Jordan/real_ext.ml

   1
   2
   3
   4
   5 (* ------------------------------------------------------------------ *)
   6 (*   Theorems that construct and propagate equality and inequality    *)
   7 (* ------------------------------------------------------------------ *)
   8
   9 (* ------------------------------------------------------------------ *)
  10 (* Propagation of =EQUAL=  *)
  11 (* ------------------------------------------------------------------ *)
  12
  13 unambiguous_interface();;
  14 prioritize_num();;
  15
  16 let REAL_MUL_LTIMES = prove (`!x a b. (x*.a = x*.b) ==> (~(x=(&.0))) ==> (a =b)`,
  17    MESON_TAC[REAL_EQ_MUL_LCANCEL]);;
  18
  19 let REAL_MUL_RTIMES = prove (`!x a b. (a*.x = b*.x) ==> (~(x=(&.0))) ==> (a =b)`,
  20    MESON_TAC[REAL_EQ_MUL_RCANCEL]);;
  21
  22 let REAL_PROP_EQ_LMUL = REAL_MUL_LTIMES;;
  23 let REAL_PROP_EQ_RMUL = REAL_MUL_RTIMES;;
  24
  25 let REAL_PROP_EQ_LMUL_' = REAL_EQ_MUL_LCANCEL (* |- !x y z. (x * y = x * z) = (x = &0) \/ (y = z) *);;
  26 let REAL_PROP_EQ_RMUL_' = REAL_EQ_MUL_LCANCEL (* |- !x y z. (x * z = y * z) = (x = y) \/ (z = &0) *);;
  27 (* see also minor variations REAL_LT_LMUL_EQ, REAL_LT_RMUL_EQ *)
  28
  29 let REAL_PROP_EQ_SQRT = SQRT_INJ;; (* |- !x y. &0 <= x /\ &0 <= y ==> ((sqrt x = sqrt y) = x = y) *)
  30
  31 (* ------------------------------------------------------------------ *)
  32 (* Construction of <=. *)
  33 (* ------------------------------------------------------------------ *)
  34 let REAL_MK_LE_SQUARE = REAL_LE_SQUARE_POW ;; (*  |- !x. &0 <= x pow 2 *)
  35
  36 (* ------------------------------------------------------------------ *)
  37 (* Propagation of <=. *)
  38 (* ------------------------------------------------------------------ *)
  39
  40 let REAL_MUL_LTIMES_LE = prove (`!x a b. (x*.a <=. x*.b) ==> (&.0 < x) ==> (a <=. b)`,
  41    MESON_TAC[REAL_LE_LMUL_EQ]);;
  42   (* virtually identical to REAL_LE_LCANCEL_IMP, REAL_LE_LMUL_EQ *)
  43
  44 let REAL_MUL_RTIMES_LE = prove (`!x a b. (a*.x <=. b*.x) ==> (&.0 < x) ==> (a <=. b)`,
  45    MESON_TAC[REAL_LE_RMUL_EQ]);;
  46   (* virtually identical to REAL_LE_RCANCEL_IMP, REAL_LE_RMUL_EQ *)
  47
  48 let REAL_PROP_LE_LCANCEL = REAL_MUL_LTIMES_LE;;
  49 let REAL_PROP_LE_RCANCEL = REAL_MUL_RTIMES_LE;;
  50 let REAL_PROP_LE_LMUL = REAL_LE_LMUL (* |- !x y z. &0 <= x /\ y <= z ==> x * y <= x * z *);;
  51 let REAL_PROP_LE_RMUL = REAL_LE_RMUL (* |- !x y z. x <= y /\ &0 <= z ==> x * z <= y * z *);;
  52 let REAL_PROP_LE_LRMUL = REAL_LE_MUL2;; (* |- !w x y z. &0 <= w /\ w <= x /\ &0 <= y /\ y <= z ==> w * y <= x * z *)
  53 let REAL_PROP_LE_POW = POW_LE;; (* |- !n x y. &0 <= x /\ x <= y ==> x pow n <= y pow n *)
  54 let REAL_PROP_LE_SQRT = SQRT_MONO_LE_EQ;; (* |- !x y. &0 <= x /\ &0 <= y ==> (sqrt x <= sqrt y = x <= y) *)
  55
  56 (* ------------------------------------------------------------------ *)
  57 (* Construction of LT *)
  58 (* ------------------------------------------------------------------ *)
  59
  60 let REAL_MK_LT_SQUARE  = REAL_LT_SQUARE;; (* |- !x. &0 < x * x = ~(x = &0) *)
  61
  62 (* ------------------------------------------------------------------ *)
  63 (* Propagation of LT *)
  64 (* ------------------------------------------------------------------ *)
  65
  66 let REAL_PROP_LT_LCANCEL = REAL_LT_LCANCEL_IMP (* |- !x y z. &0 < x /\ x * y < x * z ==> y < z *);;
  67 let REAL_PROP_LT_RCANCEL = REAL_LT_RCANCEL_IMP (* |- !x y z. &0 < z /\ x * z < y * z ==> x < y *);;
  68 let REAL_PROP_LT_LMUL = REAL_LT_LMUL (* |- !x y z. &0 < x /\ y < z ==> x * y < x * z *);;
  69 let REAL_PROP_LT_RMUL = REAL_LT_RMUL (* |- !x y z. x < y /\ &0 < z ==> x * z < y * z *);;
  70 (* minor variation REAL_LT_LMUL_IMP, REAL_LT_RMUL_IMP *)
  71
  72 let REAL_PROP_LT_LRMUL= REAL_LT_MUL2;; (* |- !w x y z. &0 <= w /\ w < x /\ &0 <= y /\ y < z ==> w * y < x * z *)
  73 let REAL_PROP_LT_SQRT = SQRT_MONO_LT_EQ;; (* |- !x y. &0 <= x /\ &0 <= y ==> (sqrt x < sqrt y = x < y) *)
  74
  75 (* ------------------------------------------------------------------ *)
  76 (* Constructors of Non-negative *)
  77 (* ------------------------------------------------------------------ *)
  78
  79 let REAL_MK_NN_SQUARE = REAL_LE_SQUARE;; (* |- !x. &0 <= x * x *)
  80 let REAL_MK_NN_ABS = ABS_POS;; (* |- !x. &0 <= abs x *)
  81
  82 (* ------------------------------------------------------------------ *)
  83 (* Propagation of Non-negative *)
  84 (* ------------------------------------------------------------------ *)
  85
  86 let REAL_PROP_NN_POS = prove(`! x y. x<. y ==> x <= y`,MESON_TAC[REAL_LT_LE]);;
  87 let REAL_PROP_NN_ADD2 = REAL_LE_ADD (* |- !x y. &0 <= x /\ &0 <= y ==> &0 <= x + y *);;
  88 let REAL_PROP_NN_DOUBLE = REAL_LE_DOUBLE (* |- !x. &0 <= x + x <=> &0 <= x *);;
  89 let REAL_PROP_NN_RCANCEL= prove(`!x y. &.0 <. x /\ (&.0) <=. y*.x ==> ((&.0) <=. y)`,
  90   MESON_TAC[REAL_PROP_LE_RCANCEL;REAL_MUL_LZERO]);;
  91 let REAL_PROP_NN_LCANCEL= prove(`!x y. &.0 <. x /\ (&.0) <=. x*.y ==> ((&.0) <=. y)`,
  92   MESON_TAC[REAL_PROP_LE_LCANCEL;REAL_MUL_RZERO]);;
  93 let REAL_PROP_NN_MUL2 = REAL_LE_MUL (* |- !x y. &0 <= x /\ &0 <= y ==> &0 <= x * y *);;
  94 let REAL_PROP_NN_POW = REAL_POW_LE (* |- !x n. &0 <= x ==> &0 <= x pow n *);;
  95 let REAL_PROP_NN_SQUARE = REAL_LE_POW_2;; (* |- !x. &0 <= x pow 2 *)
  96 let REAL_PROP_NN_SQRT = SQRT_POS_LE;; (* |- !x. &0 <= x ==> &0 <= sqrt x *)
  97 let REAL_PROP_NN_INV = REAL_LE_INV_EQ (* |- !x. &0 <= inv x = &0 <= x *);;
  98 let REAL_PROP_NN_SIN = SIN_POS_PI_LE;; (* |- !x. &0 <= x /\ x <= pi ==> &0 <= sin x *)
  99 let REAL_PROP_NN_ATN = ATN_POS_LE;; (* |- &0 <= atn x = &0 <= x *)
 100
 101
 102 (* ------------------------------------------------------------------ *)
 103 (* Constructor of POS *)
 104 (* ------------------------------------------------------------------ *)
 105
 106 let REAL_MK_POS_ABS = REAL_ABS_NZ (* |- !x. ~(x = &0) = &0 < abs x *);;
 107 let REAL_MK_POS_EXP = REAL_EXP_POS_LT;; (* |- !x. &0 < exp x *)
 108 let REAL_MK_POS_LN = LN_POS_LT;; (* |- !x. &1 < x ==> &0 < ln x *)
 109 let REAL_MK_POS_PI = PI_POS;; (* |- &0 < pi *)
 110
 111
 112 (* ------------------------------------------------------------------ *)
 113 (* Propagation of POS *)
 114 (* ------------------------------------------------------------------ *)
 115
 116 let REAL_PROP_POS_ADD2 = REAL_LT_ADD (* |- !x y. &0 < x /\ &0 < y ==> &0 < x + y *);;
 117 let REAL_PROP_POS_LADD = REAL_LET_ADD (* |- !x y. &0 <= x /\ &0 < y ==> &0 < x + y *);;
 118 let REAL_PROP_POS_RADD = REAL_LTE_ADD (* |- !x y. &0 < x /\ &0 <= y ==> &0 < x + y *);;
 119 let REAL_PROP_POS_LMUL = REAL_LT_LMUL_0;; (* |- !x y. &0 < x ==> (&0 < x * y = &0 < y) *)
 120 let REAL_PROP_POS_RMUL = REAL_LT_RMUL_0;; (* |- !x y. &0 < y ==> (&0 < x * y = &0 < x) *)
 121 let REAL_PROP_POS_MUL2 = REAL_LT_MUL (* |- !x y. &0 < x /\ &0 < y ==> &0 < x * y *);;
 122 let REAL_PROP_POS_SQRT = SQRT_POS_LT;; (* |- !x. &0 < x ==> &0 < sqrt x *)
 123 let REAL_PROP_POS_POW =  REAL_POW_LT (*  |- !x n. &0 < x ==> &0 < x pow n *);;
 124 let REAL_PROP_POS_INV = REAL_LT_INV (* |- !x. &0 < x ==> &0 < inv x *);;
 125 let REAL_PROP_POS_SIN = SIN_POS_PI;; (*  |- !x. &0 < x /\ x < pi ==> &0 < sin x *)
 126 let REAL_PROP_POS_TAN = TAN_POS_PI2;; (* |- !x. &0 < x /\ x < pi / &2 ==> &0 < tan x *)
 127 let REAL_PROP_POS_ATN = ATN_POS_LT;; (* |- &0 < atn x = &0 < x *)
 128
 129 (* ------------------------------------------------------------------ *)
 130 (* Construction of NZ *)
 131 (* ------------------------------------------------------------------ *)
 132
 133 (* renamed from REAL_MK_NZ_OF_POS *)
 134 let REAL_MK_NZ_POS = REAL_POS_NZ (* |- !x. &0 < x ==> ~(x = &0) *);;
 135 let REAL_MK_NZ_EXP = REAL_EXP_NZ;; (*  |- !x. ~(exp x = &0) *)
 136
 137 (* ------------------------------------------------------------------ *)
 138 (* Propagation of NZ *)
 139 (* ------------------------------------------------------------------ *)
 140
 141 (* renamed from REAL_ABS_NZ, moved from float.ml *)
 142 let REAL_PROP_NZ_ABS =  prove(`!x. (~(x = (&.0))) ==> (~(abs(x) = (&.0)))`,
 143     REWRITE_TAC[ABS_ZERO]);;
 144 let REAL_PROP_NZ_POW = REAL_POW_NZ (*  |- !x n. ~(x = &0) ==> ~(x pow n = &0) *);;
 145 let REAL_PROP_NZ_INV = REAL_INV_NZ;; (* |- !x. ~(x = &0) ==> ~(inv x = &0) *)
 146
 147
 148 (* ------------------------------------------------------------------ *)
 149 (* Propagation of ZERO *)
 150 (* ------------------------------------------------------------------ *)
 151
 152 let REAL_PROP_ZERO_ABS = REAL_ABS_ZERO (* |- !x. (abs x = &0) = x = &0); *);;
 153 let REAL_PROP_ZERO_NEG = REAL_NEG_EQ_0 ;; (*  |- !x. (--x = &0) = x = &0 *)
 154 let REAL_PROP_ZERO_INV = REAL_INV_EQ_0 (* |- !x. (inv x = &0) = x = &0 *);;
 155 let REAL_PROP_ZERO_NEG = REAL_NEG_EQ0;; (* |- !x. (--x = &0) = x = &0 *)
 156 let REAL_PROP_ZERO_SUMSQ = REAL_SUMSQ;; (* |- !x y. (x * x + y * y = &0) = (x = &0) /\ (y = &0) *)
 157 let REAL_PROP_ZERO_POW = REAL_POW_EQ_0;; (* |- !x n. (x pow n = &0) = (x = &0) /\ ~(n = 0) *)
 158 let REAL_PROP_ZERO_SQRT = SQRT_EQ_0;; (* |- !x. &0 <= x ==> (x / sqrt x = sqrt x) *)
 159
 160 (* ------------------------------------------------------------------ *)
 161 (* Special values of functions *)
 162 (* ------------------------------------------------------------------ *)
 163
 164 let REAL_SV_LADD_0 = REAL_ADD_LID (* |- !x. &0 + x = x); *);;
 165 let REAL_SV_INV_0 = REAL_INV_0 (*  |- inv (&0) = &0 *);;
 166 let REAL_SV_RMUL_0 = REAL_MUL_RZERO (* |- !x. x * &0 = &0 *);;
 167 let REAL_SV_LMUL_0 = REAL_MUL_LZERO (* |- !x. &0 * x = &0 *);;
 168 let REAL_SV_NEG_0 = REAL_NEG_0 (*  |- -- &0 = &0 *);;
 169 let REAL_SV_ABS_0 = REAL_ABS_0 (* |- abs (&0) = &0 *);;
 170 let REAL_SV_EXP_0 = REAL_EXP_0;; (* |- exp (&0) = &1 *)
 171 let REAL_SV_LN_1 = LN_1;; (* |- ln (&1) = &0 *)
 172 let REAL_SV_SQRT_0 = SQRT_0;; (* |- sqrt (&0) = &0 *)
 173 let REAL_SV_TAN_0 = TAN_0;; (*  |- tan (&0) = &0 *)
 174 let REAL_SV_TAN_PI = TAN_PI;; (* |- tan pi = &0 *)
 175
 176 (* ------------------------------------------------------------------ *)
 177 (* A tactic that multiplies a real on the left *)
 178 (* ------------------------------------------------------------------ *)
 179
 180 (**
 181 #g `a:real = b:real`;;
 182 #e (REAL_LMUL_TAC `c:real`);;
 183 it : goalstack = 2 subgoals (2 total)
 184 `~(c = &0)`
 185
 186 `c * a = c * b`
 187
 188  0 [`~(c = &0)`]
 189 #
 190 **)
 191 (* ------------------------------------------------------------------ *)
 192
 193
 194
 195 let REAL_LMUL_TAC t =
 196   let REAL_MUL_LTIMES =
 197         prove ((`!x a b.
 198         (((~(x=(&0)) ==> (x*a = x*b)) /\ ~(x=(&0))) ==>  (a = b))`),
 199                 MESON_TAC[REAL_EQ_MUL_LCANCEL]) in
 200    (MATCH_MP_TAC (SPEC t REAL_MUL_LTIMES))
 201    THEN CONJ_TAC
 202    THENL [DISCH_TAC; ALL_TAC];;
 203
 204 (* ------------------------------------------------------------------ *)
 205 (* Right multiply by a real *)
 206 (* ------------------------------------------------------------------ *)
 207
 208 let REAL_RMUL_TAC t =
 209   let REAL_MUL_RTIMES =
 210         prove (`!x a b.
 211                 ((~(x=(&0))==>(a*x = b*x)) /\ ~(x=(&0))) ==>  (a = b)`,
 212                 MESON_TAC[REAL_EQ_MUL_RCANCEL]) in
 213    (MATCH_MP_TAC (SPEC t REAL_MUL_RTIMES))
 214    THEN CONJ_TAC
 215    THENL [DISCH_TAC; ALL_TAC];;
 216
 217
 218 pop_priority();;