text_formalization/local/ZLZTHIC.hl

   1 (* ========================================================================== *)
   2 (* FLYSPECK - BOOK FORMALIZATION                                              *)
   3 (* Section: Conclusions                                                       *)
   4 (* Chapter: Local Fan                                                         *)
   5 (* Lemma: ZLZTHIC                                                             *)
   6 (* Author: Thomas Hales                                                       *)
   7 (* Date: 2013-07-10                                                           *)
   8 (* ========================================================================== *)
   9
  10
  11
  12 module Zlzthic = struct
  13
  14   open Hales_tactic;;
  15
  16
  17 let FOR_ASM th =
  18   let th1 = REWRITE_RULE[MESON[]` a /\ b ==> c <=> a ==> b ==> c `] th in
  19   let th2 = SPEC_ALL th1 in
  20     UNDISCH_ALL th2;;
  21
  22 let ASSUME_TAC2 = ASSUME_TAC o FOR_ASM;;
  23 let DOWN = FIRST_X_ASSUM MP_TAC;;
  24 let ATTACH thm = MATCH_MP (MESON[]` ! a b. ( a ==> b ) ==> ( a <=> a /\ b )`) thm;;
  25 let NHANH tm = ONCE_REWRITE_TAC[ ATTACH (SPEC_ALL ( tm ))];;
  26 let SWITCH_TAC tm = UNDISCH_TAC tm THEN DISCH_THEN (ASSUME_TAC o GSYM);;
  27 let PHA = REWRITE_TAC[ MESON[] ` (a/\b)/\c <=> a/\ b /\ c `; MESON[]` a ==> b ==> c <=> a /\ b ==> c `];;
  28
  29
  30
  31 let NONCOLLINEAR_OPEN = Local_lemmas1.CONTINUOUS_PRESERVE_COLLINEAR;;
  32
  33 let NONPLANAR_OPEN = prove_by_refinement(
  34   `!(v1:real->real^3) v2 v3 v4 t. ~coplanar {v1 t,v2 t,v3 t, v4 t} /\
  35     v1 continuous atreal t /\ v2 continuous atreal t /\ v3 continuous atreal t /\
  36     v4 continuous atreal t
  37     ==>
  38        (?e. &0 < e /\ !t'. abs(t - t') < e ==>  ~coplanar {v1 t', v2 t' ,v3 t',v4 t'})`,
  39   (* {{{ proof *)
  40   [
  41   REWRITE_TAC[Oxlzlez.coplanar_delta_y];
  42   REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
  43   TYPIFY `(\t. delta_y (dist (v1 t,v2 t)) (dist (v1 t,v3 t))               (dist (v1 t,v4 t))               (dist (v3 t,v4 t))               (dist (v2 t,v4 t))               (dist (v2 t,v3 t))) real_continuous atreal t` ENOUGH_TO_SHOW_TAC;
  44     REWRITE_TAC[real_continuous_atreal];
  45     DISCH_THEN (C INTRO_TAC [`delta_y (dist (v1 t,v2 t)) (dist (v1 t,v3 t)) (dist (v1 t,v4 t))      (dist (v3 t,v4 t))      (dist (v2 t,v4 t))      (dist (v2 t,v3 t))`]);
  46     ASM_REWRITE_TAC[];
  47     REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
  48     TYPIFY `d` EXISTS_TAC;
  49     ASM_REWRITE_TAC[];
  50     REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
  51     FIRST_X_ASSUM (C INTRO_TAC [`t'`]);
  52     ASM_REWRITE_TAC[];
  53     BY(FIRST_X_ASSUM MP_TAC THEN REAL_ARITH_TAC);
  54   REWRITE_TAC[Sphere.delta_y;Sphere.delta_x];
  55   BY((REPEAT ( (MATCH_MP_TAC REAL_CONTINUOUS_ADD ORELSE MATCH_MP_TAC REAL_CONTINUOUS_SUB ORELSE MATCH_MP_TAC REAL_CONTINUOUS_MUL ORELSE MATCH_MP_TAC REAL_CONTINUOUS_NEG ORELSE MATCH_MP_TAC Local_lemmas1.CON_ATREAL_REAL_CON2_REDO) THEN (REPEAT CONJ_TAC))) THEN ASM_REWRITE_TAC[])
  56   ]);;
  57   (* }}} *)
  58
  59 let COLL_IFF_COLL_CROSS2 = prove_by_refinement(
  60   `!v w. collinear {vec 0, v, w} <=> collinear {vec 0, w, v cross w}`,
  61   (* {{{ proof *)
  62   [
  63   REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
  64   TYPED_ABBREV_TAC `s = {vec 0,v,w}`;
  65   (ONCE_REWRITE_TAC[CROSS_SKEW]);
  66   ONCE_REWRITE_TAC[SET_RULE `{a,b,(c:real^3)} = {a,c,b}`];
  67   (REWRITE_TAC[arith `-- (u:real^3) = (-- &1) % u`]);
  68   GMATCH_SIMP_TAC COLLINEAR_SPECIAL_SCALE;
  69   (ONCE_REWRITE_TAC[SET_RULE `{vec 0,a,(b:real^3)} = {vec 0,b,a}`]);
  70   RULE_ASSUM_TAC( ONCE_REWRITE_RULE[SET_RULE `{a,b,(c:real^3)} = {a,c,b}`]);
  71   REWRITE_TAC[arith` ~( -- &1 = &0)`];
  72   BY(ASM_MESON_TAC([Local_lemmas.COLL_IFF_COLL_CROSS]))
  73   ]);;
  74   (* }}} *)
  75
  76 let azim_cross_0 = prove_by_refinement(
  77   `!v w. ~(collinear {vec 0,v,w}) ==> ~(azim (vec 0) (v cross w) v w = &0)`,
  78   (* {{{ proof *)
  79   [
  80   REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
  81   BY(ASM_MESON_TAC[Local_lemmas1.AZIM_COND_FOR_COPLANAR;Local_lemmas.NOT_COLL_IMP_COPL;SET_RULE `{vec 0,v,w,v cross w} = {vec 0,v cross w,v,(w:real^3)}`])
  82   ]);;
  83   (* }}} *)
  84
  85 let wedge_ge_cross = prove_by_refinement(
  86   `!v w. ~collinear {vec 0,v,w} ==> wedge_ge (vec 0) (v cross w) v w = aff_ge {vec 0, v cross w} {v, w}`,
  87   (* {{{ proof *)
  88   [
  89   REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
  90   GMATCH_SIMP_TAC Local_lemmas.WEDGE_GE_EQ_AFF_GE;
  91   CONJ_TAC;
  92     TYPIFY `&0 < sin(azim (vec 0) (v cross w) v w)` ENOUGH_TO_SHOW_TAC;
  93       REWRITE_TAC[arith `a < pi <=> a <= pi /\ ~(a = pi)`];
  94       STRIP_TAC;
  95       CONJ_TAC;
  96         REWRITE_TAC[GSYM Local_lemmas.SIN_AZIM_POS_PI_LT];
  97         BY(FIRST_X_ASSUM MP_TAC THEN REAL_ARITH_TAC);
  98       BY(ASM_MESON_TAC[SIN_PI;arith `~(&0 < &0)`]);
  99     REWRITE_TAC[Local_lemmas.SIN_AZIM_MUTUAL_SROSS];
 100     ONCE_REWRITE_TAC[CROSS_TRIPLE];
 101     BY(ASM_REWRITE_TAC[DOT_POS_LT;CROSS_EQ_0]);
 102   ONCE_REWRITE_TAC[SET_RULE `{a,b,(c:real^3)} = {a,c,b}`];
 103   BY(ASM_MESON_TAC[COLL_IFF_COLL_CROSS2;Local_lemmas.COLL_IFF_COLL_CROSS])
 104   ]);;
 105   (* }}} *)
 106
 107 let azim_lt_pi_cross = prove_by_refinement(
 108   `!u1 u2 u3. (&0 < azim (vec 0) u1 u2 u3 /\ azim(vec 0) u1 u2 u3 < pi) <=> &0 < (u1 cross u2) dot u3`,
 109   (* {{{ proof *)
 110   [
 111   REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
 112   INTRO_TAC Trigonometry.JBDNJJB [`u1`;`u2`;`u3`];
 113   ONCE_REWRITE_TAC[Leaf_cell.RE_EQVL_SYM];
 114   REWRITE_TAC[Trigonometry2.re_eqvl];
 115   REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
 116   ASM_REWRITE_TAC[];
 117   ASM_CASES_TAC `&0 < sin(azim(vec 0) u1 u2 u3)`;
 118     ASM_REWRITE_TAC[];
 119     GMATCH_SIMP_TAC REAL_LT_MUL_EQ;
 120     ASM_REWRITE_TAC[];
 121     REWRITE_TAC[arith `a < pi <=> a <= pi /\ ~(a = pi)`];
 122     REWRITE_TAC[GSYM Local_lemmas.SIN_AZIM_POS_PI_LT];
 123     ASM_SIMP_TAC[arith `&0 < x ==> &0 <= x`];
 124     CONJ2_TAC;
 125       DISCH_THEN (RULE_ASSUM_TAC o (unlist REWRITE_RULE));
 126       BY(ASM_MESON_TAC[SIN_PI;arith `~(&0 < &0)`]);
 127     BY(ASM_MESON_TAC[Counting_spheres.AZIM_NN;SIN_0;arith `&0 < x <=> &0 <= x /\ ~(x = &0)`;arith `~(&0 < &0)`]);
 128   COMMENT "other direction";
 129   TYPED_ABBREV_TAC `s = sin (azim (vec 0) u1 u2 u3)`;
 130   REWRITE_TAC[arith `&0 < t * s <=> ~(&0 <= t* (-- s))`];
 131   GMATCH_SIMP_TAC REAL_LE_MUL;
 132   CONJ_TAC;
 133     BY(ASM_TAC THEN REAL_ARITH_TAC);
 134   REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
 135   FIRST_X_ASSUM_ST `~` MP_TAC;
 136   EXPAND_TAC "s";
 137   REWRITE_TAC[];
 138   BY(ASM_MESON_TAC[SIN_POS_PI])
 139   ]);;
 140   (* }}} *)
 141
 142 let generic_alt = prove_by_refinement(
 143   `!u v w. ~collinear {vec 0,v,w} /\ ~(u = vec 0) ==>
 144      (aff_ge {vec 0} {v,w} INTER aff_lt {vec 0} {u} = {} <=>
 145       ~coplanar {vec 0,u,v,w} \/ ((-- u) IN wedge (vec 0) (v cross w) w v))`,
 146   (* {{{ proof *)
 147   [
 148   REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
 149   MATCH_MP_TAC (TAUT `((a ==>b) /\ (b ==> a)) ==> (a = b)`);
 150   CONJ_TAC THEN STRIP_TAC;
 151       MATCH_MP_TAC (TAUT `(a ==> b ) ==> (~a \/ b)`);
 152       DISCH_TAC;
 153       GMATCH_SIMP_TAC (GSYM Leaf_cell.WEDGE_GE_COMPLEMENT);
 154       REWRITE_TAC[IN_DIFF;IN_UNIV];
 155       ASM_SIMP_TAC[azim_cross_0];
 156       ASM_SIMP_TAC[wedge_ge_cross];
 157       COMMENT "down to three";
 158       GMATCH_SIMP_TAC Marchal_cells_2_new.AFF_GE_2_2;
 159       REWRITE_TAC[IN_ELIM_THM;arith `t1 % (vec 0):real^3 = vec 0`];
 160       CONJ_TAC;
 161         TYPIFY `DISJOINT  {v, w} {vec 0} /\ ~(v cross w = v) /\ ~(v cross w = w)` ENOUGH_TO_SHOW_TAC;
 162           REWRITE_TAC[DISJOINT];
 163           BY(SET_TAC[]);
 164         CONJ_TAC;
 165           MATCH_MP_TAC Collect_geom.COLLINEAR_DISJOINT3;
 166           BY(ASM_REWRITE_TAC[]);
 167         REWRITE_TAC[CROSS_EQ_SELF];
 168         BY(CONJ_TAC THEN ASM_MESON_TAC[COLLINEAR_2;SET_RULE `{vec 0,(v:real^3),vec 0} = {vec 0,v} /\ {vec 0,vec 0,(w:real^3)} = {vec 0,w}`]);
 169       REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
 170       RULE_ASSUM_TAC( REWRITE_RULE[arith `-- (u:real^3) = w <=> u = -- w`] );
 171       FIRST_X_ASSUM_ST `aff_ge` MP_TAC;
 172       REWRITE_TAC[EXTENSION;NOT_IN_EMPTY;IN_INTER;NOT_FORALL_THM];
 173       TYPIFY `-- (u:real^3)` EXISTS_TAC;
 174       CONJ2_TAC;
 175         GMATCH_SIMP_TAC AFF_LT_1_1;
 176         REWRITE_TAC[IN_ELIM_THM;DISJOINT];
 177         CONJ_TAC;
 178           BY(ASM_TAC THEN SET_TAC[]);
 179         GEXISTL_TAC [`&2`;`-- &1`];
 180         BY(REPEAT CONJ_TAC THEN TRY REAL_ARITH_TAC THEN VECTOR_ARITH_TAC);
 181       RULE_ASSUM_TAC(REWRITE_RULE[GSYM Local_lemmas.CROSS_DOT_COPLANAR]);
 182       RULE_ASSUM_TAC(ONCE_REWRITE_RULE[CROSS_TRIPLE]);
 183       FIRST_X_ASSUM_ST `x = &0` MP_TAC;
 184       ASM_REWRITE_TAC[];
 185       REWRITE_TAC[DOT_RNEG;DOT_RADD;DOT_RMUL];
 186       REWRITE_TAC[DOT_RZERO];
 187       REWRITE_TAC[DOT_CROSS_SELF];
 188       (REWRITE_TAC[arith `--(&0 + t2 * a + t3 * &0 + t4 * &0) = &0 <=> t2 * a = &0`]);
 189       REWRITE_TAC[REAL_ENTIRE];
 190       ASM_SIMP_TAC[DOT_POS_LT;CROSS_EQ_0;arith `&0 < x ==> ~(x = &0)`];
 191       DISCH_THEN (RULE_ASSUM_TAC o (unlist REWRITE_RULE));
 192       REWRITE_TAC[arith `-- --(vec 0 + &0 % a + b + (c:real^3)) = b + c`];
 193       GMATCH_SIMP_TAC AFF_GE_1_2;
 194       CONJ_TAC;
 195         ONCE_REWRITE_TAC[DISJOINT_SYM] THEN MATCH_MP_TAC Collect_geom.COLLINEAR_DISJOINT3;
 196         BY(ASM_REWRITE_TAC[]);
 197       REWRITE_TAC[IN_ELIM_THM];
 198       GEXISTL_TAC [`t1`;`t3`;`t4`];
 199       ASM_REWRITE_TAC[];
 200       CONJ_TAC;
 201         BY(ASM_TAC THEN REAL_ARITH_TAC);
 202       BY(VECTOR_ARITH_TAC);
 203     COMMENT "second case";
 204     REWRITE_TAC[EXTENSION;NOT_IN_EMPTY;IN_INTER];
 205     GMATCH_SIMP_TAC AFF_GE_1_2;
 206     CONJ_TAC;
 207       ONCE_REWRITE_TAC[DISJOINT_SYM] THEN MATCH_MP_TAC Collect_geom.COLLINEAR_DISJOINT3;
 208       BY(ASM_REWRITE_TAC[]);
 209     REWRITE_TAC[IN_ELIM_THM];
 210     GMATCH_SIMP_TAC Nkezbfc_local.AFF_LT_1_1;
 211     ASM_REWRITE_TAC[IN_ELIM_THM];
 212     REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
 213     RULE_ASSUM_TAC(REWRITE_RULE[GSYM Local_lemmas.CROSS_DOT_COPLANAR]);
 214     RULE_ASSUM_TAC(ONCE_REWRITE_RULE[CROSS_TRIPLE]);
 215     TYPIFY `(v cross w) dot (t1 % vec 0 + t2 % v + t3 % w) = (v cross w) dot (t1' % vec 0 + t2' % u)` (C SUBGOAL_THEN MP_TAC);
 216       BY(ASM_MESON_TAC[]);
 217     REWRITE_TAC[DOT_RNEG;DOT_RADD;DOT_RMUL;DOT_RZERO;DOT_CROSS_SELF];
 218     TYPIFY `~(t2' * ((v cross w) dot u) = &0)` ENOUGH_TO_SHOW_TAC;
 219       BY(REAL_ARITH_TAC);
 220     ASM_REWRITE_TAC[REAL_ENTIRE];
 221     BY(ASM_TAC THEN REAL_ARITH_TAC);
 222   COMMENT "third and final case";
 223   REWRITE_TAC[EXTENSION;NOT_IN_EMPTY;IN_INTER];
 224   GMATCH_SIMP_TAC AFF_GE_1_2;
 225   CONJ_TAC;
 226     ONCE_REWRITE_TAC[DISJOINT_SYM] THEN MATCH_MP_TAC Collect_geom.COLLINEAR_DISJOINT3;
 227     BY(ASM_REWRITE_TAC[]);
 228   REWRITE_TAC[IN_ELIM_THM];
 229   GMATCH_SIMP_TAC Nkezbfc_local.AFF_LT_1_1;
 230   ASM_REWRITE_TAC[IN_ELIM_THM];
 231   REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
 232   TYPIFY `x IN wedge (vec 0) (v cross w) w v` (C SUBGOAL_THEN ASSUME_TAC);
 233     FIRST_X_ASSUM_ST `wedge` MP_TAC;
 234     REWRITE_TAC[Reuhady.WEDGE_SIMPLE;IN_ELIM_THM];
 235     FIRST_X_ASSUM SUBST1_TAC;
 236     TYPIFY `t1' % vec 0 + t2' % u = (-- t2') % (-- u)` (C SUBGOAL_THEN SUBST1_TAC);
 237       BY(VECTOR_ARITH_TAC);
 238     FIRST_X_ASSUM_ST `t < &0` MP_TAC;
 239     BY(MESON_TAC[AZIM_SCALE_ALL;arith `&0 < &1`;arith `t < &0 ==> &0 < -- t`;arith `&1 % (v:real^3) = v`]);
 240   FIRST_X_ASSUM_ST `x = y` kill;
 241   TYPIFY `~(x IN wedge (vec 0) (v cross w) w v)` (C SUBGOAL_THEN ASSUME_TAC);
 242     GMATCH_SIMP_TAC (GSYM Leaf_cell.WEDGE_GE_COMPLEMENT);
 243     (REWRITE_TAC[IN_DIFF;IN_UNIV]);
 244     ASM_SIMP_TAC[azim_cross_0];
 245     ASM_SIMP_TAC[wedge_ge_cross];
 246     GMATCH_SIMP_TAC Marchal_cells_2_new.AFF_GE_2_2;
 247     REWRITE_TAC[IN_ELIM_THM];
 248     CONJ_TAC;
 249       TYPIFY `DISJOINT  {v, w} {vec 0} /\ ~(v cross w = v) /\ ~(v cross w = w)` ENOUGH_TO_SHOW_TAC;
 250         REWRITE_TAC[DISJOINT];
 251         BY(SET_TAC[]);
 252       CONJ_TAC;
 253         MATCH_MP_TAC Collect_geom.COLLINEAR_DISJOINT3;
 254         BY(ASM_REWRITE_TAC[]);
 255       REWRITE_TAC[CROSS_EQ_SELF];
 256       BY(CONJ_TAC THEN ASM_MESON_TAC[COLLINEAR_2;SET_RULE `{vec 0,(v:real^3),vec 0} = {vec 0,v} /\ {vec 0,vec 0,(w:real^3)} = {vec 0,w}`]);
 257     GEXISTL_TAC [`t1`;`&0`;`t2`;`t3`];
 258     REPEAT CONJ_TAC THEN ASM_TAC THEN TRY REAL_ARITH_TAC;
 259     BY(REPEAT WEAKER_STRIP_TAC THEN VECTOR_ARITH_TAC);
 260   BY(ASM_MESON_TAC[])
 261   ]);;
 262   (* }}} *)
 263
 264 let vuy1 = prove_by_refinement(
 265   `!v u0 u1.
 266         ~collinear {vec 0,u0,v} /\ ~collinear {vec 0,u0,u1} /\ v IN aff_ge {vec 0,u0} {u1} ==>
 267     (?t0 t1. &0 < t1 /\ v = t0 % u0 + t1 % u1)`,
 268   (* {{{ proof *)
 269   [
 270   REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
 271   FIRST_X_ASSUM_ST `aff_ge` MP_TAC;
 272   GMATCH_SIMP_TAC AFF_GE_2_1;
 273   REWRITE_TAC[IN_ELIM_THM];
 274   REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
 275   ASM_SIMP_TAC[Fan.th3a];
 276   REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
 277   ASM_REWRITE_TAC[];
 278   GEXISTL_TAC [`t2`;`t3`];
 279   CONJ_TAC;
 280     PROOF_BY_CONTR_TAC;
 281     TYPIFY `t3 = &0` (C SUBGOAL_THEN MP_TAC);
 282       BY(ASM_TAC THEN REAL_ARITH_TAC);
 283     DISCH_THEN (RULE_ASSUM_TAC o (unlist REWRITE_RULE));
 284     TYPIFY `v = t2 % u0` (C SUBGOAL_THEN MP_TAC);
 285       BY(ASM_REWRITE_TAC[] THEN VECTOR_ARITH_TAC);
 286     DISCH_THEN (RULE_ASSUM_TAC o (unlist REWRITE_RULE));
 287     BY(ASM_MESON_TAC[COLLINEAR_LEMMA_ALT]);
 288   BY(VECTOR_ARITH_TAC)
 289   ]);;
 290   (* }}} *)
 291
 292 let DISJOINT_PAIR = prove_by_refinement(
 293   `!a b c. DISJOINT a {b,c} <=> DISJOINT a {b} /\ DISJOINT a {c}`,
 294   (* {{{ proof *)
 295   [
 296   REWRITE_TAC[DISJOINT];
 297   BY(SET_TAC[])
 298   ]);;
 299   (* }}} *)
 300
 301 let vuy2 = prove_by_refinement(
 302   `!v u0 u1.
 303          ~collinear {vec 0, u0, v} /\
 304          ~collinear {vec 0, u0, u1} /\
 305          v IN aff_ge {vec 0, u0} {u1} ==>
 306        (u0 cross u1) dot v = &0`,
 307   (* {{{ proof *)
 308   [
 309   REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
 310   INTRO_TAC vuy1 [`v`;`u0`;`u1`];
 311   ASM_REWRITE_TAC[];
 312   REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
 313   ASM_REWRITE_TAC[];
 314   REWRITE_TAC[DOT_RADD;DOT_RMUL;DOT_CROSS_SELF];
 315   BY(REAL_ARITH_TAC)
 316   ]);;
 317   (* }}} *)
 318
 319 let vuy3 = prove_by_refinement(
 320   `!v u0 u1. ~collinear {vec 0, u0, v} /\
 321          ~collinear {vec 0, u0, u1} /\
 322          v IN aff_ge {vec 0, u0} {u1} ==>
 323     ~collinear {vec 0,u0 cross u1, v}`,
 324   (* {{{ proof *)
 325   [
 326   REPEAT GEN_TAC;
 327   DISCH_TAC;
 328   REWRITE_TAC[COLLINEAR_LEMMA_ALT;DE_MORGAN_THM];
 329   SUBCONJ_TAC;
 330     BY(ASM_REWRITE_TAC[CROSS_EQ_0]);
 331   ASM_TAC THEN REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
 332   INTRO_TAC vuy1 [`v`;`u0`;`u1`];
 333   ASM_REWRITE_TAC[];
 334   REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
 335   TYPIFY `v dot v = c % (u0 cross u1) dot (t0 % u0 + t1 % u1)` (C SUBGOAL_THEN MP_TAC);
 336     BY(ASM_MESON_TAC[]);
 337   REWRITE_TAC[DOT_RMUL;DOT_LMUL;DOT_RADD;DOT_CROSS_SELF];
 338   TYPIFY ` c * (t0 * &0 + t1 * &0) = &0` (C SUBGOAL_THEN SUBST1_TAC);
 339     BY(REAL_ARITH_TAC);
 340   REWRITE_TAC[DOT_EQ_0];
 341   DISCH_TAC;
 342   BY(ASM_MESON_TAC[COLLINEAR_2;SET_RULE `{vec 0,u0,vec 0} = {vec 0,(u0:real^3)}`])
 343   ]);;
 344   (* }}} *)
 345
 346 let vuy4 = prove_by_refinement(
 347   `!v u0 u1. ~collinear {vec 0, u0, v} /\
 348          ~collinear {vec 0, u0, u1} /\
 349          v IN aff_ge {vec 0, u0} {u1} ==>
 350     azim (vec 0) (u0 cross u1) u0 v < pi`,
 351   (* {{{ proof *)
 352   [
 353   REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
 354   TYPIFY `&0 < ((u0 cross u1) cross u0) dot v` ENOUGH_TO_SHOW_TAC;
 355     BY(MESON_TAC[azim_lt_pi_cross]);
 356   INTRO_TAC vuy1 [`v`;`u0`;`u1`];
 357   ASM_REWRITE_TAC[];
 358   REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
 359   ONCE_REWRITE_TAC[CROSS_TRIPLE];
 360   ASM_REWRITE_TAC[];
 361   REWRITE_TAC[CROSS_RMUL;DOT_LMUL;CROSS_RADD;DOT_CROSS_SELF;CROSS_REFL;arith `t % vec 0 + (a:real^3) = a`];
 362   GMATCH_SIMP_TAC REAL_LT_MUL_EQ;
 363   BY(ASM_REWRITE_TAC[DOT_POS_LT;CROSS_EQ_0])
 364   ]);;
 365   (* }}} *)
 366
 367 let vuy5 = prove_by_refinement(
 368   `!v u0 u1.
 369          ~collinear {vec 0, u0, u1} ==>
 370     u0 IN aff_ge {vec 0,u0} {u1}`,
 371   (* {{{ proof *)
 372   [
 373   REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
 374   GMATCH_SIMP_TAC AFF_GE_2_1;
 375   ASM_SIMP_TAC[Fan.th3a];
 376   REWRITE_TAC[IN_ELIM_THM];
 377   GEXISTL_TAC [`&0`;`&1`;`&0`];
 378   REPEAT CONJ_TAC THEN TRY REAL_ARITH_TAC;
 379   BY(VECTOR_ARITH_TAC)
 380   ]);;
 381   (* }}} *)
 382
 383 let cross_independent = prove_by_refinement(
 384   `!u0 u1 a b c. ~collinear {vec 0,u0,u1} /\
 385     a % (u0 cross u1) + b % u0 + c % u1 = vec 0 ==> a = &0`,
 386   (* {{{ proof *)
 387   [
 388   REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
 389   TYPIFY ` (u0 cross  u1) dot ( (--b) % u0 + (--c) % u1 ) = a * ((u0 cross u1) dot (u0 cross u1))` (C SUBGOAL_THEN MP_TAC);
 390     REWRITE_TAC[GSYM DOT_RMUL];
 391     TYPIFY `a % (u0 cross u1)  = -- b % u0 + -- c % u1` ENOUGH_TO_SHOW_TAC;
 392       BY(MESON_TAC[]);
 393     BY(FIRST_X_ASSUM MP_TAC THEN VECTOR_ARITH_TAC);
 394   REWRITE_TAC[DOT_RADD;DOT_RMUL;DOT_RZERO;DOT_CROSS_SELF];
 395   REWRITE_TAC[arith `-- b * &0 + -- c * &0 = x <=> x = &0`];
 396   REWRITE_TAC[REAL_ENTIRE;DOT_EQ_0];
 397   BY(ASM_REWRITE_TAC[CROSS_EQ_0])
 398   ]);;
 399   (* }}} *)
 400
 401 let ybt_inj = prove_by_refinement(
 402   `!u0 u1 v1 v2 .   ~collinear {vec 0, u0, v1} /\
 403     ~collinear {vec 0, u0, v2} /\
 404          ~collinear {vec 0, u0, u1} /\ ~collinear {vec 0,v1,v2} /\
 405          v1 IN aff_ge {vec 0, u0} {u1} /\          v2 IN aff_ge {vec 0, u0} {u1} ==>
 406 ~(    azim (vec 0) (u0 cross u1) u0 v1 = azim (vec 0) (u0 cross u1) u0 v2)
 407      `,
 408   (* {{{ proof *)
 409   [
 410   REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
 411   INTRO_TAC Topology.th [`(vec 0):real^3`;`u0 cross u1`;`u0`;`v2`];
 412   REWRITE_TAC[EXTENSION;IN_ELIM_THM];
 413   DISCH_THEN MP_TAC THEN ANTS_TAC;
 414     ASM_SIMP_TAC[vuy3];
 415     ONCE_REWRITE_TAC[SET_RULE `{a,b,c} = {a,c,(b:real^3)}`];
 416     BY(ASM_MESON_TAC[Local_lemmas.COLL_IFF_COLL_CROSS]);
 417   DISCH_THEN (C INTRO_TAC [`v1`]);
 418   ASM_SIMP_TAC[vuy3];
 419   DISCH_TAC;
 420   INTRO_TAC vuy1 [`v1`;`u0`;`u1`];
 421   ASM_REWRITE_TAC[];
 422   REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
 423   FIRST_X_ASSUM_ST `aff_gt` MP_TAC;
 424   REWRITE_TAC[];
 425   GMATCH_SIMP_TAC AFF_GT_2_1;
 426   CONJ_TAC;
 427     REWRITE_TAC[DISJOINT;EXTENSION;IN_INTER;IN_SING;IN_INSERT;NOT_IN_EMPTY];
 428     REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
 429     FIRST_X_ASSUM (RULE_ASSUM_TAC o (unlist REWRITE_RULE));
 430     FIRST_X_ASSUM DISJ_CASES_TAC;
 431       FIRST_X_ASSUM (RULE_ASSUM_TAC o (unlist REWRITE_RULE));
 432       BY(ASM_MESON_TAC[COLLINEAR_2;SET_RULE `{a,b,a}= {a,(b:real^3)}`]);
 433     FIRST_X_ASSUM (RULE_ASSUM_TAC o (unlist REWRITE_RULE));
 434     FIRST_X_ASSUM_ST `aff_ge` MP_TAC;
 435     REWRITE_TAC[];
 436     GMATCH_SIMP_TAC AFF_GE_2_1;
 437     ASM_SIMP_TAC[Fan.th3a;IN_ELIM_THM];
 438     REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
 439     TYPIFY `(-- &1) % (u0 cross u1) + t2 % u0 + t3 % u1 = vec 0` (C SUBGOAL_THEN MP_TAC);
 440       BY(FIRST_X_ASSUM MP_TAC THEN VECTOR_ARITH_TAC);
 441     BY(ASM_MESON_TAC[cross_independent;arith `~(-- &1 = &0)`]);
 442   REWRITE_TAC[IN_ELIM_THM];
 443   REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
 444   TYPIFY `v1 = t3 % v2` ENOUGH_TO_SHOW_TAC;
 445     DISCH_THEN (RULE_ASSUM_TAC o (unlist REWRITE_RULE));
 446     BY(ASM_MESON_TAC[SET_RULE `{a,b,c} = {a,c,(b:real^3)}`;COLLINEAR_LEMMA_ALT]);
 447   PROOF_BY_CONTR_TAC;
 448   FIRST_X_ASSUM_ST `aff_ge` MP_TAC;
 449   REWRITE_TAC[];
 450   GMATCH_SIMP_TAC AFF_GE_2_1;
 451   ASM_SIMP_TAC[Fan.th3a;IN_ELIM_THM];
 452   REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
 453   FIRST_X_ASSUM_ST `x:real^3` (RULE_ASSUM_TAC o (unlist REWRITE_RULE));
 454   FIRST_X_ASSUM_ST `v1 = t1' % ((vec 0):real^3) + c` (RULE_ASSUM_TAC o (unlist REWRITE_RULE));
 455   RULE_ASSUM_TAC(REWRITE_RULE[VECTOR_MUL_ASSOC;VECTOR_ADD_LDISTRIB]);
 456   TYPIFY `t2 % (u0 cross u1) + (t3 * t2' - t0) % u0 + (t3*t3' - t1) % u1 = vec 0` (C SUBGOAL_THEN MP_TAC);
 457     REPLICATE_TAC 2 (FIRST_X_ASSUM_ST `x:real^3` MP_TAC);
 458     ONCE_REWRITE_TAC[TAUT `(a ==> b ==> c) <=> (b ==> a ==> c)`];
 459     DISCH_TAC;
 460     BY(VECTOR_ARITH_TAC);
 461   DISCH_TAC;
 462   TYPIFY `t2 = &0` (C SUBGOAL_THEN ASSUME_TAC);
 463     BY(ASM_MESON_TAC[cross_independent]);
 464   FIRST_X_ASSUM (RULE_ASSUM_TAC o (unlist REWRITE_RULE));
 465   FIRST_X_ASSUM kill;
 466   FIRST_X_ASSUM_ST `x:real^3` MP_TAC;
 467   BY(VECTOR_ARITH_TAC)
 468   ]);;
 469   (* }}} *)
 470
 471 let ybt_inj_0 = prove_by_refinement(
 472   `!u0 u1 v2 .
 473     ~collinear {vec 0, u0, v2} /\
 474          ~collinear {vec 0, u0, u1} /\
 475          v2 IN aff_ge {vec 0, u0} {u1} ==>
 476 ~(      azim (vec 0) (u0 cross u1) u0 v2 = &0)
 477      `,
 478   (* {{{ proof *)
 479   [
 480   REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
 481   FIRST_X_ASSUM MP_TAC;
 482   GMATCH_SIMP_TAC Local_lemmas.AZIM_EQ_0_GE_ALT2;
 483   CONJ_TAC;
 484     ONCE_REWRITE_TAC[SET_RULE `{a,b,c} = {a,c,(b:real^3)}`];
 485     BY(ASM_MESON_TAC[Local_lemmas.COLL_IFF_COLL_CROSS]);
 486   GMATCH_SIMP_TAC AFF_GE_2_1;
 487   CONJ_TAC;
 488     REWRITE_TAC[DISJOINT;EXTENSION;IN_INTER;IN_SING;IN_INSERT;NOT_IN_EMPTY];
 489     REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
 490     FIRST_X_ASSUM (RULE_ASSUM_TAC o (unlist REWRITE_RULE));
 491     FIRST_X_ASSUM DISJ_CASES_TAC;
 492       FIRST_X_ASSUM (RULE_ASSUM_TAC o (unlist REWRITE_RULE));
 493       BY(ASM_MESON_TAC[COLLINEAR_2;SET_RULE `{a,a,b}= {a,(b:real^3)}`]);
 494     TYPIFY `u0 dot u0 = (u0 cross u1) dot u0` (C SUBGOAL_THEN MP_TAC);
 495       BY(ASM_MESON_TAC[]);
 496     REWRITE_TAC[DOT_CROSS_SELF];
 497     REWRITE_TAC[DOT_EQ_0];
 498     DISCH_THEN (RULE_ASSUM_TAC o (unlist REWRITE_RULE));
 499     BY(ASM_MESON_TAC[COLLINEAR_2;SET_RULE `{a,a,b}= {a,(b:real^3)}`]);
 500   REWRITE_TAC[IN_ELIM_THM];
 501   REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
 502   FIRST_X_ASSUM_ST `aff_ge` MP_TAC;
 503   REWRITE_TAC[];
 504   GMATCH_SIMP_TAC AFF_GE_2_1;
 505   ASM_SIMP_TAC[Fan.th3a;IN_ELIM_THM];
 506   REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
 507   TYPIFY `t2 % (u0 cross u1) + (t3 - t2') % u0 + (-- t3') % u1 = vec 0` (C SUBGOAL_THEN MP_TAC);
 508     BY(FIRST_X_ASSUM MP_TAC THEN VECTOR_ARITH_TAC);
 509   DISCH_TAC;
 510   TYPIFY `t2 = &0` (C SUBGOAL_THEN ASSUME_TAC);
 511     BY(ASM_MESON_TAC[cross_independent]);
 512   FIRST_X_ASSUM (RULE_ASSUM_TAC o (unlist REWRITE_RULE));
 513   REPLICATE_TAC 4 (FIRST_X_ASSUM kill);
 514   TYPIFY `v2 = t3 % u0` (C SUBGOAL_THEN ASSUME_TAC);
 515     BY(FIRST_X_ASSUM MP_TAC THEN VECTOR_ARITH_TAC);
 516   FIRST_X_ASSUM (RULE_ASSUM_TAC o (unlist REWRITE_RULE));
 517   BY(ASM_MESON_TAC[COLLINEAR_LEMMA_ALT])
 518   ]);;
 519   (* }}} *)
 520
 521 let ECAU_aff_ge = prove_by_refinement(
 522   `!(u:num->real^3) r. (!i j. i <= r /\ j <= r /\ ~(i = j) ==> ~collinear {vec 0, u i, u j}) /\
 523      (!i. 1 <= i /\ i <= r ==> u i IN aff_gt {vec 0,u 0 } {u 1} )  ==>
 524   (!i. 1 <= i /\ i <= r ==> u i IN aff_ge {vec 0,u 0 } {u 1} )  `,
 525   (* {{{ proof *)
 526   [
 527   REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
 528   TYPIFY `u i IN aff_gt {vec 0,u 0} {u 1}` (C SUBGOAL_THEN MP_TAC);
 529     ASM_TAC THEN REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
 530     BY(FIRST_X_ASSUM MATCH_MP_TAC THEN ASM_REWRITE_TAC[]);
 531   INTRO_TAC AFF_GT_SUBSET_AFF_GE [`{vec 0,u 0}`;`{u 1}`];
 532   BY(SET_TAC[])
 533   ]);;
 534   (* }}} *)
 535
 536 let collinear_cross = prove_by_refinement(
 537   `!u i r. i <= r /\ 1 <= r /\ (!i j. i <= r /\ j <= r /\ ~(i = j) ==> ~collinear {vec 0, u i, u j}) /\
 538      (!i. 1 <= i /\ i <= r ==> u i IN aff_gt {vec 0,u 0 } {u 1} )
 539   ==> ~collinear {vec 0,u 0 cross u 1,u i}`,
 540   (* {{{ proof *)
 541   [
 542   REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
 543   FIRST_X_ASSUM MP_TAC;
 544   REWRITE_TAC[];
 545   TYPIFY `i = 0` ASM_CASES_TAC;
 546     ASM_REWRITE_TAC[];
 547     ONCE_REWRITE_TAC[SET_RULE `{a,b,c} = {a,c,b}`];
 548     REWRITE_TAC[GSYM Local_lemmas.COLL_IFF_COLL_CROSS];
 549     FIRST_X_ASSUM MATCH_MP_TAC;
 550     BY(ASM_TAC THEN ARITH_TAC);
 551   INTRO_TAC ECAU_aff_ge [`u`;`r`];
 552   ASM_REWRITE_TAC[];
 553   DISCH_TAC;
 554   MATCH_MP_TAC vuy3;
 555   BY(REPEAT CONJ_TAC THEN FIRST_X_ASSUM MATCH_MP_TAC THEN ASM_TAC THEN TRY ARITH_TAC)
 556   ]);;
 557   (* }}} *)
 558
 559 let YBTASCZ1 = prove_by_refinement(
 560   `!u r j.
 561     (j <= r) /\ (1<= r) /\
 562     (!i j. i <= r /\ j <= r /\ ~(i=j) ==> ~collinear {vec 0,u i ,u j}) /\
 563     (!i. 1 <= i /\ i <= r ==> u i IN aff_gt {vec 0,u 0 } {u 1} ) /\
 564     cyclic_set {u i | i <= r} (vec 0) ((u 0) cross (u 1)) /\
 565     (!i. i < r ==> azim_cycle {u i | i <= r} (vec 0) ((u 0) cross (u 1)) (u i) = u (i+1)) ==>
 566     (!i. i < j ==> azim (vec 0) ((u 0) cross (u 1)) (u 0) (u i) < azim (vec 0) (u 0 cross (u 1)) (u 0) (u j))
 567     `,
 568   (* {{{ proof *)
 569   [
 570   REPEAT GEN_TAC;
 571   DISCH_TAC;
 572   INTRO_TAC ECAU_aff_ge [`u`;`r`];
 573   ASM_REWRITE_TAC[];
 574   DISCH_TAC;
 575   INDUCT_TAC;
 576     DISCH_TAC;
 577     REWRITE_TAC[arith `a < b <=> (a <= b /\ ~(a = b))`];
 578     CONJ_TAC;
 579       BY(REWRITE_TAC[AZIM_REFL;Local_lemmas.AZIM_RANGE]);
 580     REWRITE_TAC[AZIM_REFL];
 581     ONCE_REWRITE_TAC[EQ_SYM_EQ];
 582     MATCH_MP_TAC ybt_inj_0;
 583     ASM_TAC THEN REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
 584     BY(REPEAT CONJ_TAC THEN TRY (FIRST_X_ASSUM MATCH_MP_TAC) THEN ASM_TAC THEN TRY ARITH_TAC);
 585   COMMENT "induction step";
 586   ONCE_REWRITE_TAC[arith `a < b <=> ~(b < a) /\ ~(a = b)`];
 587   REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
 588   CONJ2_TAC;
 589     MATCH_MP_TAC ybt_inj;
 590     ASM_TAC THEN REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
 591     BY(REPEAT CONJ_TAC THEN TRY (FIRST_X_ASSUM MATCH_MP_TAC) THEN ASM_TAC THEN TRY ARITH_TAC);
 592   DISCH_TAC;
 593   TYPIFY `i < (j:num)` (C SUBGOAL_THEN ASSUME_TAC);
 594     BY(REPLICATE_TAC 2 (FIRST_X_ASSUM MP_TAC) THEN ARITH_TAC);
 595   ASM_TAC THEN REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
 596   TYPIFY `azim_cycle {u i | i <= r} (vec 0) (u 0 cross u 1) (u i) = u (i+1)` (C SUBGOAL_THEN ASSUME_TAC);
 597     FIRST_X_ASSUM MATCH_MP_TAC;
 598     BY(ASM_TAC THEN ARITH_TAC);
 599   INTRO_TAC (GEN_ALL Wrgcvdr_cizmrrh.AZIM_CYCLE_PROPERTIES) [`{u i | (i:num) <= r}`;`u i`;`u 0 cross u 1`;`(vec 0):real^3`];
 600   ANTS_TAC;
 601     CONJ_TAC;
 602       REWRITE_TAC[SUBSET;IN_ELIM_THM;IN_SING];
 603       TYPIFY `1 <= r` (C SUBGOAL_THEN MP_TAC);
 604         BY(ASM_REWRITE_TAC[]);
 605       TYPIFY (`~(u 0 = u 1)`) ENOUGH_TO_SHOW_TAC;
 606         BY(MESON_TAC[arith `1 <= r ==> 0 <= r /\ 1 <= r`]);
 607       DISCH_TAC;
 608       FIRST_X_ASSUM_ST `collinear` (C INTRO_TAC [`0`;`1`]);
 609       ANTS_TAC;
 610         BY(ASM_TAC THEN ARITH_TAC);
 611       ASM_REWRITE_TAC[];
 612       BY(MESON_TAC[COLLINEAR_2;SET_RULE `{a,b,b}= {a,(b:real^3)}`]);
 613     TYPIFY `{u i | i <= r } = IMAGE u {i | i <= (r:num)}` (C SUBGOAL_THEN SUBST1_TAC);
 614       BY(SET_TAC[]);
 615     MATCH_MP_TAC FINITE_IMAGE;
 616     BY(REWRITE_TAC[FINITE_NUMSEG_LE]);
 617   ASM_REWRITE_TAC[];
 618   REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
 619   FIRST_X_ASSUM (C INTRO_TAC [`u j`]);
 620   ANTS_TAC;
 621     CONJ_TAC;
 622       DISCH_TAC;
 623       FIRST_X_ASSUM_ST `collinear` (C INTRO_TAC [`j`;`i`]);
 624       ANTS_TAC;
 625         BY(ASM_TAC THEN ARITH_TAC);
 626       ASM_REWRITE_TAC[];
 627       BY(MESON_TAC[COLLINEAR_2;SET_RULE `{a,b,b}= {a,(b:real^3)}`]);
 628     TYPIFY_GOAL_THEN `(j:num) <=r ==> {u i | i <= r} (u j)` MATCH_MP_TAC;
 629       TYPIFY `{u i | i <= r } = IMAGE u {i | i <= (r:num)}` (C SUBGOAL_THEN SUBST1_TAC);
 630         BY(SET_TAC[]);
 631       REWRITE_TAC[IMAGE;IN_ELIM_THM];
 632       BY(MESON_TAC[]);
 633     BY(ASM_TAC THEN ARITH_TAC);
 634   REWRITE_TAC[arith `i+1 = SUC i`];
 635   REWRITE_TAC[DE_MORGAN_THM];
 636   PROOF_BY_CONTR_TAC;
 637   COMMENT "shift";
 638   FIRST_X_ASSUM_ST `(i:num) < j ==> b` MP_TAC;
 639   ASM_REWRITE_TAC[];
 640   DISCH_TAC;
 641   FIRST_ASSUM MP_TAC;
 642   REWRITE_TAC[];
 643   ONCE_REWRITE_TAC[arith `a < b <=> &0 < b - a`];
 644   GMATCH_SIMP_TAC Leaf_cell.AZIM_BASE_SHIFT_LE;
 645   TYPIFY `u i` EXISTS_TAC;
 646   (ASM_SIMP_TAC[arith `x <= x` ;arith `x < y ==> x <= y`]);
 647   CONJ_TAC;
 648     BY(REPEAT (GMATCH_SIMP_TAC collinear_cross) THEN REPEAT CONJ_TAC THEN TYPIFY `r` EXISTS_TAC THEN ASM_REWRITE_TAC[] THEN ASM_TAC THEN TRY ARITH_TAC);
 649   REWRITE_TAC[arith `&0 < a - b <=> b < a`];
 650   DISCH_TAC;
 651   COMMENT "second shift";
 652   TYPIFY `azim (vec 0) (u 0 cross u 1) (u i) (u j) <      azim (vec 0) (u 0 cross u 1) (u i) (u (SUC i))` (C SUBGOAL_THEN ASSUME_TAC);
 653     FIRST_X_ASSUM_ST `SUC` kill;
 654     FIRST_ASSUM_ST `SUC` MP_TAC;
 655     ONCE_REWRITE_TAC[arith `a < b <=> &0 < b - a`];
 656     MATCH_MP_TAC (arith `a = b ==> &0 < a ==> &0 < b`);
 657     MATCH_MP_TAC Leaf_cell.AZIM_BASE_SHIFT_LE;
 658     (ASM_SIMP_TAC[arith `x <= x` ;arith `x < y ==> x <= y`]);
 659     REWRITE_TAC[TAUT `(a /\ b /\ c) <=> ((a /\ b) /\ c)`];
 660     CONJ2_TAC;
 661       BY(ASM_TAC THEN REAL_ARITH_TAC);
 662     BY(REPEAT (GMATCH_SIMP_TAC collinear_cross) THEN REPEAT CONJ_TAC THEN TYPIFY `r` EXISTS_TAC THEN ASM_REWRITE_TAC[] THEN ASM_TAC THEN TRY ARITH_TAC);
 663   BY(ASM_TAC THEN REAL_ARITH_TAC)
 664   ]);;
 665   (* }}} *)
 666
 667 let YBTASCZ2 = prove_by_refinement(
 668   `!u r i j.
 669     (i < j) /\ (j <= r) /\ (1<= r) /\
 670     (!i j. i <= r /\ j <= r /\ ~(i=j) ==> ~collinear {vec 0,u i ,u j}) /\
 671     (!i. 1 <= i /\ i <= r ==> u i IN aff_gt {vec 0,u 0 } {u 1} ) /\
 672     cyclic_set {u i | i <= r} (vec 0) ((u 0) cross (u 1)) /\
 673     (!i. i < r ==> azim_cycle {u i | i <= r} (vec 0) ((u 0) cross (u 1)) (u i) = u (i+1)) ==>
 674     (azim (vec 0) ((u 0) cross (u 1)) (u i) (u j) < pi)
 675     `,
 676   (* {{{ proof *)
 677   [
 678   REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
 679   INTRO_TAC YBTASCZ1 [`u`;`r`;`j`];
 680   ASM_REWRITE_TAC[];
 681   DISCH_THEN (C INTRO_TAC [`i`]);
 682   ASM_REWRITE_TAC[];
 683   DISCH_TAC;
 684   INTRO_TAC Fan.sum4_azim_fan [`(vec 0):real^3`;`u 0 cross u 1`;`u 0`;`u i`;`u j`];
 685   ANTS_TAC;
 686     ASM_SIMP_TAC[arith `x < y ==> x <= y`];
 687     BY(REPEAT CONJ_TAC THEN MATCH_MP_TAC collinear_cross THEN TYPIFY `r` EXISTS_TAC THEN ASM_REWRITE_TAC[] THEN ASM_TAC THEN TRY ARITH_TAC);
 688   INTRO_TAC vuy4 [`u j`;`u 0`;`u 1`];
 689   ANTS_TAC;
 690     INTRO_TAC ECAU_aff_ge [`u`;`r`];
 691     ASM_REWRITE_TAC[];
 692     DISCH_TAC;
 693     BY(REPEAT CONJ_TAC THEN FIRST_X_ASSUM MATCH_MP_TAC THEN ASM_TAC THEN ARITH_TAC);
 694   INTRO_TAC Counting_spheres.AZIM_NN [`(vec 0):real^3`;`u 0 cross u 1`;`u 0`;`u i`];
 695   BY(REAL_ARITH_TAC)
 696   ]);;
 697   (* }}} *)
 698
 699 let YBTASCZ3 = prove_by_refinement(
 700   `!u r i j.
 701     (i < j) /\ (j <= r) /\ (1<= r) /\
 702     (!i j. i <= r /\ j <= r /\ ~(i=j) ==> ~collinear {vec 0,u i ,u j}) /\
 703     (!i. 1 <= i /\ i <= r ==> u i IN aff_gt {vec 0,u 0 } {u 1} ) /\
 704     cyclic_set {u i | i <= r} (vec 0) ((u 0) cross (u 1)) /\
 705     (!i. i < r ==> azim_cycle {u i | i <= r} (vec 0) ((u 0) cross (u 1)) (u i) = u (i+1)) ==>
 706     (&0 < azim (vec 0) ((u 0) cross (u 1)) (u i) (u j))
 707     `,
 708   (* {{{ proof *)
 709   [
 710   REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
 711   INTRO_TAC YBTASCZ1 [`u`;`r`;`j`];
 712   ASM_REWRITE_TAC[];
 713   DISCH_THEN (C INTRO_TAC [`i`]);
 714   ASM_REWRITE_TAC[];
 715   DISCH_TAC;
 716   INTRO_TAC Fan.sum4_azim_fan [`(vec 0):real^3`;`u 0 cross u 1`;`u 0`;`u i`;`u j`];
 717   ANTS_TAC;
 718     ASM_SIMP_TAC[arith `x < y ==> x <= y`];
 719     BY(REPEAT CONJ_TAC THEN MATCH_MP_TAC collinear_cross THEN TYPIFY `r` EXISTS_TAC THEN ASM_REWRITE_TAC[] THEN ASM_TAC THEN TRY ARITH_TAC);
 720   BY(FIRST_X_ASSUM MP_TAC THEN REAL_ARITH_TAC)
 721   ]);;
 722   (* }}} *)
 723
 724 let KCZXLLE = prove_by_refinement(
 725   `!u r i j k.
 726     (j < k) /\ (k <= r) /\ (1<= r) /\ (i <= r) /\ ((i < j \/ k < i)) /\
 727     (!i j. i <= r /\ j <= r /\ ~(i=j) ==> ~collinear {vec 0,u i ,u j}) /\
 728     (!i. 1 <= i /\ i <= r ==> u i IN aff_gt {vec 0,u 0 } {u 1} ) /\
 729     cyclic_set {u i | i <= r} (vec 0) ((u 0) cross (u 1)) /\
 730     (!i. i < r ==> azim_cycle {u i | i <= r} (vec 0) ((u 0) cross (u 1)) (u i) = u (i+1)) ==>
 731     (azim (vec 0) (u i) (u j) (u k) = &0)
 732     `,
 733   (* {{{ proof *)
 734   [
 735   REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
 736   TYPIFY `?r. j < k /\     k <= r /\     1 <= r /\     (!i j. i <= r /\ j <= r /\ ~(i = j) ==> ~collinear {vec 0, u i, u j}) /\     (!i. 1 <= i /\ i <= r ==> u i IN aff_gt {vec 0, u 0} {u 1}) /\     cyclic_set {u i | i <= r} (vec 0) (u 0 cross u 1) /\     (!i. i < r          ==> azim_cycle {u i | i <= r} (vec 0) (u 0 cross u 1) (u i) =              u (i + 1))` (C SUBGOAL_THEN ASSUME_TAC);
 737     TYPIFY `r` EXISTS_TAC;
 738     BY(ASM_REWRITE_TAC[]);
 739   INTRO_TAC ECAU_aff_ge [`u`;`r`] THEN ASM_REWRITE_TAC[] THEN DISCH_TAC;
 740   COMMENT "planarity";
 741   TYPIFY `!i. i <= r ==> u i IN affine hull {vec 0,u 0,u 1}` (C SUBGOAL_THEN ASSUME_TAC);
 742     REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
 743     ASM_CASES_TAC `i' = 0`;
 744       MATCH_MP_TAC HULL_INC;
 745       ASM_REWRITE_TAC[];
 746       BY(SET_TAC[]);
 747     RULE_ASSUM_TAC(REWRITE_RULE[arith `~(i=0) <=> 1<= i`]);
 748     REWRITE_TAC[GSYM Trigonometry.UIVNNRR2];
 749     INTRO_TAC (GEN_ALL Local_lemmas.AFF_GT_MONO) [`{vec 0,u 0}`;`{u 1}`;`{u 1}`];
 750     ANTS_TAC;
 751       BY(SET_TAC[]);
 752     TYPIFY_GOAL_THEN `{vec 0,u 0} UNION {u 1} = {vec 0,u 0,u 1} /\ {u 1} DIFF {u 1} = {}` (unlist REWRITE_TAC);
 753       BY(SET_TAC[]);
 754     TYPIFY `u i' IN aff_gt {vec 0, u 0} {u 1}` ENOUGH_TO_SHOW_TAC;
 755       BY(SET_TAC[]);
 756     FIRST_X_ASSUM MATCH_MP_TAC;
 757     BY(ASM_REWRITE_TAC[]);
 758   COMMENT "ARITH GOES HERE";
 759   TYPIFY `j <= (r:num)` (C SUBGOAL_THEN ASSUME_TAC);
 760     REPLICATE_TAC 10 (FIRST_X_ASSUM kill);
 761     BY(ASM_TAC THEN ARITH_TAC);
 762   TYPIFY `~(i = j) /\ ~(i = k) /\ 0 <= r` (C SUBGOAL_THEN ASSUME_TAC);
 763     BY(REPLICATE_TAC 6 (FIRST_X_ASSUM kill) THEN ASM_TAC THEN ARITH_TAC);
 764   TYPIFY `~(0 = k) /\ (1 <= k) /\ ~(0=1)` (C SUBGOAL_THEN ASSUME_TAC);
 765     BY(REPLICATE_TAC 10 (FIRST_X_ASSUM kill) THEN ASM_TAC THEN ARITH_TAC);
 766   COMMENT "other prelims here";
 767   TYPIFY `~collinear {vec 0, u 0, u 1} /\ ~collinear {vec 0,u i,u j} /\ ~collinear {vec 0,u i,u k}` (C SUBGOAL_THEN ASSUME_TAC);
 768     BY(REPEAT CONJ_TAC THEN FIRST_X_ASSUM MATCH_MP_TAC THEN ASM_REWRITE_TAC[arith `~(0=1)`]);
 769   TYPIFY `DISJOINT {vec 0, u 0} {u 1}` (C SUBGOAL_THEN ASSUME_TAC);
 770     GMATCH_SIMP_TAC Fan.th3a;
 771     BY(ASM_REWRITE_TAC[]);
 772   TYPIFY `~collinear {vec 0, u 0, u k} /\ ~collinear {vec 0, u 0, u 1} /\ u k IN aff_ge {vec 0, u 0} {u 1} /\ u k IN aff_gt {vec 0, u 0} {u 1}` (C SUBGOAL_THEN ASSUME_TAC);
 773     BY((REPEAT CONJ_TAC) THEN (FIRST_X_ASSUM MATCH_MP_TAC) THEN ASM_REWRITE_TAC[]);
 774   TYPIFY `!i. i <= r ==> ~collinear {vec 0,u 0 cross u 1, u i}` (C SUBGOAL_THEN ASSUME_TAC);
 775     REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
 776     ASM_CASES_TAC `i' = 0`;
 777       FIRST_X_ASSUM_ST `collinear` MP_TAC;
 778       ASM_REWRITE_TAC[];
 779       ONCE_REWRITE_TAC[SET_RULE `{a,b,c} = {a,c,b}`];
 780       REWRITE_TAC[GSYM Local_lemmas.COLL_IFF_COLL_CROSS];
 781       BY(ASM_REWRITE_TAC[]);
 782     RULE_ASSUM_TAC (ONCE_REWRITE_RULE[arith `~(i'=0) <=> (1 <= i' /\ ~(i' = 0))`]);
 783     FIRST_X_ASSUM_ST `collinear` MP_TAC;
 784     REWRITE_TAC[];
 785     MATCH_MP_TAC vuy3;
 786     BY((REPEAT CONJ_TAC THEN FIRST_X_ASSUM MATCH_MP_TAC THEN ASM_REWRITE_TAC[]));
 787   COMMENT "standard";
 788   TYPIFY `coplanar {vec 0, u i, u j, u k}` (C SUBGOAL_THEN ASSUME_TAC);
 789     REWRITE_TAC[coplanar];
 790     GEXISTL_TAC [`(vec 0):real^3`;`u 0`;`u 1`];
 791     REWRITE_TAC[SUBSET;IN_INSERT;NOT_IN_EMPTY];
 792     REPEAT STRIP_TAC THEN ASM_REWRITE_TAC[] THEN (FIRST_X_ASSUM MATCH_MP_TAC ORELSE MATCH_MP_TAC HULL_INC) THEN ASM_REWRITE_TAC[];
 793     BY(REPEAT WEAKER_STRIP_TAC THEN SET_TAC[]);
 794   RULE_ASSUM_TAC(REWRITE_RULE[GSYM Local_lemmas1.AZIM_COND_FOR_COPLANAR]);
 795   FIRST_X_ASSUM DISJ_CASES_TAC;
 796     BY(ASM_REWRITE_TAC[]);
 797   PROOF_BY_CONTR_TAC THEN FIRST_X_ASSUM kill;
 798   INTRO_TAC (GEN_ALL Ldurdpn.LDURDPN) [`u i`;`u j`;`u k`];
 799   ANTS_TAC;
 800     BY(CONJ_TAC THEN FIRST_X_ASSUM MATCH_MP_TAC THEN ASM_REWRITE_TAC[]);
 801   ASM_REWRITE_TAC[];
 802   REWRITE_TAC[DE_MORGAN_THM];
 803   DISJ2_TAC;
 804   TYPIFY `conv0 {u j,u k} SUBSET aff_gt {vec 0, u 0} {u 1}` (C SUBGOAL_THEN ASSUME_TAC);
 805     ASM_CASES_TAC `j=0`;
 806       ASM_REWRITE_TAC[Geomdetail.CONV0_SET2;SUBSET;IN_ELIM_THM];
 807       REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
 808       GMATCH_SIMP_TAC AFF_GT_2_1;
 809       ASM_REWRITE_TAC[IN_ELIM_THM];
 810       INTRO_TAC vuy1 [`u k`;`u 0`;`u 1`];
 811       ANTS_TAC;
 812         BY(ASM_REWRITE_TAC[]);
 813       REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
 814       ASM_REWRITE_TAC[];
 815       GEXISTL_TAC [`&1 - a - b * (t0 + t1)`;`a + b * t0`;`b*t1`];
 816       GMATCH_SIMP_TAC REAL_LT_MUL_EQ;
 817       ASM_REWRITE_TAC[];
 818       CONJ_TAC;
 819         BY(REAL_ARITH_TAC);
 820       BY(VECTOR_ARITH_TAC);
 821     COMMENT "~(j=0)";
 822     MATCH_MP_TAC SUBSET_TRANS;
 823     TYPIFY `conv {u j,u k}` EXISTS_TAC;
 824     REWRITE_TAC[Geomdetail.CONV02_SU_CONV2];
 825     MATCH_MP_TAC Geomdetail.CONVEX_IM_CONV2_SU;
 826     ASM_REWRITE_TAC[CONVEX_AFF_GT];
 827     RULE_ASSUM_TAC(REWRITE_RULE[arith `~(j=0) <=> 1<=j`]);
 828     BY( FIRST_X_ASSUM MATCH_MP_TAC THEN ASM_REWRITE_TAC[]);
 829   REWRITE_TAC[EXTENSION;IN_ELIM_THM;IN_INTER;NOT_IN_EMPTY];
 830   REWRITE_TAC[TAUT `~(a /\ b) <=> (b ==> ~a)`];
 831   REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
 832   FIRST_X_ASSUM_ST `aff` MP_TAC;
 833   REWRITE_TAC[Trigonometry2.AFF2_VEC0;IN_ELIM_THM];
 834   REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
 835   TYPIFY `k' % u i IN aff_gt {vec 0, u 0} {u 1}` (C SUBGOAL_THEN MP_TAC);
 836     BY(REPLICATE_TAC 3 (FIRST_X_ASSUM MP_TAC) THEN SET_TAC[]);
 837   REWRITE_TAC[];
 838   GMATCH_SIMP_TAC AFF_GT_2_1;
 839   ASM_REWRITE_TAC[IN_ELIM_THM];
 840   REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
 841   TYPIFY `~(i = 0)` (C SUBGOAL_THEN ASSUME_TAC);
 842     DISCH_TAC;
 843     FIRST_X_ASSUM_ST `%` MP_TAC;
 844     ASM_REWRITE_TAC[];
 845     TYPIFY `~collinear {vec 0, u 0, u 1}` (C SUBGOAL_THEN MP_TAC);
 846       BY(ASM_REWRITE_TAC[]);
 847     REWRITE_TAC[COLLINEAR_LEMMA_ALT];
 848     REWRITE_TAC[DE_MORGAN_THM;NOT_EXISTS_THM];
 849     REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
 850     FIRST_X_ASSUM (C INTRO_TAC [`(inv t3 * (k' - t2))`]);
 851     REWRITE_TAC[];
 852     TYPIFY `t3 % u 1 = t3 % (inv t3 * (k' - t2)) % u 0` ENOUGH_TO_SHOW_TAC;
 853       REWRITE_TAC[VECTOR_MUL_LCANCEL];
 854       DISCH_THEN DISJ_CASES_TAC;
 855         BY(FIRST_X_ASSUM (RULE_ASSUM_TAC o (unlist REWRITE_RULE)) THEN FIRST_X_ASSUM_ST `&0 < &0` MP_TAC THEN REAL_ARITH_TAC);
 856       BY(FIRST_X_ASSUM ACCEPT_TAC);
 857     FIRST_X_ASSUM MP_TAC;
 858     REWRITE_TAC[VECTOR_MUL_ASSOC];
 859     TYPIFY `(t3 * inv t3 * (k' - t2)) = k' - t2` (C SUBGOAL_THEN SUBST1_TAC);
 860       Calc_derivative.CALC_ID_TAC;
 861       BY(FIRST_X_ASSUM_ST `&0 < t3` MP_TAC THEN REAL_ARITH_TAC);
 862     BY(VECTOR_ARITH_TAC);
 863   TYPIFY `?t. &0 < t /\ x = t % u i` (C SUBGOAL_THEN MP_TAC);
 864     FIRST_X_ASSUM_ST `aff_gt` (C INTRO_TAC [`i`]);
 865     (ANTS_TAC);
 866       BY(RULE_ASSUM_TAC(REWRITE_RULE[arith `~(i=0) <=> 1 <= i`]) THEN ASM_REWRITE_TAC[]);
 867     GMATCH_SIMP_TAC AFF_GT_2_1;
 868     ASM_REWRITE_TAC[IN_ELIM_THM];
 869     REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
 870     TYPIFY `k'` EXISTS_TAC;
 871     ASM_REWRITE_TAC[];
 872     TYPIFY `k' = t3/ t3'` ENOUGH_TO_SHOW_TAC;
 873       DISCH_THEN SUBST1_TAC;
 874       GMATCH_SIMP_TAC REAL_LT_DIV;
 875       BY(ASM_REWRITE_TAC[]);
 876     FIRST_X_ASSUM (RULE_ASSUM_TAC o (unlist REWRITE_RULE));
 877     TYPIFY `t3 = k' * t3'` ENOUGH_TO_SHOW_TAC;
 878       DISCH_THEN SUBST1_TAC;
 879       Calc_derivative.CALC_ID_TAC;
 880       BY((FIRST_X_ASSUM_ST `&0 < t` MP_TAC) THEN REAL_ARITH_TAC);
 881     PROOF_BY_CONTR_TAC;
 882     TYPIFY `(k'*t2' - t2) % u 0 + (k'*t3' - t3) % u 1 = vec 0` (C SUBGOAL_THEN MP_TAC);
 883       BY(FIRST_X_ASSUM_ST `%` MP_TAC THEN VECTOR_ARITH_TAC);
 884     DISCH_TAC;
 885     TYPIFY `inv (k' * t3' - t3) % (k' * t3' - t3) % u 1 = inv(k' * t3' - t3) % (t2 - k' * t2') % u 0` (C SUBGOAL_THEN ASSUME_TAC);
 886       REWRITE_TAC[VECTOR_MUL_LCANCEL];
 887       DISJ2_TAC;
 888       BY(FIRST_X_ASSUM MP_TAC THEN VECTOR_ARITH_TAC);
 889     FIRST_X_ASSUM MP_TAC;
 890     REWRITE_TAC[VECTOR_MUL_ASSOC];
 891     TYPIFY `inv (k' * t3' - t3) * (k' * t3' - t3) = &1` (C SUBGOAL_THEN SUBST1_TAC);
 892       Calc_derivative.CALC_ID_TAC;
 893       BY(REPLICATE_TAC 2 (FIRST_X_ASSUM MP_TAC) THEN REAL_ARITH_TAC);
 894     REWRITE_TAC[VECTOR_MUL_LID];
 895     DISCH_TAC;
 896     FIRST_X_ASSUM_ST `collinear` (C INTRO_TAC [`0`;`1`]);
 897     ANTS_TAC;
 898       BY(ASM_REWRITE_TAC[]);
 899     BY(ASM_MESON_TAC[COLLINEAR_LEMMA_ALT]);
 900   REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
 901   (COMMENT "wedge");
 902   TYPIFY `conv0 {u j,u k}  SUBSET wedge (vec 0) (u 0 cross u 1) (u j) (u k)` (C SUBGOAL_THEN ASSUME_TAC);
 903     TYPIFY `wedge (vec 0) (u 0 cross u 1) (u j) (u k) = aff_gt {vec 0,u 0 cross u 1} {u j,u k}` ENOUGH_TO_SHOW_TAC;
 904       DISCH_THEN SUBST1_TAC;
 905       REWRITE_TAC[CONV0_AFF_GT];
 906       MATCH_MP_TAC AFF_GT_MONO_LEFT;
 907       BY(SET_TAC[]);
 908     MATCH_MP_TAC WEDGE_LUNE_GT;
 909     TYPIFY_GOAL_THEN `~collinear {vec 0, u 0 cross u 1, u j}` (unlist REWRITE_TAC);
 910       ASM_CASES_TAC `j= 0`;
 911         ASM_REWRITE_TAC[];
 912         ONCE_REWRITE_TAC[SET_RULE `{a,b,c} = {a,c,b}`];
 913         REWRITE_TAC[GSYM Local_lemmas.COLL_IFF_COLL_CROSS];
 914         FIRST_X_ASSUM MATCH_MP_TAC;
 915         BY(ASM_REWRITE_TAC[]);
 916       FIRST_X_ASSUM MATCH_MP_TAC;
 917       BY(ASM_REWRITE_TAC[]);
 918     CONJ_TAC;
 919       FIRST_X_ASSUM MATCH_MP_TAC;
 920       BY(ASM_REWRITE_TAC[]);
 921     GMATCH_SIMP_TAC YBTASCZ3;
 922     ASM_REWRITE_TAC[];
 923     GMATCH_SIMP_TAC YBTASCZ2;
 924     BY(ASM_REWRITE_TAC[]);
 925   TYPIFY `x IN wedge (vec 0) (u 0 cross u 1) (u j) (u k)` (C SUBGOAL_THEN MP_TAC);
 926     BY(REPEAT (FIRST_X_ASSUM_ST `conv0` MP_TAC) THEN SET_TAC[]);
 927   REWRITE_TAC[Reuhady.WEDGE_SIMPLE;IN_ELIM_THM];
 928   FIRST_X_ASSUM_ST `x = (y:real^3)` SUBST1_TAC;
 929   TYPIFY `azim (vec 0) (u 0 cross u 1) (u j) (t % u i) = azim (vec 0) (u 0 cross u 1) (u j) (u i)` (C SUBGOAL_THEN SUBST1_TAC);
 930     FIRST_X_ASSUM_ST `&0 < t` MP_TAC;
 931     BY(MESON_TAC[AZIM_SCALE_ALL;arith `&0 < &1`;arith `&1 % v = v`]);
 932   COMMENT "two cases";
 933   REWRITE_TAC[DE_MORGAN_THM];
 934   DISJ2_TAC;
 935   FIRST_X_ASSUM DISJ_CASES_TAC;
 936     REWRITE_TAC[arith `~(a < b) <=> b <= a`];
 937     MATCH_MP_TAC REAL_LE_TRANS;
 938     TYPIFY `pi` EXISTS_TAC;
 939     SUBCONJ_TAC;
 940       MATCH_MP_TAC (arith `x < pi ==> x <= pi`);
 941       MATCH_MP_TAC YBTASCZ2;
 942       EXISTS_TAC `r:num`;
 943       BY(ASM_REWRITE_TAC[]);
 944     DISCH_TAC;
 945     ONCE_REWRITE_TAC[Rogers.AZIM_COMPL_EXT];
 946     COND_CASES_TAC;
 947       TYPIFY `&0 < azim  (vec 0) (u 0 cross u 1) (u i) (u j)` ENOUGH_TO_SHOW_TAC;
 948         BY(FIRST_X_ASSUM MP_TAC THEN REAL_ARITH_TAC);
 949       MATCH_MP_TAC YBTASCZ3;
 950       TYPIFY `r` EXISTS_TAC;
 951       BY(ASM_REWRITE_TAC[]);
 952     MATCH_MP_TAC (arith `x < pi ==> pi <= &2 * pi - x`);
 953     MATCH_MP_TAC YBTASCZ2;
 954     EXISTS_TAC `r:num`;
 955     BY(ASM_REWRITE_TAC[]);
 956   COMMENT "last case";
 957   REWRITE_TAC[arith `~(a < b) <=> b <= a`];
 958   INTRO_TAC Fan.sum3_azim_fan [`(vec 0):real^3`;`u 0 cross u 1`;`u j`;`u k`;`u i`];
 959   ANTS_TAC;
 960     CONJ_TAC;
 961       MATCH_MP_TAC (arith `x < pi /\ y < pi ==> x + y < &2 * pi`);
 962       CONJ_TAC THEN (MATCH_MP_TAC YBTASCZ2);
 963         TYPIFY `r` EXISTS_TAC;
 964         BY(ASM_REWRITE_TAC[]);
 965       TYPIFY `r` EXISTS_TAC;
 966       BY(ASM_REWRITE_TAC[]);
 967     BY(REPEAT CONJ_TAC THEN FIRST_X_ASSUM MATCH_MP_TAC THEN ASM_REWRITE_TAC[]);
 968   TYPIFY `&0 <=  azim (vec 0) (u 0 cross u 1) (u k) (u i)` ENOUGH_TO_SHOW_TAC;
 969     BY(REAL_ARITH_TAC);
 970   BY(REWRITE_TAC[Counting_spheres.AZIM_NN])
 971   ]);;
 972   (* }}} *)
 973
 974 let KCZXLLE_SYM = prove_by_refinement(
 975   `!u r i j k.
 976          k <= r /\
 977          j <= r /\
 978          1 <= r /\
 979          i <= r /\
 980          ((j < k /\ (i < j \/ k < i)) \/ (k < j /\ (i < k \/ j < i))) /\
 981          (!i j.
 982               i <= r /\ j <= r /\ ~(i = j) ==> ~collinear {vec 0, u i, u j}) /\
 983          (!i. 1 <= i /\ i <= r ==> u i IN aff_gt {vec 0, u 0} {u 1}) /\
 984          cyclic_set {u i | i <= r} (vec 0) (u 0 cross u 1) /\
 985          (!i. i < r
 986               ==> azim_cycle {u i | i <= r} (vec 0) (u 0 cross u 1) (u i) =
 987                   u (i + 1))
 988          ==> azim (vec 0) (u i) (u j) (u k) = &0`,
 989   (* {{{ proof *)
 990   [
 991   REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
 992   FIRST_X_ASSUM DISJ_CASES_TAC;
 993     MATCH_MP_TAC KCZXLLE;
 994     TYPIFY `r` EXISTS_TAC;
 995     BY(ASM_REWRITE_TAC[]);
 996   ONCE_REWRITE_TAC[Local_lemmas.AZIM_EQ_0_SYM2];
 997   MATCH_MP_TAC KCZXLLE;
 998   TYPIFY `r` EXISTS_TAC;
 999   BY(ASM_REWRITE_TAC[])
1000   ]);;
1001   (* }}} *)
1002
1003 let open_continuous_eps = prove_by_refinement(
1004   `!U f t a b. (t IN real_interval (a,b)) /\ f t IN U /\
1005                 (!x. x IN real_interval (a,b) ==> f real_continuous atreal x) /\ real_open U ==>
1006    (?e. &0 < e /\ (!x. abs (x-t) < e ==> f x IN U))`,
1007   (* {{{ proof *)
1008   [
1009   REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
1010   INTRO_TAC Pent_hex.continuous_preimage_open [`f`;`real_interval (a,b)`;`U`];
1011   ASM_REWRITE_TAC[];
1012   ANTS_TAC;
1013     BY(ASM_SIMP_TAC[ Ocbicby.REAL_OPEN_REAL_INTERVAL;REAL_CONTINUOUS_ON_EQ_REAL_CONTINUOUS_AT ]);
1014   REWRITE_TAC[real_open;IN_ELIM_THM];
1015   DISCH_THEN (C INTRO_TAC [`t`]);
1016   ASM_REWRITE_TAC[];
1017   REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
1018   BY(ASM_MESON_TAC[])
1019   ]);;
1020   (* }}} *)
1021
1022 let coplanar_in_affine_hull = prove_by_refinement(
1023   `!(u:real^A) v w x. ~collinear {u,v,w} /\ coplanar {x,u,v,w} ==> x IN affine hull {u,v,w}`,
1024   (* {{{ proof *)
1025   [
1026   REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
1027   INTRO_TAC Counting_spheres.NOT_COLLINEAR_AFF_DIM_2 [`u`;`v`;`w`];
1028   ASM_REWRITE_TAC[] THEN DISCH_TAC;
1029   MATCH_MP_TAC Leaf_cell.COPLANAR_INSERT;
1030   BY(ASM_REWRITE_TAC[])
1031   ]);;
1032   (* }}} *)
1033
1034 let azim_0_as_closed = prove_by_refinement(
1035   `!(v2:real^3) v3 v4. ~collinear {vec 0, v2,v3} /\ ~collinear {vec 0,v2,v4} ==>
1036     (azim (vec 0) v2 v3 v4 = &0 <=> (coplanar {vec 0,v2,v3,v4} /\ &0 <= ((v2 cross v3) cross v2) dot v4))`,
1037   (* {{{ proof *)
1038   [
1039   REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
1040   TYPIFY `~coplanar {vec 0,v2,v3,v4}` ASM_CASES_TAC THEN RULE_ASSUM_TAC(REWRITE_RULE[]) THEN ASM_REWRITE_TAC[];
1041     BY(ASM_MESON_TAC[AZIM_EQ_0_PI_IMP_COPLANAR]);
1042   INTRO_TAC coplanar_in_affine_hull [`(vec 0):real^3`;`v2`;`v3`;`v4`];
1043   ANTS_TAC;
1044     ONCE_REWRITE_TAC[SET_RULE `{a,b,c,d} = {b,c,d,a}`];
1045     BY(ASM_REWRITE_TAC[]);
1046   DISCH_TAC;
1047   INTRO_TAC Ckqowsa_4_points.in_affine_hull_lemma [`v2`;`v3`;`v4`];
1048   ASM_REWRITE_TAC[];
1049   REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
1050   TYPIFY `&0 <= ((v2 cross v3) cross v2) dot v4 <=> &0 <= t2` (C SUBGOAL_THEN SUBST1_TAC);
1051     ASM_REWRITE_TAC[DOT_RADD;DOT_RMUL];
1052     ONCE_REWRITE_TAC[CROSS_TRIPLE];
1053     REWRITE_TAC[CROSS_REFL;DOT_LZERO];
1054     REWRITE_TAC[arith `t1 * &0 + c = c`];
1055     GMATCH_SIMP_TAC (CONJUNCT2 REAL_LE_MUL_EQ);
1056     REWRITE_TAC[DOT_POS_LT];
1057     BY(ASM_REWRITE_TAC[CROSS_EQ_0]);
1058   TYPIFY `azim (vec 0) v2 v3 v4 = &0 <=> ~(azim (vec 0) v2 v3 v4 = pi)` (C SUBGOAL_THEN SUBST1_TAC);
1059     BY(ASM_MESON_TAC[Local_lemmas1.AZIM_COND_FOR_COPLANAR;PI_POS;arith `&0 < pi ==> ~(&0 = pi)`]);
1060   GMATCH_SIMP_TAC Ldurdpn.LDURDPN;
1061   CONJ_TAC;
1062     BY(ASM_MESON_TAC[]);
1063   TYPIFY_GOAL_THEN `(?A. plane A /\ {vec 0, v2, v3, v4} SUBSET A)` (unlist REWRITE_TAC);
1064     FIRST_X_ASSUM_ST `coplanar` MP_TAC THEN REWRITE_TAC[coplanar] THEN REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
1065     TYPIFY `affine hull {vec 0,v2,v3}` EXISTS_TAC;
1066     CONJ2_TAC;
1067       TYPIFY `v4 IN affine hull {vec 0,v2,v3} /\ {vec 0 ,v2,v3} SUBSET affine hull {vec 0,v2,v3}` ENOUGH_TO_SHOW_TAC;
1068         BY(SET_TAC[]);
1069       BY(CONJ_TAC THEN ASM_MESON_TAC[Qzksykg.SET_SUBSET_AFFINE_HULL]);
1070     REWRITE_TAC[plane];
1071     BY(ASM_MESON_TAC[]);
1072   ASM_REWRITE_TAC[];
1073   REWRITE_TAC[EXTENSION;IN_INTER;NOT_IN_EMPTY];
1074   REWRITE_TAC[Trigonometry2.AFF2_VEC0;IN_ELIM_THM;Geomdetail.CONV0_SET2;DE_MORGAN_THM;NOT_EXISTS_THM];
1075   TYPIFY `(!x. (!k. ~(x = k % v2)) \/      (!a b.           ~(&0 < a) \/           ~(&0 < b) \/           ~(a + b = &1) \/           ~(x = a % v3 + b % (t1 % v2 + t2 % v3)))) <=> (!k a b. &0 < a /\ &0 < b /\ a + b = &1 ==> ~(k % v2 = a % v3 + b % (t1 % v2 + t2 % v3)))` (C SUBGOAL_THEN SUBST1_TAC);
1076     BY(MESON_TAC[]);
1077   COMMENT "first case";
1078   ASM_CASES_TAC `&0 <= t2`;
1079     ASM_REWRITE_TAC[];
1080     REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
1081     TYPIFY `v3 = (inv (b * t2  + a) * (-- (b * t1 - k))) % v2` ENOUGH_TO_SHOW_TAC;
1082       BY(ASM_MESON_TAC[COLLINEAR_LEMMA_ALT]);
1083     MATCH_MP_TAC VECTOR_MUL_LCANCEL_IMP;
1084     TYPIFY `(b * t2 + a)` EXISTS_TAC;
1085     SUBCONJ_TAC;
1086       MATCH_MP_TAC (arith `&0 <= b' /\ &0 < a ==> ~(b' + a = &0)`);
1087       GMATCH_SIMP_TAC REAL_LE_MUL;
1088       BY(ASM_TAC THEN REAL_ARITH_TAC);
1089     REWRITE_TAC[VECTOR_MUL_ASSOC];
1090     DISCH_TAC;
1091     TYPIFY `((b * t2 + a) * inv (b * t2 + a) * --(b * t1 - k))  = -- (b * t1 - k)` (C SUBGOAL_THEN SUBST1_TAC);
1092       Calc_derivative.CALC_ID_TAC;
1093       BY(FIRST_X_ASSUM MP_TAC THEN REAL_ARITH_TAC);
1094     BY(FIRST_X_ASSUM_ST `%` MP_TAC THEN VECTOR_ARITH_TAC);
1095   ASM_REWRITE_TAC[NOT_FORALL_THM];
1096   TYPIFY `~(t2 = &1)` (C SUBGOAL_THEN ASSUME_TAC);
1097     DISCH_THEN (RULE_ASSUM_TAC o (unlist REWRITE_RULE));
1098     BY(ASM_TAC THEN REAL_ARITH_TAC);
1099   GEXISTL_TAC [`t1 / (&1 - t2)`;`-- t2 / (&1 - t2)`;`&1 / (&1 - t2)`;];
1100   DISCH_THEN MP_TAC THEN ANTS_TAC;
1101     GMATCH_SIMP_TAC REAL_LT_DIV;
1102     GMATCH_SIMP_TAC REAL_LT_DIV;
1103     TYPIFY `--t2 / (&1 - t2) + &1 / (&1 - t2) = &1` (C SUBGOAL_THEN SUBST1_TAC);
1104       Calc_derivative.CALC_ID_TAC;
1105       BY(FIRST_X_ASSUM MP_TAC THEN REAL_ARITH_TAC);
1106     BY(ASM_TAC THEN REAL_ARITH_TAC);
1107   REWRITE_TAC[];
1108   TYPIFY `&1 / (&1 - t2) % (t1 % v2 + t2 % v3) = t1 / (&1 - t2) % v2 - --t2 / (&1 - t2) % v3` ENOUGH_TO_SHOW_TAC;
1109     DISCH_THEN SUBST1_TAC;
1110     BY(VECTOR_ARITH_TAC);
1111   REWRITE_TAC[VECTOR_ADD_LDISTRIB];
1112   REWRITE_TAC[VECTOR_MUL_ASSOC];
1113   TYPIFY `(&1 / (&1 - t2) * t1) = t1 / (&1 - t2)` (C SUBGOAL_THEN SUBST1_TAC);
1114     BY(REAL_ARITH_TAC);
1115   BY(VECTOR_ARITH_TAC)
1116   ]);;
1117   (* }}} *)
1118
1119 (*
1120 let CONTINUOUS_LIFT_DOT2 = prove
1121  (`!net f:A->real^N g.
1122         f continuous net /\ g continuous net
1123         ==> (\x. lift(f x dot g x)) continuous net`,
1124   REPEAT GEN_TAC THEN DISCH_THEN(MP_TAC o MATCH_MP (MATCH_MP (REWRITE_RULE
1125    [TAUT `p /\ q /\ r ==> s <=> r ==> p /\ q ==> s`]
1126   BILINEAR_CONTINUOUS_COMPOSE) BILINEAR_DOT)) THEN REWRITE_TAC[]);;
1127
1128 let REAL_CONTINUOUS_AT_DOT2 = prove_by_refinement(
1129   `!(f:real->real^A) g x.  f continuous atreal x /\ g continuous atreal x
1130             ==> (\x. (f x dot g x)) real_continuous atreal x`,
1131   (* {{{ proof *)
1132   [
1133   REWRITE_TAC[REAL_CONTINUOUS_CONTINUOUS1];
1134   REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
1135   TYPIFY `lift o (\x. f x dot g x) = (\x. lift (f x dot g x))` (C SUBGOAL_THEN SUBST1_TAC);
1136     BY(REWRITE_TAC[FUN_EQ_THM;o_DEF]);
1137   INTRO_TAC CONTINUOUS_AT_LIFT_DOT2 [`f o drop`;`g o drop`;`lift x`];
1138   TYPIFY `(\x. lift ((f o drop) x dot (g o drop) x)) = (\x. lift (f x dot g x)) o drop` (C SUBGOAL_THEN SUBST1_TAC);
1139     BY(REWRITE_TAC[FUN_EQ_THM;o_DEF]);
1140   BY(ASM_REWRITE_TAC[GSYM (* Xbjrphc. *) CONTINUOUS_CONTINUOUS_ATREAL])
1141   ]);;
1142   (* }}} *)
1143 *)
1144
1145 let REAL_CONTINUOUS_AT_DOT2 = prove_by_refinement(
1146   `!(f:real->real^A) g x.  f continuous atreal x /\ g continuous atreal x
1147             ==> (\x. (f x dot g x)) real_continuous atreal x`,
1148   (* {{{ proof *)
1149   [
1150   REWRITE_TAC[REAL_CONTINUOUS_CONTINUOUS1];
1151   REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
1152   TYPIFY `lift o (\x. f x dot g x) = (\x. lift (f x dot g x))` (C SUBGOAL_THEN SUBST1_TAC);
1153     BY(REWRITE_TAC[FUN_EQ_THM;o_DEF]);
1154   MATCH_MP_TAC CONTINUOUS_LIFT_DOT2;
1155   ASM_REWRITE_TAC[];
1156   ]);;
1157   (* }}} *)
1158
1159 let azim_pos_open = prove_by_refinement(
1160   `!v2 v3 v4 t a b.     (!x. x IN real_interval (a,b) ==> v2 continuous (atreal x)) /\
1161     (!x. x IN real_interval (a,b) ==> v3 continuous (atreal x)) /\
1162     (!x. x IN real_interval (a,b) ==> v4 continuous (atreal x)) /\
1163     t IN real_interval(a,b) /\
1164     ~collinear {(vec 0) ,(v2 t) ,(v3 t)}  /\ ~collinear {(vec 0), (v2 t), (v4 t)} /\
1165     ~(azim (vec 0) (v2 t) (v3 t) (v4 t) = &0) ==>
1166   (?e. &0 < e /\ (!t'. abs(t' - t) < e ==> ~(azim (vec 0) (v2 t') (v3 t') (v4 t') = &0)))
1167  `,
1168   (* {{{ proof *)
1169   [
1170   REWRITE_TAC[real_open;IN_ELIM_THM];
1171   REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
1172   INTRO_TAC (GEN_ALL NONCOLLINEAR_OPEN ) [`t`;`(vec 0):real^3`;`v2`;`v3`];
1173   ANTS_TAC;
1174     BY(ASM_MESON_TAC[]);
1175   REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
1176   INTRO_TAC (GEN_ALL NONCOLLINEAR_OPEN ) [`t`;`(vec 0):real^3`;`v2`;`v4`];
1177   ANTS_TAC;
1178     BY(ASM_MESON_TAC[]);
1179   REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
1180   INTRO_TAC azim_0_as_closed [`v2 t`;`v3 t`;`v4 t`];
1181   ASM_REWRITE_TAC[DE_MORGAN_THM];
1182   DISCH_TAC;
1183   TYPIFY `?e. &0 < e /\ (!t'. abs(t - t') < e ==> (~coplanar {vec 0, v2 t', v3 t', v4 t'} \/ ~(&0 <= ((v2 t' cross v3 t') cross v2 t') dot v4 t')))` (C SUBGOAL_THEN MP_TAC);
1184     FIRST_X_ASSUM DISJ_CASES_TAC;
1185       INTRO_TAC NONPLANAR_OPEN [`\(t:real). ((vec 0):real^3)`;`v2`;`v3`;`v4`;`t`];
1186       ANTS_TAC;
1187         ASM_REWRITE_TAC[CONTINUOUS_CONST];
1188         BY(ASM_MESON_TAC[]);
1189       REWRITE_TAC[];
1190       BY(MESON_TAC[]);
1191     TYPIFY `(\t. ((v2 t cross v3 t) cross v2 t) dot -- (v4 t)) real_continuous_on ( real_interval(a,b) )` (C SUBGOAL_THEN ASSUME_TAC);
1192       GMATCH_SIMP_TAC REAL_CONTINUOUS_ON_EQ_REAL_CONTINUOUS_AT;
1193       REWRITE_TAC[Ocbicby.REAL_OPEN_REAL_INTERVAL];
1194       REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
1195       MATCH_MP_TAC REAL_CONTINUOUS_AT_DOT2;
1196       CONJ2_TAC;
1197         MATCH_MP_TAC CONTINUOUS_NEG;
1198         BY(ASM_MESON_TAC[]);
1199       MATCH_MP_TAC (* Xbjrphc. *)CONTINUOUS_CROSS;
1200       CONJ2_TAC;
1201         BY(ASM_MESON_TAC[]);
1202       MATCH_MP_TAC (* Xbjrphc. *)CONTINUOUS_CROSS;
1203       BY(ASM_MESON_TAC[]);
1204     INTRO_TAC Pent_hex.continuous_preimage_open [`(\x. ((v2 x cross v3 x) cross v2 x) dot -- v4 x)`;`real_interval(a,b)`;`{u | &0 < u}`];
1205     ANTS_TAC;
1206       ASM_REWRITE_TAC[Ocbicby.REAL_OPEN_REAL_INTERVAL];
1207       BY(REWRITE_TAC[REAL_OPEN_HALFSPACE_GT;arith ` &0 < x <=> x > &0`]);
1208     REWRITE_TAC[IN_ELIM_THM];
1209     REWRITE_TAC[real_open;DOT_RNEG;arith `&0 < -- x <=> ~(&0 <= x)`;IN_ELIM_THM];
1210     DISCH_THEN (C INTRO_TAC [`t`]);
1211     ANTS_TAC;
1212       BY(ASM_REWRITE_TAC[]);
1213     BY(MESON_TAC[arith `abs (x' - t) < e <=> abs (t - x') < e`]);
1214   REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
1215   TYPIFY `?e'''. e''' <= e /\ e''' <= e' /\ e''' <= e'' /\ &0 < e'''` (C SUBGOAL_THEN MP_TAC);
1216     TYPIFY `if (e'' <= e' /\ e'' <= e) then e'' else (if (e' <= e'' /\ e' <= e) then e' else e)` EXISTS_TAC;
1217     BY(REPEAT (FIRST_X_ASSUM_ST `&0 < e` MP_TAC) THEN REAL_ARITH_TAC);
1218   REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
1219   TYPIFY `e'''` EXISTS_TAC;
1220   ASM_REWRITE_TAC[];
1221   GEN_TAC;
1222   DISCH_TAC;
1223   GMATCH_SIMP_TAC azim_0_as_closed;
1224   REWRITE_TAC[DE_MORGAN_THM];
1225   BY(REPEAT CONJ_TAC THEN FIRST_X_ASSUM MATCH_MP_TAC THEN ASM_TAC THEN TRY REAL_ARITH_TAC)
1226   ]);;
1227   (* }}} *)
1228
1229 let azim_real_continuous_on = prove_by_refinement(
1230   `!v2 v3 v4 t a b.
1231     (!x. x IN real_interval (a,b) ==> v2 continuous (atreal x)) /\
1232     (!x. x IN real_interval (a,b) ==> v3 continuous (atreal x)) /\
1233     (!x. x IN real_interval (a,b) ==> v4 continuous (atreal x)) /\
1234     t IN real_interval(a,b) /\
1235     ~collinear {(vec 0) ,(v2 t) ,(v3 t)}  /\ ~collinear {(vec 0), (v2 t), (v4 t)} /\
1236     ~(azim (vec 0) (v2 t) (v3 t) (v4 t)  = &0) ==>
1237     (?e. &0 < e /\ (\q. azim (vec 0) (v2 q) (v3 q) (v4 q)) real_continuous_on (real_interval (t - e, t+ e)))`,
1238   (* {{{ proof *)
1239   [
1240   REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
1241   INTRO_TAC (GEN_ALL NONCOLLINEAR_OPEN) [`t`;`(vec 0):real^3`;`v2`;`v3`];
1242   ANTS_TAC;
1243     BY(ASM_REWRITE_TAC[] THEN CONJ_TAC THEN FIRST_X_ASSUM MATCH_MP_TAC THEN ASM_REWRITE_TAC[]);
1244   REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
1245   INTRO_TAC (GEN_ALL NONCOLLINEAR_OPEN) [`t`;`(vec 0):real^3`;`v2`;`v4`];
1246   ANTS_TAC;
1247     BY(ASM_REWRITE_TAC[] THEN CONJ_TAC THEN FIRST_X_ASSUM MATCH_MP_TAC THEN ASM_REWRITE_TAC[]);
1248   REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
1249   INTRO_TAC azim_pos_open [`v2`;`v3`;`v4`;`t`;`a`;`b`];
1250   ANTS_TAC;
1251     BY(ASM_REWRITE_TAC[]);
1252   REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
1253   TYPIFY `?e'''.  &0 < e''' /\ (!x. t - e''' < x /\ x < t + e''' ==> x IN real_interval (a,b))` (C SUBGOAL_THEN MP_TAC);
1254     TYPIFY `if (b-t <= t -a) then b -  t else t - a` EXISTS_TAC;
1255     FIRST_X_ASSUM_ST `IN` MP_TAC;
1256     REWRITE_TAC[IN_REAL_INTERVAL];
1257     BY(REAL_ARITH_TAC);
1258   REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
1259   TYPIFY `?e''''. e'''' <= e /\ e'''' <= e' /\ e'''' <= e'' /\ e'''' <= e''' /\ &0 < e''''` (C SUBGOAL_THEN MP_TAC);
1260     INTRO_TAC Packing3.REAL_FINITE_MIN_EXISTS [`{e,e',e'',e'''}`];
1261     ANTS_TAC;
1262       CONJ_TAC;
1263         BY(MESON_TAC[FINITE_RULES]);
1264       BY(SET_TAC[]);
1265     REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
1266     TYPIFY `m` EXISTS_TAC;
1267     RULE_ASSUM_TAC(REWRITE_RULE[IN_INSERT;NOT_IN_EMPTY]);
1268     REPLICATE_TAC 2 (FIRST_X_ASSUM MP_TAC) THEN (REPEAT (FIRST_X_ASSUM_ST `&0 < e` MP_TAC));
1269     BY(MESON_TAC[]);
1270   REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
1271   TYPIFY `e''''` EXISTS_TAC;
1272   ASM_REWRITE_TAC[];
1273   GMATCH_SIMP_TAC REAL_CONTINUOUS_ON_EQ_REAL_CONTINUOUS_AT;
1274   REWRITE_TAC[Ocbicby.REAL_OPEN_REAL_INTERVAL;IN_REAL_INTERVAL];
1275   REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
1276   MATCH_MP_TAC (* Xbjrphc. *)REAL_CONTINUOUS_ATREAL_AZIM_COMPOSE;
1277   ASM_REWRITE_TAC[CONTINUOUS_CONST];
1278   GMATCH_SIMP_TAC (GSYM Local_lemmas.AZIM_EQ_0_GE_ALT2);
1279   TYPIFY `x IN real_interval (a,b)` (C SUBGOAL_THEN ASSUME_TAC);
1280     FIRST_X_ASSUM MATCH_MP_TAC;
1281     BY(REPLICATE_TAC 5 (FIRST_X_ASSUM MP_TAC) THEN REAL_ARITH_TAC);
1282   BY(REPEAT CONJ_TAC THEN FIRST_X_ASSUM MATCH_MP_TAC THEN ASM_REWRITE_TAC[] THEN (REPLICATE_TAC 10 (FIRST_X_ASSUM MP_TAC)) THEN TRY REAL_ARITH_TAC)
1283   ]);;
1284   (* }}} *)
1285
1286 let azim_pos_iff_nz = prove_by_refinement(
1287   `!v1 v2 v3 v4.
1288     &0 < azim v1 v2 v3 v4 <=> ~(azim v1 v2 v3 v4 = &0)`,
1289   (* {{{ proof *)
1290   [
1291   BY(MESON_TAC[Counting_spheres.AZIM_NN;arith `&0 < x <=> (&0 <= x /\ ~(x = &0))`])
1292   ]);;
1293   (* }}} *)
1294
1295 (* was NHCXLRV_PREP *)
1296
1297 let NHCXLRV = prove_by_refinement(
1298   `!v w0 w1 w2 f a b.
1299     deformation f {w0,w1,w2,v} (a,b) /\
1300     ~collinear {vec 0, f w1 (&0), f w2 (&0)} /\
1301     ~collinear {vec 0, f w1 (&0), f w0 (&0)} /\
1302     ~collinear {vec 0, f w1 (&0), f v (&0)} /\
1303     v IN wedge (vec 0) w1 w2 w0 ==>
1304     (?e. &0 < e /\
1305        (!t. abs t < e ==> (f v t) IN wedge (vec 0) (f w1 t) (f w2 t) (f w0 t)))`,
1306   (* {{{ proof *)
1307   [
1308   REWRITE_TAC[Reuhady.WEDGE_SIMPLE;IN_ELIM_THM;IN_INSERT;NOT_IN_EMPTY;Localization.deformation];
1309   REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
1310   TYPIFY `?c. azim (vec 0) w1 w2 v < c /\ c < azim (vec 0) w1 w2 w0` (C SUBGOAL_THEN MP_TAC);
1311     TYPIFY `(azim (vec 0) w1 w2 v + azim (vec 0) w1 w2 w0)/ &2` EXISTS_TAC;
1312     BY(FIRST_X_ASSUM MP_TAC THEN REAL_ARITH_TAC);
1313   REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
1314   TYPIFY `(?e1. &0 < e1 /\ (!t. abs t < e1 ==> &0 < azim (vec 0) (f w1 t) (f w2 t) (f v t))) /\(?e2. &0 < e2 /\ (!t. abs t < e2 ==> azim (vec 0) (f w1 t) (f w2 t) (f v t) < c)) /\ (?e3. &0 < e3 /\ (!t. abs t < e3 ==> c < azim (vec 0) (f w1 t) (f w2 t) (f w0 t)))` ENOUGH_TO_SHOW_TAC;
1315     REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
1316     TYPIFY `if (e1 <= e2 /\ e1 <= e3) then e1 else if (e2 <= e3 /\ e2 <= e1) then e2 else e3` EXISTS_TAC;
1317     CONJ_TAC;
1318       BY(ASM_TAC THEN REAL_ARITH_TAC);
1319     REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
1320     CONJ_TAC;
1321       FIRST_X_ASSUM MATCH_MP_TAC;
1322       BY(FIRST_X_ASSUM MP_TAC THEN REAL_ARITH_TAC);
1323     MATCH_MP_TAC REAL_LT_TRANS;
1324     TYPIFY `c` EXISTS_TAC;
1325     BY(CONJ_TAC THEN FIRST_X_ASSUM MATCH_MP_TAC THEN FIRST_X_ASSUM MP_TAC THEN REAL_ARITH_TAC);
1326   INTRO_TAC azim_real_continuous_on [`f w1`;`f w2`;`f w0`;`&0`;`a`;`b`];
1327   ANTS_TAC;
1328     ASM_REWRITE_TAC[GSYM azim_pos_iff_nz];
1329     FIRST_X_ASSUM_ST `\/` (REPEAT o GMATCH_SIMP_TAC);
1330     TYPIFY_GOAL_THEN `&0 < azim (vec 0) w1 w2 w0` (unlist REWRITE_TAC);
1331       BY(ASM_MESON_TAC[Counting_spheres.AZIM_NN;arith `&0 <= x /\ x < y ==> &0 < y`]);
1332     BY(REPEAT CONJ_TAC THEN REPEAT WEAKER_STRIP_TAC THEN FIRST_X_ASSUM MATCH_MP_TAC THEN ASM_REWRITE_TAC[]);
1333   REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
1334   INTRO_TAC azim_real_continuous_on [`f w1`;`f w2`;`f v`;`&0`;`a`;`b`];
1335   ANTS_TAC;
1336     ASM_REWRITE_TAC[GSYM azim_pos_iff_nz];
1337     FIRST_X_ASSUM_ST `\/` (REPEAT o GMATCH_SIMP_TAC);
1338     ASM_REWRITE_TAC[];
1339     BY(REPEAT CONJ_TAC THEN REPEAT WEAKER_STRIP_TAC THEN FIRST_X_ASSUM MATCH_MP_TAC THEN ASM_REWRITE_TAC[]);
1340   REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
1341   RULE_ASSUM_TAC (REWRITE_RULE[arith `&0 - e = -- e /\ &0 + e  = e`]);
1342   INTRO_TAC Pent_hex.continuous_preimage_open [`(\q. azim (vec 0) (f w1 q) (f w2 q) (f v q))`;`real_interval (-- e',e')`;`{x | &0 < x}`];
1343   ASM_REWRITE_TAC[Ocbicby.REAL_OPEN_REAL_INTERVAL;REAL_OPEN_HALFSPACE_GT;arith ` &0 < x <=> x > &0`];
1344   INTRO_TAC Pent_hex.continuous_preimage_open [`(\q. azim (vec 0) (f w1 q) (f w2 q) (f v q))`;`real_interval (-- e',e')`;`{x | x < c }`];
1345   ASM_REWRITE_TAC[Ocbicby.REAL_OPEN_REAL_INTERVAL;REAL_OPEN_HALFSPACE_LT];
1346   INTRO_TAC Pent_hex.continuous_preimage_open [`(\q. azim (vec 0) (f w1 q) (f w2 q) (f w0 q))`;`real_interval (-- e,e)`;`{x | c < x}`];
1347   ASM_REWRITE_TAC[Ocbicby.REAL_OPEN_REAL_INTERVAL;REAL_OPEN_HALFSPACE_GT;arith ` c < x <=> x > c`];
1348   REWRITE_TAC[IN_REAL_INTERVAL;IN_ELIM_THM;real_open];
1349   REWRITE_TAC[arith `x > c <=> c < x`];
1350   REPEAT (DISCH_THEN (C INTRO_TAC [`&0`]) THEN (FIRST_ASSUM_ST `\/` (REPEAT o GMATCH_SIMP_TAC)) THEN ASM_SIMP_TAC[arith `&0 < e ==> -- e < &0`] THEN DISCH_TAC);
1351   RULE_ASSUM_TAC (REWRITE_RULE[arith `x - &0 = x`]);
1352   BY(ASM_MESON_TAC[])
1353   ]);;
1354   (* }}} *)
1355
1356 let NHCXLRV_ALT = prove_by_refinement(
1357   `!v w0 w1 w2 f a b.
1358          deformation f {w0, w1, w2, v} (a,b) /\
1359          ~collinear {vec 0, w1, w2} /\
1360          ~collinear {vec 0, w1, w0} /\
1361          ~collinear {vec 0, w1, v} /\
1362          v IN wedge (vec 0) w1 w2 w0
1363          ==> (?e. &0 < e /\
1364                   (!t. abs t < e
1365                        ==> f v t IN wedge (vec 0) (f w1 t) (f w2 t) (f w0 t)))`,
1366   (* {{{ proof *)
1367   [
1368   REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
1369   MATCH_MP_TAC NHCXLRV;
1370   GEXISTL_TAC [`a`;`b`];
1371   ASM_REWRITE_TAC[];
1372   TYPIFY `!u. u  IN {w0,w1,w2,v} ==> f u (&0) = u` (C SUBGOAL_THEN ASSUME_TAC);
1373     RULE_ASSUM_TAC(REWRITE_RULE[Localization.deformation]);
1374     ASM_TAC THEN REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
1375     FIRST_X_ASSUM MATCH_MP_TAC;
1376     BY(ASM_REWRITE_TAC[]);
1377   FIRST_X_ASSUM (REPEAT o GMATCH_SIMP_TAC);
1378   ASM_REWRITE_TAC[];
1379   BY(SET_TAC[])
1380   ]);;
1381   (* }}} *)
1382
1383 let WNWSHJT = prove_by_refinement(
1384   `!w0 w1 w2 f a b.
1385     deformation f {w0,w1,w2} (a,b) /\
1386     ~collinear {vec 0, f w1 (&0), f w2 (&0)} /\
1387     ~collinear {vec 0, f w1 (&0), f w0 (&0)} /\
1388     &0 < azim (vec 0) w1 w2 w0   /\
1389     azim (vec 0) w1 w2 w0 < pi ==>
1390     (?e. &0 < e /\
1391        (!t. abs t < e ==> azim (vec 0) (f w1 t) (f w2 t) (f w0 t) < pi))`,
1392   (* {{{ proof *)
1393   [
1394   REWRITE_TAC[IN_ELIM_THM;IN_INSERT;NOT_IN_EMPTY;Localization.deformation];
1395   REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
1396   INTRO_TAC azim_real_continuous_on [`f w1`;`f w2`;`f w0`;`&0`;`a`;`b`];
1397   ANTS_TAC;
1398     ASM_REWRITE_TAC[GSYM azim_pos_iff_nz];
1399     FIRST_X_ASSUM_ST `\/` (REPEAT o GMATCH_SIMP_TAC);
1400     ASM_REWRITE_TAC[];
1401     BY(REPEAT CONJ_TAC THEN REPEAT WEAKER_STRIP_TAC THEN FIRST_X_ASSUM MATCH_MP_TAC THEN ASM_REWRITE_TAC[]);
1402   REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
1403   RULE_ASSUM_TAC (REWRITE_RULE[arith `&0 - e = -- e /\ &0 + e  = e`]);
1404   INTRO_TAC Pent_hex.continuous_preimage_open [`(\q. azim (vec 0) (f w1 q) (f w2 q) (f w0 q))`;`real_interval (-- e,e)`;`{x | x < pi}`];
1405   ASM_REWRITE_TAC[Ocbicby.REAL_OPEN_REAL_INTERVAL;REAL_OPEN_HALFSPACE_LT];
1406   REWRITE_TAC[IN_REAL_INTERVAL;IN_ELIM_THM;real_open];
1407   REPEAT (DISCH_THEN (C INTRO_TAC [`&0`]) THEN (FIRST_ASSUM_ST `\/` (REPEAT o GMATCH_SIMP_TAC)) THEN ASM_SIMP_TAC[arith `&0 < e ==> -- e < &0`] THEN DISCH_TAC);
1408   RULE_ASSUM_TAC (REWRITE_RULE[arith `x - &0 = x`]);
1409   BY(ASM_MESON_TAC[])
1410   ]);;
1411   (* }}} *)
1412
1413 let LOFA_IMP_INANGLE_EQ_AZIM = prove_by_refinement
1414 (`!V E FF v. local_fan (V,E,FF) /\ v IN V ==> interior_angle1 (vec 0) FF v = azim_in_fan (v, rho_node1 FF v) E `,
1415 [
1416   REWRITE_TAC[Localization.convex_local_fan; Local_lemmas.azim_in_fan2];
1417   REPEAT STRIP_TAC;
1418   ASSUME_TAC2 Local_lemmas.EXISTS_INVERSE_OF_V;
1419   DOWN THEN STRIP_TAC;
1420   ASSUME_TAC2 Local_lemmas.LOFA_IMP_EE_TWO_ELMS;
1421   ASSUME_TAC2 Local_lemmas.LOFA_CARD_EE_V_1;
1422   ASSUME_TAC2 Lunar_deform.LOCAL_FAN_RHO_NODE_PROS2;
1423   DOWN THEN STRIP_TAC;
1424   UNDISCH_TAC` v:real^3 IN V `;
1425   FIRST_ASSUM NHANH;
1426   LET_TAC;
1427   SWITCH_TAC` EE v E = {rho_node1 FF v, vv} `;
1428   ASM_SIMP_TAC[ARITH_RULE` a = 2 ==> a > 1 `];
1429   STRIP_TAC;
1430   DOWN THEN DOWN THEN PHA;
1431   ASSUME_TAC2 (SPEC `vv:real^3 ` (GEN` v:real^3 ` Local_lemmas.IVS_RHO_IDD));
1432   EXPAND_TAC "d";
1433   SIMP_TAC[];
1434   UNDISCH_TAC` {rho_node1 FF v, vv} = EE v E `;
1435   DISCH_THEN (SUBST1_TAC o SYM);
1436   EXPAND_TAC "v";
1437   DOWN;
1438   BY(SIMP_TAC[Local_lemmas.interior_angle1; GSYM Local_lemmas.ivs_rho_node1; Local_lemmas.AZIM_CYCLE_TWO_POINT_SET])
1439 ]);;
1440
1441 let deformation_rho_node1_equivariant1 = prove_by_refinement(
1442   `!f V E FF a b v t.
1443     deformation f V (a,b) /\
1444     local_fan (V,E,FF) /\
1445     local_fan
1446                     (IMAGE (\v. f v t) V,
1447                      IMAGE (\s. IMAGE (\v. f v t) s) E,
1448                      IMAGE (\ (u,v). f u t,f v t) FF) /\
1449     v IN V ==>
1450     f (rho_node1 FF v) t = rho_node1 (IMAGE (\uv. f (FST uv) t,f (SND uv) t) FF) (f v t)`,
1451   (* {{{ proof *)
1452   [
1453   REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
1454   MATCH_MP_TAC EQ_SYM;
1455   MATCH_MP_TAC (GEN_ALL Local_lemmas.DETER_RHO_NODE);
1456   GEXISTL_TAC [`IMAGE (\v. f v t) V`;`       IMAGE (\s. IMAGE (\v. f v t) s) E`];
1457   CONJ_TAC;
1458     TYPIFY `IMAGE (\(u,v). f u t,f v t) FF = IMAGE (\uv. f (FST uv) t,f (SND uv) t) FF` ENOUGH_TO_SHOW_TAC;
1459       DISCH_THEN (SUBST1_TAC o GSYM);
1460       BY(ASM_REWRITE_TAC[]);
1461     BY(REWRITE_TAC[EXTENSION;IN_IMAGE;EXISTS_PAIR_THM]);
1462   REWRITE_TAC[IN_IMAGE;EXISTS_PAIR_THM];
1463   GEXISTL_TAC [`v`;`rho_node1 FF v`];
1464   REWRITE_TAC[];
1465   BY(ASM_MESON_TAC[Lunar_deform.LOCAL_FAN_RHO_NODE_PROS2])
1466   ]);;
1467   (* }}} *)
1468
1469 let deformation_ivs_rho_node1_equivariant1 = prove_by_refinement(
1470   `!f V E FF a b v t.
1471     deformation f V (a,b) /\
1472     local_fan (V,E,FF) /\
1473     local_fan
1474                     (IMAGE (\v. f v t) V,
1475                      IMAGE (\s. IMAGE (\v. f v t) s) E,
1476                      IMAGE (\ (u,v). f u t,f v t) FF) /\
1477     v IN V ==>
1478     f (ivs_rho_node1 FF v) t = ivs_rho_node1 (IMAGE (\uv. f (FST uv) t,f (SND uv) t) FF) (f v t)`,
1479   (* {{{ proof *)
1480   [
1481   REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
1482   MATCH_MP_TAC EQ_SYM;
1483   MATCH_MP_TAC (GEN_ALL Local_lemmas.IVS_RHO_NODE1_DETE);
1484   GEXISTL_TAC [`IMAGE (\v. f v t) V`;`       IMAGE (\s. IMAGE (\v. f v t) s) E`];
1485   CONJ_TAC;
1486     TYPIFY `IMAGE (\(u,v). f u t,f v t) FF = IMAGE (\uv. f (FST uv) t,f (SND uv) t) FF` ENOUGH_TO_SHOW_TAC;
1487       DISCH_THEN (SUBST1_TAC o GSYM);
1488       BY(ASM_REWRITE_TAC[]);
1489     BY(REWRITE_TAC[EXTENSION;IN_IMAGE;EXISTS_PAIR_THM]);
1490   REWRITE_TAC[IN_IMAGE;EXISTS_PAIR_THM];
1491   GEXISTL_TAC [`ivs_rho_node1 FF v`;`v`];
1492   REWRITE_TAC[];
1493   BY(ASM_MESON_TAC[Lunar_deform.IVS_RHO_NODE_V_IN_FF])
1494   ]);;
1495   (* }}} *)
1496
1497 let deformation_rho_node1_equivariant = prove_by_refinement(
1498   `!f V E FF a b v .
1499     deformation f V (a,b) /\
1500     local_fan (V,E,FF) /\
1501     v IN V ==>
1502     (?e. &0 < e /\
1503        (!t. abs t < e ==> f (rho_node1 FF v) t = rho_node1 (IMAGE (\uv. f (FST uv) t,f (SND uv) t) FF) (f v t)))`,
1504   (* {{{ proof *)
1505   [
1506   REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
1507   INTRO_TAC (GEN_ALL Lunar_deform.XRECQNS_UPDATE) [`a`;`b`;`V`;`E`;`f`;`FF`];
1508   ASM_REWRITE_TAC[];
1509   REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
1510   TYPIFY `e` EXISTS_TAC;
1511   ASM_REWRITE_TAC[];
1512   REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
1513   FIRST_X_ASSUM (C INTRO_TAC [`t`]);
1514   ASM_REWRITE_TAC[];
1515   BY(ASM_MESON_TAC[deformation_rho_node1_equivariant1])
1516   ]);;
1517   (* }}} *)
1518
1519 let deformation_subset = prove_by_refinement(
1520   `!f U V a b. U SUBSET V /\ deformation f V (a,b) ==> deformation f U (a,b)`,
1521   (* {{{ proof *)
1522   [
1523   REWRITE_TAC[Localization.deformation;SUBSET];
1524   BY(MESON_TAC[])
1525   ]);;
1526   (* }}} *)
1527
1528 let EXISTS_TRIPLE_THM = prove_by_refinement(
1529   `!P. (?p1 p2 p3. P p1 p2 p3) <=> (?x. P (FST x) (FST (SND x)) (SND (SND x)))`,
1530   (* {{{ proof *)
1531   [
1532   BY(REWRITE_TAC[EXISTS_PAIR_THM])
1533   ]);;
1534   (* }}} *)
1535
1536 let zlz_reduction = prove_by_refinement(
1537   `!a b V E FF f.
1538      convex_local_fan (V,E,FF) /\
1539      generic V E /\
1540      deformation f V (a,b) /\
1541      (!v t. v IN V /\ t IN real_interval (a,b) /\ interior_angle1 (vec 0) FF v = pi ==>
1542          interior_angle1 (vec 0) ( IMAGE (\uv. f (FST uv) t,f (SND uv) t) FF) (f v t) <= pi) /\
1543   (!u v w.
1544       ?e4. v,w IN FF /\ u IN V
1545            ==> &0 < e4 /\
1546                (!t. --e4 < t /\ t < e4
1547                     ==> aff_ge {vec 0} {f v t, f w t} INTER
1548                         aff_lt {vec 0} {f u t} =
1549                         {})) /\
1550  (!x. ?e3. x IN FF
1551            ==> &0 < e3 /\
1552                (!t. --e3 < t /\ t < e3
1553                     ==> IMAGE (\v. f v t) V SUBSET
1554                         wedge_in_fan_ge (f (FST x) t,f (SND x) t)
1555                         (IMAGE (IMAGE (\v. f v t)) E))) /\
1556  (!x. ?e2. x IN FF
1557            ==> &0 < e2 /\
1558                (!t. --e2 < t /\ t < e2
1559                     ==> azim_in_fan (f (FST x) t,f (SND x) t)
1560                         (IMAGE (IMAGE (\v. f v t)) E) <=
1561                         pi))
1562    ==> (?e. &0 < e /\
1563               (!t. --e < t /\ t < e
1564                    ==> convex_local_fan
1565                        (IMAGE (\v. f v t) V,
1566                         IMAGE (IMAGE (\v. f v t)) E,
1567                         IMAGE (\uv. f (FST uv) t,f (SND uv) t) FF) /\
1568                        generic (IMAGE (\v. f v t) V)
1569                        (IMAGE (IMAGE (\v. f v t)) E)))`,
1570   (* {{{ proof *)
1571   [
1572   REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
1573   REWRITE_TAC[Localization.convex_local_fan];
1574   REWRITE_TAC[Localization.generic];
1575   COMMENT "preliminaries";
1576   TYPIFY `!t. IMAGE (\s. IMAGE (\v. f v t) s) E = IMAGE (IMAGE (\v. f v t)) E /\ IMAGE (\(u,v). f u t,f v t) FF = IMAGE (\uv. f (FST uv) t,f (SND uv) t) FF` (C SUBGOAL_THEN ASSUME_TAC);
1577     BY(REWRITE_TAC[EXTENSION;IN_IMAGE;EXISTS_PAIR_THM]);
1578   INTRO_TAC (GEN_ALL Local_lemmas.CVX_LO_IMP_LO) [`V`;`E`;`FF`];
1579   ASM_REWRITE_TAC[];
1580   DISCH_TAC;
1581   TYPIFY `FINITE FF` (C SUBGOAL_THEN ASSUME_TAC);
1582     MATCH_MP_TAC Wrgcvdr_cizmrrh.LOCAL_FAN_FINITE_FF;
1583     BY(ASM_REWRITE_TAC[]);
1584   TYPIFY `~(FF = {})` (C SUBGOAL_THEN ASSUME_TAC);
1585     MATCH_MP_TAC Polar_fan.LOCAL_FAN_NOT_EMPTY_FF;
1586     BY(ASM_MESON_TAC[]);
1587   TYPIFY `(?e1. &0 < e1 /\ (!t. --e1 < t /\ t < e1 ==>       (local_fan               (IMAGE (\v. f v t) V,                IMAGE (IMAGE (\v. f v t)) E,                IMAGE (\uv. f (FST uv) t,f (SND uv) t) FF)))) /\     (?e2. &0 < e2 /\ (!t. --e2 < t /\ t < e2 ==>                         ((!x. x IN IMAGE (\uv. f (FST uv) t,f (SND uv) t) FF                    ==> azim_in_fan x (IMAGE (IMAGE (\v. f v t)) E) <= pi)))) /\     (?e3. &0 < e3 /\ (!t. --e3 < t /\ t < e3 ==>                   (!x. x IN IMAGE (\uv. f (FST uv) t,f (SND uv) t) FF                    ==>                         IMAGE (\v. f v t) V SUBSET                        wedge_in_fan_ge x (IMAGE (IMAGE (\v. f v t)) E)))) /\    (?e4. &0 < e4 /\ (!t. --e4 < t /\ t < e4 ==>                     (!v w u.                   {v, w} IN IMAGE (IMAGE (\v. f v t)) E /\                   u IN IMAGE (\v. f v t) V                   ==> aff_ge {vec 0} {v, w} INTER aff_lt {vec 0} {u} = {})))` ENOUGH_TO_SHOW_TAC;
1588     REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
1589     TYPIFY `?e. e <= e1 /\ e <= e2 /\ e <= e3 /\ e <= e4 /\ &0 < e` (C SUBGOAL_THEN MP_TAC);
1590       INTRO_TAC Packing3.REAL_FINITE_MIN_EXISTS [`{e1,e2,e3,e4}`];
1591       ANTS_TAC;
1592         CONJ_TAC;
1593           BY(MESON_TAC[FINITE_RULES]);
1594         BY(SET_TAC[]);
1595       REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
1596       TYPIFY `m` EXISTS_TAC;
1597       RULE_ASSUM_TAC(REWRITE_RULE[IN_INSERT;NOT_IN_EMPTY]);
1598       REPLICATE_TAC 2 (FIRST_X_ASSUM MP_TAC) THEN (REPEAT (FIRST_X_ASSUM_ST `&0 < e` MP_TAC));
1599       BY(MESON_TAC[]);
1600     REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
1601     TYPIFY `e` EXISTS_TAC;
1602     BY(ASM_MESON_TAC[arith `-- e < t /\ t < e /\ e <= e' ==> (-- e' < t /\ t < e')`]);
1603   COMMENT "local_fan";
1604   SUBCONJ_TAC;
1605     INTRO_TAC (GEN_ALL Lunar_deform.XRECQNS_UPDATE) [`a`;`b`;`V`;`E`;`f`;`FF`];
1606     ANTS_TAC;
1607       BY(ASM_REWRITE_TAC[]);
1608     REWRITE_TAC[arith `-- e < t /\ t < e <=> abs t < e`];
1609     REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
1610     TYPIFY `e` EXISTS_TAC;
1611     ASM_REWRITE_TAC[];
1612     REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
1613     FIRST_X_ASSUM (C INTRO_TAC [`t`]);
1614     BY(ASM_REWRITE_TAC[]);
1615   DISCH_TAC;
1616   COMMENT "skolemize all variables";
1617   COMMENT "angle <= pi";
1618   TYPIFY_GOAL_THEN `(!x. ?e2. x IN FF ==> ( &0 < e2 /\   (!t.  --e2 < t /\ t < e2 ==> azim_in_fan ( (\uv. f (FST uv) t,f (SND uv) t) x) (IMAGE (IMAGE (\v. f v t)) E) <= pi))) ==> (?e2. &0 < e2 /\       (!t. --e2 < t /\ t < e2            ==> (!x. x IN IMAGE (\uv. f (FST uv) t,f (SND uv) t) FF                     ==> azim_in_fan x (IMAGE (IMAGE (\v. f v t)) E) <= pi)))` GMATCH_SIMP_TAC;
1619     REWRITE_TAC[SKOLEM_THM];
1620     REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
1621     TYPIFY `?e. &0 < e /\ (!x. x IN FF ==> e <= e2 x)` (C SUBGOAL_THEN MP_TAC);
1622       INTRO_TAC Packing3.REAL_FINITE_MIN_EXISTS [`IMAGE e2 FF`];
1623       ANTS_TAC;
1624         CONJ_TAC;
1625           (MATCH_MP_TAC FINITE_IMAGE);
1626           BY(ASM_REWRITE_TAC[]);
1627         (MATCH_MP_TAC Fatugpd.NOT_EMPTY_IMAGE);
1628         BY(ASM_REWRITE_TAC[]);
1629       REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
1630       TYPIFY `m` EXISTS_TAC;
1631       REPLICATE_TAC 4 (FIRST_X_ASSUM MP_TAC);
1632       REWRITE_TAC[EXTENSION;NOT_IN_EMPTY];
1633       REWRITE_TAC[IN_IMAGE];
1634       BY(MESON_TAC[]);
1635     REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
1636     TYPIFY `e` EXISTS_TAC;
1637     ASM_REWRITE_TAC[];
1638     REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
1639     FIRST_X_ASSUM MP_TAC;
1640     REWRITE_TAC[IN_IMAGE;EXISTS_PAIR_THM];
1641     REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
1642     REPEAT (FIRST_X_ASSUM (C INTRO_TAC [`p1,p2`]));
1643     DISCH_TAC;
1644     ASM_REWRITE_TAC[];
1645     DISCH_TAC;
1646     FIRST_X_ASSUM_ST `IMAGE` MP_TAC;
1647     ASM_REWRITE_TAC[];
1648     REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
1649     FIRST_X_ASSUM (C INTRO_TAC [`t`]);
1650     ANTS_TAC;
1651       BY(ASM_TAC THEN REAL_ARITH_TAC);
1652     BY(REWRITE_TAC[]);
1653   COMMENT "skolemize wedge_in_fan";
1654   TYPIFY_GOAL_THEN `(!x. ?e3. x IN FF ==>  &0 < e3 /\       (!t. --e3 < t /\ t < e3            ==> (IMAGE (\v. f v t) V SUBSET                         wedge_in_fan_ge (f (FST x) t, f (SND x) t) (IMAGE (IMAGE (\v. f v t)) E)))) ==> ( (?e3. &0 < e3 /\       (!t. --e3 < t /\ t < e3            ==> (!x. x IN IMAGE (\uv. f (FST uv) t,f (SND uv) t) FF                     ==> IMAGE (\v. f v t) V SUBSET                         wedge_in_fan_ge x (IMAGE (IMAGE (\v. f v t)) E)))))` GMATCH_SIMP_TAC;
1655     REWRITE_TAC[SKOLEM_THM];
1656     REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
1657     TYPIFY `?e. &0 < e /\ (!x. x IN FF ==> e <= e3 x)` (C SUBGOAL_THEN MP_TAC);
1658       INTRO_TAC Packing3.REAL_FINITE_MIN_EXISTS [`IMAGE e3 FF`];
1659       ANTS_TAC;
1660         CONJ_TAC;
1661           (MATCH_MP_TAC FINITE_IMAGE);
1662           BY(ASM_REWRITE_TAC[]);
1663         (MATCH_MP_TAC Fatugpd.NOT_EMPTY_IMAGE);
1664         BY(ASM_REWRITE_TAC[]);
1665       REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
1666       TYPIFY `m` EXISTS_TAC;
1667       REPLICATE_TAC 4 (FIRST_X_ASSUM MP_TAC);
1668       REWRITE_TAC[EXTENSION;NOT_IN_EMPTY];
1669       REWRITE_TAC[IN_IMAGE];
1670       BY(MESON_TAC[]);
1671     REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
1672     TYPIFY `e` EXISTS_TAC;
1673     ASM_REWRITE_TAC[];
1674     REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
1675     FIRST_X_ASSUM MP_TAC;
1676     REWRITE_TAC[IN_IMAGE;EXISTS_PAIR_THM];
1677     REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
1678     REPEAT (FIRST_X_ASSUM (C INTRO_TAC [`p1,p2`]));
1679     DISCH_TAC;
1680     ASM_REWRITE_TAC[];
1681     DISCH_TAC;
1682     FIRST_X_ASSUM_ST `IMAGE` MP_TAC;
1683     ASM_REWRITE_TAC[];
1684     REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
1685     FIRST_X_ASSUM (C INTRO_TAC [`t`]);
1686     ANTS_TAC;
1687       BY(ASM_TAC THEN REAL_ARITH_TAC);
1688     BY(REWRITE_TAC[]);
1689   TYPIFY_GOAL_THEN `(!u v w. ?e4. (v,w) IN FF /\ u IN V ==> &0 < e4 /\ (!t. --e4 < t /\ t < e4  ==> aff_ge {vec 0} {f v t, f w t} INTER aff_lt {vec 0} {f u t} = {})) ==> (?e4. &0 < e4 /\       (!t. --e4 < t /\ t < e4            ==> (!v w u.                     {v, w} IN IMAGE (IMAGE (\v. f v t)) E /\                     u IN IMAGE (\v. f v t) V                     ==> aff_ge {vec 0} {v, w} INTER aff_lt {vec 0} {u} = {}))) ` GMATCH_SIMP_TAC;
1690     REWRITE_TAC[SKOLEM_THM];
1691     REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
1692     TYPIFY `?e. &0 < e /\ (!u v w. (u,(v,w)) IN V CROSS FF ==> e <= e4 u v w)` (C SUBGOAL_THEN MP_TAC);
1693       INTRO_TAC Packing3.REAL_FINITE_MIN_EXISTS [`IMAGE (\ x. e4 (FST x) (FST (SND x)) (SND(SND x))) (V CROSS FF)`];
1694       ANTS_TAC;
1695         CONJ_TAC;
1696           (MATCH_MP_TAC FINITE_IMAGE);
1697           MATCH_MP_TAC FINITE_CROSS;
1698           ASM_REWRITE_TAC[];
1699           BY(ASM_MESON_TAC[Local_lemmas.LOCAL_FAN_FINITE_V]);
1700         (MATCH_MP_TAC Fatugpd.NOT_EMPTY_IMAGE);
1701         REWRITE_TAC[CROSS_EQ_EMPTY];
1702         ASM_REWRITE_TAC[];
1703         BY(ASM_MESON_TAC[Local_lemmas.LOFA_V_NOT_EMP]);
1704       REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
1705       TYPIFY `m` EXISTS_TAC;
1706       REPLICATE_TAC 2 (FIRST_X_ASSUM MP_TAC);
1707       REWRITE_TAC[EXTENSION;NOT_IN_EMPTY];
1708       REWRITE_TAC[IN_IMAGE];
1709       REWRITE_TAC[EXISTS_PAIR_THM];
1710       REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
1711       FIRST_X_ASSUM (C INTRO_TAC [`p1`;`p1'`;`p2`]);
1712       ANTS_TAC;
1713         RULE_ASSUM_TAC(REWRITE_RULE[IN_CROSS]);
1714         BY(ASM_REWRITE_TAC[]);
1715       (REPEAT WEAKER_STRIP_TAC);
1716       ASM_REWRITE_TAC[];
1717       TYPIFY `m = e4 p1 p1' p2` UNDISCH_TAC;
1718       DISCH_THEN (RULE_ASSUM_TAC o (unlist REWRITE_RULE));
1719       REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
1720       FIRST_X_ASSUM MATCH_MP_TAC;
1721       BY(ASM_MESON_TAC[IN_CROSS]);
1722     REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
1723     TYPIFY `e` EXISTS_TAC;
1724     ASM_REWRITE_TAC[];
1725     REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
1726     FIRST_X_ASSUM MP_TAC;
1727     REWRITE_TAC[IN_IMAGE;EXISTS_PAIR_THM];
1728     REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
1729     FIRST_X_ASSUM_ST `IMAGE` MP_TAC;
1730     REWRITE_TAC[IN_IMAGE];
1731     REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
1732     TYPIFY `?v' w'. x' = {v',w'}` (C SUBGOAL_THEN MP_TAC);
1733       TYPIFY `graph E` (C SUBGOAL_THEN ASSUME_TAC);
1734         BY(ASM_MESON_TAC[Fan_defs.FAN;Wrgcvdr_cizmrrh.LOCAL_FAN_IMP_FAN]);
1735       RULE_ASSUM_TAC(REWRITE_RULE[Fan_defs.graph]);
1736       TYPIFY`x' HAS_SIZE 2` (C SUBGOAL_THEN ASSUME_TAC);
1737         BY(REPLICATE_TAC 2 (FIRST_X_ASSUM MP_TAC) THEN MESON_TAC[IN]);
1738       BY(REPLICATE_TAC 2 (FIRST_X_ASSUM MP_TAC) THEN MESON_TAC[Local_lemmas1.HAS_SIZE_2_EXISTS2]);
1739     REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
1740     FIRST_X_ASSUM (RULE_ASSUM_TAC o (unlist REWRITE_RULE));
1741     FIRST_X_ASSUM_ST `IMAGE` MP_TAC;
1742     REWRITE_TAC[SET_RULE `IMAGE f {u,v} = {f u,f v}`];
1743     DISCH_THEN ( SUBST1_TAC );
1744     ASM_REWRITE_TAC[];
1745     TYPIFY `?v'' w''. {v',w'} = {v'',w''} /\ (v'',w'') IN FF` (C SUBGOAL_THEN MP_TAC);
1746       BY(ASM_MESON_TAC[Local_lemmas.LOFA_IN_E_IMP_IN_FF;SET_RULE `{a,b} = {b,a}`]);
1747     REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
1748     TYPIFY `{f v' t,f w' t} = {f v'' t,f w'' t}` (C SUBGOAL_THEN SUBST1_TAC);
1749       FIRST_X_ASSUM_ST `{a,b}` MP_TAC;
1750       REWRITE_TAC[Collect_geom.PAIR_EQ_EXPAND];
1751       BY(MESON_TAC[]);
1752     FIRST_X_ASSUM (C INTRO_TAC [`x`;`v''`;`w''`]);
1753     REWRITE_TAC[IN_CROSS];
1754     ASM_REWRITE_TAC[];
1755     DISCH_TAC;
1756     FIRST_X_ASSUM (C INTRO_TAC [`x`;`v''`;`w''`]);
1757     ASM_REWRITE_TAC[];
1758     REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
1759     FIRST_X_ASSUM MATCH_MP_TAC;
1760     BY(REPLICATE_TAC 10 (FIRST_X_ASSUM MP_TAC) THEN REAL_ARITH_TAC);
1761   BY(ASM_REWRITE_TAC[])
1762   ]);;
1763   (* }}} *)
1764
1765 let real_interval_contains_0_ball = prove_by_refinement(
1766 `!a b e1. a < &0 /\ &0 < b /\ &0 < e1  ==> (?e. &0 < e /\ e <= e1 /\ (!t. abs t < e ==> t IN real_interval (a,b)))`,
1767   (* {{{ proof *)
1768   [
1769   REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
1770   TYPIFY `if (b <= -- a) /\ b <= e1 then b else (if e1 <= b /\ e1 <= --a then e1 else -- a)` EXISTS_TAC;
1771   REWRITE_TAC[IN_REAL_INTERVAL];
1772   ASM_TAC THEN REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
1773   CONJ_TAC;
1774     BY(ASM_TAC THEN REAL_ARITH_TAC);
1775   CONJ_TAC;
1776     BY(ASM_TAC THEN REAL_ARITH_TAC);
1777   GEN_TAC;
1778   BY(REAL_ARITH_TAC)
1779   ]);;
1780   (* }}} *)
1781
1782 let zlz_azim = prove_by_refinement(
1783   `!a b V E FF f.
1784      convex_local_fan (V,E,FF) /\
1785      generic V E /\
1786      deformation f V (a,b) /\
1787      (!v t. v IN V /\ t IN real_interval (a,b) /\ interior_angle1 (vec 0) FF v = pi ==>
1788          interior_angle1 (vec 0) ( IMAGE (\uv. f (FST uv) t,f (SND uv) t) FF) (f v t) <= pi) ==>
1789  (!x. ?e2. x IN FF
1790            ==> &0 < e2 /\
1791                (!t. --e2 < t /\ t < e2
1792                     ==> azim_in_fan (f (FST x) t,f (SND x) t)
1793                         (IMAGE (IMAGE (\v. f v t)) E) <=
1794                         pi)) `,
1795   (* {{{ proof *)
1796   [
1797   REWRITE_TAC[Localization.convex_local_fan];
1798   REWRITE_TAC[Localization.generic];
1799   REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
1800   COMMENT "preliminaries";
1801   TYPIFY `!t. IMAGE (\s. IMAGE (\v. f v t) s) E = IMAGE (IMAGE (\v. f v t)) E /\ IMAGE (\(u,v). f u t,f v t) FF = IMAGE (\uv. f (FST uv) t,f (SND uv) t) FF` (C SUBGOAL_THEN ASSUME_TAC);
1802     BY(REWRITE_TAC[EXTENSION;IN_IMAGE;EXISTS_PAIR_THM]);
1803   INTRO_TAC (GEN_ALL Local_lemmas.CVX_LO_IMP_LO) [`V`;`E`;`FF`];
1804   ASM_REWRITE_TAC[];
1805   TYPIFY `FINITE FF` (C SUBGOAL_THEN ASSUME_TAC);
1806     MATCH_MP_TAC Wrgcvdr_cizmrrh.LOCAL_FAN_FINITE_FF;
1807     BY(ASM_REWRITE_TAC[]);
1808   TYPIFY `~(FF = {})` (C SUBGOAL_THEN ASSUME_TAC);
1809     MATCH_MP_TAC Polar_fan.LOCAL_FAN_NOT_EMPTY_FF;
1810     BY(ASM_MESON_TAC[]);
1811   COMMENT "local_fan";
1812   INTRO_TAC (GEN_ALL Lunar_deform.XRECQNS_UPDATE) [`a`;`b`;`V`;`E`;`f`;`FF`];
1813   ASM_REWRITE_TAC[arith `-- e < t /\ t < e <=> abs t < e`];
1814   REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
1815   COMMENT "restart here";
1816   TYPIFY `?p1 p2. (x = p1,p2)` (C SUBGOAL_THEN MP_TAC);
1817     BY(REWRITE_TAC[PAIR_SURJECTIVE]);
1818   REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
1819   ASM_REWRITE_TAC[FST;SND];
1820   FIRST_X_ASSUM (RULE_ASSUM_TAC o (unlist REWRITE_RULE));
1821   REWRITE_TAC[RIGHT_EXISTS_IMP_THM];
1822   DISCH_TAC;
1823   TYPIFY `p1 IN V` (C SUBGOAL_THEN ASSUME_TAC);
1824     BY(ASM_MESON_TAC[Local_lemmas.LOCAL_FAN_IMP_IN_V]);
1825   TYPIFY `p2 = rho_node1 FF p1` (C SUBGOAL_THEN ASSUME_TAC);
1826     MATCH_MP_TAC EQ_SYM;
1827     MATCH_MP_TAC Local_lemmas.DETER_RHO_NODE;
1828     BY(ASM_REWRITE_TAC[]);
1829   TYPIFY `interior_angle1 (vec 0) FF p1 = azim_in_fan (p1,p2) E` (C SUBGOAL_THEN ASSUME_TAC);
1830     INTRO_TAC LOFA_IMP_INANGLE_EQ_AZIM [`V`;`E`;`FF`;`p1`];
1831     BY(ASM_MESON_TAC[]);
1832   TYPIFY `?e2. &0 < e2 /\ e2 <= e /\ (!t. abs t < e2 ==> t IN real_interval (a,b))` (C SUBGOAL_THEN MP_TAC);
1833     MATCH_MP_TAC real_interval_contains_0_ball;
1834     RULE_ASSUM_TAC(REWRITE_RULE[Localization.deformation;IN_REAL_INTERVAL]);
1835     BY(ASM_REWRITE_TAC[]);
1836   REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
1837   COMMENT "first case";
1838   TYPIFY `interior_angle1 (vec 0) FF p1 = pi` ASM_CASES_TAC;
1839     TYPIFY `e2` EXISTS_TAC;
1840     ASM_REWRITE_TAC[];
1841     REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
1842     COMMENT "new insert";
1843     TYPIFY `local_fan (IMAGE (\v. f v t) V,  IMAGE (IMAGE (\v. f v t)) E,  IMAGE (\uv. f (FST uv) (t),f (SND uv) (t)) FF) /\ f p1 (t) IN IMAGE (\v. f v t) V` (C SUBGOAL_THEN ASSUME_TAC);
1844       CONJ_TAC;
1845         ASM_REWRITE_TAC[];
1846         FIRST_X_ASSUM MATCH_MP_TAC;
1847         BY(REPLICATE_TAC 10 (FIRST_X_ASSUM MP_TAC) THEN REAL_ARITH_TAC);
1848       REWRITE_TAC[IN_IMAGE];
1849       TYPIFY `p1` EXISTS_TAC;
1850       BY(ASM_REWRITE_TAC[]);
1851     GMATCH_SIMP_TAC deformation_rho_node1_equivariant1;
1852     CONJ_TAC;
1853       GEXISTL_TAC [`a`;`b`;`E`;`V`];
1854       BY(ASM_REWRITE_TAC[]);
1855     INTRO_TAC (GSYM LOFA_IMP_INANGLE_EQ_AZIM) [`IMAGE (\v. f v t) V`;`IMAGE (IMAGE (\v. f v t)) E`;`IMAGE (\uv. f (FST uv) t,f (SND uv) t) FF`;`f p1 t`];
1856     ANTS_TAC;
1857       BY(ASM_REWRITE_TAC[]);
1858     DISCH_TAC;
1859     ASM_REWRITE_TAC[];
1860     FIRST_X_ASSUM MATCH_MP_TAC;
1861     ASM_REWRITE_TAC[];
1862     CONJ_TAC;
1863       FIRST_X_ASSUM MATCH_MP_TAC;
1864       BY(REPLICATE_TAC 10 (FIRST_X_ASSUM MP_TAC) THEN REAL_ARITH_TAC);
1865     BY(ASM_MESON_TAC[]);
1866   COMMENT "second case here";
1867   COMMENT "case azim < pi";
1868   TYPIFY `interior_angle1 (vec 0) FF p1 < pi` (C SUBGOAL_THEN ASSUME_TAC);
1869     RULE_ASSUM_TAC (REWRITE_RULE[Localization.convex_local_fan]);
1870     FIRST_X_ASSUM_ST `wedge_in_fan_ge` MP_TAC THEN REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
1871     TYPIFY `interior_angle1 (vec 0) FF p1 <= pi` ENOUGH_TO_SHOW_TAC;
1872       BY(REPLICATE_TAC 2 (FIRST_X_ASSUM MP_TAC) THEN REAL_ARITH_TAC);
1873     ASM_REWRITE_TAC[];
1874     BY(ASM_MESON_TAC[]);
1875   INTRO_TAC WNWSHJT [`ivs_rho_node1 FF p1`;`p1`;`p2`;`f`;`a`;`b`];
1876   ASM_REWRITE_TAC[];
1877   REPEAT (GMATCH_SIMP_TAC (GSYM Local_lemmas1.AZIM_IN_FAN_RHOND_IVS_RHOND));
1878   TYPIFY `E` EXISTS_TAC;
1879   CONJ_TAC;
1880     BY(ASM_MESON_TAC[]);
1881   ANTS_TAC;
1882     CONJ_TAC;
1883       MATCH_MP_TAC deformation_subset;
1884       TYPIFY `V` EXISTS_TAC;
1885       ASM_REWRITE_TAC[];
1886       REWRITE_TAC[SUBSET;IN_INSERT;NOT_IN_EMPTY];
1887       BY(ASM_MESON_TAC[Local_lemmas1.LOCAL_FAN_IVS_IN_V;Local_lemmas.LOFA_IN_V_SO_DO_RHO_NODE_V]);
1888     (GMATCH_SIMP_TAC deformation_rho_node1_equivariant1);
1889     GMATCH_SIMP_TAC deformation_ivs_rho_node1_equivariant1;
1890     CONJ_TAC;
1891       GEXISTL_TAC [`a`;`b`;`E`;`V`];
1892       ASM_REWRITE_TAC[];
1893       FIRST_X_ASSUM MATCH_MP_TAC;
1894       BY(REPEAT (FIRST_X_ASSUM_ST `&0 < e1` MP_TAC) THEN REAL_ARITH_TAC);
1895     CONJ_TAC;
1896       GEXISTL_TAC [`a`;`b`;`E`;`V`];
1897       ASM_REWRITE_TAC[];
1898       FIRST_X_ASSUM MATCH_MP_TAC;
1899       BY(REPEAT (FIRST_X_ASSUM_ST `&0 < e1` MP_TAC) THEN REAL_ARITH_TAC);
1900     TYPIFY `!v. v IN V ==> f v (&0) = v` (C SUBGOAL_THEN ASSUME_TAC);
1901       RULE_ASSUM_TAC (REWRITE_RULE[Localization.deformation]);
1902       BY(ASM_REWRITE_TAC[]);
1903     TYPIFY `f p1 (&0) = p1` (C SUBGOAL_THEN ASSUME_TAC);
1904       BY(ASM_SIMP_TAC[]);
1905     ASM_REWRITE_TAC[];
1906     TYPIFY `IMAGE (\uv. f (FST uv) (&0),f (SND uv) (&0)) FF = FF` (C SUBGOAL_THEN SUBST1_TAC);
1907       REWRITE_TAC[IN_IMAGE;EXTENSION;EXISTS_PAIR_THM];
1908       GEN_TAC;
1909       INTRO_TAC (GEN_ALL Local_lemmas.LOCAL_FAN_IMP_IN_V) [`E`;`FF`;`FST x`;`SND x`;`V`];
1910       ASM_REWRITE_TAC[];
1911       DISCH_TAC;
1912       TYPIFY `x IN FF` ASM_CASES_TAC;
1913         ASM_REWRITE_TAC[];
1914         GEXISTL_TAC [ `FST x`;`SND x`];
1915         BY(REPLICATE_TAC 4 (FIRST_X_ASSUM MP_TAC) THEN MESON_TAC[PAIR;FST;SND]);
1916       ASM_REWRITE_TAC[];
1917       REWRITE_TAC[NOT_EXISTS_THM];
1918       REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
1919       INTRO_TAC (GEN_ALL Local_lemmas.LOCAL_FAN_IMP_IN_V) [`E`;`FF`;`p1'`;`p2'`;`V`];
1920       ASM_REWRITE_TAC[];
1921       BY(REPLICATE_TAC 6 (FIRST_X_ASSUM MP_TAC) THEN MESON_TAC[PAIR;FST;SND]);
1922     TYPIFY `p1 IN V` (C SUBGOAL_THEN ASSUME_TAC);
1923       BY(ASM_MESON_TAC[Local_lemmas.LOCAL_FAN_IMP_IN_V]);
1924     CONJ_TAC;
1925       BY(ASM_MESON_TAC[Local_lemmas.LOCAL_FAN_CHARACTER_OF_RHO_NODE2]);
1926     CONJ_TAC;
1927       BY(ASM_MESON_TAC[Local_lemmas.LOFA_IMP_NOT_COLL_IVS]);
1928     CONJ_TAC;
1929       INTRO_TAC (GEN_ALL Local_lemmas.INTERIOR_ANGLE1_POS) [`E`;`V`;`FF`;`p1`];
1930       BY(ASM_REWRITE_TAC[]);
1931     BY(ASM_MESON_TAC[]);
1932   REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
1933   TYPIFY `(!t. abs t < e ==> azim_in_fan (f p1 t,f (rho_node1 FF p1) t)               (IMAGE (IMAGE (\v. f v t)) E) = azim (vec 0) (f p1 t) (f (rho_node1 FF p1) t)              (f (ivs_rho_node1 FF p1) t))` (C SUBGOAL_THEN MP_TAC);
1934     REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
1935     GMATCH_SIMP_TAC deformation_rho_node1_equivariant1;
1936     CONJ_TAC;
1937       GEXISTL_TAC [`a`;`b`;`E`;`V`];
1938       (ASM_REWRITE_TAC[]);
1939       FIRST_X_ASSUM MATCH_MP_TAC;
1940       BY(ASM_REWRITE_TAC[]);
1941     GMATCH_SIMP_TAC Local_lemmas1.AZIM_IN_FAN_RHOND_IVS_RHOND;
1942     CONJ_TAC;
1943       TYPIFY `IMAGE (\v. f v t) V` EXISTS_TAC;
1944       CONJ_TAC;
1945         FIRST_X_ASSUM MATCH_MP_TAC;
1946         BY(ASM_REWRITE_TAC[]);
1947       REWRITE_TAC[IN_IMAGE];
1948       TYPIFY `p1` EXISTS_TAC;
1949       BY(ASM_REWRITE_TAC[]);
1950     GMATCH_SIMP_TAC deformation_ivs_rho_node1_equivariant1;
1951     GEXISTL_TAC [`a`;`b`;`E`;`V`];
1952     (ASM_REWRITE_TAC[]);
1953     FIRST_X_ASSUM MATCH_MP_TAC;
1954     BY(ASM_REWRITE_TAC[]);
1955   DISCH_TAC;
1956   TYPIFY `if (e2 <= e') then e2 else e'` EXISTS_TAC;
1957   CONJ_TAC;
1958     BY(REPEAT (FIRST_X_ASSUM_ST `&0 < e` MP_TAC) THEN REAL_ARITH_TAC);
1959   REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
1960   FIRST_X_ASSUM (C INTRO_TAC [`t`]);
1961   ANTS_TAC;
1962     BY(REPLICATE_TAC 7 (FIRST_X_ASSUM MP_TAC) THEN REAL_ARITH_TAC);
1963   DISCH_THEN SUBST1_TAC;
1964   MATCH_MP_TAC (arith `x < pi ==> x <= pi`);
1965   FIRST_X_ASSUM MATCH_MP_TAC;
1966   BY(FIRST_X_ASSUM MP_TAC THEN REAL_ARITH_TAC)
1967   ]);;
1968   (* }}} *)
1969
1970 let zlz_generic = prove_by_refinement(
1971   `!a b V E FF f.
1972      convex_local_fan (V,E,FF) /\
1973      generic V E /\
1974      deformation f V (a,b) ==>
1975   (!u v w.
1976       ?e4. v,w IN FF /\ u IN V
1977            ==> &0 < e4 /\
1978                (!t. --e4 < t /\ t < e4
1979                     ==> aff_ge {vec 0} {f v t, f w t} INTER
1980                         aff_lt {vec 0} {f u t} =
1981                         {}))`,
1982   (* {{{ proof *)
1983   [
1984   COMMENT "prelims";
1985   REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
1986   REWRITE_TAC[RIGHT_EXISTS_IMP_THM];
1987   REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
1988   TYPIFY `local_fan (V,E,FF)` (C SUBGOAL_THEN ASSUME_TAC);
1989     MATCH_MP_TAC Local_lemmas.CVX_LO_IMP_LO;
1990     BY(ASM_REWRITE_TAC[]);
1991   TYPIFY `v IN V /\ w IN V` (C SUBGOAL_THEN ASSUME_TAC);
1992     MATCH_MP_TAC Local_lemmas.LOCAL_FAN_IMP_IN_V;
1993     BY(ASM_REWRITE_TAC[]);
1994   TYPIFY `~(u = vec 0)` (C SUBGOAL_THEN ASSUME_TAC);
1995     BY(ASM_MESON_TAC[Local_lemmas.LOFA_IMP_V_DIFF]);
1996   TYPIFY `rho_node1 FF v = w` (C SUBGOAL_THEN ASSUME_TAC);
1997     MATCH_MP_TAC Local_lemmas.DETER_RHO_NODE;
1998     BY(ASM_REWRITE_TAC[]);
1999   TYPIFY `~collinear {vec 0,v, rho_node1 FF v}` (C SUBGOAL_THEN MP_TAC);
2000     MATCH_MP_TAC Local_lemmas.LOCAL_FAN_CHARACTER_OF_RHO_NODE2;
2001     BY(ASM_REWRITE_TAC[]);
2002   ASM_REWRITE_TAC[];
2003   DISCH_TAC;
2004   COMMENT "expand generic";
2005   RULE_ASSUM_TAC(REWRITE_RULE[Localization.generic]);
2006   FIRST_X_ASSUM (C INTRO_TAC [`v`;`rho_node1 FF v`;`u`]);
2007   ANTS_TAC;
2008     ASM_REWRITE_TAC[];
2009     MATCH_MP_TAC Local_lemmas.LOCAL_FAN_IN_FF_IN_ORD_PAIRS2;
2010     BY(ASM_REWRITE_TAC[]);
2011   (GMATCH_SIMP_TAC generic_alt);
2012   ASM_REWRITE_TAC[];
2013   DISCH_TAC;
2014   TYPIFY `?e. &0 < e /\ (!t. -- e < t /\ t < e ==> ~(f u t = vec 0) /\ ~collinear {vec 0,f v t,f w t} /\ (~coplanar {vec 0,f u t,f v t,f w t} \/ -- (f u t) IN wedge (vec 0) (f v t cross f w t) (f w t) (f v t)))` ENOUGH_TO_SHOW_TAC;
2015     REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
2016     TYPIFY `e` EXISTS_TAC;
2017     ASM_REWRITE_TAC[];
2018     REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
2019     GMATCH_SIMP_TAC generic_alt;
2020     FIRST_X_ASSUM (C INTRO_TAC [`t`]);
2021     ASM_REWRITE_TAC[];
2022     REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
2023     BY(ASM_REWRITE_TAC[]);
2024   TYPIFY `?e1. &0 < e1 /\ (!t. abs t < e1 ==> ~(f u t = vec 0))` (C SUBGOAL_THEN MP_TAC);
2025     REWRITE_TAC[GSYM NORM_POS_LT];
2026     INTRO_TAC Pent_hex.continuous_preimage_open [`norm o (f u)`;`real_interval (a,b)`;`{x | &0 < x}`];
2027     REWRITE_TAC[Ocbicby.REAL_OPEN_REAL_INTERVAL];
2028     REWRITE_TAC[IN_ELIM_THM;o_THM];
2029     ANTS_TAC;
2030       REWRITE_TAC[REAL_OPEN_HALFSPACE_GT;arith ` &0 < x <=> x > &0`];
2031       GMATCH_SIMP_TAC REAL_CONTINUOUS_ON_EQ_REAL_CONTINUOUS_AT;
2032       REWRITE_TAC[Ocbicby.REAL_OPEN_REAL_INTERVAL];
2033       REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
2034       MATCH_MP_TAC REAL_CONTINUOUS_CONTINUOUS_ATREAL_COMPOSE;
2035       CONJ_TAC;
2036         RULE_ASSUM_TAC(REWRITE_RULE[Localization.deformation]);
2037         BY(ASM_MESON_TAC[]);
2038       BY(REWRITE_TAC[REAL_CONTINUOUS_NORM_WITHIN]);
2039     REWRITE_TAC[real_open;IN_ELIM_THM];
2040     DISCH_THEN (C INTRO_TAC [`&0`]);
2041     ANTS_TAC;
2042       RULE_ASSUM_TAC(REWRITE_RULE[Localization.deformation]);
2043       ASM_REWRITE_TAC[];
2044       BY(ASM_MESON_TAC[NORM_POS_LT]);
2045     BY(MESON_TAC[arith `abs (x - &0) = abs x`]);
2046   REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
2047   COMMENT "collinearity";
2048   TYPIFY `f v (&0) = v /\ f w (&0) = w /\ f u (&0) = u /\ f v continuous atreal (&0) /\ f w continuous atreal (&0) /\ f u continuous atreal (&0)` (C SUBGOAL_THEN ASSUME_TAC);
2049     RULE_ASSUM_TAC (REWRITE_RULE[Localization.deformation]);
2050     BY(ASM_MESON_TAC[]);
2051   TYPIFY `?e2. &0 < e2 /\ (!t. abs t < e2 ==> ~collinear {vec 0,f v t, f w t})` (C SUBGOAL_THEN MP_TAC);
2052     INTRO_TAC (GEN_ALL NONCOLLINEAR_OPEN) [`&0`;`(vec 0):real^3`;`f v`;`f w`];
2053     ASM_REWRITE_TAC[];
2054     BY(MESON_TAC[arith `abs(&0 - r') = abs(r')`]);
2055   REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
2056   TYPIFY `?e3. &0 < e3 /\ (!t. abs t < e3 ==> ((~coplanar {vec 0, f u t, f v t, f w t} \/               --f u t IN wedge (vec 0) (f v t cross f w t) (f w t) (f v t))))` (C SUBGOAL_THEN MP_TAC);
2057     FIRST_X_ASSUM DISJ_CASES_TAC;
2058       INTRO_TAC NONPLANAR_OPEN [`\ (t:real). (vec 0):real^3`;`f u`;`f v`;`f w`;`&0`];
2059       ASM_REWRITE_TAC[CONTINUOUS_CONST;arith `abs(&0  - t') = abs(t')`];
2060       BY(MESON_TAC[]);
2061     COMMENT "disjointness";
2062     TYPIFY `~(v cross w = v) /\ ~(v cross w = w) ` (C SUBGOAL_THEN ASSUME_TAC);
2063       REWRITE_TAC[CROSS_EQ_SELF];
2064       BY(ASM_MESON_TAC[COLLINEAR_2;SET_RULE `{a,a,b} = {a,b}`;SET_RULE `{a,b,a} = {a,b}`]);
2065     TYPIFY `~(v cross w = -- u)` (C SUBGOAL_THEN ASSUME_TAC);
2066       FIRST_X_ASSUM_ST `wedge` MP_TAC;
2067       REWRITE_TAC[wedge;IN_ELIM_THM];
2068       BY(MESON_TAC[COLLINEAR_2;SET_RULE `{a,b,b}={a,b}`]);
2069     TYPIFY `~( ( -- (u:real^3) = v) \/ (-- u = w))` (C SUBGOAL_THEN MP_TAC);
2070       DISCH_TAC;
2071       FIRST_X_ASSUM_ST `wedge` MP_TAC;
2072       REWRITE_TAC[Reuhady.WEDGE_SIMPLE];
2073       FIRST_X_ASSUM DISJ_CASES_TAC;
2074         ASM_REWRITE_TAC[IN_ELIM_THM];
2075         BY(REWRITE_TAC[arith `~(x < x)`]);
2076       ASM_REWRITE_TAC[IN_ELIM_THM];
2077       BY(REWRITE_TAC[AZIM_REFL;arith `~(&0 < &0)`]);
2078     REWRITE_TAC[DE_MORGAN_THM];
2079     REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
2080     COMMENT "wedge";
2081     TYPIFY `?g. deformation g {v, v cross w, w, --u}  (a,b) /\ ( g (v cross w)  = (\t.  f v t cross f w t)) /\ (g v = f v) /\ (g w = f w) /\ (g (-- u)  = (\t. -- f u t))` (C SUBGOAL_THEN MP_TAC);
2082       TYPIFY `\x. if (x = --u) then (\t. -- f u t) else if (x = v cross w) then (\t. f v t cross f w t) else f x` EXISTS_TAC;
2083       ASM_TAC THEN ASM_REWRITE_TAC[Localization.deformation;IN_INSERT;NOT_IN_EMPTY] THEN REPEAT WEAKER_STRIP_TAC THEN ASM_REWRITE_TAC[];
2084       CONJ2_TAC;
2085         BY(REPEAT WEAKER_STRIP_TAC THEN (REPEAT (FIRST_X_ASSUM DISJ_CASES_TAC)) THEN ASM_REWRITE_TAC[] THEN TRY (FIRST_X_ASSUM MATCH_MP_TAC) THEN ASM_REWRITE_TAC[]);
2086       REPEAT WEAKER_STRIP_TAC THEN (REPEAT (FIRST_X_ASSUM DISJ_CASES_TAC)) THEN ASM_REWRITE_TAC[] THEN TRY (FIRST_X_ASSUM MATCH_MP_TAC) THEN ASM_REWRITE_TAC[];
2087         BY(MATCH_MP_TAC (* Xbjrphc. *)CONTINUOUS_CROSS THEN REWRITE_TAC[ETA_AX] THEN CONJ_TAC THEN FIRST_X_ASSUM MATCH_MP_TAC THEN ASM_REWRITE_TAC[]);
2088       MATCH_MP_TAC CONTINUOUS_NEG;
2089       BY(REWRITE_TAC[ETA_AX] THEN FIRST_X_ASSUM MATCH_MP_TAC THEN ASM_REWRITE_TAC[]);
2090     REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
2091     INTRO_TAC NHCXLRV [`-- (u:real^3)`;`v`;`v cross w`;`w`;`g`;`a`;`b`];
2092     ASM_REWRITE_TAC[];
2093     ANTS_TAC;
2094       TYPIFY_GOAL_THEN `~collinear {vec 0, v cross w, --u}` (unlist REWRITE_TAC);
2095         FIRST_X_ASSUM_ST `wedge` MP_TAC;
2096         REWRITE_TAC[wedge;IN_ELIM_THM];
2097         BY(MESON_TAC[]);
2098       ONCE_REWRITE_TAC[SET_RULE `{a,b,c} = {a,c,b}`];
2099       BY(ASM_REWRITE_TAC[GSYM Local_lemmas.COLL_IFF_COLL_CROSS;GSYM COLL_IFF_COLL_CROSS2]);
2100     BY(MESON_TAC[]);
2101   REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
2102   TYPIFY `(?e. (&0 < e /\ e <= e1 /\ e <= e2 /\ e <= e3))` (C SUBGOAL_THEN MP_TAC);
2103     INTRO_TAC Packing3.REAL_FINITE_MIN_EXISTS [`{e1,e2,e3}`];
2104     ANTS_TAC;
2105       CONJ_TAC;
2106         REWRITE_TAC[FINITE_RULES];
2107         BY(REWRITE_TAC[FINITE_INSERT;FINITE_EMPTY]);
2108       BY(SET_TAC[]);
2109     REWRITE_TAC[IN_INSERT;NOT_IN_EMPTY];
2110     REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
2111     TYPIFY `m` EXISTS_TAC;
2112     CONJ_TAC;
2113       REPEAT (FIRST_X_ASSUM_ST `&0 < e` MP_TAC);
2114       BY(REPLICATE_TAC 2 (FIRST_X_ASSUM MP_TAC) THEN REAL_ARITH_TAC);
2115     BY(REPLICATE_TAC 2 (FIRST_X_ASSUM MP_TAC) THEN MESON_TAC[]);
2116   REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
2117   TYPIFY `e` EXISTS_TAC;
2118   REWRITE_TAC[arith `-- e < t /\ t < e <=> abs t < e`];
2119   ASM_REWRITE_TAC[];
2120   REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
2121   BY(REPEAT CONJ_TAC THEN FIRST_X_ASSUM MATCH_MP_TAC THEN (REPLICATE_TAC 5 (FIRST_X_ASSUM MP_TAC) THEN TRY REAL_ARITH_TAC))
2122   ]);;
2123   (* }}} *)
2124
2125 let zlz_wedge_skolem = prove_by_refinement(
2126   `!a b V E FF f.
2127      convex_local_fan (V,E,FF) /\
2128  (!x v. ?e3. x IN FF /\ v IN V
2129            ==> &0 < e3 /\
2130                (!t. --e3 < t /\ t < e3
2131                     ==> (f v t) IN
2132                         wedge_in_fan_ge (f (FST x) t,f (SND x) t)
2133                         (IMAGE (IMAGE (\v. f v t)) E)))
2134      ==>
2135  (!x. ?e3. x IN FF
2136            ==> &0 < e3 /\
2137                (!t. --e3 < t /\ t < e3
2138                     ==> IMAGE (\v. f v t) V SUBSET
2139                         wedge_in_fan_ge (f (FST x) t,f (SND x) t)
2140                         (IMAGE (IMAGE (\v. f v t)) E)))`,
2141   (* {{{ proof *)
2142   [
2143   REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
2144   REWRITE_TAC[RIGHT_EXISTS_IMP_THM];
2145   DISCH_TAC;
2146   FIRST_X_ASSUM (C INTRO_TAC [`x`]);
2147   REWRITE_TAC[SKOLEM_THM];
2148   REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
2149   TYPIFY `local_fan (V,E,FF)` (C SUBGOAL_THEN ASSUME_TAC);
2150     MATCH_MP_TAC Local_lemmas.CVX_LO_IMP_LO;
2151     BY(ASM_REWRITE_TAC[]);
2152   TYPIFY `~(V = {})` (C SUBGOAL_THEN ASSUME_TAC);
2153     MATCH_MP_TAC Local_lemmas.LOFA_V_NOT_EMP;
2154     BY(ASM_REWRITE_TAC[]);
2155   TYPIFY `?e. &0 < e /\ (!v. v IN V ==> e <= e3 v)` (C SUBGOAL_THEN MP_TAC);
2156     INTRO_TAC Packing3.REAL_FINITE_MIN_EXISTS [`IMAGE e3 V`];
2157     ANTS_TAC;
2158       CONJ_TAC;
2159         (MATCH_MP_TAC FINITE_IMAGE);
2160         MATCH_MP_TAC Local_lemmas.LOCAL_FAN_FINITE_V;
2161         BY(ASM_REWRITE_TAC[]);
2162       (MATCH_MP_TAC Fatugpd.NOT_EMPTY_IMAGE);
2163       BY(ASM_REWRITE_TAC[]);
2164     REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
2165     TYPIFY `m` EXISTS_TAC;
2166     REPLICATE_TAC 3 (FIRST_X_ASSUM MP_TAC);
2167     REWRITE_TAC[IN_IMAGE;EXTENSION;NOT_IN_EMPTY];
2168     REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
2169     ASM_REWRITE_TAC[];
2170     FIRST_X_ASSUM_ST `wedge_in_fan_ge` (C INTRO_TAC [`x'`]);
2171     ASM_REWRITE_TAC[];
2172     REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
2173     ASM_REWRITE_TAC[];
2174     BY(ASM_MESON_TAC[]);
2175   REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
2176   TYPIFY `e` EXISTS_TAC;
2177   ASM_REWRITE_TAC[];
2178   REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
2179   REWRITE_TAC[SUBSET;IN_IMAGE];
2180   REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
2181   ASM_REWRITE_TAC[];
2182   FIRST_X_ASSUM_ST `wedge_in_fan_ge` (C INTRO_TAC [`x''`]);
2183   ASM_REWRITE_TAC[];
2184   REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
2185   FIRST_X_ASSUM (C INTRO_TAC [`t`]);
2186   ASM_REWRITE_TAC[];
2187   DISCH_THEN MATCH_MP_TAC;
2188   FIRST_X_ASSUM (C INTRO_TAC [`x''`]);
2189   ASM_REWRITE_TAC[];
2190   BY(ASM_TAC THEN REAL_ARITH_TAC)
2191   ]);;
2192   (* }}} *)
2193
2194 let wedge_ge_refl = prove_by_refinement(
2195   `!v1 v2 v3 v4. v2 IN wedge_ge v1 v2 v3 v4`,
2196   (* {{{ proof *)
2197   [
2198   REWRITE_TAC[Local_lemmas.WEDGE_GE_AZIM_LE;Local_lemmas.AZIM_SPEC_DEGENERATE];
2199   BY(REWRITE_TAC[Counting_spheres.AZIM_NN])
2200   ]);;
2201   (* }}} *)
2202
2203 let zlz_wedge_refl = prove_by_refinement(
2204   `!a b V E FF f.
2205      convex_local_fan (V,E,FF) /\
2206      generic V E /\
2207      deformation f V (a,b) /\
2208      (!v t. v IN V /\ t IN real_interval (a,b) /\ interior_angle1 (vec 0) FF v = pi ==>
2209          interior_angle1 (vec 0) ( IMAGE (\uv. f (FST uv) t,f (SND uv) t) FF) (f v t) <= pi) ==>
2210  (!v w. (w IN V /\ v IN {w, rho_node1 FF w, ivs_rho_node1 FF w}) ==>
2211     ?e. &0 < e /\ (!t. -- e < t /\ t < e ==> f v t IN wedge_in_fan_ge (f w t , f (rho_node1 FF w) t)
2212                        (IMAGE (IMAGE (\v. f v t)) E)))`,
2213   (* {{{ proof *)
2214   [
2215   REWRITE_TAC[IN_INSERT;NOT_IN_EMPTY];
2216   REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
2217   TYPIFY `local_fan (V,E,FF)` (C SUBGOAL_THEN ASSUME_TAC);
2218     MATCH_MP_TAC Local_lemmas.CVX_LO_IMP_LO;
2219     BY(ASM_REWRITE_TAC[]);
2220   INTRO_TAC (GEN_ALL Lunar_deform.XRECQNS_UPDATE) [`a`;`b`;`V`;`E`;`f`;`FF`];
2221   ASM_REWRITE_TAC[];
2222   REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
2223   TYPIFY `!t. IMAGE (\s. IMAGE (\v. f v t) s) E = IMAGE (IMAGE (\v. f v t)) E /\ IMAGE (\(u,v). f u t,f v t) FF = IMAGE (\uv. f (FST uv) t,f (SND uv) t) FF` (C SUBGOAL_THEN ASSUME_TAC);
2224     BY(REWRITE_TAC[EXTENSION;IN_IMAGE;EXISTS_PAIR_THM]);
2225   INTRO_TAC (GEN_ALL Local_lemmas.CVX_LO_IMP_LO) [`V`;`E`;`FF`];
2226   ASM_REWRITE_TAC[];
2227   TYPIFY `e` EXISTS_TAC;
2228   ASM_REWRITE_TAC[];
2229   REWRITE_TAC[arith `-- e < t /\ t < e <=> abs t < e`];
2230   REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
2231   FIRST_X_ASSUM_ST `local_fan` (C INTRO_TAC [`t`]);
2232   ASM_REWRITE_TAC[];
2233   DISCH_TAC;
2234   INTRO_TAC deformation_rho_node1_equivariant1 [`f`;`V`;`E`;`FF`;`a`;`b`;`w`;`t`];
2235   ASM_REWRITE_TAC[];
2236   DISCH_TAC;
2237   INTRO_TAC deformation_ivs_rho_node1_equivariant1 [`f`;`V`;`E`;`FF`;`a`;`b`;`w`;`t`];
2238   ASM_REWRITE_TAC[];
2239   DISCH_TAC;
2240   ASM_REWRITE_TAC[];
2241   GMATCH_SIMP_TAC Local_lemmas1.WEDGE_IN_FAN_RHOND_IVS_RHOND;
2242   CONJ_TAC;
2243     TYPIFY `IMAGE (\v. f v t) V` EXISTS_TAC;
2244     ASM_REWRITE_TAC[];
2245     BY(ASM_MESON_TAC[IN_IMAGE]);
2246   REPEAT (FIRST_X_ASSUM DISJ_CASES_TAC) THEN ASM_REWRITE_TAC[Local_lemmas1.FST_LST_IN_WEDGE_GE];
2247   BY(REWRITE_TAC[wedge_ge_refl])
2248   ]);;
2249   (* }}} *)
2250
2251 let zlz_wedge_open = prove_by_refinement(
2252   `!a b V E FF f.
2253      convex_local_fan (V,E,FF) /\
2254      generic V E /\
2255      deformation f V (a,b) /\
2256      (!v t. v IN V /\ t IN real_interval (a,b) /\ interior_angle1 (vec 0) FF v = pi ==>
2257          interior_angle1 (vec 0) ( IMAGE (\uv. f (FST uv) t,f (SND uv) t) FF) (f v t) <= pi) ==>
2258  (!v w. (v IN V /\ w IN V /\ v IN wedge (vec 0) w (rho_node1 FF w) (ivs_rho_node1 FF w)) ==>
2259     ?e. &0 < e /\ (!t. -- e < t /\ t < e ==> f v t IN wedge_in_fan_ge (f w t , f (rho_node1 FF w) t)
2260                        (IMAGE (IMAGE (\v. f v t)) E)))`,
2261   (* {{{ proof *)
2262   [
2263   REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
2264   TYPIFY `local_fan (V,E,FF)` (C SUBGOAL_THEN ASSUME_TAC);
2265     MATCH_MP_TAC Local_lemmas.CVX_LO_IMP_LO;
2266     BY(ASM_REWRITE_TAC[]);
2267   INTRO_TAC (GEN_ALL Lunar_deform.XRECQNS_UPDATE) [`a`;`b`;`V`;`E`;`f`;`FF`];
2268   ASM_REWRITE_TAC[];
2269   REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
2270   TYPIFY `!t. IMAGE (\s. IMAGE (\v. f v t) s) E = IMAGE (IMAGE (\v. f v t)) E /\ IMAGE (\(u,v). f u t,f v t) FF = IMAGE (\uv. f (FST uv) t,f (SND uv) t) FF` (C SUBGOAL_THEN ASSUME_TAC);
2271     BY(REWRITE_TAC[EXTENSION;IN_IMAGE;EXISTS_PAIR_THM]);
2272   TYPIFY `v = w` ASM_CASES_TAC;
2273     INTRO_TAC zlz_wedge_refl [`a`;`b`;`V`;`E`;`FF`;`f`];
2274     ASM_REWRITE_TAC[];
2275     DISCH_THEN (C INTRO_TAC [`w`;`w`]);
2276     BY(ASM_REWRITE_TAC[IN_INSERT;NOT_IN_EMPTY]);
2277   INTRO_TAC NHCXLRV_ALT [`v`;`(ivs_rho_node1 FF w)`;`w`;`(rho_node1 FF w)`;`f`;`a`;`b`];
2278   ASM_REWRITE_TAC[];
2279   TYPIFY `rho_node1 FF w IN V` (C SUBGOAL_THEN ASSUME_TAC);
2280     MATCH_MP_TAC Local_lemmas.LOFA_IN_V_SO_DO_RHO_NODE_V;
2281     BY(ASM_REWRITE_TAC[]);
2282   TYPIFY `ivs_rho_node1 FF w IN V` (C SUBGOAL_THEN ASSUME_TAC);
2283     MATCH_MP_TAC Local_lemmas1.LOCAL_FAN_IVS_IN_V;
2284     BY(ASM_REWRITE_TAC[]);
2285   GMATCH_SIMP_TAC Local_lemmas.LOCAL_FAN_CHARACTER_OF_RHO_NODE2;
2286   CONJ_TAC;
2287     BY(ASM_MESON_TAC[]);
2288   GMATCH_SIMP_TAC Local_lemmas.LOFA_IMP_NOT_COLL_IVS;
2289   CONJ_TAC;
2290     BY(ASM_MESON_TAC[]);
2291   ANTS_TAC;
2292     CONJ_TAC;
2293       MATCH_MP_TAC deformation_subset;
2294       TYPIFY `V` EXISTS_TAC;
2295       ASM_REWRITE_TAC[];
2296       ASM_REWRITE_TAC[SUBSET;IN_INSERT;NOT_IN_EMPTY];
2297       BY(ASM_MESON_TAC[]);
2298     BY(ASM_MESON_TAC[Nkezbfc_local.PROPERTIES_GENERIC_LOCAL_FAN]);
2299   REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
2300   REWRITE_TAC[arith `--e < t /\ t < e <=> abs t < e`];
2301   TYPIFY `?e''. (&0 < e'') /\ e'' <= e  /\ e'' <= e'` (C SUBGOAL_THEN MP_TAC);
2302     TYPIFY `if (e <= e') then e else e'` EXISTS_TAC;
2303     BY(REPEAT (FIRST_X_ASSUM_ST `&0 < e` MP_TAC) THEN REAL_ARITH_TAC);
2304   REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
2305   TYPIFY `e''` EXISTS_TAC;
2306   ASM_REWRITE_TAC[];
2307   REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
2308   FIRST_X_ASSUM_ST `local_fan` (C INTRO_TAC [`t`]);
2309   ASM_REWRITE_TAC[];
2310   ANTS_TAC;
2311     BY(REPLICATE_TAC 5 (FIRST_X_ASSUM MP_TAC) THEN REAL_ARITH_TAC);
2312   DISCH_TAC;
2313   FIRST_X_ASSUM (C INTRO_TAC [`t`]);
2314   ANTS_TAC;
2315     BY(REPLICATE_TAC 5 (FIRST_X_ASSUM MP_TAC) THEN REAL_ARITH_TAC);
2316   DISCH_TAC;
2317   INTRO_TAC deformation_rho_node1_equivariant1 [`f`;`V`;`E`;`FF`;`a`;`b`;`w`;`t`];
2318   ASM_REWRITE_TAC[];
2319   DISCH_TAC;
2320   INTRO_TAC deformation_ivs_rho_node1_equivariant1 [`f`;`V`;`E`;`FF`;`a`;`b`;`w`;`t`];
2321   ASM_REWRITE_TAC[];
2322   DISCH_TAC;
2323   ASM_REWRITE_TAC[];
2324   GMATCH_SIMP_TAC Local_lemmas1.WEDGE_IN_FAN_RHOND_IVS_RHOND;
2325   CONJ_TAC;
2326     TYPIFY `IMAGE (\v. f v t) V` EXISTS_TAC;
2327     ASM_REWRITE_TAC[];
2328     BY(ASM_MESON_TAC[IN_IMAGE]);
2329   FIRST_X_ASSUM_ST `wedge` MP_TAC;
2330   ASM_REWRITE_TAC[];
2331   BY(SET_TAC[Leaf_cell.WEDGE_SUBSET_WEDGE_GE])
2332   ]);;
2333   (* }}} *)
2334
2335 let PROPERTIES_GENERIC_LOCAL_FAN_ALT = prove_by_refinement(
2336   `!V E FF u v.
2337     local_fan (V,E,FF) /\ u IN V /\ v IN V /\ ~(u = v) /\ generic V E  ==> ~collinear {vec 0,u,v}`,
2338   (* {{{ proof *)
2339   [
2340     BY(ASM_MESON_TAC[Nkezbfc_local.PROPERTIES_GENERIC_LOCAL_FAN])
2341   ]);;
2342   (* }}} *)
2343
2344 let skolem_epsilon_old = prove_by_refinement(
2345   `!P Q s. (!e e' i. &0 < e /\ e <= e' /\ (i:A) IN s /\ P i==> (Q e' i ==> Q e i)) /\ FINITE s  ==>
2346     ((!i. ?e. (i IN s /\ P i) ==> (&0 < e /\ Q e i)) <=> (?e. !i. (i IN s /\ P i) ==> (&0 < e /\ Q e i)))`,
2347   (* {{{ proof *)
2348   [
2349   REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
2350   TYPIFY `~(?i. i IN s /\ P i)` ASM_CASES_TAC;
2351     BY(ASM_MESON_TAC[]);
2352   RULE_ASSUM_TAC(REWRITE_RULE[]);
2353   MATCH_MP_TAC (TAUT `((a ==>b) /\ (b ==> a)) ==> (a <=> b)`);
2354   CONJ_TAC;
2355     REWRITE_TAC[SKOLEM_THM];
2356     REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
2357     INTRO_TAC Packing3.REAL_FINITE_MIN_EXISTS [`IMAGE e {i | i IN s /\ P i}`];
2358     ANTS_TAC;
2359       CONJ_TAC;
2360         (MATCH_MP_TAC FINITE_IMAGE);
2361         MATCH_MP_TAC FINITE_SUBSET;
2362         TYPIFY `s` EXISTS_TAC;
2363         ASM_REWRITE_TAC[];
2364         BY(SET_TAC[]);
2365       (MATCH_MP_TAC Fatugpd.NOT_EMPTY_IMAGE);
2366       ASM_REWRITE_TAC[EXTENSION;IN_ELIM_THM;NOT_IN_EMPTY];
2367       BY(ASM_MESON_TAC[]);
2368     REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
2369     TYPIFY `m` EXISTS_TAC;
2370     REPLICATE_TAC 3 (FIRST_X_ASSUM MP_TAC);
2371     REWRITE_TAC[IN_IMAGE;EXTENSION;NOT_IN_EMPTY;IN_ELIM_THM];
2372     REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
2373     ASM_REWRITE_TAC[];
2374     SUBCONJ_TAC;
2375       BY(ASM_MESON_TAC[]);
2376     BY(ASM_MESON_TAC[]);
2377   REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
2378   BY(ASM_MESON_TAC[])
2379   ]);;
2380   (* }}} *)
2381
2382 let SKOLEM_EPSILON = prove_by_refinement(
2383   `!Q s. (!e e' i. &0 < e /\ e <= e' /\ (i:A) IN s ==> (Q e' i ==> Q e i)) /\ FINITE s  ==>
2384     ((!i. ?e. (&0 < e) /\ (i IN s ==> (Q e i))) <=> (?e. !i. (&0 < e) /\ (i IN s ==> ( Q e i))))`,
2385   (* {{{ proof *)
2386   [
2387   REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
2388   TYPIFY `~(?i. i IN s)` ASM_CASES_TAC;
2389     BY(ASM_MESON_TAC[]);
2390   RULE_ASSUM_TAC(REWRITE_RULE[]);
2391   MATCH_MP_TAC (TAUT `((a ==>b) /\ (b ==> a)) ==> (a <=> b)`);
2392   CONJ2_TAC;
2393     BY(ASM_MESON_TAC[]);
2394   REWRITE_TAC[SKOLEM_THM];
2395   REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
2396   INTRO_TAC Packing3.REAL_FINITE_MIN_EXISTS [`IMAGE e s`];
2397   ANTS_TAC;
2398     CONJ_TAC;
2399       (MATCH_MP_TAC FINITE_IMAGE);
2400       BY(ASM_REWRITE_TAC[]);
2401     (MATCH_MP_TAC Fatugpd.NOT_EMPTY_IMAGE);
2402     ASM_REWRITE_TAC[EXTENSION;IN_ELIM_THM;NOT_IN_EMPTY];
2403     BY(ASM_MESON_TAC[]);
2404   REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
2405   TYPIFY `m` EXISTS_TAC;
2406   GEN_TAC;
2407   REPLICATE_TAC 3 (FIRST_X_ASSUM MP_TAC);
2408   REWRITE_TAC[IN_IMAGE;EXTENSION;NOT_IN_EMPTY;IN_ELIM_THM];
2409   REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
2410   ASM_REWRITE_TAC[];
2411   BY(ASM_MESON_TAC[])
2412   ]);;
2413   (* }}} *)
2414
2415 let EXISTS_AND_IMP = prove_by_refinement(
2416   `!P Q R. (?(d:A). (P /\ Q d ==> R d)) <=> (P ==> (?d. Q d ==> R d))`,
2417   (* {{{ proof *)
2418   [
2419   MESON_TAC[]
2420   ]);;
2421   (* }}} *)
2422
2423 let XIV_DEFORMATION = prove_by_refinement(
2424   `!f dh r w a b.
2425     deformation f {w i | i <= r + 2} (a,b) /\
2426     pairwise (\i j. ~collinear {vec 0, w i, w j}) (0..(r+1)) /\
2427     pairwise (\i j. ~collinear {vec 0, w i, w j}) (1..(r+2)) /\
2428     (\ (i,j,k). dihV (vec 0) (w i) (w j) (w k)) = dh /\
2429     (!i. ?e2. i IN 1..r+1  ==> &0 < e2 /\
2430        (!t. abs t < e2 ==> azim (vec 0) (f (w i) t) (f (w (i+1)) t) (f (w (i-1)) t) <= pi)) /\
2431     (!i. i IN 1..r+1 ==> &0 < azim (vec 0) (w i) (w (i+1)) (w (i-1))) /\
2432     (!p q.
2433        {p, q, q + 1} SUBSET 1..r+1 /\ ~(p = q) /\ ~(p = q + 1)
2434      ==> dh (p,q,q + 1) = &0) /\
2435     (!p q.
2436        {p, p + 1, q} SUBSET 1..r+1 /\ q > p + 1 ==> dh (p,p + 1,q) = &0) /\
2437     (!p q. {p + 1, p, q} SUBSET 1..r+1 /\ q < p ==> dh (p + 1,p,q) = &0)
2438     ==> (?e. &0 < e /\ (!t. abs t < e ==>
2439                           f (w 1) t IN wedge_ge (vec 0) (f (w (r+1)) t) (f (w (r+2)) t) (f (w (r)) t) /\
2440                           f (w (r+1)) t IN wedge_ge (vec 0) (f (w 1) t) (f (w (2)) t) (f (w (0)) t)))`,
2441   (* {{{ proof *)
2442   [
2443   REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
2444   COMMENT "prelims";
2445   COMMENT "find collinear epsilon";
2446   TYPIFY `!i. i <= r + 2 ==> f (w i) (&0) = w i` ((C SUBGOAL_THEN ASSUME_TAC));
2447     RULE_ASSUM_TAC(REWRITE_RULE[Localization.deformation;IN_ELIM_THM;]);
2448     BY(ASM_MESON_TAC[]);
2449   TYPIFY `!i j. i IN 0..r+2 /\ j IN 0..r+2 /\ ~collinear {vec 0,w i,w j} ==> (?dc. &0 < dc /\ (!t. abs t < dc ==> ~collinear {vec 0, f (w i) t, f (w j) t}))` (C SUBGOAL_THEN ASSUME_TAC);
2450     REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
2451     INTRO_TAC (GEN_ALL NONCOLLINEAR_OPEN) [`&0`;`(vec 0):real^3`;`f (w i)`;`f (w j)`];
2452     RULE_ASSUM_TAC(REWRITE_RULE[Localization.deformation;IN_ELIM_THM;IN_NUMSEG]);
2453     ANTS_TAC;
2454       BY(ASM_MESON_TAC[]);
2455     BY(REWRITE_TAC[arith `abs(&0 - r') = abs r'`]);
2456   COMMENT "skolemize collinear";
2457   TYPIFY `?dc. !i. (&0 < dc) /\ (i IN 0..r+2 ==> (!j. j IN 0..r+2 /\ ~collinear {vec 0,w i,w j} ==> (!t. abs t < dc ==> ~collinear {vec 0, f (w i) t, f (w j) t})))` (C SUBGOAL_THEN ASSUME_TAC);
2458     GMATCH_SIMP_TAC (GSYM SKOLEM_EPSILON);
2459     REWRITE_TAC[FINITE_NUMSEG];
2460     CONJ_TAC;
2461       REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
2462       FIRST_X_ASSUM (C INTRO_TAC [`j`]);
2463       ANTS_TAC;
2464         BY(REPLICATE_TAC 5 (FIRST_X_ASSUM MP_TAC) THEN MESON_TAC[]);
2465       DISCH_THEN (C INTRO_TAC [`t`]);
2466       ANTS_TAC;
2467         BY(REPLICATE_TAC 8 (FIRST_X_ASSUM MP_TAC) THEN REAL_ARITH_TAC);
2468       BY(FIRST_X_ASSUM MP_TAC THEN MESON_TAC[]);
2469     GEN_TAC;
2470     REWRITE_TAC[MESON [arith `&0 < &1`] `(?dc. &0 < dc /\ (a ==> (!j. b j /\ c j ==> r dc j))) <=> (a ==> (?dc. !j. &0 < dc /\ (b j ==> (c j ==> r dc j))))`];
2471     DISCH_TAC;
2472     GMATCH_SIMP_TAC (GSYM SKOLEM_EPSILON);
2473     REWRITE_TAC[FINITE_NUMSEG];
2474     CONJ_TAC;
2475       REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
2476       FIRST_X_ASSUM_ST `!` MP_TAC;
2477       ANTS_TAC;
2478         BY(ASM_REWRITE_TAC[]);
2479       DISCH_THEN (C INTRO_TAC [`t`]);
2480       ANTS_TAC;
2481         BY(REPLICATE_TAC 8 (FIRST_X_ASSUM MP_TAC) THEN REAL_ARITH_TAC);
2482       BY(ASM_REWRITE_TAC[]);
2483     REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
2484     FIRST_X_ASSUM (C INTRO_TAC [`i`;`j`]);
2485     BY(FIRST_X_ASSUM MP_TAC THEN MESON_TAC[arith `&0 < &1`]);
2486   FIRST_X_ASSUM_ST `collinear` MP_TAC THEN BURY_MP_TAC;
2487   FIRST_X_ASSUM_ST `collinear` kill;
2488   COMMENT "find dih epsilon";
2489   TYPIFY `!i j k e. &0 < e /\ i IN 1..r+1 /\ j IN 1 ..r+1 /\ k IN 1..r+1 /\ ~(i=j) /\ ~(i=k) /\ dh (i,j,k) = &0 ==> (? d. &0 < d /\ (!t. abs t < d ==> dihV (vec 0) (f (w i) t) (f (w j) t) (f (w k) t) < e))` (C SUBGOAL_THEN ASSUME_TAC);
2490     EXPAND_TAC "dh" THEN REWRITE_TAC[];
2491     REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
2492     TYPIFY `!i. i <= r + 2 ==> f (w i) (&0) = w i` ((C SUBGOAL_THEN ASSUME_TAC));
2493       RULE_ASSUM_TAC(REWRITE_RULE[Localization.deformation;IN_ELIM_THM;]);
2494       BY(ASM_MESON_TAC[]);
2495     INTRO_TAC (* Xbjrphc. *)REAL_CONTINUOUS_ATREAL_DIHV_COMPOSE [`\(t:real). (vec 0):real^3`;`f (w i)`;`f (w j)`;`f (w k)`;`&0`];
2496     ANTS_TAC;
2497       RULE_ASSUM_TAC(REWRITE_RULE[Localization.deformation;IN_ELIM_THM;pairwise]);
2498       REWRITE_TAC[CONTINUOUS_CONST];
2499       FIRST_X_ASSUM (REPEAT o GMATCH_SIMP_TAC);
2500       ASM_TAC THEN REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
2501       RULE_ASSUM_TAC(REWRITE_RULE[IN_NUMSEG]);
2502       TYPIFY_GOAL_THEN `k <= r + 2 /\ j <= r + 2 /\ i <= r + 2 ` (unlist REWRITE_TAC);
2503         BY(ASM_ARITH_TAC);
2504       REPEAT CONJ_TAC THEN FIRST_X_ASSUM MATCH_MP_TAC THEN ASM_REWRITE_TAC[] THEN TRY ASM_ARITH_TAC;
2505           BY(TYPIFY `i` EXISTS_TAC THEN ASM_ARITH_TAC);
2506         BY(TYPIFY `j` EXISTS_TAC THEN ASM_ARITH_TAC);
2507       BY(TYPIFY `k` EXISTS_TAC THEN ASM_ARITH_TAC);
2508     REWRITE_TAC[real_continuous_atreal];
2509     DISCH_THEN (C INTRO_TAC [`e`]);
2510     ASM_REWRITE_TAC[arith `abs (x' - &0) = abs x'`] THEN REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
2511     TYPIFY `d` EXISTS_TAC;
2512     ASM_REWRITE_TAC[];
2513     REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
2514     FIRST_X_ASSUM (C INTRO_TAC [`t`]);
2515     ASM_REWRITE_TAC[];
2516     FIRST_X_ASSUM_ST `i <= r + 2` (REPEAT o GMATCH_SIMP_TAC);
2517     ASM_REWRITE_TAC[];
2518     RULE_ASSUM_TAC(REWRITE_RULE[IN_NUMSEG]);
2519     ASM_SIMP_TAC[arith `i <= r + 1 ==> i <= r + 2`];
2520     BY(REAL_ARITH_TAC);
2521   COMMENT "merge dih epsilon";
2522   TYPIFY `!e. &0 < e ==> (?d. !i. (&0 < d) /\ (i IN 1..r+1 ==> (!j k. j IN 1..r+1 /\ k IN 1..r+1 /\ ~(i = j) /\ ~(i=k) /\ dh(i,j,k)= &0 ==> (!t. abs t < d ==> dihV (vec 0) (f (w i) t) (f (w j) t) (f (w k) t) <                            e))))` (C SUBGOAL_THEN ASSUME_TAC);
2523     REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
2524     GMATCH_SIMP_TAC (GSYM SKOLEM_EPSILON);
2525     REWRITE_TAC[FINITE_NUMSEG];
2526     CONJ_TAC;
2527       REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
2528       FIRST_X_ASSUM (C INTRO_TAC [`j`;`k`]);
2529       ASM_REWRITE_TAC[];
2530       DISCH_THEN MATCH_MP_TAC;
2531       BY(REPLICATE_TAC 10 (FIRST_X_ASSUM MP_TAC) THEN REAL_ARITH_TAC);
2532     GEN_TAC;
2533     REWRITE_TAC[MESON[arith `&0 < &1`] `(?d. &0 < d /\ (p ==> (!j k. a j /\ r j k ==> u j k d))) <=> (p ==> (?d. !j. &0 < d /\ (a j ==> (!k. r j k ==> u j k d))))`];
2534     DISCH_TAC;
2535     GMATCH_SIMP_TAC (GSYM SKOLEM_EPSILON);
2536     REWRITE_TAC[FINITE_NUMSEG];
2537     CONJ_TAC;
2538       REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
2539       FIRST_X_ASSUM (C INTRO_TAC [`k`]);
2540       ASM_REWRITE_TAC[];
2541       DISCH_THEN MATCH_MP_TAC;
2542       BY(REPLICATE_TAC 10 (FIRST_X_ASSUM MP_TAC) THEN REAL_ARITH_TAC);
2543     GEN_TAC;
2544     REWRITE_TAC[MESON[arith `&0 < &1`] `(?d. &0 < d /\ (p ==> (!k. a k /\ r k ==> u k d))) <=> (p ==> (?d. !k. &0 < d /\ (a k ==> (r k ==> u k d))))`];
2545     DISCH_TAC;
2546     GMATCH_SIMP_TAC (GSYM SKOLEM_EPSILON);
2547     REWRITE_TAC[FINITE_NUMSEG];
2548     CONJ_TAC;
2549       REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
2550       FIRST_X_ASSUM_ST `dihV` MP_TAC;
2551       ASM_REWRITE_TAC[];
2552       DISCH_THEN MATCH_MP_TAC;
2553       BY(REPLICATE_TAC 10 (FIRST_X_ASSUM MP_TAC) THEN REAL_ARITH_TAC);
2554     GEN_TAC;
2555     REWRITE_TAC[MESON[arith `&0 < &1`] `(?d. &0 < d /\ (a ==> b ==> c d)) <=> (a /\ b ==> (?d. &0 < d /\ c d))`];
2556     REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
2557     FIRST_X_ASSUM (C INTRO_TAC [`i`;`j`;`k`;`e`]);
2558     DISCH_THEN MATCH_MP_TAC;
2559     BY(ASM_REWRITE_TAC[]);
2560   FIRST_X_ASSUM MP_TAC;
2561   FIRST_X_ASSUM kill;
2562   REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
2563   COMMENT "azim lb";
2564   TYPIFY `?c. !i. (&0 < c) /\ (i IN 1..r+1 ==> c < azim (vec 0) (w i) (w (i+1)) (w (i-1)))` (C SUBGOAL_THEN ASSUME_TAC);
2565     GMATCH_SIMP_TAC (GSYM SKOLEM_EPSILON);
2566     REWRITE_TAC[FINITE_NUMSEG];
2567     CONJ_TAC;
2568       BY(REAL_ARITH_TAC);
2569     GEN_TAC;
2570     REWRITE_TAC[MESON[arith `&0 < &1`] `(?c. &0 < c /\ (b ==> r c)) <=> (b ==> (?c. &0 < c /\ r c))`];
2571     DISCH_TAC;
2572     TYPIFY `azim (vec 0) (w i) (w (i+1)) (w (i-1)) / &2` EXISTS_TAC;
2573     FIRST_X_ASSUM_ST `azim` (C INTRO_TAC [`i`]);
2574     ASM_REWRITE_TAC[];
2575     BY(REAL_ARITH_TAC);
2576   FIRST_X_ASSUM MP_TAC THEN REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
2577   COMMENT "azim deform lower bound";
2578   TYPIFY `!i. i IN 1..r+1 ==> (?d. &0 < d /\  (!t. abs t < d ==> (c < azim (vec 0) (f (w i) t) (f (w(i+1)) t) (f (w(i-1)) t))))` (C SUBGOAL_THEN ASSUME_TAC);
2579     REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
2580     TYPIFY `!i. i <= r + 2 ==> f (w i) (&0) = w i` ((C SUBGOAL_THEN ASSUME_TAC));
2581       RULE_ASSUM_TAC(REWRITE_RULE[Localization.deformation;IN_ELIM_THM;]);
2582       BY(ASM_MESON_TAC[]);
2583     INTRO_TAC (* Xbjrphc. *)REAL_CONTINUOUS_ATREAL_AZIM_COMPOSE [`\(t:real). (vec 0):real^3`;`f (w i)`;`f (w (i+1))`;`f (w (i-1))`;`&0`];
2584     ANTS_TAC;
2585       RULE_ASSUM_TAC(REWRITE_RULE[Localization.deformation;IN_ELIM_THM;pairwise]);
2586       REWRITE_TAC[CONTINUOUS_CONST];
2587       FIRST_X_ASSUM (REPEAT o GMATCH_SIMP_TAC);
2588       ASM_TAC THEN REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
2589       RULE_ASSUM_TAC(REWRITE_RULE[IN_NUMSEG]);
2590       TYPIFY_GOAL_THEN `i - 1 <= r + 2 /\ i + 1 <= r + 2 /\ i <= r + 2` (unlist REWRITE_TAC);
2591         BY(ASM_ARITH_TAC);
2592       GMATCH_SIMP_TAC (GSYM Local_lemmas.AZIM_EQ_0_GE_ALT2);
2593       REWRITE_TAC[GSYM azim_pos_iff_nz];
2594       TYPIFY_GOAL_THEN ` ~collinear {vec 0, w i, w (i - 1)}` (unlist REWRITE_TAC);
2595         FIRST_X_ASSUM_ST `collinear` kill;
2596         BY((FIRST_X_ASSUM MATCH_MP_TAC) THEN ASM_REWRITE_TAC[] THEN TRY ASM_ARITH_TAC);
2597       REPEAT CONJ_TAC THEN (FIRST_X_ASSUM MATCH_MP_TAC) THEN ASM_REWRITE_TAC[] THEN TRY ASM_ARITH_TAC;
2598           BY(TYPIFY `i` EXISTS_TAC THEN ASM_ARITH_TAC);
2599         BY(TYPIFY `i+1` EXISTS_TAC THEN ASM_ARITH_TAC);
2600       BY(TYPIFY `i-1` EXISTS_TAC THEN ASM_ARITH_TAC);
2601     REWRITE_TAC[real_continuous_atreal];
2602     FIRST_X_ASSUM (REPEAT o GMATCH_SIMP_TAC);
2603     RULE_ASSUM_TAC(REWRITE_RULE[IN_NUMSEG]);
2604     TYPIFY_GOAL_THEN `i - 1 <= r + 2 /\ i + 1 <= r + 2 /\ i <= r + 2` (unlist REWRITE_TAC);
2605       BY(ASM_ARITH_TAC);
2606     DISCH_THEN (C INTRO_TAC [`abs(azim (vec 0) (w i) (w (i+1)) (w (i-1)) - c)`]);
2607     FIRST_X_ASSUM (C INTRO_TAC [`i`]);
2608     REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
2609     FIRST_X_ASSUM_ST `c < azim a1 a2 a3 a4` MP_TAC;
2610     ASM_REWRITE_TAC[];
2611     DISCH_TAC;
2612     FIRST_X_ASSUM_ST `abs` MP_TAC;
2613     ANTS_TAC;
2614       BY(REPLICATE_TAC 2 (FIRST_X_ASSUM MP_TAC) THEN REAL_ARITH_TAC);
2615     ASM_REWRITE_TAC[arith `abs (x' - &0) = abs x'`] THEN REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
2616     TYPIFY `d` EXISTS_TAC;
2617     ASM_REWRITE_TAC[];
2618     REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
2619     FIRST_X_ASSUM (C INTRO_TAC [`t`]);
2620     ASM_REWRITE_TAC[];
2621     BY(REPLICATE_TAC 4 (FIRST_X_ASSUM MP_TAC) THEN REAL_ARITH_TAC);
2622   COMMENT "skolemize the azim delta";
2623   TYPIFY `?d. !i. &0 < d /\ (i IN 1..r+1 ==> (!t. abs t < d ==> c < azim (vec 0) (f (w i) t) (f (w (i + 1)) t)                            (f (w (i - 1)) t)))` (C SUBGOAL_THEN ASSUME_TAC);
2624     GMATCH_SIMP_TAC (GSYM SKOLEM_EPSILON);
2625     REWRITE_TAC[FINITE_NUMSEG];
2626     CONJ_TAC;
2627       REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
2628       FIRST_X_ASSUM (C INTRO_TAC [`t`]);
2629       DISCH_THEN MATCH_MP_TAC;
2630       BY(REPLICATE_TAC 4 (FIRST_X_ASSUM MP_TAC) THEN REAL_ARITH_TAC);
2631     BY(FIRST_X_ASSUM MP_TAC THEN MESON_TAC[arith `&0< &1`]);
2632   FIRST_X_ASSUM_ST `!i. i IN s ==> u` kill;
2633   COMMENT "skolemize azim<=pi";
2634   TYPIFY `?d2. !i. &0 < d2 /\ (i IN 1..r+1 ==> (!t. abs t < d2 ==> azim (vec 0) (f (w i) t) (f (w (i + 1)) t)                            (f (w (i - 1)) t) <=                            pi))` (C SUBGOAL_THEN ASSUME_TAC);
2635     GMATCH_SIMP_TAC (GSYM SKOLEM_EPSILON);
2636     REWRITE_TAC[FINITE_NUMSEG];
2637     CONJ_TAC;
2638       REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
2639       FIRST_X_ASSUM (C INTRO_TAC [`t`]);
2640       DISCH_THEN MATCH_MP_TAC;
2641       BY(REPLICATE_TAC 4 (FIRST_X_ASSUM MP_TAC) THEN REAL_ARITH_TAC);
2642     BY(FIRST_X_ASSUM_ST `azim a b c d <= pi` MP_TAC THEN MESON_TAC[arith `&0< &1`]);
2643   FIRST_X_ASSUM_ST `!i. i IN s ==> u` kill;
2644   COMMENT "pick eps";
2645   TYPIFY `?e. &0 < e /\ &2 * e = c` (C SUBGOAL_THEN MP_TAC);
2646     RULE_ASSUM_TAC(REWRITE_RULE[MESON[] `(!i. a /\ b i) <=> (a /\ (!i. b i))`]);
2647     TYPIFY `c / &2` EXISTS_TAC;
2648     BY(REPLICATE_TAC 3 (FIRST_X_ASSUM MP_TAC) THEN REAL_ARITH_TAC);
2649   REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
2650   FIRST_X_ASSUM (RULE_ASSUM_TAC o (unlist REWRITE_RULE) o GSYM);
2651   FIRST_X_ASSUM (C INTRO_TAC [`e`]);
2652   ASM_REWRITE_TAC[];
2653   REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
2654   ASM_TAC THEN REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
2655   TYPIFY `?d'3. !d''. (&0 < d'3) /\ (d'' IN {d,d',d2,dc} ==> d'3 <= d'')` (C SUBGOAL_THEN MP_TAC);
2656     GMATCH_SIMP_TAC (GSYM SKOLEM_EPSILON);
2657     REWRITE_TAC[FINITE_INSERT;FINITE_EMPTY];
2658     CONJ_TAC;
2659       BY(REAL_ARITH_TAC);
2660     GEN_TAC;
2661     RULE_ASSUM_TAC(REWRITE_RULE[MESON[] `(!i. a /\ b i) <=> (a /\ (!i. b i))`]);
2662     TYPIFY `if (d'' IN {d,d',d2,dc}) then d'' else &1` EXISTS_TAC;
2663     CONJ_TAC;
2664       ASM_TAC THEN REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
2665       BY(REPEAT (FIRST_X_ASSUM_ST `&0 < d` MP_TAC) THEN REWRITE_TAC[IN_INSERT;NOT_IN_EMPTY] THEN REAL_ARITH_TAC);
2666     BY(REAL_ARITH_TAC);
2667   REWRITE_TAC[IN_INSERT;NOT_IN_EMPTY];
2668   REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
2669   TYPIFY `d'3` EXISTS_TAC;
2670   RULE_ASSUM_TAC(REWRITE_RULE[MESON[] `(!i. a /\ b i) <=> (a /\ (!i. b i))`]);
2671   ASM_REWRITE_TAC[];
2672   REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
2673   INTRO_TAC Xivphks.XIVPHKS_SHIFT [`\i. wedge_ge (vec 0) (f (w (i)) t) (f (w (i + 1)) t) (f (w (i-1)) t)`;`\ (i,j,k). azim (vec 0) (f (w i) t) (f (w (j)) t) (f (w (k)) t)`;`\ (i,j,k). dihV (vec 0) (f (w i) t) (f (w j) t) (f (w k) t)`;`e`;`r`;`\i. f (w i) t`];
2674   ASM_REWRITE_TAC[];
2675   ANTS_TAC;
2676     REWRITE_TAC[pairwise];
2677     RULE_ASSUM_TAC(REWRITE_RULE[pairwise]);
2678     TYPIFY `!j. j IN 0..r+1 ==> j IN 0..r+2` (C SUBGOAL_THEN ASSUME_TAC);
2679       BY(REWRITE_TAC[IN_NUMSEG] THEN ARITH_TAC);
2680     TYPIFY `!t. abs t < d'3 ==> abs t < dc` (C SUBGOAL_THEN ASSUME_TAC);
2681       REPLICATE_TAC 3 (FIRST_X_ASSUM MP_TAC) THEN REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
2682       FIRST_X_ASSUM (C INTRO_TAC [`dc`]);
2683       BY(FIRST_X_ASSUM MP_TAC THEN REAL_ARITH_TAC);
2684     CONJ_TAC;
2685       REPEAT (FIRST_X_ASSUM_ST `azim` kill);
2686       BY(ASM_MESON_TAC[]);
2687     CONJ_TAC;
2688       REPEAT (FIRST_X_ASSUM_ST `azim` kill);
2689       TYPIFY `!j. j IN 1..r+2 ==> j IN 0..r+2` (C SUBGOAL_THEN ASSUME_TAC);
2690         BY(REWRITE_TAC[IN_NUMSEG] THEN ARITH_TAC);
2691       BY(ASM_MESON_TAC[]);
2692     CONJ_TAC;
2693       TYPIFY `abs t < d'` (C SUBGOAL_THEN ASSUME_TAC);
2694         REPLICATE_TAC 6 (FIRST_X_ASSUM MP_TAC) THEN REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
2695         FIRST_X_ASSUM_ST `\/` (C INTRO_TAC [`d'`]);
2696         BY(REPLICATE_TAC 3 (FIRST_X_ASSUM MP_TAC) THEN REAL_ARITH_TAC);
2697       BY(ASM_MESON_TAC[]);
2698     CONJ_TAC;
2699       TYPIFY `abs t < d2` (C SUBGOAL_THEN ASSUME_TAC);
2700         REPLICATE_TAC 6 (FIRST_X_ASSUM MP_TAC) THEN REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
2701         FIRST_X_ASSUM_ST `\/` (C INTRO_TAC [`d2`]);
2702         BY(REPLICATE_TAC 3 (FIRST_X_ASSUM MP_TAC) THEN REAL_ARITH_TAC);
2703       BY(ASM_MESON_TAC[]);
2704     REPEAT (FIRST_X_ASSUM_ST `azim` kill);
2705     TYPIFY `abs t < d` (C SUBGOAL_THEN ASSUME_TAC);
2706       REPLICATE_TAC 6 (FIRST_X_ASSUM MP_TAC) THEN REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
2707       FIRST_X_ASSUM_ST `\/` (C INTRO_TAC [`d`]);
2708       BY(REPLICATE_TAC 3 (FIRST_X_ASSUM MP_TAC) THEN REAL_ARITH_TAC);
2709     TYPIFY `!i j k. {i,j,k} SUBSET 1..r+1 ==> i IN 1..r+1 /\ j IN 1..r+1 /\ k IN 1..r+1` (C SUBGOAL_THEN ASSUME_TAC);
2710       BY(SET_TAC[]);
2711     CONJ_TAC;
2712       BY(ASM_MESON_TAC[]);
2713     CONJ_TAC;
2714       REPEAT (FIRST_X_ASSUM_ST `collinear` kill);
2715       BY(ASM_MESON_TAC[arith `~(p = p+1)`;arith `q > p+1 ==> ~(p = q)`]);
2716     BY(ASM_MESON_TAC[arith `~(p = p+1)`;arith `q < p  ==> ~(p+1 = q)`]);
2717   REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
2718   FIRST_X_ASSUM (C INTRO_TAC [`r`;`1`]);
2719   FIRST_X_ASSUM (C INTRO_TAC [`r`;`1`]);
2720   REWRITE_TAC[arith `(r:num) <= r`;arith `1 + 1 = 2 /\ 1 - 1 = 0 /\ (1+r)+1 = r + 2 /\ 1 + r <= r + 1 /\ (1 + r) - 1 = r`];
2721   REWRITE_TAC[arith `1 + r = r + 1`];
2722   BY(MESON_TAC[])
2723   ]);;
2724   (* }}} *)
2725
2726 let XIV_ECAU = prove_by_refinement(
2727   `!f r w a b.
2728     deformation f {w i | i <= r + 2} (a,b) /\
2729     (!i. i IN 2..r+1 ==> w i IN aff_gt {vec 0,w 1 } {w 2} ) /\
2730     cyclic_set {w i | i  IN 1..r+1 } (vec 0) ((w 1) cross (w 2)) /\
2731     (!i. i IN 1..r ==> azim_cycle {w i | i IN 1..r+1} (vec 0) ((w 1) cross (w 2)) (w i) = w (i+1)) /\
2732     pairwise (\i j. ~collinear {vec 0, w i, w j}) (0..(r+1)) /\
2733     pairwise (\i j. ~collinear {vec 0, w i, w j}) (1..(r+2)) /\
2734     (!i. ?e2. i IN 1..r+1  ==> &0 < e2 /\
2735        (!t. abs t < e2 ==> azim (vec 0) (f (w i) t) (f (w (i+1)) t) (f (w (i-1)) t) <= pi)) /\
2736     (!i. i IN 1..r+1 ==> &0 < azim (vec 0) (w i) (w (i+1)) (w (i-1)))
2737     ==> (?e. &0 < e /\ (!t. abs t < e ==>
2738                           f (w 1) t IN wedge_ge (vec 0) (f (w (r+1)) t) (f (w (r+2)) t) (f (w (r)) t) /\
2739                           f (w (r+1)) t IN wedge_ge (vec 0) (f (w 1) t) (f (w (2)) t) (f (w (0)) t)))`,
2740   (* {{{ proof *)
2741   [
2742   REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
2743   MATCH_MP_TAC XIV_DEFORMATION;
2744   TYPED_ABBREV_TAC `dh = \ (i,j,k). dihV (vec 0) (w i) (w j) (w k)`;
2745   GEXISTL_TAC [`dh`;`a`;`b`];
2746   ASM_REWRITE_TAC[];
2747   INTRO_TAC KCZXLLE_SYM [`w o SUC`;`r`];
2748   REWRITE_TAC[o_THM;arith `1 <= r+1 /\ SUC 0 = 1 /\ SUC 1 = 2`];
2749   TYPIFY `{w (SUC i) | i <= r } = {w i | i IN 1..r+1}` (C SUBGOAL_THEN SUBST1_TAC);
2750     REWRITE_TAC[EXTENSION;IN_ELIM_THM;IN_NUMSEG];
2751     BY(MESON_TAC[arith `i <= r ==> (1 <= SUC i /\ SUC i <= r + 1)`;arith `(1 <= i /\ i <= r+1) ==> (PRE i <= r /\ SUC (PRE i) = i)`]);
2752   ASM_REWRITE_TAC[];
2753   TYPIFY_GOAL_THEN `(!i j.           i <= r /\ j <= r /\ ~(i = j)           ==> ~collinear {vec 0, w (SUC i), w (SUC j)})` (unlist REWRITE_TAC);
2754     REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
2755     RULE_ASSUM_TAC(REWRITE_RULE[pairwise]);
2756     FIRST_X_ASSUM (C INTRO_TAC [`SUC i`;`SUC j`]);
2757     REWRITE_TAC[SUC_INJ];
2758     ASM_REWRITE_TAC[];
2759     BY(REPLICATE_TAC 4 (FIRST_X_ASSUM MP_TAC) THEN REWRITE_TAC[IN_NUMSEG] THEN ARITH_TAC);
2760   TYPIFY_GOAL_THEN `      (!i. 1 <= i /\ i <= r ==> w (SUC i) IN aff_gt {vec 0, w 1} {w 2})` (unlist REWRITE_TAC);
2761     REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
2762     FIRST_X_ASSUM MATCH_MP_TAC;
2763     BY(REPLICATE_TAC 2 (FIRST_X_ASSUM MP_TAC) THEN REWRITE_TAC[IN_NUMSEG] THEN ARITH_TAC);
2764   TYPIFY_GOAL_THEN `(!i. i < r           ==> azim_cycle {w i | i IN 1..r + 1} (vec 0) (w 1 cross w 2)               (w (SUC i)) =               w (SUC (i + 1)))` (unlist REWRITE_TAC);
2765     REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
2766     REWRITE_TAC[arith `SUC (i + 1) = SUC i + 1`];
2767     FIRST_X_ASSUM MATCH_MP_TAC;
2768     BY(FIRST_X_ASSUM MP_TAC THEN REWRITE_TAC[IN_NUMSEG] THEN ARITH_TAC);
2769   TYPIFY `!i j k. i IN 1..r+1 /\ j IN 1..r+1 /\ k IN 1..r+1 /\ ~(i = j) /\ ~(i = k) /\ azim (vec 0) (w i) (w j) (w k) = &0 ==> dihV (vec 0) (w i) (w j) (w k) = &0` (C SUBGOAL_THEN ASSUME_TAC);
2770     REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
2771     GMATCH_SIMP_TAC (GSYM Polar_fan.AZIM_DIHV_SAME_STRONG);
2772     RULE_ASSUM_TAC (REWRITE_RULE[pairwise]);
2773     TYPIFY_GOAL_THEN `~collinear {vec 0, w i, w j} /\  ~collinear {vec 0, w i, w k}` (unlist REWRITE_TAC);
2774       BY(CONJ_TAC THEN FIRST_X_ASSUM MATCH_MP_TAC THEN REPLICATE_TAC 8 (FIRST_X_ASSUM MP_TAC) THEN REWRITE_TAC[IN_NUMSEG] THEN ARITH_TAC);
2775     ASM_REWRITE_TAC[];
2776     BY(MP_TAC PI_POS THEN REAL_ARITH_TAC);
2777   DISCH_TAC;
2778   EXPAND_TAC "dh" THEN REWRITE_TAC[];
2779   REWRITE_TAC[SUBSET;IN_INSERT;NOT_IN_EMPTY];
2780   FIRST_X_ASSUM MP_TAC;
2781   TYPIFY_GOAL_THEN `(!i j k. k <= r /\      j <= r /\      1 <= r /\      i <= r /\      (j < k /\ (i < j \/ k < i) \/ k < j /\ (i < k \/ j < i)) ==> azim (vec 0) (w (SUC i)) (w (SUC j)) (w (SUC k)) = &0) <=> (!i j k.  k IN 1..r+1 /\ i IN 1..r+1 /\ j IN 1..r+1 /\ (j < k /\ (i < j \/ k < i) \/ k < j /\ (i < k \/ j < i))   ==> azim (vec 0) (w (i)) (w (j)) (w ( k)) = &0)` (unlist REWRITE_TAC);
2782     REWRITE_TAC[IN_NUMSEG];
2783     MATCH_MP_TAC (TAUT `((a ==> b) /\ (b ==> a)) ==> (a <=> b)`);
2784     CONJ_TAC THEN REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
2785       FIRST_X_ASSUM (C INTRO_TAC [`PRE i`;`PRE j`;`PRE k`]);
2786       ASM_SIMP_TAC[arith `1 <= i ==> SUC (PRE i) = i`];
2787       DISCH_THEN MATCH_MP_TAC;
2788       BY(FIRST_X_ASSUM DISJ_CASES_TAC THEN REPLICATE_TAC 7 (FIRST_X_ASSUM MP_TAC) THEN ARITH_TAC);
2789     FIRST_X_ASSUM MATCH_MP_TAC;
2790     BY(FIRST_X_ASSUM DISJ_CASES_TAC THEN REPLICATE_TAC 5 (FIRST_X_ASSUM MP_TAC) THEN ARITH_TAC);
2791   DISCH_TAC;
2792   CONJ_TAC;
2793     REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
2794     FIRST_X_ASSUM MATCH_MP_TAC;
2795     FIRST_X_ASSUM_ST `azim` GMATCH_SIMP_TAC;
2796     FIRST_X_ASSUM_ST `IN` (unlist ASM_SIMP_TAC);
2797     REPLICATE_TAC 2(FIRST_X_ASSUM MP_TAC);
2798     BY(ARITH_TAC);
2799   CONJ_TAC;
2800     REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
2801     FIRST_X_ASSUM MATCH_MP_TAC;
2802     FIRST_X_ASSUM_ST `azim` GMATCH_SIMP_TAC;
2803     FIRST_X_ASSUM_ST `IN` (unlist ASM_SIMP_TAC);
2804     BY(REPLICATE_TAC 1(FIRST_X_ASSUM MP_TAC) THEN ARITH_TAC);
2805   REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
2806   FIRST_X_ASSUM MATCH_MP_TAC;
2807   FIRST_X_ASSUM_ST `azim` GMATCH_SIMP_TAC;
2808   FIRST_X_ASSUM_ST `IN` (unlist ASM_SIMP_TAC);
2809   BY(FIRST_X_ASSUM MP_TAC THEN ARITH_TAC)
2810   ]);;
2811   (* }}} *)
2812
2813 (* was cycle_set_scale *)
2814
2815 let cyclic_set_scale = prove_by_refinement(
2816   `!U t (e:real^A). ~(t = &0) ==> (cyclic_set U (vec 0) (t % e) <=> cyclic_set U (vec 0) e)`,
2817   (* {{{ proof *)
2818   [
2819   REWRITE_TAC[Sphere.cyclic_set];
2820   REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
2821   TYPIFY `~FINITE U` ASM_CASES_TAC;
2822     BY(ASM_REWRITE_TAC[]);
2823   ONCE_REWRITE_TAC[varith `vec 0 = a <=> a = vec 0`];
2824   ASM_REWRITE_TAC[VECTOR_MUL_EQ_0];
2825   TYPIFY `(e = vec 0)` ASM_CASES_TAC;
2826     BY(ASM_REWRITE_TAC[]);
2827   RULE_ASSUM_TAC(REWRITE_RULE[]);
2828   ASM_REWRITE_TAC[];
2829   TYPIFY `affine hull {vec 0, t % e} = affine hull {vec 0,e}` (C SUBGOAL_THEN SUBST1_TAC);
2830     REWRITE_TAC[AFFINE_HULL_2_ALT];
2831     REWRITE_TAC[EXTENSION;IN_ELIM_THM;IN_UNIV;arith `vec 0 + a = a /\ x - vec 0 = x`];
2832     GEN_TAC;
2833     REWRITE_TAC[VECTOR_MUL_ASSOC];
2834     BY(ASM_MESON_TAC[arith `~(t = &0) ==> u = (u * inv t) * t`]);
2835   TYPIFY `~(U INTER affine hull {vec 0, e} = {})` ASM_CASES_TAC;
2836     BY(ASM_REWRITE_TAC[]);
2837   RULE_ASSUM_TAC(REWRITE_RULE[]) THEN ASM_REWRITE_TAC[];
2838   REWRITE_TAC[arith `vec 0 - x =  -- x`];
2839   REWRITE_TAC[arith `-- (t % e) = t % (-- e)`];
2840   REWRITE_TAC[VECTOR_MUL_ASSOC];
2841   BY(ASM_MESON_TAC[arith `~(t = &0) ==> u = (u * inv t) * t`])
2842   ]);;
2843   (* }}} *)
2844
2845 let projection_scale = prove_by_refinement(
2846   `!e u t. (~(t = &0)) ==> projection (t % e) u = projection e u`,
2847   (* {{{ proof *)
2848   [
2849   REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
2850   REWRITE_TAC[Sphere.projection];
2851   REWRITE_TAC[DOT_LMUL;DOT_RMUL];
2852   REWRITE_TAC[VECTOR_MUL_ASSOC];
2853   TYPIFY ` ((t * (u dot e)) / (t * t * (e dot e)) * t)  = (u dot e) / (e dot e)` (C SUBGOAL_THEN SUBST1_TAC);
2854     TYPIFY `e dot e = &0` ASM_CASES_TAC;
2855       ASM_REWRITE_TAC[];
2856       BY(REAL_ARITH_TAC);
2857     Calc_derivative.CALC_ID_TAC;
2858     BY(ASM_TAC THEN REAL_ARITH_TAC);
2859   BY(REWRITE_TAC[])
2860   ]);;
2861   (* }}} *)
2862
2863 let azim_cycle_scale = prove_by_refinement(
2864   `!U t e . (&0 < t)  ==>
2865     azim_cycle U (vec 0) (t % e)  = azim_cycle U (vec 0) e `,
2866   (* {{{ proof *)
2867   [
2868   REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
2869   REWRITE_TAC[FUN_EQ_THM];
2870   GEN_TAC;
2871   TYPIFY `U SUBSET {x}` ASM_CASES_TAC;
2872     BY(ASM_SIMP_TAC[Wrgcvdr_cizmrrh.W_SUBSET_SINGLETON_IMP_IDE]);
2873   REWRITE_TAC[Trigonometry.YESEEWW];
2874   ASM_REWRITE_TAC[];
2875   REWRITE_TAC[arith `x - vec 0 = x`];
2876   TYPIFY `(!x u. azim (vec 0) (t % e) x u = azim (vec 0) e x u) /\ (!u. projection (t % e) u = projection e u)` ENOUGH_TO_SHOW_TAC;
2877     BY(DISCH_THEN (unlist REWRITE_TAC));
2878   ASM_SIMP_TAC[AZIM_SPECIAL_SCALE];
2879   GEN_TAC;
2880   BY(ASM_SIMP_TAC[projection_scale;arith `&0 < t ==> ~(t = &0)`])
2881   ]);;
2882   (* }}} *)
2883
2884 let AZIM_CYCLE_SING_ALT = prove_by_refinement(
2885   `!x u v w. azim_cycle {v} x u w = v`,
2886   (* {{{ proof *)
2887   [
2888   REWRITE_TAC[Sphere.azim_cycle];
2889   REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
2890   TYPIFY `v = w` ASM_CASES_TAC;
2891     BY(ASM_REWRITE_TAC[SUBSET_REFL]);
2892   TYPIFY_GOAL_THEN `~({v} SUBSET {w})` (unlist REWRITE_TAC);
2893     BY(FIRST_X_ASSUM MP_TAC THEN SET_TAC[]);
2894   TYPIFY_GOAL_THEN `!a b. {a} (b:real^3) <=> b IN {a}` (unlist REWRITE_TAC);
2895     BY(MESON_TAC[IN]);
2896   REWRITE_TAC[IN_SING];
2897   SELECT_TAC;
2898   PROOF_BY_CONTR_TAC;
2899   FIRST_X_ASSUM_ST `azim` MP_TAC;
2900   REWRITE_TAC[];
2901   TYPIFY `v` EXISTS_TAC;
2902   ASM_REWRITE_TAC[];
2903   REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
2904   BY(ASM_REWRITE_TAC[arith `x <= x`])
2905   ]);;
2906   (* }}} *)
2907
2908 let IDENTIFY_AZIM_CYCLE_SIMPLE = prove_by_refinement(
2909   `!W v w p u. ~(W SUBSET {p}) /\ p IN W /\
2910      cyclic_set W v w /\
2911      (~(u = p) /\ u IN W) /\
2912      (!q. ~(q = p) /\ q IN W /\ ~(q =u)          ==> azim v w p u < azim v w p q)
2913      ==> azim_cycle W v w p = u`,
2914   (* {{{ proof *)
2915   [
2916   REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
2917   MATCH_MP_TAC Wrgcvdr_cizmrrh.IDENTIFY_AZIM_CYCLE;
2918   ASM_REWRITE_TAC[];
2919   CONJ_TAC;
2920     BY(ASM_MESON_TAC [Wrgcvdr_cizmrrh.CYCLIC_SET_IMP_NOT_COLLINEAR]);
2921   CONJ_TAC;
2922     BY(ASM_MESON_TAC[IN]);
2923   REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
2924   TYPIFY `q = u` ASM_CASES_TAC;
2925     ASM_REWRITE_TAC[];
2926     BY(MESON_TAC[arith `x<=x`]);
2927   DISJ1_TAC;
2928   FIRST_X_ASSUM MATCH_MP_TAC;
2929   BY(ASM_MESON_TAC[IN])
2930   ]);;
2931   (* }}} *)
2932
2933 let coplanar_cross_scale = prove_by_refinement(
2934   `!u1 u2 v1 v2. coplanar {vec 0,u1,u2,v1,v2} /\ &0 < (v1 cross v2) dot (u1 cross u2) ==>
2935     (?t. &0 < t /\ v1 cross v2 = t % (u1 cross u2))`,
2936   (* {{{ proof *)
2937   [
2938   REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
2939   TYPIFY `~collinear {vec 0,u1,u2}` (C SUBGOAL_THEN ASSUME_TAC);
2940     REWRITE_TAC[GSYM CROSS_EQ_0];
2941     DISCH_TAC;
2942     FIRST_X_ASSUM_ST `dot` MP_TAC THEN ASM_REWRITE_TAC[];
2943     REWRITE_TAC[DOT_RZERO];
2944     BY(REAL_ARITH_TAC);
2945   INTRO_TAC coplanar_in_affine_hull [`(vec 0):real^3`;`u1`;`u2`;`v1`];
2946   INTRO_TAC coplanar_in_affine_hull [`(vec 0):real^3`;`u1`;`u2`;`v2`];
2947   ASM_REWRITE_TAC[];
2948   TYPIFY_GOAL_THEN `coplanar {v2,vec 0,u1,u2} /\ coplanar {v1,vec 0,u1,u2} ` (unlist REWRITE_TAC);
2949     BY(ASM_MESON_TAC[COPLANAR_SUBSET;SET_RULE `{v2,v0,u1,u2} SUBSET {v0,u1,u2,v1,v2}`;SET_RULE `{v1,v0,u1,u2} SUBSET {v0,u1,u2,v1,v2}`]);
2950   REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
2951   INTRO_TAC Ckqowsa_4_points.in_affine_hull_lemma [`u1`;`u2`;`v1`];
2952   INTRO_TAC Ckqowsa_4_points.in_affine_hull_lemma [`u1`;`u2`;`v2`];
2953   ASM_REWRITE_TAC[];
2954   REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
2955   TYPIFY `v1 cross v2 = (t1' * t2 - t2' * t1) % (u1 cross u2)` (C SUBGOAL_THEN ASSUME_TAC);
2956     ASM_REWRITE_TAC[CROSS_RADD;CROSS_LADD;CROSS_RMUL;CROSS_LMUL;CROSS_REFL];
2957     TYPIFY `u2 cross u1 = -- (u1 cross u2)` (C SUBGOAL_THEN SUBST1_TAC);
2958       BY(MESON_TAC[CROSS_SKEW]);
2959     BY(VECTOR_ARITH_TAC);
2960   TYPIFY `t1' * t2 - t2' * t1` EXISTS_TAC;
2961   ASM_REWRITE_TAC[];
2962   FIRST_X_ASSUM_ST `dot` MP_TAC;
2963   ASM_REWRITE_TAC[DOT_LMUL];
2964   GMATCH_SIMP_TAC (CONJUNCT2 Real_ext.REAL_PROP_POS_LMUL);
2965   REWRITE_TAC[DOT_POS_LT];
2966   BY(ASM_MESON_TAC[CROSS_EQ_0])
2967   ]);;
2968   (* }}} *)
2969
2970 let azim_cycle_distinct = prove_by_refinement(
2971   `!U e v w.  FINITE U /\ v IN U /\ w IN U /\ ~(v = w) /\
2972     (!v. v IN U ==> ~(e dot (v cross azim_cycle U (vec 0) e v) = &0)) ==>
2973     (&0 < azim (vec 0) e v w)`,
2974   (* {{{ proof *)
2975   [
2976   REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
2977   TYPIFY `~(e = vec 0)` (C SUBGOAL_THEN ASSUME_TAC);
2978     DISCH_TAC;
2979     FIRST_X_ASSUM (C INTRO_TAC [`v`]);
2980     BY(ASM_REWRITE_TAC[DOT_LZERO]);
2981   TYPIFY `!v. v IN U ==> ~collinear {vec 0,e,v}` (C SUBGOAL_THEN ASSUME_TAC);
2982     GEN_TAC THEN DISCH_TAC;
2983     ASM_REWRITE_TAC[COLLINEAR_LEMMA_ALT;DE_MORGAN_THM];
2984     REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
2985     FIRST_X_ASSUM (C INTRO_TAC [`v'`]);
2986     ASM_REWRITE_TAC[CROSS_LMUL;DOT_RMUL;DOT_CROSS_SELF];
2987     BY(REAL_ARITH_TAC);
2988   TYPIFY `~collinear {vec 0,e,azim_cycle U (vec 0) e v}` (C SUBGOAL_THEN ASSUME_TAC);
2989     BY(ASM_MESON_TAC[Polar_fan.AZIM_CYCLE_BASIC_PROPERTIES]);
2990   TYPIFY `&0 < azim (vec 0) e v (azim_cycle U (vec 0) e v)` (C SUBGOAL_THEN ASSUME_TAC);
2991     REWRITE_TAC[azim_pos_iff_nz];
2992     GMATCH_SIMP_TAC AZIM_EQ_0;
2993     ASM_SIMP_TAC[];
2994     GMATCH_SIMP_TAC AFF_GT_2_1;
2995     REWRITE_TAC[IN_ELIM_THM];
2996     CONJ_TAC;
2997       BY(ASM_MESON_TAC[Fan.th3a]);
2998     REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
2999     FIRST_X_ASSUM_ST `dot` (C INTRO_TAC [`v`]);
3000     ASM_REWRITE_TAC[];
3001     TYPED_ABBREV_TAC `u = azim_cycle U (vec 0) e v`;
3002     FIRST_X_ASSUM_ST `%` SUBST1_TAC;
3003     REWRITE_TAC[DOT_RMUL;DOT_RADD;DOT_RZERO;CROSS_LADD;CROSS_LMUL;CROSS_LZERO;CROSS_REFL;DOT_CROSS_SELF];
3004     BY(REAL_ARITH_TAC);
3005   TYPIFY `w = azim_cycle U (vec 0) e v` ASM_CASES_TAC;
3006     BY(ASM_MESON_TAC[]);
3007   INTRO_TAC Polar_fan.AZIM_CYCLE_BASIC_PROPERTIES [`U`;`(vec 0):real^3`;`e`;`v`];
3008   ASM_REWRITE_TAC[];
3009   REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
3010   FIRST_X_ASSUM (C INTRO_TAC [`w`]);
3011   ASM_REWRITE_TAC[];
3012   BY(ASM_TAC THEN REAL_ARITH_TAC)
3013   ]);;
3014   (* }}} *)
3015
3016
3017 (*
3018 let azim_cycle_nondeg = prove_by_refinement(
3019   `!U uu r.
3020     1 < r /\
3021     U = {uu i | i IN 1..r+1 } /\
3022    (!i. i IN 1..r  ==> u i IN aff_gt{vec 0,u (r+1)} {u (r)} /\
3023       (!i. i IN 1..r ==> azim_cycle U (vec 0) (uu 1 cross uu 2) (uu i) = (uu (i+1))) /\
3024       azim_cycle U (vec 0) (uu 1 cross uu 2) (uu (r+1)) = u 1 /\
3025         (!i. i IN 1..r ==> &0 < (uu i cross uu (i+1)) dot (uu 1 cross uu 2))
3026         ==>
3027         ((!i. i IN 1..r ==> ~((uu 1 cross uu 2) dot (uu i cross uu (i+1)) = &0))
3028    (!i.
3029       (`,
3030   (* {{{ proof *)
3031   [
3032   #
3033   ]);;
3034   (* }}} *)
3035 *)
3036
3037
3038 let azim_cycle_neg = prove_by_refinement(
3039   `!U e v w.  FINITE U /\ v IN U /\ azim_cycle U (vec 0) e v = w /\
3040     (!v. v IN U ==> ~(e dot (v cross azim_cycle U (vec 0) e v) = &0)) ==>
3041     (azim_cycle U (vec 0) (-- e) w = v)`,
3042   (* {{{ proof *)
3043   [
3044   REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
3045   TYPIFY `~(e = vec 0)` (C SUBGOAL_THEN ASSUME_TAC);
3046     DISCH_TAC;
3047     FIRST_X_ASSUM (C INTRO_TAC [`v`]);
3048     BY(ASM_REWRITE_TAC[DOT_LZERO]);
3049   TYPIFY `!v. v IN U ==> ~collinear {vec 0,e,v}` (C SUBGOAL_THEN ASSUME_TAC);
3050     GEN_TAC THEN DISCH_TAC;
3051     ASM_REWRITE_TAC[COLLINEAR_LEMMA_ALT;DE_MORGAN_THM];
3052     REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
3053     FIRST_X_ASSUM (C INTRO_TAC [`v'`]);
3054     ASM_REWRITE_TAC[CROSS_LMUL;DOT_RMUL;DOT_CROSS_SELF];
3055     BY(REAL_ARITH_TAC);
3056   TYPIFY `w IN U` (C SUBGOAL_THEN ASSUME_TAC);
3057     BY(ASM_MESON_TAC[Polar_fan.AZIM_CYCLE_BASIC_PROPERTIES]);
3058   PROOF_BY_CONTR_TAC;
3059   INTRO_TAC Polar_fan.AZIM_CYCLE_BASIC_PROPERTIES [`U`;`(vec 0):real^3`;`-- (e:real^3)`;`w`];
3060   ASM_REWRITE_TAC[];
3061   REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
3062   TYPIFY `~(v = w)` (C SUBGOAL_THEN ASSUME_TAC);
3063     DISCH_TAC;
3064     FIRST_X_ASSUM_ST `dot` (C INTRO_TAC [`v`]);
3065     BY(ASM_REWRITE_TAC[CROSS_REFL;DOT_RZERO]);
3066   TYPIFY `&0 < azim (vec 0) e v w` (C SUBGOAL_THEN ASSUME_TAC);
3067     MATCH_MP_TAC azim_cycle_distinct;
3068     BY(ASM_MESON_TAC[]);
3069   FIRST_X_ASSUM_ST `IN` (C INTRO_TAC [`v`]);
3070   ASM_REWRITE_TAC[];
3071   TYPED_ABBREV_TAC `w' = azim_cycle U (vec 0) (-- e) w`;
3072   TYPIFY `w' IN U` (C SUBGOAL_THEN ASSUME_TAC);
3073     BY(ASM_MESON_TAC[Polar_fan.AZIM_CYCLE_BASIC_PROPERTIES]);
3074   REPEAT (GMATCH_SIMP_TAC Yxionxl2.AZIM_COMPL_NEG);
3075   CONJ_TAC;
3076     BY(ASM_MESON_TAC[]);
3077   CONJ_TAC;
3078     BY(ASM_MESON_TAC[]);
3079   DISCH_TAC;
3080   TYPIFY `azim (vec 0) e v w' + azim (vec 0) e w' w = azim (vec 0) e v w` (C SUBGOAL_THEN ASSUME_TAC);
3081     MATCH_MP_TAC (GSYM Fan.sum5_azim_fan);
3082     BY(ASM_SIMP_TAC[]);
3083   INTRO_TAC Polar_fan.AZIM_CYCLE_BASIC_PROPERTIES [`U`;`(vec 0):real^3`;`(e:real^3)`;`v`];
3084   ASM_REWRITE_TAC[];
3085   DISCH_THEN (C INTRO_TAC [`w'`]);
3086   ASM_REWRITE_TAC[];
3087   DISCH_TAC;
3088   TYPIFY `azim (vec 0) e v w + azim (vec 0) e w w' = azim (vec 0) e v w'` (C SUBGOAL_THEN ASSUME_TAC);
3089     MATCH_MP_TAC (GSYM Fan.sum4_azim_fan);
3090     BY(ASM_SIMP_TAC[]);
3091   TYPIFY `&0 <= azim (vec 0) e w w' /\ &0 <= azim (vec 0) e w' w` (C SUBGOAL_THEN ASSUME_TAC);
3092     BY(REWRITE_TAC[Counting_spheres.AZIM_NN]);
3093   TYPIFY `azim (vec 0) e w w' = &0` (C SUBGOAL_THEN ASSUME_TAC);
3094     BY(ASM_TAC THEN REAL_ARITH_TAC);
3095   TYPIFY `(w' = w)` (C SUBGOAL_THEN ASSUME_TAC);
3096     PROOF_BY_CONTR_TAC;
3097     INTRO_TAC azim_cycle_distinct [`U`;` (e:real^3)`;`w`;`w'`];
3098     ASM_REWRITE_TAC[];
3099     BY(REAL_ARITH_TAC);
3100   INTRO_TAC (GEN_ALL Wrgcvdr_cizmrrh.AZIM_CYCLE_PROPERTIES) [`U`;`w`;`-- (e:real^3)`;`(vec 0):real^3`];
3101   ASM_REWRITE_TAC[];
3102   BY(ASM_TAC THEN SET_TAC[])
3103   ]);;
3104   (* }}} *)
3105
3106 (*
3107 let azim_cycle_neg = prove_by_refinement(
3108   `!U e v w. ~(U SUBSET {w}) /\ FINITE U /\ cyclic_set U (vec 0) e /\ v IN U /\ ~(e dot (v cross w) = &0) /\
3109     azim_cycle U (vec 0) (e ) v = w ==>
3110     azim_cycle U (vec 0) (-- e) w  = v`,
3111   (* {{{ proof *)
3112   [
3113 g/r
3114 typ `U SUBSET {v}` asmcase
3115     art[Sphere.azim_cycle]
3116 amt[]
3117 st/r
3118 intro (GEN_ALL Wrgcvdr_cizmrrh.AZIM_CYCLE_PROPERTIES) [`U`;`v`;`e`;`(vec 0):real^3`]
3119 art[]
3120 st/r
3121 mmp IDENTIFY_AZIM_CYCLE_SIMPLE
3122 art[]
3123 conj
3124 art[IN]
3125 conj
3126 rt[arith `-- e = (-- &1) % e`]
3127 gm cyclic_set_scale
3128 art[]
3129 rat
3130 st/r
3131 fxa (C intro [`q`])
3132 ants
3133 amt[IN]
3134 dt
3135 repeat (gm Yxionxl2.AZIM_COMPL_NEG)
3136 typ `~collinear {vec 0, e, w} /\ ~collinear {vec 0, e, q} /\ ~collinear {vec 0, e, v}` sat
3137 ort[setr `{a,e,w} = {w,a,e}`]
3138 repeat (gm Wrgcvdr_cizmrrh.CYCLIC_SET_IMP_NOT_COLLINEAR)
3139 amt[IN]
3140 art[]
3141 rt[arith `x < y <=> ~(y <= x)`]
3142 dt
3143 (* COME BACK. TO HERE. still problems with degenerate cases. make azim progression condition on all of U *)
3144   ]);;
3145   (* }}} *)
3146 *)
3147
3148 let XIV_ECAU_BACK = prove_by_refinement(
3149   `!f r w a b.
3150     deformation f {w i | i <= r + 2} (a,b) /\
3151     1 <= r /\
3152     (!i. i IN 1..r ==> w i IN aff_gt {vec 0,w (r+1) } {w r} ) /\
3153     cyclic_set {w i | i  IN 1..r+1 } (vec 0) ((w 1) cross (w 2)) /\
3154     // &0 < (w r cross (w (r+1))) dot (w 1 cross w 2) /\
3155     (!i. i IN 1..r ==> &0 < (w i cross (w (i+1))) dot (w 1 cross w 2)) /\
3156     {w 1, w 2} SUBSET aff_gt {vec 0,w (r+1)} {w r} /\
3157     (!i. i IN 1..r ==> azim_cycle {w i | i IN 1..r+1} (vec 0) ((w 1) cross (w 2)) (w i) = w (i+1)) /\
3158     azim_cycle {w i | i IN 1..r+1} (vec 0) ((w 1) cross (w 2)) (w (r+1)) = w 1 /\
3159     pairwise (\i j. ~collinear {vec 0, w i, w j}) (0..(r+1)) /\
3160     pairwise (\i j. ~collinear {vec 0, w i, w j}) (1..(r+2)) /\
3161     (!i. ?e2. i IN 1..r+1  ==> &0 < e2 /\
3162        (!t. abs t < e2 ==> azim (vec 0) (f (w i) t) (f (w (i+1)) t) (f (w (i-1)) t) <= pi)) /\
3163     (!i. i IN 1..r+1 ==> &0 < azim (vec 0) (w i) (w (i+1)) (w (i-1)))
3164     ==> (?e. &0 < e /\ (!t. abs t < e ==>
3165                           f (w 1) t IN wedge_ge (vec 0) (f (w (r+1)) t) (f (w (r+2)) t) (f (w (r)) t) /\
3166                           f (w (r+1)) t IN wedge_ge (vec 0) (f (w 1) t) (f (w (2)) t) (f (w (0)) t)))`,
3167   (* {{{ proof *)
3168   [
3169   REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
3170   TYPIFY `&0 < (w r cross (w (r+1))) dot (w 1 cross w 2)` (C SUBGOAL_THEN ASSUME_TAC);
3171     FIRST_X_ASSUM MATCH_MP_TAC;
3172     REWRITE_TAC[IN_NUMSEG];
3173     BY(ASM_REWRITE_TAC[arith `r <= (r:num)`]);
3174   MATCH_MP_TAC XIV_DEFORMATION;
3175   TYPED_ABBREV_TAC `dh = \ (i,j,k). dihV (vec 0) (w i) (w j) (w k)`;
3176   GEXISTL_TAC [`dh`;`a`;`b`];
3177   ASM_REWRITE_TAC[];
3178   INTRO_TAC KCZXLLE_SYM [`\i. w((r+1)-i) `;`r`];
3179   REWRITE_TAC[arith `1 <= r+1 /\ ((r+1)-0 = (r+1)) /\ ((r+1)-1 = r)`];
3180   TYPIFY `{w ((r+1)-i) | i | i <= r } = {w i | i IN 1..r+1}` (C SUBGOAL_THEN SUBST1_TAC);
3181     REWRITE_TAC[EXTENSION;IN_ELIM_THM;IN_NUMSEG];
3182     GEN_TAC;
3183     MATCH_MP_TAC (TAUT `((a ==> b) /\ (b ==> a)) ==> (a <=> b)`);
3184     CONJ_TAC THEN REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
3185       ASM_REWRITE_TAC[];
3186       TYPIFY `(r+1)-i` EXISTS_TAC;
3187       REWRITE_TAC[];
3188       BY(REPLICATE_TAC 2 (FIRST_X_ASSUM MP_TAC) THEN ARITH_TAC);
3189     ASM_REWRITE_TAC[];
3190     TYPIFY `(r+1)-i` EXISTS_TAC;
3191     CONJ_TAC;
3192       BY(REPLICATE_TAC 3 (FIRST_X_ASSUM MP_TAC) THEN ARITH_TAC);
3193     AP_TERM_TAC;
3194     BY(REPLICATE_TAC 3 (FIRST_X_ASSUM MP_TAC) THEN ARITH_TAC);
3195   COMMENT "collinear";
3196   TYPIFY_GOAL_THEN `(!i j.           i <= r /\ j <= r /\ ~(i = j)           ==> ~collinear {vec 0, w ((r+1)-i), w ((r+1)-j)})` (unlist REWRITE_TAC);
3197     REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
3198     RULE_ASSUM_TAC(REWRITE_RULE[pairwise]);
3199     FIRST_X_ASSUM (C INTRO_TAC [`(r+1)-i`;`(r+1)-j`]);
3200     ASM_REWRITE_TAC[];
3201     BY(REPLICATE_TAC 4 (FIRST_X_ASSUM MP_TAC) THEN REWRITE_TAC[IN_NUMSEG] THEN ARITH_TAC);
3202   COMMENT "aff_gt";
3203   TYPIFY_GOAL_THEN `      (!i. 1 <= i /\ i <= r ==> w ((r+1)-i) IN aff_gt {vec 0, w (r+1)} {w r})` (unlist REWRITE_TAC);
3204     REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
3205     FIRST_X_ASSUM MATCH_MP_TAC;
3206     BY(REPLICATE_TAC 2 (FIRST_X_ASSUM MP_TAC) THEN REWRITE_TAC[IN_NUMSEG] THEN ARITH_TAC);
3207   COMMENT "cyclic set";
3208   INTRO_TAC coplanar_cross_scale [`w 1`;`w 2`;`w r`;`w (r+1)`];
3209   ANTS_TAC;
3210     ASM_REWRITE_TAC[];
3211     REWRITE_TAC[coplanar];
3212     GEXISTL_TAC [`(vec 0):real^3`;`w r`;`w (r+1)`];
3213     TYPIFY `{vec 0,w r, w (r+1)} SUBSET affine hull {vec 0, w r, w (r + 1)} /\ {w 1, w 2} SUBSET affine hull {vec 0, w r, w (r + 1)}` ENOUGH_TO_SHOW_TAC;
3214       BY(SET_TAC[]);
3215     CONJ_TAC;
3216       BY(REWRITE_TAC[Qzksykg.SET_SUBSET_AFFINE_HULL]);
3217     MATCH_MP_TAC SUBSET_TRANS;
3218     TYPIFY `aff_gt {vec 0,w(r+1)} {w r}` EXISTS_TAC;
3219     CONJ_TAC;
3220       BY(ASM_REWRITE_TAC[]);
3221     TYPIFY `{vec 0,w r, w(r+1)} = {vec 0,w (r+1)} UNION {w (r)}` (C SUBGOAL_THEN SUBST1_TAC);
3222       BY(SET_TAC[]);
3223     BY(REWRITE_TAC[ AFF_GT_SUBSET_AFFINE_HULL]);
3224   REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
3225   TYPIFY `         cyclic_set {w i | i IN 1..r + 1} (vec 0) (w (r + 1) cross w r)` (C SUBGOAL_THEN ASSUME_TAC);
3226     ONCE_REWRITE_TAC[CROSS_SKEW];
3227     ASM_REWRITE_TAC[];
3228     REWRITE_TAC[arith `-- (t % v) = (-- t) % v`];
3229     GMATCH_SIMP_TAC cyclic_set_scale;
3230     ASM_REWRITE_TAC[];
3231     BY(FIRST_X_ASSUM_ST `&0 < t` MP_TAC THEN REAL_ARITH_TAC);
3232   COMMENT "azim_cycle";
3233   TYPIFY `(!i. i < r               ==> azim_cycle {w i | i IN 1..r + 1} (vec 0)                   (w (r + 1) cross w r)                   (w ((r + 1) - i)) =                   w ((r + 1) - (i + 1)))` (C SUBGOAL_THEN ASSUME_TAC);
3234     REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
3235     ONCE_REWRITE_TAC[CROSS_SKEW];
3236     ASM_REWRITE_TAC[];
3237     REWRITE_TAC[arith `-- (t % v) = t % (-- v)`];
3238     GMATCH_SIMP_TAC azim_cycle_scale;
3239     ASM_REWRITE_TAC[];
3240     MATCH_MP_TAC azim_cycle_neg;
3241     ASM_REWRITE_TAC[];
3242     CONJ_TAC;
3243       TYPIFY `{w i | i IN 1..r+1} = IMAGE w (1..r+1)` (C SUBGOAL_THEN SUBST1_TAC);
3244         BY(SET_TAC[]);
3245       MATCH_MP_TAC FINITE_IMAGE;
3246       BY(REWRITE_TAC[FINITE_NUMSEG]);
3247     TYPIFY `(r+1)-(i+1) = r - i` (C SUBGOAL_THEN SUBST1_TAC);
3248       BY(FIRST_X_ASSUM MP_TAC THEN ARITH_TAC);
3249     CONJ_TAC;
3250       REWRITE_TAC[IN_ELIM_THM;IN_NUMSEG];
3251       TYPIFY `r- (i:num)` EXISTS_TAC;
3252       BY(FIRST_X_ASSUM MP_TAC THEN ARITH_TAC);
3253     CONJ_TAC;
3254       TYPIFY `(r+1) - i = (r - i) + 1` (C SUBGOAL_THEN SUBST1_TAC);
3255         BY(FIRST_X_ASSUM MP_TAC THEN ARITH_TAC);
3256       FIRST_X_ASSUM MATCH_MP_TAC;
3257       BY(REWRITE_TAC[IN_NUMSEG] THEN FIRST_X_ASSUM MP_TAC THEN ARITH_TAC);
3258     REWRITE_TAC[IN_NUMSEG;IN_ELIM_THM];
3259     REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
3260     FIRST_X_ASSUM MP_TAC;
3261     ASM_REWRITE_TAC[];
3262     TYPIFY `(i':num) < r+1` ASM_CASES_TAC;
3263       TYPIFY `azim_cycle {w i | 1 <= i /\ i <= r + 1} (vec 0) (w 1 cross w 2) (w i') = w (i'+1)` (C SUBGOAL_THEN SUBST1_TAC);
3264         REWRITE_TAC[GSYM IN_NUMSEG];
3265         FIRST_X_ASSUM MATCH_MP_TAC;
3266         BY(REPLICATE_TAC 4 (FIRST_X_ASSUM MP_TAC) THEN REWRITE_TAC[IN_NUMSEG] THEN ARITH_TAC);
3267       MATCH_MP_TAC (arith `&0 < x ==> ~(x = &0)`);
3268       REWRITE_TAC[DOT_SYM];
3269       FIRST_X_ASSUM MATCH_MP_TAC;
3270       BY(REWRITE_TAC[IN_NUMSEG] THEN REPLICATE_TAC 4 (FIRST_X_ASSUM MP_TAC) THEN ARITH_TAC);
3271     TYPIFY `i' = r+1` (C SUBGOAL_THEN ASSUME_TAC);
3272       BY(REPLICATE_TAC 5 (FIRST_X_ASSUM MP_TAC) THEN ARITH_TAC);
3273     ASM_REWRITE_TAC[GSYM IN_NUMSEG];
3274     TYPIFY `w 1 IN aff_gt {vec 0, w(r+1)} {w r}` (C SUBGOAL_THEN MP_TAC);
3275       BY(FIRST_X_ASSUM_ST `aff_gt` MP_TAC THEN SET_TAC[]);
3276     GMATCH_SIMP_TAC AFF_GT_2_1;
3277     REWRITE_TAC[IN_ELIM_THM];
3278     CONJ_TAC;
3279       MATCH_MP_TAC Fan.th3a;
3280       RULE_ASSUM_TAC(REWRITE_RULE[pairwise]);
3281       FIRST_X_ASSUM MATCH_MP_TAC;
3282       REWRITE_TAC[IN_NUMSEG];
3283       BY(REPLICATE_TAC 6 (FIRST_X_ASSUM MP_TAC) THEN ARITH_TAC);
3284     REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
3285     TYPED_ABBREV_TAC `e = w 1 cross w 2`;
3286     FIRST_X_ASSUM_ST `dot` MP_TAC;
3287     ASM_REWRITE_TAC[];
3288     REWRITE_TAC[CROSS_RADD;CROSS_RMUL;CROSS_RZERO;CROSS_REFL;DOT_RMUL;DOT_RADD;DOT_RZERO];
3289     REWRITE_TAC[arith `t * &0 + x = x`];
3290     ONCE_REWRITE_TAC[CROSS_SKEW];
3291     REWRITE_TAC[DOT_RNEG;REAL_ENTIRE];
3292     ONCE_REWRITE_TAC[DOT_SYM];
3293     BY(REPEAT (FIRST_X_ASSUM_ST `&0 < x` MP_TAC) THEN REAL_ARITH_TAC);
3294   FIRST_X_ASSUM_ST `!i j k. P` MP_TAC;
3295   ASM_REWRITE_TAC[];
3296   REPLICATE_TAC 4 (FIRST_X_ASSUM kill);
3297   DISCH_TAC;
3298   COMMENT "work on dihedral angles";
3299   TYPIFY `!i j k.          k IN 1..r+1 /\          j IN 1..r+1 /\          i IN 1..r+1 /\          (j < k /\ (i < j \/ k < i) \/ k < j /\ (i < k \/ j < i))          ==> azim (vec 0) (w i) (w j) (w k) = &0` (C SUBGOAL_THEN ASSUME_TAC);
3300     REWRITE_TAC[IN_NUMSEG];
3301     REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
3302     FIRST_X_ASSUM (C INTRO_TAC [`(r+1)-i`;`(r+1)-j`;`(r+1)-k`]);
3303     ASM_SIMP_TAC[arith `i <= r+1 ==> (r+1)-((r+1)-i) = i`];
3304     DISCH_THEN MATCH_MP_TAC;
3305     BY(REPLICATE_TAC 7 (FIRST_X_ASSUM MP_TAC) THEN ARITH_TAC);
3306   FIRST_X_ASSUM_ST `(r+1)-i` kill;
3307   TYPIFY `!i j k. i IN 1..r+1 /\ j IN 1..r+1 /\ k IN 1..r+1 /\ ~(i = j) /\ ~(i = k) /\ azim (vec 0) (w i) (w j) (w k) = &0 ==> dihV (vec 0) (w i) (w j) (w k) = &0` (C SUBGOAL_THEN ASSUME_TAC);
3308     REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
3309     GMATCH_SIMP_TAC (GSYM Polar_fan.AZIM_DIHV_SAME_STRONG);
3310     RULE_ASSUM_TAC (REWRITE_RULE[pairwise]);
3311     TYPIFY_GOAL_THEN `~collinear {vec 0, w i, w j} /\  ~collinear {vec 0, w i, w k}` (unlist REWRITE_TAC);
3312       BY(CONJ_TAC THEN FIRST_X_ASSUM MATCH_MP_TAC THEN REPLICATE_TAC 8 (FIRST_X_ASSUM MP_TAC) THEN REWRITE_TAC[IN_NUMSEG] THEN ARITH_TAC);
3313     ASM_REWRITE_TAC[];
3314     BY(MP_TAC PI_POS THEN REAL_ARITH_TAC);
3315   EXPAND_TAC "dh" THEN REWRITE_TAC[];
3316   REWRITE_TAC[SUBSET;IN_INSERT;NOT_IN_EMPTY];
3317   FIRST_X_ASSUM MP_TAC;
3318   DISCH_TAC;
3319   CONJ_TAC;
3320     REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
3321     FIRST_X_ASSUM MATCH_MP_TAC;
3322     FIRST_X_ASSUM_ST `azim` GMATCH_SIMP_TAC;
3323     FIRST_X_ASSUM_ST `IN` (unlist ASM_SIMP_TAC);
3324     REPLICATE_TAC 2(FIRST_X_ASSUM MP_TAC);
3325     BY(ARITH_TAC);
3326   CONJ_TAC;
3327     REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
3328     FIRST_X_ASSUM MATCH_MP_TAC;
3329     FIRST_X_ASSUM_ST `azim` GMATCH_SIMP_TAC;
3330     FIRST_X_ASSUM_ST `IN` (unlist ASM_SIMP_TAC);
3331     BY(REPLICATE_TAC 1(FIRST_X_ASSUM MP_TAC) THEN ARITH_TAC);
3332   REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
3333   FIRST_X_ASSUM MATCH_MP_TAC;
3334   FIRST_X_ASSUM_ST `azim` GMATCH_SIMP_TAC;
3335   FIRST_X_ASSUM_ST `IN` (unlist ASM_SIMP_TAC);
3336   BY(FIRST_X_ASSUM MP_TAC THEN ARITH_TAC)
3337   ]);;
3338   (* }}} *)
3339
3340 let zlz_wedge_boundary = prove_by_refinement(
3341   `!a b V E FF f.
3342      convex_local_fan (V,E,FF) /\
3343      generic V E /\
3344      deformation f V (a,b) /\
3345      (!v t. v IN V /\ t IN real_interval (a,b) /\ interior_angle1 (vec 0) FF v = pi ==>
3346          interior_angle1 (vec 0) ( IMAGE (\uv. f (FST uv) t,f (SND uv) t) FF) (f v t) <= pi) ==>
3347    (!x v. ?e3. x IN FF /\ v IN V
3348            ==> &0 < e3 /\
3349                (!t. --e3 < t /\ t < e3
3350                     ==> (f v t) IN
3351                         wedge_in_fan_ge (f (FST x) t,f (SND x) t)
3352                         (IMAGE (IMAGE (\v. f v t)) E)))`,
3353   (* {{{ proof *)
3354   [
3355   COMMENT "start here";
3356   REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
3357   TYPIFY `local_fan (V,E,FF)` (C SUBGOAL_THEN ASSUME_TAC);
3358     MATCH_MP_TAC Local_lemmas.CVX_LO_IMP_LO;
3359     BY(ASM_REWRITE_TAC[]);
3360   INTRO_TAC (GEN_ALL Lunar_deform.XRECQNS_UPDATE) [`a`;`b`;`V`;`E`;`f`;`FF`];
3361   ASM_REWRITE_TAC[];
3362   REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
3363   TYPIFY `!t. IMAGE (\s. IMAGE (\v. f v t) s) E = IMAGE (IMAGE (\v. f v t)) E /\ IMAGE (\(u,v). f u t,f v t) FF = IMAGE (\uv. f (FST uv) t,f (SND uv) t) FF` (C SUBGOAL_THEN ASSUME_TAC);
3364     BY(REWRITE_TAC[EXTENSION;IN_IMAGE;EXISTS_PAIR_THM]);
3365   REWRITE_TAC[RIGHT_EXISTS_IMP_THM];
3366   REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
3367   TYPED_ABBREV_TAC `w = FST x`;
3368   TYPIFY `x = (w,rho_node1 FF w)` (C SUBGOAL_THEN ASSUME_TAC);
3369     TYPIFY `FST x,SND x = (w,rho_node1 FF w)` ENOUGH_TO_SHOW_TAC;
3370       BY(REWRITE_TAC[PAIR]);
3371     ASM_REWRITE_TAC[PAIR_EQ];
3372     MATCH_MP_TAC EQ_SYM;
3373     MATCH_MP_TAC Local_lemmas.DETER_RHO_NODE;
3374     BY(ASM_MESON_TAC[PAIR]);
3375   ASM_REWRITE_TAC[];
3376   FIRST_X_ASSUM (RULE_ASSUM_TAC o (unlist REWRITE_RULE));
3377   TYPIFY `w IN V` (C SUBGOAL_THEN ASSUME_TAC);
3378     BY(ASM_MESON_TAC[Local_lemmas.LOCAL_FAN_IMP_IN_V]);
3379   TYPIFY `v IN {w, rho_node1 FF w, ivs_rho_node1 FF w}` ASM_CASES_TAC;
3380     INTRO_TAC zlz_wedge_refl [`a`;`b`;`V`;`E`;`FF`;`f`];
3381     ASM_REWRITE_TAC[];
3382     DISCH_THEN (C INTRO_TAC [`v`;`w`]);
3383     BY(ASM_REWRITE_TAC[IN_INSERT;NOT_IN_EMPTY]);
3384   TYPIFY `rho_node1 FF w IN V` (C SUBGOAL_THEN ASSUME_TAC);
3385     MATCH_MP_TAC Local_lemmas.LOFA_IN_V_SO_DO_RHO_NODE_V;
3386     BY(ASM_REWRITE_TAC[]);
3387   TYPIFY `ivs_rho_node1 FF w IN V` (C SUBGOAL_THEN ASSUME_TAC);
3388     MATCH_MP_TAC Local_lemmas1.LOCAL_FAN_IVS_IN_V;
3389     BY(ASM_REWRITE_TAC[]);
3390   TYPIFY `v IN wedge (vec 0) w (rho_node1 FF w) (ivs_rho_node1 FF w)` ASM_CASES_TAC;
3391     INTRO_TAC zlz_wedge_open [`a`;`b`;`V`;`E`;`FF`;`f`];
3392     ASM_REWRITE_TAC[];
3393     DISCH_THEN (C INTRO_TAC [`v`;`w`]);
3394     BY(ASM_REWRITE_TAC[]);
3395   TYPIFY `v IN wedge_ge  (vec 0) w (rho_node1 FF w) (ivs_rho_node1 FF w)` (C SUBGOAL_THEN ASSUME_TAC);
3396     RULE_ASSUM_TAC(REWRITE_RULE[Localization.convex_local_fan]);
3397     ASM_TAC THEN REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
3398     FIRST_X_ASSUM_ST `wedge_in_fan_ge` (C INTRO_TAC [`w,rho_node1 FF w`]);
3399     ASM_REWRITE_TAC[];
3400     REWRITE_TAC[SUBSET];
3401     REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
3402     FIRST_X_ASSUM (C INTRO_TAC [`v`]);
3403     ASM_REWRITE_TAC[];
3404     GMATCH_SIMP_TAC Local_lemmas1.WEDGE_IN_FAN_RHOND_IVS_RHOND;
3405     BY(ASM_MESON_TAC[]);
3406   TYPIFY `azim (vec 0) w (rho_node1 FF w) v = &0 \/ azim (vec 0) w (rho_node1 FF w) v = azim  (vec 0) w (rho_node1 FF w) (ivs_rho_node1 FF w)` (C SUBGOAL_THEN ASSUME_TAC);
3407     FIRST_X_ASSUM MP_TAC;
3408     BY(ASM_REWRITE_TAC[Reuhady.WEDGE_GE_WEDGE;IN_UNION;IN_ELIM_THM]);
3409   TYPIFY `?r. r < CARD V /\ v = ITER r (rho_node1 FF) w` (C SUBGOAL_THEN MP_TAC);
3410     INTRO_TAC (GEN_ALL Local_lemmas.LOFA_IMP_LT_CARD_SET_V) [`E`;`FF`;`V`;`w`];
3411     REWRITE_TAC[EXTENSION;IN_ELIM_THM];
3412     ASM_REWRITE_TAC[];
3413     DISCH_THEN (C INTRO_TAC [`v`]);
3414     BY(ASM_REWRITE_TAC[]);
3415   REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
3416   ASM_REWRITE_TAC[];
3417   FIRST_X_ASSUM (RULE_ASSUM_TAC o (unlist REWRITE_RULE));
3418   TYPIFY `1 < r /\ r < CARD V - 1` (C SUBGOAL_THEN ASSUME_TAC);
3419     TYPIFY `~(r = 0) /\ ~(r = 1) /\ ~(r = CARD V - 1)` ENOUGH_TO_SHOW_TAC;
3420       BY(FIRST_X_ASSUM MP_TAC THEN ARITH_TAC);
3421     REWRITE_TAC[GSYM DE_MORGAN_THM];
3422     DISCH_TAC;
3423     FIRST_X_ASSUM_ST `~(ITER r f w IN s INSERT t)` MP_TAC;
3424     REWRITE_TAC[IN_INSERT;NOT_IN_EMPTY];
3425     REPEAT (FIRST_X_ASSUM DISJ_CASES_TAC) THEN ASM_REWRITE_TAC[ITER;ITER_1];
3426       BY(ASM_MESON_TAC[Local_lemmas.ITER_CARD_MINUS1_EQ_IVS_RN1]);
3427     BY(ASM_MESON_TAC[Local_lemmas.ITER_CARD_MINUS1_EQ_IVS_RN1]);
3428   INTRO_TAC (GEN_ALL Local_lemmas.EGHNAVX) [`E`;`V`;`(\i. azim (vec 0) w (rho_node1 FF w) (ITER i (rho_node1 FF) w))`;`FF`;`r`;`w`;`(\i. ITER i (rho_node1 FF) w)`;`CARD V` ];
3429   ASM_REWRITE_TAC[SUBSET;IN_ELIM_THM;ITER_1];
3430   ANTS_TAC;
3431     MATCH_MP_TAC Nkezbfc_local.PROPERTIES_GENERIC_LOCAL_FAN;
3432     BY(ASM_MESON_TAC[]);
3433   REWRITE_TAC[LEFT_IMP_EXISTS_THM];
3434   ASM_SIMP_TAC[arith `1 < r ==> 0 < r`];
3435   (REPEAT WEAKER_STRIP_TAC);
3436   COMMENT "added material here";
3437   COMMENT "eliminate wedge_in_fan_ge";
3438   TYPIFY `?e3. &0 < e3 /\      (!t. --e3 < t /\ t < e3           ==> f (ITER r (rho_node1 FF) w) t IN               wedge_ge (vec 0) (f w t) (f (rho_node1 FF w) t) (f (ivs_rho_node1 FF w) t))` ENOUGH_TO_SHOW_TAC;
3439     REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
3440     TYPIFY `if (e <= e3) then e else e3` EXISTS_TAC;
3441     CONJ_TAC;
3442       BY(REPEAT (FIRST_X_ASSUM_ST `&0 < e` MP_TAC) THEN REAL_ARITH_TAC);
3443     REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
3444     TYPIFY `abs t < e` (C SUBGOAL_THEN ASSUME_TAC);
3445       BY(REPLICATE_TAC 2 (FIRST_X_ASSUM MP_TAC) THEN REAL_ARITH_TAC);
3446     FIRST_X_ASSUM_ST `local_fan` (C INTRO_TAC [`t`]);
3447     ASM_REWRITE_TAC[];
3448     DISCH_TAC;
3449     INTRO_TAC deformation_rho_node1_equivariant1 [`f`;`V`;`E`;`FF`;`a`;`b`;`w`;`t`];
3450     ASM_REWRITE_TAC[];
3451     DISCH_TAC;
3452     INTRO_TAC deformation_ivs_rho_node1_equivariant1 [`f`;`V`;`E`;`FF`;`a`;`b`;`w`;`t`];
3453     ASM_REWRITE_TAC[];
3454     DISCH_TAC;
3455     ASM_REWRITE_TAC[];
3456     GMATCH_SIMP_TAC Local_lemmas1.WEDGE_IN_FAN_RHOND_IVS_RHOND;
3457     CONJ_TAC;
3458       TYPIFY `IMAGE (\v. f v t) V` EXISTS_TAC;
3459       ASM_REWRITE_TAC[];
3460       REWRITE_TAC[IN_IMAGE];
3461       TYPIFY `w` EXISTS_TAC;
3462       BY(ASM_REWRITE_TAC[]);
3463     FIRST_X_ASSUM_ST `wedge_ge` (C INTRO_TAC [`t`]);
3464     ASM_REWRITE_TAC[];
3465     DISCH_THEN MATCH_MP_TAC;
3466     BY(REPLICATE_TAC 6 (FIRST_X_ASSUM MP_TAC) THEN REAL_ARITH_TAC);
3467   INTRO_TAC zlz_azim [`a`;`b`;`V`;`E`;`FF`;`f`];
3468   ANTS_TAC;
3469     BY(ASM_REWRITE_TAC[]);
3470   DISCH_TAC;
3471   TYPIFY `!v. v IN V ==> &0 < azim (vec 0) v (rho_node1 FF v) (ivs_rho_node1 FF v)` (C SUBGOAL_THEN ASSUME_TAC);
3472     REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
3473     INTRO_TAC (GEN_ALL Nkezbfc_local.CONVEX_LOFA_IMP_INANGLE_EQ_AZIM_IVS) [`E`;`V`;`FF`];
3474     ASM_REWRITE_TAC[];
3475     DISCH_THEN (GMATCH_SIMP_TAC o GSYM);
3476     ASM_REWRITE_TAC[];
3477     MATCH_MP_TAC Local_lemmas.INTERIOR_ANGLE1_POS;
3478     BY(ASM_REWRITE_TAC[]);
3479   COMMENT "azim_in_fan -> azim";
3480   TYPIFY `!v. ?e2. v IN V                ==> &0 < e2 /\                   (!t. --e2 < t /\ t < e2                        ==> azim (vec 0) (f v t) (f (rho_node1 FF v) t) (f (ivs_rho_node1 FF v) t) <= pi)` (C SUBGOAL_THEN ASSUME_TAC);
3481     REWRITE_TAC[RIGHT_EXISTS_IMP_THM];
3482     REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
3483     FIRST_X_ASSUM (C INTRO_TAC [`v', rho_node1 FF v'`]);
3484     REWRITE_TAC[RIGHT_EXISTS_IMP_THM];
3485     GMATCH_SIMP_TAC Lunar_deform.LOCAL_FAN_RHO_NODE_PROS2;
3486     CONJ_TAC;
3487       BY(ASM_MESON_TAC[]);
3488     REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
3489     TYPIFY `if (e <= e2) then e else e2` EXISTS_TAC;
3490     CONJ_TAC;
3491       BY(REPEAT (FIRST_X_ASSUM_ST `&0 < e` MP_TAC) THEN REAL_ARITH_TAC);
3492     REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
3493     TYPIFY `abs t < e /\ abs t < e2` (C SUBGOAL_THEN ASSUME_TAC);
3494       BY(REPLICATE_TAC 2 (FIRST_X_ASSUM MP_TAC) THEN REAL_ARITH_TAC);
3495     FIRST_X_ASSUM_ST `local_fan` (C INTRO_TAC [`t`]);
3496     ASM_REWRITE_TAC[];
3497     DISCH_TAC;
3498     INTRO_TAC deformation_rho_node1_equivariant1 [`f`;`V`;`E`;`FF`;`a`;`b`;`v'`;`t`];
3499     ASM_REWRITE_TAC[];
3500     DISCH_TAC;
3501     INTRO_TAC deformation_ivs_rho_node1_equivariant1 [`f`;`V`;`E`;`FF`;`a`;`b`;`v'`;`t`];
3502     ASM_REWRITE_TAC[];
3503     DISCH_TAC;
3504     ASM_REWRITE_TAC[];
3505     FIRST_X_ASSUM_ST `azim_in_fan` (C INTRO_TAC [`t`]);
3506     ASM_REWRITE_TAC[arith `-- e2 < t /\ t < e2 <=> abs t < e2`];
3507     MATCH_MP_TAC (arith `(a = b) ==> (a <= pi ==> b <= pi)`);
3508     ASM_REWRITE_TAC[];
3509     GMATCH_SIMP_TAC Local_lemmas1.AZIM_IN_FAN_RHOND_IVS_RHOND;
3510     TYPIFY `IMAGE (\v. f v t) V` EXISTS_TAC;
3511     ASM_REWRITE_TAC[];
3512     REWRITE_TAC[IN_IMAGE];
3513     TYPIFY `v'` EXISTS_TAC;
3514     BY(ASM_REWRITE_TAC[]);
3515   REPLICATE_TAC 2(FIRST_X_ASSUM MP_TAC THEN BURY_MP_TAC);
3516   FIRST_X_ASSUM kill;
3517   COMMENT "end added";
3518   COMMENT "MAIN BRANCH: follow forward azim = 0";
3519   FIRST_X_ASSUM DISJ_CASES_TAC;
3520     FIRST_X_ASSUM MP_TAC;
3521     FIRST_X_ASSUM kill;
3522     DISCH_TAC;
3523     FIRST_X_ASSUM_ST `interior_angle1` MP_TAC;
3524     ASM_REWRITE_TAC[];
3525     FIRST_X_ASSUM MP_TAC;
3526     REPLICATE_TAC 2 (FIRST_X_ASSUM kill);
3527     REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
3528     COMMENT "add KOM";
3529     INTRO_TAC Local_lemmas.KOMWBWC [`E`;`V`;`affine hull {(vec 0),w,rho_node1 FF w}`;`r`;`FF`;`{ITER i (rho_node1 FF) w | i <= r}`;`w cross rho_node1 FF w`;`ITER r (rho_node1 FF) w`;`w`];
3530     ASM_REWRITE_TAC[];
3531     ANTS_TAC;
3532       REWRITE_TAC[plane];
3533       CONJ_TAC;
3534         GEXISTL_TAC [`(vec 0):real^3`;`w`;`rho_node1 FF w`];
3535         REWRITE_TAC[];
3536         BY(ASM_MESON_TAC[Local_lemmas.LOCAL_FAN_CHARACTER_OF_RHO_NODE2]);
3537       CONJ_TAC;
3538         MATCH_MP_TAC Marchal_cells_2_new.IN_AFFINE_KY_LEMMA1;
3539         BY(SET_TAC[]);
3540       REWRITE_TAC[SUBSET;IN_ELIM_THM];
3541       REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
3542       ASM_REWRITE_TAC[];
3543       ASM_CASES_TAC `i=0`;
3544         ASM_REWRITE_TAC[ITER];
3545         MATCH_MP_TAC Marchal_cells_2_new.IN_AFFINE_KY_LEMMA1;
3546         BY(SET_TAC[]);
3547       TYPIFY `aff_gt {vec 0,w} {rho_node1 FF w} SUBSET affine hull {vec 0,w,rho_node1 FF w}` ENOUGH_TO_SHOW_TAC;
3548         FIRST_X_ASSUM (C INTRO_TAC [`ITER i (rho_node1 FF) w`;`i`]);
3549         ASM_SIMP_TAC[arith `~(i=0) ==> (0 < i)`];
3550         BY(SET_TAC[]);
3551       TYPIFY `{vec 0,w,rho_node1 FF w } = {vec 0,w} UNION {rho_node1 FF w}` (C SUBGOAL_THEN SUBST1_TAC);
3552         BY(SET_TAC[]);
3553       BY(REWRITE_TAC[AFF_GT_SUBSET_AFFINE_HULL]);
3554     REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
3555     COMMENT "abbreviate uu";
3556     TYPIFY `ivs_rho_node1 FF w IN V` (C SUBGOAL_THEN ASSUME_TAC);
3557       MATCH_MP_TAC Local_lemmas1.LOCAL_FAN_IVS_IN_V;
3558       BY(ASM_REWRITE_TAC[]);
3559     TYPIFY `!i. ITER i (rho_node1 FF) (ivs_rho_node1 FF w) IN V` (C SUBGOAL_THEN ASSUME_TAC);
3560       MATCH_MP_TAC Local_lemmas.LOCAL_FAN_ITER_RHO_NODE_IN_V;
3561       BY(ASM_REWRITE_TAC[]);
3562     TYPED_ABBREV_TAC `w0 = ivs_rho_node1 FF w`;
3563     TYPED_ABBREV_TAC `uu = (\i. ITER i (rho_node1 FF) w0)`;
3564     TYPIFY `!i. ITER i (rho_node1 FF) w0 = uu i` (C SUBGOAL_THEN ASSUME_TAC);
3565       EXPAND_TAC "uu";
3566       BY(REWRITE_TAC[]);
3567     TYPIFY `w0 = uu 0 /\ w = uu 1 /\ rho_node1 FF w = uu 2 /\ (!i. ITER i (rho_node1 FF) w = uu (i+1))` (C SUBGOAL_THEN ASSUME_TAC);
3568       EXPAND_TAC "uu";
3569       REWRITE_TAC[ITER;ITER_1];
3570       EXPAND_TAC "w0";
3571       REWRITE_TAC[arith `2 = 1+1`;GSYM ITER_ADD;ITER_1];
3572       REPEAT (GMATCH_SIMP_TAC Local_lemmas1.LOCAL_FAN_RHO_NODE_IVS);
3573       BY(ASM_MESON_TAC[]);
3574     ASM_REWRITE_TAC[];
3575     FIRST_X_ASSUM (fun t -> RULE_ASSUM_TAC(REWRITE_RULE[t]) THEN ASSUME_TAC t);
3576     COMMENT "apply XIV_ECAU";
3577     TYPIFY `(?e3. &0 < e3 /\                  (!t. abs t < e3                       ==> f (uu 1) t IN                           wedge_ge (vec 0) (f (uu (r + 1)) t)                           (f (uu (r + 2)) t)                           (f (uu r) t) /\                           f (uu (r + 1)) t IN                           wedge_ge (vec 0) (f (uu 1) t) (f (uu 2) t)                           (f (uu 0) t)))` ENOUGH_TO_SHOW_TAC;
3578       REWRITE_TAC[arith `-- e < t /\ t < e <=> abs t < e`];
3579       BY(MESON_TAC[]);
3580     MATCH_MP_TAC XIV_ECAU;
3581     GEXISTL_TAC [`a`;`b`];
3582     COMMENT "cyclic set condition";
3583     TYPIFY `{uu i | i IN 1 .. r+1} = {uu (i+1) | i <= r}` (C SUBGOAL_THEN SUBST1_TAC);
3584       REWRITE_TAC[EXTENSION;IN_ELIM_THM;IN_NUMSEG];
3585       GEN_TAC;
3586       MATCH_MP_TAC (TAUT `((a ==> b) /\ (b ==> a)) ==> (a <=> b)`);
3587       CONJ_TAC THEN REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
3588         TYPIFY `PRE i` EXISTS_TAC;
3589         ASM_SIMP_TAC[arith `1 <= i ==> PRE i + 1 = i`];
3590         BY(REPLICATE_TAC 3 (FIRST_X_ASSUM MP_TAC) THEN ARITH_TAC);
3591       TYPIFY `i+1` EXISTS_TAC;
3592       ASM_REWRITE_TAC[];
3593       BY(REPLICATE_TAC 2(FIRST_X_ASSUM MP_TAC) THEN ARITH_TAC);
3594     ASM_REWRITE_TAC[];
3595     COMMENT "deformation condition";
3596     CONJ_TAC;
3597       MATCH_MP_TAC deformation_subset;
3598       TYPIFY `V` EXISTS_TAC;
3599       ASM_REWRITE_TAC[SUBSET;IN_ELIM_THM];
3600       BY(REPLICATE_TAC 5 (FIRST_X_ASSUM MP_TAC) THEN MESON_TAC[]);
3601     COMMENT "aff_gt";
3602     CONJ_TAC;
3603       REWRITE_TAC[IN_NUMSEG];
3604       REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
3605       GMATCH_SIMP_TAC (arith `2 <= i ==> i = PRE i + 1`);
3606       ASM_REWRITE_TAC[];
3607       FIRST_X_ASSUM MATCH_MP_TAC;
3608       TYPIFY `uu (PRE i + 1)` EXISTS_TAC;
3609       BY(REWRITE_TAC[] THEN (REPLICATE_TAC 2 (FIRST_X_ASSUM MP_TAC) THEN ARITH_TAC));
3610     COMMENT "azim_cycle";
3611     CONJ_TAC;
3612       REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
3613       FIRST_X_ASSUM (C INTRO_TAC [`uu i`;`PRE i`]);
3614       DISCH_THEN GMATCH_SIMP_TAC;
3615       CONJ_TAC;
3616         BY(FIRST_X_ASSUM MP_TAC THEN (REWRITE_TAC[IN_NUMSEG]) THEN MESON_TAC[arith `1 <= i ==> PRE i + 1 = i`;arith `i <= r /\ 1 <= i ==> PRE i < r`]);
3617       TYPIFY `uu i = ITER i (rho_node1 FF) (uu 0) /\ uu (i+1) = ITER (i+1) (rho_node1 FF) (uu 0)` ENOUGH_TO_SHOW_TAC;
3618         DISCH_THEN (unlist REWRITE_TAC);
3619         REWRITE_TAC[arith `i + 1 = 1 +i`];
3620         BY(REWRITE_TAC[GSYM ITER_ADD;ITER_1]);
3621       BY(REPLICATE_TAC 4 (FIRST_X_ASSUM MP_TAC) THEN MESON_TAC[]);
3622     TYPIFY `!i. 1 <= i ==> rho_node1 FF (uu i) = uu (i+1) /\ ivs_rho_node1 FF (uu i) = (uu (i-1))` (C SUBGOAL_THEN ASSUME_TAC);
3623       (FIRST_X_ASSUM_ST `ITER` kill);
3624       FIRST_X_ASSUM_ST `ITER` ((unlist ONCE_REWRITE_TAC) o GSYM);
3625       REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
3626       REWRITE_TAC[arith `i+1 = 1+i`];
3627       REWRITE_TAC[GSYM ITER_ADD;ITER_1];
3628       GMATCH_SIMP_TAC (arith `1 <= i ==> i = 1 + (i - 1)`);
3629       ASM_REWRITE_TAC[GSYM ITER_ADD;ITER_1];
3630       GMATCH_SIMP_TAC Local_lemmas.IVS_RHO_IDD;
3631       CONJ_TAC;
3632         BY(ASM_MESON_TAC[]);
3633       REPEAT (AP_TERM_TAC ORELSE AP_THM_TAC);
3634       BY(FIRST_X_ASSUM MP_TAC THEN ARITH_TAC);
3635     COMMENT "0 < azim";
3636     TYPIFY_GOAL_THEN ` (!i. i IN 1..r + 1 ==> &0 < azim (vec 0) (uu i) (uu (i + 1)) (uu (i - 1)))` (unlist REWRITE_TAC);
3637       REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
3638       FIRST_X_ASSUM_ST `&0 < azim a b c d` (C INTRO_TAC [`uu i`]);
3639       ANTS_TAC;
3640         BY(ASM_MESON_TAC[]);
3641       TYPIFY `rho_node1 FF (uu i) = uu (i+1) /\ ivs_rho_node1 FF (uu i) = (uu (i-1))` ENOUGH_TO_SHOW_TAC;
3642         BY(DISCH_THEN (unlist REWRITE_TAC));
3643       BY(REPLICATE_TAC 2 (FIRST_X_ASSUM MP_TAC) THEN REWRITE_TAC[IN_NUMSEG] THEN MESON_TAC[]);
3644     COMMENT "azim <= pi";
3645     TYPIFY_GOAL_THEN `(!i. ?e2. i IN 1..r + 1            ==> &0 < e2 /\               (!t. abs t < e2                    ==> azim (vec 0) (f (uu i) t) (f (uu (i + 1)) t)                        (f (uu (i - 1)) t) <=                        pi))` (unlist REWRITE_TAC);
3646       GEN_TAC;
3647       REWRITE_TAC[RIGHT_EXISTS_IMP_THM];
3648       DISCH_TAC;
3649       FIRST_X_ASSUM_ST `azim a b c d <= pi` (C INTRO_TAC [`uu i`]);
3650       REWRITE_TAC[RIGHT_EXISTS_IMP_THM];
3651       ANTS_TAC;
3652         BY(ASM_MESON_TAC[]);
3653       (REPEAT WEAKER_STRIP_TAC);
3654       TYPIFY `e2` EXISTS_TAC;
3655       ASM_REWRITE_TAC[];
3656       REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
3657       FIRST_X_ASSUM (C INTRO_TAC [`t`]);
3658       ASM_REWRITE_TAC[arith `-- e < t /\ t < e <=> abs t < e`];
3659       TYPIFY `rho_node1 FF (uu i) = uu(i+1) /\ ivs_rho_node1 FF (uu i) = uu (i - 1)` ENOUGH_TO_SHOW_TAC;
3660         BY(DISCH_THEN (unlist REWRITE_TAC));
3661       BY(REPLICATE_TAC 4 (FIRST_X_ASSUM MP_TAC) THEN REWRITE_TAC[IN_NUMSEG] THEN MESON_TAC[]);
3662     COMMENT "pairwise";
3663     REWRITE_TAC[pairwise];
3664     TYPIFY `!i. uu (i) IN V` (C SUBGOAL_THEN ASSUME_TAC);
3665       BY(ASM_MESON_TAC[Local_lemmas.LOCAL_FAN_ITER_RHO_NODE_IN_V]);
3666     TYPIFY `(!i j. i IN 0..r+1 /\ j IN 0..r+1 /\ ~(i = j)==> ~(uu i = uu j)) /\ (!i j. i IN 1..r+2 /\ j IN 1..r+2 /\ ~(i=j) ==> ~(uu i = uu j))` ENOUGH_TO_SHOW_TAC;
3667       REPEAT (FIRST_X_ASSUM_ST `azim` kill);
3668       BY(ASM_MESON_TAC[PROPERTIES_GENERIC_LOCAL_FAN_ALT]);
3669     CONJ_TAC;
3670       REWRITE_TAC[IN_NUMSEG];
3671       REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
3672       FIRST_X_ASSUM MP_TAC;
3673       FIRST_X_ASSUM_ST `ITER` kill;
3674       REWRITE_TAC[];
3675       FIRST_X_ASSUM_ST `ITER` ((unlist ONCE_REWRITE_TAC) o GSYM);
3676       BY(ASM_MESON_TAC[Local_lemmas1.LT_CARD_MONO_LOFA;arith `i <= r+1 /\ 1 < r /\ r < CARD V - 1 ==> i < CARD V`]);
3677     TYPIFY `!i. 1 <= i ==> uu i = ITER (PRE i) (rho_node1 FF) (w)` (C SUBGOAL_THEN ASSUME_TAC);
3678       ASM_REWRITE_TAC[];
3679       BY(MESON_TAC[arith `1 <= i ==> PRE i + 1 = i`]);
3680     REWRITE_TAC[IN_NUMSEG];
3681     REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
3682     FIRST_X_ASSUM MP_TAC;
3683     REWRITE_TAC[];
3684     FIRST_X_ASSUM_ST `ITER` (REPEAT o GMATCH_SIMP_TAC);
3685     TYPIFY `w IN V` (C SUBGOAL_THEN MP_TAC);
3686       BY(ASM_REWRITE_TAC[]);
3687     TYPIFY `PRE i < CARD V /\ PRE j < CARD V` (C SUBGOAL_THEN MP_TAC);
3688       BY(REPEAT (FIRST_X_ASSUM_ST `CARD` MP_TAC) THEN REPLICATE_TAC 5 (FIRST_X_ASSUM MP_TAC) THEN MESON_TAC[arith `1<= i /\ i <= r+2 /\ 1 < r /\ r < CARD V - 1 ==> PRE i < CARD V`]);
3689     REPEAT (FIRST_X_ASSUM_ST `local_fan` MP_TAC);
3690     REPLICATE_TAC 5 (FIRST_X_ASSUM MP_TAC);
3691     BY(MESON_TAC[Local_lemmas1.LT_CARD_MONO_LOFA;arith `1 <= i /\ 1 <= j /\ PRE i = PRE j ==> (i = j)`]);
3692   (COMMENT "SECOND MAIN BRANCH");
3693   FIRST_X_ASSUM_ST `azim a b c d = &0` kill;
3694   TYPIFY `ITER (CARD V - 1) (rho_node1 FF) w = ivs_rho_node1 FF w` (C SUBGOAL_THEN ASSUME_TAC);
3695     GMATCH_SIMP_TAC Local_lemmas.ITER_CARD_MINUS1_EQ_IVS_RN1;
3696     BY(ASM_MESON_TAC[]);
3697   FIRST_X_ASSUM_ST `interior_angle1` MP_TAC;
3698   ASM_REWRITE_TAC[];
3699   REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
3700   TYPED_ABBREV_TAC `r' = CARD V - r`;
3701   TYPED_ABBREV_TAC `w' = ITER r (rho_node1 FF) w`;
3702   COMMENT "add KOM";
3703   INTRO_TAC Local_lemmas.KOMWBWC [`E`;`V`;`affine hull {(vec 0),w,ivs_rho_node1 FF w}`;`r'`;`FF`;`{ITER i (rho_node1 FF) w' | i <= r'}`;`w' cross rho_node1 FF w'`;`w`;`w'`];
3704   ASM_REWRITE_TAC[];
3705   ANTS_TAC;
3706     REWRITE_TAC[plane];
3707     CONJ_TAC;
3708       GEXISTL_TAC [`(vec 0):real^3`;`w`;`ivs_rho_node1 FF w`];
3709       REWRITE_TAC[];
3710       BY(ASM_MESON_TAC[Local_lemmas.LOFA_IMP_NOT_COLL_IVS]);
3711     CONJ_TAC;
3712       MATCH_MP_TAC Marchal_cells_2_new.IN_AFFINE_KY_LEMMA1;
3713       BY(SET_TAC[]);
3714     REWRITE_TAC[SUBSET;IN_ELIM_THM];
3715     REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
3716     ASM_REWRITE_TAC[];
3717     EXPAND_TAC "w'";
3718     REWRITE_TAC[ITER_ADD];
3719     ASM_CASES_TAC `(i:num)=r'`;
3720       ASM_REWRITE_TAC[];
3721       TYPIFY `r' + r = CARD V` (C SUBGOAL_THEN SUBST1_TAC);
3722         BY(REPLICATE_TAC 5 (FIRST_X_ASSUM MP_TAC) THEN FIRST_X_ASSUM_ST `r < CARD V - 1` MP_TAC THEN ARITH_TAC);
3723       GMATCH_SIMP_TAC Local_lemmas1.LOFA_IMP_ITER_RHO_NODE_ID2;
3724       CONJ_TAC;
3725         BY(ASM_MESON_TAC[]);
3726       MATCH_MP_TAC Marchal_cells_2_new.IN_AFFINE_KY_LEMMA1;
3727       BY(SET_TAC[]);
3728     TYPIFY `aff_gt {vec 0,w} {ivs_rho_node1 FF w} SUBSET affine hull {vec 0,w,ivs_rho_node1 FF w}` ENOUGH_TO_SHOW_TAC;
3729       FIRST_X_ASSUM (C INTRO_TAC [`ITER (i+r) (rho_node1 FF) w`;`i+(r:num)`]);
3730       ANTS_TAC;
3731         ASM_REWRITE_TAC[arith `r <= (i:num) + r`];
3732         BY(REPLICATE_TAC 5 (FIRST_X_ASSUM MP_TAC) THEN FIRST_X_ASSUM_ST `r < CARD V - 1` MP_TAC THEN ARITH_TAC);
3733       BY(SET_TAC[]);
3734     TYPIFY `{vec 0,w,ivs_rho_node1 FF w } = {vec 0,w} UNION {ivs_rho_node1 FF w}` (C SUBGOAL_THEN SUBST1_TAC);
3735       BY(SET_TAC[]);
3736     BY(REWRITE_TAC[AFF_GT_SUBSET_AFFINE_HULL]);
3737   REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
3738   COMMENT "abbreviate uu, forward order";
3739   TYPIFY `ivs_rho_node1 FF w' IN V` (C SUBGOAL_THEN ASSUME_TAC);
3740     MATCH_MP_TAC Local_lemmas1.LOCAL_FAN_IVS_IN_V;
3741     BY(ASM_REWRITE_TAC[]);
3742   TYPIFY `!i. ITER i (rho_node1 FF) (ivs_rho_node1 FF w') IN V` (C SUBGOAL_THEN ASSUME_TAC);
3743     MATCH_MP_TAC Local_lemmas.LOCAL_FAN_ITER_RHO_NODE_IN_V;
3744     BY(ASM_REWRITE_TAC[]);
3745   TYPED_ABBREV_TAC `w0 = ivs_rho_node1 FF w'`;
3746   TYPED_ABBREV_TAC `uu = (\i. ITER i (rho_node1 FF) w0)`;
3747   TYPIFY `!i. ITER i (rho_node1 FF) w0 = uu i` (C SUBGOAL_THEN ASSUME_TAC);
3748     EXPAND_TAC "uu";
3749     BY(REWRITE_TAC[]);
3750   TYPIFY `w0 = uu 0 /\ w' = uu 1 /\ rho_node1 FF w' = uu 2 /\ (!i. ITER i (rho_node1 FF) w' = uu (i+1))` (C SUBGOAL_THEN ASSUME_TAC);
3751     EXPAND_TAC "uu";
3752     REWRITE_TAC[ITER;ITER_1];
3753     EXPAND_TAC "w0";
3754     REWRITE_TAC[arith `2 = 1+1`;GSYM ITER_ADD;ITER_1];
3755     REPEAT (GMATCH_SIMP_TAC Local_lemmas1.LOCAL_FAN_RHO_NODE_IVS);
3756     BY(ASM_MESON_TAC[]);
3757   ASM_REWRITE_TAC[];
3758   FIRST_X_ASSUM (fun t -> RULE_ASSUM_TAC(REWRITE_RULE[t]) THEN ASSUME_TAC t);
3759   TYPIFY `1 < r' /\ r' < CARD V - 1` (C SUBGOAL_THEN ASSUME_TAC);
3760     EXPAND_TAC "r'";
3761     BY(FIRST_X_ASSUM_ST `1 < r /\ r < CARD V - 1` MP_TAC THEN ARITH_TAC);
3762   TYPIFY `ivs_rho_node1 FF w = uu(r')` (C SUBGOAL_THEN ASSUME_TAC);
3763     TYPIFY `r' = PRE r' + 1` (C SUBGOAL_THEN SUBST1_TAC);
3764       BY(FIRST_X_ASSUM MP_TAC THEN ARITH_TAC);
3765     TYPIFY `uu (PRE r' + 1) = ITER (PRE r') (rho_node1 FF) (ITER r (rho_node1 FF) w)` (C SUBGOAL_THEN SUBST1_TAC);
3766       BY(ASM_MESON_TAC[]);
3767     REWRITE_TAC[ITER_ADD];
3768     TYPIFY `PRE r' + r = CARD V - 1` (C SUBGOAL_THEN SUBST1_TAC);
3769       EXPAND_TAC "r'";
3770       BY(REPEAT (FIRST_X_ASSUM_ST `1 < r /\ r < CARD V-1` MP_TAC) THEN ARITH_TAC);
3771     GMATCH_SIMP_TAC Local_lemmas.ITER_CARD_MINUS1_EQ_IVS_RN1;
3772     BY(ASM_MESON_TAC[]);
3773   TYPIFY `!i j. ITER i (rho_node1 FF) (uu j) = uu (i+j)` (C SUBGOAL_THEN ASSUME_TAC);
3774     FIRST_X_ASSUM_ST `ITER` kill;
3775     FIRST_X_ASSUM_ST `ITER` ((unlist ONCE_REWRITE_TAC) o GSYM);
3776     BY(REWRITE_TAC[ITER_ADD]);
3777   TYPIFY `w = uu (r'+1)` (C SUBGOAL_THEN ASSUME_TAC);
3778     ONCE_REWRITE_TAC[arith `r' + 1 = 1 + r'`];
3779     FIRST_X_ASSUM ((unlist ONCE_REWRITE_TAC) o GSYM);
3780     REWRITE_TAC[ITER_1];
3781     FIRST_X_ASSUM ((unlist REWRITE_TAC) o GSYM);
3782     BY(ASM_MESON_TAC[Local_lemmas1.LOCAL_FAN_RHO_NODE_IVS]);
3783   TYPIFY `rho_node1 FF w = uu (r'+2)` (C SUBGOAL_THEN ASSUME_TAC);
3784     FIRST_X_ASSUM SUBST1_TAC;
3785     REWRITE_TAC[arith `r' + 2 = 1 + (r' + 1)`];
3786     BY(FIRST_X_ASSUM MP_TAC THEN MESON_TAC[ITER_1]);
3787   ASM_REWRITE_TAC[];
3788   COMMENT "apply XIV_ECAU";
3789   TYPIFY `(?e3. &0 < e3 /\                  (!t. abs t < e3                       ==> f (uu 1) t IN                           wedge_ge (vec 0) (f (uu (r' + 1)) t)                           (f (uu (r' + 2)) t)                           (f (uu r') t) /\                           f (uu (r' + 1)) t IN                           wedge_ge (vec 0) (f (uu 1) t) (f (uu 2) t)                           (f (uu 0) t)))` ENOUGH_TO_SHOW_TAC;
3790     REWRITE_TAC[arith `-- e < t /\ t < e <=> abs t < e`];
3791     BY(MESON_TAC[]);
3792   MATCH_MP_TAC XIV_ECAU_BACK;
3793   GEXISTL_TAC [`a`;`b`];
3794   COMMENT "cyclic set condition";
3795   TYPIFY `{uu i | i IN 1 .. r'+1} = {uu (i+1) | i <= r'}` (C SUBGOAL_THEN SUBST1_TAC);
3796     REWRITE_TAC[EXTENSION;IN_ELIM_THM;IN_NUMSEG];
3797     GEN_TAC;
3798     MATCH_MP_TAC (TAUT `((a ==> b) /\ (b ==> a)) ==> (a <=> b)`);
3799     CONJ_TAC THEN REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
3800       TYPIFY `PRE i` EXISTS_TAC;
3801       ASM_SIMP_TAC[arith `1 <= i ==> PRE i + 1 = i`];
3802       BY(REPLICATE_TAC 3 (FIRST_X_ASSUM MP_TAC) THEN ARITH_TAC);
3803     TYPIFY `i+1` EXISTS_TAC;
3804     ASM_REWRITE_TAC[];
3805     BY(REPLICATE_TAC 2(FIRST_X_ASSUM MP_TAC) THEN ARITH_TAC);
3806   ASM_REWRITE_TAC[];
3807   COMMENT "deformation condition";
3808   CONJ_TAC;
3809     MATCH_MP_TAC deformation_subset;
3810     TYPIFY `V` EXISTS_TAC;
3811     ASM_REWRITE_TAC[SUBSET;IN_ELIM_THM];
3812     BY(REPLICATE_TAC 10 (FIRST_X_ASSUM MP_TAC) THEN MESON_TAC[]);
3813   ASM_SIMP_TAC[arith `1 < r' ==> 1 <= r'`];
3814   COMMENT "aff_gt";
3815   TYPIFY `!i. uu(i+ CARD V) = uu i` (C SUBGOAL_THEN ASSUME_TAC);
3816     GEN_TAC;
3817     INTRO_TAC Localization.PERIODIC_RHO_NODE1 [`V`;`E`;`FF`;`uu 0`];
3818     ANTS_TAC;
3819       BY(ASM_MESON_TAC[]);
3820     REWRITE_TAC[Oxl_def.periodic];
3821     ASM_REWRITE_TAC[];
3822     BY(MESON_TAC[]);
3823   TYPIFY `!i. r <= i ==> ITER i (rho_node1 FF) w = uu (i - (r-1))` (C SUBGOAL_THEN ASSUME_TAC);
3824     REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
3825     TYPIFY `ITER i = ITER ((i-r) + r)` (C SUBGOAL_THEN SUBST1_TAC);
3826       AP_TERM_TAC;
3827       BY(FIRST_X_ASSUM MP_TAC THEN ARITH_TAC);
3828     ASM_REWRITE_TAC[];
3829     FIRST_X_ASSUM (C INTRO_TAC [`i - (r-1)`]);
3830     DISCH_THEN (SUBST1_TAC o GSYM);
3831     AP_TERM_TAC;
3832     EXPAND_TAC "r'";
3833     BY(FIRST_X_ASSUM MP_TAC THEN REPEAT (FIRST_X_ASSUM_ST `1 < r /\ r < CARD V - 1` MP_TAC) THEN ARITH_TAC);
3834   SUBCONJ_TAC;
3835     REWRITE_TAC[IN_NUMSEG] THEN REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
3836     FIRST_X_ASSUM_ST `aff_gt` (C INTRO_TAC [`ITER (i+(r-1)) (rho_node1 FF) w`;`(i+(r-1))`]);
3837     ASM_REWRITE_TAC[];
3838     ANTS_TAC;
3839       REPLICATE_TAC 2 (FIRST_X_ASSUM MP_TAC) THEN REPEAT (FIRST_X_ASSUM_ST `1 < r /\ r < CARD V - 1` MP_TAC);
3840       EXPAND_TAC "r'";
3841       BY(ARITH_TAC);
3842     TYPIFY `(i+r-1) + r'+ 1 = i+ CARD V` ENOUGH_TO_SHOW_TAC;
3843       BY(DISCH_THEN SUBST1_TAC THEN ASM_REWRITE_TAC[]);
3844     BY(REPLICATE_TAC 2 (FIRST_X_ASSUM MP_TAC) THEN REPEAT (FIRST_X_ASSUM_ST `1 < r /\ r < CARD V - 1` MP_TAC) THEN EXPAND_TAC "r'" THEN ARITH_TAC);
3845   DISCH_TAC;
3846   TYPIFY_GOAL_THEN `{uu 1, uu 2} SUBSET aff_gt {vec 0, uu (r' + 1)} {uu r'}` (unlist REWRITE_TAC);
3847     REWRITE_TAC[IN_INSERT;NOT_IN_EMPTY;SUBSET];
3848     REPEAT STRIP_TAC THEN ASM_REWRITE_TAC[] THEN FIRST_X_ASSUM MATCH_MP_TAC THEN REWRITE_TAC[IN_NUMSEG;arith `1 <= 1 /\ 1 <= 2`];
3849       BY(REPEAT (FIRST_X_ASSUM_ST `1 < r /\ r < CARD V - 1` MP_TAC) THEN EXPAND_TAC "r'" THEN ARITH_TAC);
3850     BY(REPEAT (FIRST_X_ASSUM_ST `1 < r /\ r < CARD V - 1` MP_TAC) THEN EXPAND_TAC "r'" THEN ARITH_TAC);
3851   COMMENT "cross";
3852   CONJ_TAC;
3853     REWRITE_TAC[IN_NUMSEG] THEN REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
3854     FIRST_X_ASSUM_ST `&0 < (a cross b) dot c` (C INTRO_TAC [`PRE i`]);
3855     TYPIFY `PRE i < r' /\ PRE i + 1 = i /\ (PRE i+1)+1 = i+1` ENOUGH_TO_SHOW_TAC;
3856       BY(MESON_TAC[]);
3857     BY(REPLICATE_TAC 2 (FIRST_X_ASSUM MP_TAC) THEN ARITH_TAC);
3858   COMMENT "azim_cycle";
3859   CONJ_TAC;
3860     REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
3861     FIRST_X_ASSUM (C INTRO_TAC [`uu i`;`PRE i`]);
3862     DISCH_THEN GMATCH_SIMP_TAC;
3863     CONJ_TAC;
3864       BY(FIRST_X_ASSUM MP_TAC THEN (REWRITE_TAC[IN_NUMSEG]) THEN MESON_TAC[arith `1 <= i ==> PRE i + 1 = i`;arith `i <= r' /\ 1 <= i ==> PRE i < r'`]);
3865     FIRST_X_ASSUM (C INTRO_TAC [`1`;`i`]);
3866     BY(REWRITE_TAC[ITER_1;arith `1 + i = i + 1`]);
3867   CONJ_TAC;
3868     FIRST_X_ASSUM_ST `azim_cycle` MP_TAC;
3869     TYPIFY_GOAL_THEN `r' < CARD FF` (unlist REWRITE_TAC);
3870       GMATCH_SIMP_TAC Local_lemmas.LOFA_IMP_CARD_FF_V_EQ;
3871       TYPIFY `V` EXISTS_TAC;
3872       CONJ_TAC;
3873         BY(ASM_MESON_TAC[]);
3874       BY(FIRST_X_ASSUM_ST `r' < CARD V - 1` MP_TAC THEN ARITH_TAC);
3875     BY(FIRST_X_ASSUM_ST `w = uu(r'+1)` MP_TAC THEN MESON_TAC[]);
3876   COMMENT "0 < azim";
3877   TYPIFY `!i. rho_node1 FF (uu i) = uu(i+1)` (C SUBGOAL_THEN ASSUME_TAC);
3878     GEN_TAC;
3879     FIRST_X_ASSUM (C INTRO_TAC [`1`;`i`]);
3880     BY(REWRITE_TAC[ITER_1;arith `1+i = i+1`]);
3881   TYPIFY `!i. 1 <= i ==> ivs_rho_node1 FF (uu i) = uu (i-1)` (C SUBGOAL_THEN ASSUME_TAC);
3882     REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
3883     TYPED_ABBREV_TAC `a = uu(i-1)`;
3884     TYPIFY `i = 1 + (i-1)` (C SUBGOAL_THEN SUBST1_TAC);
3885       BY(REPLICATE_TAC 2 (FIRST_X_ASSUM MP_TAC) THEN ARITH_TAC);
3886     FIRST_X_ASSUM (C INTRO_TAC [`1`;`i-1`]);
3887     REWRITE_TAC[ITER_1];
3888     DISCH_THEN (SUBST1_TAC o GSYM);
3889     EXPAND_TAC "a'";
3890     GMATCH_SIMP_TAC Local_lemmas.IVS_RHO_IDD;
3891     BY(ASM_MESON_TAC[]);
3892   TYPIFY_GOAL_THEN ` (!i. i IN 1..r' + 1 ==> &0 < azim (vec 0) (uu i) (uu (i + 1)) (uu (i - 1)))` (unlist REWRITE_TAC);
3893     REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
3894     FIRST_X_ASSUM_ST `&0 < azim a b c d` (C INTRO_TAC [`uu i`]);
3895     ANTS_TAC;
3896       BY(ASM_MESON_TAC[]);
3897     TYPIFY `rho_node1 FF (uu i) = uu (i+1) /\ ivs_rho_node1 FF (uu i) = (uu (i-1))` ENOUGH_TO_SHOW_TAC;
3898       BY(DISCH_THEN (unlist REWRITE_TAC));
3899     BY(REPLICATE_TAC 3 (FIRST_X_ASSUM MP_TAC) THEN REWRITE_TAC[IN_NUMSEG] THEN MESON_TAC[]);
3900   COMMENT "azim <= pi";
3901   TYPIFY_GOAL_THEN `(!i. ?e2. i IN 1..r' + 1            ==> &0 < e2 /\               (!t. abs t < e2                    ==> azim (vec 0) (f (uu i) t) (f (uu (i + 1)) t)                        (f (uu (i - 1)) t) <=                        pi))` (unlist REWRITE_TAC);
3902     GEN_TAC;
3903     REWRITE_TAC[RIGHT_EXISTS_IMP_THM];
3904     DISCH_TAC;
3905     FIRST_X_ASSUM_ST `azim a b c d <= pi` (C INTRO_TAC [`uu i`]);
3906     REWRITE_TAC[RIGHT_EXISTS_IMP_THM];
3907     ANTS_TAC;
3908       BY(ASM_MESON_TAC[]);
3909     (REPEAT WEAKER_STRIP_TAC);
3910     TYPIFY `e2` EXISTS_TAC;
3911     ASM_REWRITE_TAC[];
3912     REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
3913     FIRST_X_ASSUM (C INTRO_TAC [`t`]);
3914     ASM_REWRITE_TAC[arith `-- e < t /\ t < e <=> abs t < e`];
3915     TYPIFY `ivs_rho_node1 FF (uu i) = uu (i - 1)` ENOUGH_TO_SHOW_TAC;
3916       BY(DISCH_THEN (unlist REWRITE_TAC));
3917     FIRST_X_ASSUM MATCH_MP_TAC;
3918     BY(REPLICATE_TAC 3 (FIRST_X_ASSUM MP_TAC) THEN REWRITE_TAC[IN_NUMSEG] THEN MESON_TAC[]);
3919   COMMENT "pairwise";
3920   REWRITE_TAC[pairwise];
3921   TYPIFY `!i. uu (i) IN V` (C SUBGOAL_THEN ASSUME_TAC);
3922     BY(ASM_MESON_TAC[Local_lemmas.LOCAL_FAN_ITER_RHO_NODE_IN_V]);
3923   TYPIFY `(!i j. i IN 0..r'+1 /\ j IN 0..r'+1 /\ ~(i = j)==> ~(uu i = uu j)) /\ (!i j. i IN 1..r'+2 /\ j IN 1..r'+2 /\ ~(i=j) ==> ~(uu i = uu j))` ENOUGH_TO_SHOW_TAC;
3924     REPEAT (FIRST_X_ASSUM_ST `azim` kill);
3925     BY(ASM_MESON_TAC[PROPERTIES_GENERIC_LOCAL_FAN_ALT]);
3926   CONJ_TAC;
3927     REWRITE_TAC[IN_NUMSEG];
3928     REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
3929     FIRST_X_ASSUM MP_TAC;
3930     (REPLICATE_TAC 3 (FIRST_X_ASSUM_ST `ITER` kill));
3931     REWRITE_TAC[];
3932     FIRST_X_ASSUM_ST `ITER` ((unlist ONCE_REWRITE_TAC) o GSYM);
3933     BY(ASM_MESON_TAC[Local_lemmas1.LT_CARD_MONO_LOFA;arith `i <= r'+1 /\ 1 < r' /\ r' < CARD V - 1 ==> i < CARD V`]);
3934   TYPIFY `!i. 1 <= i ==> uu i = ITER (PRE i) (rho_node1 FF) (w')` (C SUBGOAL_THEN ASSUME_TAC);
3935     ASM_REWRITE_TAC[];
3936     BY(MESON_TAC[arith `1 <= i ==> PRE i + 1 = i`]);
3937   REWRITE_TAC[IN_NUMSEG];
3938   REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
3939   FIRST_X_ASSUM MP_TAC;
3940   REWRITE_TAC[];
3941   FIRST_X_ASSUM_ST `ITER` (REPEAT o GMATCH_SIMP_TAC);
3942   TYPIFY `w' IN V` (C SUBGOAL_THEN MP_TAC);
3943     BY(ASM_REWRITE_TAC[]);
3944   TYPIFY `PRE i < CARD V /\ PRE j < CARD V` (C SUBGOAL_THEN MP_TAC);
3945     BY(REPEAT (FIRST_X_ASSUM_ST `CARD` MP_TAC) THEN REPLICATE_TAC 5 (FIRST_X_ASSUM MP_TAC) THEN MESON_TAC[arith `1<= i /\ i <= r'+2 /\ 1 < r' /\ r' < CARD V - 1 ==> PRE i < CARD V`]);
3946   REPEAT (FIRST_X_ASSUM_ST `local_fan` MP_TAC);
3947   REPLICATE_TAC 5 (FIRST_X_ASSUM MP_TAC);
3948   BY(MESON_TAC[Local_lemmas1.LT_CARD_MONO_LOFA;arith `1 <= i /\ 1 <= j /\ PRE i = PRE j ==> (i = j)`])
3949   ]);;
3950   (* }}} *)
3951
3952 (*
3953 let ZLZTHIC_concl =
3954 `!a b V E FF f.
3955      convex_local_fan (V,E,FF) /\
3956      generic V E /\
3957      deformation f V (a,b) /\
3958      (!v t. v IN V /\ t IN real_interval (a,b) /\ interior_angle1 (vec 0) FF v = pi ==>
3959          interior_angle1 (vec 0) ( IMAGE (\uv. f (FST uv) t,f (SND uv) t) FF) (f v t) <= pi)
3960      ==> (?e. &0 < e /\
3961               (!t. --e < t /\ t < e
3962                    ==> convex_local_fan
3963                        (IMAGE (\v. f v t) V,
3964                         IMAGE (IMAGE (\v. f v t)) E,
3965                         IMAGE (\uv. f (FST uv) t,f (SND uv) t) FF) /\
3966                        generic (IMAGE (\v. f v t) V)
3967                        (IMAGE (IMAGE (\v. f v t)) E)))`;;
3968 *)
3969
3970 let ZLZTHIC = prove_by_refinement(
3971 `!a b V E FF f.
3972      convex_local_fan (V,E,FF) /\
3973      generic V E /\
3974      deformation f V (a,b) /\
3975      (!v t. v IN V /\ t IN real_interval (a,b) /\ interior_angle1 (vec 0) FF v = pi ==>
3976          interior_angle1 (vec 0) ( IMAGE (\uv. f (FST uv) t,f (SND uv) t) FF) (f v t) <= pi)
3977      ==> (?e. &0 < e /\
3978               (!t. --e < t /\ t < e
3979                    ==> convex_local_fan
3980                        (IMAGE (\v. f v t) V,
3981                         IMAGE (IMAGE (\v. f v t)) E,
3982                         IMAGE (\uv. f (FST uv) t,f (SND uv) t) FF) /\
3983                        generic (IMAGE (\v. f v t) V)
3984                        (IMAGE (IMAGE (\v. f v t)) E)))`,
3985   (* {{{ proof *)
3986   [
3987   REPEAT WEAKER_STRIP_TAC;
3988   MATCH_MP_TAC zlz_reduction;
3989   GEXISTL_TAC [`a`;`b`];
3990   ASM_REWRITE_TAC[];
3991   CONJ_TAC;
3992     MATCH_MP_TAC zlz_generic;
3993     GEXISTL_TAC [`a`;`b`;`E`];
3994     BY(ASM_REWRITE_TAC[]);
3995   CONJ_TAC;
3996     MATCH_MP_TAC zlz_wedge_skolem;
3997     ASM_REWRITE_TAC[];
3998     MATCH_MP_TAC zlz_wedge_boundary;
3999     GEXISTL_TAC [`a`;`b`];
4000     BY(ASM_REWRITE_TAC[]);
4001   MATCH_MP_TAC zlz_azim;
4002   GEXISTL_TAC [`a`;`b`;`V`];
4003   BY(ASM_REWRITE_TAC[])
4004   ]);;
4005   (* }}} *)
4006
4007
4008 end;;
4009