAC IN_NOT_EMPTY_B1_SY_3
2412 THEN ASM_REWRITE_TAC[]
2413 THEN POP_ASSUM MP_TAC
2414 THEN ASM_REWRITE_TAC[Dih2k_hypermap.VECMATS_MATVEC_ID]
2415 THEN RESA_TAC
2416 THEN STRIP_TAC
2417 THEN MP_TAC NOT_COLLINEAR_BBs_CASE_3
2418 THEN RESA_TAC
2419 THEN SUBGOAL_THEN`scs_k_v39 s =3` ASSUME_TAC;
2420
2421 EXPAND_TAC"s"
2422 THEN REWRITE_TAC[scs_k_v39_explicit;scs_d_v39_explicit;scs_a_v39_explicit;scs_b_v39_explicit;BBs_v39;ARITH_RULE`3<=3`;LET_DEF;LET_END_DEF;ARITH_RULE`~(4<=3)`;IN;mk_unadorned_v39;];
2423
2424 SUBGOAL_THEN`vector[(vv:num->real^3) 1;(vv:num->real^3) 2;(vv:num->real^3) 0]:real^3^M
2425 =v`ASSUME_TAC;
2426
2427 POP_ASSUM(fun th->
2428 REPLICATE_TAC 8 (POP_ASSUM MP_TAC)
2429 THEN POP_ASSUM(fun th1-> MP_TAC (SYM th1)
2430 THEN REWRITE_TAC[ th]))
2431 THEN REPEAT DISCH_TAC
2432 THEN REPLICATE_TAC 4 (REMOVE_ASSUM_TAC)
2433 THEN POP_ASSUM(fun th-> REWRITE_TAC[GSYM th])
2434 THEN ASM_REWRITE_TAC[ARITH_RULE`1 MOD 3=1/\ 2 MOD 3=2/\ 3 MOD 3=0/\ 0 MOD 3=0 /\ ~(1=0)/\ ~(2=0)/\ ~(3=0)/\ ~(2=1)/\ ~(3=1)/\ ~(3=2)`;]
2435 THEN ONCE_REWRITE_TAC[CART_EQ]
2436 THEN ASM_REWRITE_TAC[ARITH_RULE`1<=i/\ i<=3 <=>i=1\/ i=2\/ i=3`]
2437 THEN REPEAT RESA_TAC
2438 THEN
2439 ASM_SIMP_TAC[row;vector; LAMBDA_BETA; DIMINDEX_3; LENGTH; ARITH] THEN
2440 REWRITE_TAC[num_CONV `3`;num_CONV `2`; num_CONV `1`; EL; HD; TL;]
2441 THEN ASM_SIMP_TAC[CART_EQ; DIMINDEX_3; FORALL_3; VEC_COMPONENT; VECTOR_3; ARITH;row;LAMBDA_BETA];
2442
2443 POP_ASSUM MP_TAC
2444 THEN POP_ASSUM(fun th->
2445 REPLICATE_TAC 8 (POP_ASSUM MP_TAC)
2446 THEN POP_ASSUM(fun th1-> MP_TAC (SYM th1)
2447 THEN REWRITE_TAC[ th]))
2448 THEN REPEAT DISCH_TAC
2449 THEN MRESAL_TAC VECTOR_3_3[`(vv:num->real^3) 1`;`(vv:num->real^3) 2`;`(vv:num->real^3) 0`;][ARITH_RULE`1<=3/\ 2<=3/\ 3<=3`]
2450 ]);;
2451   (* }}} *)
2452
2453
2454
2455
2456
2457 let HDPLYGY_CASE_3=prove_by_refinement(
2458 `tri_stable k (d:real) (0..k-1) a b J (\i. ((1+i):num MOD k)) /\k= dimindex(:M)
2459 /\ 2<k
2460 /\ ~({matvec(v:real^3^M) | (!i. 1<=i /\  i <= dimindex(:M)==> row i v IN ball_annulus) /\  CONDITION1_SY a b v  } = {}:real^(M,3)finite_product->bool)
2461 /\ (!l. l IN {matvec(v:real^3^M) | (!i. 1<=i /\  i <= dimindex(:M)==> row i v IN ball_annulus) /\  CONDITION1_SY a b v  }
2462 ==> ~collinear{vec 0, row 1 (vecmats l),row 2 (vecmats l)}/\
2463 ~collinear{vec 0, row 1 (vecmats l),row 3 (vecmats l)}/\
2464 ~collinear{vec 0, row 2 (vecmats l),row 3 (vecmats l)})
2465 ==> ?x:real^(M,3)finite_product. x IN  ({matvec(v:real^3^M) | (!i. 1<=i /\  i <= dimindex(:M)==> row i v IN ball_annulus) /\  CONDITION1_SY a b v  })
2466 /\ (!y:real^(M,3)finite_product. y IN ({matvec(v:real^3^M) | (!i. 1<=i /\  i <= dimindex(:M)==> row i v IN ball_annulus) /\  CONDITION1_SY a b v  })
2467 ==> tau3 (row 1 (vecmats (x:real^(M,3)finite_product))) (row 2 (vecmats x)) (row 3 ( vecmats x)) <= tau3 (row 1 (vecmats y)) (row 2 (vecmats y)) (row 3 (vecmats y)))`
2468 ,
2469   (* {{{ proof *)
2470 [
2471 REPEAT STRIP_TAC
2472 THEN MP_TAC TRI_STABLE_K_EQ_3
2473 THEN RESA_TAC
2474 THEN MRESA_TAC CONTINUOUS_ATTAINS_INF[`(\x:real^(M,3)finite_product. tau3 (row 1 (vecmats (x:real^(M,3)finite_product))) (row 2 (vecmats x)) (row 3 ( vecmats x)))`;`{matvec(v:real^3^M) | (!i. 1<=i /\  i <= dimindex(:M)==> row i v IN ball_annulus) /\  CONDITION1_SY a b v  }:real^(M,3)finite_product->bool`]
2475 THEN POP_ASSUM MATCH_MP_TAC
2476 THEN STRIP_TAC
2477 ;
2478
2479
2480 POP_ASSUM(fun th-> REWRITE_TAC[SYM th])
2481 THEN MATCH_MP_TAC COMPACT_TRI_STABLE
2482 THEN ASM_REWRITE_TAC[];
2483
2484
2485 SIMP_TAC[o_DEF;LIFT_SUM;FINITE_NUMSEG;tau3; o_DEF;LIFT_SUB;LIFT_SUM;REAL_ARITH`A+B+C-D=((A+B)+C)-D`]
2486 THEN MATCH_MP_TAC CONTINUOUS_ON_SUB
2487 THEN REWRITE_TAC[CONTINUOUS_ON_CONST;LIFT_CMUL;LIFT_SUB;]
2488 THEN SIMP_TAC[o_DEF;LIFT_ADD;]
2489 THEN MATCH_MP_TAC CONTINUOUS_ON_ADD
2490 THEN STRIP_TAC;
2491
2492
2493 SIMP_TAC[o_DEF;LIFT_ADD;]
2494 THEN MATCH_MP_TAC CONTINUOUS_ON_ADD
2495 THEN STRIP_TAC;
2496
2497
2498 SIMP_TAC[o_DEF;LIFT_CMUL;FINITE_NUMSEG]
2499 THEN REPEAT STRIP_TAC
2500 THEN MATCH_MP_TAC CONTINUOUS_ON_MUL
2501 THEN STRIP_TAC;
2502
2503
2504 REWRITE_TAC[rho;o_DEF;LIFT_ADD]
2505 THEN MATCH_MP_TAC CONTINUOUS_ON_ADD
2506 THEN REWRITE_TAC[CONTINUOUS_ON_CONST;LIFT_CMUL;LIFT_SUB;]
2507 THEN MATCH_MP_TAC CONTINUOUS_ON_SUB
2508 THEN REWRITE_TAC[CONTINUOUS_ON_CONST;LIFT_CMUL;LIFT_SUB;]
2509 THEN MATCH_MP_TAC CONTINUOUS_ON_CMUL
2510 THEN REWRITE_TAC[CONTINUOUS_ON_CONST;LIFT_ADD;ly;interp;REAL_ARITH`a*b=b*a`;LIFT_CMUL]
2511 THEN MATCH_MP_TAC CONTINUOUS_ON_ADD
2512 THEN REWRITE_TAC[CONTINUOUS_ON_CONST;LIFT_CMUL;LIFT_SUB;]
2513 THEN MATCH_MP_TAC CONTINUOUS_ON_CMUL
2514 THEN REWRITE_TAC[CONTINUOUS_ON_CONST;LIFT_ADD;ly;interp;REAL_ARITH`a*b=b*a`;LIFT_CMUL]
2515 THEN MATCH_MP_TAC CONTINUOUS_ON_SUB
2516 THEN REWRITE_TAC[CONTINUOUS_ON_CONST;LIFT_CMUL;LIFT_SUB;]
2517 THEN MATCH_MP_TAC CONTINUOUS_ON_LIFT_NORM_COMPOSE
2518 THEN MATCH_MP_TAC CONTINUOUS_ON_ROW
2519 THEN ASM_REWRITE_TAC[IN_NUMSEG]
2520 THEN ARITH_TAC;
2521
2522 REWRITE_TAC[CONTINUOUS_ON_SEQUENTIALLY;o_DEF]
2523 THEN REPEAT STRIP_TAC
2524 THEN MP_TAC (GEN_ALL SEQUENTIALLY_DIVH)
2525 THEN REWRITE_TAC[o_DEF]
2526 THEN STRIP_TAC
2527 THEN POP_ASSUM MATCH_MP_TAC
2528 THEN MRESAL_TAC (GEN_ALL LIM_VECMAT)[`(\n:num. vecmats ((x:num->real^(M,3)finite_product) n))`;`vecmats(a':real^(M,3)finite_product)`][MATVEC_VECMATS_ID;ETA_AX]
2529 THEN POP_ASSUM(fun th-> MRESAL1_TAC th`1`[ARITH_RULE`1<=1/\ 1<=3`]
2530 THEN MRESAL1_TAC th`2`[ARITH_RULE`1<=2/\ 2<=3`]
2531 THEN MRESAL1_TAC th`3`[ARITH_RULE`1<=3/\ 3<=3`])
2532 THEN REPLICATE_TAC 7 (POP_ASSUM MP_TAC)
2533 THEN POP_ASSUM(fun th-> REPEAT DISCH_TAC
2534 THEN MRESA1_TAC th `a':real^(M,3)finite_product`
2535 THEN ASSUME_TAC th)
2536 THEN GEN_TAC
2537 THEN POP_ASSUM(fun th->  MRESA1_TAC th `(x (n:num)):real^(M,3)finite_product`)
2538
2539 ;
2540
2541
2542
2543 SIMP_TAC[o_DEF;LIFT_CMUL;FINITE_NUMSEG]
2544 THEN REPEAT STRIP_TAC
2545 THEN MATCH_MP_TAC CONTINUOUS_ON_MUL
2546 THEN STRIP_TAC;
2547
2548
2549 REWRITE_TAC[rho;o_DEF;LIFT_ADD]
2550 THEN MATCH_MP_TAC CONTINUOUS_ON_ADD
2551 THEN REWRITE_TAC[CONTINUOUS_ON_CONST;LIFT_CMUL;LIFT_SUB;]
2552 THEN MATCH_MP_TAC CONTINUOUS_ON_SUB
2553 THEN REWRITE_TAC[CONTINUOUS_ON_CONST;LIFT_CMUL;LIFT_SUB;]
2554 THEN MATCH_MP_TAC CONTINUOUS_ON_CMUL
2555 THEN REWRITE_TAC[CONTINUOUS_ON_CONST;LIFT_ADD;ly;interp;REAL_ARITH`a*b=b*a`;LIFT_CMUL]
2556 THEN MATCH_MP_TAC CONTINUOUS_ON_ADD
2557 THEN REWRITE_TAC[CONTINUOUS_ON_CONST;LIFT_CMUL;LIFT_SUB;]
2558 THEN MATCH_MP_TAC CONTINUOUS_ON_CMUL
2559 THEN REWRITE_TAC[CONTINUOUS_ON_CONST;LIFT_ADD;ly;interp;REAL_ARITH`a*b=b*a`;LIFT_CMUL]
2560 THEN MATCH_MP_TAC CONTINUOUS_ON_SUB
2561 THEN REWRITE_TAC[CONTINUOUS_ON_CONST;LIFT_CMUL;LIFT_SUB;]
2562 THEN MATCH_MP_TAC CONTINUOUS_ON_LIFT_NORM_COMPOSE
2563 THEN MATCH_MP_TAC CONTINUOUS_ON_ROW
2564 THEN ASM_REWRITE_TAC[IN_NUMSEG]
2565 THEN ARITH_TAC;
2566
2567 REWRITE_TAC[CONTINUOUS_ON_SEQUENTIALLY;o_DEF]
2568 THEN REPEAT STRIP_TAC
2569 THEN MP_TAC (GEN_ALL SEQUENTIALLY_DIVH)
2570 THEN REWRITE_TAC[o_DEF]
2571 THEN STRIP_TAC
2572 THEN POP_ASSUM MATCH_MP_TAC
2573 THEN MRESAL_TAC (GEN_ALL LIM_VECMAT)[`(\n:num. vecmats ((x:num->real^(M,3)finite_product) n))`;`vecmats(a':real^(M,3)finite_product)`][MATVEC_VECMATS_ID;ETA_AX]
2574 THEN POP_ASSUM(fun th-> MRESAL1_TAC th`1`[ARITH_RULE`1<=1/\ 1<=3`]
2575 THEN MRESAL1_TAC th`2`[ARITH_RULE`1<=2/\ 2<=3`]
2576 THEN MRESAL1_TAC th`3`[ARITH_RULE`1<=3/\ 3<=3`])
2577 THEN REPLICATE_TAC 7 (POP_ASSUM MP_TAC)
2578 THEN POP_ASSUM(fun th-> REPEAT DISCH_TAC
2579 THEN MRESA1_TAC th `a':real^(M,3)finite_product`
2580 THEN ASSUME_TAC th)
2581 THEN ONCE_REWRITE_TAC[SET_RULE`{A,B,C}={A,C,B}`]
2582 THEN ASM_REWRITE_TAC[]
2583 THEN GEN_TAC
2584 THEN POP_ASSUM(fun th->  MRESA1_TAC th `(x (n:num)):real^(M,3)finite_product`)
2585 THEN ONCE_REWRITE_TAC[SET_RULE`{A,B,C}={A,C,B}`]
2586 THEN ASM_REWRITE_TAC[]
2587
2588 ;
2589
2590
2591
2592 SIMP_TAC[o_DEF;LIFT_CMUL;FINITE_NUMSEG]
2593 THEN REPEAT STRIP_TAC
2594 THEN MATCH_MP_TAC CONTINUOUS_ON_MUL
2595 THEN STRIP_TAC;
2596
2597
2598 REWRITE_TAC[rho;o_DEF;LIFT_ADD]
2599 THEN MATCH_MP_TAC CONTINUOUS_ON_ADD
2600 THEN REWRITE_TAC[CONTINUOUS_ON_CONST;LIFT_CMUL;LIFT_SUB;]
2601 THEN MATCH_MP_TAC CONTINUOUS_ON_SUB
2602 THEN REWRITE_TAC[CONTINUOUS_ON_CONST;LIFT_CMUL;LIFT_SUB;]
2603 THEN MATCH_MP_TAC CONTINUOUS_ON_CMUL
2604 THEN REWRITE_TAC[CONTINUOUS_ON_CONST;LIFT_ADD;ly;interp;REAL_ARITH`a*b=b*a`;LIFT_CMUL]
2605 THEN MATCH_MP_TAC CONTINUOUS_ON_ADD
2606 THEN REWRITE_TAC[CONTINUOUS_ON_CONST;LIFT_CMUL;LIFT_SUB;]
2607 THEN MATCH_MP_TAC CONTINUOUS_ON_CMUL
2608 THEN REWRITE_TAC[CONTINUOUS_ON_CONST;LIFT_ADD;ly;interp;REAL_ARITH`a*b=b*a`;LIFT_CMUL]
2609 THEN MATCH_MP_TAC CONTINUOUS_ON_SUB
2610 THEN REWRITE_TAC[CONTINUOUS_ON_CONST;LIFT_CMUL;LIFT_SUB;]
2611 THEN MATCH_MP_TAC CONTINUOUS_ON_LIFT_NORM_COMPOSE
2612 THEN MATCH_MP_TAC CONTINUOUS_ON_ROW
2613 THEN ASM_REWRITE_TAC[IN_NUMSEG]
2614 THEN ARITH_TAC;
2615
2616 REWRITE_TAC[CONTINUOUS_ON_SEQUENTIALLY;o_DEF]
2617 THEN REPEAT STRIP_TAC
2618 THEN MP_TAC (GEN_ALL SEQUENTIALLY_DIVH)
2619 THEN REWRITE_TAC[o_DEF]
2620 THEN STRIP_TAC
2621 THEN POP_ASSUM MATCH_MP_TAC
2622 THEN MRESAL_TAC (GEN_ALL LIM_VECMAT)[`(\n:num. vecmats ((x:num->real^(M,3)finite_product) n))`;`vecmats(a':real^(M,3)finite_product)`][MATVEC_VECMATS_ID;ETA_AX]
2623 THEN POP_ASSUM(fun th-> MRESAL1_TAC th`1`[ARITH_RULE`1<=1/\ 1<=3`]
2624 THEN MRESAL1_TAC th`2`[ARITH_RULE`1<=2/\ 2<=3`]
2625 THEN MRESAL1_TAC th`3`[ARITH_RULE`1<=3/\ 3<=3`])
2626 THEN REPLICATE_TAC 7 (POP_ASSUM MP_TAC)
2627 THEN POP_ASSUM(fun th-> REPEAT DISCH_TAC
2628 THEN MRESA1_TAC th `a':real^(M,3)finite_product`
2629 THEN ASSUME_TAC th)
2630 THEN ONCE_REWRITE_TAC[SET_RULE`{A,B,C}={A,C,B}`]
2631 THEN ASM_REWRITE_TAC[]
2632 THEN GEN_TAC
2633 THEN POP_ASSUM(fun th->  MRESA1_TAC th `(x (n:num)):real^(M,3)finite_product`)
2634 THEN ONCE_REWRITE_TAC[SET_RULE`{A,B,C}={A,C,B}`]
2635 THEN ASM_REWRITE_TAC[];
2636 ]);;
2637   (* }}} *)
2638
2639
2640
2641
2642 let TAUSTAR_EQ_TAU_STAR_3=prove_by_refinement(
2643 `(let upperbd = &6 in
2644   let a_pro = (\k p a1 a2 i j. (if (i MOD k = j MOD k) then &0
2645                                 else (if {i MOD k,j MOD k}={0,1} then p
2646                                       else (if (j MOD k = SUC i MOD k) \/ (SUC j MOD k = i MOD k) then a1 else a2)))) in
2647          mk_unadorned_v39 3 (d_tame 3) (cs_adj 3 (&2) (&2 * h0)) (cs_adj 3 (&2 * h0) upperbd))=s
2648 /\ vv IN BBs_v39 s
2649 ==>  taustar_v39 s vv = tau3  (vv 1) (vv 2) (vv 0)`
2650 ,
2651   (* {{{ proof *)
2652 [
2653 REPEAT STRIP_TAC
2654 THEN SUBGOAL_THEN`scs_k_v39 s =3` ASSUME_TAC;
2655
2656 EXPAND_TAC"s"
2657 THEN REWRITE_TAC[scs_k_v39_explicit;scs_d_v39_explicit;scs_a_v39_explicit;scs_b_v39_explicit;BBs_v39;ARITH_RULE`3<=3`;LET_DEF;LET_END_DEF;ARITH_RULE`~(4<=3)`;IN;mk_unadorned_v39;];
2658
2659 POP_ASSUM MP_TAC
2660 THEN RESA_TAC
2661 THEN ASM_REWRITE_TAC[taustar_v39;tau_star]
2662 THEN ASM_REWRITE_TAC[scs_k_v39_explicit;scs_d_v39_explicit;scs_a_v39_explicit;scs_b_v39_explicit;BBs_v39;ARITH_RULE`3<=3`;LET_DEF;LET_END_DEF;ARITH_RULE`~(4<=3)`;IN;mk_unadorned_v39;]
2663 THEN MRESA_TAC dsv_J_empty[`s:scs_v39`;`vv:num->real^3`]
2664 THEN POP_ASSUM MP_TAC
2665 THEN EXPAND_TAC"s"
2666 THEN REWRITE_TAC[scs_J_v39_explicit;scs_d_v39_explicit;scs_a_v39_explicit;scs_b_v39_explicit;BBs_v39;ARITH_RULE`3<=3`;LET_DEF;LET_END_DEF;ARITH_RULE`~(4<=3)`;IN;mk_unadorned_v39;d_tame]
2667 THEN RESA_TAC
2668 THEN REWRITE_TAC[tau3;REAL_ARITH`A- &0=A`]
2669 THEN REAL_ARITH_TAC
2670 ]);;
2671   (* }}} *)
2672
2673
2674
2675
2676
2677
2678
2679
2680
2681 let XWITCCN_CASE_3=prove_by_refinement(
2682 `(let upperbd = &6 in
2683   let a_pro = (\k p a1 a2 i j. (if (i MOD k = j MOD k) then &0
2684                                 else (if {i MOD k,j MOD k}={0,1} then p
2685                                       else (if (j MOD k = SUC i MOD k) \/ (SUC j MOD k = i MOD k) then a1 else a2)))) in
2686          mk_unadorned_v39 3 (d_tame 3) (cs_adj 3 (&2) (&2 * h0)) (cs_adj 3 (&2 * h0) upperbd))=s
2687  /\ vv IN BBs_v39 s /\
2688   taustar_v39 s vv < &0
2689 /\ scs_k_v39 s= dimindex(:M)
2690  ==> ~(BBprime_v39 s = {})`
2691 ,
2692   (* {{{ proof *)
2693 [
2694  STRIP_TAC
2695 THEN MP_TAC SCS_3_IS_TRI_STABLE
2696 THEN RESA_TAC
2697 THEN MP_TAC NOT_EMPTY_CASE_3
2698 THEN RESA_TAC
2699 THEN REWRITE_TAC[SET_RULE`~(A={})<=> ?a. a IN A`]
2700 THEN SUBGOAL_THEN`scs_k_v39 s =3` ASSUME_TAC;
2701
2702 EXPAND_TAC"s"
2703 THEN REWRITE_TAC[scs_k_v39_explicit;scs_d_v39_explicit;scs_a_v39_explicit;scs_b_v39_explicit;BBs_v39;ARITH_RULE`3<=3`;LET_DEF;LET_END_DEF;ARITH_RULE`~(4<=3)`;IN;mk_unadorned_v39;];
2704
2705 POP_ASSUM (fun th->
2706 REPLICATE_TAC 3 (POP_ASSUM MP_TAC)
2707 THEN REWRITE_TAC[th]
2708 THEN STRIP_TAC
2709 THEN POP_ASSUM(fun th1-> ASSUME_TAC(SYM th1))
2710 THEN ASSUME_TAC th
2711 THEN REPEAT RESA_TAC)
2712 THEN MP_TAC IN_B_SY1_COLLINEAR_CASE_3
2713 THEN RESA_TAC
2714 THEN  MRESAL_TAC (GEN_ALL HDPLYGY_CASE_3)[`scs_d_v39 s`;`(change_type_v2 (scs_J_v39 s) (scs_k_v39 s))`;`scs_k_v39 s`;`(change_type_v3 (scs_a_v39 s))`;` (change_type_v3 (scs_b_v39 s))`][ARITH_RULE`2<3`]
2715 THEN POP_ASSUM (fun th->
2716 POP_ASSUM MP_TAC
2717 THEN ASM_REWRITE_TAC[IN_ELIM_THM]
2718 THEN STRIP_TAC
2719 THEN ASSUME_TAC th)
2720 THEN REWRITE_TAC[BBprime_v39;IN]
2721 THEN ABBREV_TAC`( vv1 i =
2722 if i MOD scs_k_v39 s = 0 then row 3 v else
2723 if i MOD scs_k_v39 s = 1 then row 1 v else
2724 row 2 (v:real^3^M))`
2725 THEN EXISTS_TAC`vv1:num->real^3`
2726 THEN STRIP_TAC;
2727
2728 ONCE_REWRITE_TAC[GSYM IN]
2729 THEN MATCH_MP_TAC (GEN_ALL IN_NOT_EMPTY_B1_SY_3)
2730 THEN EXISTS_TAC`x:real^(M,3)finite_product`
2731 THEN EXISTS_TAC`v:real^3^M`
2732 THEN ASM_REWRITE_TAC[]
2733 THEN POP_ASSUM MP_TAC
2734 THEN RESA_TAC;
2735
2736 SUBGOAL_THEN`vector [ vv1 1; (vv1:num->real^3) 2;vv1 0] = v:real^3^M`
2737 ASSUME_TAC;
2738
2739 POP_ASSUM(fun th-> REWRITE_TAC[GSYM th])
2740 THEN ASM_REWRITE_TAC[ARITH_RULE`1 MOD 3=1/\ 2 MOD 3=2/\ 3 MOD 3=0/\ 0 MOD 3=0 /\ ~(1=0)/\ ~(2=0)/\ ~(3=0)/\ ~(2=1)/\ ~(3=1)/\ ~(3=2)`;]
2741 THEN ONCE_REWRITE_TAC[CART_EQ]
2742 THEN ASM_REWRITE_TAC[ARITH_RULE`1<=i/\ i<=3 <=>i=1\/ i=2\/ i=3`]
2743 THEN REPEAT RESA_TAC
2744 THEN
2745 ASM_SIMP_TAC[row;vector; LAMBDA_BETA; DIMINDEX_3; LENGTH; ARITH] THEN
2746 REWRITE_TAC[num_CONV `3`;num_CONV `2`; num_CONV `1`; EL; HD; TL;]
2747 THEN ASM_SIMP_TAC[CART_EQ; DIMINDEX_3; FORALL_3; VEC_COMPONENT; VECTOR_3; ARITH;row;LAMBDA_BETA];
2748
2749 STRIP_TAC;
2750
2751 GEN_TAC
2752 THEN GEN_REWRITE_TAC(LAND_CONV o ONCE_DEPTH_CONV)[GSYM IN]
2753 THEN REPEAT STRIP_TAC
2754 THEN MRESA_TAC (GEN_ALL IN_NOT_EMPTY_B1_SY_3)
2755 [`x:real^(M,3)finite_product`;`v:real^3^M`;`vv1:num->real^3`;`s:scs_v39`]
2756 THEN MRESA_TAC ( GEN_ALL TAUSTAR_EQ_TAU_STAR_3)[`s:scs_v39`;`vv1:num->real^3`;]
2757 THEN MRESA_TAC ( GEN_ALL TAUSTAR_EQ_TAU_STAR_3)
2758 [`s:scs_v39`;`ww:num->real^3`;]
2759 THEN MRESA_TAC (GEN_ALL IN_NOT_EMPTY_CASE_3)[`ww:num->real^3`;`vector [ww 1; ww 2; ww 0]:real^3^M`;`matvec(vector [ww 1; ww 2; ww 0]:real^3^M):real^(M,3)finite_product`;`s:scs_v39`;]
2760 THEN MRESAL_TAC VECTOR_3_3[`(vv1:num->real^3) 1`;`(vv1:num->real^3) 2`;`(vv1:num->real^3) 0`;][ARITH_RULE`1<=3/\ 2<=3/\ 3<=3`]
2761 THEN MRESAL_TAC VECTOR_3_3[`(ww:num->real^3) 1`;`(ww:num->real^3) 2`;`(ww:num->real^3) 0`;][ARITH_RULE`1<=3/\ 2<=3/\ 3<=3`]
2762 THEN REPLICATE_TAC 13 (POP_ASSUM MP_TAC)
2763 THEN POP_ASSUM(fun th-> REPEAT STRIP_TAC
2764 THEN MRESAL1_TAC th `matvec(vector [ww 1; ww 2; ww 0]:real^3^M):real^(M,3)finite_product`[Dih2k_hypermap.VECMATS_MATVEC_ID]);
2765
2766 MRESA_TAC (GEN_ALL IN_NOT_EMPTY_B1_SY_3)
2767 [`x:real^(M,3)finite_product`;`v:real^3^M`;`vv1:num->real^3`;`s:scs_v39`]
2768 THEN MRESA_TAC ( GEN_ALL TAUSTAR_EQ_TAU_STAR_3)[`s:scs_v39`;`vv1:num->real^3`;]
2769 THEN MRESA_TAC ( GEN_ALL TAUSTAR_EQ_TAU_STAR_3)
2770 [`s:scs_v39`;`vv:num->real^3`;]
2771 THEN REPLICATE_TAC 14 (POP_ASSUM MP_TAC)
2772 THEN POP_ASSUM (fun th-> REPEAT STRIP_TAC THEN MP_TAC th)
2773 THEN MRESA_TAC (GEN_ALL IN_NOT_EMPTY_CASE_3)[`vv:num->real^3`;`vector [vv 1; vv 2; vv 0]:real^3^M`;`matvec(vector [vv 1; vv 2; vv 0]:real^3^M):real^(M,3)finite_product`;`s:scs_v39`;]
2774 THEN MRESAL_TAC VECTOR_3_3[`(vv1:num->real^3) 1`;`(vv1:num->real^3) 2`;`(vv1:num->real^3) 0`;][ARITH_RULE`1<=3/\ 2<=3/\ 3<=3`]
2775 THEN MRESAL_TAC VECTOR_3_3[`(vv:num->real^3) 1`;`(vv:num->real^3) 2`;`(vv:num->real^3) 0`;][ARITH_RULE`1<=3/\ 2<=3/\ 3<=3`]
2776 THEN REPLICATE_TAC 12 (POP_ASSUM MP_TAC)
2777 THEN POP_ASSUM(fun th-> REPEAT STRIP_TAC
2778 THEN MRESAL1_TAC th `matvec(vector [(vv:num->real^3) 1; vv 2; vv 0]:real^3^M):real^(M,3)finite_product`[Dih2k_hypermap.VECMATS_MATVEC_ID])
2779 THEN POP_ASSUM MP_TAC
2780 THEN POP_ASSUM MP_TAC
2781 THEN REAL_ARITH_TAC
2782 ]);;
2783   (* }}} *)
2784
2785
2786
2787
2788 let VECTOR_3_4=prove(`!x y z t. 1<= dimindex(:M)/\ 2<= dimindex(:M) /\ 3<= dimindex(:M)/\ 4<= dimindex(:M) ==> (row 1 (vector[x;y;z:real^3;t]:real^3^M)) = x
2789 /\ (row 2 (vector[x;y;z:real^3;t]:real^3^M)) = y
2790 /\ (row 3 (vector[x;y;z:real^3;t]:real^3^M)) = z
2791 /\ (row 4 (vector[x;y;z:real^3;t]:real^3^M)) = t
2792 `,
2793 REPEAT STRIP_TAC
2794 THEN ASM_SIMP_TAC[row;vector; LAMBDA_BETA; DIMINDEX_3; LENGTH; ARITH] THEN
2795 REWRITE_TAC[num_CONV `3`;num_CONV `2`; num_CONV `1`; EL; HD; TL]
2796 THEN VECTOR_ARITH_TAC);;
2797
2798
2799
2800
2801
2802
2803
2804
2805 let PROVE_V_SY_EQ_TAC=
2806 fun (th:term)->
2807 EXISTS_TAC th
2808 THEN ASM_REWRITE_TAC[ARITH_RULE`1<= 1 /\ 1<= 4`]
2809 THEN MRESAL_TAC VECTOR_3_4[`(vv:num->real^3) 1`;`(vv:num->real^3) 2`;`(vv:num->real^3) 3`;`(vv:num->real^3) 0`][ARITH_RULE`1<=4/\ 2<=4/\ 3<=4/\ 4<=4/\ 4 MOD 4= 0 /\ 1 MOD 4= 1 /\ 2 MOD 4= 2/\ 3 MOD 4= 3/\ ~(2=1)
2810 /\ SUC 4 MOD 4= 1 /\ SUC 1 MOD 4= 2 /\ SUC 2 MOD 4= 3/\ SUC 3 MOD 4= 0/\ ~(3=1)/\ ~(1=0)`]
2811 THEN ARITH_TAC
2812 ;;
2813
2814
2815 let PROVE_E_SY_EQ_TAC=
2816 fun (th:term)->
2817 EXISTS_TAC th
2818 THEN MRESAL_TAC VECTOR_3_4[`(vv:num->real^3) 1`;`(vv:num->real^3) 2`;`(vv:num->real^3) 3`;`(vv:num->real^3) 0`][ARITH_RULE`1<=4/\ 2<=4/\ 3<=4/\ 4<=4/\ 4 MOD 4= 0 /\ 1 MOD 4= 1 /\ 2 MOD 4= 2/\ 3 MOD 4= 3/\ ~(2=1)
2819 /\ SUC 4 MOD 4= 1 /\ SUC 1 MOD 4= 2 /\ SUC 2 MOD 4= 3/\ SUC 3 MOD 4= 0/\ ~(3=1)/\ ~(1=0)/\ SUC 1=2/\ SUC 0=1 /\ SUC 2= 3/\ SUC 3=4 /\ SUC 4=5`;SET_RULE`(a:num)IN (:num)`]
2820 ;;
2821
2822
2823 let PROVE_EQ_V_SY_TAC_4=
2824 fun (th:term)->
2825 ASM_REWRITE_TAC[]
2826 THEN EXISTS_TAC th
2827 THEN MRESAL_TAC VECTOR_3_4[`(vv:num->real^3) 1`;`(vv:num->real^3) 2`;`(vv:num->real^3) 3`;`(vv:num->real^3) 0`][ARITH_RULE`1<=4/\ 2<=4/\ 3<=4/\ 4<=4/\ 4 MOD 4= 0 /\ 1 MOD 4= 1 /\ 2 MOD 4= 2/\ 3 MOD 4= 3/\ ~(2=1)
2828 /\ SUC 4 MOD 4= 1 /\ SUC 1 MOD 4= 2 /\ SUC 2 MOD 4= 3/\ SUC 3 MOD 4= 0/\ ~(3=1)/\ ~(1=0)`;SET_RULE`(a:num)IN (:num)`]
2829 ;;
2830
2831
2832
2833 let PROVE_F_SY_EQ_TAC=
2834 fun (th:term)->
2835 EXISTS_TAC th
2836 THEN MRESAL_TAC VECTOR_3_4[`(vv:num->real^3) 0`;`(vv:num->real^3) 1`;`(vv:num->real^3) 2`;`(vv:num->real^3) 3`][ARITH_RULE`1<=4/\ 2<=4/\ 3<=4/\ 4<=4/\ 4 MOD 4= 0 /\ 1 MOD 4= 1 /\ 2 MOD 4= 2/\ 3 MOD 4= 3/\ ~(2=1)
2837 /\ SUC 4 MOD 4= 1 /\ SUC 1 MOD 4= 2 /\ SUC 2 MOD 4= 3/\ SUC 3 MOD 4= 0/\ ~(3=1)/\ ~(1=0)/\ SUC 1=2/\ SUC 0=1 /\ SUC 2= 3/\ SUC 3=4 /\ SUC 4=5`]
2838 THEN SET_TAC[];;
2839
2840 let PROOF_E_EQ_IMAGE_4=
2841 fun (th:term)->
2842 MRESAL_TAC(GEN_ALL IMP_SUC_MOD_EQ)[`x':num`;th;`4`][ARITH_RULE`~(4=0)/\ 4 MOD 4=0/\ SUC 0  MOD 4=1/\ 1 MOD 4=1/\ 2 MOD 4=2 /\ 3 MOD 4=3`]
2843 THEN EXISTS_TAC th
2844 THEN MRESAL_TAC VECTOR_3_4[`(vv:num->real^3) 1`;`(vv:num->real^3) 2`;`(vv:num->real^3) 3`;`(vv:num->real^3) 0`;][ARITH_RULE`1<=4/\ 2<=4/\ 3<=4/\ 4<=4/\ 4 MOD 4= 0 /\ 1 MOD 4= 1 /\ 2 MOD 4= 2/\ 3 MOD 4= 3/\ ~(2=1)
2845 /\ SUC 4 MOD 4= 1 /\ SUC 1 MOD 4= 2 /\ SUC 2 MOD 4= 3/\ SUC 3 MOD 4= 0/\ ~(3=1)/\ ~(1=0)/\ SUC 1=2/\ SUC 0=1 /\ SUC 2= 3/\ SUC 3=4/\ 1<=1/\ 1<=2/\ 1<=3`];;
2846
2847
2848
2849
2850
2851
2852
2853
2854
2855 let V_E_FF_CASE_4=prove_by_refinement(
2856 `(s=let upperbd = &6 in
2857   let a_pro = (\k p a1 a2 i j. (if (i MOD k = j MOD k) then &0
2858                                 else (if {i MOD k,j MOD k}={0,1} then p
2859                                       else (if (j MOD k = SUC i MOD k) \/ (SUC j MOD k = i MOD k) then a1 else a2)))) in
2860          mk_unadorned_v39 4 (d_tame 4) (cs_adj 4 (&2) (&2 * h0)) (cs_adj 4 (&2 * h0) upperbd))
2861 /\ vv IN BBs_v39 s
2862 /\ scs_k_v39 s= dimindex(:M)
2863 /\ vector[(vv:num->real^3) 1;(vv:num->real^3) 2;(vv:num->real^3) 3;(vv:num->real^3) 0]:real^3^M= v
2864 /\ matvec (v:real^3^M) =a
2865 ==>
2866 V_SY (v:real^3^M)=IMAGE vv (:num)/\
2867   E_SY (v:real^3^M)=IMAGE (\i. {vv i, vv (SUC i)}) (:num)/\
2868 F_SY (v:real^3^M)=IMAGE (\i. vv i,vv (SUC i)) (:num)`,
2869   (* {{{ proof *)
2870 [
2871
2872 STRIP_TAC
2873 THEN REPLICATE_TAC 4 (POP_ASSUM MP_TAC)
2874 THEN ASM_REWRITE_TAC[scs_k_v39_explicit;scs_a_v39_explicit;scs_b_v39_explicit;BBs_v39;ARITH_RULE`3<=3`;LET_DEF;LET_END_DEF;ARITH_RULE`~(4<=3)`;IN;mk_unadorned_v39]
2875 THEN REPEAT STRIP_TAC;
2876
2877 REWRITE_TAC[V_SY;rows]
2878 THEN REPLICATE_TAC 2 (POP_ASSUM MP_TAC)
2879 THEN POP_ASSUM(fun th-> REWRITE_TAC[SYM th;ARITH_RULE`(1<= i /\ i<= 4)<=> (i=1\/ i=2\/ i=3 \/ i=4)`] THEN ASSUME_TAC (SYM th))
2880 THEN STRIP_TAC
2881 THEN STRIP_TAC
2882 THEN ASM_REWRITE_TAC[IMAGE;EXTENSION;IN_ELIM_THM]
2883 THEN GEN_TAC
2884 THEN EQ_TAC;
2885
2886 REPEAT STRIP_TAC
2887 THENL[
2888 PROVE_EQ_V_SY_TAC_4 `1`;
2889 PROVE_EQ_V_SY_TAC_4 `2`;
2890 PROVE_EQ_V_SY_TAC_4 `3`;
2891 PROVE_EQ_V_SY_TAC_4 `0`];
2892
2893 REPEAT STRIP_TAC
2894 THEN REWRITE_TAC[ARITH_RULE` (i=1\/ i=2\/ i=3 \/ i=4)<=> (1<= i /\ i<= 4)`]
2895 THEN MRESAL_TAC(GEN_ALL PERIODIC_PROPERTY)[`4`;`vv:num-> real^3`][ARITH_RULE`~(4=0)`]
2896 THEN POP_ASSUM (fun th-> MRESA1_TAC th`x':num`)
2897 THEN POP_ASSUM (fun th-> ONCE_REWRITE_TAC[SYM th])
2898 THEN MRESAL_TAC DIVISION[`x':num`;`4`][ARITH_RULE`~(4=0)`]
2899 THEN MP_TAC(ARITH_RULE`x' MOD 4 < 4==>  x' MOD 4 =0 \/ x' MOD 4 = 1\/ x' MOD 4 = 2 \/ x' MOD 4 =3`)
2900 THEN RESA_TAC
2901 THENL[
2902 PROVE_V_SY_EQ_TAC `4`;
2903 PROVE_V_SY_EQ_TAC `1`;
2904 PROVE_V_SY_EQ_TAC `2`;
2905 PROVE_V_SY_EQ_TAC `3`];
2906
2907 REWRITE_TAC[E_SY;rows]
2908 THEN REPLICATE_TAC 2 (POP_ASSUM MP_TAC)
2909 THEN POP_ASSUM(fun th-> REWRITE_TAC[SYM th;ARITH_RULE`(1<= i /\ i<= 4)<=> (i=1\/ i=2\/ i=3 \/ i=4)`] THEN ASSUME_TAC (SYM th))
2910 THEN REPEAT STRIP_TAC
2911 THEN ASM_REWRITE_TAC[IMAGE;EXTENSION;IN_ELIM_THM]
2912 THEN GEN_TAC
2913 THEN ONCE_REWRITE_TAC[GSYM EXTENSION]
2914 THEN EQ_TAC;
2915
2916 STRIP_TAC
2917 THEN ASM_REWRITE_TAC[]
2918 THENL[
2919 PROVE_E_SY_EQ_TAC `1`;
2920 PROVE_E_SY_EQ_TAC `2`;
2921 EXISTS_TAC `3`
2922 THEN MRESAL_TAC VECTOR_3_4[`(vv:num->real^3) 1`;`(vv:num->real^3) 2`;`(vv:num->real^3) 3`;`(vv:num->real^3) 0`;][ARITH_RULE`1<=4/\ 2<=4/\ 3<=4/\ 4<=4/\ 4 MOD 4= 0 /\ 1 MOD 4= 1 /\ 2 MOD 4= 2/\ 3 MOD 4= 3/\ ~(2=1)
2923 /\ SUC 4 MOD 4= 1 /\ SUC 1 MOD 4= 2 /\ SUC 2 MOD 4= 3/\ SUC 3 MOD 4= 0/\ ~(3=1)/\ ~(1=0)/\ SUC 1=2/\ SUC 0=1 /\ SUC 2= 3/\ SUC 3=4`]
2924 THEN MRESAL_TAC(GEN_ALL PERIODIC_PROPERTY)[`4`;`vv:num-> real^3`][ARITH_RULE`~(4=0)`]
2925 THEN POP_ASSUM(fun th-> MRESAL1_TAC th`SUC 3`[ARITH_RULE`SUC 3 MOD 4=0/\ SUC 3=4`])
2926 THEN POP_ASSUM(fun th-> REWRITE_TAC[SYM th])
2927 THEN SET_TAC[];
2928 PROVE_E_SY_EQ_TAC `0`];
2929
2930 STRIP_TAC
2931 THEN REWRITE_TAC[ARITH_RULE` (i=1\/ i=2\/ i=3 \/ i=4)<=> (1<= i /\ i<= 4)`]
2932 THEN MRESAL_TAC(GEN_ALL PERIODIC_PROPERTY)[`4`;`vv:num-> real^3`][ARITH_RULE`~(4=0)`]
2933 THEN POP_ASSUM (fun th-> MRESA1_TAC th`x':num` THEN MRESA1_TAC th`SUC x':num`)
2934 THEN POP_ASSUM (fun th-> ONCE_REWRITE_TAC[SYM th])
2935 THEN POP_ASSUM (fun th-> ONCE_REWRITE_TAC[SYM th])
2936 THEN MRESAL_TAC DIVISION[`x':num`;`4`][ARITH_RULE`~(4=0)`]
2937 THEN MP_TAC(ARITH_RULE`x' MOD 4 < 4==>  x' MOD 4 =0 \/ x' MOD 4 = 1\/ x' MOD 4 = 2 \/ x' MOD 4 =3`)
2938 THEN RESA_TAC
2939 THENL[
2940 PROOF_E_EQ_IMAGE_4 `4`;
2941 PROOF_E_EQ_IMAGE_4 `1`;
2942 PROOF_E_EQ_IMAGE_4 `2`;
2943 PROOF_E_EQ_IMAGE_4 `3`];
2944
2945 REWRITE_TAC[F_SY;rows]
2946 THEN REPLICATE_TAC 2 (POP_ASSUM MP_TAC)
2947 THEN POP_ASSUM(fun th-> REWRITE_TAC[SYM th;ARITH_RULE`(1<= i /\ i<= 4)<=> (i=1\/ i=2\/ i=3 \/ i=4)`] THEN ASSUME_TAC (SYM th))
2948 THEN REPEAT STRIP_TAC
2949 THEN ASM_REWRITE_TAC[IMAGE;EXTENSION;IN_ELIM_THM]
2950 THEN GEN_TAC
2951 THEN ONCE_REWRITE_TAC[GSYM EXTENSION]
2952 THEN EQ_TAC;
2953
2954 STRIP_TAC
2955 THEN ASM_REWRITE_TAC[]
2956 THENL[
2957 PROVE_E_SY_EQ_TAC `1`;
2958 PROVE_E_SY_EQ_TAC `2`;
2959 EXISTS_TAC `3`
2960 THEN MRESAL_TAC VECTOR_3_4[`(vv:num->real^3) 1`;`(vv:num->real^3) 2`;`(vv:num->real^3) 3`;`(vv:num->real^3) 0`;][ARITH_RULE`1<=4/\ 2<=4/\ 3<=4/\ 4<=4/\ 4 MOD 4= 0 /\ 1 MOD 4= 1 /\ 2 MOD 4= 2/\ 3 MOD 4= 3/\ ~(2=1)
2961 /\ SUC 4 MOD 4= 1 /\ SUC 1 MOD 4= 2 /\ SUC 2 MOD 4= 3/\ SUC 3 MOD 4= 0/\ ~(3=1)/\ ~(1=0)/\ SUC 1=2/\ SUC 0=1 /\ SUC 2= 3/\ SUC 3=4`]
2962 THEN MRESAL_TAC(GEN_ALL PERIODIC_PROPERTY)[`4`;`vv:num-> real^3`][ARITH_RULE`~(4=0)`]
2963 THEN POP_ASSUM(fun th-> MRESAL1_TAC th`SUC 3`[ARITH_RULE`SUC 3 MOD 4=0/\ SUC 3=4`])
2964 THEN POP_ASSUM(fun th-> REWRITE_TAC[SYM th])
2965 THEN SET_TAC[];
2966 PROVE_E_SY_EQ_TAC `0`];
2967
2968 STRIP_TAC
2969 THEN REWRITE_TAC[ARITH_RULE` (i=1\/ i=2\/ i=3 \/ i=4)<=> (1<= i /\ i<= 4)`]
2970 THEN MRESAL_TAC(GEN_ALL PERIODIC_PROPERTY)[`4`;`vv:num-> real^3`][ARITH_RULE`~(4=0)`]
2971 THEN POP_ASSUM (fun th-> MRESA1_TAC th`x':num` THEN MRESA1_TAC th`SUC x':num`)
2972 THEN POP_ASSUM (fun th-> ONCE_REWRITE_TAC[SYM th])
2973 THEN POP_ASSUM (fun th-> ONCE_REWRITE_TAC[SYM th])
2974 THEN MRESAL_TAC DIVISION[`x':num`;`4`][ARITH_RULE`~(4=0)`]
2975 THEN MP_TAC(ARITH_RULE`x' MOD 4 < 4==>  x' MOD 4 =0 \/ x' MOD 4 = 1\/ x' MOD 4 = 2 \/ x' MOD 4 =3`)
2976 THEN RESA_TAC
2977 THENL[
2978 PROOF_E_EQ_IMAGE_4 `4`;
2979 PROOF_E_EQ_IMAGE_4 `1`;
2980 PROOF_E_EQ_IMAGE_4 `2`;
2981 PROOF_E_EQ_IMAGE_4 `3`];
2982 ]);;
2983   (* }}} *)
2984
2985
2986
2987
2988
2989
2990 let IN_BALL_ANNULUS_ROW_TAC_4=
2991 fun (th:term)->
2992 ASM_SIMP_TAC[]
2993 THEN MRESAL_TAC VECTOR_3_4[`(vv:num->real^3) 1`;`(vv:num->real^3) 2`;`(vv:num->real^3) 3`;`(vv:num->real^3) 0`][ARITH_RULE`1<=4/\ 2<=4/\ 3<=4/\ 4<=4`]
2994 THEN MATCH_MP_TAC(SET_RULE`
2995 vv th IN  IMAGE vv (:num) /\ IMAGE vv (:num) SUBSET ball_annulus
2996 ==> vv th IN ball_annulus`)
2997 THEN ASM_REWRITE_TAC[IMAGE;IN_ELIM_THM]
2998 THEN EXISTS_TAC th
2999 THEN REWRITE_TAC[SET_RULE`(a:num)IN (:num)`]
3000 ;;
3001
3002
3003
3004 let INEQUALITY_PROOF_TAC40=
3005 fun (so:term) (so1:term)->
3006 ASM_SIMP_TAC[change_type_v3]
3007 THEN MRESAL_TAC VECTOR_3_4[`(vv:num->real^3) 1`;`(vv:num->real^3) 2`;`(vv:num->real^3) 3`;`(vv:num->real^3) 0`;][ARITH_RULE`1<=4/\ 2<=4/\ 3<=4/\ 4<=4/\ 4 MOD 4= 0 /\ 1 MOD 4= 1 /\ 2 MOD 4= 2/\ 3 MOD 4= 3/\ ~(2=1)
3008 /\ SUC 4 MOD 4= 1 /\ SUC 1 MOD 4= 2 /\ SUC 2 MOD 4= 3/\ SUC 3 MOD 4= 0/\ ~(3=1)/\ ~(1=0)`]
3009 THEN REPLICATE_TAC 12 (POP_ASSUM MP_TAC)
3010 THEN POP_ASSUM(fun th-> MRESAL_TAC th[so;so1][dist;ARITH_RULE`1<=4/\ 2<=4/\ 3<=4/\ 4<=4/\ 0 MOD 4= 0 /\ 1 MOD 4= 1 /\ 2 MOD 4= 2/\ 3 MOD 4= 3/\ ~(2=1)
3011 /\ SUC 0 MOD 4= 1 /\ SUC 1 MOD 4= 2 /\ SUC 2 MOD 4= 3/\ SUC 3 MOD 4= 0 /\ ~(2=0)/\ ~(3=0)/\ ~(2=3)/\ ~(3=1)/\ ~(1=0)`]);;
3012
3013
3014
3015
3016 let INEQUALITY_PROOF_TAC4=
3017 fun (th:term)->
3018 MP_TAC(ARITH_RULE`1<= i /\ i<= 4==> i=1\/ i=2\/ i=3\/ i=4`)
3019 THEN RESA_TAC
3020 THENL[
3021 INEQUALITY_PROOF_TAC40 `1` th;
3022 INEQUALITY_PROOF_TAC40 `2` th;
3023 INEQUALITY_PROOF_TAC40 `3` th;
3024 INEQUALITY_PROOF_TAC40 `0` th];;
3025
3026
3027
3028
3029
3030 let IN_NOT_EMPTY_CASE_4=prove_by_refinement(
3031 `(s=let upperbd = &6 in
3032   let a_pro = (\k p a1 a2 i j. (if (i MOD k = j MOD k) then &0
3033                                 else (if {i MOD k,j MOD k}={0,1} then p
3034                                       else (if (j MOD k = SUC i MOD k) \/ (SUC j MOD k = i MOD k) then a1 else a2)))) in
3035          mk_unadorned_v39 4 (d_tame 4) (cs_adj 4 (&2) (&2 * h0)) (cs_adj 4 (&2 * h0) upperbd))
3036 /\ vv IN BBs_v39 s
3037 /\ scs_k_v39 s= dimindex(:M)
3038 /\ vector[(vv:num->real^3) 1;(vv:num->real^3) 2;(vv:num->real^3) 3;(vv:num->real^3) 0]:real^3^M= v
3039 /\ matvec (v:real^3^M) =a
3040 ==>
3041 a IN {matvec(v:real^3^M) | (!i. 1<=i /\  i <= dimindex(:M)==> row i v IN ball_annulus) /\  CONDITION1_SY (change_type_v3 (scs_a_v39 s)) (change_type_v3 (scs_b_v39 s)) v /\ CONDITION2_SY v }`,
3042   (* {{{ proof *)
3043 [
3044
3045 REWRITE_TAC[SET_RULE`~(A={})<=> (?a. a IN A)`;IN_ELIM_THM;CONDITION1_SY;CONDITION2_SY]
3046 THEN REPEAT STRIP_TAC
3047 THEN POP_ASSUM MP_TAC
3048 THEN POP_ASSUM MP_TAC
3049 THEN POP_ASSUM MP_TAC
3050 THEN POP_ASSUM MP_TAC
3051 THEN ASM_REWRITE_TAC[scs_k_v39_explicit;scs_a_v39_explicit;scs_b_v39_explicit;LET_DEF;LET_END_DEF;BBs_v39;ARITH_RULE`~(4<=3)`;mk_unadorned_v39;CS_ADJ]
3052 THEN GEN_REWRITE_TAC(LAND_CONV  o DEPTH_CONV)[IN]
3053 THEN ASM_REWRITE_TAC[scs_k_v39_explicit;scs_a_v39_explicit;scs_b_v39_explicit;BBs_v39;ARITH_RULE`3<=3`;LET_DEF;LET_END_DEF;ARITH_RULE`~(4<=3)`]
3054 THEN REPEAT STRIP_TAC
3055 THEN ASM_REWRITE_TAC[]
3056 THEN EXISTS_TAC`v:real^3^M`
3057 THEN STRIP_TAC;
3058
3059 STRIP_TAC;
3060
3061 REPLICATE_TAC 2 (POP_ASSUM MP_TAC)
3062 THEN POP_ASSUM(fun th-> REWRITE_TAC[SYM th;ARITH_RULE`(1<= i /\ i<= 4)<=> (i=1\/ i=2\/ i=3 \/ i=4)`] THEN ASSUME_TAC (SYM th))
3063 THEN REPEAT STRIP_TAC
3064 THENL[
3065 IN_BALL_ANNULUS_ROW_TAC_4 `1`;
3066 IN_BALL_ANNULUS_ROW_TAC_4 `2`;
3067 IN_BALL_ANNULUS_ROW_TAC_4 `3`;
3068 IN_BALL_ANNULUS_ROW_TAC_4 `0`];
3069
3070 STRIP_TAC;
3071
3072 REPLICATE_TAC 2 (POP_ASSUM MP_TAC)
3073 THEN POP_ASSUM(fun th-> REWRITE_TAC[SYM th;ARITH_RULE`(1<= i /\ i<= 4)<=> (i=1\/ i=2\/ i=3 \/ i=4)`] THEN ASSUME_TAC (SYM th))
3074 THEN REPEAT DISCH_TAC
3075 THEN REPEAT GEN_TAC
3076 THEN STRIP_TAC
3077 THENL[
3078 INEQUALITY_PROOF_TAC4 `1`;
3079 INEQUALITY_PROOF_TAC4 `2`;
3080 INEQUALITY_PROOF_TAC4 `3`;
3081 INEQUALITY_PROOF_TAC4 `0`];
3082
3083 MP_TAC V_E_FF_CASE_4
3084 THEN ASM_REWRITE_TAC[scs_k_v39_explicit;scs_d_v39_explicit;scs_a_v39_explicit;scs_b_v39_explicit;BBs_v39;ARITH_RULE`3<=3`;LET_DEF;LET_END_DEF;ARITH_RULE`~(4<=3)`;IN;mk_unadorned_v39;CS_ADJ]
3085 THEN POP_ASSUM MP_TAC
3086 THEN POP_ASSUM MP_TAC
3087 THEN POP_ASSUM(fun th-> ASM_REWRITE_TAC[SYM th])
3088 THEN REPEAT RESA_TAC;
3089
3090 ASM_REWRITE_TAC[];
3091 ]);;
3092   (* }}} *)
3093
3094
3095
3096 let NOT_EMPTY_CASE_4=prove_by_refinement(
3097 `(s=let upperbd = &6 in
3098   let a_pro = (\k p a1 a2 i j. (if (i MOD k = j MOD k) then &0
3099                                 else (if {i MOD k,j MOD k}={0,1} then p
3100                                       else (if (j MOD k = SUC i MOD k) \/ (SUC j MOD k = i MOD k) then a1 else a2)))) in
3101          mk_unadorned_v39 4 (d_tame 4) (cs_adj 4 (&2) (&2 * h0)) (cs_adj 4 (&2 * h0) upperbd))
3102 /\ vv IN BBs_v39 s
3103 /\ scs_k_v39 s= dimindex(:M)
3104 ==>
3105 ~({matvec(v:real^3^M) | (!i. 1<=i /\  i <= dimindex(:M)==> row i v IN ball_annulus) /\  CONDITION1_SY (change_type_v3 (scs_a_v39 s)) (change_type_v3 (scs_b_v39 s)) v /\ CONDITION2_SY v }={})`
3106 ,
3107   (* {{{ proof *)
3108 [
3109 REWRITE_TAC[SET_RULE`~(A={})<=> (?a. a IN A)`;]
3110 THEN STRIP_TAC
3111 THEN ABBREV_TAC`v=vector[(vv:num->real^3) 1;(vv:num->real^3) 2;(vv:num->real^3) 3;(vv:num->real^3) 0]:real^3^M`
3112 THEN ABBREV_TAC`a=matvec (v:real^3^M) `
3113 THEN EXISTS_TAC`a:real^(M,3)finite_product`
3114 THEN MATCH_MP_TAC IN_NOT_EMPTY_CASE_4
3115 THEN ASM_REWRITE_TAC[]
3116 ]);;
3117   (* }}} *)
3118
3119
3120
3121
3122 let TAUSTAR_EQ_TAU_STAR_4=prove_by_refinement(
3123 `(let upperbd = &6 in
3124   let a_pro = (\k p a1 a2 i j. (if (i MOD k = j MOD k) then &0
3125                                 else (if {i MOD k,j MOD k}={0,1} then p
3126                                       else (if (j MOD k = SUC i MOD k) \/ (SUC j MOD k = i MOD k) then a1 else a2)))) in
3127          mk_unadorned_v39 4 (d_tame 4) (cs_adj 4 (&2) (&2 * h0)) (cs_adj 4 (&2 * h0) upperbd))=s
3128 /\ vv IN BBs_v39 s
3129 /\ scs_k_v39 s= dimindex(:M)
3130 /\ vector[(vv:num->real^3) 1;(vv:num->real^3) 2;(vv:num->real^3) 3;(vv:num->real^3) 0]:real^3^M= v
3131 /\ matvec (v:real^3^M) =a
3132 /\ stable_sy((scs_k_v39 s),(scs_d_v39 s),(0..scs_k_v39 s - 1),
3133          (change_type_v3 (scs_a_v39 s)),
3134          (change_type_v3 (scs_b_v39 s)),
3135          (change_type_v2 (scs_J_v39 s) (scs_k_v39 s)),
3136          (\i. (1 + i) MOD scs_k_v39 s))=s1
3137 ==>  taustar_v39 s vv = tau_star s1 a`,
3138   (* {{{ proof *)
3139 [
3140 REPEAT STRIP_TAC
3141 THEN MP_TAC V_E_FF_CASE_4
3142 THEN RESA_TAC
3143 THEN SUBGOAL_THEN`scs_k_v39 s =4` ASSUME_TAC;
3144
3145 EXPAND_TAC"s"
3146 THEN REWRITE_TAC[scs_k_v39_explicit;scs_d_v39_explicit;scs_a_v39_explicit;scs_b_v39_explicit;BBs_v39;ARITH_RULE`3<=3`;LET_DEF;LET_END_DEF;ARITH_RULE`~(4<=3)`;IN;mk_unadorned_v39;];
3147
3148 POP_ASSUM MP_TAC
3149 THEN RESA_TAC
3150 THEN ASM_REWRITE_TAC[taustar_v39;tau_star]
3151 THEN ASM_REWRITE_TAC[scs_k_v39_explicit;scs_d_v39_explicit;scs_a_v39_explicit;scs_b_v39_explicit;BBs_v39;ARITH_RULE`3<=3`;LET_DEF;LET_END_DEF;ARITH_RULE`~(4<=3)`;IN;mk_unadorned_v39;]
3152 THEN ASM_SIMP_TAC[dsv_J_empty]
3153 THEN MP_TAC SCS_4_IS_TRI_STABLE
3154 THEN ASM_REWRITE_TAC[LET_DEF;LET_END_DEF]
3155 THEN STRIP_TAC
3156 THEN MRESAL_TAC stable_sy_explicit[`(scs_k_v39 s)`;`(scs_d_v39 s)`;`(0..scs_k_v39 s - 1)`;`
3157          (change_type_v3 (scs_a_v39 s))`;`
3158          (change_type_v3 (scs_b_v39 s))`;`
3159          (change_type_v2 (scs_J_v39 s)(scs_k_v39 s))`;`
3160          (\i. (1 + i) MOD scs_k_v39 s)`][LET_DEF;LET_END_DEF;d_fun]
3161 THEN SUBGOAL_THEN`J1_SY (s1:stable_sy)={}` ASSUME_TAC;
3162
3163 ASM_REWRITE_TAC[J1_SY;]
3164 THEN EXPAND_TAC"s"
3165 THEN REWRITE_TAC[scs_J_v39_explicit;LET_DEF;LET_END_DEF;mk_unadorned_v39;change_type_v2;SET_RULE`a IN  {{i, j} | F}<=> F`]
3166 THEN SET_TAC[];
3167
3168 ASM_REWRITE_TAC[SUM_CLAUSES;REAL_ARITH`a* &0= &0 /\a + &0=a`]
3169 THEN EXPAND_TAC"a"
3170 THEN REWRITE_TAC[MATVEC_VECMATS_ID;VECMATS_MATVEC_ID]
3171 THEN ASM_REWRITE_TAC[REAL_ARITH`A-B=A-C<=>B=C`]
3172 THEN MATCH_MP_TAC dsv_J_empty
3173 THEN EXPAND_TAC"s"
3174 THEN REWRITE_TAC[scs_J_v39_explicit;LET_DEF;LET_END_DEF;mk_unadorned_v39;change_type_v2;SET_RULE`a IN  {{i, j} | F}<=> F`]
3175 ]);;
3176   (* }}} *)
3177
3178
3179
3180
3181
3182
3183
3184
3185
3186
3187
3188
3189
3190
3191
3192
3193
3194
3195 let VV_IN_BALL_ANNULUS_TAC_4=
3196 fun (so:term)->
3197 REPLICATE_TAC 8 (POP_ASSUM MP_TAC)
3198 THEN POP_ASSUM(fun th-> MRESAL1_TAC th so [ARITH_RULE`1<=1 /\ 1<=2 /\1<=3 /\ 1<= 4/\ 1<=4 /\ 2<=4/\ 3<=4/\ 4<=4/\ ~(1=0)/\ ~(2=0) /\ ~(3=0)/\ ~(2=1)/\ ~(3=1)/\ ~(3=2) `] )
3199 ;;
3200
3201
3202
3203
3204
3205
3206
3207 let SCS_A_B__EQ_MOD_4=prove(
3208 `s=(let upperbd = &6 in
3209   let a_pro = (\k p a1 a2 i j. (if (i MOD k = j MOD k) then &0
3210                                 else (if {i MOD k,j MOD k}={0,1} then p
3211                                       else (if (j MOD k = SUC i MOD k) \/ (SUC j MOD k = i MOD k) then a1 else a2)))) in
3212          mk_unadorned_v39 4 (d_tame 4) (cs_adj 4 (&2) (&2 * h0)) (cs_adj 4 (&2 * h0) upperbd))
3213 ==>
3214 !i j. scs_a_v39 s i j = scs_a_v39 s (i MOD 4) (j MOD 4)/\
3215  scs_b_v39 s i j = scs_b_v39 s (i MOD 4) (j MOD 4)`,
3216 REPEAT STRIP_TAC
3217 THEN ASM_REWRITE_TAC[scs_k_v39_explicit;scs_d_v39_explicit;scs_a_v39_explicit;scs_b_v39_explicit;BBs_v39;ARITH_RULE`3<=3`;LET_DEF;LET_END_DEF;ARITH_RULE`~(4<=3)`;IN;mk_unadorned_v39;CS_ADJ]
3218 THEN MRESAL_TAC MOD_MOD_REFL[`i:num`;`4`][ARITH_RULE`~(4=0)`]
3219 THEN MRESAL_TAC MOD_MOD_REFL[`j:num`;`4`][ARITH_RULE`~(4=0)`]
3220 THEN MRESAL_TAC MOD_ADD_MOD[`j:num`;`1:num`;`4`][ARITH_RULE`~(4=0) /\ 1 MOD 4=1`;ADD1]
3221 THEN MRESAL_TAC MOD_ADD_MOD[`i:num`;`1:num`;`4`][ARITH_RULE`~(4=0) /\ 1 MOD 4=1`;ADD1]);;
3222
3223
3224
3225
3226
3227 let PROVE_INEQUALITY_TAC_40=
3228 fun (so:term) (so1:term)->
3229 REPLICATE_TAC 7(POP_ASSUM MP_TAC)
3230 THEN POP_ASSUM(fun th-> MRESAL_TAC th[so;so1][ARITH_RULE`1<=4 /\ 4<=4/\ 1<=1 /\ 1<=4/\ 1<=2 /\ 2<=4/\1<=3 /\ 3<=4`])
3231 THEN POP_ASSUM( fun th->
3232 POP_ASSUM( fun th1->
3233 REPEAT DISCH_TAC
3234 THEN MP_TAC th THEN MP_TAC th1
3235 THEN POP_ASSUM(fun th2-> ONCE_REWRITE_TAC[th2]
3236 THEN POP_ASSUM(fun th3-> MRESAL1_TAC th3`4`[ARITH_RULE`4 MOD 4=0`]
3237 THEN MRESAL1_TAC th3`1`[ARITH_RULE`1 MOD 4=1/\ ~(1=0)`]
3238 THEN MRESAL1_TAC th3`2`[ARITH_RULE`2 MOD 4=2/\ ~(2=0)/\ ~(2=1)`]
3239 THEN MRESAL1_TAC th3`3`[ARITH_RULE`3 MOD 4=3/\ ~(3=0)/\ ~(3=1)/\ ~(3=2)`])
3240 THEN MRESAL1_TAC th2`4`[ARITH_RULE`4 MOD 4=0`])
3241 ))
3242 THEN MP_TAC SCS_A_B__EQ_MOD_4
3243 THEN ASM_REWRITE_TAC[]
3244 THEN STRIP_TAC
3245 THEN POP_ASSUM(fun th-> ONCE_REWRITE_TAC[th])
3246 THEN ASM_REWRITE_TAC[ARITH_RULE`4 MOD 4=0/\ 1 MOD 4=1/\ 2 MOD 4=2 /\ 3 MOD 4=3`]
3247 THEN RESA_TAC
3248 THEN RESA_TAC
3249 ;;
3250
3251
3252 let PROVE_INEQUALITY_TAC_4=
3253 fun (th:term)->
3254 MP_TAC(ARITH_RULE`(j MOD 4<4)==> (j MOD 4=0) \/ (j MOD 4=1) \/ (j MOD 4=2)\/ (j MOD 4=3)`)
3255 THEN RESA_TAC
3256 THENL[
3257 PROVE_INEQUALITY_TAC_40  th `4`;
3258 PROVE_INEQUALITY_TAC_40 th `1`;
3259 PROVE_INEQUALITY_TAC_40  th `2`;
3260 PROVE_INEQUALITY_TAC_40  th `3`];;
3261
3262
3263
3264 let V_SY_EQ_IMAGE_VV_TAC4=
3265 fun (th:term)->
3266 ASM_REWRITE_TAC[]
3267 THEN EXISTS_TAC th
3268 THEN ASM_REWRITE_TAC[SET_RULE`(a:num)IN (:num)`;ARITH_RULE`1 MOD 4=1 /\ ~(1=0) /\ 2 MOD 4=2 /\ ~(2=0)/\ ~(2=1)/\ 3 MOD 4=3 /\ ~(3=0)/\ ~(3=1)/\ ~(3=2)/\ 4 MOD 4=0`];;
3269
3270
3271
3272 let PROVE_E_SY_EQ_MOD_TAC_4=
3273 fun (th:term)->
3274 EXISTS_TAC th
3275 THEN ASM_REWRITE_TAC[ARITH_RULE`~(3=0)/\ ~(3=1)/\ ~(3=2)/\ ~(2=0)/\ ~(2=1)/\ ~(1=0)`]
3276 THEN ARITH_TAC;;
3277
3278
3279
3280 let PROVE_E_SY_EQ_IMAGE_VV_4=
3281 fun (so:term)->
3282 EXISTS_TAC so
3283 THEN ASM_REWRITE_TAC[ARITH_RULE`~(1=0)`]
3284 THEN MRESAL_TAC MOD_ADD_MOD[`x':num`;`1:num`;`4`][ARITH_RULE`~(4=0) /\ 1 MOD 4=1/\ 1<=4/\ 4<=4/\ 0+1=1`;ADD1]
3285 THEN POP_ASSUM(fun th-> REWRITE_TAC[SYM th;ARITH_RULE`~(1=0)/\ 4 MOD 4=0/\ 0+1=1/\ 1<=1 /\ 1+1=2/\ 2 MOD 4=2/\ ~(2=0)/\ ~(2=1)/\ 2+1=3/\ 3 MOD 4=3
3286 /\ ~(3=0)/\ ~(3=1)/\ ~(3=2)/\1<=2/\ 2<=4
3287 /\ 1<=3/\ 3<=4/\ 3+1=4`])
3288 ;;
3289
3290
3291
3292 let PROOF_E_EQ_TAC_4=
3293 fun (th:term)->
3294 EXISTS_TAC th
3295 THEN ASM_REWRITE_TAC[ARITH_RULE`~(1=0)/\ 1 MOD 4=1/\ SUC 1=2/\ 2 MOD 4=2/\ ~(2=0)/\ ~(2=1)/\ SUC 2=3 /\ 3 MOD 4=3/\ ~(3=0) /\ ~(3=1)/\ ~(3=2)/\ SUC 3=4/\  4 MOD 4=0/\ SUC 0=1 /\ SUC 4=5/\  5 MOD 4=1`;SET_RULE`(a:num) IN (:num)`]
3296 ;;
3297
3298
3299
3300 let  IN_NOT_EMPTY_B1_SY_4=prove_by_refinement(
3301 `(let upperbd = &6 in
3302   let a_pro = (\k p a1 a2 i j. (if (i MOD k = j MOD k) then &0
3303                                 else (if {i MOD k,j MOD k}={0,1} then p
3304                                       else (if (j MOD k = SUC i MOD k) \/ (SUC j MOD k = i MOD k) then a1 else a2)))) in
3305          mk_unadorned_v39 4 (d_tame 4) (cs_adj 4 (&2) (&2 * h0)) (cs_adj 4 (&2 * h0) upperbd))=s/\
3306  scs_k_v39 s= dimindex(:M)/\
3307  matvec (v:real^3^M) =a/\
3308 (!i. 1<=i /\  i <= dimindex(:M)==> row i v IN ball_annulus) /\
3309  CONDITION1_SY (change_type_v3 (scs_a_v39 s)) (change_type_v3 (scs_b_v39 s)) v /\
3310  CONDITION2_SY v
3311 /\ (!i. vv i =
3312 if i MOD scs_k_v39 s = 0 then row 4 v else
3313 if i MOD scs_k_v39 s = 1 then row 1 v else
3314 if i MOD scs_k_v39 s = 2 then row 2 v else
3315 row 3 v)
3316 ==> vv IN BBs_v39 s`,
3317   (* {{{ proof *)
3318 [
3319 REWRITE_TAC[CONDITION1_SY;CONDITION2_SY;change_type_v3]
3320 THEN REPEAT STRIP_TAC
3321 THEN SUBGOAL_THEN`scs_k_v39 s =4` ASSUME_TAC;
3322
3323
3324 EXPAND_TAC"s"
3325 THEN REWRITE_TAC[scs_k_v39_explicit;scs_d_v39_explicit;scs_a_v39_explicit;scs_b_v39_explicit;BBs_v39;ARITH_RULE`3<=3`;LET_DEF;LET_END_DEF;ARITH_RULE`~(4<=3)`;IN;mk_unadorned_v39;];
3326
3327 POP_ASSUM (fun th->
3328 REPLICATE_TAC 5 (POP_ASSUM MP_TAC)
3329 THEN POP_ASSUM(fun th1-> ASSUME_TAC(SYM th1))
3330 THEN ASSUME_TAC th
3331 THEN REPEAT STRIP_TAC)
3332 THEN POP_ASSUM MP_TAC
3333 THEN ASM_REWRITE_TAC[th;IN]
3334 THEN STRIP_TAC
3335 THEN REWRITE_TAC[scs_k_v39_explicit;scs_d_v39_explicit;scs_a_v39_explicit;scs_b_v39_explicit;BBs_v39;ARITH_RULE`3<=3`;LET_DEF;LET_END_DEF;ARITH_RULE`~(4<=3)`;IN;mk_unadorned_v39;]
3336 THEN STRIP_TAC;
3337
3338 ASM_REWRITE_TAC[IMAGE;SUBSET;IN_ELIM_THM]
3339 THEN REPEAT STRIP_TAC
3340 THEN ASM_REWRITE_TAC[]
3341 THEN MRESAL_TAC DIVISION[`x':num`;`4`][ARITH_RULE`~(4=0)`]
3342 THEN MP_TAC(ARITH_RULE`x' MOD 4<4 ==> x' MOD 4 = 0 \/ x' MOD 4 = 1 \/ x' MOD 4 = 2 \/ x' MOD 4 = 3`)
3343 THEN RESA_TAC
3344 THENL[
3345 VV_IN_BALL_ANNULUS_TAC_4 `4`;
3346 VV_IN_BALL_ANNULUS_TAC_4 `1`;
3347 VV_IN_BALL_ANNULUS_TAC_4 `2`;
3348 VV_IN_BALL_ANNULUS_TAC_4 `3`];
3349
3350
3351 STRIP_TAC;
3352
3353 ASM_REWRITE_TAC[periodic]
3354 THEN GEN_TAC
3355 THEN MRESAL_TAC MOD_EQ[`i+4:num`;`i:num`;`4:num`;`1`][ARITH_RULE`1*A=A`];
3356
3357 STRIP_TAC;
3358
3359 REWRITE_TAC[dist]
3360 THEN REPEAT GEN_TAC
3361 THEN SUBGOAL_THEN`!i. (vv:num->real^3) i= vv (i MOD 4)` ASSUME_TAC;
3362
3363 POP_ASSUM(fun th-> ONCE_REWRITE_TAC[th])
3364 THEN GEN_TAC
3365 THEN MRESAL_TAC MOD_MOD_REFL[`i:num`;`4`][ARITH_RULE`~(4=0)`];
3366
3367
3368 POP_ASSUM MP_TAC
3369 THEN POP_ASSUM MP_TAC
3370 THEN MRESAL_TAC DIVISION[`i:num`;`4`][ARITH_RULE`~(4=0)`]
3371 THEN MRESAL_TAC DIVISION[`j:num`;`4`][ARITH_RULE`~(4=0)`]
3372 THEN MP_TAC(ARITH_RULE`(i MOD 4<4)==> (i MOD 4=0) \/ (i MOD 4=1) \/ (i MOD 4=2)\/ (i MOD 4=3)`)
3373 THEN RESA_TAC
3374 THENL[
3375 PROVE_INEQUALITY_TAC_4 `4`;
3376 PROVE_INEQUALITY_TAC_4 `1`;
3377 PROVE_INEQUALITY_TAC_4 `2`;
3378 PROVE_INEQUALITY_TAC_4 `3`];
3379
3380 POP_ASSUM MP_TAC
3381 THEN ASM_REWRITE_TAC[ARITH_RULE`~(4<=3)`]
3382 THEN STRIP_TAC
3383 THEN SUBGOAL_THEN`V_SY (v:real^3^M) = IMAGE vv (:num)`ASSUME_TAC;
3384
3385
3386 ASM_REWRITE_TAC[V_SY;rows;IMAGE;EXTENSION;IN_ELIM_THM]
3387 THEN GEN_TAC
3388 THEN EQ_TAC;
3389
3390 ASM_REWRITE_TAC[ARITH_RULE`(1 <= i /\ i <= 4)<=> i= 1\/ i=2 \/ i=3 \/ i=4`]
3391 THEN STRIP_TAC
3392 THENL[
3393 V_SY_EQ_IMAGE_VV_TAC4 `1`;
3394 V_SY_EQ_IMAGE_VV_TAC4 `2`;
3395 V_SY_EQ_IMAGE_VV_TAC4 `3`;
3396 V_SY_EQ_IMAGE_VV_TAC4 `4`];
3397
3398 RESA_TAC
3399 THEN MRESAL_TAC DIVISION[`x':num`;`4`][ARITH_RULE`~(4=0)`]
3400 THEN MP_TAC(ARITH_RULE`(x' MOD 4<4)==> (x' MOD 4=0) \/ (x' MOD 4=1) \/ (x' MOD 4=2)\/ (x' MOD 4=3)`)
3401 THEN RESA_TAC
3402 THENL[
3403 PROVE_E_SY_EQ_MOD_TAC_4 `4`;
3404 PROVE_E_SY_EQ_MOD_TAC_4 `1`;
3405 PROVE_E_SY_EQ_MOD_TAC_4 `2`;
3406 PROVE_E_SY_EQ_MOD_TAC_4 `3`];
3407
3408
3409
3410
3411 SUBGOAL_THEN`E_SY (v:real^3^M) = IMAGE (\i. {vv i, vv (SUC i)}) (:num)`ASSUME_TAC;
3412
3413
3414 ASM_REWRITE_TAC[E_SY;rows;IMAGE;]
3415 THEN ONCE_REWRITE_TAC[EXTENSION;]
3416 THEN ASM_REWRITE_TAC[IN_ELIM_THM]
3417 THEN GEN_TAC
3418 THEN EQ_TAC;
3419
3420
3421 ASM_REWRITE_TAC[ARITH_RULE`(1 <= i /\ i <= 4)<=> i= 1\/ i=2 \/ i=3 \/ i=4`]
3422 THEN RESA_TAC
3423 THENL[
3424 PROOF_E_EQ_TAC_4`1`;
3425 PROOF_E_EQ_TAC_4`2`;
3426 PROOF_E_EQ_TAC_4`3`;
3427 PROOF_E_EQ_TAC_4`4`];
3428
3429 RESA_TAC
3430 THEN MRESAL_TAC DIVISION[`x':num`;`4`][ARITH_RULE`~(4=0)`]
3431 THEN MP_TAC(ARITH_RULE`(x' MOD 4<4)==> (x' MOD 4=0) \/ (x' MOD 4=1) \/ (x' MOD 4=2)\/ (x' MOD 4=3)`)
3432 THEN RESA_TAC
3433 THENL[
3434 PROVE_E_SY_EQ_IMAGE_VV_4 `4`;
3435 PROVE_E_SY_EQ_IMAGE_VV_4 `1`;
3436 PROVE_E_SY_EQ_IMAGE_VV_4 `2`;
3437 PROVE_E_SY_EQ_IMAGE_VV_4 `3`];
3438
3439 SUBGOAL_THEN`F_SY (v:real^3^M) = IMAGE (\i. (vv i, vv (SUC i))) (:num)`ASSUME_TAC;
3440
3441
3442 ASM_REWRITE_TAC[F_SY;rows;IMAGE;]
3443 THEN ONCE_REWRITE_TAC[EXTENSION;]
3444 THEN ASM_REWRITE_TAC[IN_ELIM_THM]
3445 THEN GEN_TAC
3446 THEN EQ_TAC;
3447
3448 ASM_REWRITE_TAC[ARITH_RULE`(1 <= i /\ i <= 4)<=> i= 1\/ i=2 \/ i=3 \/ i=4`]
3449 THEN RESA_TAC
3450 THENL[
3451 PROOF_E_EQ_TAC_4`1`;
3452 PROOF_E_EQ_TAC_4`2`;
3453 PROOF_E_EQ_TAC_4`3`;
3454 PROOF_E_EQ_TAC_4`4`];
3455
3456 RESA_TAC
3457 THEN MRESAL_TAC DIVISION[`x':num`;`4`][ARITH_RULE`~(4=0)`]
3458 THEN MP_TAC(ARITH_RULE`(x' MOD 4<4)==> (x' MOD 4=0) \/ (x' MOD 4=1) \/ (x' MOD 4=2)\/ (x' MOD 4=3)`)
3459 THEN RESA_TAC
3460 THENL[
3461 PROVE_E_SY_EQ_IMAGE_VV_4 `4`;
3462 PROVE_E_SY_EQ_IMAGE_VV_4 `1`;
3463 PROVE_E_SY_EQ_IMAGE_VV_4 `2`;
3464 PROVE_E_SY_EQ_IMAGE_VV_4 `3`];
3465
3466 POP_ASSUM (fun th-> REWRITE_TAC[SYM th])
3467 THEN POP_ASSUM (fun th-> REWRITE_TAC[SYM th])
3468 THEN POP_ASSUM (fun th-> REWRITE_TAC[SYM th])
3469 THEN ASM_REWRITE_TAC[];
3470 ]);;
3471   (* }}} *)
3472
3473
3474
3475
3476
3477 let XWITCCN_CASE_4=prove_by_refinement(
3478 `(let upperbd = &6 in
3479   let a_pro = (\k p a1 a2 i j. (if (i MOD k = j MOD k) then &0
3480                                 else (if {i MOD k,j MOD k}={0,1} then p
3481                                       else (if (j MOD k = SUC i MOD k) \/ (SUC j MOD k = i MOD k) then a1 else a2)))) in
3482          mk_unadorned_v39 4 (d_tame 4) (cs_adj 4 (&2) (&2 * h0)) (cs_adj 4 (&2 * h0) upperbd))=s
3483  /\ vv IN BBs_v39 s /\
3484   taustar_v39 s vv < &0
3485 /\ scs_k_v39 s= dimindex(:M)
3486  ==> ~(BBprime_v39 s = {})`,
3487   (* {{{ proof *)
3488 [
3489 REPEAT GEN_TAC
3490 THEN STRIP_TAC
3491 THEN MP_TAC SCS_4_IS_TRI_STABLE
3492 THEN RESA_TAC
3493 THEN MP_TAC NOT_EMPTY_CASE_4
3494 THEN RESA_TAC
3495 THEN REWRITE_TAC[SET_RULE`~(A={})<=> ?a. a IN A`]
3496 THEN ABBREV_TAC`s1 =stable_sy((scs_k_v39 s),(scs_d_v39 s),(0..scs_k_v39 s - 1),
3497          (change_type_v3 (scs_a_v39 s)),
3498          (change_type_v3 (scs_b_v39 s)),
3499          (change_type_v2 (scs_J_v39 s) (scs_k_v39 s)),
3500          (\i. (1 + i) MOD scs_k_v39 s))`
3501 THEN MRESA_TAC stable_sy_explicit[`(scs_k_v39 s)`;`(scs_d_v39 s)`;`(0..scs_k_v39 s - 1)`;`
3502          (change_type_v3 (scs_a_v39 s))`;`
3503          (change_type_v3 (scs_b_v39 s))`;`
3504          (change_type_v2 (scs_J_v39 s) (scs_k_v39 s))`;`
3505          (\i. (1 + i) MOD scs_k_v39 s)`]
3506 THEN SUBGOAL_THEN`scs_k_v39 s =4` ASSUME_TAC;
3507
3508 EXPAND_TAC"s"
3509 THEN REWRITE_TAC[scs_k_v39_explicit;scs_d_v39_explicit;scs_a_v39_explicit;scs_b_v39_explicit;BBs_v39;ARITH_RULE`3<=3`;LET_DEF;LET_END_DEF;ARITH_RULE`~(4<=3)`;IN;mk_unadorned_v39;];
3510
3511 POP_ASSUM (fun th->
3512 REPLICATE_TAC 11 (POP_ASSUM MP_TAC)
3513 THEN REWRITE_TAC[th]
3514 THEN STRIP_TAC
3515 THEN POP_ASSUM(fun th1-> ASSUME_TAC(SYM th1))
3516 THEN ASSUME_TAC th
3517 THEN REPEAT RESA_TAC)
3518 THEN MRESAL_TAC (GEN_ALL HDPLYGY)[`(scs_k_v39 s)`;`s1:stable_sy`][k_sy;B_SY1;ARITH_RULE`2<4`;]
3519 THEN POP_ASSUM (fun th->
3520 POP_ASSUM MP_TAC
3521 THEN ASM_REWRITE_TAC[IN_ELIM_THM]
3522 THEN STRIP_TAC
3523 THEN ASSUME_TAC th)
3524 THEN REWRITE_TAC[BBprime_v39;IN]
3525 THEN ABBREV_TAC`( vv1 i =
3526 if i MOD scs_k_v39 s = 0 then row 4 v else
3527 if i MOD scs_k_v39 s = 1 then row 1 v else
3528 if i MOD scs_k_v39 s = 2 then row 2 v else
3529 row 3 (v:real^3^M))`
3530 THEN EXISTS_TAC`vv1:num->real^3`
3531 THEN STRIP_TAC;
3532
3533 ONCE_REWRITE_TAC[GSYM IN]
3534 THEN MATCH_MP_TAC (GEN_ALL IN_NOT_EMPTY_B1_SY_4)
3535 THEN EXISTS_TAC`x:real^(M,3)finite_product`
3536 THEN EXISTS_TAC`v:real^3^M`
3537 THEN ASM_REWRITE_TAC[]
3538 THEN POP_ASSUM MP_TAC
3539 THEN RESA_TAC;
3540
3541 SUBGOAL_THEN`vector [ vv1 1; vv1 2; (vv1:num->real^3) 3;vv1 0] = v:real^3^M`
3542 ASSUME_TAC;
3543
3544 POP_ASSUM(fun th-> REWRITE_TAC[GSYM th])
3545 THEN ASM_REWRITE_TAC[ARITH_RULE`1 MOD 4=1/\ 2 MOD 4=2/\ 3 MOD 4=3/\ 0 MOD 4=0 /\ ~(1=0)/\ ~(2=0)/\ ~(3=0)/\ ~(2=1)/\ ~(3=1)/\ ~(3=2)`;]
3546 THEN ONCE_REWRITE_TAC[CART_EQ]
3547 THEN ASM_REWRITE_TAC[ARITH_RULE`1<=i/\ i<=4 <=>i=1\/ i=2\/ i=3\/ i=4`]
3548 THEN REPEAT RESA_TAC
3549 THEN
3550 ASM_SIMP_TAC[row;vector; LAMBDA_BETA; DIMINDEX_3; LENGTH; ARITH] THEN
3551 REWRITE_TAC[num_CONV `3`;num_CONV `2`; num_CONV `1`; EL; HD; TL;]
3552 THEN ASM_SIMP_TAC[CART_EQ; DIMINDEX_3; FORALL_3; VEC_COMPONENT; VECTOR_3; ARITH;row;LAMBDA_BETA];
3553
3554 STRIP_TAC;
3555
3556 GEN_TAC
3557 THEN GEN_REWRITE_TAC(LAND_CONV o ONCE_DEPTH_CONV)[GSYM IN]
3558 THEN REPEAT STRIP_TAC
3559 THEN MRESA_TAC (GEN_ALL IN_NOT_EMPTY_B1_SY_4)
3560 [`x:real^(M,3)finite_product`;`v:real^3^M`;`vv1:num->real^3`;`s:scs_v39`]
3561 THEN MRESA_TAC ( GEN_ALL TAUSTAR_EQ_TAU_STAR_4)[`v:real^3^M`;`s:scs_v39`;`vv1:num->real^3`;`s1:stable_sy`;`x:real^(M,3)finite_product`]
3562 THEN MRESA_TAC ( GEN_ALL TAUSTAR_EQ_TAU_STAR_4)
3563 [`vector [ww 1; ww 2; ww 3; ww 0]:real^3^M`;`s:scs_v39`;`ww:num->real^3`;`s1:stable_sy`;`matvec(vector [ww 1; ww 2; ww 3; ww 0]:real^3^M):real^(M,3)finite_product`;]
3564 THEN MRESA_TAC (GEN_ALL IN_NOT_EMPTY_CASE_4)[`ww:num->real^3`;`vector [ww 1; ww 2; ww 3; ww 0]:real^3^M`;`matvec(vector [ww 1; ww 2; ww 3; ww 0]:real^3^M):real^(M,3)finite_product`;`s:scs_v39`;]
3565 THEN REPLICATE_TAC 7 (POP_ASSUM MP_TAC)
3566 THEN POP_ASSUM(fun th-> REPEAT STRIP_TAC
3567 THEN MRESA1_TAC th `matvec(vector [ww 1; ww 2; ww 3; ww 0]:real^3^M):real^(M,3)finite_product`);
3568
3569 MRESA_TAC (GEN_ALL IN_NOT_EMPTY_B1_SY_4)
3570 [`x:real^(M,3)finite_product`;`v:real^3^M`;`vv1:num->real^3`;`s:scs_v39`]
3571 THEN MRESA_TAC ( GEN_ALL TAUSTAR_EQ_TAU_STAR_4)[`v:real^3^M`;`s:scs_v39`;`vv1:num->real^3`;`s1:stable_sy`;`x:real^(M,3)finite_product`]
3572 THEN MRESA_TAC ( GEN_ALL TAUSTAR_EQ_TAU_STAR_4)
3573 [`vector [vv 1; vv 2; vv 3; vv 0]:real^3^M`;`s:scs_v39`;`vv:num->real^3`;`s1:stable_sy`;`matvec(vector [vv 1; vv 2; vv 3; vv 0]:real^3^M):real^(M,3)finite_product`;]
3574 THEN REPLICATE_TAC 23 (POP_ASSUM MP_TAC)
3575 THEN POP_ASSUM (fun th-> REPEAT STRIP_TAC THEN MP_TAC th)
3576 THEN MRESA_TAC (GEN_ALL IN_NOT_EMPTY_CASE_4)[`vv:num->real^3`;`vector [vv 1; vv 2; vv 3; vv 0]:real^3^M`;`matvec(vector [vv 1; vv 2; vv 3; vv 0]:real^3^M):real^(M,3)finite_product`;`s:scs_v39`;]
3577 THEN REPLICATE_TAC 6 (POP_ASSUM MP_TAC)
3578 THEN POP_ASSUM(fun th-> REPEAT STRIP_TAC
3579 THEN MRESA1_TAC th `matvec(vector [vv 1; vv 2; vv 3; vv 0]:real^3^M):real^(M,3)finite_product`)
3580 THEN POP_ASSUM MP_TAC
3581 THEN POP_ASSUM MP_TAC
3582 THEN REAL_ARITH_TAC
3583 ]);;
3584   (* }}} *)
3585
3586
3587
3588
3589
3590
3591 let VECTOR_3_5=prove(`!x y z t u. 1<= dimindex(:M)/\ 2<= dimindex(:M) /\ 3<= dimindex(:M)/\ 4<= dimindex(:M) /\ 5<= dimindex(:M) ==> (row 1 (vector[x;y;z:real^3;t;u]:real^3^M)) = x
3592 /\ (row 2 (vector[x;y;z:real^3;t;u]:real^3^M)) = y
3593 /\ (row 3 (vector[x;y;z:real^3;t;u]:real^3^M)) = z
3594 /\ (row 4 (vector[x;y;z:real^3;t;u]:real^3^M)) = t
3595 /\ (row 5 (vector[x;y;z:real^3;t;u]:real^3^M)) = u
3596 `,
3597 REPEAT STRIP_TAC
3598 THEN ASM_SIMP_TAC[row;vector; LAMBDA_BETA; DIMINDEX_3; LENGTH; ARITH] THEN
3599 REWRITE_TAC[num_CONV `4`;num_CONV `3`;num_CONV `2`; num_CONV `1`; EL; HD; TL]
3600 THEN VECTOR_ARITH_TAC);;
3601
3602
3603
3604
3605
3606 let EQUALITY_V_SY_TAC_5 =
3607 fun (th:term)->
3608 ASM_REWRITE_TAC[]
3609 THEN EXISTS_TAC th
3610 THEN MRESAL_TAC VECTOR_3_5[`(vv:num->real^3) 1`;`(vv:num->real^3) 2`;`(vv:num->real^3) 3`;`(vv:num->real^3) 4`;`(vv:num->real^3) 0`;][ARITH_RULE`1<=5/\ 2<=5/\ 3<=5/\ 4<=5/\ 5<=5/\ 0 MOD 5= 0 /\ 1 MOD 5= 1 /\ 2 MOD 5= 2/\ 3 MOD 5= 3 /\ 4 MOD 5= 4 /\ 5 MOD 5=0 /\ ~(2=1)
3611 /\ SUC 0 MOD 5= 1 /\ SUC 1 MOD 5= 2 /\ SUC 2 MOD 5= 3/\ SUC 3 MOD 5= 4
3612 /\ SUC 4 MOD 5= 0 /\ SUC 5 MOD 5 = 1 /\ ~(3=1)/\ ~(1=0)`;SET_RULE`(a:num) IN (:num)`]
3613 ;;
3614
3615
3616
3617 let PROVE_V_SY_EQ_5_TAC=
3618 fun (th:term)->
3619 EXISTS_TAC th
3620 THEN ASM_REWRITE_TAC[ARITH_RULE`1<= 1 /\ 1<= 5`]
3621 THEN MRESAL_TAC VECTOR_3_5[`(vv:num->real^3) 1`;`(vv:num->real^3) 2`;`(vv:num->real^3) 3`;`(vv:num->real^3) 4`;`(vv:num->real^3) 0`;][ARITH_RULE`1<=5/\ 2<=5/\ 3<=5/\ 4<=5/\ 4 MOD 5= 4/\ 5 MOD 5=0 /\ 1 MOD 5= 1 /\ 2 MOD 5= 2/\ 3 MOD 5= 3 /\ ~(2=1)
3622 /\ SUC 4 MOD 5= 0 /\ SUC 1 MOD 5= 2 /\ SUC 2 MOD 5= 3/\ SUC 3 MOD 5= 4/\ ~(3=1)/\ ~(1=0)/\ 5<=5/\ 1<=1 /\ 1<=2 /\ 1<= 3 /\ 1<=4 /\ 1<=5`]
3623 ;;
3624
3625 let PROVE_E_SY_EQ_5_TAC =
3626 fun (th:term)->
3627 EXISTS_TAC th
3628 THEN MRESAL_TAC VECTOR_3_5[`(vv:num->real^3) 1`;`(vv:num->real^3) 2`;`(vv:num->real^3) 3`;`(vv:num->real^3) 4`;`(vv:num->real^3) 0`;][ARITH_RULE`1<=5/\ 2<=5/\ 3<=5/\ 4<=5/\ 4 MOD 5= 4/\ 5 MOD 5=0 /\ 1 MOD 5= 1 /\ 2 MOD 5= 2/\ 3 MOD 5= 3 /\ ~(2=1)
3629 /\ SUC 4 MOD 5= 0 /\ SUC 1 MOD 5= 2 /\ SUC 2 MOD 5= 3/\ SUC 3 MOD 5= 4/\ ~(3=1)/\ ~(1=0)/\ 5<=5/\ 1<=1 /\ 1<=2 /\ 1<= 3 /\ 1<=4 /\ 1<=5
3630 /\ SUC 1=2 /\ SUC 0 =1/\ SUC 2=3/\  SUC 3=4  `; SET_RULE`(a:num) IN (:num)`]
3631 THEN MRESAL_TAC(GEN_ALL PERIODIC_PROPERTY)[`5`;`vv:num-> real^3`][ARITH_RULE`~(5=0)`]
3632 THEN POP_ASSUM(fun th-> MRESAL1_TAC th`SUC 4`[ARITH_RULE`SUC 4 MOD 5=0/\ SUC 4=5`])
3633 THEN POP_ASSUM(fun th-> REWRITE_TAC[SYM th])
3634 ;;
3635
3636
3637
3638 let PROVE_E_SY_EQ_INV_5_TAC=
3639 fun (th:term) ->
3640 MRESAL_TAC(GEN_ALL IMP_SUC_MOD_EQ)[`x':num`;th;`5`][ARITH_RULE`~(5=0)/\ 0 MOD 5=0/\ SUC 0  MOD 5=1 /\ 1 MOD 5=1 /\ 2 MOD 5=2 /\ 3 MOD 5=3/\ 4 MOD 5=4`]
3641 THEN EXISTS_TAC th
3642 THEN MRESAL_TAC VECTOR_3_5[`(vv:num->real^3) 1`;`(vv:num->real^3) 2`;`(vv:num->real^3) 3`;`(vv:num->real^3) 4`;`(vv:num->real^3) 0`;][ARITH_RULE`1<=5/\ 2<=5/\ 3<=5/\ 4<=5/\ 4 MOD 5= 4/\ 5 MOD 5=0 /\ 1 MOD 5= 1 /\ 2 MOD 5= 2/\ 3 MOD 5= 3 /\ ~(2=1)
3643 /\ SUC 4 MOD 5= 0 /\ SUC 1 MOD 5= 2 /\ SUC 2 MOD 5= 3/\ SUC 3 MOD 5= 4/\ ~(3=1)/\ ~(1=0)/\ 5<=5/\ 1<=1 /\ 1<=2 /\ 1<= 3 /\ 1<=4 /\ 1<=5
3644 /\ SUC 1=2 /\ SUC 0 =1/\ SUC 2=3/\  SUC 3=4/\ SUC 4=5  `; SET_RULE`(a:num) IN (:num)`]
3645 ;;
3646
3647
3648
3649 let PROVE_E_SY_EQ_INV_5_TAC=
3650 fun (th:term) ->
3651 MRESAL_TAC(GEN_ALL IMP_SUC_MOD_EQ)[`x':num`;th;`5`][ARITH_RULE`~(5=0)/\ 5 MOD 5=0/\ SUC 0  MOD 5=1 /\ 1 MOD 5=1 /\ 2 MOD 5=2 /\ 3 MOD 5=3/\ 4 MOD 5=4`]
3652 THEN EXISTS_TAC th
3653 THEN MRESAL_TAC VECTOR_3_5[`(vv:num->real^3) 1`;`(vv:num->real^3) 2`;`(vv:num->real^3) 3`;`(vv:num->real^3) 4`;`(vv:num->real^3) 0`;][ARITH_RULE`1<=5/\ 2<=5/\ 3<=5/\ 4<=5/\ 4 MOD 5= 4/\ 5 MOD 5=0 /\ 1 MOD 5= 1 /\ 2 MOD 5= 2/\ 3 MOD 5= 3 /\ ~(2=1)/\ SUC 5 MOD 5=1
3654 /\ SUC 4 MOD 5= 0 /\ SUC 1 MOD 5= 2 /\ SUC 2 MOD 5= 3/\ SUC 3 MOD 5= 4/\ ~(3=1)/\ ~(1=0)/\ 5<=5/\ 1<=1 /\ 1<=2 /\ 1<= 3 /\ 1<=4 /\ 1<=5
3655 /\ SUC 1=2 /\ SUC 0 =1/\ SUC 2=3/\  SUC 3=4/\ SUC 4=5  `; SET_RULE`(a:num) IN (:num)`]
3656 ;;
3657
3658
3659
3660
3661
3662
3663
3664
3665 let V_E_FF_CASE_5=prove_by_refinement(
3666 `(s=let upperbd = &6 in
3667   let a_pro = (\k p a1 a2 i j. (if (i MOD k = j MOD k) then &0
3668                                 else (if {i MOD k,j MOD k}={0,1} then p
3669                                       else (if (j MOD k = SUC i MOD k) \/ (SUC j MOD k = i MOD k) then a1 else a2)))) in
3670          mk_unadorned_v39 5 (d_tame 5) (cs_adj 5 (&2) (&2 * h0)) (cs_adj 5 (&2 * h0) upperbd))
3671 /\ vv IN BBs_v39 s
3672 /\ scs_k_v39 s= dimindex(:M)
3673 /\ vector[(vv:num->real^3) 1;(vv:num->real^3) 2;(vv:num->real^3) 3;(vv:num->real^3) 4;(vv:num->real^3) 0]:real^3^M= v
3674 /\ matvec (v:real^3^M) =a
3675 ==>
3676 V_SY (v:real^3^M)=IMAGE vv (:num)/\
3677   E_SY (v:real^3^M)=IMAGE (\i. {vv i, vv (SUC i)}) (:num)/\
3678 F_SY (v:real^3^M)=IMAGE (\i. vv i,vv (SUC i)) (:num)`,
3679   (* {{{ proof *)
3680 [
3681 STRIP_TAC
3682 THEN REPLICATE_TAC 4 (POP_ASSUM MP_TAC)
3683 THEN ASM_REWRITE_TAC[scs_k_v39_explicit;scs_a_v39_explicit;scs_b_v39_explicit;BBs_v39;ARITH_RULE`3<=3`;LET_DEF;LET_END_DEF;ARITH_RULE`~(5<=3)`;IN;mk_unadorned_v39]
3684 THEN REPEAT STRIP_TAC;
3685
3686 REWRITE_TAC[V_SY;rows]
3687 THEN REPLICATE_TAC 2 (POP_ASSUM MP_TAC)
3688 THEN POP_ASSUM(fun th-> REWRITE_TAC[SYM th;ARITH_RULE`(1<= i /\ i<= 5)<=> (i=1\/ i=2\/ i=3 \/ i=4\/ i=5)`] THEN ASSUME_TAC (SYM th))
3689 THEN STRIP_TAC
3690 THEN STRIP_TAC
3691 THEN ASM_REWRITE_TAC[IMAGE;EXTENSION;IN_ELIM_THM]
3692 THEN GEN_TAC
3693 THEN EQ_TAC;
3694
3695 REPEAT STRIP_TAC
3696 THENL[
3697 EQUALITY_V_SY_TAC_5 `1`;
3698 EQUALITY_V_SY_TAC_5 `2`;
3699 EQUALITY_V_SY_TAC_5 `3`;
3700 EQUALITY_V_SY_TAC_5 `4`;
3701 EQUALITY_V_SY_TAC_5 `0`;];
3702
3703 REPEAT STRIP_TAC
3704 THEN REWRITE_TAC[ARITH_RULE` (i=1\/ i=2\/ i=3 \/ i=4 \/ i=5)<=> (1<= i /\ i<= 5)`]
3705 THEN MRESAL_TAC(GEN_ALL PERIODIC_PROPERTY)[`5`;`vv:num-> real^3`][ARITH_RULE`~(5=0)`]
3706 THEN POP_ASSUM (fun th-> MRESA1_TAC th`x':num`)
3707 THEN POP_ASSUM (fun th-> ONCE_REWRITE_TAC[SYM th])
3708 THEN MRESAL_TAC DIVISION[`x':num`;`5`][ARITH_RULE`~(5=0)`]
3709 THEN MP_TAC(ARITH_RULE`x' MOD 5 < 5 ==>  x' MOD 5 =0 \/ x' MOD 5 = 1\/ x' MOD 5 = 2 \/ x' MOD 5 =3 \/ x' MOD 5 =4`)
3710 THEN RESA_TAC
3711 THENL[
3712 PROVE_V_SY_EQ_5_TAC`5`;
3713 PROVE_V_SY_EQ_5_TAC`1`;
3714 PROVE_V_SY_EQ_5_TAC`2`;
3715 PROVE_V_SY_EQ_5_TAC`3`;
3716 PROVE_V_SY_EQ_5_TAC`4`;];
3717
3718 REWRITE_TAC[E_SY;rows]
3719 THEN REPLICATE_TAC 2(POP_ASSUM MP_TAC)
3720 THEN POP_ASSUM(fun th-> REWRITE_TAC[SYM th;ARITH_RULE`(1<= i /\ i<= 5)<=> (i=1\/ i=2\/ i=3 \/ i=4 \/ i=5)`] THEN ASSUME_TAC (SYM th))
3721 THEN REPEAT STRIP_TAC
3722 THEN ASM_REWRITE_TAC[IMAGE;EXTENSION;IN_ELIM_THM]
3723 THEN GEN_TAC
3724 THEN ONCE_REWRITE_TAC[GSYM EXTENSION]
3725 THEN EQ_TAC;
3726
3727 STRIP_TAC
3728 THEN ASM_REWRITE_TAC[]
3729 THENL[
3730 PROVE_E_SY_EQ_5_TAC `1`;
3731 PROVE_E_SY_EQ_5_TAC `2`;
3732 PROVE_E_SY_EQ_5_TAC `3`;
3733 PROVE_E_SY_EQ_5_TAC `4`;
3734 PROVE_E_SY_EQ_5_TAC `0`;];
3735
3736 STRIP_TAC
3737 THEN REWRITE_TAC[ARITH_RULE` (i=1\/ i=2\/ i=3 \/ i=4 \/ i=5)<=> (1<= i /\ i<= 5)`]
3738 THEN MRESAL_TAC(GEN_ALL PERIODIC_PROPERTY)[`5`;`vv:num-> real^3`][ARITH_RULE`~(5=0)`]
3739 THEN POP_ASSUM (fun th-> MRESA1_TAC th`x':num` THEN MRESA1_TAC th`SUC x':num`)
3740 THEN POP_ASSUM (fun th-> ONCE_REWRITE_TAC[SYM th])
3741 THEN POP_ASSUM (fun th-> ONCE_REWRITE_TAC[SYM th])
3742 THEN MRESAL_TAC DIVISION[`x':num`;`5`][ARITH_RULE`~(5=0)`]
3743 THEN MP_TAC(ARITH_RULE`x' MOD 5 < 5==>  x' MOD 5 =0 \/ x' MOD 5 = 1\/ x' MOD 5 = 2 \/ x' MOD 5 =3 \/ x' MOD 5 =4`)
3744 THEN RESA_TAC
3745 THENL[
3746 PROVE_E_SY_EQ_INV_5_TAC `5`;
3747 PROVE_E_SY_EQ_INV_5_TAC `1`;
3748 PROVE_E_SY_EQ_INV_5_TAC `2` ;
3749 PROVE_E_SY_EQ_INV_5_TAC `3` ;
3750 PROVE_E_SY_EQ_INV_5_TAC `4` ;];
3751
3752 REWRITE_TAC[F_SY;rows]
3753 THEN REPLICATE_TAC 2 (POP_ASSUM MP_TAC)
3754 THEN POP_ASSUM(fun th-> REWRITE_TAC[SYM th;ARITH_RULE`(1<= i /\ i<= 5)<=> (i=1\/ i=2\/ i=3 \/ i=4 \/ i=5)`] THEN ASSUME_TAC (SYM th))
3755 THEN REPEAT STRIP_TAC
3756 THEN ASM_REWRITE_TAC[IMAGE;EXTENSION;IN_ELIM_THM]
3757 THEN GEN_TAC
3758 THEN ONCE_REWRITE_TAC[GSYM EXTENSION]
3759 THEN EQ_TAC;
3760
3761 STRIP_TAC
3762 THEN ASM_REWRITE_TAC[]
3763 THENL[
3764 PROVE_E_SY_EQ_5_TAC `1`;
3765 PROVE_E_SY_EQ_5_TAC `2`;
3766 PROVE_E_SY_EQ_5_TAC `3`;
3767 PROVE_E_SY_EQ_5_TAC `4`;
3768 PROVE_E_SY_EQ_5_TAC `0`;];
3769
3770 STRIP_TAC
3771 THEN REWRITE_TAC[ARITH_RULE` (i=1\/ i=2\/ i=3 \/ i=4 \/ i=5)<=> (1<= i /\ i<= 5)`]
3772 THEN MRESAL_TAC(GEN_ALL PERIODIC_PROPERTY)[`5`;`vv:num-> real^3`][ARITH_RULE`~(5=0)`]
3773 THEN POP_ASSUM (fun th-> MRESA1_TAC th`x':num` THEN MRESA1_TAC th`SUC x':num`)
3774 THEN POP_ASSUM (fun th-> ONCE_REWRITE_TAC[SYM th])
3775 THEN POP_ASSUM (fun th-> ONCE_REWRITE_TAC[SYM th])
3776 THEN MRESAL_TAC DIVISION[`x':num`;`5`][ARITH_RULE`~(5=0)`]
3777 THEN MP_TAC(ARITH_RULE`x' MOD 5 < 5==>  x' MOD 5 =0 \/ x' MOD 5 = 1\/ x' MOD 5 = 2 \/ x' MOD 5 =3 \/ x' MOD 5 =4`)
3778 THEN RESA_TAC
3779 THENL[
3780 PROVE_E_SY_EQ_INV_5_TAC `5`;
3781 PROVE_E_SY_EQ_INV_5_TAC `1`;
3782 PROVE_E_SY_EQ_INV_5_TAC `2` ;
3783 PROVE_E_SY_EQ_INV_5_TAC `3` ;
3784 PROVE_E_SY_EQ_INV_5_TAC `4` ;];
3785 ]);;
3786   (* }}} *)
3787
3788
3789
3790
3791
3792
3793 let IN_BALL_ANNUUS_TAC_5 =
3794 fun (th:term)->
3795 ASM_SIMP_TAC[]
3796 THEN MRESAL_TAC VECTOR_3_5[`(vv:num->real^3) 1`;`(vv:num->real^3) 2`;`(vv:num->real^3) 3`;`(vv:num->real^3) 4`;`(vv:num->real^3) 0`;][ARITH_RULE`1<=5/\ 2<=5/\ 3<=5/\ 4<=5/\ 5<=5`]
3797 THEN MATCH_MP_TAC(SET_RULE`
3798 vv th IN  IMAGE vv (:num) /\ IMAGE vv (:num) SUBSET ball_annulus
3799 ==> vv th IN ball_annulus`)
3800 THEN ASM_REWRITE_TAC[IMAGE;IN_ELIM_THM]
3801 THEN EXISTS_TAC th
3802 THEN REWRITE_TAC[SET_RULE`(a:num) IN(:num)`]
3803 ;;
3804
3805
3806
3807 let INEQUALITY_A_B_TAC_50 =
3808 fun (so:term) (so1:term)->
3809 ASM_SIMP_TAC[change_type_v3]
3810 THEN MRESAL_TAC VECTOR_3_5[`(vv:num->real^3) 1`;`(vv:num->real^3) 2`;`(vv:num->real^3) 3`;`(vv:num->real^3) 4`;`(vv:num->real^3) 0`;][ARITH_RULE`1<=5/\ 2<=5/\ 3<=5/\ 4<=5/\ 5<=5/\ 0 MOD 5= 0 /\ 1 MOD 5= 1 /\ 2 MOD 5= 2/\ 3 MOD 5= 3 /\ 4 MOD 5= 4 /\ 5 MOD 5=0 /\ ~(2=1)
3811 /\ SUC 0 MOD 5= 1 /\ SUC 1 MOD 5= 2 /\ SUC 2 MOD 5= 3/\ SUC 3 MOD 5= 4
3812 /\ SUC 4 MOD 5= 0 /\ SUC 5 MOD 5 = 1 /\ ~(3=1)/\ ~(1=0)`]
3813 THEN REPLICATE_TAC 13 (POP_ASSUM MP_TAC)
3814 THEN POP_ASSUM(fun th-> MRESAL_TAC th[so;so1][dist;ARITH_RULE`1<=5/\ 2<=5/\ 3<=5/\ 4<=5/\ 0 MOD 5= 0 /\ 1 MOD 5= 1 /\ 2 MOD 5= 2/\ 3 MOD 5= 3 /\ 4 MOD 5= 4 /\ 5 MOD 5=0 /\ ~(2=1)
3815 /\ SUC 0 MOD 5= 1 /\ SUC 1 MOD 5= 2 /\ SUC 2 MOD 5= 3/\ SUC 3 MOD 5= 4
3816 /\ SUC 4 MOD 5= 0 /\ SUC 5 MOD 5 = 1 /\ ~(3=1)/\ ~(1=0) /\ ~(1=4)/\ ~(2=3) /\ ~(2=0) /\ ~(3=0)/\ ~(0=4)/\ ~(2=4)
3817 /\ ~(3=4)`]);;
3818
3819
3820 let INEQUALITY_A_B_TAC_5 =
3821 fun (th:term)->
3822 MP_TAC(ARITH_RULE`1<= i /\ i<= 5==> i=1\/ i=2\/ i=3\/ i=4 \/ i=5`)
3823 THEN RESA_TAC
3824 THENL[
3825 INEQUALITY_A_B_TAC_50 `1` th;
3826 INEQUALITY_A_B_TAC_50 `2` th;
3827 INEQUALITY_A_B_TAC_50 `3` th;
3828 INEQUALITY_A_B_TAC_50 `4` th;
3829 INEQUALITY_A_B_TAC_50 `0` th;];;
3830
3831
3832
3833
3834
3835 let IN_NOT_EMPTY_CASE_5=prove_by_refinement(
3836 `(s=let upperbd = &6 in
3837   let a_pro = (\k p a1 a2 i j. (if (i MOD k = j MOD k) then &0
3838                                 else (if {i MOD k,j MOD k}={0,1} then p
3839                                       else (if (j MOD k = SUC i MOD k) \/ (SUC j MOD k = i MOD k) then a1 else a2)))) in
3840          mk_unadorned_v39 5 (d_tame 5) (cs_adj 5 (&2) (&2 * h0)) (cs_adj 5 (&2 * h0) upperbd))
3841 /\ vv IN BBs_v39 s
3842 /\ scs_k_v39 s= dimindex(:M)
3843 /\ vector[(vv:num->real^3) 1;(vv:num->real^3) 2;(vv:num->real^3) 3;(vv:num->real^3) 4;(vv:num->real^3) 0]:real^3^M= v
3844 /\ matvec (v:real^3^M) =a
3845 ==>
3846 a IN {matvec(v:real^3^M) | (!i. 1<=i /\  i <= dimindex(:M)==> row i v IN ball_annulus) /\  CONDITION1_SY (change_type_v3 (scs_a_v39 s)) (change_type_v3 (scs_b_v39 s)) v /\ CONDITION2_SY v }`,
3847   (* {{{ proof *)
3848 [
3849 REWRITE_TAC[SET_RULE`~(A={})<=> (?a. a IN A)`;IN_ELIM_THM;CONDITION1_SY;CONDITION2_SY]
3850 THEN REPEAT STRIP_TAC
3851 THEN POP_ASSUM MP_TAC
3852 THEN POP_ASSUM MP_TAC
3853 THEN POP_ASSUM MP_TAC
3854 THEN POP_ASSUM MP_TAC
3855 THEN ASM_REWRITE_TAC[scs_k_v39_explicit;scs_a_v39_explicit;scs_b_v39_explicit;LET_DEF;LET_END_DEF;BBs_v39;ARITH_RULE`~(5<=3)`;mk_unadorned_v39;CS_ADJ]
3856 THEN GEN_REWRITE_TAC(LAND_CONV  o DEPTH_CONV)[IN]
3857 THEN ASM_REWRITE_TAC[scs_k_v39_explicit;scs_a_v39_explicit;scs_b_v39_explicit;BBs_v39;ARITH_RULE`3<=3`;LET_DEF;LET_END_DEF;ARITH_RULE`~(5<=3)`]
3858 THEN REPEAT STRIP_TAC
3859 THEN ASM_REWRITE_TAC[]
3860 THEN EXISTS_TAC`v:real^3^M`
3861 THEN STRIP_TAC;
3862
3863 STRIP_TAC;
3864
3865 REPLICATE_TAC 2 (POP_ASSUM MP_TAC)
3866 THEN POP_ASSUM(fun th-> REWRITE_TAC[SYM th;ARITH_RULE`(1<= i /\ i<= 5)<=> (i=1\/ i=2\/ i=3 \/ i=4 \/ i=5)`] THEN ASSUME_TAC (SYM th))
3867 THEN REPEAT STRIP_TAC
3868 THENL[
3869 IN_BALL_ANNUUS_TAC_5 `(1:num)`;
3870 IN_BALL_ANNUUS_TAC_5 `(2:num)`;
3871 IN_BALL_ANNUUS_TAC_5 `(3:num)`;
3872 IN_BALL_ANNUUS_TAC_5 `(4:num)`;
3873 IN_BALL_ANNUUS_TAC_5 `(0:num)`;];
3874
3875 STRIP_TAC;
3876
3877 REPLICATE_TAC 2 (POP_ASSUM MP_TAC)
3878 THEN POP_ASSUM(fun th-> REWRITE_TAC[SYM th;ARITH_RULE`(1<= i /\ i<= 5)<=> (i=1\/ i=2\/ i=3 \/ i=4 \/ i=5)`] THEN ASSUME_TAC (SYM th))
3879 THEN REPEAT DISCH_TAC
3880 THEN REPEAT GEN_TAC
3881 THEN STRIP_TAC
3882 THENL[
3883 INEQUALITY_A_B_TAC_5 `1`;
3884 INEQUALITY_A_B_TAC_5 `2`;
3885 INEQUALITY_A_B_TAC_5 `3`;
3886 INEQUALITY_A_B_TAC_5 `4`;
3887 INEQUALITY_A_B_TAC_5 `0`; ];
3888
3889 MP_TAC V_E_FF_CASE_5
3890 THEN ASM_REWRITE_TAC[scs_k_v39_explicit;scs_d_v39_explicit;scs_a_v39_explicit;scs_b_v39_explicit;BBs_v39;ARITH_RULE`3<=3`;LET_DEF;LET_END_DEF;ARITH_RULE`~(4<=3)`;IN;mk_unadorned_v39;CS_ADJ]
3891 THEN POP_ASSUM MP_TAC
3892 THEN POP_ASSUM MP_TAC
3893 THEN POP_ASSUM(fun th-> ASM_REWRITE_TAC[SYM th])
3894 THEN REPEAT RESA_TAC;
3895
3896 ASM_REWRITE_TAC[]
3897 ]);;
3898   (* }}} *)
3899
3900
3901
3902 let NOT_EMPTY_CASE_5=prove_by_refinement(
3903 `(s=let upperbd = &6 in
3904   let a_pro = (\k p a1 a2 i j. (if (i MOD k = j MOD k) then &0
3905                                 else (if {i MOD k,j MOD k}={0,1} then p
3906                                       else (if (j MOD k = SUC i MOD k) \/ (SUC j MOD k = i MOD k) then a1 else a2)))) in
3907          mk_unadorned_v39 5 (d_tame 5) (cs_adj 5 (&2) (&2 * h0)) (cs_adj 5 (&2 * h0) upperbd))
3908 /\ vv IN BBs_v39 s
3909 /\ scs_k_v39 s= dimindex(:M)
3910 ==>
3911 ~({matvec(v:real^3^M) | (!i. 1<=i /\  i <= dimindex(:M)==> row i v IN ball_annulus) /\  CONDITION1_SY (change_type_v3 (scs_a_v39 s)) (change_type_v3 (scs_b_v39 s)) v /\ CONDITION2_SY v }={})`
3912 ,
3913   (* {{{ proof *)
3914 [
3915 REWRITE_TAC[SET_RULE`~(A={})<=> (?a. a IN A)`;]
3916 THEN STRIP_TAC
3917 THEN ABBREV_TAC`v=vector[(vv:num->real^3) 1;(vv:num->real^3) 2;(vv:num->real^3) 3;(vv:num->real^3) 4;(vv:num->real^3) 0]:real^3^M`
3918 THEN ABBREV_TAC`a=matvec (v:real^3^M) `
3919 THEN EXISTS_TAC`a:real^(M,3)finite_product`
3920 THEN MATCH_MP_TAC IN_NOT_EMPTY_CASE_5
3921 THEN ASM_REWRITE_TAC[]
3922 ]);;
3923   (* }}} *)
3924
3925
3926
3927
3928
3929
3930
3931
3932
3933
3934
3935
3936 let TAUSTAR_EQ_TAU_STAR_5=prove_by_refinement(
3937 `(let upperbd = &6 in
3938   let a_pro = (\k p a1 a2 i j. (if (i MOD k = j MOD k) then &0
3939                                 else (if {i MOD k,j MOD k}={0,1} then p
3940                                       else (if (j MOD k = SUC i MOD k) \/ (SUC j MOD k = i MOD k) then a1 else a2)))) in
3941          mk_unadorned_v39 5 (d_tame 5) (cs_adj 5 (&2) (&2 * h0)) (cs_adj 5 (&2 * h0) upperbd))=s
3942 /\ vv IN BBs_v39 s
3943 /\ scs_k_v39 s= dimindex(:M)
3944 /\ vector[(vv:num->real^3) 1;(vv:num->real^3) 2;(vv:num->real^3) 3;(vv:num->real^3) 4;(vv:num->real^3) 0]:real^3^M= v
3945 /\ matvec (v:real^3^M) =a
3946 /\ stable_sy((scs_k_v39 s),(scs_d_v39 s),(0..scs_k_v39 s - 1),
3947          (change_type_v3 (scs_a_v39 s)),
3948          (change_type_v3 (scs_b_v39 s)),
3949          (change_type_v2 (scs_J_v39 s) (scs_k_v39 s)),
3950          (\i. (1 + i) MOD scs_k_v39 s))=s1
3951 ==>  taustar_v39 s vv = tau_star s1 a`,
3952   (* {{{ proof *)
3953 [
3954 REPEAT STRIP_TAC
3955 THEN MP_TAC V_E_FF_CASE_5
3956 THEN RESA_TAC
3957 THEN SUBGOAL_THEN`scs_k_v39 s =5` ASSUME_TAC;
3958
3959 EXPAND_TAC"s"
3960 THEN REWRITE_TAC[scs_k_v39_explicit;scs_d_v39_explicit;scs_a_v39_explicit;scs_b_v39_explicit;BBs_v39;ARITH_RULE`3<=3`;LET_DEF;LET_END_DEF;ARITH_RULE`~(5<=3)`;IN;mk_unadorned_v39;];
3961
3962 POP_ASSUM MP_TAC
3963 THEN RESA_TAC
3964 THEN ASM_REWRITE_TAC[taustar_v39;tau_star]
3965 THEN ASM_REWRITE_TAC[scs_k_v39_explicit;scs_d_v39_explicit;scs_a_v39_explicit;scs_b_v39_explicit;BBs_v39;ARITH_RULE`3<=3`;LET_DEF;LET_END_DEF;ARITH_RULE`~(5<=3)`;IN;mk_unadorned_v39;]
3966 THEN ASM_SIMP_TAC[dsv_J_empty]
3967 THEN MP_TAC SCS_5_IS_TRI_STABLE
3968 THEN ASM_REWRITE_TAC[LET_DEF;LET_END_DEF]
3969 THEN STRIP_TAC
3970 THEN MRESAL_TAC stable_sy_explicit[`(scs_k_v39 s)`;`(scs_d_v39 s)`;`(0..scs_k_v39 s - 1)`;`
3971          (change_type_v3 (scs_a_v39 s))`;`
3972          (change_type_v3 (scs_b_v39 s))`;`
3973          (change_type_v2 (scs_J_v39 s) (scs_k_v39 s))`;`
3974          (\i. (1 + i) MOD scs_k_v39 s)`][LET_DEF;LET_END_DEF;d_fun]
3975 THEN SUBGOAL_THEN`J1_SY (s1:stable_sy)={}` ASSUME_TAC;
3976
3977 ASM_REWRITE_TAC[J1_SY;]
3978 THEN EXPAND_TAC"s"
3979 THEN REWRITE_TAC[scs_J_v39_explicit;LET_DEF;LET_END_DEF;mk_unadorned_v39;change_type_v2;SET_RULE`a IN  {{i, j} | F}<=> F`]
3980 THEN SET_TAC[];
3981
3982 ASM_REWRITE_TAC[SUM_CLAUSES;REAL_ARITH`a* &0= &0 /\a + &0=a`]
3983 THEN EXPAND_TAC"a"
3984 THEN REWRITE_TAC[MATVEC_VECMATS_ID;VECMATS_MATVEC_ID]
3985 THEN ASM_REWRITE_TAC[REAL_ARITH`A-B=A-C<=>B=C`]
3986 THEN MATCH_MP_TAC dsv_J_empty
3987 THEN EXPAND_TAC"s"
3988 THEN REWRITE_TAC[scs_J_v39_explicit;LET_DEF;LET_END_DEF;mk_unadorned_v39;change_type_v2;SET_RULE`a IN  {{i, j} | F}<=> F`]
3989 ]);;
3990   (* }}} *)
3991
3992
3993
3994
3995 let SCS_A_B__EQ_MOD_5=prove(
3996 `s=(let upperbd = &6 in
3997   let a_pro = (\k p a1 a2 i j. (if (i MOD k = j MOD k) then &0
3998                                 else (if {i MOD k,j MOD k}={0,1} then p
3999                                       else (if (j MOD k = SUC i MOD k) \/ (SUC j MOD k = i MOD k) then a1 else a2)))) in
4000          mk_unadorned_v39 5 (d_tame 5) (cs_adj 5 (&2) (&2 * h0)) (cs_adj 5 (&2 * h0) upperbd))
4001 ==>
4002 !i j. scs_a_v39 s i j = scs_a_v39 s (i MOD 5) (j MOD 5)/\
4003  scs_b_v39 s i j = scs_b_v39 s (i MOD 5) (j MOD 5)`,
4004 REPEAT STRIP_TAC
4005 THEN ASM_REWRITE_TAC[scs_k_v39_explicit;scs_d_v39_explicit;scs_a_v39_explicit;scs_b_v39_explicit;BBs_v39;ARITH_RULE`3<=3`;LET_DEF;LET_END_DEF;ARITH_RULE`~(5<=3)`;IN;mk_unadorned_v39;CS_ADJ]
4006 THEN MRESAL_TAC MOD_MOD_REFL[`i:num`;`5`][ARITH_RULE`~(5=0)`]
4007 THEN MRESAL_TAC MOD_MOD_REFL[`j:num`;`5`][ARITH_RULE`~(5=0)`]
4008 THEN MRESAL_TAC MOD_ADD_MOD[`j:num`;`1:num`;`5`][ARITH_RULE`~(5=0) /\ 1 MOD 5=1`;ADD1]
4009 THEN MRESAL_TAC MOD_ADD_MOD[`i:num`;`1:num`;`5`][ARITH_RULE`~(5=0) /\ 1 MOD 5=1`;ADD1]);;
4010
4011
4012
4013 let VV_IN_BALL_ANNULUS_TAC_5=
4014 fun (so:term)->
4015 REPLICATE_TAC 8 (POP_ASSUM MP_TAC)
4016 THEN POP_ASSUM(fun th-> MRESAL1_TAC th so [ARITH_RULE`1<=1 /\ 1<=2 /\1<=3 /\ 1<= 4/\ 1<=5 /\ 2<=5/\ 3<=5/\ 4<=5/\ 5<=5/\ ~(1=0)/\ ~(2=0) /\ ~(3=0)/\ ~(2=1)/\ ~(3=1)/\ ~(3=2)/\ ~(4=0) /\ ~(4=1)/\ ~(4=2)/\ ~(4=3)`] )
4017 ;;
4018
4019
4020 let PROVE_INEQUALITY_TAC_50=
4021 fun (so:term) (so1:term)->
4022 REPLICATE_TAC 7(POP_ASSUM MP_TAC)
4023 THEN POP_ASSUM(fun th-> MRESAL_TAC th[so;so1][ARITH_RULE`1<=5 /\ 5<=5/\ 1<=1 /\ 1<=5/\ 1<=2 /\ 2<=5/\1<=3 /\ 3<=5/\ 1<=4/\ 4<=5`])
4024 THEN POP_ASSUM( fun th->
4025 POP_ASSUM( fun th1->
4026 REPEAT DISCH_TAC
4027 THEN MP_TAC th THEN MP_TAC th1
4028 THEN POP_ASSUM(fun th2-> ONCE_REWRITE_TAC[th2]
4029 THEN POP_ASSUM(fun th3-> MRESAL1_TAC th3`5`[ARITH_RULE`4 MOD 4=0`]
4030 THEN MRESAL1_TAC th3`1`[ARITH_RULE`1 MOD 5=1/\ ~(1=0)`]
4031 THEN MRESAL1_TAC th3`2`[ARITH_RULE`2 MOD 5=2/\ ~(2=0)/\ ~(2=1)`]
4032 THEN MRESAL1_TAC th3`3`[ARITH_RULE`3 MOD 5=3/\ ~(3=0)/\ ~(3=1)/\ ~(3=2)`]
4033 THEN MRESAL1_TAC th3`4`[ARITH_RULE`4 MOD 5=4/\ ~(4=0)/\ ~(4=1)/\ ~(4=2)/\ ~(4=3)`])
4034 THEN MRESAL1_TAC th2`5`[ARITH_RULE`5 MOD 5=0`])
4035 ))
4036 THEN MP_TAC SCS_A_B__EQ_MOD_5
4037 THEN ASM_REWRITE_TAC[]
4038 THEN STRIP_TAC
4039 THEN POP_ASSUM(fun th-> ONCE_REWRITE_TAC[th])
4040 THEN ASM_REWRITE_TAC[ARITH_RULE`5 MOD 5=0/\ 1 MOD 5=1/\ 2 MOD 5=2 /\ 3 MOD 5=3 /\ 4 MOD 5=4`]
4041 THEN RESA_TAC
4042 THEN RESA_TAC
4043 ;;
4044
4045
4046
4047
4048 let PROVE_INEQUALITY_TAC_5=
4049 fun (th:term)->
4050 MP_TAC(ARITH_RULE`(j MOD 5<5)==> (j MOD 5=0) \/ (j MOD 5=1) \/ (j MOD 5=2)\/ (j MOD 5=3)\/ (j MOD 5=4) `)
4051 THEN RESA_TAC
4052 THENL[
4053 PROVE_INEQUALITY_TAC_50  th `5`;
4054 PROVE_INEQUALITY_TAC_50  th `1`;
4055 PROVE_INEQUALITY_TAC_50  th `2`;
4056 PROVE_INEQUALITY_TAC_50  th `3`;
4057 PROVE_INEQUALITY_TAC_50  th `4`];;
4058
4059
4060
4061
4062 let V_SY_EQ_IMAGE_VV_TAC5=
4063 fun (th:term)->
4064 ASM_REWRITE_TAC[]
4065 THEN EXISTS_TAC th
4066 THEN ASM_REWRITE_TAC[SET_RULE`(a:num)IN (:num)`;ARITH_RULE`1 MOD 5=1 /\ ~(1=0) /\ 2 MOD 5=2 /\ ~(2=0)/\ ~(2=1)/\ 3 MOD 5=3 /\ ~(3=0)/\ ~(3=1)/\ ~(3=2)/\ 4 MOD 5=4/\ 5 MOD 5=0/\ ~(4=0)/\ ~(4=1)/\ ~(4=2)/\ ~(4=3)`];;
4067
4068
4069
4070
4071
4072 let PROVE_E_SY_EQ_MOD_TAC_5=
4073 fun (th:term)->
4074 EXISTS_TAC th
4075 THEN ASM_REWRITE_TAC[ARITH_RULE`~(3=0)/\ ~(3=1)/\ ~(3=2)/\ ~(2=0)/\ ~(2=1)/\ ~(1=0)/\ ~(4=0) /\ ~(4=1) /\ ~(4=2) /\ ~(4=3) `]
4076 THEN ARITH_TAC;;
4077
4078
4079
4080
4081
4082
4083
4084 let PROOF_E_EQ_TAC_5=
4085 fun (th:term)->
4086 EXISTS_TAC th
4087 THEN ASM_REWRITE_TAC[ARITH_RULE`~(1=0)/\ 1 MOD 5=1/\ SUC 1=2/\ 2 MOD 5=2/\ ~(2=0)/\ ~(2=1)/\ SUC 2=3 /\ 3 MOD 5=3/\ ~(3=0) /\ ~(3=1)/\ ~(3=2)/\ SUC 3=4
4088 /\ ~(4=0) /\ ~(4=1) /\ ~(4=2) /\ ~(4=3) /\  4 MOD 5=4/\ 5 MOD 5=0/\ SUC 0=1
4089 /\ SUC 5=6/\ SUC 4=5/\  6 MOD 5=1`;SET_RULE`(a:num) IN (:num)`]
4090 ;;
4091
4092
4093 let PROVE_E_SY_EQ_IMAGE_VV_5=
4094 fun (so:term)->
4095 EXISTS_TAC so
4096 THEN ASM_REWRITE_TAC[ARITH_RULE`~(1=0)`]
4097 THEN MRESAL_TAC MOD_ADD_MOD[`x':num`;`1:num`;`5`][ARITH_RULE`~(5=0) /\ 1 MOD 5=1/\ 1<=5/\ 5<=5/\ 0+1=1`;ADD1]
4098 THEN POP_ASSUM(fun th-> REWRITE_TAC[SYM th;ARITH_RULE`~(1=0)/\ 4 MOD 5=4/\ 5 MOD 5=0 /\ 0+1=1/\ 1<=1 /\ 1+1=2/\ 2 MOD 5=2/\ ~(2=0)/\ ~(2=1)/\ 2+1=3/\ 3 MOD 5=3
4099 /\ ~(3=0)/\ ~(3=1)/\ ~(3=2)/\1<=2/\ 2<=5 /\ 3<=5 /\ 4<=5/\ 1<=4/\ 4+1=5
4100 /\ 1<=3/\ 3<=4/\ 3+1=4/\ ~(4=0) /\ ~(4=1) /\ ~(4=2) /\ ~(4=3)`])
4101 ;;
4102
4103
4104
4105
4106
4107
4108
4109 let  IN_NOT_EMPTY_B1_SY_5=prove_by_refinement(
4110 `(let upperbd = &6 in
4111   let a_pro = (\k p a1 a2 i j. (if (i MOD k = j MOD k) then &0
4112                                 else (if {i MOD k,j MOD k}={0,1} then p
4113                                       else (if (j MOD k = SUC i MOD k) \/ (SUC j MOD k = i MOD k) then a1 else a2)))) in
4114          mk_unadorned_v39 5 (d_tame 5) (cs_adj 5 (&2) (&2 * h0)) (cs_adj 5 (&2 * h0) upperbd))=s/\
4115  scs_k_v39 s= dimindex(:M)/\
4116  matvec (v:real^3^M) =a/\
4117 (!i. 1<=i /\  i <= dimindex(:M)==> row i v IN ball_annulus) /\
4118  CONDITION1_SY (change_type_v3 (scs_a_v39 s)) (change_type_v3 (scs_b_v39 s)) v /\
4119  CONDITION2_SY v
4120 /\ (!i. vv i =
4121 if i MOD scs_k_v39 s = 0 then row 5 v else
4122 if i MOD scs_k_v39 s = 1 then row 1 v else
4123 if i MOD scs_k_v39 s = 2 then row 2 v else
4124 if i MOD scs_k_v39 s = 3 then row 3 v else
4125 row 4 v)
4126 ==> vv IN BBs_v39 s`,
4127   (* {{{ proof *)
4128 [
4129 REWRITE_TAC[CONDITION1_SY;CONDITION2_SY;change_type_v3]
4130 THEN REPEAT STRIP_TAC
4131 THEN SUBGOAL_THEN`scs_k_v39 s =5` ASSUME_TAC;
4132
4133
4134 EXPAND_TAC"s"
4135 THEN REWRITE_TAC[scs_k_v39_explicit;scs_d_v39_explicit;scs_a_v39_explicit;scs_b_v39_explicit;BBs_v39;ARITH_RULE`3<=3`;LET_DEF;LET_END_DEF;ARITH_RULE`~(5<=3)`;IN;mk_unadorned_v39;];
4136
4137 POP_ASSUM (fun th->
4138 REPLICATE_TAC 5 (POP_ASSUM MP_TAC)
4139 THEN POP_ASSUM(fun th1-> ASSUME_TAC(SYM th1))
4140 THEN ASSUME_TAC th
4141 THEN REPEAT STRIP_TAC)
4142 THEN POP_ASSUM MP_TAC
4143 THEN ASM_REWRITE_TAC[th;IN]
4144 THEN STRIP_TAC
4145 THEN REWRITE_TAC[scs_k_v39_explicit;scs_d_v39_explicit;scs_a_v39_explicit;scs_b_v39_explicit;BBs_v39;ARITH_RULE`3<=3`;LET_DEF;LET_END_DEF;ARITH_RULE`~(5<=3)`;IN;mk_unadorned_v39;]
4146 THEN STRIP_TAC;
4147
4148 ASM_REWRITE_TAC[IMAGE;SUBSET;IN_ELIM_THM]
4149 THEN REPEAT STRIP_TAC
4150 THEN ASM_REWRITE_TAC[]
4151 THEN MRESAL_TAC DIVISION[`x':num`;`5`][ARITH_RULE`~(5=0)`]
4152 THEN MP_TAC(ARITH_RULE`x' MOD 5<5 ==> x' MOD 5 = 0 \/ x' MOD 5 = 1 \/ x' MOD 5 = 2 \/ x' MOD 5 = 3\/ x' MOD 5 = 4`)
4153 THEN RESA_TAC
4154 THENL[
4155 VV_IN_BALL_ANNULUS_TAC_5 `5`;
4156 VV_IN_BALL_ANNULUS_TAC_5 `1`;
4157 VV_IN_BALL_ANNULUS_TAC_5 `2`;
4158 VV_IN_BALL_ANNULUS_TAC_5 `3`;
4159 VV_IN_BALL_ANNULUS_TAC_5 `4`];
4160
4161
4162
4163 STRIP_TAC;
4164
4165 ASM_REWRITE_TAC[periodic]
4166 THEN GEN_TAC
4167 THEN MRESAL_TAC MOD_EQ[`i+5:num`;`i:num`;`5:num`;`1`][ARITH_RULE`1*A=A`];
4168
4169 STRIP_TAC;
4170
4171 REWRITE_TAC[dist]
4172 THEN REPEAT GEN_TAC
4173 THEN SUBGOAL_THEN`!i. (vv:num->real^3) i= vv (i MOD 5)` ASSUME_TAC;
4174
4175 POP_ASSUM(fun th-> ONCE_REWRITE_TAC[th])
4176 THEN GEN_TAC
4177 THEN MRESAL_TAC MOD_MOD_REFL[`i:num`;`5`][ARITH_RULE`~(5=0)`];
4178
4179
4180 POP_ASSUM MP_TAC
4181 THEN POP_ASSUM MP_TAC
4182 THEN MRESAL_TAC DIVISION[`i:num`;`5`][ARITH_RULE`~(5=0)`]
4183 THEN MRESAL_TAC DIVISION[`j:num`;`5`][ARITH_RULE`~(5=0)`]
4184 THEN MP_TAC(ARITH_RULE`(i MOD 5<5)==> (i MOD 5=0) \/ (i MOD 5=1) \/ (i MOD 5=2)\/ (i MOD 5=3) \/ (i MOD 5=4)`)
4185 THEN RESA_TAC
4186 THENL[
4187 PROVE_INEQUALITY_TAC_5 `5`;
4188 PROVE_INEQUALITY_TAC_5 `1`;
4189 PROVE_INEQUALITY_TAC_5 `2`;
4190 PROVE_INEQUALITY_TAC_5 `3`;
4191 PROVE_INEQUALITY_TAC_5 `4`];
4192
4193
4194 POP_ASSUM MP_TAC
4195 THEN ASM_REWRITE_TAC[ARITH_RULE`~(5<=3)`]
4196 THEN STRIP_TAC
4197 THEN SUBGOAL_THEN`V_SY (v:real^3^M) = IMAGE vv (:num)`ASSUME_TAC;
4198
4199
4200 ASM_REWRITE_TAC[V_SY;rows;IMAGE;EXTENSION;IN_ELIM_THM]
4201 THEN GEN_TAC
4202 THEN EQ_TAC;
4203
4204 ASM_REWRITE_TAC[ARITH_RULE`(1 <= i /\ i <= 5)<=> i= 1\/ i=2 \/ i=3 \/ i=4\/ i=5`]
4205 THEN STRIP_TAC
4206 THENL[
4207 V_SY_EQ_IMAGE_VV_TAC5 `1`;
4208 V_SY_EQ_IMAGE_VV_TAC5 `2`;
4209 V_SY_EQ_IMAGE_VV_TAC5 `3`;
4210 V_SY_EQ_IMAGE_VV_TAC5 `4`;
4211 V_SY_EQ_IMAGE_VV_TAC5 `5`];
4212
4213
4214
4215
4216
4217 RESA_TAC
4218 THEN MRESAL_TAC DIVISION[`x':num`;`5`][ARITH_RULE`~(5=0)`]
4219 THEN MP_TAC(ARITH_RULE`(x' MOD 5<5)==> (x' MOD 5=0) \/ (x' MOD 5=1) \/ (x' MOD 5=2)\/ (x' MOD 5=3)\/ (x' MOD 5=4)`)
4220 THEN RESA_TAC
4221 THENL[
4222 PROVE_E_SY_EQ_MOD_TAC_5 `5`;
4223 PROVE_E_SY_EQ_MOD_TAC_5 `1`;
4224 PROVE_E_SY_EQ_MOD_TAC_5 `2`;
4225 PROVE_E_SY_EQ_MOD_TAC_5 `3`;
4226 PROVE_E_SY_EQ_MOD_TAC_5 `4`];
4227
4228
4229
4230 SUBGOAL_THEN`E_SY (v:real^3^M) = IMAGE (\i. {vv i, vv (SUC i)}) (:num)`ASSUME_TAC;
4231
4232
4233
4234 ASM_REWRITE_TAC[E_SY;rows;IMAGE;]
4235 THEN ONCE_REWRITE_TAC[EXTENSION;]
4236 THEN ASM_REWRITE_TAC[IN_ELIM_THM]
4237 THEN GEN_TAC
4238 THEN EQ_TAC;
4239
4240
4241 ASM_REWRITE_TAC[ARITH_RULE`(1 <= i /\ i <= 5)<=> i= 1\/ i=2 \/ i=3 \/ i=4\/ i=5`]
4242 THEN RESA_TAC
4243 THENL[
4244 PROOF_E_EQ_TAC_5`1`;
4245 PROOF_E_EQ_TAC_5`2`;
4246 PROOF_E_EQ_TAC_5`3`;
4247 PROOF_E_EQ_TAC_5`4`;
4248 PROOF_E_EQ_TAC_5`5`];
4249
4250
4251
4252
4253
4254 RESA_TAC
4255 THEN MRESAL_TAC DIVISION[`x':num`;`5`][ARITH_RULE`~(5=0)`]
4256 THEN MP_TAC(ARITH_RULE`(x' MOD 5<5)==> (x' MOD 5=0) \/ (x' MOD 5=1) \/ (x' MOD 5=2)\/ (x' MOD 5=3) \/ (x' MOD 5=4)`)
4257 THEN RESA_TAC
4258 THENL[
4259 PROVE_E_SY_EQ_IMAGE_VV_5 `5`;
4260 PROVE_E_SY_EQ_IMAGE_VV_5 `1`;
4261 PROVE_E_SY_EQ_IMAGE_VV_5 `2`;
4262 PROVE_E_SY_EQ_IMAGE_VV_5 `3`;
4263 PROVE_E_SY_EQ_IMAGE_VV_5 `4`];
4264
4265
4266
4267
4268 SUBGOAL_THEN`F_SY (v:real^3^M) = IMAGE (\i. (vv i, vv (SUC i))) (:num)`ASSUME_TAC;
4269
4270
4271
4272 ASM_REWRITE_TAC[F_SY;rows;IMAGE;]
4273 THEN ONCE_REWRITE_TAC[EXTENSION;]
4274 THEN ASM_REWRITE_TAC[IN_ELIM_THM]
4275 THEN GEN_TAC
4276 THEN EQ_TAC;
4277
4278
4279 ASM_REWRITE_TAC[ARITH_RULE`(1 <= i /\ i <= 5)<=> i= 1\/ i=2 \/ i=3 \/ i=4\/ i=5`]
4280 THEN RESA_TAC
4281 THENL[
4282 PROOF_E_EQ_TAC_5`1`;
4283 PROOF_E_EQ_TAC_5`2`;
4284 PROOF_E_EQ_TAC_5`3`;
4285 PROOF_E_EQ_TAC_5`4`;
4286 PROOF_E_EQ_TAC_5`5`];
4287
4288
4289
4290
4291
4292 RESA_TAC
4293 THEN MRESAL_TAC DIVISION[`x':num`;`5`][ARITH_RULE`~(5=0)`]
4294 THEN MP_TAC(ARITH_RULE`(x' MOD 5<5)==> (x' MOD 5=0) \/ (x' MOD 5=1) \/ (x' MOD 5=2)\/ (x' MOD 5=3) \/ (x' MOD 5=4)`)
4295 THEN RESA_TAC
4296 THENL[
4297 PROVE_E_SY_EQ_IMAGE_VV_5 `5`;
4298 PROVE_E_SY_EQ_IMAGE_VV_5 `1`;
4299 PROVE_E_SY_EQ_IMAGE_VV_5 `2`;
4300 PROVE_E_SY_EQ_IMAGE_VV_5 `3`;
4301 PROVE_E_SY_EQ_IMAGE_VV_5 `4`];
4302
4303 POP_ASSUM (fun th-> REWRITE_TAC[SYM th])
4304 THEN POP_ASSUM (fun th-> REWRITE_TAC[SYM th])
4305 THEN POP_ASSUM (fun th-> REWRITE_TAC[SYM th])
4306 THEN ASM_REWRITE_TAC[];
4307 ]);;
4308   (* }}} *)
4309
4310
4311
4312
4313 let XWITCCN_CASE_5=prove_by_refinement(
4314 `(let upperbd = &6 in
4315   let a_pro = (\k p a1 a2 i j. (if (i MOD k = j MOD k) then &0
4316                                 else (if {i MOD k,j MOD k}={0,1} then p
4317                                       else (if (j MOD k = SUC i MOD k) \/ (SUC j MOD k = i MOD k) then a1 else a2)))) in
4318          mk_unadorned_v39 5 (d_tame 5) (cs_adj 5 (&2) (&2 * h0)) (cs_adj 5 (&2 * h0) upperbd))=s
4319  /\ vv IN BBs_v39 s /\
4320   taustar_v39 s vv < &0
4321 /\ scs_k_v39 s= dimindex(:M)
4322  ==> ~(BBprime_v39 s = {})`,
4323   (* {{{ proof *)
4324 [
4325 REPEAT GEN_TAC
4326 THEN STRIP_TAC
4327 THEN MP_TAC SCS_5_IS_TRI_STABLE
4328 THEN RESA_TAC
4329 THEN MP_TAC NOT_EMPTY_CASE_5
4330 THEN RESA_TAC
4331 THEN REWRITE_TAC[SET_RULE`~(A={})<=> ?a. a IN A`]
4332 THEN ABBREV_TAC`s1 =stable_sy((scs_k_v39 s),(scs_d_v39 s),(0..scs_k_v39 s - 1),
4333          (change_type_v3 (scs_a_v39 s)),
4334          (change_type_v3 (scs_b_v39 s)),
4335          (change_type_v2 (scs_J_v39 s) (scs_k_v39 s)),
4336          (\i. (1 + i) MOD scs_k_v39 s))`
4337 THEN MRESA_TAC stable_sy_explicit[`(scs_k_v39 s)`;`(scs_d_v39 s)`;`(0..scs_k_v39 s - 1)`;`
4338          (change_type_v3 (scs_a_v39 s))`;`
4339          (change_type_v3 (scs_b_v39 s))`;`
4340          (change_type_v2 (scs_J_v39 s) (scs_k_v39 s))`;`
4341          (\i. (1 + i) MOD scs_k_v39 s)`]
4342 THEN SUBGOAL_THEN`scs_k_v39 s =5` ASSUME_TAC;
4343
4344 EXPAND_TAC"s"
4345 THEN REWRITE_TAC[scs_k_v39_explicit;scs_d_v39_explicit;scs_a_v39_explicit;scs_b_v39_explicit;BBs_v39;ARITH_RULE`3<=3`;LET_DEF;LET_END_DEF;ARITH_RULE`~(5<=3)`;IN;mk_unadorned_v39;];
4346
4347 POP_ASSUM (fun th->
4348 REPLICATE_TAC 11 (POP_ASSUM MP_TAC)
4349 THEN REWRITE_TAC[th]
4350 THEN STRIP_TAC
4351 THEN POP_ASSUM(fun th1-> ASSUME_TAC(SYM th1))
4352 THEN ASSUME_TAC th
4353 THEN REPEAT RESA_TAC)
4354 THEN MRESAL_TAC (GEN_ALL HDPLYGY)[`(scs_k_v39 s)`;`s1:stable_sy`][k_sy;B_SY1;ARITH_RULE`2<5`;]
4355 THEN POP_ASSUM (fun th->
4356 POP_ASSUM MP_TAC
4357 THEN ASM_REWRITE_TAC[IN_ELIM_THM]
4358 THEN STRIP_TAC
4359 THEN ASSUME_TAC th)
4360 THEN REWRITE_TAC[BBprime_v39;IN]
4361 THEN ABBREV_TAC`( vv1 i =
4362 if i MOD scs_k_v39 s = 0 then row 5 v else
4363 if i MOD scs_k_v39 s = 1 then row 1 v else
4364 if i MOD scs_k_v39 s = 2 then row 2 v else
4365 if i MOD scs_k_v39 s = 3 then row 3 v else
4366 row 4 (v:real^3^M))`
4367 THEN EXISTS_TAC`vv1:num->real^3`
4368 THEN STRIP_TAC;
4369
4370 ONCE_REWRITE_TAC[GSYM IN]
4371 THEN MATCH_MP_TAC (GEN_ALL IN_NOT_EMPTY_B1_SY_5)
4372 THEN EXISTS_TAC`x:real^(M,3)finite_product`
4373 THEN EXISTS_TAC`v:real^3^M`
4374 THEN ASM_REWRITE_TAC[]
4375 THEN POP_ASSUM MP_TAC
4376 THEN RESA_TAC;
4377
4378 SUBGOAL_THEN`vector [ vv1 1; vv1 2; (vv1:num->real^3) 3;vv1 4;vv1 0] = v:real^3^M`
4379 ASSUME_TAC;
4380
4381 POP_ASSUM(fun th-> REWRITE_TAC[GSYM th])
4382 THEN ASM_REWRITE_TAC[ARITH_RULE`1 MOD 5=1/\ 2 MOD 5=2/\ 3 MOD 5=3/\ 0 MOD 5=0 /\ ~(1=0)/\ ~(2=0)/\ ~(3=0)/\ ~(2=1)/\ ~(3=1)/\ ~(3=2) /\ ~(4=0) /\ ~(4=1) /\ ~(4=2) /\ ~(4=3)/\ 4 MOD 5=4`;]
4383 THEN ONCE_REWRITE_TAC[CART_EQ]
4384 THEN ASM_REWRITE_TAC[ARITH_RULE`1<=i/\ i<=5 <=>i=1\/ i=2\/ i=3\/ i=4\/ i=5`]
4385 THEN REPEAT RESA_TAC
4386 THEN
4387 ASM_SIMP_TAC[row;vector; LAMBDA_BETA; DIMINDEX_3; LENGTH; ARITH] THEN
4388 REWRITE_TAC[num_CONV `4`;num_CONV `3`;num_CONV `2`; num_CONV `1`; EL; HD; TL;]
4389 THEN ASM_SIMP_TAC[CART_EQ; DIMINDEX_3; FORALL_3; VEC_COMPONENT; VECTOR_3; ARITH;row;LAMBDA_BETA];
4390
4391 STRIP_TAC;
4392
4393 GEN_TAC
4394 THEN GEN_REWRITE_TAC(LAND_CONV o ONCE_DEPTH_CONV)[GSYM IN]
4395 THEN REPEAT STRIP_TAC
4396 THEN MRESA_TAC (GEN_ALL IN_NOT_EMPTY_B1_SY_5)
4397 [`x:real^(M,3)finite_product`;`v:real^3^M`;`vv1:num->real^3`;`s:scs_v39`]
4398 THEN MRESA_TAC ( GEN_ALL TAUSTAR_EQ_TAU_STAR_5)[`v:real^3^M`;`s:scs_v39`;`vv1:num->real^3`;`s1:stable_sy`;`x:real^(M,3)finite_product`]
4399 THEN MRESA_TAC ( GEN_ALL TAUSTAR_EQ_TAU_STAR_5)
4400 [`vector [ww 1; ww 2; ww 3; ww 4; ww 0]:real^3^M`;`s:scs_v39`;`ww:num->real^3`;`s1:stable_sy`;`matvec(vector [ww 1; ww 2; ww 3; ww 4; ww 0]:real^3^M):real^(M,3)finite_product`;]
4401 THEN MRESA_TAC (GEN_ALL IN_NOT_EMPTY_CASE_5)[`ww:num->real^3`;`vector [ww 1; ww 2; ww 3; ww 4; ww 0]:real^3^M`;`matvec(vector [ww 1; ww 2; ww 3;  ww 4;ww 0]:real^3^M):real^(M,3)finite_product`;`s:scs_v39`;]
4402 THEN REPLICATE_TAC 7 (POP_ASSUM MP_TAC)
4403 THEN POP_ASSUM(fun th-> REPEAT STRIP_TAC
4404 THEN MRESA1_TAC th `matvec(vector [ww 1; ww 2; ww 3;  ww 4;ww 0]:real^3^M):real^(M,3)finite_product`);
4405
4406 MRESA_TAC (GEN_ALL IN_NOT_EMPTY_B1_SY_5)
4407 [`x:real^(M,3)finite_product`;`v:real^3^M`;`vv1:num->real^3`;`s:scs_v39`]
4408 THEN MRESA_TAC ( GEN_ALL TAUSTAR_EQ_TAU_STAR_5)[`v:real^3^M`;`s:scs_v39`;`vv1:num->real^3`;`s1:stable_sy`;`x:real^(M,3)finite_product`]
4409 THEN MRESA_TAC ( GEN_ALL TAUSTAR_EQ_TAU_STAR_5)
4410 [`vector [vv 1; vv 2; vv 3; vv 4;vv 0]:real^3^M`;`s:scs_v39`;`vv:num->real^3`;`s1:stable_sy`;`matvec(vector [vv 1; vv 2; vv 3; vv 4; vv 0]:real^3^M):real^(M,3)finite_product`;]
4411 THEN REPLICATE_TAC 23 (POP_ASSUM MP_TAC)
4412 THEN POP_ASSUM (fun th-> REPEAT STRIP_TAC THEN MP_TAC th)
4413 THEN MRESA_TAC (GEN_ALL IN_NOT_EMPTY_CASE_5)[`vv:num->real^3`;`vector [vv 1; vv 2; vv 3; vv 4; vv 0]:real^3^M`;`matvec(vector [vv 1; vv 2; vv 3; vv 4; vv 0]:real^3^M):real^(M,3)finite_product`;`s:scs_v39`;]
4414 THEN REPLICATE_TAC 6 (POP_ASSUM MP_TAC)
4415 THEN POP_ASSUM(fun th-> REPEAT STRIP_TAC
4416 THEN MRESA1_TAC th `matvec(vector [vv 1; vv 2; vv 3; vv 4; vv 0]:real^3^M):real^(M,3)finite_product`)
4417 THEN POP_ASSUM MP_TAC
4418 THEN POP_ASSUM MP_TAC
4419 THEN REAL_ARITH_TAC;
4420 ]);;
4421   (* }}} *)
4422
4423
4424
4425
4426
4427
4428
4429
4430
4431 let VECTOR_3_6=prove(`!x y z t u v. 1<= dimindex(:M)/\ 2<= dimindex(:M) /\ 3<= dimindex(:M)/\ 4<= dimindex(:M) /\ 5<= dimindex(:M) /\ 6<= dimindex(:M) ==> (row 1 (vector[x;y;z:real^3;t;u;v]:real^3^M)) = x
4432 /\ (row 2 (vector[x;y;z:real^3;t;u;v]:real^3^M)) = y
4433 /\ (row 3 (vector[x;y;z:real^3;t;u;v]:real^3^M)) = z
4434 /\ (row 4 (vector[x;y;z:real^3;t;u;v]:real^3^M)) = t
4435 /\ (row 5 (vector[x;y;z:real^3;t;u;v]:real^3^M)) = u
4436 /\ (row 6 (vector[x;y;z:real^3;t;u;v]:real^3^M)) = v
4437 `,
4438 REPEAT STRIP_TAC
4439 THEN ASM_SIMP_TAC[row;vector; LAMBDA_BETA; DIMINDEX_3; LENGTH; ARITH] THEN
4440 REWRITE_TAC[num_CONV `5`;num_CONV `4`;num_CONV `3`;num_CONV `2`; num_CONV `1`; EL; HD; TL]
4441 THEN VECTOR_ARITH_TAC);;
4442
4443
4444
4445 let IN_BALL_ANNUUS_TAC_6 =
4446 fun (th:term)->
4447 ASM_SIMP_TAC[]
4448 THEN MRESAL_TAC VECTOR_3_6[`(vv:num->real^3) 1`;`(vv:num->real^3) 2`;`(vv:num->real^3) 3`;`(vv:num->real^3) 4`;`(vv:num->real^3) 5`;`(vv:num->real^3) 0`;][ARITH_RULE`1<=6/\ 2<=6/\ 3<=6/\ 4<=6/\ 5<=6/\6<=6`]
4449 THEN MATCH_MP_TAC(SET_RULE`
4450 vv th IN  IMAGE vv (:num) /\ IMAGE vv (:num) SUBSET ball_annulus
4451 ==> vv th IN ball_annulus`)
4452 THEN ASM_REWRITE_TAC[IMAGE;IN_ELIM_THM]
4453 THEN EXISTS_TAC th
4454 THEN REWRITE_TAC[SET_RULE`(a:num) IN(:num)`]
4455 ;;
4456
4457
4458 let INEQUALITY_A_B_TAC_60 =
4459 fun (so:term) (so1:term)->
4460 ASM_SIMP_TAC[change_type_v3]
4461 THEN MRESAL_TAC VECTOR_3_6[`(vv:num->real^3) 1`;`(vv:num->real^3) 2`;`(vv:num->real^3) 3`;`(vv:num->real^3) 4`;`(vv:num->real^3) 5`;`(vv:num->real^3) 0`][ARITH_RULE`1<=6/\ 2<=6/\ 3<=6/\ 4<=6/\ 5<=6 /\ 6<=6 /\ 0 MOD 6= 0 /\ 1 MOD 6= 1 /\ 2 MOD 6= 2/\ 3 MOD 6= 3 /\ 4 MOD 6= 4 /\ 5 MOD 6=5 /\ 6 MOD 6=0 /\ ~(2=1)
4462 /\ SUC 0 MOD 6= 1 /\ SUC 1 MOD 6= 2 /\ SUC 2 MOD 6= 3/\ SUC 3 MOD 6= 4
4463 /\ SUC 4 MOD 6= 5 /\ SUC 5 MOD 6 = 0 /\ SUC 6 MOD 6 =1 /\ ~(3=1)/\ ~(1=0)`]
4464 THEN REPLICATE_TAC 14 (POP_ASSUM MP_TAC)
4465 THEN POP_ASSUM(fun th-> MRESAL_TAC th[so;so1][dist;ARITH_RULE`1<=6/\ 2<=6/\ 3<=6/\ 4<=6/\ 5<=6 /\ 6<=6 /\ 0 MOD 6= 0 /\ 1 MOD 6= 1 /\ 2 MOD 6= 2/\ 3 MOD 6= 3 /\ 4 MOD 6= 4 /\ 5 MOD 6=5 /\ 6 MOD 6=0 /\ ~(2=1)
4466 /\ SUC 0 MOD 6= 1 /\ SUC 1 MOD 6= 2 /\ SUC 2 MOD 6= 3/\ SUC 3 MOD 6= 4
4467 /\ SUC 4 MOD 6= 5 /\ SUC 5 MOD 6 = 0 /\ SUC 6 MOD 6 =1 /\ ~(3=1)/\ ~(1=0) /\ ~(1=4)/\ ~(2=3) /\ ~(2=0) /\ ~(3=0)/\ ~(0=4)/\ ~(2=4)
4468 /\ ~(3=4)/\ ~(1=5)/\ ~(2=5)/\ ~(3=5)/\ ~(4=5)/\ ~(0=5)`]);;
4469
4470
4471 let INEQUALITY_A_B_TAC_6 =
4472 fun (th:term)->
4473 MP_TAC(ARITH_RULE`1<= i /\ i<= 6==> i=1\/ i=2\/ i=3\/ i=4 \/ i=5 \/ i=6`)
4474 THEN RESA_TAC
4475 THENL[
4476 INEQUALITY_A_B_TAC_60 `1` th;
4477 INEQUALITY_A_B_TAC_60 `2` th;
4478 INEQUALITY_A_B_TAC_60 `3` th;
4479 INEQUALITY_A_B_TAC_60 `4` th;
4480 INEQUALITY_A_B_TAC_60 `5` th;
4481 INEQUALITY_A_B_TAC_60 `0` th;];;
4482
4483
4484 let EQUALITY_V_SY_TAC_6 =
4485 fun (th:term)->
4486 ASM_REWRITE_TAC[]
4487 THEN EXISTS_TAC th
4488 THEN MRESAL_TAC VECTOR_3_6[`(vv:num->real^3) 1`;`(vv:num->real^3) 2`;`(vv:num->real^3) 3`;`(vv:num->real^3) 4`;`(vv:num->real^3) 5`;`(vv:num->real^3) 0`][ARITH_RULE`1<=6/\ 2<=6/\ 3<=6/\ 4<=6/\ 5<=6 /\ 6<=6 /\ 0 MOD 6= 0 /\ 1 MOD 6= 1 /\ 2 MOD 6= 2/\ 3 MOD 6= 3 /\ 4 MOD 6= 4 /\ 5 MOD 6=5 /\ 6 MOD 6=0 /\ ~(2=1)
4489 /\ SUC 0 MOD 6= 1 /\ SUC 1 MOD 6= 2 /\ SUC 2 MOD 6= 3/\ SUC 3 MOD 6= 4
4490 /\ SUC 4 MOD 6= 5 /\ SUC 5 MOD 6 = 0 /\ SUC 6 MOD 6 =1 /\ ~(3=1)/\ ~(1=0)`;SET_RULE`(a:num) IN (:num)`]
4491 ;;
4492
4493
4494
4495 let PROVE_V_SY_EQ_6_TAC=
4496 fun (th:term)->
4497 EXISTS_TAC th
4498 THEN ASM_REWRITE_TAC[ARITH_RULE`1<= 1 /\ 1<= 5`]
4499 THEN MRESAL_TAC VECTOR_3_6[`(vv:num->real^3) 1`;`(vv:num->real^3) 2`;`(vv:num->real^3) 3`;`(vv:num->real^3) 4`;`(vv:num->real^3) 5`;`(vv:num->real^3) 0`;][ARITH_RULE`1<=6/\ 2<=6/\ 3<=6/\ 4<=6/\ 5<=6 /\ 6<=6 /\ 0 MOD 6= 0 /\ 1 MOD 6= 1 /\ 2 MOD 6= 2/\ 3 MOD 6= 3 /\ 4 MOD 6= 4 /\ 5 MOD 6=5 /\ 6 MOD 6=0 /\ ~(2=1)
4500 /\ SUC 0 MOD 6= 1 /\ SUC 1 MOD 6= 2 /\ SUC 2 MOD 6= 3/\ SUC 3 MOD 6= 4
4501 /\ SUC 4 MOD 6= 5 /\ SUC 5 MOD 6 = 0 /\ SUC 6 MOD 6 =1 /\ ~(3=1)/\ ~(1=0)`;SET_RULE`(a:num) IN (:num)`]
4502 THEN ARITH_TAC
4503 ;;
4504
4505 let PROVE_E_SY_EQ_6_TAC =
4506 fun (th:term)->
4507 EXISTS_TAC th
4508 THEN MRESAL_TAC VECTOR_3_6[`(vv:num->real^3) 1`;`(vv:num->real^3) 2`;`(vv:num->real^3) 3`;`(vv:num->real^3) 4`;`(vv:num->real^3) 5`;`(vv:num->real^3) 0`][ARITH_RULE`1<=6/\ 2<=6/\ 3<=6/\ 4<=6/\ 5<=6 /\ 6<=6 /\ 0 MOD 6= 0 /\ 1 MOD 6= 1 /\ 2 MOD 6= 2/\ 3 MOD 6= 3 /\ 4 MOD 6= 4 /\ 5 MOD 6=5 /\ 6 MOD 6=0 /\ ~(2=1)
4509 /\ SUC 0 MOD 6= 1 /\ SUC 1 MOD 6= 2 /\ SUC 2 MOD 6= 3/\ SUC 3 MOD 6= 4
4510 /\ SUC 4 MOD 6= 5 /\ SUC 5 MOD 6 = 0 /\ SUC 6 MOD 6 =1 /\ ~(3=1)/\ ~(3=1)/\ ~(1=0)/\ 5<=5/\ 1<=1 /\ 1<=2 /\ 1<= 3 /\ 1<=4 /\ 1<=5
4511 /\ SUC 1=2 /\ SUC 0 =1/\ SUC 2=3/\  SUC 3=4 /\ SUC 4=5 `; SET_RULE`(a:num) IN (:num)`]
4512 THEN MRESAL_TAC(GEN_ALL PERIODIC_PROPERTY)[`6`;`vv:num-> real^3`][ARITH_RULE`~(6=0)`]
4513 THEN POP_ASSUM(fun th-> MRESAL1_TAC th`SUC 5`[ARITH_RULE`SUC 5 MOD 6=0/\ SUC 5=6`])
4514 THEN POP_ASSUM(fun th-> REWRITE_TAC[SYM th])
4515 ;;
4516
4517
4518
4519 let PROVE_E_SY_EQ_INV_6_TAC=
4520 fun (th:term)  ->
4521 MRESAL_TAC(GEN_ALL IMP_SUC_MOD_EQ)[`x':num`;th;`6`][ARITH_RULE`~(6=0)/\ 0 MOD 6=0/\ SUC 0  MOD 6=1 /\ 1 MOD 6=1 /\ 2 MOD 6=2 /\ 3 MOD 6=3/\ 4 MOD 6=4 /\ 5 MOD 6=5/\ 6 MOD 6=0 `]
4522 THEN EXISTS_TAC th
4523 THEN MRESAL_TAC VECTOR_3_6[`(vv:num->real^3) 1`;`(vv:num->real^3) 2`;`(vv:num->real^3) 3`;`(vv:num->real^3) 4`;`(vv:num->real^3) 5`;`(vv:num->real^3) 0`;][ARITH_RULE`1<=6/\ 2<=6/\ 3<=6/\ 4<=6/\ 5<=6 /\ 6<=6 /\ 0 MOD 6= 0 /\ 1 MOD 6= 1 /\ 2 MOD 6= 2/\ 3 MOD 6= 3 /\ 4 MOD 6= 4 /\ 5 MOD 6=5 /\ 6 MOD 6=0 /\ ~(2=1)
4524 /\ SUC 0 MOD 6= 1 /\ SUC 1 MOD 6= 2 /\ SUC 2 MOD 6= 3/\ SUC 3 MOD 6= 4
4525 /\ SUC 4 MOD 6= 5 /\ SUC 5 MOD 6 = 0 /\ SUC 6 MOD 6 =1 /\ ~(3=1)/\ ~(3=1)/\ ~(1=0)/\ 5<=5/\ 1<=1 /\ 1<=2 /\ 1<= 3 /\ 1<=4 /\ 1<=5
4526 /\ SUC 1=2 /\ SUC 0 =1/\ SUC 2=3/\  SUC 3=4 /\ SUC 4=5 /\ SUC 5=6`; SET_RULE`(a:num) IN (:num)`]
4527 ;;
4528
4529
4530
4531
4532 let V_E_FF_CASE_6=prove_by_refinement(
4533 `(s=let upperbd = &6 in
4534   let a_pro = (\k p a1 a2 i j. (if (i MOD k = j MOD k) then &0
4535                                 else (if {i MOD k,j MOD k}={0,1} then p
4536                                       else (if (j MOD k = SUC i MOD k) \/ (SUC j MOD k = i MOD k) then a1 else a2)))) in
4537          mk_unadorned_v39 6 (d_tame 6) (cs_adj 6 (&2) (&2 * h0)) (cs_adj 6 (&2 * h0) upperbd))
4538 /\ vv IN BBs_v39 s
4539 /\ scs_k_v39 s= dimindex(:M)
4540 /\ vector[(vv:num->real^3) 1;(vv:num->real^3) 2;(vv:num->real^3) 3;(vv:num->real^3) 4;(vv:num->real^3) 5;(vv:num->real^3) 0]:real^3^M= v
4541 /\ matvec (v:real^3^M) =a
4542 ==>
4543 V_SY (v:real^3^M)=IMAGE vv (:num)/\
4544   E_SY (v:real^3^M)=IMAGE (\i. {vv i, vv (SUC i)}) (:num)/\
4545 F_SY (v:real^3^M)=IMAGE (\i. vv i,vv (SUC i)) (:num)`,
4546   (* {{{ proof *)
4547 [
4548
4549 STRIP_TAC
4550 THEN REPLICATE_TAC 4 (POP_ASSUM MP_TAC)
4551 THEN ASM_REWRITE_TAC[scs_k_v39_explicit;scs_a_v39_explicit;scs_b_v39_explicit;BBs_v39;ARITH_RULE`3<=3`;LET_DEF;LET_END_DEF;ARITH_RULE`~(6<=3)`;IN;mk_unadorned_v39]
4552 THEN REPEAT STRIP_TAC;
4553
4554 REWRITE_TAC[V_SY;rows]
4555 THEN REPLICATE_TAC 2 (POP_ASSUM MP_TAC)
4556 THEN POP_ASSUM(fun th-> REWRITE_TAC[SYM th;ARITH_RULE`(1<= i /\ i<= 6)<=> (i=1\/ i=2\/ i=3 \/ i=4\/ i=5 \/ i=6)`] THEN ASSUME_TAC (SYM th))
4557 THEN STRIP_TAC
4558 THEN STRIP_TAC
4559 THEN ASM_REWRITE_TAC[IMAGE;EXTENSION;IN_ELIM_THM]
4560 THEN GEN_TAC
4561 THEN EQ_TAC;
4562
4563 REPEAT STRIP_TAC
4564 THENL[
4565 EQUALITY_V_SY_TAC_6 `1`;
4566 EQUALITY_V_SY_TAC_6 `2`;
4567 EQUALITY_V_SY_TAC_6 `3`;
4568 EQUALITY_V_SY_TAC_6 `4`;
4569 EQUALITY_V_SY_TAC_6 `5`;
4570 EQUALITY_V_SY_TAC_6 `0`;];
4571
4572
4573
4574 REPEAT STRIP_TAC
4575 THEN REWRITE_TAC[ARITH_RULE` (i=1\/ i=2\/ i=3 \/ i=4 \/ i=5 \/ i=6)<=> (1<= i /\ i<= 6)`]
4576 THEN MRESAL_TAC(GEN_ALL PERIODIC_PROPERTY)[`6`;`vv:num-> real^3`][ARITH_RULE`~(6=0)`]
4577 THEN POP_ASSUM (fun th-> MRESA1_TAC th`x':num`)
4578 THEN POP_ASSUM (fun th-> ONCE_REWRITE_TAC[SYM th])
4579 THEN MRESAL_TAC DIVISION[`x':num`;`6`][ARITH_RULE`~(6=0)`]
4580 THEN MP_TAC(ARITH_RULE`x' MOD 6 < 6 ==>  x' MOD 6 =0 \/ x' MOD 6 = 1\/ x' MOD 6 = 2 \/ x' MOD 6 =3 \/ x' MOD 6 =4  \/ x' MOD 6 =5`)
4581 THEN RESA_TAC
4582 THENL[
4583 PROVE_V_SY_EQ_6_TAC`6`;
4584 PROVE_V_SY_EQ_6_TAC`1`;
4585 PROVE_V_SY_EQ_6_TAC`2`;
4586 PROVE_V_SY_EQ_6_TAC`3`;
4587 PROVE_V_SY_EQ_6_TAC`4`;
4588 PROVE_V_SY_EQ_6_TAC`5`;];
4589
4590 REWRITE_TAC[E_SY;rows]
4591 THEN REPLICATE_TAC 2 (POP_ASSUM MP_TAC)
4592 THEN POP_ASSUM(fun th-> REWRITE_TAC[SYM th;ARITH_RULE`(1<= i /\ i<= 6)<=> (i=1\/ i=2\/ i=3 \/ i=4 \/ i=5\/ i=6)`] THEN ASSUME_TAC (SYM th))
4593 THEN REPEAT STRIP_TAC
4594 THEN ASM_REWRITE_TAC[IMAGE;EXTENSION;IN_ELIM_THM]
4595 THEN GEN_TAC
4596 THEN ONCE_REWRITE_TAC[GSYM EXTENSION]
4597 THEN EQ_TAC;
4598
4599 STRIP_TAC
4600 THEN ASM_REWRITE_TAC[]
4601 THENL[
4602 PROVE_E_SY_EQ_6_TAC `1`;
4603 PROVE_E_SY_EQ_6_TAC `2`;
4604 PROVE_E_SY_EQ_6_TAC `3`;
4605 PROVE_E_SY_EQ_6_TAC `4`;
4606 PROVE_E_SY_EQ_6_TAC `5`;
4607 PROVE_E_SY_EQ_6_TAC `0`;];
4608
4609 STRIP_TAC
4610 THEN REWRITE_TAC[ARITH_RULE` (i=1\/ i=2\/ i=3 \/ i=4 \/ i=5 \/ i=6)<=> (1<= i /\ i<= 6)`]
4611 THEN MRESAL_TAC(GEN_ALL PERIODIC_PROPERTY)[`6`;`vv:num-> real^3`][ARITH_RULE`~(6=0)`]
4612 THEN POP_ASSUM (fun th-> MRESA1_TAC th`x':num` THEN MRESA1_TAC th`SUC x':num`)
4613 THEN POP_ASSUM (fun th-> ONCE_REWRITE_TAC[SYM th])
4614 THEN POP_ASSUM (fun th-> ONCE_REWRITE_TAC[SYM th])
4615 THEN MRESAL_TAC DIVISION[`x':num`;`6`][ARITH_RULE`~(6=0)`]
4616 THEN MP_TAC(ARITH_RULE`x' MOD 6 < 6==>  x' MOD 6 =0 \/ x' MOD 6 = 1\/ x' MOD 6 = 2 \/ x' MOD 6 =3 \/ x' MOD 6 =4 \/ x' MOD 6 =5`)
4617 THEN RESA_TAC
4618 THENL[
4619 PROVE_E_SY_EQ_INV_6_TAC `6`;
4620 PROVE_E_SY_EQ_INV_6_TAC `1`;
4621 PROVE_E_SY_EQ_INV_6_TAC `2`;
4622 PROVE_E_SY_EQ_INV_6_TAC `3`;
4623 PROVE_E_SY_EQ_INV_6_TAC `4`;
4624 PROVE_E_SY_EQ_INV_6_TAC `5`;];
4625
4626 REWRITE_TAC[F_SY;rows]
4627 THEN REPLICATE_TAC 2 (POP_ASSUM MP_TAC)
4628 THEN POP_ASSUM(fun th-> REWRITE_TAC[SYM th;ARITH_RULE`(1<= i /\ i<= 6)<=> (i=1\/ i=2\/ i=3 \/ i=4 \/ i=5 \/ i=6)`] THEN ASSUME_TAC (SYM th))
4629 THEN REPEAT STRIP_TAC
4630 THEN ASM_REWRITE_TAC[IMAGE;EXTENSION;IN_ELIM_THM]
4631 THEN GEN_TAC
4632 THEN ONCE_REWRITE_TAC[GSYM EXTENSION]
4633 THEN EQ_TAC;
4634
4635 STRIP_TAC
4636 THEN ASM_REWRITE_TAC[]
4637 THENL[
4638 PROVE_E_SY_EQ_6_TAC `1`;
4639 PROVE_E_SY_EQ_6_TAC `2`;
4640 PROVE_E_SY_EQ_6_TAC `3`;
4641 PROVE_E_SY_EQ_6_TAC `4`;
4642 PROVE_E_SY_EQ_6_TAC `5`;
4643 PROVE_E_SY_EQ_6_TAC `0`;];
4644
4645 STRIP_TAC
4646 THEN REWRITE_TAC[ARITH_RULE` (i=1\/ i=2\/ i=3 \/ i=4 \/ i=5 \/ i=6)<=> (1<= i /\ i<= 6)`]
4647 THEN MRESAL_TAC(GEN_ALL PERIODIC_PROPERTY)[`6`;`vv:num-> real^3`][ARITH_RULE`~(6=0)`]
4648 THEN POP_ASSUM (fun th-> MRESA1_TAC th`x':num` THEN MRESA1_TAC th`SUC x':num`)
4649 THEN POP_ASSUM (fun th-> ONCE_REWRITE_TAC[SYM th])
4650 THEN POP_ASSUM (fun th-> ONCE_REWRITE_TAC[SYM th])
4651 THEN MRESAL_TAC DIVISION[`x':num`;`6`][ARITH_RULE`~(6=0)`]
4652 THEN MP_TAC(ARITH_RULE`x' MOD 6 < 6==>  x' MOD 6 =0 \/ x' MOD 6 = 1\/ x' MOD 6 = 2 \/ x' MOD 6 =3 \/ x' MOD 6 =4 \/ x' MOD 6 =5`)
4653 THEN RESA_TAC
4654 THENL[
4655 PROVE_E_SY_EQ_INV_6_TAC `6`;
4656 PROVE_E_SY_EQ_INV_6_TAC `1`;
4657 PROVE_E_SY_EQ_INV_6_TAC `2`;
4658 PROVE_E_SY_EQ_INV_6_TAC `3`;
4659 PROVE_E_SY_EQ_INV_6_TAC `4`;
4660 PROVE_E_SY_EQ_INV_6_TAC `5`;];
4661
4662 ]);;
4663   (* }}} *)
4664
4665
4666
4667
4668 let IN_NOT_EMPTY_CASE_6=prove_by_refinement(
4669 `(s=let upperbd = &6 in
4670   let a_pro = (\k p a1 a2 i j. (if (i MOD k = j MOD k) then &0
4671                                 else (if {i MOD k,j MOD k}={0,1} then p
4672                                       else (if (j MOD k = SUC i MOD k) \/ (SUC j MOD k = i MOD k) then a1 else a2)))) in
4673 mk_unadorned_v39 6 (d_tame 6) (cs_adj 6 (&2) (&2 * h0)) (cs_adj 6 (&2 * h0) upperbd))
4674 /\ vv IN BBs_v39 s
4675 /\ scs_k_v39 s= dimindex(:M)
4676 /\ vector[(vv:num->real^3) 1;(vv:num->real^3) 2;(vv:num->real^3) 3;(vv:num->real^3) 4;(vv:num->real^3) 5;(vv:num->real^3) 0]:real^3^M= v
4677 /\ matvec (v:real^3^M) =a
4678 ==>
4679 a IN {matvec(v:real^3^M) | (!i. 1<=i /\  i <= dimindex(:M)==> row i v IN ball_annulus) /\  CONDITION1_SY (change_type_v3 (scs_a_v39 s)) (change_type_v3 (scs_b_v39 s)) v /\ CONDITION2_SY v }`,
4680   (* {{{ proof *)
4681 [
4682 REWRITE_TAC[SET_RULE`~(A={})<=> (?a. a IN A)`;IN_ELIM_THM;CONDITION1_SY;CONDITION2_SY]
4683 THEN REPEAT STRIP_TAC
4684 THEN POP_ASSUM MP_TAC
4685 THEN POP_ASSUM MP_TAC
4686 THEN POP_ASSUM MP_TAC
4687 THEN POP_ASSUM MP_TAC
4688 THEN ASM_REWRITE_TAC[scs_k_v39_explicit;scs_a_v39_explicit;scs_b_v39_explicit;LET_DEF;LET_END_DEF;BBs_v39;ARITH_RULE`~(6<=3)`;mk_unadorned_v39;CS_ADJ]
4689 THEN GEN_REWRITE_TAC(LAND_CONV  o DEPTH_CONV)[IN]
4690 THEN ASM_REWRITE_TAC[scs_k_v39_explicit;scs_a_v39_explicit;scs_b_v39_explicit;BBs_v39;ARITH_RULE`3<=3`;LET_DEF;LET_END_DEF;ARITH_RULE`~(6<=3)`]
4691 THEN REPEAT STRIP_TAC
4692 THEN ASM_REWRITE_TAC[]
4693 THEN EXISTS_TAC`v:real^3^M`
4694 THEN STRIP_TAC;
4695
4696 STRIP_TAC;
4697
4698 REPLICATE_TAC 2 (POP_ASSUM MP_TAC)
4699 THEN POP_ASSUM(fun th-> REWRITE_TAC[SYM th;ARITH_RULE`(1<= i /\ i<= 6)<=> (i=1\/ i=2\/ i=3 \/ i=4 \/ i=5\/ i=6)`] THEN ASSUME_TAC (SYM th))
4700 THEN REPEAT STRIP_TAC
4701 THENL[
4702 IN_BALL_ANNUUS_TAC_6 `(1:num)`;
4703 IN_BALL_ANNUUS_TAC_6 `(2:num)`;
4704 IN_BALL_ANNUUS_TAC_6 `(3:num)`;
4705 IN_BALL_ANNUUS_TAC_6 `(4:num)`;
4706 IN_BALL_ANNUUS_TAC_6 `(5:num)`;
4707 IN_BALL_ANNUUS_TAC_6 `(0:num)`;];
4708
4709 STRIP_TAC;
4710
4711 REPLICATE_TAC 2 (POP_ASSUM MP_TAC)
4712 THEN POP_ASSUM(fun th-> REWRITE_TAC[SYM th;ARITH_RULE`(1<= i /\ i<= 6)<=> (i=1\/ i=2\/ i=3 \/ i=4 \/ i=5\/ i=6)`] THEN ASSUME_TAC (SYM th))
4713 THEN REPEAT DISCH_TAC
4714 THEN REPEAT GEN_TAC
4715 THEN STRIP_TAC
4716 THENL[
4717 INEQUALITY_A_B_TAC_6 `1`;
4718 INEQUALITY_A_B_TAC_6 `2`;
4719 INEQUALITY_A_B_TAC_6 `3`;
4720 INEQUALITY_A_B_TAC_6 `4`;
4721 INEQUALITY_A_B_TAC_6 `5`;
4722 INEQUALITY_A_B_TAC_6 `0`;];
4723
4724 MP_TAC V_E_FF_CASE_6
4725 THEN ASM_REWRITE_TAC[scs_k_v39_explicit;scs_d_v39_explicit;scs_a_v39_explicit;scs_b_v39_explicit;BBs_v39;ARITH_RULE`3<=3`;LET_DEF;LET_END_DEF;ARITH_RULE`~(4<=3)`;IN;mk_unadorned_v39;CS_ADJ]
4726 THEN POP_ASSUM MP_TAC
4727 THEN POP_ASSUM MP_TAC
4728 THEN POP_ASSUM(fun th-> ASM_REWRITE_TAC[SYM th])
4729 THEN REPEAT RESA_TAC;
4730
4731 ASM_REWRITE_TAC[]
4732 ]);;
4733   (* }}} *)
4734
4735
4736
4737 let NOT_EMPTY_CASE_6=prove_by_refinement(
4738 `(s=let upperbd = &6 in
4739   let a_pro = (\k p a1 a2 i j. (if (i MOD k = j MOD k) then &0
4740                                 else (if {i MOD k,j MOD k}={0,1} then p
4741                                       else (if (j MOD k = SUC i MOD k) \/ (SUC j MOD k = i MOD k) then a1 else a2)))) in
4742 mk_unadorned_v39 6 (d_tame 6) (cs_adj 6 (&2) (&2 * h0)) (cs_adj 6 (&2 * h0) upperbd))
4743 /\ vv IN BBs_v39 s
4744 /\ scs_k_v39 s= dimindex(:M)
4745 ==>
4746 ~({matvec(v:real^3^M) | (!i. 1<=i /\  i <= dimindex(:M)==> row i v IN ball_annulus) /\  CONDITION1_SY (change_type_v3 (scs_a_v39 s)) (change_type_v3 (scs_b_v39 s)) v /\ CONDITION2_SY v }={})`
4747 ,
4748   (* {{{ proof *)
4749 [
4750 REWRITE_TAC[SET_RULE`~(A={})<=> (?a. a IN A)`;]
4751 THEN STRIP_TAC
4752 THEN ABBREV_TAC`v=vector[(vv:num->real^3) 1;(vv:num->real^3) 2;(vv:num->real^3) 3;(vv:num->real^3) 4;(vv:num->real^3) 5;(vv:num->real^3) 0]:real^3^M`
4753 THEN ABBREV_TAC`a=matvec (v:real^3^M) `
4754 THEN EXISTS_TAC`a:real^(M,3)finite_product`
4755 THEN MATCH_MP_TAC IN_NOT_EMPTY_CASE_6
4756 THEN ASM_REWRITE_TAC[]
4757 ]);;
4758   (* }}} *)
4759
4760
4761 let TAUSTAR_EQ_TAU_STAR_6=prove_by_refinement(
4762 `(let upperbd = &6 in
4763   let a_pro = (\k p a1 a2 i j. (if (i MOD k = j MOD k) then &0
4764                                 else (if {i MOD k,j MOD k}={0,1} then p
4765                                       else (if (j MOD k = SUC i MOD k) \/ (SUC j MOD k = i MOD k) then a1 else a2)))) in
4766 mk_unadorned_v39 6 (d_tame 6) (cs_adj 6 (&2) (&2 * h0)) (cs_adj 6 (&2 * h0) upperbd))=s
4767 /\ vv IN BBs_v39 s
4768 /\ scs_k_v39 s= dimindex(:M)
4769 /\ vector[(vv:num->real^3) 1;(vv:num->real^3) 2;(vv:num->real^3) 3;(vv:num->real^3) 4;(vv:num->real^3) 5;(vv:num->real^3) 0]:real^3^M= v
4770 /\ matvec (v:real^3^M) =a
4771 /\ stable_sy((scs_k_v39 s),(scs_d_v39 s),(0..scs_k_v39 s - 1),
4772          (change_type_v3 (scs_a_v39 s)),
4773          (change_type_v3 (scs_b_v39 s)),
4774          (change_type_v2 (scs_J_v39 s) (scs_k_v39 s)),
4775          (\i. (1 + i) MOD scs_k_v39 s))=s1
4776 ==>  taustar_v39 s vv = tau_star s1 a`,
4777   (* {{{ proof *)
4778 [
4779 REPEAT STRIP_TAC
4780 THEN MP_TAC V_E_FF_CASE_6
4781 THEN RESA_TAC
4782 THEN SUBGOAL_THEN`scs_k_v39 s =6` ASSUME_TAC;
4783
4784 EXPAND_TAC"s"
4785 THEN REWRITE_TAC[scs_k_v39_explicit;scs_d_v39_explicit;scs_a_v39_explicit;scs_b_v39_explicit;BBs_v39;ARITH_RULE`3<=3`;LET_DEF;LET_END_DEF;ARITH_RULE`~(6<=3)`;IN;mk_unadorned_v39;];
4786
4787 POP_ASSUM MP_TAC
4788 THEN RESA_TAC
4789 THEN ASM_REWRITE_TAC[taustar_v39;tau_star]
4790 THEN ASM_REWRITE_TAC[scs_k_v39_explicit;scs_d_v39_explicit;scs_a_v39_explicit;scs_b_v39_explicit;BBs_v39;ARITH_RULE`3<=3`;LET_DEF;LET_END_DEF;ARITH_RULE`~(6<=3)`;IN;mk_unadorned_v39;]
4791 THEN ASM_SIMP_TAC[dsv_J_empty]
4792 THEN MP_TAC SCS_6_IS_TRI_STABLE
4793 THEN ASM_REWRITE_TAC[LET_DEF;LET_END_DEF]
4794 THEN STRIP_TAC
4795 THEN MRESAL_TAC stable_sy_explicit[`(scs_k_v39 s)`;`(scs_d_v39 s)`;`(0..scs_k_v39 s - 1)`;`
4796          (change_type_v3 (scs_a_v39 s))`;`
4797          (change_type_v3 (scs_b_v39 s))`;`
4798          (change_type_v2 (scs_J_v39 s) (scs_k_v39 s))`;`
4799          (\i. (1 + i) MOD scs_k_v39 s)`][LET_DEF;LET_END_DEF;d_fun]
4800 THEN SUBGOAL_THEN`J1_SY (s1:stable_sy)={}` ASSUME_TAC;
4801
4802 ASM_REWRITE_TAC[J1_SY;]
4803 THEN EXPAND_TAC"s"
4804 THEN REWRITE_TAC[scs_J_v39_explicit;LET_DEF;LET_END_DEF;mk_unadorned_v39;change_type_v2;SET_RULE`a IN  {{i, j} | F}<=> F`]
4805 THEN SET_TAC[];
4806
4807 ASM_REWRITE_TAC[SUM_CLAUSES;REAL_ARITH`a* &0= &0 /\a + &0=a`]
4808 THEN EXPAND_TAC"a"
4809 THEN REWRITE_TAC[MATVEC_VECMATS_ID;VECMATS_MATVEC_ID]
4810 THEN ASM_REWRITE_TAC[REAL_ARITH`A-B=A-C<=>B=C`]
4811 THEN MATCH_MP_TAC dsv_J_empty
4812 THEN EXPAND_TAC"s"
4813 THEN REWRITE_TAC[scs_J_v39_explicit;LET_DEF;LET_END_DEF;mk_unadorned_v39;change_type_v2;SET_RULE`a IN  {{i, j} | F}<=> F`]
4814 ]);;
4815   (* }}} *)
4816
4817
4818
4819
4820
4821
4822
4823
4824
4825
4826
4827
4828
4829
4830
4831
4832
4833
4834
4835 let SCS_A_B__EQ_MOD_6=prove(
4836 `s=(let upperbd = &6 in
4837   let a_pro = (\k p a1 a2 i j. (if (i MOD k = j MOD k) then &0
4838                                 else (if {i MOD k,j MOD k}={0,1} then p
4839                                       else (if (j MOD k = SUC i MOD k) \/ (SUC j MOD k = i MOD k) then a1 else a2)))) in
4840          mk_unadorned_v39 6 (d_tame 6) (cs_adj 6 (&2) (&2 * h0)) (cs_adj 6 (&2 * h0) upperbd))
4841 ==>
4842 !i j. scs_a_v39 s i j = scs_a_v39 s (i MOD 6) (j MOD 6)/\
4843  scs_b_v39 s i j = scs_b_v39 s (i MOD 6) (j MOD 6)`,
4844 REPEAT STRIP_TAC
4845 THEN ASM_REWRITE_TAC[scs_k_v39_explicit;scs_d_v39_explicit;scs_a_v39_explicit;scs_b_v39_explicit;BBs_v39;ARITH_RULE`3<=3`;LET_DEF;LET_END_DEF;ARITH_RULE`~(6<=3)`;IN;mk_unadorned_v39;CS_ADJ]
4846 THEN MRESAL_TAC MOD_MOD_REFL[`i:num`;`6`][ARITH_RULE`~(6=0)`]
4847 THEN MRESAL_TAC MOD_MOD_REFL[`j:num`;`6`][ARITH_RULE`~(6=0)`]
4848 THEN MRESAL_TAC MOD_ADD_MOD[`j:num`;`1:num`;`6`][ARITH_RULE`~(6=0) /\ 1 MOD 6=1`;ADD1]
4849 THEN MRESAL_TAC MOD_ADD_MOD[`i:num`;`1:num`;`6`][ARITH_RULE`~(6=0) /\ 1 MOD 6=1`;ADD1]);;
4850
4851
4852
4853
4854 let VV_IN_BALL_ANNULUS_TAC_6=
4855 fun (so:term)->
4856 REPLICATE_TAC 8 (POP_ASSUM MP_TAC)
4857 THEN POP_ASSUM(fun th-> MRESAL1_TAC th so [ARITH_RULE`1<=1 /\ 1<=2 /\1<=3 /\ 1<= 4/\ 1<=6 /\ 2<=6/\ 3<=6/\ 4<=6/\ 6<=6/\ ~(1=0)/\ ~(2=0) /\ ~(3=0)/\ ~(2=1)/\ ~(3=1)/\ ~(3=2)/\ ~(4=0) /\ ~(4=1)/\ ~(4=2)/\ ~(4=3)/\ 1<=5/\ 5<=6
4858 /\ ~(5=0) /\ ~(5=1)/\ ~(5=2)/\ ~(5=3) /\ ~(5=4)`] )
4859 ;;
4860
4861
4862
4863
4864 let PROVE_INEQUALITY_TAC_60=
4865 fun (so:term) (so1:term)->
4866 REPLICATE_TAC 7(POP_ASSUM MP_TAC)
4867 THEN POP_ASSUM(fun th-> MRESAL_TAC th[so;so1][ARITH_RULE`1<=6 /\ 6<=6/\ 1<=1 /\ 1<=6/\ 1<=2 /\ 2<=6/\1<=3 /\ 3<=6/\ 1<=4/\ 4<=6/\ 1<=5/\ 5<=6`])
4868 THEN POP_ASSUM( fun th->
4869 POP_ASSUM( fun th1->
4870 REPEAT DISCH_TAC
4871 THEN MP_TAC th THEN MP_TAC th1
4872 THEN POP_ASSUM(fun th2-> ONCE_REWRITE_TAC[th2]
4873 THEN POP_ASSUM(fun th3-> MRESAL1_TAC th3`6`[ARITH_RULE`4 MOD 4=0`]
4874 THEN MRESAL1_TAC th3`1`[ARITH_RULE`1 MOD 6=1/\ ~(1=0)`]
4875 THEN MRESAL1_TAC th3`2`[ARITH_RULE`2 MOD 6=2/\ ~(2=0)/\ ~(2=1)`]
4876 THEN MRESAL1_TAC th3`3`[ARITH_RULE`3 MOD 6=3/\ ~(3=0)/\ ~(3=1)/\ ~(3=2)`]
4877 THEN MRESAL1_TAC th3`4`[ARITH_RULE`4 MOD 6=4/\ ~(4=0)/\ ~(4=1)/\ ~(4=2)/\ ~(4=3)`]
4878 THEN MRESAL1_TAC th3`5`[ARITH_RULE`5 MOD 6=5/\ ~(5=0)/\ ~(5=1)/\ ~(5=2)/\ ~(5=3)/\ ~(5=4)`])
4879 THEN MRESAL1_TAC th2`6`[ARITH_RULE`6 MOD 6=0`])
4880 ))
4881 THEN MP_TAC SCS_A_B__EQ_MOD_6
4882 THEN ASM_REWRITE_TAC[]
4883 THEN STRIP_TAC
4884 THEN POP_ASSUM(fun th-> ONCE_REWRITE_TAC[th])
4885 THEN ASM_REWRITE_TAC[ARITH_RULE`6 MOD 6=0/\ 1 MOD 6=1/\ 2 MOD 6=2 /\ 3 MOD 6=3 /\ 4 MOD 6=4/\ 5 MOD 6=5`]
4886 THEN RESA_TAC
4887 THEN RESA_TAC
4888 ;;
4889
4890
4891
4892
4893
4894
4895 let PROVE_INEQUALITY_TAC_6=
4896 fun (th:term)->
4897 MP_TAC(ARITH_RULE`(j MOD 6<6)==> (j MOD 6=0) \/ (j MOD 6=1) \/ (j MOD 6=2)\/ (j MOD 6=3)\/ (j MOD 6=4) \/ (j MOD 6=5)`)
4898 THEN RESA_TAC
4899 THENL[
4900 PROVE_INEQUALITY_TAC_60  th `6`;
4901 PROVE_INEQUALITY_TAC_60  th `1`;
4902 PROVE_INEQUALITY_TAC_60  th `2`;
4903 PROVE_INEQUALITY_TAC_60  th `3`;
4904 PROVE_INEQUALITY_TAC_60  th `4`;
4905 PROVE_INEQUALITY_TAC_60  th `5`];;
4906
4907
4908
4909
4910
4911 let V_SY_EQ_IMAGE_VV_TAC6=
4912 fun (th:term)->
4913 ASM_REWRITE_TAC[]
4914 THEN EXISTS_TAC th
4915 THEN ASM_REWRITE_TAC[SET_RULE`(a:num)IN (:num)`;ARITH_RULE`1 MOD 6=1 /\ ~(1=0) /\ 2 MOD 6=2 /\ ~(2=0)/\ ~(2=1)/\ 3 MOD 6=3 /\ ~(3=0)/\ ~(3=1)/\ ~(3=2)/\ 4 MOD 6=4/\ 5 MOD 6=5/\ 6 MOD 6=0 /\ ~(4=0)/\ ~(4=1)/\ ~(4=2)/\ ~(4=3)
4916 /\ ~(5=0) /\ ~(5=1)/\ ~(5=2)/\ ~(5=3) /\ ~(5=4)`];;
4917
4918
4919
4920
4921
4922
4923
4924
4925
4926
4927 let PROVE_E_SY_EQ_MOD_TAC_6=
4928 fun (th:term)->
4929 EXISTS_TAC th
4930 THEN ASM_REWRITE_TAC[ARITH_RULE`~(3=0)/\ ~(3=1)/\ ~(3=2)/\ ~(2=0)/\ ~(2=1)/\ ~(1=0)/\ ~(4=0) /\ ~(4=1) /\ ~(4=2) /\ ~(4=3)/\ ~(5=0) /\ ~(5=1)/\ ~(5=2)/\ ~(5=3) /\ ~(5=4) `]
4931 THEN ARITH_TAC;;
4932
4933
4934
4935
4936
4937
4938
4939
4940
4941
4942 let PROOF_E_EQ_TAC_6=
4943 fun (th:term)->
4944 EXISTS_TAC th
4945 THEN ASM_REWRITE_TAC[ARITH_RULE`~(1=0)/\ 1 MOD 6=1/\ SUC 1=2/\ 2 MOD 6=2/\ ~(2=0)/\ ~(2=1)/\ SUC 2=3 /\ 3 MOD 6=3/\ ~(3=0) /\ ~(3=1)/\ ~(3=2)/\ SUC 3=4
4946 /\ ~(4=0) /\ ~(4=1) /\ ~(4=2) /\ ~(4=3) /\  4 MOD 6=4/\ 6 MOD 6=0/\ SUC 0=1
4947 /\ SUC 5=6/\ SUC 4=5/\  7 MOD 6=1/\ 5 MOD 6=5/\ SUC 6=7
4948 /\ ~(5=0) /\ ~(5=1)/\ ~(5=2)/\ ~(5=3) /\ ~(5=4)
4949 `;SET_RULE`(a:num) IN (:num)`]
4950 ;;
4951
4952
4953
4954
4955
4956
4957 let PROVE_E_SY_EQ_IMAGE_VV_6=
4958 fun (so:term)->
4959 EXISTS_TAC so
4960 THEN ASM_REWRITE_TAC[ARITH_RULE`~(1=0)`]
4961 THEN MRESAL_TAC MOD_ADD_MOD[`x':num`;`1:num`;`6`][ARITH_RULE`~(6=0) /\ 1 MOD 6=1/\ 1<=6/\ 6<=6/\ 0+1=1`;ADD1]
4962 THEN POP_ASSUM(fun th-> REWRITE_TAC[SYM th;ARITH_RULE`~(1=0)/\ 1 MOD 6=1/\ SUC 1=2/\ 2 MOD 6=2/\ ~(2=0)/\ ~(2=1)/\ SUC 2=3 /\ 3 MOD 6=3/\ ~(3=0) /\ ~(3=1)/\ ~(3=2)/\ SUC 3=4
4963 /\ ~(4=0) /\ ~(4=1) /\ ~(4=2) /\ ~(4=3) /\  4 MOD 6=4/\ 6 MOD 6=0/\ SUC 0=1
4964 /\ SUC 5=6/\ SUC 4=5/\  7 MOD 6=1/\ 5 MOD 6=5/\ SUC 6=7
4965 /\ ~(5=0) /\ ~(5=1)/\ ~(5=2)/\ ~(5=3) /\ ~(5=4)/\3<=6/\ 4+1=5/\ 5+1=6
4966 /\ 0+1=1/\ 1<=1 /\1+1=2/\ 1<=2/\ 2+1=3/\ 1<=3/\ 3+1=4/\ 2<=6
4967 /\ 1<=4/\ 4<=6/\ 1<=5/\ 5<=6`])
4968 ;;
4969
4970
4971
4972
4973
4974
4975
4976
4977 let  IN_NOT_EMPTY_B1_SY_6=prove_by_refinement(
4978 `(let upperbd = &6 in
4979   let a_pro = (\k p a1 a2 i j. (if (i MOD k = j MOD k) then &0
4980                                 else (if {i MOD k,j MOD k}={0,1} then p
4981                                       else (if (j MOD k = SUC i MOD k) \/ (SUC j MOD k = i MOD k) then a1 else a2)))) in
4982          mk_unadorned_v39 6 (d_tame 6) (cs_adj 6 (&2) (&2 * h0)) (cs_adj 6 (&2 * h0) upperbd))=s/\
4983  scs_k_v39 s= dimindex(:M)/\
4984  matvec (v:real^3^M) =a/\
4985 (!i. 1<=i /\  i <= dimindex(:M)==> row i v IN ball_annulus) /\
4986  CONDITION1_SY (change_type_v3 (scs_a_v39 s)) (change_type_v3 (scs_b_v39 s)) v /\
4987  CONDITION2_SY v
4988 /\ (!i. vv i =
4989 if i MOD scs_k_v39 s = 0 then row 6 v else
4990 if i MOD scs_k_v39 s = 1 then row 1 v else
4991 if i MOD scs_k_v39 s = 2 then row 2 v else
4992 if i MOD scs_k_v39 s = 3 then row 3 v else
4993 if i MOD scs_k_v39 s = 4 then row 4 v else
4994 row 5 v)
4995 ==> vv IN BBs_v39 s`,
4996   (* {{{ proof *)
4997 [
4998
4999 REWRITE_TAC[CONDITION1_SY;CONDITION2_SY;change_type_v3]
5000 THEN REPEAT STRIP_TAC
5001 THEN SUBGOAL_THEN`scs_k_v39 s =6` ASSUME_TAC;
5002
5003 EXPAND_TAC"s"
5004 THEN REWRITE_TAC[scs_k_v39_explicit;scs_d_v39_explicit;scs_a_v39_explicit;scs_b_v39_explicit;BBs_v39;ARITH_RULE`3<=3`;LET_DEF;LET_END_DEF;ARITH_RULE`~(6<=3)`;IN;mk_unadorned_v39;];
5005
5006 POP_ASSUM (fun th->
5007 REPLICATE_TAC 5 (POP_ASSUM MP_TAC)
5008 THEN POP_ASSUM(fun th1-> ASSUME_TAC(SYM th1))
5009 THEN ASSUME_TAC th
5010 THEN REPEAT STRIP_TAC)
5011 THEN POP_ASSUM MP_TAC
5012 THEN ASM_REWRITE_TAC[th;IN]
5013 THEN STRIP_TAC
5014 THEN REWRITE_TAC[scs_k_v39_explicit;scs_d_v39_explicit;scs_a_v39_explicit;scs_b_v39_explicit;BBs_v39;ARITH_RULE`3<=3`;LET_DEF;LET_END_DEF;ARITH_RULE`~(6<=3)`;IN;mk_unadorned_v39;]
5015 THEN STRIP_TAC;
5016
5017 ASM_REWRITE_TAC[IMAGE;SUBSET;IN_ELIM_THM]
5018 THEN REPEAT STRIP_TAC
5019 THEN ASM_REWRITE_TAC[]
5020 THEN MRESAL_TAC DIVISION[`x':num`;`6`][ARITH_RULE`~(6=0)`]
5021 THEN MP_TAC(ARITH_RULE`x' MOD 6<6 ==> x' MOD 6 = 0 \/ x' MOD 6 = 1 \/ x' MOD 6 = 2 \/ x' MOD 6 = 3\/ x' MOD 6 = 4 \/ x' MOD 6 = 5`)
5022 THEN RESA_TAC
5023 THENL[
5024 VV_IN_BALL_ANNULUS_TAC_6 `6`;
5025 VV_IN_BALL_ANNULUS_TAC_6 `1`;
5026 VV_IN_BALL_ANNULUS_TAC_6 `2`;
5027 VV_IN_BALL_ANNULUS_TAC_6 `3`;
5028 VV_IN_BALL_ANNULUS_TAC_6 `4`;
5029 VV_IN_BALL_ANNULUS_TAC_6 `5`];
5030
5031
5032
5033
5034 STRIP_TAC;
5035
5036 ASM_REWRITE_TAC[periodic]
5037 THEN GEN_TAC
5038 THEN MRESAL_TAC MOD_EQ[`i+6:num`;`i:num`;`6:num`;`1`][ARITH_RULE`1*A=A`];
5039
5040 STRIP_TAC;
5041
5042 REWRITE_TAC[dist]
5043 THEN REPEAT GEN_TAC
5044 THEN SUBGOAL_THEN`!i. (vv:num->real^3) i= vv (i MOD 6)` ASSUME_TAC;
5045
5046 POP_ASSUM(fun th-> ONCE_REWRITE_TAC[th])
5047 THEN GEN_TAC
5048 THEN MRESAL_TAC MOD_MOD_REFL[`i:num`;`6`][ARITH_RULE`~(6=0)`];
5049
5050 POP_ASSUM MP_TAC
5051 THEN POP_ASSUM MP_TAC
5052 THEN MRESAL_TAC DIVISION[`i:num`;`6`][ARITH_RULE`~(6=0)`]
5053 THEN MRESAL_TAC DIVISION[`j:num`;`6`][ARITH_RULE`~(6=0)`]
5054 THEN MP_TAC(ARITH_RULE`(i MOD 6<6)==> (i MOD 6=0) \/ (i MOD 6=1) \/ (i MOD 6=2)\/ (i MOD 6=3) \/ (i MOD 6=4) \/ (i MOD 6=5)`)
5055 THEN RESA_TAC
5056 THENL[
5057 PROVE_INEQUALITY_TAC_6 `6`;
5058 PROVE_INEQUALITY_TAC_6 `1`;
5059 PROVE_INEQUALITY_TAC_6 `2`;
5060 PROVE_INEQUALITY_TAC_6 `3`;
5061 PROVE_INEQUALITY_TAC_6 `4`;
5062 PROVE_INEQUALITY_TAC_6 `5`];
5063
5064
5065 POP_ASSUM MP_TAC
5066 THEN ASM_REWRITE_TAC[ARITH_RULE`~(6<=3)`]
5067 THEN STRIP_TAC
5068 THEN SUBGOAL_THEN`V_SY (v:real^3^M) = IMAGE vv (:num)`ASSUME_TAC;
5069
5070 ASM_REWRITE_TAC[V_SY;rows;IMAGE;EXTENSION;IN_ELIM_THM]
5071 THEN GEN_TAC
5072 THEN EQ_TAC;
5073
5074 ASM_REWRITE_TAC[ARITH_RULE`(1 <= i /\ i <= 6)<=> i= 1\/ i=2 \/ i=3 \/ i=4\/ i=5\/ i=6`]
5075 THEN STRIP_TAC
5076 THENL[
5077 V_SY_EQ_IMAGE_VV_TAC6 `1`;
5078 V_SY_EQ_IMAGE_VV_TAC6 `2`;
5079 V_SY_EQ_IMAGE_VV_TAC6 `3`;
5080 V_SY_EQ_IMAGE_VV_TAC6 `4`;
5081 V_SY_EQ_IMAGE_VV_TAC6 `5`;
5082 V_SY_EQ_IMAGE_VV_TAC6 `6`];
5083
5084
5085
5086
5087 RESA_TAC
5088 THEN MRESAL_TAC DIVISION[`x':num`;`6`][ARITH_RULE`~(6=0)`]
5089 THEN MP_TAC(ARITH_RULE`(x' MOD 6<6)==> (x' MOD 6=0) \/ (x' MOD 6=1) \/ (x' MOD 6=2)\/ (x' MOD 6=3)\/ (x' MOD 6=4) \/ (x' MOD 6=5)`)
5090 THEN RESA_TAC
5091 THENL[
5092 PROVE_E_SY_EQ_MOD_TAC_6 `6`;
5093 PROVE_E_SY_EQ_MOD_TAC_6 `1`;
5094 PROVE_E_SY_EQ_MOD_TAC_6 `2`;
5095 PROVE_E_SY_EQ_MOD_TAC_6 `3`;
5096 PROVE_E_SY_EQ_MOD_TAC_6 `4`;
5097 PROVE_E_SY_EQ_MOD_TAC_6 `5`];
5098
5099
5100 SUBGOAL_THEN`E_SY (v:real^3^M) = IMAGE (\i. {vv i, vv (SUC i)}) (:num)`ASSUME_TAC;
5101
5102
5103 ASM_REWRITE_TAC[E_SY;rows;IMAGE;]
5104 THEN ONCE_REWRITE_TAC[EXTENSION;]
5105 THEN ASM_REWRITE_TAC[IN_ELIM_THM]
5106 THEN GEN_TAC
5107 THEN EQ_TAC;
5108
5109 ASM_REWRITE_TAC[ARITH_RULE`(1 <= i /\ i <= 6)<=> i= 1\/ i=2 \/ i=3 \/ i=4\/ i=5\/ i=6`]
5110 THEN RESA_TAC
5111 THENL[
5112 PROOF_E_EQ_TAC_6`1`;
5113 PROOF_E_EQ_TAC_6`2`;
5114 PROOF_E_EQ_TAC_6`3`;
5115 PROOF_E_EQ_TAC_6`4`;
5116 PROOF_E_EQ_TAC_6`5`;
5117 PROOF_E_EQ_TAC_6`6`];
5118
5119
5120
5121 RESA_TAC
5122 THEN MRESAL_TAC DIVISION[`x':num`;`6`][ARITH_RULE`~(6=0)`]
5123 THEN MP_TAC(ARITH_RULE`(x' MOD 6<6)==> (x' MOD 6=0) \/ (x' MOD 6=1) \/ (x' MOD 6=2)\/ (x' MOD 6=3) \/ (x' MOD 6=4) \/ (x' MOD 6=5)`)
5124 THEN RESA_TAC
5125 THENL[
5126 PROVE_E_SY_EQ_IMAGE_VV_6 `6`;
5127 PROVE_E_SY_EQ_IMAGE_VV_6 `1`;
5128 PROVE_E_SY_EQ_IMAGE_VV_6 `2`;
5129 PROVE_E_SY_EQ_IMAGE_VV_6 `3`;
5130 PROVE_E_SY_EQ_IMAGE_VV_6 `4`;
5131 PROVE_E_SY_EQ_IMAGE_VV_6 `5`];
5132
5133
5134
5135
5136
5137 SUBGOAL_THEN`F_SY (v:real^3^M) = IMAGE (\i. (vv i, vv (SUC i))) (:num)`ASSUME_TAC;
5138
5139
5140 ASM_REWRITE_TAC[F_SY;rows;IMAGE;]
5141 THEN ONCE_REWRITE_TAC[EXTENSION;]
5142 THEN ASM_REWRITE_TAC[IN_ELIM_THM]
5143 THEN GEN_TAC
5144 THEN EQ_TAC;
5145
5146 ASM_REWRITE_TAC[ARITH_RULE`(1 <= i /\ i <= 6)<=> i= 1\/ i=2 \/ i=3 \/ i=4\/ i=5\/ i=6`]
5147 THEN RESA_TAC
5148 THENL[
5149 PROOF_E_EQ_TAC_6`1`;
5150 PROOF_E_EQ_TAC_6`2`;
5151 PROOF_E_EQ_TAC_6`3`;
5152 PROOF_E_EQ_TAC_6`4`;
5153 PROOF_E_EQ_TAC_6`5`;
5154 PROOF_E_EQ_TAC_6`6`];
5155
5156
5157
5158 RESA_TAC
5159 THEN MRESAL_TAC DIVISION[`x':num`;`6`][ARITH_RULE`~(6=0)`]
5160 THEN MP_TAC(ARITH_RULE`(x' MOD 6<6)==> (x' MOD 6=0) \/ (x' MOD 6=1) \/ (x' MOD 6=2)\/ (x' MOD 6=3) \/ (x' MOD 6=4) \/ (x' MOD 6=5)`)
5161 THEN RESA_TAC
5162 THENL[
5163 PROVE_E_SY_EQ_IMAGE_VV_6 `6`;
5164 PROVE_E_SY_EQ_IMAGE_VV_6 `1`;
5165 PROVE_E_SY_EQ_IMAGE_VV_6 `2`;
5166 PROVE_E_SY_EQ_IMAGE_VV_6 `3`;
5167 PROVE_E_SY_EQ_IMAGE_VV_6 `4`;
5168 PROVE_E_SY_EQ_IMAGE_VV_6 `5`];
5169
5170
5171
5172
5173
5174 POP_ASSUM (fun th-> REWRITE_TAC[SYM th])
5175 THEN POP_ASSUM (fun th-> REWRITE_TAC[SYM th])
5176 THEN POP_ASSUM (fun th-> REWRITE_TAC[SYM th])
5177 THEN ASM_REWRITE_TAC[];
5178 ]);;
5179   (* }}} *)
5180
5181
5182
5183
5184
5185 let XWITCCN_CASE_6=prove_by_refinement(
5186 `(let upperbd = &6 in
5187   let a_pro = (\k p a1 a2 i j. (if (i MOD k = j MOD k) then &0
5188                                 else (if {i MOD k,j MOD k}={0,1} then p
5189                                       else (if (j MOD k = SUC i MOD k) \/ (SUC j MOD k = i MOD k) then a1 else a2)))) in
5190          mk_unadorned_v39 6 (d_tame 6) (cs_adj 6 (&2) (&2 * h0)) (cs_adj 6 (&2 * h0) upperbd))=s
5191  /\ vv IN BBs_v39 s /\
5192   taustar_v39 s vv < &0
5193 /\ scs_k_v39 s= dimindex(:M)
5194  ==> ~(BBprime_v39 s = {})`,
5195   (* {{{ proof *)
5196 [
5197 REPEAT GEN_TAC
5198 THEN STRIP_TAC
5199 THEN MP_TAC SCS_6_IS_TRI_STABLE
5200 THEN RESA_TAC
5201 THEN MP_TAC NOT_EMPTY_CASE_6
5202 THEN RESA_TAC
5203 THEN REWRITE_TAC[SET_RULE`~(A={})<=> ?a. a IN A`]
5204 THEN ABBREV_TAC`s1 =stable_sy((scs_k_v39 s),(scs_d_v39 s),(0..scs_k_v39 s - 1),
5205          (change_type_v3 (scs_a_v39 s)),
5206          (change_type_v3 (scs_b_v39 s)),
5207          (change_type_v2 (scs_J_v39 s) (scs_k_v39 s)),
5208          (\i. (1 + i) MOD scs_k_v39 s))`
5209 THEN MRESA_TAC stable_sy_explicit[`(scs_k_v39 s)`;`(scs_d_v39 s)`;`(0..scs_k_v39 s - 1)`;`
5210          (change_type_v3 (scs_a_v39 s))`;`
5211          (change_type_v3 (scs_b_v39 s))`;`
5212          (change_type_v2 (scs_J_v39 s) (scs_k_v39 s))`;`
5213          (\i. (1 + i) MOD scs_k_v39 s)`]
5214 THEN SUBGOAL_THEN`scs_k_v39 s =6` ASSUME_TAC;
5215
5216
5217 EXPAND_TAC"s"
5218 THEN REWRITE_TAC[scs_k_v39_explicit;scs_d_v39_explicit;scs_a_v39_explicit;scs_b_v39_explicit;BBs_v39;ARITH_RULE`3<=3`;LET_DEF;LET_END_DEF;ARITH_RULE`~(6
5219 <=3)`;IN;mk_unadorned_v39;];
5220
5221 POP_ASSUM (fun th->
5222 REPLICATE_TAC 11 (POP_ASSUM MP_TAC)
5223 THEN REWRITE_TAC[th]
5224 THEN STRIP_TAC
5225 THEN POP_ASSUM(fun th1-> ASSUME_TAC(SYM th1))
5226 THEN ASSUME_TAC th
5227 THEN REPEAT RESA_TAC)
5228 THEN MRESAL_TAC (GEN_ALL HDPLYGY)[`(scs_k_v39 s)`;`s1:stable_sy`][k_sy;B_SY1;ARITH_RULE`2<6
5229 `;]
5230 THEN POP_ASSUM (fun th->
5231 POP_ASSUM MP_TAC
5232 THEN ASM_REWRITE_TAC[IN_ELIM_THM]
5233 THEN STRIP_TAC
5234 THEN ASSUME_TAC th)
5235 THEN REWRITE_TAC[BBprime_v39;IN]
5236 THEN ABBREV_TAC`( vv1 i =
5237 if i MOD scs_k_v39 s = 0 then row 6
5238  v else
5239 if i MOD scs_k_v39 s = 1 then row 1 v else
5240 if i MOD scs_k_v39 s = 2 then row 2 v else
5241 if i MOD scs_k_v39 s = 3 then row 3 v else
5242 if i MOD scs_k_v39 s = 4 then row 4 v else
5243 row 5 (v:real^3^M))`
5244 THEN EXISTS_TAC`vv1:num->real^3`
5245 THEN STRIP_TAC;
5246
5247 ONCE_REWRITE_TAC[GSYM IN]
5248 THEN MATCH_MP_TAC (GEN_ALL IN_NOT_EMPTY_B1_SY_6)
5249 THEN EXISTS_TAC`x:real^(M,3)finite_product`
5250 THEN EXISTS_TAC`v:real^3^M`
5251 THEN ASM_REWRITE_TAC[]
5252 THEN POP_ASSUM MP_TAC
5253 THEN RESA_TAC;
5254
5255 SUBGOAL_THEN`vector [ vv1 1; vv1 2; (vv1:num->real^3) 3;vv1 4;vv1 5;vv1 0] = v:real^3^M`
5256 ASSUME_TAC;
5257
5258 POP_ASSUM(fun th-> REWRITE_TAC[GSYM th])
5259 THEN ASM_REWRITE_TAC[ARITH_RULE`1 MOD 6=1/\ 2 MOD 6=2/\ 3 MOD 6=3/\ 0 MOD 6
5260 =0 /\ ~(1=0)/\ ~(2=0)/\ ~(3=0)/\ ~(2=1)/\ ~(3=1)/\ ~(3=2) /\ ~(4=0) /\ ~(4=1) /\ ~(4=2) /\ ~(4=3)/\ 4 MOD 6=4/\ 5 MOD 6=5/\ ~(1=5)/\ ~(2=5)/\ ~(3=5)/\ ~(4=5)/\ ~(0=5)`;]
5261 THEN ONCE_REWRITE_TAC[CART_EQ]
5262 THEN ASM_REWRITE_TAC[ARITH_RULE`1<=i/\ i<=6
5263  <=>i=1\/ i=2\/ i=3\/ i=4\/ i=5\/ i=6`]
5264 THEN REPEAT RESA_TAC
5265 THEN
5266 ASM_SIMP_TAC[row;vector; LAMBDA_BETA; DIMINDEX_3; LENGTH; ARITH] THEN
5267 REWRITE_TAC[num_CONV `4`;num_CONV `5`;num_CONV `3`;num_CONV `2`; num_CONV `1`; EL; HD; TL;]
5268 THEN ASM_SIMP_TAC[CART_EQ; DIMINDEX_3; FORALL_3; VEC_COMPONENT; VECTOR_3; ARITH;row;LAMBDA_BETA];
5269
5270 STRIP_TAC;
5271
5272 GEN_TAC
5273 THEN GEN_REWRITE_TAC(LAND_CONV o ONCE_DEPTH_CONV)[GSYM IN]
5274 THEN REPEAT STRIP_TAC
5275 THEN MRESA_TAC (GEN_ALL IN_NOT_EMPTY_B1_SY_6)
5276 [`x:real^(M,3)finite_product`;`v:real^3^M`;`vv1:num->real^3`;`s:scs_v39`]
5277 THEN MRESA_TAC ( GEN_ALL TAUSTAR_EQ_TAU_STAR_6)[`v:real^3^M`;`s:scs_v39`;`vv1:num->real^3`;`s1:stable_sy`;`x:real^(M,3)finite_product`]
5278 THEN MRESA_TAC ( GEN_ALL TAUSTAR_EQ_TAU_STAR_6)
5279 [`vector [ww 1; ww 2; ww 3; ww 4; ww 5; ww 0]:real^3^M`;`s:scs_v39`;`ww:num->real^3`;`s1:stable_sy`;`matvec(vector [ww 1; ww 2; ww 3; ww 4;ww 5; ww 0]:real^3^M):real^(M,3)finite_product`;]
5280 THEN MRESA_TAC (GEN_ALL IN_NOT_EMPTY_CASE_6
5281 )[`ww:num->real^3`;`vector [ww 1; ww 2; ww 3; ww 4; ww 5;ww 0]:real^3^M`;`matvec(vector [ww 1; ww 2; ww 3;  ww 4; ww 5; ww 0]:real^3^M):real^(M,3)finite_product`;`s:scs_v39`;]
5282 THEN REPLICATE_TAC 7 (POP_ASSUM MP_TAC)
5283 THEN POP_ASSUM(fun th-> REPEAT STRIP_TAC
5284 THEN MRESA1_TAC th `matvec(vector [ww 1; ww 2; ww 3;  ww 4; ww 5; ww 0]:real^3^M):real^(M,3)finite_product`);
5285
5286 MRESA_TAC (GEN_ALL IN_NOT_EMPTY_B1_SY_6
5287 )
5288 [`x:real^(M,3)finite_product`;`v:real^3^M`;`vv1:num->real^3`;`s:scs_v39`]
5289 THEN MRESA_TAC ( GEN_ALL TAUSTAR_EQ_TAU_STAR_6
5290 )[`v:real^3^M`;`s:scs_v39`;`vv1:num->real^3`;`s1:stable_sy`;`x:real^(M,3)finite_product`]
5291 THEN MRESA_TAC ( GEN_ALL TAUSTAR_EQ_TAU_STAR_6
5292 )
5293 [`vector [vv 1; vv 2; vv 3; vv 4;vv 5;vv 0]:real^3^M`;`s:scs_v39`;`vv:num->real^3`;`s1:stable_sy`;`matvec(vector [vv 1; vv 2; vv 3; vv 4;vv 5; vv 0]:real^3^M):real^(M,3)finite_product`;]
5294 THEN REPLICATE_TAC 23 (POP_ASSUM MP_TAC)
5295 THEN POP_ASSUM (fun th-> REPEAT STRIP_TAC THEN MP_TAC th)
5296 THEN MRESA_TAC (GEN_ALL IN_NOT_EMPTY_CASE_6
5297 )[`vv:num->real^3`;`vector [vv 1; vv 2; vv 3; vv 4; vv 5;vv 0]:real^3^M`;`matvec(vector [vv 1; vv 2; vv 3; vv 4; vv 5; vv 0]:real^3^M):real^(M,3)finite_product`;`s:scs_v39`;]
5298 THEN REPLICATE_TAC 6 (POP_ASSUM MP_TAC)
5299 THEN POP_ASSUM(fun th-> REPEAT STRIP_TAC
5300 THEN MRESA1_TAC th `matvec(vector [vv 1; vv 2; vv 3; vv 4; vv 5; vv 0]:real^3^M):real^(M,3)finite_product`)
5301 THEN POP_ASSUM MP_TAC
5302 THEN POP_ASSUM MP_TAC
5303 THEN REAL_ARITH_TAC;
5304 ]);;
5305   (* }}} *)
5306
5307
5308
5309
5310
5311
5312
5313
5314
5315
5316
5317
5318
5319
5320
5321
5322
5323
5324
5325
5326
5327
5328
5329
5330
5331
5332 let V_E_FF_CASE_5_sqrt8=prove_by_refinement(
5333 `(s=let upperbd = &6 in
5334   let a_pro = (\k p a1 a2 i j. (if (i MOD k = j MOD k) then &0
5335                                 else (if {i MOD k,j MOD k}={0,1} then p
5336                                       else (if (j MOD k = SUC i MOD k) \/ (SUC j MOD k = i MOD k) then a1 else a2)))) in
5337          mk_unadorned_v39 5 (#0.616) (cs_adj 5 (&2) (sqrt8)) (cs_adj 5 (&2 * h0) upperbd))
5338 /\ vv IN BBs_v39 s
5339 /\ scs_k_v39 s= dimindex(:M)
5340 /\ vector[(vv:num->real^3) 1;(vv:num->real^3) 2;(vv:num->real^3) 3;(vv:num->real^3) 4;(vv:num->real^3) 0]:real^3^M= v
5341 /\ matvec (v:real^3^M) =a
5342 ==>
5343 V_SY (v:real^3^M)=IMAGE vv (:num)/\
5344   E_SY (v:real^3^M)=IMAGE (\i. {vv i, vv (SUC i)}) (:num)/\
5345 F_SY (v:real^3^M)=IMAGE (\i. vv i,vv (SUC i)) (:num)`,
5346   (* {{{ proof *)
5347 [
5348 STRIP_TAC
5349 THEN REPLICATE_TAC 4 (POP_ASSUM MP_TAC)
5350 THEN ASM_REWRITE_TAC[scs_k_v39_explicit;scs_a_v39_explicit;scs_b_v39_explicit;BBs_v39;ARITH_RULE`3<=3`;LET_DEF;LET_END_DEF;ARITH_RULE`~(5<=3)`;IN;mk_unadorned_v39]
5351 THEN REPEAT STRIP_TAC;
5352
5353 REWRITE_TAC[V_SY;rows]
5354 THEN REPLICATE_TAC 2 (POP_ASSUM MP_TAC)
5355 THEN POP_ASSUM(fun th-> REWRITE_TAC[SYM th;ARITH_RULE`(1<= i /\ i<= 5)<=> (i=1\/ i=2\/ i=3 \/ i=4\/ i=5)`] THEN ASSUME_TAC (SYM th))
5356 THEN STRIP_TAC
5357 THEN STRIP_TAC
5358 THEN ASM_REWRITE_TAC[IMAGE;EXTENSION;IN_ELIM_THM]
5359 THEN GEN_TAC
5360 THEN EQ_TAC;
5361
5362 REPEAT STRIP_TAC
5363 THENL[
5364 EQUALITY_V_SY_TAC_5 `1`;
5365 EQUALITY_V_SY_TAC_5 `2`;
5366 EQUALITY_V_SY_TAC_5 `3`;
5367 EQUALITY_V_SY_TAC_5 `4`;
5368 EQUALITY_V_SY_TAC_5 `0`;];
5369
5370 REPEAT STRIP_TAC
5371 THEN REWRITE_TAC[ARITH_RULE` (i=1\/ i=2\/ i=3 \/ i=4 \/ i=5)<=> (1<= i /\ i<= 5)`]
5372 THEN MRESAL_TAC(GEN_ALL PERIODIC_PROPERTY)[`5`;`vv:num-> real^3`][ARITH_RULE`~(5=0)`]
5373 THEN POP_ASSUM (fun th-> MRESA1_TAC th`x':num`)
5374 THEN POP_ASSUM (fun th-> ONCE_REWRITE_TAC[SYM th])
5375 THEN MRESAL_TAC DIVISION[`x':num`;`5`][ARITH_RULE`~(5=0)`]
5376 THEN MP_TAC(ARITH_RULE`x' MOD 5 < 5 ==>  x' MOD 5 =0 \/ x' MOD 5 = 1\/ x' MOD 5 = 2 \/ x' MOD 5 =3 \/ x' MOD 5 =4`)
5377 THEN RESA_TAC
5378 THENL[
5379 PROVE_V_SY_EQ_5_TAC`5`;
5380 PROVE_V_SY_EQ_5_TAC`1`;
5381 PROVE_V_SY_EQ_5_TAC`2`;
5382 PROVE_V_SY_EQ_5_TAC`3`;
5383 PROVE_V_SY_EQ_5_TAC`4`;];
5384
5385 REWRITE_TAC[E_SY;rows]
5386 THEN REPLICATE_TAC 2(POP_ASSUM MP_TAC)
5387 THEN POP_ASSUM(fun th-> REWRITE_TAC[SYM th;ARITH_RULE`(1<= i /\ i<= 5)<=> (i=1\/ i=2\/ i=3 \/ i=4 \/ i=5)`] THEN ASSUME_TAC (SYM th))
5388 THEN REPEAT STRIP_TAC
5389 THEN ASM_REWRITE_TAC[IMAGE;EXTENSION;IN_ELIM_THM]
5390 THEN GEN_TAC
5391 THEN ONCE_REWRITE_TAC[GSYM EXTENSION]
5392 THEN EQ_TAC;
5393
5394 STRIP_TAC
5395 THEN ASM_REWRITE_TAC[]
5396 THENL[
5397 PROVE_E_SY_EQ_5_TAC `1`;
5398 PROVE_E_SY_EQ_5_TAC `2`;
5399 PROVE_E_SY_EQ_5_TAC `3`;
5400 PROVE_E_SY_EQ_5_TAC `4`;
5401 PROVE_E_SY_EQ_5_TAC `0`;];
5402
5403 STRIP_TAC
5404 THEN REWRITE_TAC[ARITH_RULE` (i=1\/ i=2\/ i=3 \/ i=4 \/ i=5)<=> (1<= i /\ i<= 5)`]
5405 THEN MRESAL_TAC(GEN_ALL PERIODIC_PROPERTY)[`5`;`vv:num-> real^3`][ARITH_RULE`~(5=0)`]
5406 THEN POP_ASSUM (fun th-> MRESA1_TAC th`x':num` THEN MRESA1_TAC th`SUC x':num`)
5407 THEN POP_ASSUM (fun th-> ONCE_REWRITE_TAC[SYM th])
5408 THEN POP_ASSUM (fun th-> ONCE_REWRITE_TAC[SYM th])
5409 THEN MRESAL_TAC DIVISION[`x':num`;`5`][ARITH_RULE`~(5=0)`]
5410 THEN MP_TAC(ARITH_RULE`x' MOD 5 < 5==>  x' MOD 5 =0 \/ x' MOD 5 = 1\/ x' MOD 5 = 2 \/ x' MOD 5 =3 \/ x' MOD 5 =4`)
5411 THEN RESA_TAC
5412 THENL[
5413 PROVE_E_SY_EQ_INV_5_TAC `5`;
5414 PROVE_E_SY_EQ_INV_5_TAC `1`;
5415 PROVE_E_SY_EQ_INV_5_TAC `2` ;
5416 PROVE_E_SY_EQ_INV_5_TAC `3` ;
5417 PROVE_E_SY_EQ_INV_5_TAC `4` ;];
5418
5419 REWRITE_TAC[F_SY;rows]
5420 THEN REPLICATE_TAC 2 (POP_ASSUM MP_TAC)
5421 THEN POP_ASSUM(fun th-> REWRITE_TAC[SYM th;ARITH_RULE`(1<= i /\ i<= 5)<=> (i=1\/ i=2\/ i=3 \/ i=4 \/ i=5)`] THEN ASSUME_TAC (SYM th))
5422 THEN REPEAT STRIP_TAC
5423 THEN ASM_REWRITE_TAC[IMAGE;EXTENSION;IN_ELIM_THM]
5424 THEN GEN_TAC
5425 THEN ONCE_REWRITE_TAC[GSYM EXTENSION]
5426 THEN EQ_TAC;
5427
5428 STRIP_TAC
5429 THEN ASM_REWRITE_TAC[]
5430 THENL[
5431 PROVE_E_SY_EQ_5_TAC `1`;
5432 PROVE_E_SY_EQ_5_TAC `2`;
5433 PROVE_E_SY_EQ_5_TAC `3`;
5434 PROVE_E_SY_EQ_5_TAC `4`;
5435 PROVE_E_SY_EQ_5_TAC `0`;];
5436
5437 STRIP_TAC
5438 THEN REWRITE_TAC[ARITH_RULE` (i=1\/ i=2\/ i=3 \/ i=4 \/ i=5)<=> (1<= i /\ i<= 5)`]
5439 THEN MRESAL_TAC(GEN_ALL PERIODIC_PROPERTY)[`5`;`vv:num-> real^3`][ARITH_RULE`~(5=0)`]
5440 THEN POP_ASSUM (fun th-> MRESA1_TAC th`x':num` THEN MRESA1_TAC th`SUC x':num`)
5441 THEN POP_ASSUM (fun th-> ONCE_REWRITE_TAC[SYM th])
5442 THEN POP_ASSUM (fun th-> ONCE_REWRITE_TAC[SYM th])
5443 THEN MRESAL_TAC DIVISION[`x':num`;`5`][ARITH_RULE`~(5=0)`]
5444 THEN MP_TAC(ARITH_RULE`x' MOD 5 < 5==>  x' MOD 5 =0 \/ x' MOD 5 = 1\/ x' MOD 5 = 2 \/ x' MOD 5 =3 \/ x' MOD 5 =4`)
5445 THEN RESA_TAC
5446 THENL[
5447 PROVE_E_SY_EQ_INV_5_TAC `5`;
5448 PROVE_E_SY_EQ_INV_5_TAC `1`;
5449 PROVE_E_SY_EQ_INV_5_TAC `2` ;
5450 PROVE_E_SY_EQ_INV_5_TAC `3` ;
5451 PROVE_E_SY_EQ_INV_5_TAC `4` ;];
5452 ]);;
5453   (* }}} *)
5454
5455
5456
5457
5458
5459
5460
5461 let IN_NOT_EMPTY_CASE_5_sqrt8=prove_by_refinement(
5462 `(s=let upperbd = &6 in
5463   let a_pro = (\k p a1 a2 i j. (if (i MOD k = j MOD k) then &0
5464                                 else (if {i MOD k,j MOD k}={0,1} then p
5465                                       else (if (j MOD k = SUC i MOD k) \/ (SUC j MOD k = i MOD k) then a1 else a2)))) in
5466          mk_unadorned_v39 5 (#0.616) (cs_adj 5 (&2) (sqrt8)) (cs_adj 5 (&2 * h0) upperbd))
5467 /\ vv IN BBs_v39 s
5468 /\ scs_k_v39 s= dimindex(:M)
5469 /\ vector[(vv:num->real^3) 1;(vv:num->real^3) 2;(vv:num->real^3) 3;(vv:num->real^3) 4;(vv:num->real^3) 0]:real^3^M= v
5470 /\ matvec (v:real^3^M) =a
5471 ==>
5472 a IN {matvec(v:real^3^M) | (!i. 1<=i /\  i <= dimindex(:M)==> row i v IN ball_annulus) /\  CONDITION1_SY (change_type_v3 (scs_a_v39 s)) (change_type_v3 (scs_b_v39 s)) v /\ CONDITION2_SY v }`,
5473   (* {{{ proof *)
5474 [
5475 REWRITE_TAC[SET_RULE`~(A={})<=> (?a. a IN A)`;IN_ELIM_THM;CONDITION1_SY;CONDITION2_SY]
5476 THEN REPEAT STRIP_TAC
5477 THEN POP_ASSUM MP_TAC
5478 THEN POP_ASSUM MP_TAC
5479 THEN POP_ASSUM MP_TAC
5480 THEN POP_ASSUM MP_TAC
5481 THEN ASM_REWRITE_TAC[scs_k_v39_explicit;scs_a_v39_explicit;scs_b_v39_explicit;LET_DEF;LET_END_DEF;BBs_v39;ARITH_RULE`~(5<=3)`;mk_unadorned_v39;CS_ADJ]
5482 THEN GEN_REWRITE_TAC(LAND_CONV  o DEPTH_CONV)[IN]
5483 THEN ASM_REWRITE_TAC[scs_k_v39_explicit;scs_a_v39_explicit;scs_b_v39_explicit;BBs_v39;ARITH_RULE`3<=3`;LET_DEF;LET_END_DEF;ARITH_RULE`~(5<=3)`]
5484 THEN REPEAT STRIP_TAC
5485 THEN ASM_REWRITE_TAC[]
5486 THEN EXISTS_TAC`v:real^3^M`
5487 THEN STRIP_TAC;
5488
5489 STRIP_TAC;
5490
5491 REPLICATE_TAC 2 (POP_ASSUM MP_TAC)
5492 THEN POP_ASSUM(fun th-> REWRITE_TAC[SYM th;ARITH_RULE`(1<= i /\ i<= 5)<=> (i=1\/ i=2\/ i=3 \/ i=4 \/ i=5)`] THEN ASSUME_TAC (SYM th))
5493 THEN REPEAT STRIP_TAC
5494 THENL[
5495 IN_BALL_ANNUUS_TAC_5 `(1:num)`;
5496 IN_BALL_ANNUUS_TAC_5 `(2:num)`;
5497 IN_BALL_ANNUUS_TAC_5 `(3:num)`;
5498 IN_BALL_ANNUUS_TAC_5 `(4:num)`;
5499 IN_BALL_ANNUUS_TAC_5 `(0:num)`;];
5500
5501 STRIP_TAC;
5502
5503 REPLICATE_TAC 2 (POP_ASSUM MP_TAC)
5504 THEN POP_ASSUM(fun th-> REWRITE_TAC[SYM th;ARITH_RULE`(1<= i /\ i<= 5)<=> (i=1\/ i=2\/ i=3 \/ i=4 \/ i=5)`] THEN ASSUME_TAC (SYM th))
5505 THEN REPEAT DISCH_TAC
5506 THEN REPEAT GEN_TAC
5507 THEN STRIP_TAC
5508 THENL[
5509 INEQUALITY_A_B_TAC_5 `1`;
5510 INEQUALITY_A_B_TAC_5 `2`;
5511 INEQUALITY_A_B_TAC_5 `3`;
5512 INEQUALITY_A_B_TAC_5 `4`;
5513 INEQUALITY_A_B_TAC_5 `0`; ];
5514
5515 MP_TAC V_E_FF_CASE_5_sqrt8
5516 THEN ASM_REWRITE_TAC[scs_k_v39_explicit;scs_d_v39_explicit;scs_a_v39_explicit;scs_b_v39_explicit;BBs_v39;ARITH_RULE`3<=3`;LET_DEF;LET_END_DEF;ARITH_RULE`~(4<=3)`;IN;mk_unadorned_v39;CS_ADJ]
5517 THEN POP_ASSUM MP_TAC
5518 THEN POP_ASSUM MP_TAC
5519 THEN POP_ASSUM(fun th-> ASM_REWRITE_TAC[SYM th])
5520 THEN REPEAT RESA_TAC;
5521
5522 ASM_REWRITE_TAC[]
5523 ]);;
5524   (* }}} *)
5525
5526
5527
5528
5529
5530
5531
5532
5533
5534
5535
5536
5537
5538
5539
5540 let NOT_EMPTY_CASE_5_sqrt8=prove_by_refinement(
5541 `(s=let upperbd = &6 in
5542   let a_pro = (\k p a1 a2 i j. (if (i MOD k = j MOD k) then &0
5543                                 else (if {i MOD k,j MOD k}={0,1} then p
5544                                       else (if (j MOD k = SUC i MOD k) \/ (SUC j MOD k = i MOD k) then a1 else a2)))) in
5545          mk_unadorned_v39 5 (#0.616) (cs_adj 5 (&2) (sqrt8)) (cs_adj 5 (&2 * h0) upperbd))
5546 /\ vv IN BBs_v39 s
5547 /\ scs_k_v39 s= dimindex(:M)
5548 ==>
5549 ~({matvec(v:real^3^M) | (!i. 1<=i /\  i <= dimindex(:M)==> row i v IN ball_annulus) /\  CONDITION1_SY (change_type_v3 (scs_a_v39 s)) (change_type_v3 (scs_b_v39 s)) v /\ CONDITION2_SY v }={})`
5550 ,
5551   (* {{{ proof *)
5552 [
5553 REWRITE_TAC[SET_RULE`~(A={})<=> (?a. a IN A)`;]
5554 THEN STRIP_TAC
5555 THEN ABBREV_TAC`v=vector[(vv:num->real^3) 1;(vv:num->real^3) 2;(vv:num->real^3) 3;(vv:num->real^3) 4;(vv:num->real^3) 0]:real^3^M`
5556 THEN ABBREV_TAC`a=matvec (v:real^3^M) `
5557 THEN EXISTS_TAC`a:real^(M,3)finite_product`
5558 THEN MATCH_MP_TAC IN_NOT_EMPTY_CASE_5_sqrt8
5559 THEN ASM_REWRITE_TAC[]
5560 ]);;
5561   (* }}} *)
5562
5563
5564 let TAUSTAR_EQ_TAU_STAR_5_sqrt8=prove_by_refinement(
5565 `(let upperbd = &6 in
5566   let a_pro = (\k p a1 a2 i j. (if (i MOD k = j MOD k) then &0
5567                                 else (if {i MOD k,j MOD k}={0,1} then p
5568                                       else (if (j MOD k = SUC i MOD k) \/ (SUC j MOD k = i MOD k) then a1 else a2)))) in
5569          mk_unadorned_v39 5 (#0.616) (cs_adj 5 (&2) (sqrt8)) (cs_adj 5 (&2 * h0) upperbd))=s
5570 /\ vv IN BBs_v39 s
5571 /\ scs_k_v39 s= dimindex(:M)
5572 /\ vector[(vv:num->real^3) 1;(vv:num->real^3) 2;(vv:num->real^3) 3;(vv:num->real^3) 4;(vv:num->real^3) 0]:real^3^M= v
5573 /\ matvec (v:real^3^M) =a
5574 /\ stable_sy((scs_k_v39 s),(scs_d_v39 s),(0..scs_k_v39 s - 1),
5575          (change_type_v3 (scs_a_v39 s)),
5576          (change_type_v3 (scs_b_v39 s)),
5577          (change_type_v2 (scs_J_v39 s)(scs_k_v39 s)),
5578          (\i. (1 + i) MOD scs_k_v39 s))=s1
5579 ==>  taustar_v39 s vv = tau_star s1 a`,
5580   (* {{{ proof *)
5581 [
5582 REPEAT STRIP_TAC
5583 THEN MP_TAC V_E_FF_CASE_5_sqrt8
5584 THEN RESA_TAC
5585 THEN SUBGOAL_THEN`scs_k_v39 s =5` ASSUME_TAC;
5586
5587 EXPAND_TAC"s"
5588 THEN REWRITE_TAC[scs_k_v39_explicit;scs_d_v39_explicit;scs_a_v39_explicit;scs_b_v39_explicit;BBs_v39;ARITH_RULE`3<=3`;LET_DEF;LET_END_DEF;ARITH_RULE`~(5<=3)`;IN;mk_unadorned_v39;];
5589
5590 POP_ASSUM MP_TAC
5591 THEN RESA_TAC
5592 THEN ASM_REWRITE_TAC[taustar_v39;tau_star]
5593 THEN ASM_REWRITE_TAC[scs_k_v39_explicit;scs_d_v39_explicit;scs_a_v39_explicit;scs_b_v39_explicit;BBs_v39;ARITH_RULE`3<=3`;LET_DEF;LET_END_DEF;ARITH_RULE`~(5<=3)`;IN;mk_unadorned_v39;]
5594 THEN ASM_SIMP_TAC[dsv_J_empty]
5595 THEN MP_TAC SCS_5_sqrt8_IS_TRI_STABLE
5596 THEN ASM_REWRITE_TAC[LET_DEF;LET_END_DEF]
5597 THEN STRIP_TAC
5598 THEN MRESAL_TAC stable_sy_explicit[`(scs_k_v39 s)`;`(scs_d_v39 s)`;`(0..scs_k_v39 s - 1)`;`
5599          (change_type_v3 (scs_a_v39 s))`;`
5600          (change_type_v3 (scs_b_v39 s))`;`
5601          (change_type_v2 (scs_J_v39 s)(scs_k_v39 s))`;`
5602          (\i. (1 + i) MOD scs_k_v39 s)`][LET_DEF;LET_END_DEF;d_fun]
5603 THEN SUBGOAL_THEN`J1_SY (s1:stable_sy)={}` ASSUME_TAC;
5604
5605 ASM_REWRITE_TAC[J1_SY;]
5606 THEN EXPAND_TAC"s"
5607 THEN REWRITE_TAC[scs_J_v39_explicit;LET_DEF;LET_END_DEF;mk_unadorned_v39;change_type_v2;SET_RULE`a IN  {{i, j} | F}<=> F`]
5608 THEN SET_TAC[];
5609
5610 ASM_REWRITE_TAC[SUM_CLAUSES;REAL_ARITH`a* &0= &0 /\a + &0=a`]
5611 THEN EXPAND_TAC"a"
5612 THEN REWRITE_TAC[MATVEC_VECMATS_ID;VECMATS_MATVEC_ID]
5613 THEN ASM_REWRITE_TAC[REAL_ARITH`A-B=A-C<=>B=C`]
5614 THEN MATCH_MP_TAC dsv_J_empty
5615 THEN EXPAND_TAC"s"
5616 THEN REWRITE_TAC[scs_J_v39_explicit;LET_DEF;LET_END_DEF;mk_unadorned_v39;change_type_v2;SET_RULE`a IN  {{i, j} | F}<=> F`]
5617 ]);;
5618   (* }}} *)
5619
5620
5621
5622
5623
5624
5625
5626 let SCS_A_B__EQ_MOD_5_sqrt8=prove(
5627 `s=(let upperbd = &6 in
5628   let a_pro = (\k p a1 a2 i j. (if (i MOD k = j MOD k) then &0
5629                                 else (if {i MOD k,j MOD k}={0,1} then p
5630                                       else (if (j MOD k = SUC i MOD k) \/ (SUC j MOD k = i MOD k) then a1 else a2)))) in
5631          mk_unadorned_v39 5 (#0.616) (cs_adj 5 (&2) (sqrt8)) (cs_adj 5 (&2 * h0) upperbd))
5632 ==>
5633 !i j. scs_a_v39 s i j = scs_a_v39 s (i MOD 5) (j MOD 5)/\
5634  scs_b_v39 s i j = scs_b_v39 s (i MOD 5) (j MOD 5)`,
5635 REPEAT STRIP_TAC
5636 THEN ASM_REWRITE_TAC[scs_k_v39_explicit;scs_d_v39_explicit;scs_a_v39_explicit;scs_b_v39_explicit;BBs_v39;ARITH_RULE`3<=3`;LET_DEF;LET_END_DEF;ARITH_RULE`~(5<=3)`;IN;mk_unadorned_v39;CS_ADJ]
5637 THEN MRESAL_TAC MOD_MOD_REFL[`i:num`;`5`][ARITH_RULE`~(5=0)`]
5638 THEN MRESAL_TAC MOD_MOD_REFL[`j:num`;`5`][ARITH_RULE`~(5=0)`]
5639 THEN MRESAL_TAC MOD_ADD_MOD[`j:num`;`1:num`;`5`][ARITH_RULE`~(5=0) /\ 1 MOD 5=1`;ADD1]
5640 THEN MRESAL_TAC MOD_ADD_MOD[`i:num`;`1:num`;`5`][ARITH_RULE`~(5=0) /\ 1 MOD 5=1`;ADD1]);;
5641
5642
5643
5644 let VV_IN_BALL_ANNULUS_TAC_5=
5645 fun (so:term)->
5646 REPLICATE_TAC 8 (POP_ASSUM MP_TAC)
5647 THEN POP_ASSUM(fun th-> MRESAL1_TAC th so [ARITH_RULE`1<=1 /\ 1<=2 /\1<=3 /\ 1<= 4/\ 1<=5 /\ 2<=5/\ 3<=5/\ 4<=5/\ 5<=5/\ ~(1=0)/\ ~(2=0) /\ ~(3=0)/\ ~(2=1)/\ ~(3=1)/\ ~(3=2)/\ ~(4=0) /\ ~(4=1)/\ ~(4=2)/\ ~(4=3)`] )
5648 ;;
5649
5650
5651 let PROVE_INEQUALITY_TAC_50=
5652 fun (so:term) (so1:term)->
5653 REPLICATE_TAC 7(POP_ASSUM MP_TAC)
5654 THEN POP_ASSUM(fun th-> MRESAL_TAC th[so;so1][ARITH_RULE`1<=5 /\ 5<=5/\ 1<=1 /\ 1<=5/\ 1<=2 /\ 2<=5/\1<=3 /\ 3<=5/\ 1<=4/\ 4<=5`])
5655 THEN POP_ASSUM( fun th->
5656 POP_ASSUM( fun th1->
5657 REPEAT DISCH_TAC
5658 THEN MP_TAC th THEN MP_TAC th1
5659 THEN POP_ASSUM(fun th2-> ONCE_REWRITE_TAC[th2]
5660 THEN POP_ASSUM(fun th3-> MRESAL1_TAC th3`5`[ARITH_RULE`4 MOD 4=0`]
5661 THEN MRESAL1_TAC th3`1`[ARITH_RULE`1 MOD 5=1/\ ~(1=0)`]
5662 THEN MRESAL1_TAC th3`2`[ARITH_RULE`2 MOD 5=2/\ ~(2=0)/\ ~(2=1)`]
5663 THEN MRESAL1_TAC th3`3`[ARITH_RULE`3 MOD 5=3/\ ~(3=0)/\ ~(3=1)/\ ~(3=2)`]
5664 THEN MRESAL1_TAC th3`4`[ARITH_RULE`4 MOD 5=4/\ ~(4=0)/\ ~(4=1)/\ ~(4=2)/\ ~(4=3)`])
5665 THEN MRESAL1_TAC th2`5`[ARITH_RULE`5 MOD 5=0`])
5666 ))
5667 THEN MP_TAC SCS_A_B__EQ_MOD_5_sqrt8
5668 THEN ASM_REWRITE_TAC[]
5669 THEN STRIP_TAC
5670 THEN POP_ASSUM(fun th-> ONCE_REWRITE_TAC[th])
5671 THEN ASM_REWRITE_TAC[ARITH_RULE`5 MOD 5=0/\ 1 MOD 5=1/\ 2 MOD 5=2 /\ 3 MOD 5=3 /\ 4 MOD 5=4`]
5672 THEN RESA_TAC
5673 THEN RESA_TAC
5674 ;;
5675
5676
5677
5678
5679 let PROVE_INEQUALITY_TAC_5=
5680 fun (th:term)->
5681 MP_TAC(ARITH_RULE`(j MOD 5<5)==> (j MOD 5=0) \/ (j MOD 5=1) \/ (j MOD 5=2)\/ (j MOD 5=3)\/ (j MOD 5=4) `)
5682 THEN RESA_TAC
5683 THENL[
5684 PROVE_INEQUALITY_TAC_50  th `5`;
5685 PROVE_INEQUALITY_TAC_50  th `1`;
5686 PROVE_INEQUALITY_TAC_50  th `2`;
5687 PROVE_INEQUALITY_TAC_50  th `3`;
5688 PROVE_INEQUALITY_TAC_50  th `4`];;
5689
5690
5691
5692
5693 let V_SY_EQ_IMAGE_VV_TAC5=
5694 fun (th:term)->
5695 ASM_REWRITE_TAC[]
5696 THEN EXISTS_TAC th
5697 THEN ASM_REWRITE_TAC[SET_RULE`(a:num)IN (:num)`;ARITH_RULE`1 MOD 5=1 /\ ~(1=0) /\ 2 MOD 5=2 /\ ~(2=0)/\ ~(2=1)/\ 3 MOD 5=3 /\ ~(3=0)/\ ~(3=1)/\ ~(3=2)/\ 4 MOD 5=4/\ 5 MOD 5=0/\ ~(4=0)/\ ~(4=1)/\ ~(4=2)/\ ~(4=3)`];;
5698
5699
5700
5701
5702
5703 let PROVE_E_SY_EQ_MOD_TAC_5=
5704 fun (th:term)->
5705 EXISTS_TAC th
5706 THEN ASM_REWRITE_TAC[ARITH_RULE`~(3=0)/\ ~(3=1)/\ ~(3=2)/\ ~(2=0)/\ ~(2=1)/\ ~(1=0)/\ ~(4=0) /\ ~(4=1) /\ ~(4=2) /\ ~(4=3) `]
5707 THEN ARITH_TAC;;
5708
5709
5710
5711
5712
5713
5714
5715 let PROOF_E_EQ_TAC_5=
5716 fun (th:term)->
5717 EXISTS_TAC th
5718 THEN ASM_REWRITE_TAC[ARITH_RULE`~(1=0)/\ 1 MOD 5=1/\ SUC 1=2/\ 2 MOD 5=2/\ ~(2=0)/\ ~(2=1)/\ SUC 2=3 /\ 3 MOD 5=3/\ ~(3=0) /\ ~(3=1)/\ ~(3=2)/\ SUC 3=4
5719 /\ ~(4=0) /\ ~(4=1) /\ ~(4=2) /\ ~(4=3) /\  4 MOD 5=4/\ 5 MOD 5=0/\ SUC 0=1
5720 /\ SUC 5=6/\ SUC 4=5/\  6 MOD 5=1`;SET_RULE`(a:num) IN (:num)`]
5721 ;;
5722
5723
5724 let PROVE_E_SY_EQ_IMAGE_VV_5=
5725 fun (so:term)->
5726 EXISTS_TAC so
5727 THEN ASM_REWRITE_TAC[ARITH_RULE`~(1=0)`]
5728 THEN MRESAL_TAC MOD_ADD_MOD[`x':num`;`1:num`;`5`][ARITH_RULE`~(5=0) /\ 1 MOD 5=1/\ 1<=5/\ 5<=5/\ 0+1=1`;ADD1]
5729 THEN POP_ASSUM(fun th-> REWRITE_TAC[SYM th;ARITH_RULE`~(1=0)/\ 4 MOD 5=4/\ 5 MOD 5=0 /\ 0+1=1/\ 1<=1 /\ 1+1=2/\ 2 MOD 5=2/\ ~(2=0)/\ ~(2=1)/\ 2+1=3/\ 3 MOD 5=3
5730 /\ ~(3=0)/\ ~(3=1)/\ ~(3=2)/\1<=2/\ 2<=5 /\ 3<=5 /\ 4<=5/\ 1<=4/\ 4+1=5
5731 /\ 1<=3/\ 3<=4/\ 3+1=4/\ ~(4=0) /\ ~(4=1) /\ ~(4=2) /\ ~(4=3)`])
5732 ;;
5733
5734
5735
5736
5737
5738
5739
5740 let  IN_NOT_EMPTY_B1_SY_5_sqrt8=prove_by_refinement(
5741 `(let upperbd = &6 in
5742   let a_pro = (\k p a1 a2 i j. (if (i MOD k = j MOD k) then &0
5743                                 else (if {i MOD k,j MOD k}={0,1} then p
5744                                       else (if (j MOD k = SUC i MOD k) \/ (SUC j MOD k = i MOD k) then a1 else a2)))) in
5745          mk_unadorned_v39 5 (#0.616) (cs_adj 5 (&2) (sqrt8)) (cs_adj 5 (&2 * h0) upperbd))=s/\
5746  scs_k_v39 s= dimindex(:M)/\
5747  matvec (v:real^3^M) =a/\
5748 (!i. 1<=i /\  i <= dimindex(:M)==> row i v IN ball_annulus) /\
5749  CONDITION1_SY (change_type_v3 (scs_a_v39 s)) (change_type_v3 (scs_b_v39 s)) v /\
5750  CONDITION2_SY v
5751 /\ (!i. vv i =
5752 if i MOD scs_k_v39 s = 0 then row 5 v else
5753 if i MOD scs_k_v39 s = 1 then row 1 v else
5754 if i MOD scs_k_v39 s = 2 then row 2 v else
5755 if i MOD scs_k_v39 s = 3 then row 3 v else
5756 row 4 v)
5757 ==> vv IN BBs_v39 s`,
5758   (* {{{ proof *)
5759 [
5760
5761 REWRITE_TAC[CONDITION1_SY;CONDITION2_SY;change_type_v3]
5762 THEN REPEAT STRIP_TAC
5763 THEN SUBGOAL_THEN`scs_k_v39 s =5` ASSUME_TAC;
5764 EXPAND_TAC"s"
5765 THEN REWRITE_TAC[scs_k_v39_explicit;scs_d_v39_explicit;scs_a_v39_explicit;scs_b_v39_explicit;BBs_v39;ARITH_RULE`3<=3`;LET_DEF;LET_END_DEF;ARITH_RULE`~(5<=3)`;IN;mk_unadorned_v39;];
5766 POP_ASSUM (fun th->
5767 REPLICATE_TAC 5 (POP_ASSUM MP_TAC)
5768 THEN POP_ASSUM(fun th1-> ASSUME_TAC(SYM th1))
5769 THEN ASSUME_TAC th
5770 THEN REPEAT STRIP_TAC)
5771 THEN POP_ASSUM MP_TAC
5772 THEN ASM_REWRITE_TAC[th;IN]
5773 THEN STRIP_TAC
5774 THEN REWRITE_TAC[scs_k_v39_explicit;scs_d_v39_explicit;scs_a_v39_explicit;scs_b_v39_explicit;BBs_v39;ARITH_RULE`3<=3`;LET_DEF;LET_END_DEF;ARITH_RULE`~(5<=3)`;IN;mk_unadorned_v39;]
5775 THEN STRIP_TAC;
5776 ASM_REWRITE_TAC[IMAGE;SUBSET;IN_ELIM_THM]
5777 THEN REPEAT STRIP_TAC
5778 THEN ASM_REWRITE_TAC[]
5779 THEN MRESAL_TAC DIVISION[`x':num`;`5`][ARITH_RULE`~(5=0)`]
5780 THEN MP_TAC(ARITH_RULE`x' MOD 5<5 ==> x' MOD 5 = 0 \/ x' MOD 5 = 1 \/ x' MOD 5 = 2 \/ x' MOD 5 = 3\/ x' MOD 5 = 4`)
5781 THEN RESA_TAC
5782 THENL[
5783 VV_IN_BALL_ANNULUS_TAC_5 `5`;
5784 VV_IN_BALL_ANNULUS_TAC_5 `1`;
5785 VV_IN_BALL_ANNULUS_TAC_5 `2`;
5786 VV_IN_BALL_ANNULUS_TAC_5 `3`;
5787 VV_IN_BALL_ANNULUS_TAC_5 `4`];
5788 STRIP_TAC;
5789 ASM_REWRITE_TAC[periodic]
5790 THEN GEN_TAC
5791 THEN MRESAL_TAC MOD_EQ[`i+5:num`;`i:num`;`5:num`;`1`][ARITH_RULE`1*A=A`];
5792 STRIP_TAC;
5793 REWRITE_TAC[dist]
5794 THEN REPEAT GEN_TAC
5795 THEN SUBGOAL_THEN`!i. (vv:num->real^3) i= vv (i MOD 5)` ASSUME_TAC;
5796 POP_ASSUM(fun th-> ONCE_REWRITE_TAC[th])
5797 THEN GEN_TAC
5798 THEN MRESAL_TAC MOD_MOD_REFL[`i:num`;`5`][ARITH_RULE`~(5=0)`];
5799 POP_ASSUM MP_TAC
5800 THEN POP_ASSUM MP_TAC
5801 THEN MRESAL_TAC DIVISION[`i:num`;`5`][ARITH_RULE`~(5=0)`]
5802 THEN MRESAL_TAC DIVISION[`j:num`;`5`][ARITH_RULE`~(5=0)`]
5803 THEN MP_TAC(ARITH_RULE`(i MOD 5<5)==> (i MOD 5=0) \/ (i MOD 5=1) \/ (i MOD 5=2)\/ (i MOD 5=3) \/ (i MOD 5=4)`)
5804 THEN RESA_TAC
5805 THENL[
5806 PROVE_INEQUALITY_TAC_5 `5`;
5807 PROVE_INEQUALITY_TAC_5 `1`;
5808 PROVE_INEQUALITY_TAC_5 `2`;
5809 PROVE_INEQUALITY_TAC_5 `3`;
5810 PROVE_INEQUALITY_TAC_5 `4`];
5811
5812 POP_ASSUM MP_TAC
5813 THEN ASM_REWRITE_TAC[ARITH_RULE`~(5<=3)`]
5814 THEN STRIP_TAC
5815 THEN SUBGOAL_THEN`V_SY (v:real^3^M) = IMAGE vv (:num)`ASSUME_TAC;
5816 ASM_REWRITE_TAC[V_SY;rows;IMAGE;EXTENSION;IN_ELIM_THM]
5817 THEN GEN_TAC
5818 THEN EQ_TAC;
5819 ASM_REWRITE_TAC[ARITH_RULE`(1 <= i /\ i <= 5)<=> i= 1\/ i=2 \/ i=3 \/ i=4\/ i=5`]
5820 THEN STRIP_TAC
5821 THENL[
5822 V_SY_EQ_IMAGE_VV_TAC5 `1`;
5823 V_SY_EQ_IMAGE_VV_TAC5 `2`;
5824 V_SY_EQ_IMAGE_VV_TAC5 `3`;
5825 V_SY_EQ_IMAGE_VV_TAC5 `4`;
5826 V_SY_EQ_IMAGE_VV_TAC5 `5`];
5827
5828
5829 RESA_TAC
5830 THEN MRESAL_TAC DIVISION[`x':num`;`5`][ARITH_RULE`~(5=0)`]
5831 THEN MP_TAC(ARITH_RULE`(x' MOD 5<5)==> (x' MOD 5=0) \/ (x' MOD 5=1) \/ (x' MOD 5=2)\/ (x' MOD 5=3)\/ (x' MOD 5=4)`)
5832 THEN RESA_TAC
5833 THENL[
5834 PROVE_E_SY_EQ_MOD_TAC_5 `5`;
5835 PROVE_E_SY_EQ_MOD_TAC_5 `1`;
5836 PROVE_E_SY_EQ_MOD_TAC_5 `2`;
5837 PROVE_E_SY_EQ_MOD_TAC_5 `3`;
5838 PROVE_E_SY_EQ_MOD_TAC_5 `4`];
5839 SUBGOAL_THEN`E_SY (v:real^3^M) = IMAGE (\i. {vv i, vv (SUC i)}) (:num)`ASSUME_TAC;
5840 ASM_REWRITE_TAC[E_SY;rows;IMAGE;]
5841 THEN ONCE_REWRITE_TAC[EXTENSION;]
5842 THEN ASM_REWRITE_TAC[IN_ELIM_THM]
5843 THEN GEN_TAC
5844 THEN EQ_TAC;
5845
5846
5847 ASM_REWRITE_TAC[ARITH_RULE`(1 <= i /\ i <= 5)<=> i= 1\/ i=2 \/ i=3 \/ i=4\/ i=5`]
5848 THEN RESA_TAC
5849 THENL[
5850 PROOF_E_EQ_TAC_5`1`;
5851 PROOF_E_EQ_TAC_5`2`;
5852 PROOF_E_EQ_TAC_5`3`;
5853 PROOF_E_EQ_TAC_5`4`;
5854 PROOF_E_EQ_TAC_5`5`];
5855
5856
5857 RESA_TAC
5858 THEN MRESAL_TAC DIVISION[`x':num`;`5`][ARITH_RULE`~(5=0)`]
5859 THEN MP_TAC(ARITH_RULE`(x' MOD 5<5)==> (x' MOD 5=0) \/ (x' MOD 5=1) \/ (x' MOD 5=2)\/ (x' MOD 5=3) \/ (x' MOD 5=4)`)
5860 THEN RESA_TAC
5861 THENL[
5862 PROVE_E_SY_EQ_IMAGE_VV_5 `5`;
5863 PROVE_E_SY_EQ_IMAGE_VV_5 `1`;
5864 PROVE_E_SY_EQ_IMAGE_VV_5 `2`;
5865 PROVE_E_SY_EQ_IMAGE_VV_5 `3`;
5866 PROVE_E_SY_EQ_IMAGE_VV_5 `4`];
5867
5868 SUBGOAL_THEN`F_SY (v:real^3^M) = IMAGE (\i. (vv i, vv (SUC i))) (:num)`ASSUME_TAC;
5869 ASM_REWRITE_TAC[F_SY;rows;IMAGE;]
5870 THEN ONCE_REWRITE_TAC[EXTENSION;]
5871 THEN ASM_REWRITE_TAC[IN_ELIM_THM]
5872 THEN GEN_TAC
5873 THEN EQ_TAC;
5874
5875 ASM_REWRITE_TAC[ARITH_RULE`(1 <= i /\ i <= 5)<=> i= 1\/ i=2 \/ i=3 \/ i=4\/ i=5`]
5876 THEN RESA_TAC
5877 THENL[
5878 PROOF_E_EQ_TAC_5`1`;
5879 PROOF_E_EQ_TAC_5`2`;
5880 PROOF_E_EQ_TAC_5`3`;
5881 PROOF_E_EQ_TAC_5`4`;
5882 PROOF_E_EQ_TAC_5`5`];
5883
5884
5885 RESA_TAC
5886 THEN MRESAL_TAC DIVISION[`x':num`;`5`][ARITH_RULE`~(5=0)`]
5887 THEN MP_TAC(ARITH_RULE`(x' MOD 5<5)==> (x' MOD 5=0) \/ (x' MOD 5=1) \/ (x' MOD 5=2)\/ (x' MOD 5=3) \/ (x' MOD 5=4)`)
5888 THEN RESA_TAC
5889 THENL[
5890 PROVE_E_SY_EQ_IMAGE_VV_5 `5`;
5891 PROVE_E_SY_EQ_IMAGE_VV_5 `1`;
5892 PROVE_E_SY_EQ_IMAGE_VV_5 `2`;
5893 PROVE_E_SY_EQ_IMAGE_VV_5 `3`;
5894 PROVE_E_SY_EQ_IMAGE_VV_5 `4`];
5895
5896
5897
5898 POP_ASSUM (fun th-> REWRITE_TAC[SYM th])
5899 THEN POP_ASSUM (fun th-> REWRITE_TAC[SYM th])
5900 THEN POP_ASSUM (fun th-> REWRITE_TAC[SYM th])
5901 THEN ASM_REWRITE_TAC[];
5902
5903 ]);;
5904   (* }}} *)
5905
5906
5907
5908 let XWITCCN_CASE_5_sqrt8=prove_by_refinement(
5909 `(let upperbd = &6 in
5910   let a_pro = (\k p a1 a2 i j. (if (i MOD k = j MOD k) then &0
5911                                 else (if {i MOD k,j MOD k}={0,1} then p
5912                                       else (if (j MOD k = SUC i MOD k) \/ (SUC j MOD k = i MOD k) then a1 else a2)))) in
5913          mk_unadorned_v39 5 (#0.616) (cs_adj 5 (&2) (sqrt8)) (cs_adj 5 (&2 * h0) upperbd))=s
5914  /\ vv IN BBs_v39 s /\
5915   taustar_v39 s vv < &0
5916 /\ scs_k_v39 s= dimindex(:M)
5917  ==> ~(BBprime_v39 s = {})`,
5918   (* {{{ proof *)
5919 [
5920 REPEAT GEN_TAC
5921 THEN STRIP_TAC
5922 THEN MP_TAC SCS_5_sqrt8_IS_TRI_STABLE
5923 THEN RESA_TAC
5924 THEN MP_TAC NOT_EMPTY_CASE_5_sqrt8
5925 THEN RESA_TAC
5926 THEN REWRITE_TAC[SET_RULE`~(A={})<=> ?a. a IN A`]
5927 THEN ABBREV_TAC`s1 =stable_sy((scs_k_v39 s),(scs_d_v39 s),(0..scs_k_v39 s - 1),
5928          (change_type_v3 (scs_a_v39 s)),
5929          (change_type_v3 (scs_b_v39 s)),
5930          (change_type_v2 (scs_J_v39 s)(scs_k_v39 s)),
5931          (\i. (1 + i) MOD scs_k_v39 s))`
5932 THEN MRESA_TAC stable_sy_explicit[`(scs_k_v39 s)`;`(scs_d_v39 s)`;`(0..scs_k_v39 s - 1)`;`
5933          (change_type_v3 (scs_a_v39 s))`;`
5934          (change_type_v3 (scs_b_v39 s))`;`
5935          (change_type_v2 (scs_J_v39 s)(scs_k_v39 s))`;`
5936          (\i. (1 + i) MOD scs_k_v39 s)`]
5937 THEN SUBGOAL_THEN`scs_k_v39 s =5` ASSUME_TAC;
5938
5939 EXPAND_TAC"s"
5940 THEN REWRITE_TAC[scs_k_v39_explicit;scs_d_v39_explicit;scs_a_v39_explicit;scs_b_v39_explicit;BBs_v39;ARITH_RULE`3<=3`;LET_DEF;LET_END_DEF;ARITH_RULE`~(5<=3)`;IN;mk_unadorned_v39;];
5941
5942 POP_ASSUM (fun th->
5943 REPLICATE_TAC 11 (POP_ASSUM MP_TAC)
5944 THEN REWRITE_TAC[th]
5945 THEN STRIP_TAC
5946 THEN POP_ASSUM(fun th1-> ASSUME_TAC(SYM th1))
5947 THEN ASSUME_TAC th
5948 THEN REPEAT RESA_TAC)
5949 THEN MRESAL_TAC (GEN_ALL HDPLYGY)[`(scs_k_v39 s)`;`s1:stable_sy`][k_sy;B_SY1;ARITH_RULE`2<5`;]
5950 THEN POP_ASSUM (fun th->
5951 POP_ASSUM MP_TAC
5952 THEN ASM_REWRITE_TAC[IN_ELIM_THM]
5953 THEN STRIP_TAC
5954 THEN ASSUME_TAC th)
5955 THEN REWRITE_TAC[BBprime_v39;IN]
5956 THEN ABBREV_TAC`( vv1 i =
5957 if i MOD scs_k_v39 s = 0 then row 5 v else
5958 if i MOD scs_k_v39 s = 1 then row 1 v else
5959 if i MOD scs_k_v39 s = 2 then row 2 v else
5960 if i MOD scs_k_v39 s = 3 then row 3 v else
5961 row 4 (v:real^3^M))`
5962 THEN EXISTS_TAC`vv1:num->real^3`
5963 THEN STRIP_TAC;
5964
5965 ONCE_REWRITE_TAC[GSYM IN]
5966 THEN MATCH_MP_TAC (GEN_ALL IN_NOT_EMPTY_B1_SY_5_sqrt8)
5967 THEN EXISTS_TAC`x:real^(M,3)finite_product`
5968 THEN EXISTS_TAC`v:real^3^M`
5969 THEN ASM_REWRITE_TAC[]
5970 THEN POP_ASSUM MP_TAC
5971 THEN RESA_TAC;
5972
5973 SUBGOAL_THEN`vector [ vv1 1; vv1 2; (vv1:num->real^3) 3;vv1 4;vv1 0] = v:real^3^M`
5974 ASSUME_TAC;
5975
5976 POP_ASSUM(fun th-> REWRITE_TAC[GSYM th])
5977 THEN ASM_REWRITE_TAC[ARITH_RULE`1 MOD 5=1/\ 2 MOD 5=2/\ 3 MOD 5=3/\ 0 MOD 5=0 /\ ~(1=0)/\ ~(2=0)/\ ~(3=0)/\ ~(2=1)/\ ~(3=1)/\ ~(3=2) /\ ~(4=0) /\ ~(4=1) /\ ~(4=2) /\ ~(4=3)/\ 4 MOD 5=4`;]
5978 THEN ONCE_REWRITE_TAC[CART_EQ]
5979 THEN ASM_REWRITE_TAC[ARITH_RULE`1<=i/\ i<=5 <=>i=1\/ i=2\/ i=3\/ i=4\/ i=5`]
5980 THEN REPEAT RESA_TAC
5981 THEN
5982 ASM_SIMP_TAC[row;vector; LAMBDA_BETA; DIMINDEX_3; LENGTH; ARITH] THEN
5983 REWRITE_TAC[num_CONV `4`;num_CONV `3`;num_CONV `2`; num_CONV `1`; EL; HD; TL;]
5984 THEN ASM_SIMP_TAC[CART_EQ; DIMINDEX_3; FORALL_3; VEC_COMPONENT; VECTOR_3; ARITH;row;LAMBDA_BETA];
5985
5986 STRIP_TAC;
5987
5988 GEN_TAC
5989 THEN GEN_REWRITE_TAC(LAND_CONV o ONCE_DEPTH_CONV)[GSYM IN]
5990 THEN REPEAT STRIP_TAC
5991 THEN MRESA_TAC (GEN_ALL IN_NOT_EMPTY_B1_SY_5_sqrt8)
5992 [`x:real^(M,3)finite_product`;`v:real^3^M`;`vv1:num->real^3`;`s:scs_v39`]
5993 THEN MRESA_TAC ( GEN_ALL TAUSTAR_EQ_TAU_STAR_5_sqrt8)[`v:real^3^M`;`s:scs_v39`;`vv1:num->real^3`;`s1:stable_sy`;`x:real^(M,3)finite_product`]
5994 THEN MRESA_TAC ( GEN_ALL TAUSTAR_EQ_TAU_STAR_5_sqrt8)
5995 [`vector [ww 1; ww 2; ww 3; ww 4; ww 0]:real^3^M`;`s:scs_v39`;`ww:num->real^3`;`s1:stable_sy`;`matvec(vector [ww 1; ww 2; ww 3; ww 4; ww 0]:real^3^M):real^(M,3)finite_product`;]
5996 THEN MRESA_TAC (GEN_ALL IN_NOT_EMPTY_CASE_5_sqrt8)[`ww:num->real^3`;`vector [ww 1; ww 2; ww 3; ww 4; ww 0]:real^3^M`;`matvec(vector [ww 1; ww 2; ww 3;  ww 4;ww 0]:real^3^M):real^(M,3)finite_product`;`s:scs_v39`;]
5997 THEN REPLICATE_TAC 7 (POP_ASSUM MP_TAC)
5998 THEN POP_ASSUM(fun th-> REPEAT STRIP_TAC
5999 THEN MRESA1_TAC th `matvec(vector [ww 1; ww 2; ww 3;  ww 4;ww 0]:real^3^M):real^(M,3)finite_product`);
6000
6001 MRESA_TAC (GEN_ALL IN_NOT_EMPTY_B1_SY_5_sqrt8)
6002 [`x:real^(M,3)finite_product`;`v:real^3^M`;`vv1:num->real^3`;`s:scs_v39`]
6003 THEN MRESA_TAC ( GEN_ALL TAUSTAR_EQ_TAU_STAR_5_sqrt8)[`v:real^3^M`;`s:scs_v39`;`vv1:num->real^3`;`s1:stable_sy`;`x:real^(M,3)finite_product`]
6004 THEN MRESA_TAC ( GEN_ALL TAUSTAR_EQ_TAU_STAR_5_sqrt8)
6005 [`vector [vv 1; vv 2; vv 3; vv 4;vv 0]:real^3^M`;`s:scs_v39`;`vv:num->real^3`;`s1:stable_sy`;`matvec(vector [vv 1; vv 2; vv 3; vv 4; vv 0]:real^3^M):real^(M,3)finite_product`;]
6006 THEN REPLICATE_TAC 23 (POP_ASSUM MP_TAC)
6007 THEN POP_ASSUM (fun th-> REPEAT STRIP_TAC THEN MP_TAC th)
6008 THEN MRESA_TAC (GEN_ALL IN_NOT_EMPTY_CASE_5_sqrt8)[`vv:num->real^3`;`vector [vv 1; vv 2; vv 3; vv 4; vv 0]:real^3^M`;`matvec(vector [vv 1; vv 2; vv 3; vv 4; vv 0]:real^3^M):real^(M,3)finite_product`;`s:scs_v39`;]
6009 THEN REPLICATE_TAC 6 (POP_ASSUM MP_TAC)
6010 THEN POP_ASSUM(fun th-> REPEAT STRIP_TAC
6011 THEN MRESA1_TAC th `matvec(vector [vv 1; vv 2; vv 3; vv 4; vv 0]:real^3^M):real^(M,3)finite_product`)
6012 THEN POP_ASSUM MP_TAC
6013 THEN POP_ASSUM MP_TAC
6014 THEN REAL_ARITH_TAC;
6015 ]);;
6016   (* }}} *)
6017
6018
6019
6020
6021
6022
6023
6024
6025
6026
6027
6028
6029
6030 let IN_BALL_ANNUUS_TAC_5 =
6031 fun (th:term)->
6032 ASM_SIMP_TAC[]
6033 THEN MRESAL_TAC VECTOR_3_5[`(vv:num->real^3) 1`;`(vv:num->real^3) 2`;`(vv:num->real^3) 3`;`(vv:num->real^3) 4`;`(vv:num->real^3) 0`;][ARITH_RULE`1<=5/\ 2<=5/\ 3<=5/\ 4<=5/\ 5<=5`]
6034 THEN MATCH_MP_TAC(SET_RULE`
6035 vv th IN  IMAGE vv (:num) /\ IMAGE vv (:num) SUBSET ball_annulus
6036 ==> vv th IN ball_annulus`)
6037 THEN ASM_REWRITE_TAC[IMAGE;IN_ELIM_THM]
6038 THEN EXISTS_TAC th
6039 THEN REWRITE_TAC[]
6040 THEN SET_TAC[]
6041 ;;
6042
6043
6044
6045 let INEQUALITY_A_B_TAC_50 =
6046 fun (so:term) (so1:term)->
6047 ASM_SIMP_TAC[change_type_v3]
6048 THEN MRESAL_TAC VECTOR_3_5[`(vv:num->real^3) 1`;`(vv:num->real^3) 2`;`(vv:num->real^3) 3`;`(vv:num->real^3) 4`;`(vv:num->real^3) 0`][ARITH_RULE`1<=5/\ 2<=5/\ 3<=5/\ 4<=5/\ 5<=5/\ 0 MOD 5= 0 /\ 1 MOD 5= 1 /\ 2 MOD 5= 2/\ 3 MOD 5= 3 /\ 4 MOD 5= 4 /\ 5 MOD 5=0 /\ ~(2=1)
6049 /\ SUC 0 MOD 5= 1 /\ SUC 1 MOD 5= 2 /\ SUC 2 MOD 5= 3/\ SUC 3 MOD 5= 4
6050 /\ SUC 4 MOD 5= 0 /\ SUC 5 MOD 5 = 1 /\ ~(3=1)/\ ~(1=0)`]
6051 THEN REPLICATE_TAC 13 (POP_ASSUM MP_TAC)
6052 THEN POP_ASSUM(fun th-> MRESAL_TAC th[so;so1][dist;ARITH_RULE`1<=5/\ 2<=5/\ 3<=5/\ 4<=5/\ 0 MOD 5= 0 /\ 1 MOD 5= 1 /\ 2 MOD 5= 2/\ 3 MOD 5= 3 /\ 4 MOD 5= 4 /\ 5 MOD 5=0 /\ ~(2=1)
6053 /\ SUC 0 MOD 5= 1 /\ SUC 1 MOD 5= 2 /\ SUC 2 MOD 5= 3/\ SUC 3 MOD 5= 4
6054 /\ SUC 4 MOD 5= 0 /\ SUC 5 MOD 5 = 1 /\ ~(3=1)/\ ~(1=0) /\ ~(1=4)/\ ~(2=3) /\ ~(2=0) /\ ~(3=0)/\ ~(0=4)/\ ~(2=4)
6055 /\ ~(3=4)`;SET_RULE`{1,0}={0,1}`; ])
6056 THEN MRESAL_TAC(GEN_ALL PERIODIC_PROPERTY)[`5`;`vv:num-> real^3`][ARITH_RULE`~(5=0)`]
6057 THEN POP_ASSUM (fun th-> MRESAL1_TAC th`5:num`[ARITH_RULE`5 MOD 5=0`])
6058 THEN POP_ASSUM(fun th-> ASM_TAC THEN REWRITE_TAC[th] THEN REPEAT RESA_TAC)
6059 ;;
6060
6061
6062
6063
6064 let INEQUALITY_A_B_TAC_5 =
6065 fun (th:term)->
6066 MP_TAC(ARITH_RULE`1<= i /\ i<= 5==> i=1\/ i=2\/ i=3\/ i=4 \/ i=5`)
6067 THEN RESA_TAC
6068 THENL[ INEQUALITY_A_B_TAC_50 `1` th;
6069 INEQUALITY_A_B_TAC_50 `2` th;
6070 INEQUALITY_A_B_TAC_50 `3` th;
6071 INEQUALITY_A_B_TAC_50 `4` th;
6072 INEQUALITY_A_B_TAC_50 `5` th];;
6073
6074
6075
6076
6077 let EQUALITY_V_SY_TAC_5 =
6078 fun (th:term)->
6079 ASM_REWRITE_TAC[]
6080 THEN EXISTS_TAC th
6081 THEN MRESAL_TAC VECTOR_3_5[`(vv:num->real^3) 1`;`(vv:num->real^3) 2`;`(vv:num->real^3) 3`;`(vv:num->real^3) 4`;`(vv:num->real^3) 0`][ARITH_RULE`1<=5/\ 2<=5/\ 3<=5/\ 4<=5/\ 5<=5/\ 0 MOD 5= 0 /\ 1 MOD 5= 1 /\ 2 MOD 5= 2/\ 3 MOD 5= 3 /\ 4 MOD 5= 4 /\ 5 MOD 5=0 /\ ~(2=1)
6082 /\ SUC 0 MOD 5= 1 /\ SUC 1 MOD 5= 2 /\ SUC 2 MOD 5= 3/\ SUC 3 MOD 5= 4
6083 /\ SUC 4 MOD 5= 0 /\ SUC 5 MOD 5 = 1 /\ ~(3=1)/\ ~(1=0)`;SET_RULE`(a:num) IN (:num)`]
6084 ;;
6085
6086
6087
6088 let PROVE_V_SY_EQ_5_TAC=
6089 fun (th:term)->
6090 EXISTS_TAC th
6091 THEN ASM_REWRITE_TAC[ARITH_RULE`1<= 1 /\ 1<= 5`]
6092 THEN MRESAL_TAC VECTOR_3_5[`(vv:num->real^3) 1`;`(vv:num->real^3) 2`;`(vv:num->real^3) 3`;`(vv:num->real^3) 4`;`(vv:num->real^3) 0`;][ARITH_RULE`1<=5/\ 2<=5/\ 3<=5/\ 4<=5/\ 4 MOD 5= 4/\ 5 MOD 5=0 /\ 1 MOD 5= 1 /\ 2 MOD 5= 2/\ 3 MOD 5= 3 /\ ~(2=1)
6093 /\ SUC 4 MOD 5= 0 /\ SUC 1 MOD 5= 2 /\ SUC 2 MOD 5= 3/\ SUC 3 MOD 5= 4/\ ~(3=1)/\ ~(1=0)/\ 5<=5/\ 1<=1 /\ 1<=2 /\ 1<= 3 /\ 1<=4 /\ 1<=5`]
6094 ;;
6095
6096 let PROVE_E_SY_EQ_5_TAC =
6097 fun (th:term)->
6098 EXISTS_TAC th
6099 THEN MRESAL_TAC VECTOR_3_5[`(vv:num->real^3) 1`;`(vv:num->real^3) 2`;`(vv:num->real^3) 3`;`(vv:num->real^3) 4`;`(vv:num->real^3) 0`][ARITH_RULE`1<=5/\ 2<=5/\ 3<=5/\ 4<=5/\ 4 MOD 5= 4/\ 5 MOD 5=0 /\ 1 MOD 5= 1 /\ 2 MOD 5= 2/\ 3 MOD 5= 3 /\ ~(2=1)
6100 /\ SUC 4 MOD 5= 0 /\ SUC 1 MOD 5= 2 /\ SUC 2 MOD 5= 3/\ SUC 3 MOD 5= 4/\ ~(3=1)/\ ~(1=0)/\ 5<=5/\ 1<=1 /\ 1<=2 /\ 1<= 3 /\ 1<=4 /\ 1<=5
6101 /\ SUC 1=2 /\ SUC 0 =1/\ SUC 2=3/\  SUC 3=4  `; SET_RULE`(a:num) IN (:num)`]
6102 THEN MRESAL_TAC(GEN_ALL PERIODIC_PROPERTY)[`5`;`vv:num-> real^3`][ARITH_RULE`~(5=0)`]
6103 THEN POP_ASSUM(fun th-> MRESAL1_TAC th`SUC 4`[ARITH_RULE`SUC 4 MOD 5=0/\ SUC 4=5`])
6104 THEN POP_ASSUM(fun th-> REWRITE_TAC[SYM th])
6105 ;;
6106
6107
6108
6109
6110
6111
6112 let PROVE_E_SY_EQ_INV_5_TAC=
6113 fun (th:term) (th1:term) ->
6114 MRESAL_TAC(GEN_ALL IMP_SUC_MOD_EQ)[`x':num`;th;`5`][ARITH_RULE`~(5=0)/\ 0 MOD 5=0/\ SUC 5  MOD 5=1 /\ 1 MOD 5=1 /\ 2 MOD 5=2 /\ 3 MOD 5=3/\ 4 MOD 5=4/\ 5 MOD 5=0`]
6115 THEN EXISTS_TAC th1
6116 THEN MRESAL_TAC VECTOR_3_5[`(vv:num->real^3) 1`;`(vv:num->real^3) 2`;`(vv:num->real^3) 3`;`(vv:num->real^3) 4`;`(vv:num->real^3) 0`][ARITH_RULE`1<=5/\ 2<=5/\ 3<=5/\ 4<=5/\ 4 MOD 5= 4/\ 5 MOD 5=0 /\ 1 MOD 5= 1 /\ 2 MOD 5= 2/\ 3 MOD 5= 3 /\ ~(2=1)
6117 /\ SUC 4 MOD 5= 0 /\ SUC 1 MOD 5= 2 /\ SUC 2 MOD 5= 3/\ SUC 3 MOD 5= 4/\ ~(3=1)/\ ~(1=0)/\ 5<=5/\ 1<=1 /\ 1<=2 /\ 1<= 3 /\ 1<=4 /\ 1<=5
6118 /\ SUC 1=2 /\ SUC 0 =1/\ SUC 2=3/\  SUC 3=4/\ SUC 4=5  `; SET_RULE`(a:num) IN (:num)`]
6119 ;;
6120
6121
6122
6123 let V_E_FF_CASE_5_pro_cs=prove_by_refinement(
6124 `(s=let upperbd = &6 in
6125   let a_pro = (\k p a1 a2 i j. (if (i MOD k = j MOD k) then &0
6126                                 else (if {i MOD k,j MOD k}={0,1} then p
6127                                       else (if (j MOD k = SUC i MOD k) \/ (SUC j MOD k = i MOD k) then a1 else a2)))) in
6128          mk_unadorned_v39 5 (#0.616) (a_pro 5 (&2 * h0) (&2) (&2 * h0)) (a_pro 5 sqrt8 (&2 * h0) upperbd))
6129 /\ vv IN BBs_v39 s
6130 /\ scs_k_v39 s= dimindex(:M)
6131 /\ vector[(vv:num->real^3) 1;(vv:num->real^3) 2;(vv:num->real^3) 3;(vv:num->real^3) 4;(vv:num->real^3) 0]:real^3^M= v
6132 /\ matvec (v:real^3^M) =a
6133 ==>
6134 V_SY (v:real^3^M)=IMAGE vv (:num)/\
6135   E_SY (v:real^3^M)=IMAGE (\i. {vv i, vv (SUC i)}) (:num)/\
6136 F_SY (v:real^3^M)=IMAGE (\i. vv i,vv (SUC i)) (:num)`,
6137   (* {{{ proof *)
6138 [
6139
6140 STRIP_TAC
6141 THEN REPLICATE_TAC 4 (POP_ASSUM MP_TAC)
6142 THEN ASM_REWRITE_TAC[scs_k_v39_explicit;scs_a_v39_explicit;scs_b_v39_explicit;BBs_v39;ARITH_RULE`3<=3`;LET_DEF;LET_END_DEF;ARITH_RULE`~(5<=3)`;IN;mk_unadorned_v39]
6143 THEN REPEAT STRIP_TAC;
6144
6145 REWRITE_TAC[V_SY;rows]
6146 THEN REPLICATE_TAC 2 (POP_ASSUM MP_TAC)
6147 THEN POP_ASSUM(fun th-> REWRITE_TAC[SYM th;ARITH_RULE`(1<= i /\ i<= 5)<=> (i=1\/ i=2\/ i=3 \/ i=4\/ i=5)`] THEN ASSUME_TAC (SYM th))
6148 THEN STRIP_TAC
6149 THEN STRIP_TAC
6150 THEN ASM_REWRITE_TAC[IMAGE;EXTENSION;IN_ELIM_THM]
6151 THEN GEN_TAC
6152 THEN EQ_TAC;
6153
6154 REPEAT STRIP_TAC
6155 THENL[
6156 EQUALITY_V_SY_TAC_5 `1`;
6157 EQUALITY_V_SY_TAC_5 `2`;
6158 EQUALITY_V_SY_TAC_5 `3`;
6159 EQUALITY_V_SY_TAC_5 `4`;
6160 EQUALITY_V_SY_TAC_5 `0`];
6161
6162 REPEAT STRIP_TAC
6163 THEN REWRITE_TAC[ARITH_RULE` (i=1\/ i=2\/ i=3 \/ i=4 \/ i=5)<=> (1<= i /\ i<= 5)`]
6164 THEN MRESAL_TAC(GEN_ALL PERIODIC_PROPERTY)[`5`;`vv:num-> real^3`][ARITH_RULE`~(5=0)`]
6165 THEN POP_ASSUM (fun th-> MRESA1_TAC th`x':num`)
6166 THEN POP_ASSUM (fun th-> ONCE_REWRITE_TAC[SYM th])
6167 THEN MRESAL_TAC DIVISION[`x':num`;`5`][ARITH_RULE`~(5=0)`]
6168 THEN MP_TAC(ARITH_RULE`x' MOD 5 < 5 ==>  x' MOD 5 =0 \/ x' MOD 5 = 1\/ x' MOD 5 = 2 \/ x' MOD 5 =3 \/ x' MOD 5 =4`)
6169 THEN RESA_TAC
6170 THENL[
6171 PROVE_V_SY_EQ_5_TAC`5`;
6172 PROVE_V_SY_EQ_5_TAC`1`;
6173 PROVE_V_SY_EQ_5_TAC`2`;
6174 PROVE_V_SY_EQ_5_TAC`3`;
6175 PROVE_V_SY_EQ_5_TAC`4`];
6176
6177 REWRITE_TAC[E_SY;rows]
6178 THEN REPLICATE_TAC 2 (POP_ASSUM MP_TAC)
6179 THEN POP_ASSUM(fun th-> REWRITE_TAC[SYM th;ARITH_RULE`(1<= i /\ i<= 5)<=> (i=1\/ i=2\/ i=3 \/ i=4 \/ i=5)`] THEN ASSUME_TAC (SYM th))
6180 THEN REPEAT STRIP_TAC
6181 THEN ASM_REWRITE_TAC[IMAGE;EXTENSION;IN_ELIM_THM]
6182 THEN GEN_TAC
6183 THEN ONCE_REWRITE_TAC[GSYM EXTENSION]
6184 THEN EQ_TAC;
6185
6186 STRIP_TAC
6187 THEN ASM_REWRITE_TAC[]
6188 THENL[
6189 PROVE_E_SY_EQ_5_TAC `1`;
6190 PROVE_E_SY_EQ_5_TAC `2`;
6191 PROVE_E_SY_EQ_5_TAC `3`;
6192 PROVE_E_SY_EQ_5_TAC `4`;
6193 PROVE_E_SY_EQ_5_TAC `0`];
6194
6195 STRIP_TAC
6196 THEN REWRITE_TAC[ARITH_RULE` (i=1\/ i=2\/ i=3 \/ i=4 \/ i=5)<=> (1<= i /\ i<= 5)`]
6197 THEN MRESAL_TAC(GEN_ALL PERIODIC_PROPERTY)[`5`;`vv:num-> real^3`][ARITH_RULE`~(5=0)`]
6198 THEN POP_ASSUM (fun th-> MRESA1_TAC th`x':num` THEN MRESA1_TAC th`SUC x':num`)
6199 THEN POP_ASSUM (fun th-> ONCE_REWRITE_TAC[SYM th])
6200 THEN POP_ASSUM (fun th-> ONCE_REWRITE_TAC[SYM th])
6201 THEN MRESAL_TAC DIVISION[`x':num`;`5`][ARITH_RULE`~(5=0)`]
6202 THEN MP_TAC(ARITH_RULE`x' MOD 5 < 5==>  x' MOD 5 =0 \/ x' MOD 5 = 1\/ x' MOD 5 = 2 \/ x' MOD 5 =3 \/ x' MOD 5 =4`)
6203 THEN RESA_TAC
6204 THENL[
6205 PROVE_E_SY_EQ_INV_5_TAC `5` `5`;
6206 PROVE_E_SY_EQ_INV_5_TAC `1` `1`;
6207 PROVE_E_SY_EQ_INV_5_TAC `2` `2`;
6208 PROVE_E_SY_EQ_INV_5_TAC `3` `3`;
6209 PROVE_E_SY_EQ_INV_5_TAC `4` `4`;];
6210
6211 REWRITE_TAC[F_SY;rows]
6212 THEN REPLICATE_TAC 2 (POP_ASSUM MP_TAC)
6213 THEN POP_ASSUM(fun th-> REWRITE_TAC[SYM th;ARITH_RULE`(1<= i /\ i<= 5)<=> (i=1\/ i=2\/ i=3 \/ i=4 \/ i=5)`] THEN ASSUME_TAC (SYM th))
6214 THEN REPEAT STRIP_TAC
6215 THEN ASM_REWRITE_TAC[IMAGE;EXTENSION;IN_ELIM_THM]
6216 THEN GEN_TAC
6217 THEN ONCE_REWRITE_TAC[GSYM EXTENSION]
6218 THEN EQ_TAC;
6219
6220 STRIP_TAC
6221 THEN ASM_REWRITE_TAC[]
6222 THENL[
6223 PROVE_E_SY_EQ_5_TAC `1`;
6224 PROVE_E_SY_EQ_5_TAC `2`;
6225 PROVE_E_SY_EQ_5_TAC `3`;
6226 PROVE_E_SY_EQ_5_TAC `4`;
6227 PROVE_E_SY_EQ_5_TAC `0`];
6228
6229 STRIP_TAC
6230 THEN REWRITE_TAC[ARITH_RULE` (i=1\/ i=2\/ i=3 \/ i=4 \/ i=5)<=> (1<= i /\ i<= 5)`]
6231 THEN MRESAL_TAC(GEN_ALL PERIODIC_PROPERTY)[`5`;`vv:num-> real^3`][ARITH_RULE`~(5=0)`]
6232 THEN POP_ASSUM (fun th-> MRESA1_TAC th`x':num` THEN MRESA1_TAC th`SUC x':num`)
6233 THEN POP_ASSUM (fun th-> ONCE_REWRITE_TAC[SYM th])
6234 THEN POP_ASSUM (fun th-> ONCE_REWRITE_TAC[SYM th])
6235 THEN MRESAL_TAC DIVISION[`x':num`;`5`][ARITH_RULE`~(5=0)`]
6236 THEN MP_TAC(ARITH_RULE`x' MOD 5 < 5==>  x' MOD 5 =0 \/ x' MOD 5 = 1\/ x' MOD 5 = 2 \/ x' MOD 5 =3 \/ x' MOD 5 =4`)
6237 THEN RESA_TAC
6238 THENL[
6239 PROVE_E_SY_EQ_INV_5_TAC `5` `5`;
6240 PROVE_E_SY_EQ_INV_5_TAC `1` `1`;
6241 PROVE_E_SY_EQ_INV_5_TAC `2` `2`;
6242 PROVE_E_SY_EQ_INV_5_TAC `3` `3`;
6243 PROVE_E_SY_EQ_INV_5_TAC `4` `4`;];
6244 ]);;
6245   (* }}} *)
6246
6247
6248
6249
6250
6251
6252 let IN_NOT_EMPTY_CASE_5_pro_cs=prove_by_refinement(
6253 `(s=let upperbd = &6 in
6254   let a_pro = (\k p a1 a2 i j. (if (i MOD k = j MOD k) then &0
6255                                 else (if {i MOD k,j MOD k}={0,1} then p
6256                                       else (if (j MOD k = SUC i MOD k) \/ (SUC j MOD k = i MOD k) then a1 else a2)))) in
6257          mk_unadorned_v39 5 (#0.616) (a_pro 5 (&2 * h0) (&2) (&2 * h0)) (a_pro 5 sqrt8 (&2 * h0) upperbd))
6258 /\ vv IN BBs_v39 s
6259 /\ scs_k_v39 s= dimindex(:M)
6260 /\ vector[(vv:num->real^3) 1;(vv:num->real^3) 2;(vv:num->real^3) 3;(vv:num->real^3) 4;(vv:num->real^3) 0]:real^3^M= v
6261 /\ matvec (v:real^3^M) =a
6262 ==>
6263 a IN {matvec(v:real^3^M) | (!i. 1<=i /\  i <= dimindex(:M)==> row i v IN ball_annulus) /\  CONDITION1_SY (change_type_v3 (scs_a_v39 s)) (change_type_v3 (scs_b_v39 s)) v /\ CONDITION2_SY v }`,
6264   (* {{{ proof *)
6265 [
6266 REWRITE_TAC[SET_RULE`~(A={})<=> (?a. a IN A)`;IN_ELIM_THM;CONDITION1_SY;CONDITION2_SY]
6267 THEN REPEAT STRIP_TAC
6268 THEN POP_ASSUM MP_TAC
6269 THEN POP_ASSUM MP_TAC
6270 THEN POP_ASSUM MP_TAC
6271 THEN POP_ASSUM MP_TAC
6272 THEN ASM_REWRITE_TAC[scs_k_v39_explicit;scs_a_v39_explicit;scs_b_v39_explicit;LET_DEF;LET_END_DEF;BBs_v39;ARITH_RULE`~(5<=3)`;mk_unadorned_v39;CS_ADJ]
6273 THEN GEN_REWRITE_TAC(LAND_CONV  o DEPTH_CONV)[IN]
6274 THEN ASM_REWRITE_TAC[scs_k_v39_explicit;scs_a_v39_explicit;scs_b_v39_explicit;BBs_v39;ARITH_RULE`3<=3`;LET_DEF;LET_END_DEF;ARITH_RULE`~(5<=3)`]
6275 THEN REPEAT STRIP_TAC
6276 THEN ASM_REWRITE_TAC[]
6277 THEN EXISTS_TAC`v:real^3^M`
6278 THEN STRIP_TAC;
6279
6280 STRIP_TAC;
6281 REPLICATE_TAC 2 (POP_ASSUM MP_TAC)
6282 THEN POP_ASSUM(fun th-> REWRITE_TAC[SYM th;ARITH_RULE`(1<= i /\ i<= 5)<=> (i=1\/ i=2\/ i=3 \/ i=4 \/ i=5)`] THEN ASSUME_TAC (SYM th))
6283 THEN REPEAT STRIP_TAC
6284 THENL[
6285 IN_BALL_ANNUUS_TAC_5 `(1:num)`;
6286 IN_BALL_ANNUUS_TAC_5 `(2:num)`;
6287 IN_BALL_ANNUUS_TAC_5 `(3:num)`;
6288 IN_BALL_ANNUUS_TAC_5 `(4:num)`;
6289 IN_BALL_ANNUUS_TAC_5 `(0:num)`];
6290
6291 STRIP_TAC;
6292
6293 REPLICATE_TAC 2 (POP_ASSUM MP_TAC)
6294 THEN POP_ASSUM(fun th-> REWRITE_TAC[SYM th;ARITH_RULE`(1<= i /\ i<= 5)<=> (i=1\/ i=2\/ i=3 \/ i=4 \/ i=5)`] THEN ASSUME_TAC (SYM th))
6295 THEN REPEAT DISCH_TAC
6296 THEN REPEAT GEN_TAC
6297 THEN STRIP_TAC
6298 THENL[
6299 INEQUALITY_A_B_TAC_5 `1`;
6300 INEQUALITY_A_B_TAC_5 `2`;
6301 INEQUALITY_A_B_TAC_5 `3`;
6302 INEQUALITY_A_B_TAC_5 `4`;
6303 INEQUALITY_A_B_TAC_5 `0` ];
6304
6305
6306
6307 MP_TAC V_E_FF_CASE_5_pro_cs
6308 THEN ASM_REWRITE_TAC[scs_k_v39_explicit;scs_d_v39_explicit;scs_a_v39_explicit;scs_b_v39_explicit;BBs_v39;ARITH_RULE`3<=3`;LET_DEF;LET_END_DEF;ARITH_RULE`~(4<=3)`;IN;mk_unadorned_v39;CS_ADJ]
6309 THEN POP_ASSUM MP_TAC
6310 THEN POP_ASSUM MP_TAC
6311 THEN POP_ASSUM(fun th-> ASM_REWRITE_TAC[SYM th])
6312 THEN REPEAT RESA_TAC;
6313
6314 ASM_REWRITE_TAC[]
6315 ]);;
6316   (* }}} *)
6317
6318
6319
6320
6321
6322
6323
6324
6325
6326
6327 let NOT_EMPTY_CASE_5_pro_cs=prove_by_refinement(
6328 `(s=let upperbd = &6 in
6329   let a_pro = (\k p a1 a2 i j. (if (i MOD k = j MOD k) then &0
6330                                 else (if {i MOD k,j MOD k}={0,1} then p
6331                                       else (if (j MOD k = SUC i MOD k) \/ (SUC j MOD k = i MOD k) then a1 else a2)))) in
6332          mk_unadorned_v39 5 (#0.616) (a_pro 5 (&2 * h0) (&2) (&2 * h0)) (a_pro 5 sqrt8 (&2 * h0) upperbd))
6333 /\ vv IN BBs_v39 s
6334 /\ scs_k_v39 s= dimindex(:M)
6335 ==>
6336 ~({matvec(v:real^3^M) | (!i. 1<=i /\  i <= dimindex(:M)==> row i v IN ball_annulus) /\  CONDITION1_SY (change_type_v3 (scs_a_v39 s)) (change_type_v3 (scs_b_v39 s)) v /\ CONDITION2_SY v }={})`
6337 ,
6338   (* {{{ proof *)
6339 [
6340 REWRITE_TAC[SET_RULE`~(A={})<=> (?a. a IN A)`;]
6341 THEN STRIP_TAC
6342 THEN ABBREV_TAC`v=vector[(vv:num->real^3) 1;(vv:num->real^3) 2;(vv:num->real^3) 3;(vv:num->real^3) 4;(vv:num->real^3) 0]:real^3^M`
6343 THEN ABBREV_TAC`a=matvec (v:real^3^M) `
6344 THEN EXISTS_TAC`a:real^(M,3)finite_product`
6345 THEN MATCH_MP_TAC IN_NOT_EMPTY_CASE_5_pro_cs
6346 THEN ASM_REWRITE_TAC[]
6347 ]);;
6348   (* }}} *)
6349
6350
6351 let TAUSTAR_EQ_TAU_STAR_5_pro_cs=prove_by_refinement(
6352 `(let upperbd = &6 in
6353   let a_pro = (\k p a1 a2 i j. (if (i MOD k = j MOD k) then &0
6354                                 else (if {i MOD k,j MOD k}={0,1} then p
6355                                       else (if (j MOD k = SUC i MOD k) \/ (SUC j MOD k = i MOD k) then a1 else a2)))) in
6356          mk_unadorned_v39 5 (#0.616) (a_pro 5 (&2 * h0) (&2) (&2 * h0)) (a_pro 5 sqrt8 (&2 * h0) upperbd))=s
6357 /\ vv IN BBs_v39 s
6358 /\ scs_k_v39 s= dimindex(:M)
6359 /\ vector[(vv:num->real^3) 1;(vv:num->real^3) 2;(vv:num->real^3) 3;(vv:num->real^3) 4;(vv:num->real^3) 0]:real^3^M= v
6360 /\ matvec (v:real^3^M) =a
6361 /\ stable_sy((scs_k_v39 s),(scs_d_v39 s),(0..scs_k_v39 s - 1),
6362          (change_type_v3 (scs_a_v39 s)),
6363          (change_type_v3 (scs_b_v39 s)),
6364          (change_type_v2 (scs_J_v39 s)(scs_k_v39 s)),
6365          (\i. (1 + i) MOD scs_k_v39 s))=s1
6366 ==>  taustar_v39 s vv = tau_star s1 a`,
6367   (* {{{ proof *)
6368 [
6369 REPEAT STRIP_TAC
6370 THEN MP_TAC V_E_FF_CASE_5_pro_cs
6371 THEN RESA_TAC
6372 THEN SUBGOAL_THEN`scs_k_v39 s =5` ASSUME_TAC;
6373
6374 EXPAND_TAC"s"
6375 THEN REWRITE_TAC[scs_k_v39_explicit;scs_d_v39_explicit;scs_a_v39_explicit;scs_b_v39_explicit;BBs_v39;ARITH_RULE`3<=3`;LET_DEF;LET_END_DEF;ARITH_RULE`~(5<=3)`;IN;mk_unadorned_v39;];
6376
6377 POP_ASSUM MP_TAC
6378 THEN RESA_TAC
6379 THEN ASM_REWRITE_TAC[taustar_v39;tau_star]
6380 THEN ASM_REWRITE_TAC[scs_k_v39_explicit;scs_d_v39_explicit;scs_a_v39_explicit;scs_b_v39_explicit;BBs_v39;ARITH_RULE`3<=3`;LET_DEF;LET_END_DEF;ARITH_RULE`~(5<=3)`;IN;mk_unadorned_v39;]
6381 THEN ASM_SIMP_TAC[dsv_J_empty]
6382 THEN MP_TAC SCS_5_pro_cs_IS_TRI_STABLE
6383 THEN ASM_REWRITE_TAC[LET_DEF;LET_END_DEF]
6384 THEN STRIP_TAC
6385 THEN MRESAL_TAC stable_sy_explicit[`(scs_k_v39 s)`;`(scs_d_v39 s)`;`(0..scs_k_v39 s - 1)`;`
6386          (change_type_v3 (scs_a_v39 s))`;`
6387          (change_type_v3 (scs_b_v39 s))`;`
6388          (change_type_v2 (scs_J_v39 s)(scs_k_v39 s))`;`
6389          (\i. (1 + i) MOD scs_k_v39 s)`][LET_DEF;LET_END_DEF;d_fun]
6390 THEN SUBGOAL_THEN`J1_SY (s1:stable_sy)={}` ASSUME_TAC;
6391
6392 ASM_REWRITE_TAC[J1_SY;]
6393 THEN EXPAND_TAC"s"
6394 THEN REWRITE_TAC[scs_J_v39_explicit;LET_DEF;LET_END_DEF;mk_unadorned_v39;change_type_v2;SET_RULE`a IN  {{i, j} | F}<=> F`]
6395 THEN SET_TAC[];
6396
6397 ASM_REWRITE_TAC[SUM_CLAUSES;REAL_ARITH`a* &0= &0 /\a + &0=a`]
6398 THEN EXPAND_TAC"a"
6399 THEN REWRITE_TAC[MATVEC_VECMATS_ID;VECMATS_MATVEC_ID]
6400 THEN ASM_REWRITE_TAC[REAL_ARITH`A-B=A-C<=>B=C`]
6401 THEN MATCH_MP_TAC dsv_J_empty
6402 THEN EXPAND_TAC"s"
6403 THEN REWRITE_TAC[scs_J_v39_explicit;LET_DEF;LET_END_DEF;mk_unadorned_v39;change_type_v2;SET_RULE`a IN  {{i, j} | F}<=> F`]
6404 ]);;
6405   (* }}} *)
6406
6407
6408
6409
6410
6411
6412 let SCS_A_B__EQ_MOD_5_pro_cs=prove(
6413 `s=(let upperbd = &6 in
6414   let a_pro = (\k p a1 a2 i j. (if (i MOD k = j MOD k) then &0
6415                                 else (if {i MOD k,j MOD k}={0,1} then p
6416                                       else (if (j MOD k = SUC i MOD k) \/ (SUC j MOD k = i MOD k) then a1 else a2)))) in
6417          mk_unadorned_v39 5 (#0.616) (a_pro 5 (&2 * h0) (&2) (&2 * h0)) (a_pro 5 sqrt8 (&2 * h0) upperbd))
6418 ==>
6419 !i j. scs_a_v39 s i j = scs_a_v39 s (i MOD 5) (j MOD 5)/\
6420  scs_b_v39 s i j = scs_b_v39 s (i MOD 5) (j MOD 5)`,
6421 REPEAT STRIP_TAC
6422 THEN ASM_REWRITE_TAC[scs_k_v39_explicit;scs_d_v39_explicit;scs_a_v39_explicit;scs_b_v39_explicit;BBs_v39;ARITH_RULE`3<=3`;LET_DEF;LET_END_DEF;ARITH_RULE`~(5<=3)`;IN;mk_unadorned_v39;CS_ADJ]
6423 THEN MRESAL_TAC MOD_MOD_REFL[`i:num`;`5`][ARITH_RULE`~(5=0)`]
6424 THEN MRESAL_TAC MOD_MOD_REFL[`j:num`;`5`][ARITH_RULE`~(5=0)`]
6425 THEN MRESAL_TAC MOD_ADD_MOD[`j:num`;`1:num`;`5`][ARITH_RULE`~(5=0) /\ 1 MOD 5=1`;ADD1]
6426 THEN MRESAL_TAC MOD_ADD_MOD[`i:num`;`1:num`;`5`][ARITH_RULE`~(5=0) /\ 1 MOD 5=1`;ADD1]);;
6427
6428
6429
6430 let VV_IN_BALL_ANNULUS_TAC_5=
6431 fun (so:term)->
6432 REPLICATE_TAC 8 (POP_ASSUM MP_TAC)
6433 THEN POP_ASSUM(fun th-> MRESAL1_TAC th so [ARITH_RULE`1<=1 /\ 1<=2 /\1<=3 /\ 1<= 4/\ 1<=5 /\ 2<=5/\ 3<=5/\ 4<=5/\ 5<=5/\ ~(1=0)/\ ~(2=0) /\ ~(3=0)/\ ~(2=1)/\ ~(3=1)/\ ~(3=2)/\ ~(4=0) /\ ~(4=1)/\ ~(4=2)/\ ~(4=3)`] )
6434 ;;
6435
6436
6437 let PROVE_INEQUALITY_TAC_50=
6438 fun (so:term) (so1:term)->
6439 REPLICATE_TAC 7(POP_ASSUM MP_TAC)
6440 THEN POP_ASSUM(fun th-> MRESAL_TAC th[so;so1][ARITH_RULE`1<=5 /\ 5<=5/\ 1<=1 /\ 1<=5/\ 1<=2 /\ 2<=5/\1<=3 /\ 3<=5/\ 1<=4/\ 4<=5`])
6441 THEN POP_ASSUM( fun th->
6442 POP_ASSUM( fun th1->
6443 REPEAT DISCH_TAC
6444 THEN MP_TAC th THEN MP_TAC th1
6445 THEN POP_ASSUM(fun th2-> ONCE_REWRITE_TAC[th2]
6446 THEN POP_ASSUM(fun th3-> MRESAL1_TAC th3`5`[ARITH_RULE`4 MOD 4=0`]
6447 THEN MRESAL1_TAC th3`1`[ARITH_RULE`1 MOD 5=1/\ ~(1=0)`]
6448 THEN MRESAL1_TAC th3`2`[ARITH_RULE`2 MOD 5=2/\ ~(2=0)/\ ~(2=1)`]
6449 THEN MRESAL1_TAC th3`3`[ARITH_RULE`3 MOD 5=3/\ ~(3=0)/\ ~(3=1)/\ ~(3=2)`]
6450 THEN MRESAL1_TAC th3`4`[ARITH_RULE`4 MOD 5=4/\ ~(4=0)/\ ~(4=1)/\ ~(4=2)/\ ~(4=3)`])
6451 THEN MRESAL1_TAC th2`5`[ARITH_RULE`5 MOD 5=0`])
6452 ))
6453 THEN MP_TAC SCS_A_B__EQ_MOD_5_pro_cs
6454 THEN ASM_REWRITE_TAC[]
6455 THEN STRIP_TAC
6456 THEN POP_ASSUM(fun th-> ONCE_REWRITE_TAC[th])
6457 THEN ASM_REWRITE_TAC[ARITH_RULE`5 MOD 5=0/\ 1 MOD 5=1/\ 2 MOD 5=2 /\ 3 MOD 5=3 /\ 4 MOD 5=4`]
6458 THEN RESA_TAC
6459 THEN RESA_TAC
6460 ;;
6461
6462
6463
6464
6465 let PROVE_INEQUALITY_TAC_5=
6466 fun (th:term)->
6467 MP_TAC(ARITH_RULE`(j MOD 5<5)==> (j MOD 5=0) \/ (j MOD 5=1) \/ (j MOD 5=2)\/ (j MOD 5=3)\/ (j MOD 5=4) `)
6468 THEN RESA_TAC
6469 THENL[
6470 PROVE_INEQUALITY_TAC_50  th `5`;
6471 PROVE_INEQUALITY_TAC_50  th `1`;
6472 PROVE_INEQUALITY_TAC_50  th `2`;
6473 PROVE_INEQUALITY_TAC_50  th `3`;
6474 PROVE_INEQUALITY_TAC_50  th `4`];;
6475
6476
6477
6478
6479 let V_SY_EQ_IMAGE_VV_TAC5=
6480 fun (th:term)->
6481 ASM_REWRITE_TAC[]
6482 THEN EXISTS_TAC th
6483 THEN ASM_REWRITE_TAC[SET_RULE`(a:num)IN (:num)`;ARITH_RULE`1 MOD 5=1 /\ ~(1=0) /\ 2 MOD 5=2 /\ ~(2=0)/\ ~(2=1)/\ 3 MOD 5=3 /\ ~(3=0)/\ ~(3=1)/\ ~(3=2)/\ 4 MOD 5=4/\ 5 MOD 5=0/\ ~(4=0)/\ ~(4=1)/\ ~(4=2)/\ ~(4=3)`];;
6484
6485
6486
6487
6488
6489 let PROVE_E_SY_EQ_MOD_TAC_5=
6490 fun (th:term)->
6491 EXISTS_TAC th
6492 THEN ASM_REWRITE_TAC[ARITH_RULE`~(3=0)/\ ~(3=1)/\ ~(3=2)/\ ~(2=0)/\ ~(2=1)/\ ~(1=0)/\ ~(4=0) /\ ~(4=1) /\ ~(4=2) /\ ~(4=3) `]
6493 THEN ARITH_TAC;;
6494
6495
6496
6497
6498
6499
6500
6501 let PROOF_E_EQ_TAC_5=
6502 fun (th:term)->
6503 EXISTS_TAC th
6504 THEN ASM_REWRITE_TAC[ARITH_RULE`~(1=0)/\ 1 MOD 5=1/\ SUC 1=2/\ 2 MOD 5=2/\ ~(2=0)/\ ~(2=1)/\ SUC 2=3 /\ 3 MOD 5=3/\ ~(3=0) /\ ~(3=1)/\ ~(3=2)/\ SUC 3=4
6505 /\ ~(4=0) /\ ~(4=1) /\ ~(4=2) /\ ~(4=3) /\  4 MOD 5=4/\ 5 MOD 5=0/\ SUC 0=1
6506 /\ SUC 5=6/\ SUC 4=5/\  6 MOD 5=1`;SET_RULE`(a:num) IN (:num)`]
6507 ;;
6508
6509
6510 let PROVE_E_SY_EQ_IMAGE_VV_5=
6511 fun (so:term)->
6512 EXISTS_TAC so
6513 THEN ASM_REWRITE_TAC[ARITH_RULE`~(1=0)`]
6514 THEN MRESAL_TAC MOD_ADD_MOD[`x':num`;`1:num`;`5`][ARITH_RULE`~(5=0) /\ 1 MOD 5=1/\ 1<=5/\ 5<=5/\ 0+1=1`;ADD1]
6515 THEN POP_ASSUM(fun th-> REWRITE_TAC[SYM th;ARITH_RULE`~(1=0)/\ 4 MOD 5=4/\ 5 MOD 5=0 /\ 0+1=1/\ 1<=1 /\ 1+1=2/\ 2 MOD 5=2/\ ~(2=0)/\ ~(2=1)/\ 2+1=3/\ 3 MOD 5=3
6516 /\ ~(3=0)/\ ~(3=1)/\ ~(3=2)/\1<=2/\ 2<=5 /\ 3<=5 /\ 4<=5/\ 1<=4/\ 4+1=5
6517 /\ 1<=3/\ 3<=4/\ 3+1=4/\ ~(4=0) /\ ~(4=1) /\ ~(4=2) /\ ~(4=3)`])
6518 ;;
6519
6520
6521
6522
6523
6524
6525
6526 let  IN_NOT_EMPTY_B1_SY_5_pro_cs=prove_by_refinement(
6527 `(let upperbd = &6 in
6528   let a_pro = (\k p a1 a2 i j. (if (i MOD k = j MOD k) then &0
6529                                 else (if {i MOD k,j MOD k}={0,1} then p
6530                                       else (if (j MOD k = SUC i MOD k) \/ (SUC j MOD k = i MOD k) then a1 else a2)))) in
6531          mk_unadorned_v39 5 (#0.616) (a_pro 5 (&2 * h0) (&2) (&2 * h0)) (a_pro 5 sqrt8 (&2 * h0) upperbd))=s/\
6532  scs_k_v39 s= dimindex(:M)/\
6533  matvec (v:real^3^M) =a/\
6534 (!i. 1<=i /\  i <= dimindex(:M)==> row i v IN ball_annulus) /\
6535  CONDITION1_SY (change_type_v3 (scs_a_v39 s)) (change_type_v3 (scs_b_v39 s)) v /\
6536  CONDITION2_SY v
6537 /\ (!i. vv i =
6538 if i MOD scs_k_v39 s = 0 then row 5 v else
6539 if i MOD scs_k_v39 s = 1 then row 1 v else
6540 if i MOD scs_k_v39 s = 2 then row 2 v else
6541 if i MOD scs_k_v39 s = 3 then row 3 v else
6542 row 4 v)
6543 ==> vv IN BBs_v39 s`,
6544   (* {{{ proof *)
6545 [
6546
6547 REWRITE_TAC[CONDITION1_SY;CONDITION2_SY;change_type_v3]
6548 THEN REPEAT STRIP_TAC
6549 THEN SUBGOAL_THEN`scs_k_v39 s =5` ASSUME_TAC;
6550 EXPAND_TAC"s"
6551 THEN REWRITE_TAC[scs_k_v39_explicit;scs_d_v39_explicit;scs_a_v39_explicit;scs_b_v39_explicit;BBs_v39;ARITH_RULE`3<=3`;LET_DEF;LET_END_DEF;ARITH_RULE`~(5<=3)`;IN;mk_unadorned_v39;];
6552 POP_ASSUM (fun th->
6553 REPLICATE_TAC 5 (POP_ASSUM MP_TAC)
6554 THEN POP_ASSUM(fun th1-> ASSUME_TAC(SYM th1))
6555 THEN ASSUME_TAC th
6556 THEN REPEAT STRIP_TAC)
6557 THEN POP_ASSUM MP_TAC
6558 THEN ASM_REWRITE_TAC[th;IN]
6559 THEN STRIP_TAC
6560 THEN REWRITE_TAC[scs_k_v39_explicit;scs_d_v39_explicit;scs_a_v39_explicit;scs_b_v39_explicit;BBs_v39;ARITH_RULE`3<=3`;LET_DEF;LET_END_DEF;ARITH_RULE`~(5<=3)`;IN;mk_unadorned_v39;]
6561 THEN STRIP_TAC;
6562 ASM_REWRITE_TAC[IMAGE;SUBSET;IN_ELIM_THM]
6563 THEN REPEAT STRIP_TAC
6564 THEN ASM_REWRITE_TAC[]
6565 THEN MRESAL_TAC DIVISION[`x':num`;`5`][ARITH_RULE`~(5=0)`]
6566 THEN MP_TAC(ARITH_RULE`x' MOD 5<5 ==> x' MOD 5 = 0 \/ x' MOD 5 = 1 \/ x' MOD 5 = 2 \/ x' MOD 5 = 3\/ x' MOD 5 = 4`)
6567 THEN RESA_TAC
6568 THENL[
6569 VV_IN_BALL_ANNULUS_TAC_5 `5`;
6570 VV_IN_BALL_ANNULUS_TAC_5 `1`;
6571 VV_IN_BALL_ANNULUS_TAC_5 `2`;
6572 VV_IN_BALL_ANNULUS_TAC_5 `3`;
6573 VV_IN_BALL_ANNULUS_TAC_5 `4`];
6574 STRIP_TAC;
6575 ASM_REWRITE_TAC[periodic]
6576 THEN GEN_TAC
6577 THEN MRESAL_TAC MOD_EQ[`i+5:num`;`i:num`;`5:num`;`1`][ARITH_RULE`1*A=A`];
6578 STRIP_TAC;
6579 REWRITE_TAC[dist]
6580 THEN REPEAT GEN_TAC
6581 THEN SUBGOAL_THEN`!i. (vv:num->real^3) i= vv (i MOD 5)` ASSUME_TAC;
6582 POP_ASSUM(fun th-> ONCE_REWRITE_TAC[th])
6583 THEN GEN_TAC
6584 THEN MRESAL_TAC MOD_MOD_REFL[`i:num`;`5`][ARITH_RULE`~(5=0)`];
6585 POP_ASSUM MP_TAC
6586 THEN POP_ASSUM MP_TAC
6587 THEN MRESAL_TAC DIVISION[`i:num`;`5`][ARITH_RULE`~(5=0)`]
6588 THEN MRESAL_TAC DIVISION[`j:num`;`5`][ARITH_RULE`~(5=0)`]
6589 THEN MP_TAC(ARITH_RULE`(i MOD 5<5)==> (i MOD 5=0) \/ (i MOD 5=1) \/ (i MOD 5=2)\/ (i MOD 5=3) \/ (i MOD 5=4)`)
6590 THEN RESA_TAC
6591 THENL[
6592 PROVE_INEQUALITY_TAC_5 `5`;
6593 PROVE_INEQUALITY_TAC_5 `1`;
6594 PROVE_INEQUALITY_TAC_5 `2`;
6595 PROVE_INEQUALITY_TAC_5 `3`;
6596 PROVE_INEQUALITY_TAC_5 `4`];
6597
6598 POP_ASSUM MP_TAC
6599 THEN ASM_REWRITE_TAC[ARITH_RULE`~(5<=3)`]
6600 THEN STRIP_TAC
6601 THEN SUBGOAL_THEN`V_SY (v:real^3^M) = IMAGE vv (:num)`ASSUME_TAC;
6602 ASM_REWRITE_TAC[V_SY;rows;IMAGE;EXTENSION;IN_ELIM_THM]
6603 THEN GEN_TAC
6604 THEN EQ_TAC;
6605 ASM_REWRITE_TAC[ARITH_RULE`(1 <= i /\ i <= 5)<=> i= 1\/ i=2 \/ i=3 \/ i=4\/ i=5`]
6606 THEN STRIP_TAC
6607 THENL[
6608 V_SY_EQ_IMAGE_VV_TAC5 `1`;
6609 V_SY_EQ_IMAGE_VV_TAC5 `2`;
6610 V_SY_EQ_IMAGE_VV_TAC5 `3`;
6611 V_SY_EQ_IMAGE_VV_TAC5 `4`;
6612 V_SY_EQ_IMAGE_VV_TAC5 `5`];
6613
6614
6615 RESA_TAC
6616 THEN MRESAL_TAC DIVISION[`x':num`;`5`][ARITH_RULE`~(5=0)`]
6617 THEN MP_TAC(ARITH_RULE`(x' MOD 5<5)==> (x' MOD 5=0) \/ (x' MOD 5=1) \/ (x' MOD 5=2)\/ (x' MOD 5=3)\/ (x' MOD 5=4)`)
6618 THEN RESA_TAC
6619 THENL[
6620 PROVE_E_SY_EQ_MOD_TAC_5 `5`;
6621 PROVE_E_SY_EQ_MOD_TAC_5 `1`;
6622 PROVE_E_SY_EQ_MOD_TAC_5 `2`;
6623 PROVE_E_SY_EQ_MOD_TAC_5 `3`;
6624 PROVE_E_SY_EQ_MOD_TAC_5 `4`];
6625 SUBGOAL_THEN`E_SY (v:real^3^M) = IMAGE (\i. {vv i, vv (SUC i)}) (:num)`ASSUME_TAC;
6626 ASM_REWRITE_TAC[E_SY;rows;IMAGE;]
6627 THEN ONCE_REWRITE_TAC[EXTENSION;]
6628 THEN ASM_REWRITE_TAC[IN_ELIM_THM]
6629 THEN GEN_TAC
6630 THEN EQ_TAC;
6631
6632
6633 ASM_REWRITE_TAC[ARITH_RULE`(1 <= i /\ i <= 5)<=> i= 1\/ i=2 \/ i=3 \/ i=4\/ i=5`]
6634 THEN RESA_TAC
6635 THENL[
6636 PROOF_E_EQ_TAC_5`1`;
6637 PROOF_E_EQ_TAC_5`2`;
6638 PROOF_E_EQ_TAC_5`3`;
6639 PROOF_E_EQ_TAC_5`4`;
6640 PROOF_E_EQ_TAC_5`5`];
6641
6642
6643 RESA_TAC
6644 THEN MRESAL_TAC DIVISION[`x':num`;`5`][ARITH_RULE`~(5=0)`]
6645 THEN MP_TAC(ARITH_RULE`(x' MOD 5<5)==> (x' MOD 5=0) \/ (x' MOD 5=1) \/ (x' MOD 5=2)\/ (x' MOD 5=3) \/ (x' MOD 5=4)`)
6646 THEN RESA_TAC
6647 THENL[
6648 PROVE_E_SY_EQ_IMAGE_VV_5 `5`;
6649 PROVE_E_SY_EQ_IMAGE_VV_5 `1`;
6650 PROVE_E_SY_EQ_IMAGE_VV_5 `2`;
6651 PROVE_E_SY_EQ_IMAGE_VV_5 `3`;
6652 PROVE_E_SY_EQ_IMAGE_VV_5 `4`];
6653
6654 SUBGOAL_THEN`F_SY (v:real^3^M) = IMAGE (\i. (vv i, vv (SUC i))) (:num)`ASSUME_TAC;
6655 ASM_REWRITE_TAC[F_SY;rows;IMAGE;]
6656 THEN ONCE_REWRITE_TAC[EXTENSION;]
6657 THEN ASM_REWRITE_TAC[IN_ELIM_THM]
6658 THEN GEN_TAC
6659 THEN EQ_TAC;
6660
6661 ASM_REWRITE_TAC[ARITH_RULE`(1 <= i /\ i <= 5)<=> i= 1\/ i=2 \/ i=3 \/ i=4\/ i=5`]
6662 THEN RESA_TAC
6663 THENL[
6664 PROOF_E_EQ_TAC_5`1`;
6665 PROOF_E_EQ_TAC_5`2`;
6666 PROOF_E_EQ_TAC_5`3`;
6667 PROOF_E_EQ_TAC_5`4`;
6668 PROOF_E_EQ_TAC_5`5`];
6669
6670
6671 RESA_TAC
6672 THEN MRESAL_TAC DIVISION[`x':num`;`5`][ARITH_RULE`~(5=0)`]
6673 THEN MP_TAC(ARITH_RULE`(x' MOD 5<5)==> (x' MOD 5=0) \/ (x' MOD 5=1) \/ (x' MOD 5=2)\/ (x' MOD 5=3) \/ (x' MOD 5=4)`)
6674 THEN RESA_TAC
6675 THENL[
6676 PROVE_E_SY_EQ_IMAGE_VV_5 `5`;
6677 PROVE_E_SY_EQ_IMAGE_VV_5 `1`;
6678 PROVE_E_SY_EQ_IMAGE_VV_5 `2`;
6679 PROVE_E_SY_EQ_IMAGE_VV_5 `3`;
6680 PROVE_E_SY_EQ_IMAGE_VV_5 `4`];
6681
6682
6683
6684 POP_ASSUM (fun th-> REWRITE_TAC[SYM th])
6685 THEN POP_ASSUM (fun th-> REWRITE_TAC[SYM th])
6686 THEN POP_ASSUM (fun th-> REWRITE_TAC[SYM th])
6687 THEN ASM_REWRITE_TAC[];
6688
6689 ]);;
6690   (* }}} *)
6691
6692
6693
6694
6695
6696
6697 let XWITCCN_CASE_5_pro_cs=prove_by_refinement(
6698 `(let upperbd = &6 in
6699   let a_pro = (\k p a1 a2 i j. (if (i MOD k = j MOD k) then &0
6700                                 else (if {i MOD k,j MOD k}={0,1} then p
6701                                       else (if (j MOD k = SUC i MOD k) \/ (SUC j MOD k = i MOD k) then a1 else a2)))) in
6702          mk_unadorned_v39 5 (#0.616) (a_pro 5 (&2 * h0) (&2) (&2 * h0)) (a_pro 5 sqrt8 (&2 * h0) upperbd))=s
6703  /\ vv IN BBs_v39 s /\
6704   taustar_v39 s vv < &0
6705 /\ scs_k_v39 s= dimindex(:M)
6706  ==> ~(BBprime_v39 s = {})`,
6707   (* {{{ proof *)
6708 [
6709 REPEAT GEN_TAC
6710 THEN STRIP_TAC
6711 THEN MP_TAC SCS_5_pro_cs_IS_TRI_STABLE
6712 THEN RESA_TAC
6713 THEN MP_TAC NOT_EMPTY_CASE_5_pro_cs
6714 THEN RESA_TAC
6715 THEN REWRITE_TAC[SET_RULE`~(A={})<=> ?a. a IN A`]
6716 THEN ABBREV_TAC`s1 =stable_sy((scs_k_v39 s),(scs_d_v39 s),(0..scs_k_v39 s - 1),
6717          (change_type_v3 (scs_a_v39 s)),
6718          (change_type_v3 (scs_b_v39 s)),
6719          (change_type_v2 (scs_J_v39 s)(scs_k_v39 s)),
6720          (\i. (1 + i) MOD scs_k_v39 s))`
6721 THEN MRESA_TAC stable_sy_explicit[`(scs_k_v39 s)`;`(scs_d_v39 s)`;`(0..scs_k_v39 s - 1)`;`
6722          (change_type_v3 (scs_a_v39 s))`;`
6723          (change_type_v3 (scs_b_v39 s))`;`
6724          (change_type_v2 (scs_J_v39 s)(scs_k_v39 s))`;`
6725          (\i. (1 + i) MOD scs_k_v39 s)`]
6726 THEN SUBGOAL_THEN`scs_k_v39 s =5` ASSUME_TAC;
6727
6728 EXPAND_TAC"s"
6729 THEN REWRITE_TAC[scs_k_v39_explicit;scs_d_v39_explicit;scs_a_v39_explicit;scs_b_v39_explicit;BBs_v39;ARITH_RULE`3<=3`;LET_DEF;LET_END_DEF;ARITH_RULE`~(5<=3)`;IN;mk_unadorned_v39;];
6730
6731 POP_ASSUM (fun th->
6732 REPLICATE_TAC 11 (POP_ASSUM MP_TAC)
6733 THEN REWRITE_TAC[th]
6734 THEN STRIP_TAC
6735 THEN POP_ASSUM(fun th1-> ASSUME_TAC(SYM th1))
6736 THEN ASSUME_TAC th
6737 THEN REPEAT RESA_TAC)
6738 THEN MRESAL_TAC (GEN_ALL HDPLYGY)[`(scs_k_v39 s)`;`s1:stable_sy`][k_sy;B_SY1;ARITH_RULE`2<5`;]
6739 THEN POP_ASSUM (fun th->
6740 POP_ASSUM MP_TAC
6741 THEN ASM_REWRITE_TAC[IN_ELIM_THM]
6742 THEN STRIP_TAC
6743 THEN ASSUME_TAC th)
6744 THEN REWRITE_TAC[BBprime_v39;IN]
6745 THEN ABBREV_TAC`( vv1 i =
6746 if i MOD scs_k_v39 s = 0 then row 5 v else
6747 if i MOD scs_k_v39 s = 1 then row 1 v else
6748 if i MOD scs_k_v39 s = 2 then row 2 v else
6749 if i MOD scs_k_v39 s = 3 then row 3 v else
6750 row 4 (v:real^3^M))`
6751 THEN EXISTS_TAC`vv1:num->real^3`
6752 THEN STRIP_TAC;
6753
6754 ONCE_REWRITE_TAC[GSYM IN]
6755 THEN MATCH_MP_TAC (GEN_ALL IN_NOT_EMPTY_B1_SY_5_pro_cs)
6756 THEN EXISTS_TAC`x:real^(M,3)finite_product`
6757 THEN EXISTS_TAC`v:real^3^M`
6758 THEN ASM_REWRITE_TAC[]
6759 THEN POP_ASSUM MP_TAC
6760 THEN RESA_TAC;
6761
6762 SUBGOAL_THEN`vector [ vv1 1; vv1 2; (vv1:num->real^3) 3;vv1 4;vv1 0] = v:real^3^M`
6763 ASSUME_TAC;
6764
6765 POP_ASSUM(fun th-> REWRITE_TAC[GSYM th])
6766 THEN ASM_REWRITE_TAC[ARITH_RULE`1 MOD 5=1/\ 2 MOD 5=2/\ 3 MOD 5=3/\ 0 MOD 5=0 /\ ~(1=0)/\ ~(2=0)/\ ~(3=0)/\ ~(2=1)/\ ~(3=1)/\ ~(3=2) /\ ~(4=0) /\ ~(4=1) /\ ~(4=2) /\ ~(4=3)/\ 4 MOD 5=4`;]
6767 THEN ONCE_REWRITE_TAC[CART_EQ]
6768 THEN ASM_REWRITE_TAC[ARITH_RULE`1<=i/\ i<=5 <=>i=1\/ i=2\/ i=3\/ i=4\/ i=5`]
6769 THEN REPEAT RESA_TAC
6770 THEN
6771 ASM_SIMP_TAC[row;vector; LAMBDA_BETA; DIMINDEX_3; LENGTH; ARITH] THEN
6772 REWRITE_TAC[num_CONV `4`;num_CONV `3`;num_CONV `2`; num_CONV `1`; EL; HD; TL;]
6773 THEN ASM_SIMP_TAC[CART_EQ; DIMINDEX_3; FORALL_3; VEC_COMPONENT; VECTOR_3; ARITH;row;LAMBDA_BETA];
6774
6775 STRIP_TAC;
6776
6777 GEN_TAC
6778 THEN GEN_REWRITE_TAC(LAND_CONV o ONCE_DEPTH_CONV)[GSYM IN]
6779 THEN REPEAT STRIP_TAC
6780 THEN MRESA_TAC (GEN_ALL IN_NOT_EMPTY_B1_SY_5_pro_cs)
6781 [`x:real^(M,3)finite_product`;`v:real^3^M`;`vv1:num->real^3`;`s:scs_v39`]
6782 THEN MRESA_TAC ( GEN_ALL TAUSTAR_EQ_TAU_STAR_5_pro_cs)[`v:real^3^M`;`s:scs_v39`;`vv1:num->real^3`;`s1:stable_sy`;`x:real^(M,3)finite_product`]
6783 THEN MRESA_TAC ( GEN_ALL TAUSTAR_EQ_TAU_STAR_5_pro_cs)
6784 [`vector [ww 1; ww 2; ww 3; ww 4; ww 0]:real^3^M`;`s:scs_v39`;`ww:num->real^3`;`s1:stable_sy`;`matvec(vector [ww 1; ww 2; ww 3; ww 4; ww 0]:real^3^M):real^(M,3)finite_product`;]
6785 THEN MRESA_TAC (GEN_ALL IN_NOT_EMPTY_CASE_5_pro_cs)[`ww:num->real^3`;`vector [ww 1; ww 2; ww 3; ww 4; ww 0]:real^3^M`;`matvec(vector [ww 1; ww 2; ww 3;  ww 4;ww 0]:real^3^M):real^(M,3)finite_product`;`s:scs_v39`;]
6786 THEN REPLICATE_TAC 7 (POP_ASSUM MP_TAC)
6787 THEN POP_ASSUM(fun th-> REPEAT STRIP_TAC
6788 THEN MRESA1_TAC th `matvec(vector [ww 1; ww 2; ww 3;  ww 4;ww 0]:real^3^M):real^(M,3)finite_product`);
6789
6790 MRESA_TAC (GEN_ALL IN_NOT_EMPTY_B1_SY_5_pro_cs)
6791 [`x:real^(M,3)finite_product`;`v:real^3^M`;`vv1:num->real^3`;`s:scs_v39`]
6792 THEN MRESA_TAC ( GEN_ALL TAUSTAR_EQ_TAU_STAR_5_pro_cs)[`v:real^3^M`;`s:scs_v39`;`vv1:num->real^3`;`s1:stable_sy`;`x:real^(M,3)finite_product`]
6793 THEN MRESA_TAC ( GEN_ALL TAUSTAR_EQ_TAU_STAR_5_pro_cs)
6794 [`vector [vv 1; vv 2; vv 3; vv 4;vv 0]:real^3^M`;`s:scs_v39`;`vv:num->real^3`;`s1:stable_sy`;`matvec(vector [vv 1; vv 2; vv 3; vv 4; vv 0]:real^3^M):real^(M,3)finite_product`;]
6795 THEN REPLICATE_TAC 23 (POP_ASSUM MP_TAC)
6796 THEN POP_ASSUM (fun th-> REPEAT STRIP_TAC THEN MP_TAC th)
6797 THEN MRESA_TAC (GEN_ALL IN_NOT_EMPTY_CASE_5_pro_cs)[`vv:num->real^3`;`vector [vv 1; vv 2; vv 3; vv 4; vv 0]:real^3^M`;`matvec(vector [vv 1; vv 2; vv 3; vv 4; vv 0]:real^3^M):real^(M,3)finite_product`;`s:scs_v39`;]
6798 THEN REPLICATE_TAC 6 (POP_ASSUM MP_TAC)
6799 THEN POP_ASSUM(fun th-> REPEAT STRIP_TAC
6800 THEN MRESA1_TAC th `matvec(vector [vv 1; vv 2; vv 3; vv 4; vv 0]:real^3^M):real^(M,3)finite_product`)
6801 THEN POP_ASSUM MP_TAC
6802 THEN POP_ASSUM MP_TAC
6803 THEN REAL_ARITH_TAC;
6804 ]);;
6805   (* }}} *)
6806
6807
6808
6809
6810 let V_E_FF_CASE_4_3=prove_by_refinement(
6811 `(s=let upperbd = &6 in
6812   let a_pro = (\k p a1 a2 i j. (if (i MOD k = j MOD k) then &0
6813                                 else (if {i MOD k,j MOD k}={0,1} then p
6814                                       else (if (j MOD k = SUC i MOD k) \/ (SUC j MOD k = i MOD k) then a1 else a2)))) in
6815          mk_unadorned_v39 4 (#0.467) (cs_adj 4 (&2) (&3)) (cs_adj 4 (&2 * h0) upperbd))
6816 /\ vv IN BBs_v39 s
6817 /\ scs_k_v39 s= dimindex(:M)
6818 /\ vector[(vv:num->real^3) 1;(vv:num->real^3) 2;(vv:num->real^3) 3;(vv:num->real^3) 0]:real^3^M= v
6819 /\ matvec (v:real^3^M) =a
6820 ==>
6821 V_SY (v:real^3^M)=IMAGE vv (:num)/\
6822   E_SY (v:real^3^M)=IMAGE (\i. {vv i, vv (SUC i)}) (:num)/\
6823 F_SY (v:real^3^M)=IMAGE (\i. vv i,vv (SUC i)) (:num)`,
6824   (* {{{ proof *)
6825 [
6826
6827 STRIP_TAC
6828 THEN REPLICATE_TAC 4 (POP_ASSUM MP_TAC)
6829 THEN ASM_REWRITE_TAC[scs_k_v39_explicit;scs_a_v39_explicit;scs_b_v39_explicit;BBs_v39;ARITH_RULE`3<=3`;LET_DEF;LET_END_DEF;ARITH_RULE`~(4<=3)`;IN;mk_unadorned_v39]
6830 THEN REPEAT STRIP_TAC;
6831
6832 REWRITE_TAC[V_SY;rows]
6833 THEN REPLICATE_TAC 2 (POP_ASSUM MP_TAC)
6834 THEN POP_ASSUM(fun th-> REWRITE_TAC[SYM th;ARITH_RULE`(1<= i /\ i<= 4)<=> (i=1\/ i=2\/ i=3 \/ i=4)`] THEN ASSUME_TAC (SYM th))
6835 THEN STRIP_TAC
6836 THEN STRIP_TAC
6837 THEN ASM_REWRITE_TAC[IMAGE;EXTENSION;IN_ELIM_THM]
6838 THEN GEN_TAC
6839 THEN EQ_TAC;
6840
6841 REPEAT STRIP_TAC
6842 THENL[
6843 PROVE_EQ_V_SY_TAC_4 `1`;
6844 PROVE_EQ_V_SY_TAC_4 `2`;
6845 PROVE_EQ_V_SY_TAC_4 `3`;
6846 PROVE_EQ_V_SY_TAC_4 `0`];
6847
6848 REPEAT STRIP_TAC
6849 THEN REWRITE_TAC[ARITH_RULE` (i=1\/ i=2\/ i=3 \/ i=4)<=> (1<= i /\ i<= 4)`]
6850 THEN MRESAL_TAC(GEN_ALL PERIODIC_PROPERTY)[`4`;`vv:num-> real^3`][ARITH_RULE`~(4=0)`]
6851 THEN POP_ASSUM (fun th-> MRESA1_TAC th`x':num`)
6852 THEN POP_ASSUM (fun th-> ONCE_REWRITE_TAC[SYM th])
6853 THEN MRESAL_TAC DIVISION[`x':num`;`4`][ARITH_RULE`~(4=0)`]
6854 THEN MP_TAC(ARITH_RULE`x' MOD 4 < 4==>  x' MOD 4 =0 \/ x' MOD 4 = 1\/ x' MOD 4 = 2 \/ x' MOD 4 =3`)
6855 THEN RESA_TAC
6856 THENL[
6857 PROVE_V_SY_EQ_TAC `4`;
6858 PROVE_V_SY_EQ_TAC `1`;
6859 PROVE_V_SY_EQ_TAC `2`;
6860 PROVE_V_SY_EQ_TAC `3`];
6861
6862 REWRITE_TAC[E_SY;rows]
6863 THEN REPLICATE_TAC 2 (POP_ASSUM MP_TAC)
6864 THEN POP_ASSUM(fun th-> REWRITE_TAC[SYM th;ARITH_RULE`(1<= i /\ i<= 4)<=> (i=1\/ i=2\/ i=3 \/ i=4)`] THEN ASSUME_TAC (SYM th))
6865 THEN REPEAT STRIP_TAC
6866 THEN ASM_REWRITE_TAC[IMAGE;EXTENSION;IN_ELIM_THM]
6867 THEN GEN_TAC
6868 THEN ONCE_REWRITE_TAC[GSYM EXTENSION]
6869 THEN EQ_TAC;
6870
6871 STRIP_TAC
6872 THEN ASM_REWRITE_TAC[]
6873 THENL[
6874 PROVE_E_SY_EQ_TAC `1`;
6875 PROVE_E_SY_EQ_TAC `2`;
6876 EXISTS_TAC `3`
6877 THEN MRESAL_TAC VECTOR_3_4[`(vv:num->real^3) 1`;`(vv:num->real^3) 2`;`(vv:num->real^3) 3`;`(vv:num->real^3) 0`;][ARITH_RULE`1<=4/\ 2<=4/\ 3<=4/\ 4<=4/\ 4 MOD 4= 0 /\ 1 MOD 4= 1 /\ 2 MOD 4= 2/\ 3 MOD 4= 3/\ ~(2=1)
6878 /\ SUC 4 MOD 4= 1 /\ SUC 1 MOD 4= 2 /\ SUC 2 MOD 4= 3/\ SUC 3 MOD 4= 0/\ ~(3=1)/\ ~(1=0)/\ SUC 1=2/\ SUC 0=1 /\ SUC 2= 3/\ SUC 3=4`]
6879 THEN MRESAL_TAC(GEN_ALL PERIODIC_PROPERTY)[`4`;`vv:num-> real^3`][ARITH_RULE`~(4=0)`]
6880 THEN POP_ASSUM(fun th-> MRESAL1_TAC th`SUC 3`[ARITH_RULE`SUC 3 MOD 4=0/\ SUC 3=4`])
6881 THEN POP_ASSUM(fun th-> REWRITE_TAC[SYM th])
6882 THEN SET_TAC[];
6883 PROVE_E_SY_EQ_TAC `0`];
6884
6885 STRIP_TAC
6886 THEN REWRITE_TAC[ARITH_RULE` (i=1\/ i=2\/ i=3 \/ i=4)<=> (1<= i /\ i<= 4)`]
6887 THEN MRESAL_TAC(GEN_ALL PERIODIC_PROPERTY)[`4`;`vv:num-> real^3`][ARITH_RULE`~(4=0)`]
6888 THEN POP_ASSUM (fun th-> MRESA1_TAC th`x':num` THEN MRESA1_TAC th`SUC x':num`)
6889 THEN POP_ASSUM (fun th-> ONCE_REWRITE_TAC[SYM th])
6890 THEN POP_ASSUM (fun th-> ONCE_REWRITE_TAC[SYM th])
6891 THEN MRESAL_TAC DIVISION[`x':num`;`4`][ARITH_RULE`~(4=0)`]
6892 THEN MP_TAC(ARITH_RULE`x' MOD 4 < 4==>  x' MOD 4 =0 \/ x' MOD 4 = 1\/ x' MOD 4 = 2 \/ x' MOD 4 =3`)
6893 THEN RESA_TAC
6894 THENL[
6895 PROOF_E_EQ_IMAGE_4 `4`;
6896 PROOF_E_EQ_IMAGE_4 `1`;
6897 PROOF_E_EQ_IMAGE_4 `2`;
6898 PROOF_E_EQ_IMAGE_4 `3`];
6899
6900 REWRITE_TAC[F_SY;rows]
6901 THEN REPLICATE_TAC 2 (POP_ASSUM MP_TAC)
6902 THEN POP_ASSUM(fun th-> REWRITE_TAC[SYM th;ARITH_RULE`(1<= i /\ i<= 4)<=> (i=1\/ i=2\/ i=3 \/ i=4)`] THEN ASSUME_TAC (SYM th))
6903 THEN REPEAT STRIP_TAC
6904 THEN ASM_REWRITE_TAC[IMAGE;EXTENSION;IN_ELIM_THM]
6905 THEN GEN_TAC
6906 THEN ONCE_REWRITE_TAC[GSYM EXTENSION]
6907 THEN EQ_TAC;
6908
6909 STRIP_TAC
6910 THEN ASM_REWRITE_TAC[]
6911 THENL[
6912 PROVE_E_SY_EQ_TAC `1`;
6913 PROVE_E_SY_EQ_TAC `2`;
6914 EXISTS_TAC `3`
6915 THEN MRESAL_TAC VECTOR_3_4[`(vv:num->real^3) 1`;`(vv:num->real^3) 2`;`(vv:num->real^3) 3`;`(vv:num->real^3) 0`;][ARITH_RULE`1<=4/\ 2<=4/\ 3<=4/\ 4<=4/\ 4 MOD 4= 0 /\ 1 MOD 4= 1 /\ 2 MOD 4= 2/\ 3 MOD 4= 3/\ ~(2=1)
6916 /\ SUC 4 MOD 4= 1 /\ SUC 1 MOD 4= 2 /\ SUC 2 MOD 4= 3/\ SUC 3 MOD 4= 0/\ ~(3=1)/\ ~(1=0)/\ SUC 1=2/\ SUC 0=1 /\ SUC 2= 3/\ SUC 3=4`]
6917 THEN MRESAL_TAC(GEN_ALL PERIODIC_PROPERTY)[`4`;`vv:num-> real^3`][ARITH_RULE`~(4=0)`]
6918 THEN POP_ASSUM(fun th-> MRESAL1_TAC th`SUC 3`[ARITH_RULE`SUC 3 MOD 4=0/\ SUC 3=4`])
6919 THEN POP_ASSUM(fun th-> REWRITE_TAC[SYM th])
6920 THEN SET_TAC[];
6921 PROVE_E_SY_EQ_TAC `0`];
6922
6923 STRIP_TAC
6924 THEN REWRITE_TAC[ARITH_RULE` (i=1\/ i=2\/ i=3 \/ i=4)<=> (1<= i /\ i<= 4)`]
6925 THEN MRESAL_TAC(GEN_ALL PERIODIC_PROPERTY)[`4`;`vv:num-> real^3`][ARITH_RULE`~(4=0)`]
6926 THEN POP_ASSUM (fun th-> MRESA1_TAC th`x':num` THEN MRESA1_TAC th`SUC x':num`)
6927 THEN POP_ASSUM (fun th-> ONCE_REWRITE_TAC[SYM th])
6928 THEN POP_ASSUM (fun th-> ONCE_REWRITE_TAC[SYM th])
6929 THEN MRESAL_TAC DIVISION[`x':num`;`4`][ARITH_RULE`~(4=0)`]
6930 THEN MP_TAC(ARITH_RULE`x' MOD 4 < 4==>  x' MOD 4 =0 \/ x' MOD 4 = 1\/ x' MOD 4 = 2 \/ x' MOD 4 =3`)
6931 THEN RESA_TAC
6932 THENL[
6933 PROOF_E_EQ_IMAGE_4 `4`;
6934 PROOF_E_EQ_IMAGE_4 `1`;
6935 PROOF_E_EQ_IMAGE_4 `2`;
6936 PROOF_E_EQ_IMAGE_4 `3`];
6937 ]);;
6938   (* }}} *)
6939
6940
6941
6942
6943 let IN_NOT_EMPTY_CASE_4_3=prove_by_refinement(
6944 `(s=let upperbd = &6 in
6945   let a_pro = (\k p a1 a2 i j. (if (i MOD k = j MOD k) then &0
6946                                 else (if {i MOD k,j MOD k}={0,1} then p
6947                                       else (if (j MOD k = SUC i MOD k) \/ (SUC j MOD k = i MOD k) then a1 else a2)))) in
6948          mk_unadorned_v39 4 (#0.467) (cs_adj 4 (&2) (&3)) (cs_adj 4 (&2 * h0) upperbd))
6949 /\ vv IN BBs_v39 s
6950 /\ scs_k_v39 s= dimindex(:M)
6951 /\ vector[(vv:num->real^3) 1;(vv:num->real^3) 2;(vv:num->real^3) 3;(vv:num->real^3) 0]:real^3^M= v
6952 /\ matvec (v:real^3^M) =a
6953 ==>
6954 a IN {matvec(v:real^3^M) | (!i. 1<=i /\  i <= dimindex(:M)==> row i v IN ball_annulus) /\  CONDITION1_SY (change_type_v3 (scs_a_v39 s)) (change_type_v3 (scs_b_v39 s)) v /\ CONDITION2_SY v }`,
6955   (* {{{ proof *)
6956 [
6957
6958 REWRITE_TAC[SET_RULE`~(A={})<=> (?a. a IN A)`;IN_ELIM_THM;CONDITION1_SY;CONDITION2_SY]
6959 THEN REPEAT STRIP_TAC
6960 THEN POP_ASSUM MP_TAC
6961 THEN POP_ASSUM MP_TAC
6962 THEN POP_ASSUM MP_TAC
6963 THEN POP_ASSUM MP_TAC
6964 THEN ASM_REWRITE_TAC[scs_k_v39_explicit;scs_a_v39_explicit;scs_b_v39_explicit;LET_DEF;LET_END_DEF;BBs_v39;ARITH_RULE`~(4<=3)`;mk_unadorned_v39;CS_ADJ]
6965 THEN GEN_REWRITE_TAC(LAND_CONV  o DEPTH_CONV)[IN]
6966 THEN ASM_REWRITE_TAC[scs_k_v39_explicit;scs_a_v39_explicit;scs_b_v39_explicit;BBs_v39;ARITH_RULE`3<=3`;LET_DEF;LET_END_DEF;ARITH_RULE`~(4<=3)`]
6967 THEN REPEAT STRIP_TAC
6968 THEN ASM_REWRITE_TAC[]
6969 THEN EXISTS_TAC`v:real^3^M`
6970 THEN STRIP_TAC;
6971
6972 STRIP_TAC;
6973
6974 REPLICATE_TAC 2 (POP_ASSUM MP_TAC)
6975 THEN POP_ASSUM(fun th-> REWRITE_TAC[SYM th;ARITH_RULE`(1<= i /\ i<= 4)<=> (i=1\/ i=2\/ i=3 \/ i=4)`] THEN ASSUME_TAC (SYM th))
6976 THEN REPEAT STRIP_TAC
6977 THENL[
6978 IN_BALL_ANNULUS_ROW_TAC_4 `1`;
6979 IN_BALL_ANNULUS_ROW_TAC_4 `2`;
6980 IN_BALL_ANNULUS_ROW_TAC_4 `3`;
6981 IN_BALL_ANNULUS_ROW_TAC_4 `0`];
6982
6983 STRIP_TAC;
6984
6985 REPLICATE_TAC 2 (POP_ASSUM MP_TAC)
6986 THEN POP_ASSUM(fun th-> REWRITE_TAC[SYM th;ARITH_RULE`(1<= i /\ i<= 4)<=> (i=1\/ i=2\/ i=3 \/ i=4)`] THEN ASSUME_TAC (SYM th))
6987 THEN REPEAT DISCH_TAC
6988 THEN REPEAT GEN_TAC
6989 THEN STRIP_TAC
6990 THENL[
6991 INEQUALITY_PROOF_TAC4 `1`;
6992 INEQUALITY_PROOF_TAC4 `2`;
6993 INEQUALITY_PROOF_TAC4 `3`;
6994 INEQUALITY_PROOF_TAC4 `0`];
6995
6996 MP_TAC V_E_FF_CASE_4_3
6997 THEN ASM_REWRITE_TAC[scs_k_v39_explicit;scs_d_v39_explicit;scs_a_v39_explicit;scs_b_v39_explicit;BBs_v39;ARITH_RULE`3<=3`;LET_DEF;LET_END_DEF;ARITH_RULE`~(4<=3)`;IN;mk_unadorned_v39;CS_ADJ]
6998 THEN POP_ASSUM MP_TAC
6999 THEN POP_ASSUM MP_TAC
7000 THEN POP_ASSUM(fun th-> ASM_REWRITE_TAC[SYM th])
7001 THEN REPEAT RESA_TAC;
7002
7003 ASM_REWRITE_TAC[];
7004 ]);;
7005   (* }}} *)
7006
7007
7008
7009
7010
7011
7012
7013
7014
7015
7016
7017
7018
7019
7020
7021
7022
7023 let NOT_EMPTY_CASE_4_3=prove_by_refinement(
7024 `(s=let upperbd = &6 in
7025   let a_pro = (\k p a1 a2 i j. (if (i MOD k = j MOD k) then &0
7026                                 else (if {i MOD k,j MOD k}={0,1} then p
7027                                       else (if (j MOD k = SUC i MOD k) \/ (SUC j MOD k = i MOD k) then a1 else a2)))) in
7028          mk_unadorned_v39 4 (#0.467) (cs_adj 4 (&2) (&3)) (cs_adj 4 (&2 * h0) upperbd))
7029 /\ vv IN BBs_v39 s
7030 /\ scs_k_v39 s= dimindex(:M)
7031 ==>
7032 ~({matvec(v:real^3^M) | (!i. 1<=i /\  i <= dimindex(:M)==> row i v IN ball_annulus) /\  CONDITION1_SY (change_type_v3 (scs_a_v39 s)) (change_type_v3 (scs_b_v39 s)) v /\ CONDITION2_SY v }={})`
7033 ,
7034   (* {{{ proof *)
7035 [
7036 REWRITE_TAC[SET_RULE`~(A={})<=> (?a. a IN A)`;]
7037 THEN STRIP_TAC
7038 THEN ABBREV_TAC`v=vector[(vv:num->real^3) 1;(vv:num->real^3) 2;(vv:num->real^3) 3;(vv:num->real^3) 0]:real^3^M`
7039 THEN ABBREV_TAC`a=matvec (v:real^3^M) `
7040 THEN EXISTS_TAC`a:real^(M,3)finite_product`
7041 THEN MATCH_MP_TAC IN_NOT_EMPTY_CASE_4_3
7042 THEN ASM_REWRITE_TAC[]
7043 ]);;
7044   (* }}} *)
7045
7046
7047 let TAUSTAR_EQ_TAU_STAR_4_3=prove_by_refinement(
7048 `(let upperbd = &6 in
7049   let a_pro = (\k p a1 a2 i j. (if (i MOD k = j MOD k) then &0
7050                                 else (if {i MOD k,j MOD k}={0,1} then p
7051                                       else (if (j MOD k = SUC i MOD k) \/ (SUC j MOD k = i MOD k) then a1 else a2)))) in
7052          mk_unadorned_v39 4 (#0.467) (cs_adj 4 (&2) (&3)) (cs_adj 4 (&2 * h0) upperbd))=s
7053 /\ vv IN BBs_v39 s
7054 /\ scs_k_v39 s= dimindex(:M)
7055 /\ vector[(vv:num->real^3) 1;(vv:num->real^3) 2;(vv:num->real^3) 3;(vv:num->real^3) 0]:real^3^M= v
7056 /\ matvec (v:real^3^M) =a
7057 /\ stable_sy((scs_k_v39 s),(scs_d_v39 s),(0..scs_k_v39 s - 1),
7058          (change_type_v3 (scs_a_v39 s)),
7059          (change_type_v3 (scs_b_v39 s)),
7060          (change_type_v2 (scs_J_v39 s)(scs_k_v39 s)),
7061          (\i. (1 + i) MOD scs_k_v39 s))=s1
7062 ==>  taustar_v39 s vv = tau_star s1 a`
7063 ,
7064   (* {{{ proof *)
7065 [
7066 REPEAT STRIP_TAC
7067 THEN MP_TAC V_E_FF_CASE_4_3
7068 THEN RESA_TAC
7069 THEN SUBGOAL_THEN`scs_k_v39 s =4` ASSUME_TAC;
7070
7071 EXPAND_TAC"s"
7072 THEN REWRITE_TAC[scs_k_v39_explicit;scs_d_v39_explicit;scs_a_v39_explicit;scs_b_v39_explicit;BBs_v39;ARITH_RULE`3<=3`;LET_DEF;LET_END_DEF;ARITH_RULE`~(4<=3)`;IN;mk_unadorned_v39;];
7073
7074 POP_ASSUM MP_TAC
7075 THEN RESA_TAC
7076 THEN ASM_REWRITE_TAC[taustar_v39;tau_star]
7077 THEN ASM_REWRITE_TAC[scs_k_v39_explicit;scs_d_v39_explicit;scs_a_v39_explicit;scs_b_v39_explicit;BBs_v39;ARITH_RULE`3<=3`;LET_DEF;LET_END_DEF;ARITH_RULE`~(4<=3)`;IN;mk_unadorned_v39;]
7078 THEN ASM_SIMP_TAC[dsv_J_empty]
7079 THEN MP_TAC SCS_4_3_IS_TRI_STABLE
7080 THEN ASM_REWRITE_TAC[LET_DEF;LET_END_DEF]
7081 THEN STRIP_TAC
7082 THEN MRESAL_TAC stable_sy_explicit[`(scs_k_v39 s)`;`(scs_d_v39 s)`;`(0..scs_k_v39 s - 1)`;`
7083          (change_type_v3 (scs_a_v39 s))`;`
7084          (change_type_v3 (scs_b_v39 s))`;`
7085          (change_type_v2 (scs_J_v39 s)(scs_k_v39 s))`;`
7086          (\i. (1 + i) MOD scs_k_v39 s)`][LET_DEF;LET_END_DEF;d_fun]
7087 THEN SUBGOAL_THEN`J1_SY (s1:stable_sy)={}` ASSUME_TAC;
7088
7089 ASM_REWRITE_TAC[J1_SY;]
7090 THEN EXPAND_TAC"s"
7091 THEN REWRITE_TAC[scs_J_v39_explicit;LET_DEF;LET_END_DEF;mk_unadorned_v39;change_type_v2;SET_RULE`a IN  {{i, j} | F}<=> F`]
7092 THEN SET_TAC[];
7093
7094 ASM_REWRITE_TAC[SUM_CLAUSES;REAL_ARITH`a* &0= &0 /\a + &0=a`]
7095 THEN EXPAND_TAC"a"
7096 THEN REWRITE_TAC[MATVEC_VECMATS_ID;VECMATS_MATVEC_ID]
7097 THEN ASM_REWRITE_TAC[REAL_ARITH`A-B=A-C<=>B=C`]
7098 THEN MATCH_MP_TAC dsv_J_empty
7099 THEN EXPAND_TAC"s"
7100 THEN REWRITE_TAC[scs_J_v39_explicit;LET_DEF;LET_END_DEF;mk_unadorned_v39;change_type_v2;SET_RULE`a IN  {{i, j} | F}<=> F`]
7101 ]);;
7102   (* }}} *)
7103
7104
7105
7106
7107
7108
7109
7110
7111
7112
7113
7114
7115
7116
7117
7118
7119
7120 let VV_IN_BALL_ANNULUS_TAC_4=
7121 fun (so:term)->
7122 REPLICATE_TAC 8 (POP_ASSUM MP_TAC)
7123 THEN POP_ASSUM(fun th-> MRESAL1_TAC th so [ARITH_RULE`1<=1 /\ 1<=2 /\1<=3 /\ 1<= 4/\ 1<=4 /\ 2<=4/\ 3<=4/\ 4<=4/\ ~(1=0)/\ ~(2=0) /\ ~(3=0)/\ ~(2=1)/\ ~(3=1)/\ ~(3=2) `] )
7124 ;;
7125
7126
7127
7128
7129
7130
7131
7132 let SCS_A_B__EQ_MOD_4_3=prove(
7133 `s=(let upperbd = &6 in
7134   let a_pro = (\k p a1 a2 i j. (if (i MOD k = j MOD k) then &0
7135                                 else (if {i MOD k,j MOD k}={0,1} then p
7136                                       else (if (j MOD k = SUC i MOD k) \/ (SUC j MOD k = i MOD k) then a1 else a2)))) in
7137          mk_unadorned_v39 4 (#0.467) (cs_adj 4 (&2) (&3)) (cs_adj 4 (&2 * h0) upperbd))
7138 ==>
7139 !i j. scs_a_v39 s i j = scs_a_v39 s (i MOD 4) (j MOD 4)/\
7140  scs_b_v39 s i j = scs_b_v39 s (i MOD 4) (j MOD 4)`,
7141 REPEAT STRIP_TAC
7142 THEN ASM_REWRITE_TAC[scs_k_v39_explicit;scs_d_v39_explicit;scs_a_v39_explicit;scs_b_v39_explicit;BBs_v39;ARITH_RULE`3<=3`;LET_DEF;LET_END_DEF;ARITH_RULE`~(4<=3)`;IN;mk_unadorned_v39;CS_ADJ]
7143 THEN MRESAL_TAC MOD_MOD_REFL[`i:num`;`4`][ARITH_RULE`~(4=0)`]
7144 THEN MRESAL_TAC MOD_MOD_REFL[`j:num`;`4`][ARITH_RULE`~(4=0)`]
7145 THEN MRESAL_TAC MOD_ADD_MOD[`j:num`;`1:num`;`4`][ARITH_RULE`~(4=0) /\ 1 MOD 4=1`;ADD1]
7146 THEN MRESAL_TAC MOD_ADD_MOD[`i:num`;`1:num`;`4`][ARITH_RULE`~(4=0) /\ 1 MOD 4=1`;ADD1]);;
7147
7148
7149
7150
7151
7152 let PROVE_INEQUALITY_TAC_40=
7153 fun (so:term) (so1:term)->
7154 REPLICATE_TAC 7(POP_ASSUM MP_TAC)
7155 THEN POP_ASSUM(fun th-> MRESAL_TAC th[so;so1][ARITH_RULE`1<=4 /\ 4<=4/\ 1<=1 /\ 1<=4/\ 1<=2 /\ 2<=4/\1<=3 /\ 3<=4`])
7156 THEN POP_ASSUM( fun th->
7157 POP_ASSUM( fun th1->
7158 REPEAT DISCH_TAC
7159 THEN MP_TAC th THEN MP_TAC th1
7160 THEN POP_ASSUM(fun th2-> ONCE_REWRITE_TAC[th2]
7161 THEN POP_ASSUM(fun th3-> MRESAL1_TAC th3`4`[ARITH_RULE`4 MOD 4=0`]
7162 THEN MRESAL1_TAC th3`1`[ARITH_RULE`1 MOD 4=1/\ ~(1=0)`]
7163 THEN MRESAL1_TAC th3`2`[ARITH_RULE`2 MOD 4=2/\ ~(2=0)/\ ~(2=1)`]
7164 THEN MRESAL1_TAC th3`3`[ARITH_RULE`3 MOD 4=3/\ ~(3=0)/\ ~(3=1)/\ ~(3=2)`])
7165 THEN MRESAL1_TAC th2`4`[ARITH_RULE`4 MOD 4=0`])
7166 ))
7167 THEN MP_TAC SCS_A_B__EQ_MOD_4_3
7168 THEN ASM_REWRITE_TAC[]
7169 THEN STRIP_TAC
7170 THEN POP_ASSUM(fun th-> ONCE_REWRITE_TAC[th])
7171 THEN ASM_REWRITE_TAC[ARITH_RULE`4 MOD 4=0/\ 1 MOD 4=1/\ 2 MOD 4=2 /\ 3 MOD 4=3`]
7172 THEN RESA_TAC
7173 THEN RESA_TAC
7174 ;;
7175
7176
7177 let PROVE_INEQUALITY_TAC_4=
7178 fun (th:term)->
7179 MP_TAC(ARITH_RULE`(j MOD 4<4)==> (j MOD 4=0) \/ (j MOD 4=1) \/ (j MOD 4=2)\/ (j MOD 4=3)`)
7180 THEN RESA_TAC
7181 THENL[
7182 PROVE_INEQUALITY_TAC_40  th `4`;
7183 PROVE_INEQUALITY_TAC_40 th `1`;
7184 PROVE_INEQUALITY_TAC_40  th `2`;
7185 PROVE_INEQUALITY_TAC_40  th `3`];;
7186
7187
7188
7189 let V_SY_EQ_IMAGE_VV_TAC4=
7190 fun (th:term)->
7191 ASM_REWRITE_TAC[]
7192 THEN EXISTS_TAC th
7193 THEN ASM_REWRITE_TAC[SET_RULE`(a:num)IN (:num)`;ARITH_RULE`1 MOD 4=1 /\ ~(1=0) /\ 2 MOD 4=2 /\ ~(2=0)/\ ~(2=1)/\ 3 MOD 4=3 /\ ~(3=0)/\ ~(3=1)/\ ~(3=2)/\ 4 MOD 4=0`];;
7194
7195
7196
7197 let PROVE_E_SY_EQ_MOD_TAC_4=
7198 fun (th:term)->
7199 EXISTS_TAC th
7200 THEN ASM_REWRITE_TAC[ARITH_RULE`~(3=0)/\ ~(3=1)/\ ~(3=2)/\ ~(2=0)/\ ~(2=1)/\ ~(1=0)`]
7201 THEN ARITH_TAC;;
7202
7203
7204
7205 let PROVE_E_SY_EQ_IMAGE_VV_4=
7206 fun (so:term)->
7207 EXISTS_TAC so
7208 THEN ASM_REWRITE_TAC[ARITH_RULE`~(1=0)`]
7209 THEN MRESAL_TAC MOD_ADD_MOD[`x':num`;`1:num`;`4`][ARITH_RULE`~(4=0) /\ 1 MOD 4=1/\ 1<=4/\ 4<=4/\ 0+1=1`;ADD1]
7210 THEN POP_ASSUM(fun th-> REWRITE_TAC[SYM th;ARITH_RULE`~(1=0)/\ 4 MOD 4=0/\ 0+1=1/\ 1<=1 /\ 1+1=2/\ 2 MOD 4=2/\ ~(2=0)/\ ~(2=1)/\ 2+1=3/\ 3 MOD 4=3
7211 /\ ~(3=0)/\ ~(3=1)/\ ~(3=2)/\1<=2/\ 2<=4
7212 /\ 1<=3/\ 3<=4/\ 3+1=4`])
7213 ;;
7214
7215
7216
7217 let PROOF_E_EQ_TAC_4=
7218 fun (th:term)->
7219 EXISTS_TAC th
7220 THEN ASM_REWRITE_TAC[ARITH_RULE`~(1=0)/\ 1 MOD 4=1/\ SUC 1=2/\ 2 MOD 4=2/\ ~(2=0)/\ ~(2=1)/\ SUC 2=3 /\ 3 MOD 4=3/\ ~(3=0) /\ ~(3=1)/\ ~(3=2)/\ SUC 3=4/\  4 MOD 4=0/\ SUC 0=1 /\ SUC 4=5/\  5 MOD 4=1`;SET_RULE`(a:num) IN (:num)`]
7221 ;;
7222
7223
7224
7225 let  IN_NOT_EMPTY_B1_SY_4_3=prove_by_refinement(
7226 `(let upperbd = &6 in
7227   let a_pro = (\k p a1 a2 i j. (if (i MOD k = j MOD k) then &0
7228                                 else (if {i MOD k,j MOD k}={0,1} then p
7229                                       else (if (j MOD k = SUC i MOD k) \/ (SUC j MOD k = i MOD k) then a1 else a2)))) in
7230          mk_unadorned_v39 4 (#0.467) (cs_adj 4 (&2) (&3)) (cs_adj 4 (&2 * h0) upperbd))=s/\
7231  scs_k_v39 s= dimindex(:M)/\
7232  matvec (v:real^3^M) =a/\
7233 (!i. 1<=i /\  i <= dimindex(:M)==> row i v IN ball_annulus) /\
7234  CONDITION1_SY (change_type_v3 (scs_a_v39 s)) (change_type_v3 (scs_b_v39 s)) v /\
7235  CONDITION2_SY v
7236 /\ (!i. vv i =
7237 if i MOD scs_k_v39 s = 0 then row 4 v else
7238 if i MOD scs_k_v39 s = 1 then row 1 v else
7239 if i MOD scs_k_v39 s = 2 then row 2 v else
7240 row 3 v)
7241 ==> vv IN BBs_v39 s`,
7242   (* {{{ proof *)
7243 [
7244 REWRITE_TAC[CONDITION1_SY;CONDITION2_SY;change_type_v3]
7245 THEN REPEAT STRIP_TAC
7246 THEN SUBGOAL_THEN`scs_k_v39 s =4` ASSUME_TAC;
7247
7248
7249 EXPAND_TAC"s"
7250 THEN REWRITE_TAC[scs_k_v39_explicit;scs_d_v39_explicit;scs_a_v39_explicit;scs_b_v39_explicit;BBs_v39;ARITH_RULE`3<=3`;LET_DEF;LET_END_DEF;ARITH_RULE`~(4<=3)`;IN;mk_unadorned_v39;];
7251
7252 POP_ASSUM (fun th->
7253 REPLICATE_TAC 5 (POP_ASSUM MP_TAC)
7254 THEN POP_ASSUM(fun th1-> ASSUME_TAC(SYM th1))
7255 THEN ASSUME_TAC th
7256 THEN REPEAT STRIP_TAC)
7257 THEN POP_ASSUM MP_TAC
7258 THEN ASM_REWRITE_TAC[th;IN]
7259 THEN STRIP_TAC
7260 THEN REWRITE_TAC[scs_k_v39_explicit;scs_d_v39_explicit;scs_a_v39_explicit;scs_b_v39_explicit;BBs_v39;ARITH_RULE`3<=3`;LET_DEF;LET_END_DEF;ARITH_RULE`~(4<=3)`;IN;mk_unadorned_v39;]
7261 THEN STRIP_TAC;
7262
7263 ASM_REWRITE_TAC[IMAGE;SUBSET;IN_ELIM_THM]
7264 THEN REPEAT STRIP_TAC
7265 THEN ASM_REWRITE_TAC[]
7266 THEN MRESAL_TAC DIVISION[`x':num`;`4`][ARITH_RULE`~(4=0)`]
7267 THEN MP_TAC(ARITH_RULE`x' MOD 4<4 ==> x' MOD 4 = 0 \/ x' MOD 4 = 1 \/ x' MOD 4 = 2 \/ x' MOD 4 = 3`)
7268 THEN RESA_TAC
7269 THENL[
7270 VV_IN_BALL_ANNULUS_TAC_4 `4`;
7271 VV_IN_BALL_ANNULUS_TAC_4 `1`;
7272 VV_IN_BALL_ANNULUS_TAC_4 `2`;
7273 VV_IN_BALL_ANNULUS_TAC_4 `3`];
7274
7275
7276 STRIP_TAC;
7277
7278 ASM_REWRITE_TAC[periodic]
7279 THEN GEN_TAC
7280 THEN MRESAL_TAC MOD_EQ[`i+4:num`;`i:num`;`4:num`;`1`][ARITH_RULE`1*A=A`];
7281
7282 STRIP_TAC;
7283
7284 REWRITE_TAC[dist]
7285 THEN REPEAT GEN_TAC
7286 THEN SUBGOAL_THEN`!i. (vv:num->real^3) i= vv (i MOD 4)` ASSUME_TAC;
7287
7288 POP_ASSUM(fun th-> ONCE_REWRITE_TAC[th])
7289 THEN GEN_TAC
7290 THEN MRESAL_TAC MOD_MOD_REFL[`i:num`;`4`][ARITH_RULE`~(4=0)`];
7291
7292
7293 POP_ASSUM MP_TAC
7294 THEN POP_ASSUM MP_TAC
7295 THEN MRESAL_TAC DIVISION[`i:num`;`4`][ARITH_RULE`~(4=0)`]
7296 THEN MRESAL_TAC DIVISION[`j:num`;`4`][ARITH_RULE`~(4=0)`]
7297 THEN MP_TAC(ARITH_RULE`(i MOD 4<4)==> (i MOD 4=0) \/ (i MOD 4=1) \/ (i MOD 4=2)\/ (i MOD 4=3)`)
7298 THEN RESA_TAC
7299 THENL[
7300 PROVE_INEQUALITY_TAC_4 `4`;
7301 PROVE_INEQUALITY_TAC_4 `1`;
7302 PROVE_INEQUALITY_TAC_4 `2`;
7303 PROVE_INEQUALITY_TAC_4 `3`];
7304
7305 POP_ASSUM MP_TAC
7306 THEN ASM_REWRITE_TAC[ARITH_RULE`~(4<=3)`]
7307 THEN STRIP_TAC
7308 THEN SUBGOAL_THEN`V_SY (v:real^3^M) = IMAGE vv (:num)`ASSUME_TAC;
7309
7310
7311 ASM_REWRITE_TAC[V_SY;rows;IMAGE;EXTENSION;IN_ELIM_THM]
7312 THEN GEN_TAC
7313 THEN EQ_TAC;
7314
7315 ASM_REWRITE_TAC[ARITH_RULE`(1 <= i /\ i <= 4)<=> i= 1\/ i=2 \/ i=3 \/ i=4`]
7316 THEN STRIP_TAC
7317 THENL[
7318 V_SY_EQ_IMAGE_VV_TAC4 `1`;
7319 V_SY_EQ_IMAGE_VV_TAC4 `2`;
7320 V_SY_EQ_IMAGE_VV_TAC4 `3`;
7321 V_SY_EQ_IMAGE_VV_TAC4 `4`];
7322
7323 RESA_TAC
7324 THEN MRESAL_TAC DIVISION[`x':num`;`4`][ARITH_RULE`~(4=0)`]
7325 THEN MP_TAC(ARITH_RULE`(x' MOD 4<4)==> (x' MOD 4=0) \/ (x' MOD 4=1) \/ (x' MOD 4=2)\/ (x' MOD 4=3)`)
7326 THEN RESA_TAC
7327 THENL[
7328 PROVE_E_SY_EQ_MOD_TAC_4 `4`;
7329 PROVE_E_SY_EQ_MOD_TAC_4 `1`;
7330 PROVE_E_SY_EQ_MOD_TAC_4 `2`;
7331 PROVE_E_SY_EQ_MOD_TAC_4 `3`];
7332
7333
7334
7335
7336 SUBGOAL_THEN`E_SY (v:real^3^M) = IMAGE (\i. {vv i, vv (SUC i)}) (:num)`ASSUME_TAC;
7337
7338
7339 ASM_REWRITE_TAC[E_SY;rows;IMAGE;]
7340 THEN ONCE_REWRITE_TAC[EXTENSION;]
7341 THEN ASM_REWRITE_TAC[IN_ELIM_THM]
7342 THEN GEN_TAC
7343 THEN EQ_TAC;
7344
7345
7346 ASM_REWRITE_TAC[ARITH_RULE`(1 <= i /\ i <= 4)<=> i= 1\/ i=2 \/ i=3 \/ i=4`]
7347 THEN RESA_TAC
7348 THENL[
7349 PROOF_E_EQ_TAC_4`1`;
7350 PROOF_E_EQ_TAC_4`2`;
7351 PROOF_E_EQ_TAC_4`3`;
7352 PROOF_E_EQ_TAC_4`4`];
7353
7354 RESA_TAC
7355 THEN MRESAL_TAC DIVISION[`x':num`;`4`][ARITH_RULE`~(4=0)`]
7356 THEN MP_TAC(ARITH_RULE`(x' MOD 4<4)==> (x' MOD 4=0) \/ (x' MOD 4=1) \/ (x' MOD 4=2)\/ (x' MOD 4=3)`)
7357 THEN RESA_TAC
7358 THENL[
7359 PROVE_E_SY_EQ_IMAGE_VV_4 `4`;
7360 PROVE_E_SY_EQ_IMAGE_VV_4 `1`;
7361 PROVE_E_SY_EQ_IMAGE_VV_4 `2`;
7362 PROVE_E_SY_EQ_IMAGE_VV_4 `3`];
7363
7364 SUBGOAL_THEN`F_SY (v:real^3^M) = IMAGE (\i. (vv i, vv (SUC i))) (:num)`ASSUME_TAC;
7365
7366
7367 ASM_REWRITE_TAC[F_SY;rows;IMAGE;]
7368 THEN ONCE_REWRITE_TAC[EXTENSION;]
7369 THEN ASM_REWRITE_TAC[IN_ELIM_THM]
7370 THEN GEN_TAC
7371 THEN EQ_TAC;
7372
7373 ASM_REWRITE_TAC[ARITH_RULE`(1 <= i /\ i <= 4)<=> i= 1\/ i=2 \/ i=3 \/ i=4`]
7374 THEN RESA_TAC
7375 THENL[
7376 PROOF_E_EQ_TAC_4`1`;
7377 PROOF_E_EQ_TAC_4`2`;
7378 PROOF_E_EQ_TAC_4`3`;
7379 PROOF_E_EQ_TAC_4`4`];
7380
7381 RESA_TAC
7382 THEN MRESAL_TAC DIVISION[`x':num`;`4`][ARITH_RULE`~(4=0)`]
7383 THEN MP_TAC(ARITH_RULE`(x' MOD 4<4)==> (x' MOD 4=0) \/ (x' MOD 4=1) \/ (x' MOD 4=2)\/ (x' MOD 4=3)`)
7384 THEN RESA_TAC
7385 THENL[
7386 PROVE_E_SY_EQ_IMAGE_VV_4 `4`;
7387 PROVE_E_SY_EQ_IMAGE_VV_4 `1`;
7388 PROVE_E_SY_EQ_IMAGE_VV_4 `2`;
7389 PROVE_E_SY_EQ_IMAGE_VV_4 `3`];
7390
7391 POP_ASSUM (fun th-> REWRITE_TAC[SYM th])
7392 THEN POP_ASSUM (fun th-> REWRITE_TAC[SYM th])
7393 THEN POP_ASSUM (fun th-> REWRITE_TAC[SYM th])
7394 THEN ASM_REWRITE_TAC[];
7395 ]);;
7396   (* }}} *)
7397
7398
7399
7400
7401
7402
7403
7404 let XWITCCN_CASE_4_3=prove_by_refinement(
7405 `(let upperbd = &6 in
7406   let a_pro = (\k p a1 a2 i j. (if (i MOD k = j MOD k) then &0
7407                                 else (if {i MOD k,j MOD k}={0,1} then p
7408                                       else (if (j MOD k = SUC i MOD k) \/ (SUC j MOD k = i MOD k) then a1 else a2)))) in
7409          mk_unadorned_v39 4 (#0.467) (cs_adj 4 (&2) (&3)) (cs_adj 4 (&2 * h0) upperbd))=s
7410  /\ vv IN BBs_v39 s /\
7411   taustar_v39 s vv < &0
7412 /\ scs_k_v39 s= dimindex(:M)
7413  ==> ~(BBprime_v39 s = {})`,
7414   (* {{{ proof *)
7415 [
7416 REPEAT GEN_TAC
7417 THEN STRIP_TAC
7418 THEN MP_TAC SCS_4_3_IS_TRI_STABLE
7419 THEN RESA_TAC
7420 THEN MP_TAC NOT_EMPTY_CASE_4_3
7421 THEN RESA_TAC
7422 THEN REWRITE_TAC[SET_RULE`~(A={})<=> ?a. a IN A`]
7423 THEN ABBREV_TAC`s1 =stable_sy((scs_k_v39 s),(scs_d_v39 s),(0..scs_k_v39 s - 1),
7424          (change_type_v3 (scs_a_v39 s)),
7425          (change_type_v3 (scs_b_v39 s)),
7426          (change_type_v2 (scs_J_v39 s)(scs_k_v39 s)),
7427          (\i. (1 + i) MOD scs_k_v39 s))`
7428 THEN MRESA_TAC stable_sy_explicit[`(scs_k_v39 s)`;`(scs_d_v39 s)`;`(0..scs_k_v39 s - 1)`;`
7429          (change_type_v3 (scs_a_v39 s))`;`
7430          (change_type_v3 (scs_b_v39 s))`;`
7431          (change_type_v2 (scs_J_v39 s)(scs_k_v39 s))`;`
7432          (\i. (1 + i) MOD scs_k_v39 s)`]
7433 THEN SUBGOAL_THEN`scs_k_v39 s =4` ASSUME_TAC;
7434
7435 EXPAND_TAC"s"
7436 THEN REWRITE_TAC[scs_k_v39_explicit;scs_d_v39_explicit;scs_a_v39_explicit;scs_b_v39_explicit;BBs_v39;ARITH_RULE`3<=3`;LET_DEF;LET_END_DEF;ARITH_RULE`~(4<=3)`;IN;mk_unadorned_v39;];
7437
7438 POP_ASSUM (fun th->
7439 REPLICATE_TAC 11 (POP_ASSUM MP_TAC)
7440 THEN REWRITE_TAC[th]
7441 THEN STRIP_TAC
7442 THEN POP_ASSUM(fun th1-> ASSUME_TAC(SYM th1))
7443 THEN ASSUME_TAC th
7444 THEN REPEAT RESA_TAC)
7445 THEN MRESAL_TAC (GEN_ALL HDPLYGY)[`(scs_k_v39 s)`;`s1:stable_sy`][k_sy;B_SY1;ARITH_RULE`2<4`;]
7446 THEN POP_ASSUM (fun th->
7447 POP_ASSUM MP_TAC
7448 THEN ASM_REWRITE_TAC[IN_ELIM_THM]
7449 THEN STRIP_TAC
7450 THEN ASSUME_TAC th)
7451 THEN REWRITE_TAC[BBprime_v39;IN]
7452 THEN ABBREV_TAC`( vv1 i =
7453 if i MOD scs_k_v39 s = 0 then row 4 v else
7454 if i MOD scs_k_v39 s = 1 then row 1 v else
7455 if i MOD scs_k_v39 s = 2 then row 2 v else
7456 row 3 (v:real^3^M))`
7457 THEN EXISTS_TAC`vv1:num->real^3`
7458 THEN STRIP_TAC;
7459
7460 ONCE_REWRITE_TAC[GSYM IN]
7461 THEN MATCH_MP_TAC (GEN_ALL IN_NOT_EMPTY_B1_SY_4_3)
7462 THEN EXISTS_TAC`x:real^(M,3)finite_product`
7463 THEN EXISTS_TAC`v:real^3^M`
7464 THEN ASM_REWRITE_TAC[]
7465 THEN POP_ASSUM MP_TAC
7466 THEN RESA_TAC;
7467
7468 SUBGOAL_THEN`vector [ vv1 1; vv1 2; (vv1:num->real^3) 3;vv1 0] = v:real^3^M`
7469 ASSUME_TAC;
7470
7471 POP_ASSUM(fun th-> REWRITE_TAC[GSYM th])
7472 THEN ASM_REWRITE_TAC[ARITH_RULE`1 MOD 4=1/\ 2 MOD 4=2/\ 3 MOD 4=3/\ 0 MOD 4=0 /\ ~(1=0)/\ ~(2=0)/\ ~(3=0)/\ ~(2=1)/\ ~(3=1)/\ ~(3=2)`;]
7473 THEN ONCE_REWRITE_TAC[CART_EQ]
7474 THEN ASM_REWRITE_TAC[ARITH_RULE`1<=i/\ i<=4 <=>i=1\/ i=2\/ i=3\/ i=4`]
7475 THEN REPEAT RESA_TAC
7476 THEN
7477 ASM_SIMP_TAC[row;vector; LAMBDA_BETA; DIMINDEX_3; LENGTH; ARITH] THEN
7478 REWRITE_TAC[num_CONV `3`;num_CONV `2`; num_CONV `1`; EL; HD; TL;]
7479 THEN ASM_SIMP_TAC[CART_EQ; DIMINDEX_3; FORALL_3; VEC_COMPONENT; VECTOR_3; ARITH;row;LAMBDA_BETA];
7480
7481 STRIP_TAC;
7482
7483 GEN_TAC
7484 THEN GEN_REWRITE_TAC(LAND_CONV o ONCE_DEPTH_CONV)[GSYM IN]
7485 THEN REPEAT STRIP_TAC
7486 THEN MRESA_TAC (GEN_ALL IN_NOT_EMPTY_B1_SY_4_3)
7487 [`x:real^(M,3)finite_product`;`v:real^3^M`;`vv1:num->real^3`;`s:scs_v39`]
7488 THEN MRESA_TAC ( GEN_ALL TAUSTAR_EQ_TAU_STAR_4_3)[`v:real^3^M`;`s:scs_v39`;`vv1:num->real^3`;`s1:stable_sy`;`x:real^(M,3)finite_product`]
7489 THEN MRESA_TAC ( GEN_ALL TAUSTAR_EQ_TAU_STAR_4_3)
7490 [`vector [ww 1; ww 2; ww 3; ww 0]:real^3^M`;`s:scs_v39`;`ww:num->real^3`;`s1:stable_sy`;`matvec(vector [ww 1; ww 2; ww 3; ww 0]:real^3^M):real^(M,3)finite_product`;]
7491 THEN MRESA_TAC (GEN_ALL IN_NOT_EMPTY_CASE_4_3)[`ww:num->real^3`;`vector [ww 1; ww 2; ww 3; ww 0]:real^3^M`;`matvec(vector [ww 1; ww 2; ww 3; ww 0]:real^3^M):real^(M,3)finite_product`;`s:scs_v39`;]
7492 THEN REPLICATE_TAC 7 (POP_ASSUM MP_TAC)
7493 THEN POP_ASSUM(fun th-> REPEAT STRIP_TAC
7494 THEN MRESA1_TAC th `matvec(vector [ww 1; ww 2; ww 3; ww 0]:real^3^M):real^(M,3)finite_product`);
7495
7496 MRESA_TAC (GEN_ALL IN_NOT_EMPTY_B1_SY_4_3)
7497 [`x:real^(M,3)finite_product`;`v:real^3^M`;`vv1:num->real^3`;`s:scs_v39`]
7498 THEN MRESA_TAC ( GEN_ALL TAUSTAR_EQ_TAU_STAR_4_3)[`v:real^3^M`;`s:scs_v39`;`vv1:num->real^3`;`s1:stable_sy`;`x:real^(M,3)finite_product`]
7499 THEN MRESA_TAC ( GEN_ALL TAUSTAR_EQ_TAU_STAR_4_3)
7500 [`vector [vv 1; vv 2; vv 3; vv 0]:real^3^M`;`s:scs_v39`;`vv:num->real^3`;`s1:stable_sy`;`matvec(vector [vv 1; vv 2; vv 3; vv 0]:real^3^M):real^(M,3)finite_product`;]
7501 THEN REPLICATE_TAC 23 (POP_ASSUM MP_TAC)
7502 THEN POP_ASSUM (fun th-> REPEAT STRIP_TAC THEN MP_TAC th)
7503 THEN MRESA_TAC (GEN_ALL IN_NOT_EMPTY_CASE_4_3)[`vv:num->real^3`;`vector [vv 1; vv 2; vv 3; vv 0]:real^3^M`;`matvec(vector [vv 1; vv 2; vv 3; vv 0]:real^3^M):real^(M,3)finite_product`;`s:scs_v39`;]
7504 THEN REPLICATE_TAC 6 (POP_ASSUM MP_TAC)
7505 THEN POP_ASSUM(fun th-> REPEAT STRIP_TAC
7506 THEN MRESA1_TAC th `matvec(vector [vv 1; vv 2; vv 3; vv 0]:real^3^M):real^(M,3)finite_product`)
7507 THEN POP_ASSUM MP_TAC
7508 THEN POP_ASSUM MP_TAC
7509 THEN REAL_ARITH_TAC
7510 ]);;
7511   (* }}} *)
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7533
7534
7535 let IN_BALL_ANNULUS_TAC_4=
7536 fun (th:term) ->
7537 ASM_SIMP_TAC[]
7538 THEN MRESAL_TAC VECTOR_3_4[`(vv:num->real^3) 1`;`(vv:num->real^3) 2`;`(vv:num->real^3) 3`;`(vv:num->real^3) 0`][ARITH_RULE`1<= 4 /\ 2<= 4 /\ 3<= 4 /\ 4<= 4`]
7539 THEN MATCH_MP_TAC(SET_RULE`
7540 vv th IN  IMAGE vv (:num) /\ IMAGE vv (:num) SUBSET ball_annulus
7541 ==> vv th IN ball_annulus`)
7542 THEN ASM_REWRITE_TAC[IMAGE;IN_ELIM_THM]
7543 THEN EXISTS_TAC th
7544 THEN REWRITE_TAC[SET_RULE`(a:num) IN (:num)`]
7545 THEN MRESAL_TAC(GEN_ALL PERIODIC_PROPERTY)[`4`;`vv:num-> real^3`][ARITH_RULE`~(4=0)`]
7546 THEN POP_ASSUM (fun th-> MRESAL1_TAC th`4:num`[ARITH_RULE`4 MOD 4=0`])
7547 THEN POP_ASSUM(fun th-> ASM_TAC THEN REWRITE_TAC[th] THEN REPEAT RESA_TAC)
7548 ;;
7549
7550
7551
7552
7553
7554 let INEQUALITY_A_B_TAC_40=
7555 fun (so:term) (so1:term)->
7556 ASM_SIMP_TAC[change_type_v3]
7557 THEN MRESAL_TAC VECTOR_3_4[`(vv:num->real^3) 1`;`(vv:num->real^3) 2`;`(vv:num->real^3) 3`;`(vv:num->real^3) 0`;][ARITH_RULE`1<=4/\ 2<=4/\ 3<=4/\ 4<=4/\ 0 MOD 4= 0 /\ 1 MOD 4= 1 /\ 2 MOD 4= 2/\ 3 MOD 4= 3/\ ~(2=1)
7558 /\ SUC 0 MOD 4= 1 /\ SUC 1 MOD 4= 2 /\ SUC 2 MOD 4= 3/\ SUC 3 MOD 4= 0/\ ~(3=1)/\ ~(1=0)`]
7559 THEN REPLICATE_TAC 12 (POP_ASSUM MP_TAC)
7560 THEN POP_ASSUM(fun th-> MRESAL_TAC th[so;so1][dist;ARITH_RULE`1<=4/\ 2<=4/\ 3<=4/\ 4<=4/\ 0 MOD 4= 0 /\ 1 MOD 4= 1 /\ 2 MOD 4= 2/\ 3 MOD 4= 3/\ ~(2=1)
7561 /\ SUC 0 MOD 4= 1 /\ SUC 1 MOD 4= 2 /\ SUC 2 MOD 4= 3/\ SUC 3 MOD 4= 0 /\ 4 MOD 4 =0/\ SUC 4 MOD 4 =1 /\ ~(2=0)/\ ~(3=0)/\ ~(2=3)/\ ~(3=1)/\ ~(1=0)`;SET_RULE`({A,B}= {C,B})<=> A=C`;SET_RULE`({B,A}= {B,C})<=> A=C`;SET_RULE`({A,B}= {B,C})<=> A=C`;SET_RULE`{A,B}={B,A}`])
7562 THEN MRESAL_TAC(GEN_ALL PERIODIC_PROPERTY)[`4`;`vv:num-> real^3`][ARITH_RULE`~(4=0)`]
7563 THEN POP_ASSUM (fun th-> MRESAL1_TAC th`4:num`[ARITH_RULE`4 MOD 4=0`])
7564 THEN POP_ASSUM(fun th-> ASM_TAC THEN REWRITE_TAC[th] THEN REPEAT RESA_TAC)
7565 ;;
7566
7567
7568 let INEQUALITY_A_B_TAC_4=
7569 fun (th:term)->
7570 MP_TAC(ARITH_RULE`1<= i /\ i<= 4==> i=1\/ i=2\/ i=3\/ i=4`)
7571 THEN RESA_TAC
7572 THENL[
7573 INEQUALITY_A_B_TAC_40 `1` th;
7574 INEQUALITY_A_B_TAC_40 `2` th;
7575 INEQUALITY_A_B_TAC_40 `3` th;
7576 INEQUALITY_A_B_TAC_40 `4` th];;
7577
7578
7579
7580
7581 let EQ_V_SY_TAC_4=
7582 fun (th:term)->
7583 ASM_REWRITE_TAC[]
7584 THEN EXISTS_TAC th
7585 THEN MRESAL_TAC VECTOR_3_4[`(vv:num->real^3) 1`;`(vv:num->real^3) 2`;`(vv:num->real^3) 3`;`(vv:num->real^3) 0`;][ARITH_RULE`1<=4/\ 2<=4/\ 3<=4/\ 4<=4/\ 4 MOD 4= 0 /\ 1 MOD 4= 1 /\ 2 MOD 4= 2/\ 3 MOD 4= 3/\ ~(2=1)
7586 /\ SUC 4 MOD 4= 1 /\ SUC 1 MOD 4= 2 /\ SUC 2 MOD 4= 3/\ SUC 3 MOD 4= 0/\ ~(3=1)/\ ~(1=0)`;SET_RULE`(a:num) IN (:num)`]
7587 ;;
7588
7589
7590 let PROVE_V_SY_EQ_TAC=
7591 fun (th:term)->
7592 EXISTS_TAC th
7593 THEN ASM_REWRITE_TAC[ARITH_RULE`1<= 1 /\ 1<= 4`]
7594 THEN MRESAL_TAC VECTOR_3_4[`(vv:num->real^3) 1`;`(vv:num->real^3) 2`;`(vv:num->real^3) 3`;`(vv:num->real^3) 0`;][ARITH_RULE`1<=4/\ 2<=4/\ 3<=4/\ 4<=4/\ 4 MOD 4= 0 /\ 1 MOD 4= 1 /\ 2 MOD 4= 2/\ 3 MOD 4= 3/\ ~(2=1)
7595 /\ SUC 4 MOD 4= 1 /\ SUC 1 MOD 4= 2 /\ SUC 2 MOD 4= 3/\ SUC 3 MOD 4= 0/\ ~(3=1)/\ ~(1=0)/\ 1<=2 /\ 1<=3`]
7596 ;;
7597
7598
7599
7600
7601 let PROVE_E_SY_EQ_TAC=
7602 fun (th:term)->
7603 EXISTS_TAC th
7604 THEN MRESAL_TAC VECTOR_3_4[`(vv:num->real^3) 1`;`(vv:num->real^3) 2`;`(vv:num->real^3) 3`;`(vv:num->real^3) 0`;][ARITH_RULE`1<=4/\ 2<=4/\ 3<=4/\ 4<=4/\ 4 MOD 4= 0 /\ 1 MOD 4= 1 /\ 2 MOD 4= 2/\ 3 MOD 4= 3/\ ~(2=1)
7605 /\ SUC 4 MOD 4= 1 /\ SUC 1 MOD 4= 2 /\ SUC 2 MOD 4= 3/\ SUC 3 MOD 4= 0/\ ~(3=1)/\ ~(1=0)/\ SUC 1=2/\ SUC 0=1 /\ SUC 2= 3/\ SUC 3=4`;SET_RULE`(a:num) IN (:num)`]
7606 THEN MRESAL_TAC(GEN_ALL PERIODIC_PROPERTY)[`4`;`vv:num-> real^3`][ARITH_RULE`~(4=0)`]
7607 THEN POP_ASSUM(fun th-> MRESAL1_TAC th`SUC 3`[ARITH_RULE`SUC 3 MOD 4=0/\ SUC 3=4`])
7608 THEN POP_ASSUM(fun th-> REWRITE_TAC[SYM th]);;
7609
7610
7611 let PROVE_E_SY_INV_TAC_4=
7612 fun (th:term)->
7613 MRESAL_TAC(GEN_ALL IMP_SUC_MOD_EQ)[`x':num`;th;`4`][ARITH_RULE`~(4=0)/\ 4 MOD 4=0/\ SUC 0  MOD 4=1/\ 1 MOD 4=1 /\ 2 MOD 4=2 /\ 3 MOD 4=3`]
7614 THEN EXISTS_TAC th
7615 THEN MRESAL_TAC VECTOR_3_4[`(vv:num->real^3) 1`;`(vv:num->real^3) 2`;`(vv:num->real^3) 3`;`(vv:num->real^3) 0`;][ARITH_RULE`1<=4/\ 2<=4/\ 3<=4/\ 4<=4/\ 4 MOD 4= 0 /\ 1 MOD 4= 1 /\ 2 MOD 4= 2/\ 3 MOD 4= 3/\ ~(2=1)
7616 /\ SUC 4 MOD 4= 1 /\ SUC 1 MOD 4= 2 /\ SUC 2 MOD 4= 3/\ SUC 3 MOD 4= 0/\ ~(3=1)/\ ~(1=0)/\ SUC 1=2/\ SUC 0=1 /\ SUC 2= 3/\ SUC 3=4/\ 1<=1 /\ 1<=2 /\ 1<=3`];;
7617
7618
7619
7620
7621 let V_E_FF_CASE_4_sqrt8=prove_by_refinement(
7622 `(s=let upperbd = &6 in
7623   let a_pro = (\k p a1 a2 i j. (if (i MOD k = j MOD k) then &0
7624                                 else (if {i MOD k,j MOD k}={0,1} then p
7625                                       else (if (j MOD k = SUC i MOD k) \/ (SUC j MOD k = i MOD k) then a1 else a2)))) in
7626          mk_unadorned_v39 4 (#0.477) (a_pro 4 (&2 * h0) (&2) sqrt8) (a_pro 4 sqrt8 (&2 * h0) upperbd))
7627 /\ vv IN BBs_v39 s
7628 /\ scs_k_v39 s= dimindex(:M)
7629 /\ vector[(vv:num->real^3) 1;(vv:num->real^3) 2;(vv:num->real^3) 3;(vv:num->real^3) 0]:real^3^M= v
7630 /\ matvec (v:real^3^M) =a
7631 ==>
7632 V_SY (v:real^3^M)=IMAGE vv (:num)/\
7633   E_SY (v:real^3^M)=IMAGE (\i. {vv i, vv (SUC i)}) (:num)/\
7634 F_SY (v:real^3^M)=IMAGE (\i. vv i,vv (SUC i)) (:num)`,
7635   (* {{{ proof *)
7636 [
7637
7638 STRIP_TAC
7639 THEN REPLICATE_TAC 4 (POP_ASSUM MP_TAC)
7640 THEN ASM_REWRITE_TAC[scs_k_v39_explicit;scs_a_v39_explicit;scs_b_v39_explicit;BBs_v39;ARITH_RULE`3<=3`;LET_DEF;LET_END_DEF;ARITH_RULE`~(4<=3)`;IN;mk_unadorned_v39]
7641 THEN REPEAT STRIP_TAC;
7642
7643
7644 REWRITE_TAC[V_SY;rows]
7645 THEN REPLICATE_TAC 2 (POP_ASSUM MP_TAC)
7646 THEN POP_ASSUM(fun th-> REWRITE_TAC[SYM th;ARITH_RULE`(1<= i /\ i<= 4)<=> (i=1\/ i=2\/ i=3 \/ i=4)`] THEN ASSUME_TAC (SYM th))
7647 THEN STRIP_TAC
7648 THEN STRIP_TAC
7649 THEN ASM_REWRITE_TAC[IMAGE;EXTENSION;IN_ELIM_THM]
7650 THEN GEN_TAC
7651 THEN EQ_TAC;
7652
7653 REPEAT STRIP_TAC
7654 THENL[
7655 EQ_V_SY_TAC_4 `1`;
7656 EQ_V_SY_TAC_4 `2`;
7657 EQ_V_SY_TAC_4 `3`;
7658 EQ_V_SY_TAC_4 `0`];
7659
7660 REPEAT STRIP_TAC
7661 THEN REWRITE_TAC[ARITH_RULE` (i=1\/ i=2\/ i=3 \/ i=4)<=> (1<= i /\ i<= 4)`]
7662 THEN MRESAL_TAC(GEN_ALL PERIODIC_PROPERTY)[`4`;`vv:num-> real^3`][ARITH_RULE`~(4=0)`]
7663 THEN POP_ASSUM (fun th-> MRESA1_TAC th`x':num`)
7664 THEN POP_ASSUM (fun th-> ONCE_REWRITE_TAC[SYM th])
7665 THEN MRESAL_TAC DIVISION[`x':num`;`4`][ARITH_RULE`~(4=0)`]
7666 THEN MP_TAC(ARITH_RULE`x' MOD 4 < 4==>  x' MOD 4 =0 \/ x' MOD 4 = 1\/ x' MOD 4 = 2 \/ x' MOD 4 =3`)
7667 THEN RESA_TAC
7668 THENL[
7669 PROVE_V_SY_EQ_TAC `4`;
7670 PROVE_V_SY_EQ_TAC `1`;
7671 PROVE_V_SY_EQ_TAC `2`;
7672 PROVE_V_SY_EQ_TAC `3`];
7673
7674
7675 REWRITE_TAC[E_SY;rows]
7676 THEN REPLICATE_TAC 2 (POP_ASSUM MP_TAC)
7677 THEN POP_ASSUM(fun th-> REWRITE_TAC[SYM th;ARITH_RULE`(1<= i /\ i<= 4)<=> (i=1\/ i=2\/ i=3 \/ i=4)`] THEN ASSUME_TAC (SYM th))
7678 THEN REPEAT STRIP_TAC
7679 THEN ASM_REWRITE_TAC[IMAGE;EXTENSION;IN_ELIM_THM]
7680 THEN GEN_TAC
7681 THEN ONCE_REWRITE_TAC[GSYM EXTENSION]
7682 THEN EQ_TAC;
7683
7684 STRIP_TAC
7685 THEN ASM_REWRITE_TAC[]
7686 THENL[
7687 PROVE_E_SY_EQ_TAC `1`;
7688 PROVE_E_SY_EQ_TAC `2`;
7689 PROVE_E_SY_EQ_TAC `3`;
7690 PROVE_E_SY_EQ_TAC `0`];
7691
7692 STRIP_TAC
7693 THEN REWRITE_TAC[ARITH_RULE` (i=1\/ i=2\/ i=3 \/ i=4)<=> (1<= i /\ i<= 4)`]
7694 THEN MRESAL_TAC(GEN_ALL PERIODIC_PROPERTY)[`4`;`vv:num-> real^3`][ARITH_RULE`~(4=0)`]
7695 THEN POP_ASSUM (fun th-> MRESA1_TAC th`x':num` THEN MRESA1_TAC th`SUC x':num`)
7696 THEN POP_ASSUM (fun th-> ONCE_REWRITE_TAC[SYM th])
7697 THEN POP_ASSUM (fun th-> ONCE_REWRITE_TAC[SYM th])
7698 THEN MRESAL_TAC DIVISION[`x':num`;`4`][ARITH_RULE`~(4=0)`]
7699 THEN MP_TAC(ARITH_RULE`x' MOD 4 < 4==>  x' MOD 4 =0 \/ x' MOD 4 = 1\/ x' MOD 4 = 2 \/ x' MOD 4 =3`)
7700 THEN RESA_TAC
7701 THENL[
7702 PROVE_E_SY_INV_TAC_4 `4`;
7703 PROVE_E_SY_INV_TAC_4 `1`;
7704 PROVE_E_SY_INV_TAC_4 `2`;
7705 PROVE_E_SY_INV_TAC_4 `3`];
7706
7707 REWRITE_TAC[F_SY;rows]
7708 THEN REPLICATE_TAC 2 (POP_ASSUM MP_TAC)
7709 THEN POP_ASSUM(fun th-> REWRITE_TAC[SYM th;ARITH_RULE`(1<= i /\ i<= 4)<=> (i=1\/ i=2\/ i=3 \/ i=4)`] THEN ASSUME_TAC (SYM th))
7710 THEN REPEAT STRIP_TAC
7711 THEN ASM_REWRITE_TAC[IMAGE;EXTENSION;IN_ELIM_THM]
7712 THEN GEN_TAC
7713 THEN ONCE_REWRITE_TAC[GSYM EXTENSION]
7714 THEN EQ_TAC;
7715
7716 STRIP_TAC
7717 THEN ASM_REWRITE_TAC[]
7718 THENL[
7719 PROVE_E_SY_EQ_TAC `1`;
7720 PROVE_E_SY_EQ_TAC `2`;
7721 PROVE_E_SY_EQ_TAC `3`;
7722 PROVE_E_SY_EQ_TAC `0`];
7723
7724 STRIP_TAC
7725 THEN REWRITE_TAC[ARITH_RULE` (i=1\/ i=2\/ i=3 \/ i=4)<=> (1<= i /\ i<= 4)`]
7726 THEN MRESAL_TAC(GEN_ALL PERIODIC_PROPERTY)[`4`;`vv:num-> real^3`][ARITH_RULE`~(4=0)`]
7727 THEN POP_ASSUM (fun th-> MRESA1_TAC th`x':num` THEN MRESA1_TAC th`SUC x':num`)
7728 THEN POP_ASSUM (fun th-> ONCE_REWRITE_TAC[SYM th])
7729 THEN POP_ASSUM (fun th-> ONCE_REWRITE_TAC[SYM th])
7730 THEN MRESAL_TAC DIVISION[`x':num`;`4`][ARITH_RULE`~(4=0)`]
7731 THEN MP_TAC(ARITH_RULE`x' MOD 4 < 4==>  x' MOD 4 =0 \/ x' MOD 4 = 1\/ x' MOD 4 = 2 \/ x' MOD 4 =3`)
7732 THEN RESA_TAC
7733 THENL[
7734 PROVE_E_SY_INV_TAC_4 `4`;
7735 PROVE_E_SY_INV_TAC_4 `1`;
7736 PROVE_E_SY_INV_TAC_4 `2`;
7737 PROVE_E_SY_INV_TAC_4 `3`];
7738 ]);;
7739   (* }}} *)
7740
7741
7742
7743
7744
7745
7746 let IN_NOT_EMPTY_CASE_4_sqrt8=prove_by_refinement(
7747 `(s=let upperbd = &6 in
7748   let a_pro = (\k p a1 a2 i j. (if (i MOD k = j MOD k) then &0
7749                                 else (if {i MOD k,j MOD k}={0,1} then p
7750                                       else (if (j MOD k = SUC i MOD k) \/ (SUC j MOD k = i MOD k) then a1 else a2)))) in
7751          mk_unadorned_v39 4 (#0.477) (a_pro 4 (&2 * h0) (&2) sqrt8) (a_pro 4 sqrt8 (&2 * h0) upperbd))
7752 /\ vv IN BBs_v39 s
7753 /\ scs_k_v39 s= dimindex(:M)
7754 /\ vector[(vv:num->real^3) 1;(vv:num->real^3) 2;(vv:num->real^3) 3;(vv:num->real^3) 0]:real^3^M= v
7755 /\ matvec (v:real^3^M) =a
7756 ==>
7757 a IN {matvec(v:real^3^M) | (!i. 1<=i /\  i <= dimindex(:M)==> row i v IN ball_annulus) /\  CONDITION1_SY (change_type_v3 (scs_a_v39 s)) (change_type_v3 (scs_b_v39 s)) v /\ CONDITION2_SY v }`,
7758   (* {{{ proof *)
7759 [
7760 REWRITE_TAC[SET_RULE`~(A={})<=> (?a. a IN A)`;IN_ELIM_THM;CONDITION1_SY;CONDITION2_SY]
7761 THEN REPEAT STRIP_TAC
7762 THEN POP_ASSUM MP_TAC
7763 THEN POP_ASSUM MP_TAC
7764 THEN POP_ASSUM MP_TAC
7765 THEN POP_ASSUM MP_TAC
7766 THEN ASM_REWRITE_TAC[scs_k_v39_explicit;scs_a_v39_explicit;scs_b_v39_explicit;LET_DEF;LET_END_DEF;BBs_v39;ARITH_RULE`~(4<=3)`;mk_unadorned_v39;CS_ADJ]
7767 THEN GEN_REWRITE_TAC(LAND_CONV  o DEPTH_CONV)[IN]
7768 THEN ASM_REWRITE_TAC[scs_k_v39_explicit;scs_a_v39_explicit;scs_b_v39_explicit;BBs_v39;ARITH_RULE`3<=3`;LET_DEF;LET_END_DEF;ARITH_RULE`~(4<=3)`]
7769 THEN REPEAT STRIP_TAC
7770 THEN ASM_REWRITE_TAC[]
7771 THEN EXISTS_TAC`v:real^3^M`
7772 THEN STRIP_TAC;
7773
7774 STRIP_TAC;
7775
7776 REPLICATE_TAC 2 (POP_ASSUM MP_TAC)
7777 THEN POP_ASSUM(fun th-> REWRITE_TAC[SYM th;ARITH_RULE`(1<= i /\ i<= 4)<=> (i=1\/ i=2\/ i=3 \/ i=4)`] THEN ASSUME_TAC (SYM th))
7778 THEN REPEAT STRIP_TAC
7779 THENL[
7780 IN_BALL_ANNULUS_TAC_4 `1`;
7781 IN_BALL_ANNULUS_TAC_4 `2`;
7782 IN_BALL_ANNULUS_TAC_4 `3`;
7783 IN_BALL_ANNULUS_TAC_4 `4`];
7784
7785 STRIP_TAC;
7786
7787 REPLICATE_TAC 2 (POP_ASSUM MP_TAC)
7788 THEN POP_ASSUM(fun th-> REWRITE_TAC[SYM th;ARITH_RULE`(1<= i /\ i<= 4)<=> (i=1\/ i=2\/ i=3 \/ i=4)`] THEN ASSUME_TAC (SYM th))
7789 THEN REPEAT DISCH_TAC
7790 THEN REPEAT GEN_TAC
7791 THEN STRIP_TAC
7792 THENL[
7793 INEQUALITY_A_B_TAC_4 `1`;
7794 INEQUALITY_A_B_TAC_4 `2`;
7795 INEQUALITY_A_B_TAC_4 `3`;
7796 INEQUALITY_A_B_TAC_4 `0`];
7797
7798
7799
7800 MP_TAC V_E_FF_CASE_4_sqrt8
7801 THEN ASM_REWRITE_TAC[scs_k_v39_explicit;scs_d_v39_explicit;scs_a_v39_explicit;scs_b_v39_explicit;BBs_v39;ARITH_RULE`3<=3`;LET_DEF;LET_END_DEF;ARITH_RULE`~(4<=3)`;IN;mk_unadorned_v39;CS_ADJ]
7802 THEN POP_ASSUM MP_TAC
7803 THEN POP_ASSUM MP_TAC
7804 THEN POP_ASSUM(fun th-> ASM_REWRITE_TAC[SYM th])
7805 THEN REPEAT RESA_TAC;
7806
7807 ASM_REWRITE_TAC[]
7808 ]);;
7809   (* }}} *)
7810
7811
7812
7813
7814
7815
7816
7817
7818
7819
7820 let NOT_EMPTY_CASE_4_sqrt8=prove_by_refinement(
7821 `(s=let upperbd = &6 in
7822   let a_pro = (\k p a1 a2 i j. (if (i MOD k = j MOD k) then &0
7823                                 else (if {i MOD k,j MOD k}={0,1} then p
7824                                       else (if (j MOD k = SUC i MOD k) \/ (SUC j MOD k = i MOD k) then a1 else a2)))) in
7825          mk_unadorned_v39 4 (#0.477) (a_pro 4 (&2 * h0) (&2) sqrt8) (a_pro 4 sqrt8 (&2 * h0) upperbd))
7826 /\ vv IN BBs_v39 s
7827 /\ scs_k_v39 s= dimindex(:M)
7828 ==>
7829 ~({matvec(v:real^3^M) | (!i. 1<=i /\  i <= dimindex(:M)==> row i v IN ball_annulus) /\  CONDITION1_SY (change_type_v3 (scs_a_v39 s)) (change_type_v3 (scs_b_v39 s)) v /\ CONDITION2_SY v }={})`
7830 ,
7831   (* {{{ proof *)
7832 [
7833 REWRITE_TAC[SET_RULE`~(A={})<=> (?a. a IN A)`;]
7834 THEN STRIP_TAC
7835 THEN ABBREV_TAC`v=vector[(vv:num->real^3) 1;(vv:num->real^3) 2;(vv:num->real^3) 3;(vv:num->real^3) 0]:real^3^M`
7836 THEN ABBREV_TAC`a=matvec (v:real^3^M) `
7837 THEN EXISTS_TAC`a:real^(M,3)finite_product`
7838 THEN MATCH_MP_TAC IN_NOT_EMPTY_CASE_4_sqrt8
7839 THEN ASM_REWRITE_TAC[]
7840 ]);;
7841   (* }}} *)
7842
7843
7844 let TAUSTAR_EQ_TAU_STAR_4_sqrt8=prove_by_refinement(
7845 `(let upperbd = &6 in
7846   let a_pro = (\k p a1 a2 i j. (if (i MOD k = j MOD k) then &0
7847                                 else (if {i MOD k,j MOD k}={0,1} then p
7848                                       else (if (j MOD k = SUC i MOD k) \/ (SUC j MOD k = i MOD k) then a1 else a2)))) in
7849          mk_unadorned_v39 4 (#0.477) (a_pro 4 (&2 * h0) (&2) sqrt8) (a_pro 4 sqrt8 (&2 * h0) upperbd))=s
7850 /\ vv IN BBs_v39 s
7851 /\ scs_k_v39 s= dimindex(:M)
7852 /\ vector[(vv:num->real^3) 1;(vv:num->real^3) 2;(vv:num->real^3) 3;(vv:num->real^3) 0]:real^3^M= v
7853 /\ matvec (v:real^3^M) =a
7854 /\ stable_sy((scs_k_v39 s),(scs_d_v39 s),(0..scs_k_v39 s - 1),
7855          (change_type_v3 (scs_a_v39 s)),
7856          (change_type_v3 (scs_b_v39 s)),
7857          (change_type_v2 (scs_J_v39 s)(scs_k_v39 s)),
7858          (\i. (1 + i) MOD scs_k_v39 s))=s1
7859 ==>  taustar_v39 s vv = tau_star s1 a`,
7860   (* {{{ proof *)
7861 [
7862 REPEAT STRIP_TAC
7863 THEN MP_TAC V_E_FF_CASE_4_sqrt8
7864 THEN RESA_TAC
7865 THEN SUBGOAL_THEN`scs_k_v39 s =4` ASSUME_TAC;
7866
7867 EXPAND_TAC"s"
7868 THEN REWRITE_TAC[scs_k_v39_explicit;scs_d_v39_explicit;scs_a_v39_explicit;scs_b_v39_explicit;BBs_v39;ARITH_RULE`3<=3`;LET_DEF;LET_END_DEF;ARITH_RULE`~(4<=3)`;IN;mk_unadorned_v39;];
7869
7870 POP_ASSUM MP_TAC
7871 THEN RESA_TAC
7872 THEN ASM_REWRITE_TAC[taustar_v39;tau_star]
7873 THEN ASM_REWRITE_TAC[scs_k_v39_explicit;scs_d_v39_explicit;scs_a_v39_explicit;scs_b_v39_explicit;BBs_v39;ARITH_RULE`3<=3`;LET_DEF;LET_END_DEF;ARITH_RULE`~(4<=3)`;IN;mk_unadorned_v39;]
7874 THEN ASM_SIMP_TAC[dsv_J_empty]
7875 THEN MP_TAC SCS_4_sqrt8_IS_TRI_STABLE
7876 THEN ASM_REWRITE_TAC[LET_DEF;LET_END_DEF]
7877 THEN STRIP_TAC
7878 THEN MRESAL_TAC stable_sy_explicit[`(scs_k_v39 s)`;`(scs_d_v39 s)`;`(0..scs_k_v39 s - 1)`;`
7879          (change_type_v3 (scs_a_v39 s))`;`
7880          (change_type_v3 (scs_b_v39 s))`;`
7881          (change_type_v2 (scs_J_v39 s)(scs_k_v39 s))`;`
7882          (\i. (1 + i) MOD scs_k_v39 s)`][LET_DEF;LET_END_DEF;d_fun]
7883 THEN SUBGOAL_THEN`J1_SY (s1:stable_sy)={}` ASSUME_TAC;
7884
7885 ASM_REWRITE_TAC[J1_SY;]
7886 THEN EXPAND_TAC"s"
7887 THEN REWRITE_TAC[scs_J_v39_explicit;LET_DEF;LET_END_DEF;mk_unadorned_v39;change_type_v2;SET_RULE`a IN  {{i, j} | F}<=> F`]
7888 THEN SET_TAC[];
7889
7890 ASM_REWRITE_TAC[SUM_CLAUSES;REAL_ARITH`a* &0= &0 /\a + &0=a`]
7891 THEN EXPAND_TAC"a"
7892 THEN REWRITE_TAC[MATVEC_VECMATS_ID;VECMATS_MATVEC_ID]
7893 THEN ASM_REWRITE_TAC[REAL_ARITH`A-B=A-C<=>B=C`]
7894 THEN MATCH_MP_TAC dsv_J_empty
7895 THEN EXPAND_TAC"s"
7896 THEN REWRITE_TAC[scs_J_v39_explicit;LET_DEF;LET_END_DEF;mk_unadorned_v39;change_type_v2;SET_RULE`a IN  {{i, j} | F}<=> F`]
7897 ]);;
7898   (* }}} *)
7899
7900
7901
7902
7903
7904 let VV_IN_BALL_ANNULUS_TAC_4=
7905 fun (so:term)->
7906 REPLICATE_TAC 8 (POP_ASSUM MP_TAC)
7907 THEN POP_ASSUM(fun th-> MRESAL1_TAC th so [ARITH_RULE`1<=1 /\ 1<=2 /\1<=3 /\ 1<= 4/\ 1<=4 /\ 2<=4/\ 3<=4/\ 4<=4/\ ~(1=0)/\ ~(2=0) /\ ~(3=0)/\ ~(2=1)/\ ~(3=1)/\ ~(3=2) `] )
7908 ;;
7909
7910
7911
7912
7913
7914
7915
7916 let SCS_A_B__EQ_MOD_4_sqrt8=prove(
7917 `s=(let upperbd = &6 in
7918   let a_pro = (\k p a1 a2 i j. (if (i MOD k = j MOD k) then &0
7919                                 else (if {i MOD k,j MOD k}={0,1} then p
7920                                       else (if (j MOD k = SUC i MOD k) \/ (SUC j MOD k = i MOD k) then a1 else a2)))) in
7921          mk_unadorned_v39 4 (#0.477) (a_pro 4 (&2 * h0) (&2) sqrt8) (a_pro 4 sqrt8 (&2 * h0) upperbd))
7922 ==>
7923 !i j. scs_a_v39 s i j = scs_a_v39 s (i MOD 4) (j MOD 4)/\
7924  scs_b_v39 s i j = scs_b_v39 s (i MOD 4) (j MOD 4)`,
7925 REPEAT STRIP_TAC
7926 THEN ASM_REWRITE_TAC[scs_k_v39_explicit;scs_d_v39_explicit;scs_a_v39_explicit;scs_b_v39_explicit;BBs_v39;ARITH_RULE`3<=3`;LET_DEF;LET_END_DEF;ARITH_RULE`~(4<=3)`;IN;mk_unadorned_v39;CS_ADJ]
7927 THEN MRESAL_TAC MOD_MOD_REFL[`i:num`;`4`][ARITH_RULE`~(4=0)`]
7928 THEN MRESAL_TAC MOD_MOD_REFL[`j:num`;`4`][ARITH_RULE`~(4=0)`]
7929 THEN MRESAL_TAC MOD_ADD_MOD[`j:num`;`1:num`;`4`][ARITH_RULE`~(4=0) /\ 1 MOD 4=1`;ADD1]
7930 THEN MRESAL_TAC MOD_ADD_MOD[`i:num`;`1:num`;`4`][ARITH_RULE`~(4=0) /\ 1 MOD 4=1`;ADD1]);;
7931
7932
7933
7934
7935
7936 let PROVE_INEQUALITY_TAC_40=
7937 fun (so:term) (so1:term)->
7938 REPLICATE_TAC 7(POP_ASSUM MP_TAC)
7939 THEN POP_ASSUM(fun th-> MRESAL_TAC th[so;so1][ARITH_RULE`1<=4 /\ 4<=4/\ 1<=1 /\ 1<=4/\ 1<=2 /\ 2<=4/\1<=3 /\ 3<=4`])
7940 THEN POP_ASSUM( fun th->
7941 POP_ASSUM( fun th1->
7942 REPEAT DISCH_TAC
7943 THEN MP_TAC th THEN MP_TAC th1
7944 THEN POP_ASSUM(fun th2-> ONCE_REWRITE_TAC[th2]
7945 THEN POP_ASSUM(fun th3-> MRESAL1_TAC th3`4`[ARITH_RULE`4 MOD 4=0`]
7946 THEN MRESAL1_TAC th3`1`[ARITH_RULE`1 MOD 4=1/\ ~(1=0)`]
7947 THEN MRESAL1_TAC th3`2`[ARITH_RULE`2 MOD 4=2/\ ~(2=0)/\ ~(2=1)`]
7948 THEN MRESAL1_TAC th3`3`[ARITH_RULE`3 MOD 4=3/\ ~(3=0)/\ ~(3=1)/\ ~(3=2)`])
7949 THEN MRESAL1_TAC th2`4`[ARITH_RULE`4 MOD 4=0`])
7950 ))
7951 THEN MP_TAC SCS_A_B__EQ_MOD_4_sqrt8
7952 THEN ASM_REWRITE_TAC[]
7953 THEN STRIP_TAC
7954 THEN POP_ASSUM(fun th-> ONCE_REWRITE_TAC[th])
7955 THEN ASM_REWRITE_TAC[ARITH_RULE`4 MOD 4=0/\ 1 MOD 4=1/\ 2 MOD 4=2 /\ 3 MOD 4=3`]
7956 THEN RESA_TAC
7957 THEN RESA_TAC
7958 ;;
7959
7960
7961 let PROVE_INEQUALITY_TAC_4=
7962 fun (th:term)->
7963 MP_TAC(ARITH_RULE`(j MOD 4<4)==> (j MOD 4=0) \/ (j MOD 4=1) \/ (j MOD 4=2)\/ (j MOD 4=3)`)
7964 THEN RESA_TAC
7965 THENL[
7966 PROVE_INEQUALITY_TAC_40  th `4`;
7967 PROVE_INEQUALITY_TAC_40 th `1`;
7968 PROVE_INEQUALITY_TAC_40  th `2`;
7969 PROVE_INEQUALITY_TAC_40  th `3`];;
7970
7971
7972
7973 let V_SY_EQ_IMAGE_VV_TAC4=
7974 fun (th:term)->
7975 ASM_REWRITE_TAC[]
7976 THEN EXISTS_TAC th
7977 THEN ASM_REWRITE_TAC[SET_RULE`(a:num)IN (:num)`;ARITH_RULE`1 MOD 4=1 /\ ~(1=0) /\ 2 MOD 4=2 /\ ~(2=0)/\ ~(2=1)/\ 3 MOD 4=3 /\ ~(3=0)/\ ~(3=1)/\ ~(3=2)/\ 4 MOD 4=0`];;
7978
7979
7980
7981 let PROVE_E_SY_EQ_MOD_TAC_4=
7982 fun (th:term)->
7983 EXISTS_TAC th
7984 THEN ASM_REWRITE_TAC[ARITH_RULE`~(3=0)/\ ~(3=1)/\ ~(3=2)/\ ~(2=0)/\ ~(2=1)/\ ~(1=0)`]
7985 THEN ARITH_TAC;;
7986
7987
7988
7989 let PROVE_E_SY_EQ_IMAGE_VV_4=
7990 fun (so:term)->
7991 EXISTS_TAC so
7992 THEN ASM_REWRITE_TAC[ARITH_RULE`~(1=0)`]
7993 THEN MRESAL_TAC MOD_ADD_MOD[`x':num`;`1:num`;`4`][ARITH_RULE`~(4=0) /\ 1 MOD 4=1/\ 1<=4/\ 4<=4/\ 0+1=1`;ADD1]
7994 THEN POP_ASSUM(fun th-> REWRITE_TAC[SYM th;ARITH_RULE`~(1=0)/\ 4 MOD 4=0/\ 0+1=1/\ 1<=1 /\ 1+1=2/\ 2 MOD 4=2/\ ~(2=0)/\ ~(2=1)/\ 2+1=3/\ 3 MOD 4=3
7995 /\ ~(3=0)/\ ~(3=1)/\ ~(3=2)/\1<=2/\ 2<=4
7996 /\ 1<=3/\ 3<=4/\ 3+1=4`])
7997 ;;
7998
7999
8000
8001 let PROOF_E_EQ_TAC_4=
8002 fun (th:term)->
8003 EXISTS_TAC th
8004 THEN ASM_REWRITE_TAC[ARITH_RULE`~(1=0)/\ 1 MOD 4=1/\ SUC 1=2/\ 2 MOD 4=2/\ ~(2=0)/\ ~(2=1)/\ SUC 2=3 /\ 3 MOD 4=3/\ ~(3=0) /\ ~(3=1)/\ ~(3=2)/\ SUC 3=4/\  4 MOD 4=0/\ SUC 0=1 /\ SUC 4=5/\  5 MOD 4=1`;SET_RULE`(a:num) IN (:num)`]
8005 ;;
8006
8007
8008
8009 let  IN_NOT_EMPTY_B1_SY_4_sqrt8=prove_by_refinement(
8010 `(let upperbd = &6 in
8011   let a_pro = (\k p a1 a2 i j. (if (i MOD k = j MOD k) then &0
8012                                 else (if {i MOD k,j MOD k}={0,1} then p
8013                                       else (if (j MOD k = SUC i MOD k) \/ (SUC j MOD k = i MOD k) then a1 else a2)))) in
8014          mk_unadorned_v39 4 (#0.477) (a_pro 4 (&2 * h0) (&2) sqrt8) (a_pro 4 sqrt8 (&2 * h0) upperbd))=s/\
8015  scs_k_v39 s= dimindex(:M)/\
8016  matvec (v:real^3^M) =a/\
8017 (!i. 1<=i /\  i <= dimindex(:M)==> row i v IN ball_annulus) /\
8018  CONDITION1_SY (change_type_v3 (scs_a_v39 s)) (change_type_v3 (scs_b_v39 s)) v /\
8019  CONDITION2_SY v
8020 /\ (!i. vv i =
8021 if i MOD scs_k_v39 s = 0 then row 4 v else
8022 if i MOD scs_k_v39 s = 1 then row 1 v else
8023 if i MOD scs_k_v39 s = 2 then row 2 v else
8024 row 3 v)
8025 ==> vv IN BBs_v39 s`,
8026   (* {{{ proof *)
8027 [
8028 REWRITE_TAC[CONDITION1_SY;CONDITION2_SY;change_type_v3]
8029 THEN REPEAT STRIP_TAC
8030 THEN SUBGOAL_THEN`scs_k_v39 s =4` ASSUME_TAC;
8031
8032
8033 EXPAND_TAC"s"
8034 THEN REWRITE_TAC[scs_k_v39_explicit;scs_d_v39_explicit;scs_a_v39_explicit;scs_b_v39_explicit;BBs_v39;ARITH_RULE`3<=3`;LET_DEF;LET_END_DEF;ARITH_RULE`~(4<=3)`;IN;mk_unadorned_v39;];
8035
8036 POP_ASSUM (fun th->
8037 REPLICATE_TAC 5 (POP_ASSUM MP_TAC)
8038 THEN POP_ASSUM(fun th1-> ASSUME_TAC(SYM th1))
8039 THEN ASSUME_TAC th
8040 THEN REPEAT STRIP_TAC)
8041 THEN POP_ASSUM MP_TAC
8042 THEN ASM_REWRITE_TAC[th;IN]
8043 THEN STRIP_TAC
8044 THEN REWRITE_TAC[scs_k_v39_explicit;scs_d_v39_explicit;scs_a_v39_explicit;scs_b_v39_explicit;BBs_v39;ARITH_RULE`3<=3`;LET_DEF;LET_END_DEF;ARITH_RULE`~(4<=3)`;IN;mk_unadorned_v39;]
8045 THEN STRIP_TAC;
8046
8047 ASM_REWRITE_TAC[IMAGE;SUBSET;IN_ELIM_THM]
8048 THEN REPEAT STRIP_TAC
8049 THEN ASM_REWRITE_TAC[]
8050 THEN MRESAL_TAC DIVISION[`x':num`;`4`][ARITH_RULE`~(4=0)`]
8051 THEN MP_TAC(ARITH_RULE`x' MOD 4<4 ==> x' MOD 4 = 0 \/ x' MOD 4 = 1 \/ x' MOD 4 = 2 \/ x' MOD 4 = 3`)
8052 THEN RESA_TAC
8053 THENL[
8054 VV_IN_BALL_ANNULUS_TAC_4 `4`;
8055 VV_IN_BALL_ANNULUS_TAC_4 `1`;
8056 VV_IN_BALL_ANNULUS_TAC_4 `2`;
8057 VV_IN_BALL_ANNULUS_TAC_4 `3`];
8058
8059
8060 STRIP_TAC;
8061
8062 ASM_REWRITE_TAC[periodic]
8063 THEN GEN_TAC
8064 THEN MRESAL_TAC MOD_EQ[`i+4:num`;`i:num`;`4:num`;`1`][ARITH_RULE`1*A=A`];
8065
8066 STRIP_TAC;
8067
8068 REWRITE_TAC[dist]
8069 THEN REPEAT GEN_TAC
8070 THEN SUBGOAL_THEN`!i. (vv:num->real^3) i= vv (i MOD 4)` ASSUME_TAC;
8071
8072 POP_ASSUM(fun th-> ONCE_REWRITE_TAC[th])
8073 THEN GEN_TAC
8074 THEN MRESAL_TAC MOD_MOD_REFL[`i:num`;`4`][ARITH_RULE`~(4=0)`];
8075
8076
8077 POP_ASSUM MP_TAC
8078 THEN POP_ASSUM MP_TAC
8079 THEN MRESAL_TAC DIVISION[`i:num`;`4`][ARITH_RULE`~(4=0)`]
8080 THEN MRESAL_TAC DIVISION[`j:num`;`4`][ARITH_RULE`~(4=0)`]
8081 THEN MP_TAC(ARITH_RULE`(i MOD 4<4)==> (i MOD 4=0) \/ (i MOD 4=1) \/ (i MOD 4=2)\/ (i MOD 4=3)`)
8082 THEN RESA_TAC
8083 THENL[
8084 PROVE_INEQUALITY_TAC_4 `4`;
8085 PROVE_INEQUALITY_TAC_4 `1`;
8086 PROVE_INEQUALITY_TAC_4 `2`;
8087 PROVE_INEQUALITY_TAC_4 `3`];
8088
8089 POP_ASSUM MP_TAC
8090 THEN ASM_REWRITE_TAC[ARITH_RULE`~(4<=3)`]
8091 THEN STRIP_TAC
8092 THEN SUBGOAL_THEN`V_SY (v:real^3^M) = IMAGE vv (:num)`ASSUME_TAC;
8093
8094
8095 ASM_REWRITE_TAC[V_SY;rows;IMAGE;EXTENSION;IN_ELIM_THM]
8096 THEN GEN_TAC
8097 THEN EQ_TAC;
8098
8099 ASM_REWRITE_TAC[ARITH_RULE`(1 <= i /\ i <= 4)<=> i= 1\/ i=2 \/ i=3 \/ i=4`]
8100 THEN STRIP_TAC
8101 THENL[
8102 V_SY_EQ_IMAGE_VV_TAC4 `1`;
8103 V_SY_EQ_IMAGE_VV_TAC4 `2`;
8104 V_SY_EQ_IMAGE_VV_TAC4 `3`;
8105 V_SY_EQ_IMAGE_VV_TAC4 `4`];
8106
8107 RESA_TAC
8108 THEN MRESAL_TAC DIVISION[`x':num`;`4`][ARITH_RULE`~(4=0)`]
8109 THEN MP_TAC(ARITH_RULE`(x' MOD 4<4)==> (x' MOD 4=0) \/ (x' MOD 4=1) \/ (x' MOD 4=2)\/ (x' MOD 4=3)`)
8110 THEN RESA_TAC
8111 THENL[
8112 PROVE_E_SY_EQ_MOD_TAC_4 `4`;
8113 PROVE_E_SY_EQ_MOD_TAC_4 `1`;
8114 PROVE_E_SY_EQ_MOD_TAC_4 `2`;
8115 PROVE_E_SY_EQ_MOD_TAC_4 `3`];
8116
8117
8118
8119
8120 SUBGOAL_THEN`E_SY (v:real^3^M) = IMAGE (\i. {vv i, vv (SUC i)}) (:num)`ASSUME_TAC;
8121
8122
8123 ASM_REWRITE_TAC[E_SY;rows;IMAGE;]
8124 THEN ONCE_REWRITE_TAC[EXTENSION;]
8125 THEN ASM_REWRITE_TAC[IN_ELIM_THM]
8126 THEN GEN_TAC
8127 THEN EQ_TAC;
8128
8129
8130 ASM_REWRITE_TAC[ARITH_RULE`(1 <= i /\ i <= 4)<=> i= 1\/ i=2 \/ i=3 \/ i=4`]
8131 THEN RESA_TAC
8132 THENL[
8133 PROOF_E_EQ_TAC_4`1`;
8134 PROOF_E_EQ_TAC_4`2`;
8135 PROOF_E_EQ_TAC_4`3`;
8136 PROOF_E_EQ_TAC_4`4`];
8137
8138 RESA_TAC
8139 THEN MRESAL_TAC DIVISION[`x':num`;`4`][ARITH_RULE`~(4=0)`]
8140 THEN MP_TAC(ARITH_RULE`(x' MOD 4<4)==> (x' MOD 4=0) \/ (x' MOD 4=1) \/ (x' MOD 4=2)\/ (x' MOD 4=3)`)
8141 THEN RESA_TAC
8142 THENL[
8143 PROVE_E_SY_EQ_IMAGE_VV_4 `4`;
8144 PROVE_E_SY_EQ_IMAGE_VV_4 `1`;
8145 PROVE_E_SY_EQ_IMAGE_VV_4 `2`;
8146 PROVE_E_SY_EQ_IMAGE_VV_4 `3`];
8147
8148 SUBGOAL_THEN`F_SY (v:real^3^M) = IMAGE (\i. (vv i, vv (SUC i))) (:num)`ASSUME_TAC;
8149
8150
8151 ASM_REWRITE_TAC[F_SY;rows;IMAGE;]
8152 THEN ONCE_REWRITE_TAC[EXTENSION;]
8153 THEN ASM_REWRITE_TAC[IN_ELIM_THM]
8154 THEN GEN_TAC
8155 THEN EQ_TAC;
8156
8157 ASM_REWRITE_TAC[ARITH_RULE`(1 <= i /\ i <= 4)<=> i= 1\/ i=2 \/ i=3 \/ i=4`]
8158 THEN RESA_TAC
8159 THENL[
8160 PROOF_E_EQ_TAC_4`1`;
8161 PROOF_E_EQ_TAC_4`2`;
8162 PROOF_E_EQ_TAC_4`3`;
8163 PROOF_E_EQ_TAC_4`4`];
8164
8165 RESA_TAC
8166 THEN MRESAL_TAC DIVISION[`x':num`;`4`][ARITH_RULE`~(4=0)`]
8167 THEN MP_TAC(ARITH_RULE`(x' MOD 4<4)==> (x' MOD 4=0) \/ (x' MOD 4=1) \/ (x' MOD 4=2)\/ (x' MOD 4=3)`)
8168 THEN RESA_TAC
8169 THENL[
8170 PROVE_E_SY_EQ_IMAGE_VV_4 `4`;
8171 PROVE_E_SY_EQ_IMAGE_VV_4 `1`;
8172 PROVE_E_SY_EQ_IMAGE_VV_4 `2`;
8173 PROVE_E_SY_EQ_IMAGE_VV_4 `3`];
8174
8175 POP_ASSUM (fun th-> REWRITE_TAC[SYM th])
8176 THEN POP_ASSUM (fun th-> REWRITE_TAC[SYM th])
8177 THEN POP_ASSUM (fun th-> REWRITE_TAC[SYM th])
8178 THEN ASM_REWRITE_TAC[];
8179 ]);;
8180   (* }}} *)
8181
8182
8183
8184
8185
8186 let XWITCCN_CASE_4_sqrt8=prove_by_refinement(
8187 `(let upperbd = &6 in
8188   let a_pro = (\k p a1 a2 i j. (if (i MOD k = j MOD k) then &0
8189                                 else (if {i MOD k,j MOD k}={0,1} then p
8190                                       else (if (j MOD k = SUC i MOD k) \/ (SUC j MOD k = i MOD k) then a1 else a2)))) in
8191          mk_unadorned_v39 4 (#0.477) (a_pro 4 (&2 * h0) (&2) sqrt8) (a_pro 4 sqrt8 (&2 * h0) upperbd))=s
8192  /\ vv IN BBs_v39 s /\
8193   taustar_v39 s vv < &0
8194 /\ scs_k_v39 s= dimindex(:M)
8195  ==> ~(BBprime_v39 s = {})`,
8196   (* {{{ proof *)
8197 [
8198 REPEAT GEN_TAC
8199 THEN STRIP_TAC
8200 THEN MP_TAC SCS_4_sqrt8_IS_TRI_STABLE
8201 THEN RESA_TAC
8202 THEN MP_TAC NOT_EMPTY_CASE_4_sqrt8
8203 THEN RESA_TAC
8204 THEN REWRITE_TAC[SET_RULE`~(A={})<=> ?a. a IN A`]
8205 THEN ABBREV_TAC`s1 =stable_sy((scs_k_v39 s),(scs_d_v39 s),(0..scs_k_v39 s - 1),
8206          (change_type_v3 (scs_a_v39 s)),
8207          (change_type_v3 (scs_b_v39 s)),
8208          (change_type_v2 (scs_J_v39 s) (scs_k_v39 s)),
8209          (\i. (1 + i) MOD scs_k_v39 s))`
8210 THEN MRESA_TAC stable_sy_explicit[`(scs_k_v39 s)`;`(scs_d_v39 s)`;`(0..scs_k_v39 s - 1)`;`
8211          (change_type_v3 (scs_a_v39 s))`;`
8212          (change_type_v3 (scs_b_v39 s))`;`
8213          (change_type_v2 (scs_J_v39 s) (scs_k_v39 s))`;`
8214          (\i. (1 + i) MOD scs_k_v39 s)`]
8215 THEN SUBGOAL_THEN`scs_k_v39 s =4` ASSUME_TAC;
8216
8217 EXPAND_TAC"s"
8218 THEN REWRITE_TAC[scs_k_v39_explicit;scs_d_v39_explicit;scs_a_v39_explicit;scs_b_v39_explicit;BBs_v39;ARITH_RULE`3<=3`;LET_DEF;LET_END_DEF;ARITH_RULE`~(4<=3)`;IN;mk_unadorned_v39;];
8219
8220 POP_ASSUM (fun th->
8221 REPLICATE_TAC 11 (POP_ASSUM MP_TAC)
8222 THEN REWRITE_TAC[th]
8223 THEN STRIP_TAC
8224 THEN POP_ASSUM(fun th1-> ASSUME_TAC(SYM th1))
8225 THEN ASSUME_TAC th
8226 THEN REPEAT RESA_TAC)
8227 THEN MRESAL_TAC (GEN_ALL HDPLYGY)[`(scs_k_v39 s)`;`s1:stable_sy`][k_sy;B_SY1;ARITH_RULE`2<4`;]
8228 THEN POP_ASSUM (fun th->
8229 POP_ASSUM MP_TAC
8230 THEN ASM_REWRITE_TAC[IN_ELIM_THM]
8231 THEN STRIP_TAC
8232 THEN ASSUME_TAC th)
8233 THEN REWRITE_TAC[BBprime_v39;IN]
8234 THEN ABBREV_TAC`( vv1 i =
8235 if i MOD scs_k_v39 s = 0 then row 4 v else
8236 if i MOD scs_k_v39 s = 1 then row 1 v else
8237 if i MOD scs_k_v39 s = 2 then row 2 v else
8238 row 3 (v:real^3^M))`
8239 THEN EXISTS_TAC`vv1:num->real^3`
8240 THEN STRIP_TAC;
8241
8242 ONCE_REWRITE_TAC[GSYM IN]
8243 THEN MATCH_MP_TAC (GEN_ALL IN_NOT_EMPTY_B1_SY_4_sqrt8)
8244 THEN EXISTS_TAC`x:real^(M,3)finite_product`
8245 THEN EXISTS_TAC`v:real^3^M`
8246 THEN ASM_REWRITE_TAC[]
8247 THEN POP_ASSUM MP_TAC
8248 THEN RESA_TAC;
8249
8250 SUBGOAL_THEN`vector [ vv1 1; vv1 2; (vv1:num->real^3) 3;vv1 0] = v:real^3^M`
8251 ASSUME_TAC;
8252
8253 POP_ASSUM(fun th-> REWRITE_TAC[GSYM th])
8254 THEN ASM_REWRITE_TAC[ARITH_RULE`1 MOD 4=1/\ 2 MOD 4=2/\ 3 MOD 4=3/\ 0 MOD 4=0 /\ ~(1=0)/\ ~(2=0)/\ ~(3=0)/\ ~(2=1)/\ ~(3=1)/\ ~(3=2)`;]
8255 THEN ONCE_REWRITE_TAC[CART_EQ]
8256 THEN ASM_REWRITE_TAC[ARITH_RULE`1<=i/\ i<=4 <=>i=1\/ i=2\/ i=3\/ i=4`]
8257 THEN REPEAT RESA_TAC
8258 THEN
8259 ASM_SIMP_TAC[row;vector; LAMBDA_BETA; DIMINDEX_3; LENGTH; ARITH] THEN
8260 REWRITE_TAC[num_CONV `3`;num_CONV `2`; num_CONV `1`; EL; HD; TL;]
8261 THEN ASM_SIMP_TAC[CART_EQ; DIMINDEX_3; FORALL_3; VEC_COMPONENT; VECTOR_3; ARITH;row;LAMBDA_BETA];
8262
8263 STRIP_TAC;
8264
8265 GEN_TAC
8266 THEN GEN_REWRITE_TAC(LAND_CONV o ONCE_DEPTH_CONV)[GSYM IN]
8267 THEN REPEAT STRIP_TAC
8268 THEN MRESA_TAC (GEN_ALL IN_NOT_EMPTY_B1_SY_4_sqrt8)
8269 [`x:real^(M,3)finite_product`;`v:real^3^M`;`vv1:num->real^3`;`s:scs_v39`]
8270 THEN MRESA_TAC ( GEN_ALL TAUSTAR_EQ_TAU_STAR_4_sqrt8)[`v:real^3^M`;`s:scs_v39`;`vv1:num->real^3`;`s1:stable_sy`;`x:real^(M,3)finite_product`]
8271 THEN MRESA_TAC ( GEN_ALL TAUSTAR_EQ_TAU_STAR_4_sqrt8)
8272 [`vector [ww 1; ww 2; ww 3; ww 0]:real^3^M`;`s:scs_v39`;`ww:num->real^3`;`s1:stable_sy`;`matvec(vector [ww 1; ww 2; ww 3; ww 0]:real^3^M):real^(M,3)finite_product`;]
8273 THEN MRESA_TAC (GEN_ALL IN_NOT_EMPTY_CASE_4_sqrt8)[`ww:num->real^3`;`vector [ww 1; ww 2; ww 3; ww 0]:real^3^M`;`matvec(vector [ww 1; ww 2; ww 3; ww 0]:real^3^M):real^(M,3)finite_product`;`s:scs_v39`;]
8274 THEN REPLICATE_TAC 7 (POP_ASSUM MP_TAC)
8275 THEN POP_ASSUM(fun th-> REPEAT STRIP_TAC
8276 THEN MRESA1_TAC th `matvec(vector [ww 1; ww 2; ww 3; ww 0]:real^3^M):real^(M,3)finite_product`);
8277
8278 MRESA_TAC (GEN_ALL IN_NOT_EMPTY_B1_SY_4_sqrt8)
8279 [`x:real^(M,3)finite_product`;`v:real^3^M`;`vv1:num->real^3`;`s:scs_v39`]
8280 THEN MRESA_TAC ( GEN_ALL TAUSTAR_EQ_TAU_STAR_4_sqrt8)[`v:real^3^M`;`s:scs_v39`;`vv1:num->real^3`;`s1:stable_sy`;`x:real^(M,3)finite_product`]
8281 THEN MRESA_TAC ( GEN_ALL TAUSTAR_EQ_TAU_STAR_4_sqrt8)
8282 [`vector [vv 1; vv 2; vv 3; vv 0]:real^3^M`;`s:scs_v39`;`vv:num->real^3`;`s1:stable_sy`;`matvec(vector [vv 1; vv 2; vv 3; vv 0]:real^3^M):real^(M,3)finite_product`;]
8283 THEN REPLICATE_TAC 23 (POP_ASSUM MP_TAC)
8284 THEN POP_ASSUM (fun th-> REPEAT STRIP_TAC THEN MP_TAC th)
8285 THEN MRESA_TAC (GEN_ALL IN_NOT_EMPTY_CASE_4_sqrt8)[`vv:num->real^3`;`vector [vv 1; vv 2; vv 3; vv 0]:real^3^M`;`matvec(vector [vv 1; vv 2; vv 3; vv 0]:real^3^M):real^(M,3)finite_product`;`s:scs_v39`;]
8286 THEN REPLICATE_TAC 6 (POP_ASSUM MP_TAC)
8287 THEN POP_ASSUM(fun th-> REPEAT STRIP_TAC
8288 THEN MRESA1_TAC th `matvec(vector [vv 1; vv 2; vv 3; vv 0]:real^3^M):real^(M,3)finite_product`)
8289 THEN POP_ASSUM MP_TAC
8290 THEN POP_ASSUM MP_TAC
8291 THEN REAL_ARITH_TAC
8292 ]);;
8293   (* }}} *)
8294
8295
8296
8297
8298
8299
8300
8301
8302
8303
8304
8305
8306 let NOT_EMPTY_BBs_v39= prove(
8307 ` !s vv. MEM s s_init_list_v39 /\ vv IN BBs_v39 s
8308 /\ scs_k_v39 s= dimindex(:M)
8309 ==>
8310 ~({matvec(v:real^3^M) | (!i. 1<=i /\  i <= dimindex(:M)==> row i v IN ball_annulus) /\  CONDITION1_SY (change_type_v3 (scs_a_v39 s)) (change_type_v3 (scs_b_v39 s)) v  }={})
8311 \/
8312 ~({matvec(v:real^3^M) | (!i. 1<=i /\  i <= dimindex(:M)==> row i v IN ball_annulus) /\  CONDITION1_SY (change_type_v3 (scs_a_v39 s)) (change_type_v3 (scs_b_v39 s)) v /\ CONDITION2_SY v } ={})
8313 `,
8314 REWRITE_TAC[s_init_list_v39;JEJTVGB_assume_v39;GSYM IN_SET_OF_LIST;taustar_v39;set_of_list;LET_DEF;LET_END_DEF
8315 ;SET_RULE`A IN {A1,A2,A3,A4,A5,A6,A7,A8} <=> A= A1 \/ A= A2 \/  A= A3 \/ A= A4 \/ A= A5 \/ A= A6 \/ A= A7 \/ A= A8`]
8316 THEN REPEAT STRIP_TAC
8317 THEN MP_TAC NOT_EMPTY_CASE_3
8318 THEN REWRITE_TAC[LET_DEF;LET_END_DEF]
8319 THEN RESA_TAC
8320 THEN MP_TAC NOT_EMPTY_CASE_4
8321 THEN REWRITE_TAC[LET_DEF;LET_END_DEF]
8322 THEN RESA_TAC
8323 THEN MP_TAC NOT_EMPTY_CASE_5
8324 THEN REWRITE_TAC[LET_DEF;LET_END_DEF]
8325 THEN RESA_TAC
8326 THEN MP_TAC NOT_EMPTY_CASE_6
8327 THEN REWRITE_TAC[LET_DEF;LET_END_DEF]
8328 THEN RESA_TAC
8329 THEN MP_TAC NOT_EMPTY_CASE_4_3
8330 THEN REWRITE_TAC[LET_DEF;LET_END_DEF]
8331 THEN RESA_TAC
8332 THEN MP_TAC NOT_EMPTY_CASE_4_sqrt8
8333 THEN REWRITE_TAC[LET_DEF;LET_END_DEF]
8334 THEN RESA_TAC
8335 THEN MP_TAC NOT_EMPTY_CASE_5_sqrt8
8336 THEN REWRITE_TAC[LET_DEF;LET_END_DEF]
8337 THEN RESA_TAC
8338 THEN MP_TAC NOT_EMPTY_CASE_5_pro_cs
8339 THEN REWRITE_TAC[LET_DEF;LET_END_DEF]
8340 THEN RESA_TAC);;
8341
8342
8343
8344
8345
8346
8347 let XWITCCN_TYPE= prove(
8348 ` !s vv. MEM s s_init_list_v39 /\ vv IN BBs_v39 s
8349 /\  taustar_v39 s vv < &0
8350 /\ scs_k_v39 s= dimindex(:M)
8351  ==> ~(BBprime_v39 s = {})
8352 `,
8353 REWRITE_TAC[s_init_list_v39;JEJTVGB_assume_v39;GSYM IN_SET_OF_LIST;set_of_list;LET_DEF;LET_END_DEF
8354 ;SET_RULE`A IN {A1,A2,A3,A4,A5,A6,A7,A8} <=> A= A1 \/ A= A2 \/  A= A3 \/ A= A4 \/ A= A5 \/ A= A6 \/ A= A7 \/ A= A8`]
8355 THEN REPEAT GEN_TAC
8356 THEN STRIP_TAC
8357 THEN MP_TAC XWITCCN_CASE_3
8358 THEN REWRITE_TAC[LET_DEF;LET_END_DEF]
8359 THEN RESA_TAC
8360 THEN MP_TAC XWITCCN_CASE_4
8361 THEN REWRITE_TAC[LET_DEF;LET_END_DEF]
8362 THEN RESA_TAC
8363 THEN MP_TAC XWITCCN_CASE_5
8364 THEN REWRITE_TAC[LET_DEF;LET_END_DEF]
8365 THEN RESA_TAC
8366 THEN MP_TAC XWITCCN_CASE_6
8367 THEN REWRITE_TAC[LET_DEF;LET_END_DEF]
8368 THEN RESA_TAC
8369 THEN MP_TAC XWITCCN_CASE_4_3
8370 THEN REWRITE_TAC[LET_DEF;LET_END_DEF]
8371 THEN RESA_TAC
8372 THEN MP_TAC XWITCCN_CASE_4_sqrt8
8373 THEN REWRITE_TAC[LET_DEF;LET_END_DEF]
8374 THEN RESA_TAC
8375 THEN MP_TAC XWITCCN_CASE_5_sqrt8
8376 THEN REWRITE_TAC[LET_DEF;LET_END_DEF]
8377 THEN RESA_TAC
8378 THEN MP_TAC XWITCCN_CASE_5_pro_cs
8379 THEN REWRITE_TAC[LET_DEF;LET_END_DEF]
8380 THEN RESA_TAC);;
8381
8382
8383
8384
8385
8386 let XWITCCN= prove(` !s vv . MEM s s_init_list_v39 /\ vv IN BBs_v39 s
8387 /\  taustar_v39 s vv < &0
8388  ==> ~(BBprime_v39 s = {})`,
8389 REPEAT GEN_TAC
8390 THEN DISCH_TAC
8391 THEN MP_TAC(INST_TYPE [`:3`,`:M`]XWITCCN_TYPE)
8392 THEN ASM_REWRITE_TAC[DIMINDEX_3]
8393 THEN STRIP_TAC
8394 THEN POP_ASSUM(fun th-> MRESA_TAC th[`s:scs_v39`;`vv:num->real^3`])
8395 THEN MP_TAC(INST_TYPE [`:2+2`,`:M`]XWITCCN_TYPE)
8396 THEN ASM_REWRITE_TAC[Basics.DIMINDEX_4]
8397 THEN STRIP_TAC
8398 THEN POP_ASSUM(fun th-> MRESA_TAC th[`s:scs_v39`;`vv:num->real^3`])
8399 THEN MP_TAC(INST_TYPE [`:2+3`,`:M`]XWITCCN_TYPE)
8400 THEN ASM_REWRITE_TAC[Basics.DIMINDEX_5]
8401 THEN STRIP_TAC
8402 THEN POP_ASSUM(fun th-> MRESA_TAC th[`s:scs_v39`;`vv:num->real^3`])
8403 THEN MP_TAC(INST_TYPE [`:3+3`,`:M`]XWITCCN_TYPE)
8404 THEN ASM_REWRITE_TAC[Basics.DIMINDEX_6]
8405 THEN STRIP_TAC
8406 THEN POP_ASSUM(fun th-> MRESA_TAC th[`s:scs_v39`;`vv:num->real^3`])
8407 THEN ASM_TAC
8408 THEN REWRITE_TAC[s_init_list_v39;JEJTVGB_assume_v39;GSYM IN_SET_OF_LIST;set_of_list;LET_DEF;LET_END_DEF
8409 ;SET_RULE`A IN {A1,A2,A3,A4,A5,A6,A7,A8} <=> A= A1 \/ A= A2 \/  A= A3 \/ A= A4 \/ A= A5 \/ A= A6 \/ A= A7 \/ A= A8`]
8410 THEN STRIP_TAC
8411 THEN ASM_REWRITE_TAC[scs_k_v39_explicit;scs_d_v39_explicit;scs_a_v39_explicit;scs_b_v39_explicit;BBs_v39;ARITH_RULE`3<=3`;LET_DEF;LET_END_DEF;ARITH_RULE`~(4<=3)`;IN;mk_unadorned_v39;]
8412 THEN REPEAT RESA_TAC
8413 );;
8414
8415
8416
8417 (*
8418
8419 *)
8420
8421  end;;
8422
8423
8424
8425
8426